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LINEE DI TRASMISSIONE ©Prof. Vincenzo Nassisi

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LINEE DI TRASMISSIONE ( Vincenzo NASSISI )

Premessa Le linee di trasmissione sono indispensabili per operare con segnali veloci o con generatori di alta frequenza. In pratica per segnali di alta frequenza di almeno qualche MHz, o per impulsi di durata inferiore a qualche centinaio di nanosecondi, l’uso delle linee di trasmissione è indispensabile e permettono di controllare l’influenza dell’induttanze e delle capacità parassite distribuite lungo i conduttori che costituiscono la linea. È facile pure capire che la lunghezza della linea contribuisce ad esaltare eventuali malfunzionamenti nella propagazione dei segnali.

1. INTRODUZIONE

Prima di inoltrarci nello studio delle linee di trasmissione è necessario fare dei richiami sulla terminologia dei segnali. Quindi definiamo alcuni parametri che li caratterizzano. I segnali più elementari tra quelli alternati troviamo i sinusoidali che sono caratterizzati da una frequenza f (cicli/s) o pulsazione ω (rad/s) ed un’ampiezza, mentre i segnali impulsati sono caratterizzati oltre che da un’ampiezza, anche da una durata. La durata è definita in diversi modi e prima di presentsarli vediamo gli impulsi più comuni. In Fig. 1 è riportata la forma temporale di un classico impulso mentre in Fig. 2 è riportata la forma di un impulso a gradino o di Heaviside. La durata dell’impulso è generalmente riferita alla sua durata in corrispondenza del valore metà massimo (Full Width Half Maximum). Io è l’intensità, ts è il tempo di salita calcolato in corrispondenza del 10% al 90%, td: è il tempo di discesa calcolato in corrispondenza del 90% al 10%. Qualche volta si la necessità di personalizzare queste definizioni.

T: durata (FWHM)

0.1 I0 ts td

Inte

nsi

tà

Tempo

0.9 I0

Inte

nsi

tà

Tempo

1

. 1. INTRODUZIONE Per trasmettere segnali elettrici fra due sistemi situati ad una certa distanza, si usano conduttori elettrici. Quando l’energia da trasmettere è fornita da generatori di forza elettromotrice variabile, l’induttanza e la capacità distribuita lungo tutta l’estensione dei conduttori porta necessariamente ad un’irradiazione elettro-magnetica e quindi ad una perdita di energia. Ancora più grave però è la distorsione subita dal segnale durante la sua propagazione e la difficoltà di risolvere in maniera analitica i parametri elettrici della rete.

Fig.1: Forma d’onda di un generico impulso

Fig. 2: Forma d’onda di un impulso a gradino o funzione di Heaviside


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Le più comuni linee di trasmissioni sono le bifilari, le piane e le coassiali. Le prime consistono di due conduttori di raggio costante ed equidistanti; le seconde consistono di due conduttori piani della stessa larghezza ed equidistanti e le terze consistono di due conduttori cilindrici di differente diametro e posizionati coassialmente. Ogni linea di trasmissione può essere schematizzata con elementi di circuito concentrati. In realtà esse presentano un’induttanza, una resistenza, una capacità ed una conduttanza per unità di lunghezza, rispettivamente chiamate L, R, C e G.

2. TEORIA Da quanto detto nell’introduzione una linea può essere rappresentata da un’nfinita di elementi passivi concentrati come si può vedere in Fig. 6. Chiamiamo la tensione reale e la corrente reale lungo la linea rispettivamente v x t( , ) e i x t( , ) . Si può notare che a differenza di tutti i circuiti elettrici, in questo caso viene evidenziata anche la posizione fisica dei parametri e quindi è indispensabile inserire il parametro distanza, x.

GC

RLi(x+dx,t)i(x,t)

v(x,t)v(x+dx,t)

x

Fig. 4: Linea di trasmissione piana.

Fig. 3: Linea di trasmissione bifilare.

Fig. 5: Linea di trasmissione coassiale.

Fig. 6: Circuito equivalente di una linea di trasmissione

r

d


4

Consideriamo un tratto infinitesimo di linea di lunghezza dx. Le variazione della tensione e della corrente sono espresse dalle seguenti equazioni;

v x dx t v x tx

v x t dx( , ) ( , ) ( , )+ − = ∂∂

(1)

i x dx t i x tx

i x t dx( , ) ( , ) ( , )+ − = ∂∂

(2)

Intanto l’Eq.(1) rappresenta la caduta di potenziale negli elementi L ed R nel tratto dx

che risulta { }− −Ri x t dx L t i x t dx( , ) ( , )∂∂ , mentre l’Eq.(2) rappresenta la corrente assorbita

da C e G nello stesso tratto dx che risulta { }− −Gv x t dx C t v x t dx( , ) ( , )∂∂ . Dopo queste

considerazioni, le Eq.i 1 e 2 divengono:

