LO STRATO DI EKMAN Università degli Studi Roma Tre Laurea Magistrale in Ingegneria Civile per la...

LO STRATO DI EKMAN

Università degli Studi Roma Tre

Laurea Magistrale in

Ingegneria Civile per la Protezione del Territorio dai Rischi Naturali

Corso: Idrodinamica delle Grandi Masse

Docente: Ing Claudia Adduce

http://host.uniroma3.it/docenti/adduce

22

PROFILO DI VELOCITA’ LOGARTMICO

Il profilo di velocità per flussi turbolenti può essere espresso, come dimostrato da numerose misure di laboratorio, attraverso la seguente legge logaritmica (valida nel range 101< u*z/ <102)

attritod' ocità vel

KarmanVon di costante 0.4 2.5ln)( ***

b*u

Kuzu

K

uzu

La porzione di curva in prossimità della parete può essere approssimata dalla soluzione laminare

Lo spessore dello strato laminare si ottiene come la distanza z dal fondo tale che

zu

u(z)udz

du **

b2

2

*

*

u

zu

11 11

33

PROFILO DI VELOCITA’ SU FONDO SCABRO

Lo spessore dello strato laminare

per l’acqua < 1 cm e risulta inferiore all’altezza delle forme di fondo che si trovano in oceano (dune, ripples).

Per l’aria < 5 cm e risulta inferiore all’altezza delle irregolarità terrestri e delle onde sulla superficie dei mari.

Quando lo spessore dello strato limite è inferiore all’altezza delle irregolarità topografiche, ovvero il flusso avviene su fondo scabro, il profilo di velocità si esprime come:

*u

11

fondo del scabrezza della altezza con ln)( 00

* zz

z

K

uzu

44

VISCOSITA’ TURBOLENTA

In prossimità di una parete la turbolenza cessa di essere isotropa. In analogia con i fluidi Newtoniani si può scrivere per un flusso turbolento

In cui la viscosità turbolenta e >> della viscosità molecolare.

Ricordando che

Si ottiene dalla prima relazione

da cui si evince che la viscosità turbolenta non è costante nello spazio. Infatti la viscosità turbolenta non è una proprietà del fluido, ma del flusso turbolento ed è influenzata anche dalla geometria del flusso.

Le caratteristiche dello strato limite descritte fino ad ora per un flusso non rotante, si modificheranno sensibilmente nel caso di un flusso rotante.

dz

due 0

2.5ln)( ***

b

*uuzu

K

uzu

**

02

*0 KzuKz

uu ee

55

NUMERO DI EKMAN

Applicando un’analisi di scala alle equazioni di bilancio della quantità di moto orizzontale e confrontando i singoli termini con il termine di Coriolis si ottiene:

Dal confronto del termine di Coriolis con l’attrito lungo la direzione verticale si è ottenuto il rapporto adimensionale chiamato numero di Ekman:

z

u

zy

uA

yx

uA

xx

pfv

z

uw

y

uv

x

uu

t

ue

0

1

2220

22

H

Uν

L

AU

L

AU

L

PΩU

H

WU

L

U

L

U

T

U e

2220

1 1

ΩH

ν

ΩL

A

ΩL

A

ΩLUρ

P

ΩL

U

UH

WL

ΩL

U

ΩL

U

ΩTe

2ΩH

νEk e

66

CONDIZIONI SULLA VELOCITA’ PER BASSI Ek

Sia i flussi geofisici che gli esperimenti di laboratorio sono caratterizzati da numeri di Ekman molto bassi (Ek=10-2 in oceano e Ek=10-6 in laboratorio), il che significa che il termine d’attrito è piccolo e può quindi essere trascurato.

I termini di attrito contengono le derivate di ordine più alto e se vengono trascurati non possono essere applicate tutte le condizioni al contorno.

In particolare si può solo imporre che la componente di velocità normale ad una parete fissa si annulli, ma non si può imporre la stessa condizione per la componente tangenziale di velocità. Si ipotizza quindi che la velocità “scorra” alla parete, come nel caso dei moti a potenziale o moto di un fluido perfetto.

