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Lineare Algebra I

Prof. Christian Okonek

HS 2011

Vorlesungsnotizen von Gideon Villiger

Aufbau:

1. Logische Grundbegriffe, Mengen, Relationen, Abbildungen

2. Natürliche Zahlen

3. Aufbau der Zahlensysteme

4. Moduln, lineare Abbildungen

5. Erzeugendensysteme, Freiheit, Basis, Rang

L i n e a r e A l g e b r a 1 S e i t e | 1

20.09.2011

1. Logische Grundbegriffe, Mengen, Relationen, Abbildungen

logische Zeichen Bedeutung

Aus Aussage A folgt B

Aussage A ist gleichwertig mit B

nicht A

und

oder

( ) es existiert (genau ein)

es existiert nicht

für alle

A gilt definitionsgemäss genau dann, wenn B gilt

Zeichen der Mengenlehre Bedeutung

x ist Element der Menge M

x ist nicht Element der Menge M

leere Menge ( )

N ist Teilmenge von M ( )

N ist definitionsgemäss = M ( )

Durchschnitt ( { ∣ }

Vereinigung ( ( ))

Differenzmenge ( { ∣ })

( ) Potenzmenge ( ( ) { ∣ })

Bsp.: { }

( ) { { } { } { } { } { } { } { }}

Naiver Standpunkt:

Mengen: Cantor (1895): Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohl

unterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.

Mathematische Präzision: Axiomensysteme

Beschreibung von Mengen: { }

- Aufzählungen: { }

- Aussondern: M sei Menge, E Eigenschaft, die auf Elemente der Menge M zutreffen kann oder

eben nicht: { ∣ }

Bsp.: { ∣ } { }

Def.: zwei Mengen M, N, , geordnetes Paar ( )

( ) ( ) ( )

{ ( ) ∣∣ } = Menge der geordneten Paare


22.09.2011

Russelsche Antinomie:

- Freg’sches Comprehensionsaxiom: Zu jeder Eigenschaft von Mengen existiert die Menge

{ | }

- Russell (1901) bemerkt: dieses Axiom führt zu Widersprüchen. R sei die Eigenschaft von

Mengen: x x (die Menge x enthält sich selbst nicht als Element).

- Frege: Menge { | }

Wenn existiert als Menge, hat die Eigenschaft R oder nicht:

o „ja“:

o „nein“:

Relationen:

Def.: Sei M eine Menge. Eine Relation auf M ist eine Teilmenge .

( )

Bsp.: W = Menge aller englischen Worte

{( ) | a en en ei en n an a en }

z.B. (all, at)

Def.: Eine Relation (R auf M kreuz M) heisst:

- reflexiv ( )

- symmetrisch ( i : a a )

- transitiv ( i : a n )

- antisymmetrisch ( i : a n i : )

Def.: Eine Relation heisst Äquivalenzrelation : R ist reflexiv, symmetrisch, transitiv

Bsp.: Die e a i n „ ei er n an a e“ a er Men e er en i en Wör er i eine

Äquivalenzrelation.

Bew.: 1. reflexiv (jedes Wort hat den gleichen Anfangsbuchstaben (A) wie es selbst)

2. symmetrisch: wenn A(W1) = A(W2), so gilt es auch umgekehrt.

3. transitiv: wenn A(W1) = A(W2) und A(W2) = A(W3), dann gilt: A(W1) = A(W3)

4. antisymmetrisch: NEIN: (all, at)

Def.: Sei Äquivalenzrelation: ( )

[ ] { | } Äquivalenzklasse zu x

ein Element y aus der Äquivalenzklasse von x ( [ ] ) heisst ein Repräsentant von [ ] .

Bsp.: [ ] { ∣∣ }

Lem.: Sei eine Äquivalenzrelation. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

i)

ii) [ ]

iii) [ ] [ ]

iv) [ ] [ ]

Bew.: Beweisidee: i) ii) iii) iv) i)

- i) ii): [ ]


- ii) iii): Sei [ ] ei [ ] e ie i [ ]

Da [ ] e ie i ar [ ] [ ]

bleibt zu zeigen, dass [ ] [ ]

Beweis durch Widerspruch:

Angenommen [ ] [ ] [ ] [ ]

( ) er:

[ ]

Annahme war falsch, d.h. [ ] [ ]

- iii) iv): [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

- iv) i): ei [ ] [ ] [ ] [ ]

.

Bem.: Ist R eine Äquivalenzrelation auf M, so definiert R eine Zerlegung von M in paarweise

disjunkte Teilmengen (die Äquivalenzklassen). Zwei Äquivalenzklassen schneiden sich gar

nicht, oder sie sind gleich.

Bsp.: {( )| era e}

R zerlegt in 2 Äquivalenzklassen:

[ ] { | era e}

[ ] { |n n era e}

Def.: Eine Relation heisst Ordnungsrelation : R ist reflexiv, antisymmetrisch,

transitiv

Bsp.: ( ) { ei en e}

Ordnungsrelation auf P(M): ( ) ( ) { ( ) ∣∣ }

Beh.: R ist Ordnungsrelation auf P(M).

Bew.:

1) reflexiv: i

2) antisymmetrisch:

3) transitiv:

Def.: Eine Ordnungsrelation heisst linear : i : er

Bsp.: {( ) | }

= lineare Ordnungsrelation, d.h. es sind je zwei Elemente vergleichbar.

Bem.: I.A. ist die Ordnungsrelation ( ) ( ) nicht linear.

Bsp.: { } ( ) { { } { } { } { } { } { } { }}

{ } { }

( ) n ( ) i ni inear


27.09.2011

EXKURS 1

Def.: { ( ) ∣∣ } Menge aller n-Tupel

Def.: ( ) ( )

Not.: ist ein Punkt in

ist i-te Komponente von x

geometrische Deutung:

: Zahlengerade

: Zahlenebene

Addition (komponentenweise)

( ) mit ( )

Skalarmultiplikation (komponentenweise)

( ) , woei ( )

Prop.: (Rechenregeln für +, )

Seien . Dann gilt:

i) ( ) ( )

ii)

iii) ( ) ( )

iv)

v) ( ) ( )

vi)

Bew.: z.B. v)

( ) ( ) ( ( ) ( ))

( )

Def.:

{ ∣ }

Bem.: , weil

t heisst Parameter von

Def.: heisst Gerade , sodass

Bem.: heisst Parameterdarstellung von der Geraden G. G ist eindeutig bestimmt

durch (nicht umgekehrt)

Prop.: Sei . Dann gilt:

i)

ii) { } mit


Bew.: „ “

i) , da

ii)

( ) ( ) ( )

mit , denn sonst .

„⇐“

aus i) folgt:

Sei mit ( )

( )

(

)

Bem.: , darum lässt sich die Gerade auch beschreiben als

Prop.: Gerade mit

Bew.: „E i en “:

definiere ( ) mit

„Ein e i kei “:

Annahme: mit

dann: , da

wollen noch zeigen: { } mit

, sodass

und

mit , da

⏟

⏟

Prop: (Gleichungen für Geraden in der Ebene)

Sei Gerade: ( ) ( ) mit

{ ( ) ∣∣ }

Bew.: G Gerade Parameterdarstellung: mit ( ) ( ) ( )

Setze:

{ ( ) ∣∣ }

Wollen zeigen:

„ “: ei , sodass ( ) ( )

( ) ( )

„ “: ei

( ) ( ).

Wir wissen: ( ) ( ):

1. Fall: :

( ) ( ) ( ) ( )

2. Fall: :

⇒

Bem.: Geraden in lassen sich durch lineare Gleichungen beschreiben. Jeweils 2 solcher

Gleichungen haben 0,1 oder Lösungen.