∂∂

∂∂x

v x t Ri x t Lti x t( , ) ( , ) ( , )= − − (3)

∂∂

∂∂x

i x t Gv x t Ct

v x t( , ) ( , ) ( , )= − − (4)

Operando la trasformazione di Laplace rispetto alla variabile temporale t e ricordando che è lecito fare ciò nonostante le variabili indipendenti siano due, la x e la t, si ottengono le seguenti equazioni:

∂∂x

V x p Z p I x p Li x( , ) ( ) ( , ) ( )= − + 0 (5)

∂∂x

I x p Y p V x p Cv x( , ) ( ) ( , ) ( )= − + 0 (6)

dove Z p R pL( ) = + e’ l’impedenza per unita’ di lunghezza e Y p G pC( ) = + e’ l’ammettenza per unita’ di lunghezza. i x0( ) e v x0( ) sono i corrispondenti valori della corrente e della tensione all’istante iniziale, t = 0 . Per la maggior parte delle applicazioni pratiche ed in particolare per le linee di buona qualità è conveniente considerare nulle la resistenza e la conduttanza per unità di lunghezza ed approssimare Z p pL( ) ≈ ed Y p pC( ) ≈ . Adesso derivando l’Eq. 5 rispetto ad x e sostituendo l’Wq. 6 in luogo di ),( pxVx∂∂ si ottiene l’Eq. 7, mentre derivando l’Eq. 6

rispetto ad x e sostituendo l’Eq. 5 in luogo di ),( pxIx∂∂ si ottine l’Eq. 8. Il risultato

sono due equazioni differenziali che governano, rispettivamente, la prima la tensione e la seconda la corrente lungo la linea, cioè:

∂∂

2

22

0 0xV x p p LCV x p L

d

dxi x CLpv x( , ) ( , ) ( ) ( )− = − (7)


5

∂∂

2

22

0 0xI x p p LCI x p C

d

dxv x LCpi x( , ) ( , ) ( ) ( )− = − (8)

Queste due equazioni sono dette equazioni dei telegrafisti ed il motivo di ciò lo scopriremo nei prossimi paragrafi. Se supponiamo la linea scarica, cioè con i valori di tensione e di corrente all’istante iniziale nulli, dalle Eq.i 7 e 8, otteniamo proprio l’equazioni delle onde per la tensione e per la corrente nel dominio di Laplace, in cui i coefficienti del termine V x p( , ) ed I x p( , ) coincidono e rappresentano l’inverso del

quadrato della velocità di propagazione delle onde, cioèvLC

= 1 con v la velocotà di

propagazione delle onde. Da questa relazione possiamo calcolare il ritardo per unità di lunghezza del segnale nella linea che è:

τ = LC . (9) Da notare che una linea bifilare presenta una capacità ed una induttanza per unità di lunghezza pari a:

( )rd

Cln

πε= e r

dL ln

πµ=

ed che inoltre la velocità di propagazione vLC

= =1 1εµ

. Questo valore, come

verificheremo successivamente, risulta uguale per tutte le configurazioni delle linee. Ora introduciamo invece un parametro caratteristico di una linea che è l’impedenza caratteristica. Il significato di questro parametro sarà chiaro con il primo esempio di funzionameto di una linea. Intanto dobbiamo sapere che l’impedenza caratteristica è definita come CLRo= . Essa, per una linea bifilare, Fig. 3, risulta

r

dRo ln

1

εµ

π= (10a)

Una linea piana è composta da due lastre parallele con del dielettrico nel mezzo. Un esempio è rappresentato nella Fig. 4. Essa ha una larghezza a e la distanza tra i conduttori è pari ad h. La capacità e l’induttanza per unità di lunghezza sono:

h

aC ε= e

a

hL µ=

La velocità di propagazione è sempre vLC

= =1 1εµ

e l’impedenza caratteristica,

Ro L C= , risulta:

εµ

a

hRo= (10b)


6

Infine, una linea coassiale presenta una capacità ed una induttanza per unità di lunghezza pari a:

CR

r

= 2πε

ln e L

R

r= µ

π2ln

e come nei casi precedenti la velocità di propagazione è sempre uguale a

vLC

= =1 1εµ

. L’impedenza caratteristica invece, definita sempre come

Ro LC= , ha l’espressione:

RoR

r= 1

2πµε

ln (10c)

3. LINEA INFINITAMENTE LUNGA Consideriamo una linea infinitamente lunga in condizioni di riposo, cioè con i valori iniziali di tensione e di corrente nulli all’istante iniziale. In Fig. 7 è riportato uno sviluppo della linea. Allora l’Eq.i 7 e 8 divengono:

∂

∂

2

22 0

V x p

xp LCV x p

( , )( , )− = (11)

∂

∂

2

22 0

I x p

xp LCI x p

( , )( , )− = (12)

Integrando la (11) e sostituendo la derivata prima della soluzione nella (5) si ottengono le seguenti equazioni:

Zg

Vg

V x p p e p ep LCx p LCx( , ) ( ) ( )= −−α α1 2 (13)

[ ]I x p p e p e Rp LCx p LCx( , ) ( ) ( )= +−α α1 2

0

1 (14)

Fig. 7: Linea infinitamente lunga


7

Se la linea è infinita, allora il coefficiente α 2 deve essere nullo onde consentire al generatore di fornire un’energia finita. In fatti, al crescere di x, aumenta l’intensità della corrente e se la linea era inizialmente scarica non possiamo ammettere una corrente tendente a ∞ per x che tende pure a ∞. Se supponiamo un generatore di impedenza interna Zg e f.e.m. Vg , applicato alla

linea all’estremo x = 0 che chiamiamo 1, allora avremo le condizioni al contorno relative al parametro spaziale che vincolano la tensione nella linea nel punto 1:

V p V Z I pg g1 1( ) ( )= − dove oRpIpI /),0()( 11 α==

ma essendo ( ) 11 α=pV , segue pertanto che;

α10

0

=+

V R

R Zg

g

Sostituendo l’espressione di α1 nella (13) e (14) ciò porta al risultato finale:

gVxLCp

og

og VpFeRZ

RVpxV )(),( =

+= − (15)

gIxLCp

og

g VpFeRZ

VpxI )(),( =

+= − (16)

con )( pFV e )( pFI le funzioni di trasferimento del circuito per determinare rispettivamente la tensione e corrente nella linea.

Dalla (15) e (16), ma se vogliamo anche dalla (13) e (14) possiamo notare un legame tra tensione e corrente presente nella linea il cui rapporto risulta essere proprio oR . Cioè per una tensione presente nella linea esiste una bel definita corrente data dal rapporto

),(/),( pxIpxV . Questo parametro è una caratteristica propria del circuito. Considerando la (13) e la (14) possiamo fare le stesse considerazioni ma dobbiamo state attenti a considerare la tensione e la corrente giusta, nonché il valore della tensione progressiva e la relativa corrente progressiva, mentre per il termine di tensione regressiva si deve considerare la corrente regressiva. In questo modo vediamo che tensione provoca una corrente data dal suo rapporto con oR . In seguito tutto sarà molto più chiaro.

Antitrasformando la (15) e la (16) si ottiene la funzione reale della tensione e della corrente nella linea. Dalla presenza del fattore esponenziale possiamo dedurre che sia la v x t( , ) che la i x t( , ) sono funzioni che si propagano nella linea con un ritardo dato dalla potenza dell’esponenziale. In particolare se consideriamo nulla l’impedenza del generatore

e la V Vpg

o= , la tensione e la corrente lungo la linea nel dominio temporale saranno:


8

x

v (x ,t)

i (x ,t)

x

v

v

V0

V0/R

0

Fig.8: Tensione e corrente nella linea. v: velocità di propagazione dell’onda. v x t V u t x( , ) ( )= −0 τ (17)

i x t VR u t xo

o( , ) ( )= − τ (18)

La (17) e la (18) rappresentano un’onda di tensione e di corrente che si propaga lungo l’asse x con un ritardo unitario τ. Se il generatore fornisce una f.e.m di tipo sinusoidale di frequenza ω: tj

i Voetxv ω=),(

la tensione e la corrente lungo la linea sono sempre date rispettivamente dalla (15) e (16). Sappiamo però, che trascurando le condizioni transitorie il teorema della risposta a regime di una rete ci suggerisce che la risposta la si può ricavare più velocemente, basta sostituire jω in luogo di p. Pertanto, considerando nulla l’impedenza interna del generatore, le soluzioni del circuito sono di seguito riportate: v x t Voej t x( , ) ( )= −ω β (19) i x t Vo R eo

j t x( , ) / ( )= −ω β (20)

dove β è la costante di fase uguale β ω= LC . La soluzione è sempre un’onda che si propaga verso l’asse x positivo dal comportamento sinusoidale come ci si aspettava visto che il generatore forniva una funzione sinusoidale. 4. LINEA DI LUNGHEZZA FINITA, CHIUSA SU UN'IMPEDEN ZA Zc ED INIZIALMENTE IN CONDIZIONI DI RIPOSO


9

Consideriamo una linea di lunghezza l con un generatore di f.e.m. Vg applicato all’estremo 1 (x=0) e una impedenza Zc all’estremo 2 (x=l ). Le Eq.i della linea sono ancora la (7) e (8), con le soluzioni (13) e (14), mentre le condizioni agli estremi sono le seguenti: V V Z Ig g1 1= − ( all’estremo 1) e V Z Ic2 2= (all’estremo 2)