Se si considera un flusso che investe una parete si possono distinguere due regioni: la regione interna, posizionata ad una certa distanza dalla parete, in cui l’attrito è trascurabile ed il flusso può essere modellato come un fluido perfetto; lo strato limite in prossimità della parete, in cui l’attrito provoca una diminuzione della velocità, che varia dal valore della zona interna fino ad annullarsi alla parete.

z

u

zy

uA

yx

uA

xx

pfv

z

uw

y

uv

x

uu

t

ue

0

1

77

SPESSORE DELLO STRATO DI EKMAN

Lo spessore dello strato limite per un flusso rotante, d, è tale che la forza viscosa sia dello stesso ordine di grandezza di quella di Coriolis

Naturalmente d<<H ad esempio per l’oceano dove

d=10 m.

A causa degli effetti dovuti alla rotazione lo strato limite viscoso per flussi geofisici, ovvero lo strato di Ekman, è molto diverso dallo strato limite viscoso per flussi non rotanti.

Lo strato limite tradizionale ha uno spessore che aumenta sia nel tempo che con l’aumentare della distanza a valle di una parete.

Al contrario lo strato di Ekman ha una dimensione fissa d. Se gli effetti della rotazione scomparissero ovvero 0 si avrebbe che d.

La rotazione oltre a fissare la dimensione dello strato limite, ha un ulteriore effetto (che verrà mostrato in seguito), quello di modificare la direzione della velocità al diminuire della distanza dal fondo.

1522 s107.3 /s,m10 Ωe

eν

d

ee ν

ΩH

νEk d 1

2

88

LO STRATO DI EKMAN AL FONDO

Consideriamo un flusso geostrofico uniforme su un fondo piatto. L’attrito al fondo si oppone al flusso e produce una diminuzione della velocità, che va gradualmente a zero all’interno di un sottile strato: strato limite di Ekman.

Consideriamo le equazioni di bilancio di quantità di moto sotto le ipotesi di:

1) Fluido omogeneo: =0 non ci sono variazioni di densità.

2) Moto uniforme: le due componenti di velocità u e v sono funzioni solo della variabile z, sarà nullo il termine di accelerazione delle due componenti u e v.

z

u

zy

uA

yx

uA

xx

pfv

z

uw

y

uv

x

uu

t

ue

0

1x:

z

v

zy

vA

yx

vA

xy

pfu

z

vw

y

vv

x

vu

t

ve

0

1y:

00

10

g

z

p

z:

99

EQUAZIONI PER LO STRATO DI EKMAN AL FONDO

L’equazione di continuità

poiché il flusso è uniforme ovvero u,v=f(z) si riduce a w/z=0, da cui poiché w(z=0)=0 w=0 z quindi anche all’interno dello strato limite.

Le equazioni di bilancio di quantità di moto all’interno dello strato limite, in cui si è considerata per semplicità e = costante sono:

Assumiamo un nuovo sistema di riferimento, in cui l’asse x è allineato con il flusso nello strato geostrofico (nella regione sovrastante lo strato limite) in cui si ha una velocità

2

2

0

1

z

u

x

pfv e

x:

2

2

0

1

z

v

y

pfu e

y:

z

p

0

10

z:

0

z

w

y

v

x

u

u

1010

EQUAZIONI PER LO STRATO DI EKMAN AL FONDO

Le condizioni al contorno nel nuovo sistema di riferimento sono:

- Al fondo (z=0):

u=0, v=0

- Nella zona geostrofica (z>>d):

Dalla terza equazione di bqm per lo strato limite si ha che la pressione dinamica p non varia lungo z, quindi nello strato di Ekman la pressione come nello strato geostrofico.