Das innere Produkt:

Def.: lineares Produkt (od. kanonisches Skalarprodukt):

⟨ ⟩ ∑

Prop.: gilt:

i) ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

ii) ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

iii) ⟨ ⟩ und ⟨ ⟩

Bew.: z.B. iii)

⟨ ⟩ ∑

Def.: Norm von x:

‖ ‖ √⟨ ⟩

Def.: Distanz von x,y

( ) ‖ ‖

Prop.:

i) ‖ ‖

‖ ‖

‖ ‖ | |‖ ‖

ii) ( )

( )

( ) ( )

iii) ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ⟨ ⟩ (Satz des Pythagoras)

iv) ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ (Parallelogrammgleichung)

Bew.:

iii) ‖ ‖ √⟨ ⟩ ∑ ( )

∑

∑

∑

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ √⟨ ⟩ √⟨ ⟩

⟨ ⟩ ‖ ‖ ‖ ‖ ⟨ ⟩

iv) ‖ ‖ ‖ ‖ √⟨ ⟩ √⟨ ⟩

∑ (( ) ( )

) ∑

∑

√⟨ ⟩ √⟨ ⟩

‖ ‖ ‖ ‖

Prop.: Cauchy-Schwarz-Ungleichung

i) |⟨ ⟩| ‖ ‖ ‖ ‖

ii) |⟨ ⟩| ‖ ‖ ‖ ‖ für

(x und y sind linear unabhängig)

Bew.:

i) 1. Fall: beide Seiten = 0

2. Fall: . Setze ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

⟨ ⟩ ∑ ( )

∑ ( ( ) ( ))

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩


( ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ) (‖ ‖ ‖ ‖ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ )

(‖ ‖ ‖ ‖ ⟨ ⟩ ) |⟨ ⟩| ‖ ‖ ‖ ‖

ii) „ “ ‖ ‖

„⇐“ e e

29.09.2011

Bem.: {( )} { }

Kor.: Dreiecksungleichung:

i) ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

ii) ( ) ( ) ( )

Bew.:

i) ‖ ‖ ⟨ ⟩ ‖ ‖ ⟨ ⟩ ‖ ‖

‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖ (‖ ‖ ‖ ‖)

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

ii) ( ) ‖ ‖ ‖ ( )‖

)

‖ ‖ ‖ ‖

( ) ( )

Veranschaulichung:

Norm: Dreiecksungleichung:

Exkurs Analysis: Kosinus

Fakt: (

)

Def.: (

)

= eulersche Zahl

Fakt: (∑( )

( ) ) ( )

Def.: ( ) ∑( )

( )

Eigenschaften: cos ist eine nicht-konstante, periodische Abbildung, d.h. es gibt ein kleinstes

mit ( ) ( ).

Def.: Mit diesem definiert man als:

Fakten:

1) Sei , dann gilt: , d.h. der Graph cos in der x-y-

Koordinatenebene ist spiegelsymmetrisch um die Gerade gegen .

2) cos eingeschränkt auf [ ] ist streng monoton fallend und eingeschränkt auf [ ] streng

monoton steigend.

‖𝑥‖ 𝑥 (𝑥 𝑥 )

𝑥

𝑥

𝑑(𝑥 𝑦) 𝑥

𝑦


3) cos ist stetig

4) ( ) [ ]

5) cos induziert eine umkehrbare Funktion [ ] [ ] ( )

Def.: Die Umkehrfunktion von f (nicht cos!) ist arccos,

[ ] [ ] ( )

Bem.: { } ⇒

⟨ ⟩

‖ ‖‖ ‖

daher: [ ] ( ) ( ) ⟨ ⟩

‖ ‖‖ ‖

Def.: ⟨ ⟩

‖ ‖‖ ‖ heisst der Winkel (bzw. das Winkelmass des Winkels)

zu { } [ ] ( )

Veranschaulichung:

Lem.: { }

i) ( ) ( )

ii) ⟨ ⟩ ‖ ‖‖ ‖ ( ( ))

iii) ( ) ( )

iv) ( ) ( )

v) ( ) { } { }

Def.: ⟨ ⟩ { }

Bem.: { }

i)

ii) ( )

Def.: Sei eine Gerade und , dann definieren wir:

( )

Veranschaulichung:

Bem.: Sei mit eine Parameterdarstellung und , dann gilt:

.

𝑦

𝑥 𝜃

𝜃

𝑔

𝑣 𝑣 𝑣

𝑣 𝒙


Bew.: „ “: Seien beliebig kann schreiben: für { }

( ) ⇒

„⇐“: ⟨ ⟩ ( ) ⟨ ⟩ ⟨ ( ) ⟩ ⟨ ⟩

Bem.: Sei { ( ) ∣∣ } mit und ( ) ( ). Dann gilt:

( ) .

Lem.: Sei eine Gerade und , dann:

( ( ) ( ))

Bew.: Parameterdarstellung: mit

Vorüberlegungen: nehmen an, mit )

( )

( ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ‖ ‖ )

( ⟨ ⟩

‖ ‖

„Existenz:“ e e ⟨ ⟩

‖ ‖

Dann gilt: , weiter: ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

‖ ‖ ⟨ ⟩

„Eindeutigkeit“: ei beliebig mit . Dann folgt aus den

Vorüberlegungen:

„Minimierungseigenschaft“: ei beliebig

⟨ ⟩ ⟨ ( )⟩ ⟨ ( ) ⟩

( ) ⟨ ⟩⏟

also: ‖( ) ( )‖

‖ ‖ ‖ ‖ ⟨ ⟩⏞

‖ ‖

Insgesamt: ( ) ( ). Umkehrrichtung ähnlich.

Veranschaulichung:

Problem: Gerade : kann man g auch für durch (lineare/affine) Gleichungen

beschreiben?

Bsp.: . Sei eine Gerade mit ( ) und ( )

Betrachte { ( ) ∣∣ } für gewisse

Frage: Kann man so wählen, dass die Gerade ?

1.) : ( ) ( ) , also müsste gelten:

𝑔

𝑥

𝑦 𝑦

𝑑(𝑥 𝑦)


2.) : ist { ( )

∣∣ } für gewisse a,b

…re nen… als zwingende Bedingung

Aber ( ) . aber wäre ( ) , so müsste:

( ) ( ) ( )

also

Gerade im nicht durch eine affine Gleichung beschreibbar.

Bem.:

i) Vielleicht geht es mit mehr als einer Gleichung.

ii) Was ist geometrisch der Ort im definiert durch eine Gleichung?

iii) Ebene, Parameterdarstellung von Ebene

04.10.2011

Def.: Seien M,N Mengen. Eine Abbildung ist eine Vorschrift, die jedem genau ein

zuordnet:

( )

Präzisierung: Eine Abbildung von M nach N ist eine Teilmenge mit folgender Eigenschaft:

( )

Not.: statt ( ) statt ( )

Def.: Ist gegeben, so ist { ( ) ∣∣ ( ) } der Graph von .

Bem.: Sind Abbildungen, so gilt: ( ( ) ( ))

Bew.: Zu zeigen ist: Sind die jeweiligen Graphen zu , so gilt:

( ( ) ( ))

Def.: ( ) { ∣ } ist die Menge aller Abbildungen von M nach N.

Bsp.: Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung ( )

( ) ( ) , wobei

Not.: geschrieben als

Dabei ist M Definitionsbereich, N Wertebereich der Abbildung, Abbildungsvorschrift

Def.: Sei eine Abbildung, seien Teilmengen:

( ) { ∣∣ ( ) } heisst das Bild von A unter .

Def.: ( ) { ∣∣ ( ) } heisst das Urbild von B unter .

𝑁

𝑀 𝑥

𝑦 (𝑥 𝑦)

Φ 𝑁

𝑀 𝑥

Φ 𝑁

𝑀 𝑥

Φ

(𝑥 𝑦 )

(𝑥 𝑦 )

(𝑥 𝑦 )

𝑁

𝑀 𝐴

𝜑(𝐴)


speziell: { }. Dann heisst ({ }) Faser von über b: ({ }) { ∣∣ ( ) }

Notationsmissbrauch: ( ) statt ({ })

Def.: eine Abbildung heisst:

i) injektiv ( ( ) ( ) )

ii) surjektiv ( ( ) )

iii) bijektiv injektiv und surjektiv

Bem.: Eine Abbildung

- ist injektiv jede Faser enthält höchstens ein Element

- ist surjektiv keine Faser ist leer

- ist bijektiv jede Faser nethält genau ein Element

Bsp.:

Komposition von Abbildungen: Seien und Abbildungen:

mit ( )( ) ( ( )) .

heisst Komposition von mit .

Die Komposition wird definiert durch die Menge

{ ( ) ∣∣ ( ) ( ) }

überprüfen: diese Teilmenge in definiert eine Abbildung von M nach P

( ) ( ( ))

Lem.: Eine Abb. ist bijektiv ( )

Bew.: „ “: bijektiv ( ( ) )

Definiere durch ( ) , wenn x das eindeutig bestimmte Element ist mit

( ) . Dann ist eine Abbildung, und es gilt:

i) ( )( ) ( ( )) ( ) , also:

ii) ( )( ) ( ( )) ( ) , also:

injektiv surjektiv

nein nein (Faser von -2 ist z.B. = )

nein ja

ja nein

ja ja

𝑁

𝑀

𝐴

𝜑 ({𝑏})

𝜑

𝑀 (Torus) 𝑁 (Kreis)

𝜑

𝑏

Faser über b

𝑀 𝑁 𝑃 𝜑 𝜓

𝜓 𝜑


„⇐“: ei Umkehrabbildung von :

i) „ injek iv“: Seien mit ( ) ( ).

Dann gilt: ( ( )) ( )

( ( )) (

) injektiv

ii) „ rjek iv“: ei beliebig. Sei ( )

Dann gilt: ( ) ( ( )) ( )( ) ( )

Bem.: Wenn zu eine Umkehrabbildung existiert (

), so ist die

Umkehrabbildung eindeutig bestimmt durch .

Not.: ist die Umkehrabbildung.

2. Natürliche Zahlen

R. Dedekind: Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes; sie dienen als ein Mittel,

um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen.