Zg

Vg

x

Zc

0

1 2

I2I1

l

Fig.9: Linea di lunghezza finita con carico Zc Sotto queste condizioni si ha allora,

( ) ( ) ( ) 02121)0,( RZVpppV gg αααα +−=−=

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) 02121),( RepepZepeplpV lLCplLCpc

lLCplLCp αααα +=−= −−

da queste due equazioni si ricavano le due incognite α1 e α2

α10

0 1 2

=+ − −

V R

R Z

e

e R R eg

g

p LCl

p LCl p LCl

α 20

0

2

1 2

=+

−−

−

−

V R

R Z

R e

e R R eg

g

p LCl

p LCl p LCl

in cui R1 ed R2 sono i coefficienti di riflessione del segnale di tensione rispettivamente, all’estremo 1 e all’estremo 2, e valgono:

RZ R

Z Rg

g1

0

0

=−+

RZ R

Z Rc

c2

0

0

= −+

Sostituendo infine le costanti trovate nella (13) e (14) si ottiene,


10

V x pV R

R Z

e R e

e R R e

V R

R Z

e R e

R R eg

g

p x l p l x

p l p l

g

g

p x p l x

p l( , )( ) ( ) ( )

=+

+−

=+

+−

− − − −

−

− − −

−0

0

2

1 2

0

0

22

1 221

τ τ

τ τ

τ τ

τ (21)

I x pV

R Z

e R e

e R R e

V

R Z

e R e

R R eg

g

p x l p l x

p l p l

g

g

p x p l x

p l( , )( ) ( ) ( )

=+

−−

=+

−−

− − − −

−

− − −

−0

2

1 2 0

22

1 221

τ τ

τ τ

τ τ

τ (22)

Consideriamo ora un caso particolare di una linea aperta ( ∞=cZ ) ed eccitata con un

generatore di f. e. m., Vg , all’istante iniziale, e di impedenza interna Z Rg = 0 . In questo

caso il coefficiente di riflessione all’estremo 1, risulta R1=0 ed all’estremo 2, R2 =1. Modificando la (21) e la (22) si ha:

[ ]V x pV

e eg p x p l x( , ) ( )= +− − −

22τ τ

[ ]I x pV

Re eg p x p l x( , ) ( )= −− − −

2 0

2τ τ .

Supponendo una tensione a gradino; V Vpg = 0 ed antitrasformando si ottiene:

[ ]{ }v x tV

u t x u t l xo( , ) ( ) ( )= − + − −2

2τ τ (23)

[ ]{ }i x tV

Ru t x u t l xo( , ) ( ) ( )= − − − −

22

0

τ τ (24)

Fig. 10: Linea aperta a) e forme d’onda b).

Possiamo notare che per x=0 si ha un segnale di tensione di Vo/2 per un tempo di 2τl. Per t>2τl la corrente si annulla e la tensione diviene uguale a Vo lungo tutta la linea. Quando una linea è in corto circuito, 0=cZ , e viene eccitata come nel caso precedente si

ha che R1=0 ed R2 =-1 e quindi la tensione e la corrente saranno:

[ ]V x pV

e eo p x p l x( , ) ( )= −− − −

22τ τ

[ ]I x pV

Re eo

o

p x p l x( , ) ( )= +− − −

22τ τ

ed antitrasformando si ottiene

( )[ ][v x tV

u t x u t l xo( , ) ( )= − − − −2

2τ τ (25)

(26)


11

v (x,t)

v

0 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ ττττ l

2 l ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 2 ττττ l

v

v

l x

V0/2

V0/2R0

i (x,t)

v (x,t)V0/2

i (x,t)

Zg

Vg

x0

1 2

l

v

V0/R0

Fig.10: Linea in cortocircuito e forme d’onda. Possiamo notare che ad x=0 si ha un segnale di tensione di Vo/2 per un tempo di 2τl. Per t>2τl la tensione si annulla e la corrente diviene uguale a Vo/Ro lungo tutta la linea. Consideriamo ora il caso generale in cui la linea è chiusa su un’impedenzaZ Rc ≠ 0e

0RZg ≠ . In questo caso il denominatore dalla (21) e della (22) può essere sviluppato in

serie poiché 1221 <− lpeRR τ e cioè 12

21 <− leRR ατ :

se 1Re <α ∑ −=+

∞

=0)1(

Re1

1b

jnnnj

eR ϕϕ

1

11

1 22 1 2

212

22 4

−= + +−

− −

R R eR R e R R ep l

p l p lτ

τ τ .....