Nella zona geostrofica le equazioni di bqm lungo x ed y con il nuovo sistema di riferimento forniscono

),( ,0 , yxppvuu

),( yxpp

x

p

x

p

00

10

10

x:

y

puf

y

puf

00

1 costante

1

y:

1111

VELOCITA’ NELLO STRATO DI EKMAN AL FONDO

Applicando le due condizioni al contorno le soluzioni del sistema che descrivono l’evoluzione del campo di velocità u,v all’interno dello strato limite sono:

d rappresenta la distanza a cui la soluzione per lo strato limite coincide con quella geostrofica, quindi d fornisce lo spessore dello strato limite e viene chiamato profondità di Ekman. Inoltre il valore di d ottenuto risolvendo il sistema differenziale coincide con quello calcolato ipotizzando che nello strato limite Ek=1 (tale ipotesi era quindi corretta).

2

2

z

ufv e

x:

2

2

z

vuuf e

y:

d

zeuv

d

zeuu

dz

dz

sin

cos1

/

/

Ω

ν

f

νd ee

2

Sostituendo le ultime relazioni per la pressione nelle equazioni dello strato limite si ottiene

1212


- Calcoliamo il valore di u e v per z/d=0

- Calcoliamo le due componenti u e v ed il loro rapporto u/v per z/d0

L’angolo fra la direzione del modulo della velocità in prossimità del fondo e quello della velocità geostrofica è di 45°, ovvero la velocità in prossimità del fondo è ruotata di 45° verso sinistra rispetto alla velocità geostrofica (se f>0).

d

zeuv

d

zeuu dzdz sin cos1 //

0 001

0 0111

vuv

uuu

0per 1cossin

sincoslim

/lim

0

000

d

z

d

uvu

dz

edz

e du

dz

edz

e du

dzdv

dzdu

v

u

z/dz/d

z/dz/d

zz

Nello strato limite esiste anche una componente di velocità trasversale, v, rispetto a quella del flusso geostrofico, u.

1313


- Calcoliamo il valore di u e v per z/d

- Calcoliamo il massimo valore di u

In corrispondenza del suo massimo valore, u la velocità longitudinale nello strato limite è superiore a quella del flusso geostrofico.

- Calcoliamo il Trasporto del fluido trasversalmente al flusso principale

0 0

1 1- 1

veuv

euueuu

ud

zu

d

z

d

z

d

z

d

ze

d

z e

d

ze

d

ze

d

u

dz

du z/dz/dz/dz/d

07.14

3 e

4

3 sincos

sincos 0sincos 0

d

zeuv

d

zeuu dzdz sin cos1 //

0 0

/

2sin

dudz

d

zeuvdzV dz

1414

GENERALIZZAZIONE PER CORRENTI NON ZONALI

- Consideriamo un flusso geostrofico non zonale, nell’esempio precedente si è studiato un flusso zonale, ovvero un flusso diretto lungo i paralleli (l’asse x).

- Le equazioni nello strato geostrofico per un flusso non zonale sono

- Se il parametro di Coriolis, f, è costante si ha che il flusso geostrofico non zonale ha ancora divergenza nulla

- Le equazioni nello strato limite sono

- Se si impongono le condizioni al contorno:

Al fondo (z=0): u=0, v=0

Nella zona geostrofica (z>>d):

x

pvf

0

1

x:

y

puf

0

1

y:

011

00

xy

p

fyx

p

fy

v

x

u

2

2

2

2

z

vuuf

z

uvvf

e

e

x:

y:

vvuu ,

1515


- Le soluzioni per la velocità nello strato limite sono

- Il Trasporto nello strato limite ha componenti pari a:

- Se si calcola la divergenza del trasporto

d

zev

d

zeuv

d

zev

d

zeuu dzdzdzdz cos1sin sincos1 ////

vud

dzvvVvud

dzuuU

00 2

2

0 22 y

v

y

ud

x

v

x

uddz

y

v

y

v

x

u

x

u

y

V

x

U

0 0 22 y

v

x

ud

y

u

x

vddz

y

v

x

udz

y

v

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u

y

V

x

U

pf

d

y

u

x

vddz

y

v

x

u

y

V

x

U2

00 22

1616


- Il flusso nello strato limite può convergere o divergere, se il flusso geostrofico presenta una vorticità non nulla.