Def.: Eine Menge U heisst unendlich Abbildung , die injektiv ist, aber nicht

surjektiv

Eine Menge E heisst endlich E nicht unendlich

Schubfachprinzip: Inhaltliche Bedeutung von Dedekinds Definition von endlichen Mengen ist das

„Schubfachprinzip“: en n Ge en än e a ä er ver ei er en a in

jedem Schubfach höchstens ein Gegenstand liegt, so muss sein. Ist , so liegt in

jedem Schubfach genau ein Gegenstand.

mathematische Präzisierung: Injektive Selbstabbildungen endlicher Mengen sind bijektiv.

06.10.2011

Prop.: In jeder unendlichen Menge U gibt es eine Teilmenge N mit einem ausgezeichneten Element

, und eine Abbildung , so dass gilt:

1) S ist injektiv

2) ( ) (S nicht surjektiv)

3) ist ( ) , so gilt: (Peano-Bedingung)

Bew.: Sei U beliebige unendliche Menge injektiv mit ( )

mit ( )

{ ∣∣ ( ) } , weil

⋂ , definiere , definiere durch ( ) ( )

Beh.: ( ) erfüllt 1), 2), 3)

Bew.: „1)“: ei ( ) ( ) ( ) ( ) (da injektiv)

„2)“: ( ), da ( ) und ( ) ( )

„3)“: ei ( )

Konstruktion ist abhängig von Wahl von ( ).

Def.: Ein Tripel ( ) heisst Modell für die natürlichen Zahlen ) ) sind erfüllt.

Bedeutung: N = Modell für natürliche Zahlen, , S = mengentheoretische Beschreibung des

Zählens: S ordnet jeder natürlichen Zahl ihren Nachfolger ( ) zu.

1) trifft man beim Zählen zweimal auf die gleiche Zahl, so hat man sich verzählt.

2) 0 ist Ausgangspunkt des Zählens, wird aber nie erreicht.


3) Prinzip der vollständigen Induktion

Prop.: Prinzip der vollständigen Induktion

Um eine Aussage ( ) für alle natürlichen Zahlen zu beweisen, genügt es zu zeigen:

I) ( ) ist wahr (Induktionsbeginn)

II) Wenn ( ) wahr ist für irgendein (Induktionsvoraussetzung), so ist ( ( )) wahr

(Induktionsschluss).

Bew.: (mit der Peano-Bedingung)

{ ∣ ( ) }

i) wegen )

ii) ( ) wegen )

Peano-Bedingung ( ) ist wahr für alle .

Beh.: Alle Pferde haben die gleiche Farbe.

Beweis durch Induktion:

A(n): in jeder Menge von n Pferden haben alle die gleiche Farbe.

i) ( ): √ (bei jeder Menge von 0 Pferden haben alle die gleiche Farbe)

ii) ( ) ( ) Sei { } eine Menge von Pferden:

Nehme ich aus dieser Menge ein Pferd raus, und betrachte die Menge der

restlichen n Pferde. Die haben nach Induktionsvoraussetzung alle die gleiche

Farbe. Tue ich es wieder rein, und nehme das nächste raus, dann haben immer

noch alle die gleiche Farbe. (!) Funktioniert nicht für !

Bem.: Die Konstruktion der Modelle ( ) hing von willkürlichen Wahlen ( ) ab. Wollen

zeigen, dass es im Wesentlichen eindeutig ist.

Theorem: Dedekind’scher Rekursionssatz (wird evtl. später bewiesen)

Sei A Menge, .

Ist ( ) ein Modell natürlicher Zahlen, so

( ) ( ( )) ( ( ))

Kor.: „Ein i kei “

Seien ( ) und ( ) zwei Modelle der natürlichen Zahlen. Es gibt genau eine

bijektive Abbildung mit ( ) und ( ( )) ( ( )) .

Bew.: Wende D. Rekursionssatz an auf

⇒ Abbildung mit ( ) und ( ( )) ( ( ))

Beh.: ist bijektiv

Bew.: Vertausche Rollen von ( ) und ( ). Konkret:

. Wende den D.R. an auf das Modell ( )

Abb mit ( ) ( ( )) ( ( ))

Betrachte . Es gilt:

i) ( )( ) ( ( )) ( )

ii) ( )( ( )) ( ( ( )) ( ( ( ))) ( ( ( ))

(( )( ))


Weil aber auch erfüllt: i) ( ) , ii) ( ( )) ( ( ))

Eindeutigkeitsaussage im DR (mit ) liefert

Analog beweist man:

⇒ bijektiv ( Umkehrabbildung)

Bem.: Je zwei Modelle ( ) und ( ) natürlicher Zahlen sind kanonisch äquivalent.

Ab jetzt übliche Bezeichnungen: ( ), S Nachfolgerfunktion

Def.: Sei eine Verknüpfung auf M ist eine Abbildung

Not.: ( )

Def.: Eine Verknüpfung heisst:

i) assoziativ ( ) ( )

ii) kommutativ

Bsp.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(Komposition von Selbstabbildungen)

( )( ) ( ( ))

Beh.: ist assoziativ

Bew.: [z.z..: sind ( ), so gilt: ( ) ( )]

gilt: (( ) ))( ) ( )( ( )) ( ( ( ))) (( )( ))

( ( ))( )

Bem.: Komposition von Selbstabbildungen ist im Allgemeinen nicht kommutativ:

z.B.: ( )

Beh.:

Bew.: ( )( ) ( )

( )( )

Def.: Sei eine Verknüpfung auf

( ) heisst Halbgruppe ist assoziativ

( ) heisst kommutative Halbgruppe ist assoziativ und kommutativ

heisst neutrales Element ( )

Bsp.: ist neutrales Element in der Halbgruppe ( ( ) )

Bem.: In einer Halbgruppe gibt es höchstens ein neutrales Element.

Bew.: Sind neutral, so gilt:

Prop.: Addition auf

Auf gibt es genau eine Verknüpfung

mit ( ) ( ) ,

die ( ) zu einer kommutativen Halbgruppe mit neutralem Element 0 macht.

Lem.: Kürzungsregel

Sind natürliche Zahlen mit , so gilt: .

Bew.: (Induktion über k)

( ): Sind mit , so gilt: .


I) „ ( ) ri i “: , weil 0 neutrales Element ist.

II) „ ( ) ( )“:

( ) ( )

( ) ( ) (komm.)

( ) ( ) (assoz.)

( )⇒ ( ) ( )

da Nachfolgerfunktion injektiv ist, folgt daraus, dass .

11.10.2011

Lem.: Sei { }. Dann mit

Bew.: { } { { } ∣∣ }

i) √

ii)

o

o ( )

Prop.: Multiplikation in : Auf gibt es genau eine Verknüpfung : mit folgenden

Eigenschaften:

i) und ( ) ( ) ,

ii) ( ) ( ) , (assoziativ)

iii) (kommutativ)

iv) ( ) ( ) ( ), (distributiv)

Vereinbarung: bindet stärker als +

Def.: Seien .

Prop.: Die e a i n ≤ e inier eine lineare Ordnung auf .

Bew.:

1) „re e iv“:

2) „ ran i iv“:

( ) ( )

3) „an i e ri “:

( ) ⇒

Beh.:

Bew.: Wenn nicht, dann OE (ohne Einschränkung)

( ) ( ) , da 0 kein Nachfolger

4) „ inear“:

Definiere { | }

Beweis mit vollständiger Induktion:

i) da

ii) Beh.: ( )

Bew: Sei


a) , so m=n ≤n≤n+1

n+1 M I k≠ 0

( ) ( )

b)

Peano-Bedingung M=

Lem.: Die Or n n re a i n ≤ i n n e ü i . ( )

Bezeichnungen:

i)

ii)

Lem.: Kürzungsregel für Multiplikation:

Seien mit . Dann gilt oder .

Bew.: Sei (z.z.: )

er

i

( )

Kürzungsregel Addition Wegen i

Wäre , so ( )( )

( )

Def.: Eine Menge M ist endlich M ist nicht unendlich.

Def.: , { | }

Bsp.: { }

Lem.: i) { }

ii) ist endlich

Def.: Zwei Mengen M, N heissen gleichmächtig : bijektive Abbildung

Lem.: und sind gleichmächtig

Bew.: “⇐ „: ,

„ “: ist linear geordnet OE (ohne Einschränkung)

Sei ijek iv

weil , gilt

Sei

ϕ‘ i injektive Selbstabbildung von bijektiv, weil endlich (Schubfachprinzip)

( ) andererseits ( )

obligatorisch

Def.: Sei M eine Menge: Wenn es gibt mit M und gleichmächtig sind, so sagen wir M

hat die Mächtigkeit .

Bem.: Diese Definition ist problematisch!: Ist eine Bijektion, so | | .

Ist eine Bijektion, so | |

Muss beweisen: , d.h. | | ist wohldefiniert.

U „Wohldefiniertheit“ v n |M| ( ür en i e Men en) e ei en i ei en:

Sind und Bijektionen, so gilt .