Sostituendo nella (21) e (22) si ha:

ττττl ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 2ττττl

V0/2

v

v

0 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ ττττl

v

Zg

Vg

x0

1 2

V0/2R0

V0

l

v (x,t)

i (x,t)

v (x,t)

i (x,t)


12

v

0 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ ττττ l

ττττ l ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 2 ττττ l

v (x,t)

i (x,t)

Zg

Vg

Zc ≠≠≠≠ R0

v (x,t)

i (x,t) v

v

v

v

v

v (x,t)

i (x,t)

0 l x

2 ττττ l ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 3 ττττ l

Fig. 11: Tensione e corrente nella linea non adattata con un p

VVg

0=

[ ]V x pV R

R Ze R e R R e R R e R R eg

g

p x p l x p l x p l x p l x( , ) .( ) ( ) ( ) ( )=+

+ + + + +− − − − + − − − +0

02

21 2

21 2

2 412

22 4τ τ τ τ τ (27)

[ ]I x pV

R Ze R e R R e R R e R R eg

g

p x p l x p l x p l x p l x( , ) .( ) ( ) ( ) ( )=+

− + − + +− − − − + − − − +

02

21 2

21 2

2 412

22 4τ τ τ τ τ (28)

In questo caso sia la tensione che la corrente subiscono delle riflessioni ogni qualvolta il loro fronte d’onda raggiunge gli estremi.


13

5. ONDE STAZIONARIE Quando una linea chiusa su un’impedenza cZ viene eccitata con segnali sinusoidali

allora possiamo trovarci in condizioni di avere onde stazionarie, cioè onde che non si propagano lungo la linea ma oscillano in un punto. Ora la soluzione è ancora più semplice in quanto è data dalla sostituzione del termine jω nelle Eq. 21 e 22.

v x tV R

R Z

e R e

R R ee

g

j x j l x

j lj t( , )

( )

=+

+−

− − −

−0 0

0

22

1 221

ωτ ωτ

ωτω (21a)

i x tV

R Z

e R e

R R ee

g

j x j l x

j lj t( , )

( )

=+

−−

− − −

−0

0

22

1 221

ωτ ωτ

ωτω (22a)

In questo caso sappiamo benissimo che la tensione in ogni punto della linea oscilla con la stessa frequenza del segnale, ω, ed è quindi necessario conoscere solo l’ampiezza massima della tensione o della corrente. Per questo scopo calcoliamo il valore assoluto della tensione.

v x tV R

R Z

e R e

R R ee

g

j x j l x

j lj t( , )

( )

=+

+−

− − −

−0 0

0

22

1 221

ωτ ωτ

ωτω oppure;

VV R

R Z

e R e

R R eMg

j x j l x

j l=+

+−

− − −

−0 0

0

22

1 221

β β

β

( )

=+

+− − −V R

R Ze e R e

g

j j x j l x0 0

02

2 21ρ ϕ β β ( ) (21b)

dove ρ β=− −

11 1 2

2R R e j l e ϕ β= − − −arg( )1 1 22R R e j l

e β ωτ= e la 21b si riduce a:

VV R

R ZR eM

g

j x=

−

++0 0

02

21ρ β θ( ) , con θ in luogo di 2lβ.

quindi,

[ ]VV R

R ZR R xM

g= +

+ + −0 0

02

22

121 2 2ρ β θcos( ) mentre per la corrente si ha;


14

[ ]IV

R ZR R xM

g= +

+ − −0

02

22

121 2 2ρ β θcos( )

Da notare che il valore della tensione, come pure quello della corrente oscillano nel medesimo punto alla frequenza ω. λp rappresenta la distanza tra le creste.

λλλλ p = ππππ ////ββββ

αααα 1(1 + R

2)V M

X

αααα 1(1 - R

2)

V m ax

V m in

Fig. 12: Onde stazionarie. Il valore massimo della tensione risulta α(1+R2),

mentre il minimo valore risulta α(1-R2), con )( 0

0

gZRRV

+=α .

Notare che per 12 −=R , (Zc=R0) la tensione VM (x=l )=0. Se invece 12 −=R ,

( ∞=cZ ), la tensione VM (x=l ) è sempre la massima.

6. LINEA FORMATRICE DI IMPULSO

Consideriamo una linea carica all’istante iniziale, v x V( . )0 0= , e con le condizioni agli estremi che soddisfano alle seguenti relazioni: all’estremo 1: v t v t R i t1 0 10 0( ) ( , ) ( , )= = − all’estremo 2; i t i l t2 0( ) ( , )= = Le equazioni che governano la tensione e la corrente ora sono:

V x p p e p eV

pp x p x( , ) ( ) ( )= − +−α ατ τ

1 20 (29)

I x p pR e p

R ep x p x( , ) ( ) ( )= +−α ατ τ1

0

2

0 (30)

Per x=0 nella resistenza R0 scorre una corrente negativa e pertanto si ha;

α α α α1 2 1 2− + = − −V

po

mentre per x=l si ha

α ατ τ1 2 0R

eR

eo

p l

o

p l− + =


15

da cui combinando le ultime due si ricavano i coefficienti α1 e α2.