- Ci si chiede da dove proviene o dove si dirige il flusso per provocare questa divergenza/convergenza? Poiché è presente un fondo impermeabile l’unica soluzione è che il flusso provenga dal flusso superiore (geostrofico) attraverso una velocità verticale.

- Dall’equazione di continuità per il flusso geostrofico si ha

- La velocità verticale si mantiene costante lungo tutto il flusso geostrofico. Inoltre poiché la divergenza del flusso nello strato di Ekman è proporzionale allo spessore dello strato di Ekman, d, ed essendo quest’ultimo molto piccolo, segue che la velocità verticale nello strato geostrofico (proporzionale alla divergenza del flusso nello strato di Ekman) è piccola.

0 0

z

w

z

w

y

v

x

u

pf

d

y

u

x

vddz

y

v

x

u

y

V

x

U

k

200

H

22

u

1717

GENERALIZZAZIONE PER CORRENTI NON UNIFORMI

- La componente di velocità verticale nello strato geostrofico che coincide con quella nello strato di Ekman si può calcolare dall’integrazione dell’equazione di continuità nello strato di Ekman utilizzando le CC w(z=0)=0 e w(z)=

- Ad una vorticità positiva (negativa) del flusso geostrofico corrisponde una componente di risalita (discesa) della velocità verticale. Maggiore (minore) è la vorticità del flusso geostrofico, maggiore sarà la componente di risalita (discesa) della velocità verticale.

- Tale effetto aumenta avvicinandosi all’equatore (f=2sin diminuisce e contemporaneamente aumenta d).

- La velocità verticale è diretta verso l’alto per un flusso ciclonico (antiorario nell’emisfero Nord) e verso il basso per un flusso anticiclonico (orario nell’emisfero Nord).

- Lo stesso accade nell’emisfero Sud, dove poiché f<0, si deve ridefinire lo spessore dello strato diEkman com

La velocità verticale è diretta verso l’alto per un flusso ciclonico e verso il basso per un flusso anticiclonico. La differenza è che un flusso ciclonico è orario quello anticiclonico è antiorario.

pf

pf

d

y

u

x

vddz

y

v

x

uw e

230

200 2

1

22

w

fd e2

1818

GENERALIZZAZIONE PER CORRENTI NON UNIFORMI

- Maggiore (minore) è la vorticità del flusso geostrofico, maggiore sarà la componente di risalita (discesa) della velocità verticale.

- La velocità verticale è diretta verso l’alto per un flusso ciclonico (antiorario nell’emisfero Nord) e verso il basso per un flusso anticiclonico (orario nell’emisfero Nord) sia nell’emisfero Nord che Sud.

- La figura mostra una divergenza nello strato di Ekman compensata da un flusso diretto verso il basso e proveniente dallo strato geostrofico. Ciò si verifica in presenza di un flusso geostrofico anticiclonico rappresentato dalle grosse frecce orizzontali.

pf

pf

d

y

u

x

vddz

y

v

x

uw e

230

200 2

1

22

1919

STRATO DI EKMAN DI SUPERFICIE

- Lo strato limite di Ekman non si presenta solo lungo la superficie del fondo (strato di Ekman al fondo), ma anche lungo superfici su cui vi siano degli sforzi orizzontali.

- Lo strato di Ekman di superficie è presente lungo la superficie degli oceani, che è soggetta agli sforzi esercitati dal vento.

- Lo strato di Ekman superficiale, dovuto alla rotazione terrestre, produce una rotazione verso destra (emisfero Nord) della corrente sottostante rispetto alla direzione del vento sulla superficie dell’oceano.