(Diagramm kommutiert)

i a i i n v n ijek iven i n en ijek iv

und in ei ä i ⇒

Notation: | | a Bijektion .

Def.: Sei ( ) eine geordnete Menge (beliebige Ordnungsrelation). Ein Element heisst

minimales Element von ( ) gilt: falls , so ist

(d.h.: ).

Bem.: minimale Elemente existieren nicht immer, und wenn sie existieren, müssen sie nicht

eindeutig sein.

Prop.: Wohlordnungssatz

Jede nicht-leere Teilmenge e i ein ini a e E e en ( e ≤)

Bew.:

( ): Wenn , so besitzt M ein minimales Element.

I) ( ) ist wahr: i ini a ür ≤

II) ( ) ( ):

{ ( ( )) e i ini a e E e en

{ } i ini a e E e en v n M

Prinzip der v.I. ( ) richtig .

Ist nicht leere Teilmenge, so

( )⇒ M e i ini a e E e en e

Def.:

i) Eine Menge M heisst abzählbar : Bijektion ( sind gleichmächtig).

ii) Eine Menge M heisst überabzählbar : M ist weder endlich noch abzählbar.

Prop.: ( ) ist überabzählbar:

Bew.:

i) Potenzmenge von M nicht endlich:

{ } ( )

Definiere Abbildung ( ) ( ) ({ }) { } ( ) { }

ist injektiv, nicht surjektiv, da { } ( ( )) ( ) ist nicht endlich.

ii) Potenzmenge von M nicht abzählbar:

Wäre ( ) abzählbar, so gäbe es eine Bijektion ( ); insbesondere wäre ψ

surjektiv.

Betrachte Menge { | ( )} ( )

ψ rjek iv i ( ) Frage: ?

- „ja“: ( ) ( )

- „nein“: ( ) ( )

surjektive Abbildung ( ).

𝑚 𝑀 𝑁 𝑛 𝜑 𝜓

𝜓 𝜑


13.10.2011

Bem.: Man kann (leicht) zeigen:

i) M unendlich injektive Abbildung

ii) M endlich i | |

Def.: Sei . Eine Familie (von Elementen) in M mit Indexmenge ist eine Abbildung

.

Not.: ( ) ist Abkürzung für ( )

speziell:

i) { } ( ) ( ) (n-Tupel in M)

konkret: 2-Tupel ( ) sind geordnete Paare

II) ( ) sind Folgen in M

Def.: Sei

{( ) | } Produkt(menge) zu der Familie von Mengen ( )

konkret: { }, { }

formal: ( ) sind Abbildungen mit ( )

speziell: : ( )

Not.: { } { } { }

({ } )

konkret : {( )| }

Bsp1: {( )| }

Bsp2: {( )| }

Theorem: Dedekind’scher Rekursionssatz (allgemeine Version):

Sei A eine Menge, . Sei ( ) eine Folge von Selbstabbildungen .

( ) ( ) ( ( ))

U r n e De ekin ’ en ek r i n a e :

Sei A Menge mit (ausgezeichnetem Element) .

Sei ( ) eine Folge von Abbildungen .

e ( ) in i : ( )

Zusammenhang: ( )

Bem.: ist erlaubt man erhält alte spezielle Version.

q-adische Darstellung (natürlicher Zahlen):

Lem.: (Division mit Rest): Sei , { }. Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen

mit mit:

Bew.:

i) „E i en :“ In k i n ü er n:

1. ( ):

2. ( ) ( ):

2 Möglichkeiten:


1. : ( )

2. : ( )

ii) „Ein e i kei “: ei ,

z.z.:

OE ( linear geordnet)

( )

1. Fall:

2. Fall:

Def.: Sei { } . Dann definieren wir rekursiv (induktiv)

(Bitte formalisieren mit allg. De ekin ’ en ek r i n a )

Prop.: q-adische Darstellung natürlicher Zahlen: Sei { }

{ } ( ) ( )

, so dass:

Not.: ( )

Bsp.:

i) ( e ner e ) ( )

{ }

konkret: ( )

ii) q = 2 (Dualsystem): ( )

{ }

konkret: ( ) ( )

( )

Bew.: „E i en “: Induktion / n

I) „ (1)“: 1 = 1 ( )

II) „ (n) A(n+1)“: (Division durch q mit Rest)

;

( )

( ( )) { }

( )

„Ein e i kei “: ei

, wobei

{ }

(z.z.: )

OE ( ) (

) er

Eindeutigkeit bei Division durch q mit Rest er

(

) oder m = 0.


Induktion / m ( ) ( )

oder ( ) ( )

oder (Eindeutigkeit bei DR)

Eindeutigkeit.

Zwischenbem.:

{ }

{ }

( )

Bsp.: ( ) ( )

( ) (( ) )

18.10.11

EXKURS 2

kurze Wiederholung:

- {( )| } n-dim. reelle Raum

- ( ) heissen Vektoren

- || || √

Norm von x bzw. Abstand vom Nullpunkt zum Punkt x

- ( ) Abstand von x zu y

- ⟨ ⟩ ∑ inneres Produkt von x und y

- ( ) (⟨ ⟩

|| |||| ||)

- heissen orthogonal ⟨ ⟩ ( )

-

- im : ⏟ ( )

{ | ⟨ ⟩ ⏟ ( )

} ( ) ( )

{ | }

(1) = bilde Menge aller Vielfachen von w, verschiebe diese nach v

(2) = bilde Menge aller Vektoren orthogonal zu a, verschiebe diese nach v

Ebenen im :

Analogie zu Geraden im

Bilde Menge aller Linearkombinationen , verschiebe diese Menge nach v,

Problem: Gerade

also: verlangen ,

Def.: heissen linear unabhängig

sind mit n

Lem.: linear unabhängig

Bew.: „ “ ( ) i


„⇐“ ( )

( )

Def.: Ebene

mit linear unabhängig und

Prop.:

i) E ene

ii) h Ebene, i inear na än i

( ) ( )

iii) , so dass Gerade g mit mit , nämlich

( ) ( )

iv) E ene ( ) mit

{ ( ) ∣∣ }

Bew. iv): { | ⟨ ⟩ }

„⇐“ Sei {( ) | }

eine Komponente ungleich 0; wir behandeln den Fall

(

) (

) (

)

z.z.:

„ “: ei (

) (

) (

)

(

)

⟨ ⟩ (

)

„ “: setze

(

)

„ “: Sei umgekehrt . Setze n ⟨ ⟩

Definiere { | }

„ “ ei

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

„ “: a ⇐ und ii).

Bemerkung/Beispiel:

i) {( ) ∣ ⏟

⟨ ⟩

⏟⟨ ⟩

}

⟨ ⟩

{ | ⟨ ⟩ ⟨ ⟩} { | ⟨ ⟩ }

ii) ( ) ( ) ( )

gesucht: mit

⟨ ⟩

⟨ ⟩

wähle


⟨ ⟩ ( ) ( )( )

{ | }

iii) n

⟨ ⟩

⟨ ⟩

(

) eine ö n

heisst Vek r r k v n n ‘

Def.: Vektorprodukt

( )

heisst Vektorprodukt von v und w

Lem.:

i) ( ) ( )

ii) ( ) ( ) ( )

iii) ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

iv)

v) ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ⟨ ⟩

vi) inear a än i

Def.: E enen

ür a e

Bem.: h gegeben durch { | ⟨ ⟩ } , denn:

⟨ ⟩⏟

⟨ ⟩⏟

⟨ ⟩⏟

Lem.:

i) i n e i ( ) ( ) ür a e , d.h. der orthogonale

Abstand ist der Kürzeste.

ii) Ist h gegeben durch { | ⟨ ⟩ }

in ( ) ( ) ( )

|⟨ ⟩ |

‖ ‖

Bew.:

i) { | ⟨ ⟩ } ⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

⟨ ⟩ ⟨ ⟩

( ) ‖ ‖ ‖ ‖

‖ ‖ ⟨ ⟩ ‖ ‖

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ( )

ii) ( ) ‖ ‖ | |‖ ‖ ⟨ ⟩

‖ ‖

20.10.2011

Wiederholung:

- E ene i inear na än i

-

- im {( ) | } {

| ⟨ ⟩ }


, z.B.

d.h. Ebenen im sind durch lineare Gleichungen beschreibbar.

Prop.: Gera e E enen i

Bew.:

Ansatz: ( )

Beh.: sind linear unabhängig:

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ‖ ‖

⟨ ⟩ ‖ ‖

Beh.:

Bew.: na n r k i n

( )

( )

⟨ ⟩ ( )⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ‖ ‖

( )⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

noch zu zeigen: Gegeben

i

falls (

)

(falls (

)

(

))

erfüllen alle die Eigenschaften

Def.: Hyperebene

( ) mit

{( ) | }

Bsp.: Geraden im , Ebenen im ,

Gerade ist keine Hyperebene, aber Schnitt von zwei Hyperebenen, d.h. durch zwei lineare

Gleichungen beschreibbar.