α1 2= − V

po e α τ

22

2= −V

peo p l

sostituendo i coefficienti trovati nella (29) si ottiene l’espressione della tensione nella linea.

V x pV

pe ep x p l x( , ) ( )= − −

− − −0 21

1

2

1

2τ τ

Antitrasformando si ha la soluzione reale che risulta essere:

In particolare la tensione ad x=0 risulta;

( ){ }ltutuV

tv 2)(2

),0( 0 τ−−=


V0/2

0 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ ττττl

v

v

1 2

V0/2

v (x,t)

v (x,t)

R0

V0

R >>>>>>>> R0

0 x

x0 l

Fig. 13: Tensione generata da una linea formatrice di impulso.

Da notare che nonostante la tensione di alimentazione della linea è V0 l’intensità del segnale d’uscita è sempre dimezzato. I più avanzati sistemi di formazione degli impulsi sono concepiti con questo sistema, in particolare per bassi valori di tensione si usano i comuni cavi coassiali i quali presentano


16

una ritardo di 5 ns/m e pertanto per formare un impulso di 20 ns è sufficiente un cavo lungo 2 m ed un interruttore veloce. Per collegare più utenti ad un generatore di segnale veloce con cavo coassiale, ad esempio il collegamento di più personal computer alla rete trasmissione dati o di più televisori alla stessa antenna, si usa il collegamento tipo serie o quello parallelo. Il primo consiste in un cavo coassiale chiuso alla sua estremità sulla sua resistenza caratteristica R0 , ed ogni utente si collega alla linea principale con altro cavo coassiale ed una resistenza in serie R R> 0 . Il secondo consiste nel creare un nodo comune dal quale tutti gli utenti prelevano il segnale ma onde evitare riflessioni o onde stazionarie ogni linea di utente sarà collegata al nodo mediante una resistenza in serie R R n= −0 1( ) .

R0

R>>>>R0

R0

R0R>>>>R0

Fig. 14: Collegamento tipo serie.

R

RR

R0

R0

R0

Fig. 15: Collegamento tipo parallelo.

7. LINEA FORMATRICE D'IMPULSO DI TENSIONE UGUALE A QUELLA DI CARICA (BLUMLEIN)

Quando si devono formare impulsi e se tali impulsi sono di alta tensione allora usando la linea precedente si trovano risultati sconfortanti,infatti essa ha il grosso inconveniente di


17

dimezzare la tensione d’uscita.Per ovviare quindi a questo inconveniente si chiude la linea su un’impedenza pari a 2Z0 xxxx xxxx su una seconda linea carica.In questo modo si realizza la linea Blumein,che è formata da tre conduttori e può essere considerata come due linee in cascata. Se opportunamente collegate si elimina l’inconveniente di fornire l’impulso d’uscita dimezzato rispetto alla tensione di carica.

V 0

Z C

V 0Z C

Fig. 16: Esempi di linee Blumlein

Consideriamo due linee di eguale impedenza caratteristica R0 caricate alla tensione di Vo e collegate tra di loro mediante una un resistenza doppia di quella caratteristica, 2R0. Definiamo l'estremo 1a e 2a l'estremo sinistro e destro della linea a e rispettivamente l'estremo 1b e 2b della linea b.

ZC

V0

b

2b1b2a1a

a

Fig. 17: Linea Blumlein estesa

Con la linea caricata alla tensione V0, la tensione e la corrente sono date dalle (29) e (30).

V x p p e p eV

pp x p x( , ) ( ) ( )= − +−α ατ τ

1 20

I x p pR e p

R ep x p x( , ) ( ) ( )= +−α ατ τ1

0

2

0

Se all'istante t=0 un interruttore cortocircuita l’estremo 1a, allora le condizioni al contorno per la linea a, valide per 0 ≥ >t lτ sono le seguenti:

per x=0, α α1 2 0− + =V

po mentre per x l= i l t( , ) = 0 e cioè

α ατ τ1 2 0( ) ( )p e p ep l p l− + = avendo considerato la corrente nulla nonostante l’estremo 2a

sia collegato su un carico di 3R0. Quindi si ha :


18

ατ

τ1

2

21= −

+V

p

e

eo

p l

p l e

lpo

ep

Vτα

22 1

1

+=

++−= +

−−−

lp

xlpxp

e

ee

p

VpxV τ

ττ

2

)2(0

11),( (31)

In pratica questo risultato è valido solamente per un tempo inferiore a τl poiché quando il segnale raggiunge l’estremo 2a la linea a non è aperta ma risulta chiusa su un’impedenza di 3R0. Quindi, sviluppando il denominatore della 31 ,

.....11

1 422

lplplp

eee

τττ

++ +−=

+

considerando che il denominatore lo si può approssimare a xpe τ2+ , si ottiene una soluzione valida per la linea con l’estremo 2a aperto.