2020


- Consideriamo una regione oceanica la cui superficie orizzontale è soggetta all’azione dello sforzo del vento (x y), che produce un flusso interno di tipo geostrofico ( ). Se si assumono le ipotesi di condizioni stazionarie e fluido omogeneo, si possono scrivere le seguenti equazioni per il campo di velocità all’interno dello strato di Ekman superficiale (u, v):

- Le condizioni al contorno sono

In superficie (z=0):

Nella zona geostrofica (z -):

vu ,

2

2

2

2

z

vuuf

z

uvvf

e

e

x:

y:

vvuu ,

ye

xe z

v

z

u

00 ,

2121


- La soluzione del problema fornisce

- La differenza tra la soluzione del campo di velocità nello strato di Ekman superficiale (u,v) e quella del flusso geostrofico interno ( ) è dovuta esclusivamente all’azione degli sforzi esercitati dal vento.

- La componente del flusso indotto dall’azione del vento è inversamente proporzionale allo spessore dello strato di Ekman, d, e può risultare molto elevata. Per un fluido poco viscoso (basso e e quindi basso d) anche piccoli sforzi indotti dal vento possono produrre elevate componenti di velocità nello strato di Ekman.

4

π

d

zcosτ

4

π

d

zsinτ e

fdρ

2vv

4

π

d

zsinτ

4

π

d

zcosτe

fdρ

2uu

yxz/d

0

yxz/d

0

vu ,

2222


- Il trasporto orizzontale indotto dal vento all’interno dello strato di Ekman superficiale ha le seguenti componenti

ed è orientato perpendicolarmente allo sforzo del vento, infatti sviluppando il prodotto scalare si ottiene

- Il trasporto orizzontale è ruotato di 90° a destra nell’emisfero Nord, e 90° a sinistra nell’emisfero Sud. Questo spiega perché gli iceberg, che sono quasi completamente immersi, si muovono sempre lungo una direzione che è ruotata a destra rispetto alla direzione del vento nell’emisfero Nord.

0

x

0

y

0

0 1

1

f

dzvvVf

dzuuU

011 yx

0

xy

0

yx

ff

VU

2323


- La velocità indotta dal vento all’interno dello strato di Ekman è massima in superficie a diminuisce all’aumentare della profondità. Inoltre essa ruota sempre più verso destra rispetto alla direzione del vento all’aumentare della profondità.

- La velocità superficiale è ruotata di 45° a destra (a sinistra) rispetto alla direzione del vento nell’emisfero Nord (Sud).

- Il trasporto orizzontale è ruotato di 90° a destra (a sinistra) nell’emisfero Nord (Sud).

2424


- Se come nel caso dello strato di Ekman di fondo anche all’interno dello strato di Ekman superficiale si calcola la divergenza del Trasporto dopo i medesimi calcoli, ricordando le espressioni di U e V e che la divergenza del campo geostrofico interno è nulla si ottiene

- Se f è costante la divergenza orizzontale del flusso nello strato di Ekman è proporzionale al solo rotore dello sforzo indotto dal vento ed è indipendente dalla viscosità del fluido.

- Se lo sforzo del vento ha un rotore non nullo, si ottiene una divergenza del campo di velocità nello strato di Ekman che deve essere supportata da una velocità verticale proveniente dal flusso geostrofico interno.

- Dall’integrazione dell’equazione di continuità per lo strato di Ekman, imponendo le condizioni al contorno w(z=0)=0 e w(z - )= si ottiene

0

0

H

1

fyfxdz

y

v

x

u

y

V

x

U xy

τu

w

Ek

xy

wfyfx

dzy

v

x

uw

0

0 1

2525


- wEk è la velocità verticale nello strato di Ekman, pari a quella nello strato geostrofico.

- Nell’emisfero Nord (f>0) un flusso dovuto al vento in senso orario (associato ad un rotore negativo) genera un flusso diretto verso il basso e quindi una zona di convergenza nello strato di Ekman (divergenza orizzontale di u negativa), mentre un flusso del vento antiorario produrrà un flusso verso l’alto proveniente dallo strato geostrofico.

- Le direzioni saranno opposte nell’emisfero sud (f<0)

Ek

xy

wfyfx

dzy

v

x

uw

0

0

H

1

τu

LO STRATO DI EKMAN Università degli Studi Roma Tre Laurea Magistrale in Ingegneria Civile per la...

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