Def.: heisst linearer Unterraum

ere enen i ⋂ er

Bsp.: Seien { | } { | }

zwei Ebenen:

)

)

) )

Setze

d.h. ( ) ( ) Gerade

Bemerkung: L linearer Unterraum,

( ) ( )

denn: ⋂

definiert durch ⟨ ⟩


⟨ ( ) ( )⟩

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Prop.: Lineare Unterräume im , Ebenen, Geraden, Punkte

Bew.:

i) , Ebenen, Geraden, Punkte sind lineare Unterräume

klar für (Def.), Ebenen (sind Hyperebenen), bewiesen für Geraden

für Punkte: , wähle ür

Beh.: { }

„ “: na n r k i n

„ “:

( )

( )

( )

⟨ ⟩ ( )⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ‖ ‖

( )⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

⟨ ⟩ ( )⟨ ⟩ ‖ ‖

( )⟨ ⟩

e

ii) L linearer Unterraum Ebene, Gerade, Punkt

wenn L = Punkt, Gerade, oder Ebene, sind wir fertig.

Nehme an: L kein Punkt, keine Gerade, und keine Ebene

z.z.:

(da L kein Punkt)

Gerade g mit , nämlich ( )

⇒ ( )

da L keine Gerade ist folgt:

Ebene h mit , nämlich ( ) ( )

( und linear unabhängig, da angenommen

( ) ( ) ( ) ( )

es gilt: , sonst

( ) zu

⇒ ( ) ( )

Sei h definiert durch ⟨ ⟩

Sei beliebig. , d.h. ⟨ ⟩ , d.h. ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

( ) mit ⟨ ⟩

⟨ ⟩ erfüllt

⟨ ( )⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

( ) ( ) ( ) ( )

⇒


abschliessende Bemerkung: Analytische Geometrie: Untersuchung geometrischer Verhältnisse

( an Winke …) inearer Un errä e i ( ⟨ ⟩).

analytisch = rechnerisch behandelbar – nach Wahl von Koordinaten ( ) – durch

Gleichungen der Form

( ) ∑

besser: lineare Geometrie, historisch einer der Ausgangspunkte der linearen Algebra.

25.10.2011

3. Aufbau der Zahlensysteme

Def.: Sei ( ) Halbgruppe. Sei neutrales Element, beliebig. Ein heisst

Inverses von a ( n ).

Bem.: Zu gegebenem existiert höchstens ein Inverses. Denn: sind invers zu a, so gilt

( ) ( )

Not.:

Bsp.: Sei , ( ), ( ) ( ) ist Halbgruppe,

ist neutrales Element. Welche ( ) haben Inverse?

hat Inverses in ( ( ) ) ist bijektiv (Inverses ist Umkehrabbildung )

Lem.: Sei (H, ) Halbgruppe, e neutral. Dann gilt:

i) ( ) , die Inverses haben

ii) wenn Inverse besitzen, so auch und ( ) .

Bew.:

i) und

besitzt Inverses, nämlich a

ii) ( ) ( ) ( ( )) ( )

( ) ( ) genauso

Def.: Eine Gruppe ist ein Paar (G, ), wobei ( ) eine Halbgruppe mit neutralem Element e ist, so

dass jedes Element ein Inverses besitzt.

Bsp.: Für sei ( ) { ( ) ∣∣ ijek iv } ( )

( ) ( ) ( )

Man sieht sofort ( ( ) ) ist eine Gruppe (Permutationsgruppe von M)

konkret: { }

( )

({ }) heisst n-te symmetrische Gruppe

{ } { }

( ) ( ) ( )

: { } { }

{ } (

) (

) (

)

Es gilt: | | | |


Def.: Eine Gruppe ( ) heisst abelsch (kommutativ) ist kommutativ

( )

Bsp.: ist abelsch .

({ }) { ({ } { }) ∣∣ }

{ }

für ist nicht abelsch.

Beweis: man gibt an mit

( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

)

( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

)

Not.: Übliche Notation bei abelschen Gruppen:

+ statt (Verknüpfung)

0 statt e (neutrales Element)

Bsp.:

i) ( ) ist eine abelsche Gruppe

ii) ( ) ist abelsche Gruppe

Bem.: Sei ( ) Gruppe, | | . Dann kann man beschreiben durch Gruppentafel:

( ) ist abelsch Gruppentafel symmetrisch bezgl. Diagonalen ( )

Bsp.: Gruppen mit 2 Elementen: { } (e soll neutrales Element werden)

{

Annahme:

( ) ( )

( ) (

) (

)

e a

e e a

a a ?

id σ

id id σ

σ σ id


Def.: Seien ( ) ( ) zwei Gruppen. Eine Abbildung heisst Morphismus

( ) ( ) ( )

( ) { ( ) ∣∣ i Gr en r i } (Homomorphismus)

( ) ( ) (Endomorphismus)

( ) { ( ) ∣∣ ijek iv } (Automorphismus)

Not.: Ein Gruppenmorphismus heisst:

i) Monomorphismus : injektiv

ii) Epimorphismus : surjekiv

iii) Isomorphismus : bijektiv

Lem.: Jede Gruppe ( ) mit | | ist isomorph zu .

Bew.: Sei (G, ) eine Gruppe mit | | { } e neutrales Element. Definiere Abbildung:

( ) ( )

Lem.: Seien ( ) ( ) Gruppen, ( ) Dann gilt:

i) ( )

ii) ( ) ( )

Bew.:

i) ( ) ( )

wegen ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )

( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )

ii) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )

( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )

Bsp.:

{ }, e neutral

nachrechnen:

( ) ( ) ( ) ( ) (

)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Konstruktion: Neue Gruppen aus alten:

Sei ( ) eine Familie von Gruppen. Definiere ( ) mit

[ ( ) ( )]

(( ) ( ) ) ( )

Bsp.: ( ) ( )

( )

( ) ( ) (( ) ( )) ( )


Lem.: Sei ( ) eine Familie von Gruppen. Dann definiert komponentenweise Multiplikation

( ) ( ) (

) (

) (( ) ( ) ) ( )

eine Gruppe ( ( ) ).

Not.: Diese heisst Produkt der Familie.

Bem.: Sind alle endlich und ist auch | | , so ist die Produktgruppe endlich mit

| | ∏ | | .

Def.: Sei ( ) Gruppe. Eine Teilgruppe definiert eine Untergruppe

i)

ii)

iii)

Bem.: Wenn Untergruppe definiert, so gilt:

i) ( )

ii) | ist wohldefinierte Abbildung und definiert eine Gruppenstruktur

(d.h.: ( | )) ist eine Gruppe.

Bsp.: ( )

{ ∣ era e } { }

Beh.: definiert Untergruppe:

Bew.:

i)

ii) √ ( i i n v n ei era en a en er i ie er eine era e a )

iii) √ ( enn an e a era e i ann i a Inver e era e)

( ) ist eine Gruppe

27.10.2011

Not.: Multiplikationssymbol wird bei (multiplikativ) geordneten Gruppen in der Regel

weggelassen:

( ) ( ) ( )

werden in er e e a en: „ ei G eine Gr e“ a „ ei ( ) eine Gruppe mit neutralem

Element e“.

Neutrales Element wird mit 1 (statt e) bezeichnet (wenn Gruppe nicht abelsch).

Wenn die Gruppe G abelsch ist, schreiben wir das Verknüpfungszeichen als +

( ).

Das neutrale Element bezeichnen wir im abelschen Fall mit 0.

z.B. ( ) mit 0 als neutrales Element.

Bem.: Untergruppe

Def.: Sei G Gruppe,

definiere rekursiv: ∏ durch:

∏

∏

(∏

)

speziell: ∏


Def.: Ist G abelsch, so definiere rekursiv ∑ durch:

∑

∑

(∑

)

speziell: ∑

Prop.: (Lösbarkeit von Gleichungen): Sei ( ) Halbgruppe. G ist genau dann eine Gruppe, wenn für

beliebige mit

Bew.: „ “: Sei G Gruppe, beliebig. Dann setze:

,

Dann gilt: ( ) ( )

( ) ( )

„⇐“: Sei ( ) Halbgruppe, in der die Gleichungen und lösbar sind.

Schritt 1: (Finde neutrales Element): Wähle beliebig.

mit . Definiere .

Beh.: e ist neutrales Element.

Bew.: Sei beliebig (z.z.: )

Sei y Lösung der Gleichung .

Dann gilt: ( ) ( )

speziell gilt: .

Sei mit ( gem. Voraussetzung).

Dann gilt: ( ) ( )

ist neutrales Element.

Schritt 2: (Existenz von Inversen): (z.z.: jedes besitzt ein Inverses)

Sei beliebig.

mit und

z.z.:

es gilt: ( ) ( ) ( )

ist Invers zu .

Erinnerung: Gruppen, heisst Gruppenmorphismus

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )

Lem.: Sei Gruppenmorphismus, Untergruppen.