[ ]eee

ee

p

VpxV p

lp

xlpxp

+−

++−= −

+

−−−(

2

)2(0 1

11),( τ

ττ

In pratica essendo interessati solo all’evoluzione del segnale per un tempo inferiore a antitrasformando e prendendo solamente il primo termine si ottiene: [ ]v x t V u t u t x( , ) ( ) ( )= − −0 τ (32)

Questo risultato esprime un impulso di tensione di ampiezza -V0 propagantesi lungo la linea. Questo impulso annulla la tensione precedente e quando raggiunge l’estremo 2a trova un’impedenza equivalente di 3R0 che fornisce un coefficiente di riflessione corrispondente a:

R212= .

E’ utile a questo punto definire il coefficiente di trasmissione T = 1+R. Per il caso in esame T =3/2. Cioè un impulso di ampiezza -3/2 V0 si esaurisce all’estremo 2a dalla linea nel carico Zc e nella linea b. Analizziamo il fenomeno per differenti intervalli di tempo. Per τl>t>2 τl, nella linea a un impulso di tensione di intensità -V0/2 si propaga verso l'estremo 1a, caricando la linea a -V0/2, mentre nella linea b un impulso di ampieza -V0/2 si propaga verso l'estremo 2b scaricando la linea e portandola ad una carica di tensione +V0/2. In questo intervallo di tempo il carico Zc è sottoposto ad una tensione V0. Per t=2τl


19

nella linea a l'impulso di tensione di intensità -V0/2 raggiunge l'estemo 1a che risulta in corto circuito ed il corrispondente coefficiente di riflessione è -1. Perciò il segnale si riflette invertendosi. Nell linea b il segnale -V0/2 raggiunge l'estremo 2b che risulta aperto ed il corrispondente coefficiente di riflessione è +1. perciò il segnale si riflette conservandol lo stesso segno. Per 2τl>t>3 τl, nella line a il segnale di ampiezza riflesso (-V0/2) annula la precedente carica portando la tensione a zero. Nella linea b è il segnale riflesso (-V0/2) annulla la carica portando il potenziale della linea b a zero. Intanto sul carico è sempre presente una tensione di ampiezza V0 per τl>t>3 τl.

2R0

Linea Blumlein realizzata con due cavi coassiali.


20

V0

vv(x,t)

1a 2a 1b 2b

0 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ ττττl

2ττττl ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 3ττττl

x

v

v

v

v

x

x

t3ττττl2ττττlττττl

V0

Zc = 2R0

v(x,t)

v(x,t)

v (t)


Fig. 18: Linea Blumlein estesa

DIAGNOSTICA DI UN IMPULSO

Quando si ha un impulso di corrente o di tensione che può essere dovuto ad un fascio di elettroni o di ioni, anche relativistici, non è pensabili musurarne l’intensità o controllarne l’andatemento temporale medinte un comune amperometro. In questo caso abbiamo bisogno di qualcosa più sofisticato e che possa non distruggere il fascio. Per esempio una coppa di Faraday è indicata llla misura ma il suo metodo è distruttivo. Allora è stato inventata un metodo non distruttivo che utilizza l’induzione elettromagnetica, la bobina di Rogowski. Essa non è nient’altro che una bobina toroidale che avvolge il fasci di corrente o di particelle. In figura è riportato uno schema della bobina. I suoi estremi sono chiusi su un resistore molto piccolo per un motivo benpreciso che vedremo di seguito.


21

Secondo lo schema del setup le spire della bobina sono soggette ad un campo magnetico dall legge d….., cioè:

r

IB p

o πµ

2= .

con rr r il raggo medio della bobina. Nella bobina si induce una forza elettromotrice che a sua volta istaura una corrente in esaa e nel resistore.

dt

dI

r

An

dt

df p

o πµ

2=Φ=

avendo indicato con A e n l’area della spira e il numero di spire. Applicando la legge di Kircchoff alla maglia si ha la seguente relazione

RIdt

dILf +=

dove L rappresenta l’induttanza della bobina che vale rAnL o πµ 22=

Pertanto per

RIdt

dILf +=

FASCIO GUIDE D'ONDA Quando i segnali da trasmettere superano la frequenza dei giacigli, allora le linee di trasmissione non garantiscono il successo a causa dei supporti che anche se di materiale isolante assorbono parte del segnale. L'operazione più immediata per superare il problema è di eliminare i supporti ma resta sempre il problema di come

E E

y

ax

- z

Fig. 19: Schema di linea e di guida rettangolare.