Dann sind ( ) und ( ) Untergruppen.

Bew.:

i) „ ( ) Un er r e“: Sei neutrales Element.

a) ( ), weil ( ) (weil Untergruppe)

b) Seien ( ). Dann gilt: ( ) ( )

⇒ Un er r e

( ) ( )

wegen ( ) ( ) ( ) ( )

c) Sei ( ). Dann gilt: ( )

⇒ Un er r e

( )

wegen ( ) ( ) ( )


ii) „ ( ) Un er r e“:

a) ( ) , ( ) ( )

b) Seien ( ) ( ) Elemente in ( ) ( ).

Dann gilt:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

c) Sei ( ) ( ) mit

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Def.: Sei Gruppenmorphismus

i) ( ) ({ }) heisst Kern von .

ii) ( ) ( ) heisst Bild von .

Kor.: ( ) ( ) sind Untergruppen

Lem.: Sei Gruppenmorphismus. Dann gilt:

ist Monomorphismus (injektiv) ( ) { }

Bew.: „ “: Sei injektiv, ist ( ) ( ) ( ) ( )

⇒ ( ) { }

( ), weil ( ) Untergruppe von G ist.

„⇐“: Sei ( ) { }; seien mit ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }

( ) ( )

Bsp.: Seien endliche Gruppen der gleichen Ordnung.

Wenn man einen Gruppenmorphismus definieren kann mit ( ) { },

in G n G‘ i r (via ).

Lem.: Sei G Gruppe, ( ) eine Familie von Untergruppen .

Dann definiert ⋂ eine Untergruppe.

Bew.:

a) neutral ⋂

b) ⋂ ⋂

c) ⋂

⋂ .

Konstruktion: Sei G Gruppe, beliebige Teilmenge. Dann ! kleinste Untergruppe von G, die T

enthält: ⟨ ⟩.

⟨ ⟩ ⋂ Un er r e

U

⟨ ⟩ heisst die von T in G erzeugte Untergruppe.

Beispiele:

i) . Dann gilt: ⟨ ⟩ { }

ii) beliebig, { }. Dann gilt:

⟨{ }⟩ { ∣ } { ( ) ∣∣ }


konkret: ( ), .

⟨{ }⟩ { ∣ } { ( ) ∣ } { ∣∣ }

Ganze Zahlen:

- Wir kennen die Halbgruppe ( ) mit neutralem Element 0.

- Wollen Gleichungen lösen: , mit .

→ e ni i z.B.: ( )

Idee: Erweitere den Zahlenbereich so, dass Lösungen dort existieren,

d.h. zu Zahlenbereich ( ), der Gruppe ist, die ( ) als Unterhalbgruppe enthält.

konkret: nehmen zu alle Lösungen von dazu.

Hat man eine Gruppe, in der alle Gleichungen lösbar sind, so sind die Lösungen

eindeutig: ( ).

aber:

⇒

( ) ( )

Ansatz: betrachten Paare ( )

( ) ( ⏟

⏟ )

( ) ( )

Definiere Relation auf :

( ) ( )

01.11.2011

Lem.: Die Relation ist eine Äquivalenzrelation auf .

Bew.:

i) „re e iv“: ( ) ( ), weil

ii) „ e ri “: ei ( ) ( )

( ) ( )

iii) „ ran i iv“: Seien ( ) ( ) und ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ,

also: ( ) ( ) ( ) ( )

Not.: bezeichne Äquivalenzklassen von ( ) mit [ ] (eigentlich: [( )]).

Bsp.: Repräsentanten der Äquivalenzklasse [ ] sind die Paare ( ) , für die gilt:

z.B.: [ ] hat folgende Repräsentanten: ( ) mit .

Def.: { [ ] ∣∣ ( ) }

Lem.: Die Abbildung [ ] ist injektiv.

Bew.: Seien mit ( ) ( ).

[ ] [ ] ( ) ( ) injektiv .


Bem.: Benutzen , um mit der Teilmenge { [ ] ∣ } zu identifizieren.

(Sei [ ]

) z.B.: [ ]

Ziel.: Wollen zu Gruppen machen, d.h. wollen Verknüpfung

definieren, so dass:

| Addition auf ist.

d.h.: [ ] ( )

[ ] ( )

[ ] ( )

Ansatz: ([ ] [ ]) [ ]

Problem: Wohldefiniertheit

zu zeigen: Wenn [ ] [ ] und [ ] [ ] , dann gilt:

[ ] [ ]

Sei [ ] [ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) [ ] [ ]

Bem.: Repräsentanten von [ ] sind: ( )

Prop.: ( ) ist abelsche Gruppe.

Bew.: ist wohldefinierte Verknüpfung.

i) „a ia iv“: [ ] ([ ] [ ]) [ ] [ ]

[ ( ) ( )]

[( ) ( ) ]

[ ] [ ] ([ ] [ ]) [ ]

ii) „k a iv“: [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

iii) „ne ra e E e en “: [ ]

denn: [ ] gilt: [ ] [ ] [ ] [ ]

(Umkehrrichtung gilt auch, weil kommutativ)

iv) „Inver e“: (Achtung: [ ] [ ] )

Sei [ ] beliebig

Dann gilt: [ ] [ ] [ ] [ ⏟

⏟

] [ ]

d.h. das zu [ ] inverse Element ist [ ].

Not.: [ ] [ ]

Def.: Subtraktion auf

[ ] [ ] [ ] ( [ ]) [ ] [ ]

speziell: Seien

identifizieren a mit [ ]⏟ ( )

mit [ ]⏟ ( )

Dann gilt: ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] ( [ ]) [ ] [ ] [ ]


übliche Bezeichnung: [ ] für

[ ]

Multiplikation auf :

Wollen Multiplikation

fortsetzen zu Multiplikation: .

Idee: ( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ]

Prop.: Die Zuordnung

([ ] [ ]) [ ]

definiert eine Multiplikation auf , die die Multiplikation fortsetzt, so dass gilt:

i) ( ) ist eine kommutative Halbgruppe mit neutralem Element [ ]

ii) gilt: ( ) ( ) ( )

Def.: Anordnung in :

Sei ,

konkret: [ ] [ ] ( )

i [ ] [ ] [ ]

i [ ] [ ]

i ( )

Lem.: ( ) ist linear geordnet.

Lem.: Seien . Dann gilt:

i)

ii)

Bew.:

i)

( ) ( )

ii) ( )

Not.:

| | {

Betrag v n α

Lem.: Division mit Rest

Seien

| |

Bew.: { ∣∣ } .

Beh.:

Bew.: [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]


[ ]

1. Fall:

2. Fall:

Wohlordnungssatz minimales Element

i

Beh.: | |

Bew.: Wenn nicht, so ist | |

i) | |

( )

weil minimal ist, gilt

ii) | |

( )

r ini a ⇒

iii) Eindeutigkeit: mit | |

( ) | || | | | | |

| |

Erinnerung: ⟨{ }⟩ ist die von in erzeugte Untergruppe (schreibe ⟨α⟩ statt ⟨{ }⟩)

explizit: ⟨ ⟩ { ∣ } ganzzahlige Vielfache von .

Prop.: Untergruppen von

Sei eine Untergruppe. Dann i ⟨ ⟩

Bew.: { } ⟨ ⟩

Ist { } { } | | ( { })

( { }) .

Wohlordnungssatz minimales Element .

Beh.: ⟨ ⟩

Bew.: „ “: ⟨ ⟩

„ “: ei { } mit ; | | ( )

, weil minimal.

[

⟨ ⟩]

03.11.2011

Primzahlen:

Def.: Seien :

| ( ei n) i

Bem.: | .

Dann gilt: ( ) ( )

Def.: Sei { }.

( i : | | er | )


Lem.: 2 ist Primzahl

Bew.: Seien mit | . Wenn

⇒

mit

i ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

i ( )

( )

Prop.: { } ist genau dann Primzahl, wenn gilt: ist mit | , so gilt: { }.

Bew.: „ “: Sei p Primzahl, mit |

| er | er

er er

„⇐“: Es gelte für { }: Wenn | so { }.

{ ∣ n i a er | }

Möchte zeigen: (dann folgt | | er | , d.h. p Primzahl)

Beweis: (durch Widerspruch): Wäre ⇒ -

minimal

Wähle mit | (existiert, da )

( ) ( ) | .

Es gilt: , da ⇒

(

)

( ) |

|

Also: entweder er :

|

⇒ { }

⇒

|

Bem.: | | (

)

Lem.: Sei { }. Dann gibt es eine Primzahl p mit | .

Bew.: (mit Wohlordnungssatz)

{ { } ∣∣ | }

Beh.:

Bew.: Wenn nicht, so minimal (Wohlordnungssatz)

keine Primzahl | { }

| ( )

| .


Prop.: Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Bew.: (beliebte Prüfungsaufgabe!)

Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen. Seien diese .

Betrachte ∏ . n ist keine Primzahl, weil .

Lemma | { }

{ } ∏ ( ∏

) |

Def.: Seien { }.

heissen teilerfremd

( | | { })

Prop.: { } sind teilerfremd

Bew.: „⇐“: Seien , sei | |

( ) ( ) ( )

| { }.

„ “: { { } ∣∣ }

Es gilt:

Sei minimal (möchte zeigen: )

haben

( ) ( ) ( )

⇒ .

(analog zeigt man: | | ⇒

{ } )

konkret: 3, 2 sind teilerfremd: ( )

Prop.: Primfaktorzerlegung

Sei { }. mit

und { } mit

Bew.: OE: { }

- „E i en “: { { } ∣∣ }

z.z.:

Beh.:

Bew.: Wäre , so minimales Element . Sicher ist keine Primzahl.

.

a und b haben Primfaktorzerlegungen a b hat Primfaktorzerlegung

.

- „Ein e i kei “:

Beh.: Seien und Primzahlen,

seien { }

Wenn gilt

, so folgt:

.

Beweisidee: Induktion / ∑


08.11.2011

Ringe:

Def.: Ein Ring ist ein Tripel ( ), bestehend aus einer Menge und zwei Verknüpfungen:

(Addition)

(Multiplikation), so dass gilt:

i) ( ) ist abelsche Gruppe mit neutralem Element

ii) ( ) ist eine Halbgruppe

iii) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (Distributivität)

Vereinbarung: Multiplikation ( ) bindet stärker als Addition (+)

( ) ( )

Bsp.: ( ) ist ein Ring.

Def.: Sei ( ) ein Ring. ( ) heisst

i) kommutativ Multiplikation ist kommutativ ( )

ii) mit Eins neutrales Element für Multiplikation ( )

Bsp.: ( ) ist kommutativer Ring mit Eins.

Lem.: Sei ( ) ein Ring, . Dann gilt:

Bew.: ( )

( ) genauso

Def.: Sei ( ) Ring mit Eins . Ein Element heisst Einheit (invertierbar)

Inverses in ( )

( )

Bem.: Wenn a eine Einheit ist, so ist das Inverse zu a eindeutig und wird mit bezeichnet.

Not.: { ∣ e i Inver e in ( ) }

heisst Menge der Einheiten in dem Ring ( ) mit Eins.

explizit: { ∣∣ }

Bsp.: { } (Teiler von 1)

Bem.: Ist ( ) ein Ring mit Eins ( ), so ist oder

(und dann { } (Nullring)).

Bew.: Ist

Ist , so { }

Bsp.: (Ring mit 2 Elementen)

{ } neutral für +, Eins für

Wenn Distributivität überprüft ist, folgt: ({ } ) ist ein kommutativer Ring mit Eins.

Einheiten sind { }.

+


Restklassenringe:

Konstruktion: Sei fest gewählte ganze Zahl.

Definiere Relation auf : ⟨ ⟩ { ∣ }

also: |

Lem.: ist Äquivalenzrelation.

Bew.:

i) „re e iv“: ⟨ ⟩ , weil ⟨ ⟩, weil ⟨ ⟩ Untergruppe.

ii) „ e ri “: Sei ⟨ ⟩, dann gilt ( ) ⟨ ⟩,

weil mit ⟨ ⟩ auch das Inverse ( ) ⟨ ⟩ ist.

iii) „ ran i iv“: ⟨ ⟩ und ⟨ ⟩

( ) ( ) ⟨ ⟩,

weil mit ⟨ ⟩ auch die Summe ( ) ( ) ⟨ ⟩ ist.

Not.: fest:

( ) ⟨ ⟩

(a ist kongruent zu b modulo m)

Bsp.: Sei [ ] { ∣ ( ) }

die Äquivalenzklasse von a bezgl. (Restklasse von a modulo m).

Als Menge von ganzen Zahlen gilt:

[ ] { ∣ ( ) } { ∣ ⟨ ⟩ }

{ ∣ } { ∣ }

alle ganzen Zahlen, die beim Teilen durch m den Rest a lassen

konkret:

i) beliebig

[ ] { ∣ }

etwa: [ ] { ∣ } { }

[ ] { ∣ } { }

ii) beliebig

[ ] { ∣ }

[ ] { ∣ }

[ ] { ∣ }

[ ] { ∣ }

mengentheoretisch gilt: [ ] [ ] [ ] ; die Äquivalenzklassen sind disjunkt

Beh.: Ist , so gilt:

⋃ [ ] | |

Bew.: Sei beliebig. Division durch m mit Rest: mit | |.

( )

Bsp.: i)

[ ] [ ] [ ]

ii)

[ ] [ ] [ ] [ ]


Bem.: wird durch die Äquivalenzrelation zerlegt in genau | | paarweise disjunkte

Äquivalenzklassen.

Bsp.: Einteilung in Wochentage ist die Einteilung in die 7 Äquivalenzklassen bezgl. .

Bem.:

und

sind die gleichen Relationen: ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Not.: Für sei ⟨ ⟩ { [ ] ∣∣ } (Z modulo m)

Bem.: für hat ⟨ ⟩ genau | | Elemente.

für hat ⟨ ⟩ unendlich viele Elemente:

( ) ⟨ ⟩ .

Dann gilt: [ ] { }

Ziel: Definiere auf ⟨ ⟩ eine Ringstruktur. Brauchen dazu Addition und Multiplikation.

- Addition:

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ([ ] [ ] ) [ ]

- Multiplikation:

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ([ ] [ ] ) [ ]

Problem: Wohldefiniertheit!

Beh1.: Addition ist wohldefiniert

Bew.: Sei [ ] [ ] [ ] [

] , d.h.:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ] [ ]

Beh2.: Multiplikation ist wohldefiniert

Bew.: Sei [ ] [ ] und [ ] [

]

dann gilt: ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ⟨ ⟩

( ) [ ] [ ]

10.11.2011

Restklassenringe:

Prop. : Restklassenmenge

Für jedes ist ( ⟨ ⟩ ) ein kommutativer Ring mit Eins.

Bew.:

i) ( ⟨ ⟩ ) ist abelsche Gruppe:

„a ia iv“: [ ] ([ ] [ ]) [ ] [ ] [ ( )]

( ) [( ) ]

[ ] [ ] ([ ] [ ]) [ ], [ ] [ ] [ ] ⟨ ⟩

„k a iv“: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ⟨ ⟩

„ne ra e E e en “: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ⟨ ⟩

„Inver e “: [ ] [ ] [ ( )] [ ], [ ] ⟨ ⟩

ii) ( ⟨ ⟩ ) kommutative Halbgruppe mit neutralem Element :

neutrales Element: [ ] ([ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ⟨ ⟩)

Rest analog zu i)


iii) Distributivgesetz: [ ] ([ ] [ ]) [ ] [ ] [ ( )] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] ⟨ ⟩

Def. : Sei ( ) ein kommutativer Ring.

i) heisst Nullteiler { } . ( )

ii) ( ) heisst Integritätsring (nullteilerfrei) ist der einzige Nullteiler.

Bsp.: ( ) ist ein Integritätsring, denn: ( )

Bsp.: ( ⟨ ⟩ ) ist kein Integritätsring: [ ][ ] [ ] [ ]

Bem.: ([ ] [ ] )

Lem.: Sei . ( ⟨ ⟩ ) ist Integritätsring {| |

Bew.: ( ⟨ ⟩ ) ist nullteilerfrei ( [ ] [ ] ⟨ ⟩ mit [ ][ ] [ ] gilt:

[ ] [ ] oder[ ] [ ])

( mit ⟨ ⟩ gilt: ⟨ ⟩ oder ⟨ ⟩)

( mit | gilt: | oder | ) (| | ist Primzahl oder )

( | mit )

Erinnerung: ( ) sei kommutativer Ring mit Eins. Dann heisst Einheit

mit

Lem.: Sei [ ] ⟨ ⟩ ist eine Einheit in ⟨ ⟩

sind teilerfremd.

Bew.: [ ] ⟨ ⟩ ( [ ] ⟨ ⟩ mit [ ][ ] [ ])

( mit ⟨ ⟩)

( und mit ) (⟨ ⟩ { ∣ })

( mit ) sind teilerfremd.

Körper:

Def.: Sei ( ) ein kommutativer Ring mit Eins.

( ) ist ein Körper { } besitzt Inverses in ( ).

d.h.: { }

Bem.: Ein kommutativer Ring mit Eins ( ) ist ein Körper { }

Lem.: Körper sind nullteilerfrei.

Bew.: Sei ( ) Körper, mit und .

Sei multiplikatives Inverses von

Es folgt: ( ) ( )

( )

Lem.: Sei ( ) kommutativer Ring mit Eins. ( ) ist Körper

mit mit .

Bew.: ( ) ist Körper ( { } ) ist abelsche Gruppe.

( { }) ( { }) { } ( ) (ab auch nullteilerfrei)


Bsp.: ( ⟨ ⟩ + ) ist ein Körper.