22

sostenere i conduttori. Se si reggono i conduttori con altri conduttori la nuova struttura diventa una scatola metallica sicuramente non in grado di reggere un campo elettrico uniforme come nel caso delle linee di trasmissione, ma sotto certe condizione può sopportare campi aventi distribuzioni particolari. Se ipotizziamo un campo elettrico non uniforme ma nullo sulle pareti laterali del tipo; E E k xey x

j t k zz= −0 sin ( )ω (33)

che è un'onda che si propaga lungo l'asse z con velocità di fase vkz

= ω. e ha un campo

nullo sulle pareti laterali. Per questa caratteristica deve essere soddisfatta la relazione; k

xa n= =π π π π, ,2 3 (34)

dove a è la larghezza della guida.

Questo campo presente nella guida deve soddisfare alla divE 0=++=dz

dE

dy

dE

dx

dE poiché

nell’interno della guida non esistono cariche e risulta soddisfatto poiché il campo in esame,

yE , non ha dipendenza da y. Inoltre il campo deve essere soluzione dell’equazione

tridimensionale delle onde,

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2

2

2

2 2

2

2

1E

x

E

y

E

z c

E

ty y y y+ +

+= (35)

Sostituendo la (33) nella (35) e tenendo conto dei possibili valori che possono essere attribuiti kxa, abbiamo

( )kc

naz = −ω π2

2

2

(36)

Conoscendo kz possiamo conoscere la velocità di fase dell’onda. Sempre dalla (36) possiamo determinare la frequenza minima dell’onda che fornisce un vettore d’onda reale e positivo che comporta una propagazione dell’onda lungo l’asse z, detta frequenza critica e cioe’:

ω πc

c

a=

Ricordando che la lunghezza d’onda nel vuoto è λ π ω= 2 c , kz è uguale a

2π λ z con λz la lunghezza d’onda delle oscillazioni lungo la direzione z ed essendo λ0 la

lunghezza d’onda di un’onda di frequenza ω che si propaga nel vuoto, cioè 2πc/ω possiamo dire che

λ λ

λz

na

=−

0

0

2

1 2


23

Si dimostra pure che la (33) è il risultato della somma di due onde piane con vettore di posizione r1 e r2, e costante di fase k1 e k2, che si propagano simmetricamente rispetto all’asse z; cioè: E E t k rr1 01 1= −cos( )ω E E t k r2 02 2 2= −cos( )ω (37) Se r1 ed r2 sono due vettori simmetrici rispetto all’asse z e l’onde hanno uguale costante di fase, la risultante dalle due si propaga ancora lungo l’asse z con modo TE10 ed il campo elettrico è ancora nullo sulle pareti laterali. Per dimostrare questo vediamo come si distribuisce il campo nello spazio delimitato da una delle due onde date.

z

xP'

P K1

zz'

AA'

BX'

X

0ϑϑϑϑ

r1'

r1

Fig. 20: Diagramma di propagazione di un’onda.

Sia P la posizione del punto in cui vogliamo conoscere il campo ed ipotizziamo pure che il vettore di propagazione sia nella stessa direzione del vettore posizione, quindi r1 coincide con k1. Tirando la perpendicolare all’asse z dal punto P e successivamente la perpendicolare al vettore r1 dal punto z dell’asse orizzontale si divide il vettore spostamento in due parti; una parte vale: OA= zcosϑ e l’altra AP= xsinϑ . e quindi lo spostamento vale r x z1 = +sin cosϑ ϑ (38). Si deve dimostrare pure che tutti i punti giacenti sulla retta passante per il punto P e perpendicolare al vettore k1 devono dare lo stesso risultato sulla variazione della fase. Infatti, scegliendo un nuovo punto di osservazione P’ avente coordinate x’ e z’, il valore z' cosϑ taglia il segmento r1 in un punto la cui parte restante è proprio , cioè BP’= A’P= x'sinϑ . Allora ponendo: r x z1 = +sin cosϑ ϑ e r x z2 = − +sin cosϑ ϑ (39) e sostituendo le (39) nelle (37) la somma dei due campi diviene:


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( )[ ] ( )[ ]E E t k x z E t k x z= − + + − − +01 1 02 2cos sin cos cos sin cosω θ θ ω θ θ

Ponendo k1=k2, kx=k1 senθ e kz=k1 cosθ e ricordando le formule di trigonometria

2cos

2cos2coscos

BABABA

+−=+ , si ottiene un campo simile a quello rappresentato

dalla (33); E E k x t k zx z= −2 01 cos cos( )ω

r1

r2

z

x

ϑϑϑϑϑϑϑϑ

Fig. 21: Esempio di interferenza di due campi simmetrici.

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