Bew.: wissen: ( ⟨ ⟩ ) ist kommutativer Ring mit Eins.

⟨ ⟩ {[ ] [ ]}

[ ] hat multiplikatives Inverses, nämlich [ ].

Prop.: Sei ( ⟨ ⟩ ) ist Körper | | Primzahl

Bew.:

i) Sei ( ⟨ ⟩ ) ein Körper. Lemma ( ⟨ ⟩ ) ist nullteilerfrei

oder | | Primzahl.

(wir werden beweisen, dass ( ⟨ ⟩ ) isomorph ist als Ring zu ( ))

dann folgt: ( ⟨ ⟩ ) ist kein Körper, weil ( ) kein Körper ist (weil { })

ii) Sei | | Primzahl. Es gilt: ( ⟨ ⟩ ) ( ⟨| |⟩ ) (da ⟨ ⟩ ⟨ ⟩)

Es reicht zu zeigen: ( ⟨ ⟩ ) ist ein Körper für p Primzahl.

Beweis dazu: Sei [ ] ⟨ ⟩ gegeben mit [ ] [ ].

betrachte Multiplikationsabbildung [ ] ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ [ ] [ ][ ] [ ]

Beh.: Multiplikationsabbildung [ ] ist injektiv.

Bew.: Seien [ ] [ ] ⟨ ⟩ mit [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ( )] [ ]

[ ][ ] [ ] ⇒ ([ ] [ ] [ ] [ ])

[ ] [ ]⇒ [ ] [ ] [ ] [ ]

Diese Abbildung ist injektiv, da ⟨ ⟩ nullteilerfrei ist.

Abbildung ist bijektiv [ ] liegt im Bild

[ ] ⟨ ⟩ mit [ ][ ] [ ] [ ] [ ] Körper

Bsp.: ⟨ ⟩ ist kein Körper

[ ] [ ] [ ] [ ]

Def.: Seien ( ) und ( ) Ringe. Eine Abbildung heisst Ringmorphismus

gilt:

i) ( ) ( ) ( )

ii) ( ) ( ) ( )

Sind beide Ringe kommutativ mit Eins, so gelte zusätzlich:

iii) ( )

Lem.: Sei . Die Abbildung ⟨ ⟩, [ ] ist Ringmorphismus:

Bew.: i) ( ) [ ] [ ] [ ] ( )

( )

ii) ( ) [ ] [ ] [ ] ( )

( )

iii) ( ) [ ] ⟨ ⟩

Bem.: 1) ⟨ ⟩ heisst kanonische Restklassenabbildung modulo m.

2) ist surjektiv

3) Für ist bijektiv


15.11.2011

( ) sei kommutativer Ring mit Eins.

Subtraktion: ( )

Vorzeichenregel: gilt:

i) ( )

ii) ( ) ( ) ( )

iii) ( ) ( ) ( )

Not.:

- Ringmonomorphismus injektiv

- Ringepimorphismus surjektiv

- Ringisomorphismus bijektiv

Bem.: In Körpern gibt es zu jedem { } ein mit ( )

alle Gleichungen mit { } sind lösbar.

Bem.: (Kürzungsregel in Integritätsringen): Sei R ein Integritätsring, mit .

Dann gilt: oder .

Bew.: ( ) .

Def.: Sei ( ) kommutativer Ring. Eine Teilmenge definiert einen Unterring

i) ( | )

ii) ( | )

Mit diesen Verknüpfungen wird ( | | ) ein Ring.

Bsp.: { ∣ }

S definiert kommutativen Ring ohne Eins.

Neue Ringe aus alten:

Sei ( ) eine Familie von Ringen.

Bilde mengentheoretisches Produkt

und definiere darauf Addition (+) und Multiplikation ( )

( ) (

)

(( ) ( ) ) ( )

( ) (

)

(( ) ( ) ) ( )

Man sieht sofort: ( ) ist ein Ring; sind alle kommutativ (mit Eins), so auch

( ) = ∏ (Produktring)

Bem.: Sind und Integritätsringe, so ist ( ) kein Integritätsring.

( ) ( ) ( ) ( )

Wiederholung:

Sei ( ) kommutativer Ring mit Eins.

i) heisst Nullteiler { } mit

ii) ( ) heisst Integritätsring 0 ist der einzige Nullteiler.


Beispiele:

| | | | | |

| |

| |

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

⟨ ⟩, ⟨ ⟩ ⟨ ⟩, ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Rationale Zahlen:

Wollen Gleichungen lösen: { }, beliebig

nicht allgemein möglich in (z.B.: ist mit nicht lösbar)

Idee: Erweitern Integritätsring ( ) zu einem Körper ( ).

In einem Körper sind Gleichungen , immer eindeutig lösbar mit:

Definiere Relation auf ( { })

( ) ( )

Lem.: ist eine Äquivalenzrelation auf ( { }).

Bew.: i) „re e iv“: √

ii) „ e ri “: √

iii) „ ran i iv“: ( ) ( ) und ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ⇒ ( ) ( )

Not.: für ( ) ( { })

[( )]

{

∣∣ ( ) ( { }) } rationale Zahlen

Definiere Abbildung

Beh.: ist injektiv ( )

Bew.: Seien mit ( ) ( )

[( )] [( )] ( ) ( )

Ziel.: Definiere Addition (+) und Multiplikation ( ) auf der Menge , so dass ( ) ein Körper und

j ein Ringmonomorphismus wird.

Addition:

(

)

Multiplikation:

(

)

Problem: W e inier ei …


Prop.: ( ) ist ein Körper und ( ) ( ) ist ein Ringmonomorphismus.

Bem.: Identifizieren (via ) mit {

∣

∣ } ( ( )

)

Def.:

i) {

∣

∣ }

ii) ( )

Lem.: „ “ i eine ineare Or n n a .

Def.: Sei Betrag von :

| | {

Lem.: Seien . Dann gilt:

i) | | | |

ii) | | | || |

iii) | | | | | |

iv) | | | | | |

v) Die Betragsfunktion | | setzt die Betragsfunktion | | fort.

|

| | |

Def.: Division in : Seien .

Dann ist der Quotient

definiert durch

( multiplikatives Inverses zu , d.h.: )

Prop.: Sei { }. Dann { }, die teilerfremd sind, so dass

.

Bew.: { { } ∣∣ { }

}

, da { }. Sei minimal, sei { } so, dass

Beh.: sind teilerfremd.

Bew.: Wenn nicht, mit

weil minimal

teilerfremd

Eindeutigkeit: Sei

teilerfremd (weil minimal)

teilerfremd

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

| | | || |

| | | |

wegen


17.11.2011

4. Moduln und lineare Abbildungen

Erinnerung: heisst Hyperebene

{ ∣∣ }

( )

Def.: heisst linearer Unterraum

Hyperebenen mit

Beschreibung linearer Unterräume durch Gleichungen:

Sei { ∣∣ }

mit , mit ( ) ( )

⋂ { ∣∣ { } }

}

Lineares Gleichungssystem von n Unbekannten mit m Gleichungen.

i) Präzisieren: Gleichungs(system), Unbestimmte, Lösung

ii) Formalisieren: Lineare Gestalt

Def.:

i) Seien . Eine Gleichung ist ein Paar

( ) ( )

ii) Ein heisst Lösung der Gleichung ( ) ( )

iii) Die Lösungsmenge der Gleichung ( ) ist die Faser ({ }) ( ( ))

{ ∣∣ ( ) }

Natürliche Fragen:

i) Existenz von Lösungen: ( ) ?

ii) Eindeutigkeit von Lösungen: | ( )| ?

iii) Struktur der Lösungsmenge: ( ) ?

iv) ere en arkei : ri en C er … ?

Bem.: Die Koeffizienten definieren eine Abbildung

∑

konstruieren ( ) ( )

definiere : ( )

explizit: ( ) (∑ ∑

∑

)

( ) ( ), Gleichung: ( )

Lösungsmenge: von ( ):

{ ∣ ( ) } { ∣∣ ( ( ) ( ) ( )) }

{ ∣∣ ( ) }

⋂ { ∣ ( ) } ⋂


Beispiel: ( ):

( )

( )

( )

{ ∣∣ ( ) } ( )

( )

i.A. ist { }

Bem.: Ab jetzt: „ in “ = k a iver in i Ein

Def.: Sei ( ) eine abelsche Gruppe, ( ) ein Ring ( ‼)

Eine R-Modul-Struktur auf M ist eine Abbildung:

( ) ( von Ring!)

mit folgenden Eigenschaften:

i) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (Distributivität)

ii) ( ) ( ) (Assoziativität)

iii) ( )

Ein R-Modul ist ein Paar, bestehend aus einer abelschen Gruppe ( ) und einer R-Modul-

Struktur

Bem.: Ist ein Körper ( { }), dann sagt man statt K-Modul K-Vektorraum.

Not.: M sei R-Modul: Vektor, Skalar

, ( ) = Multiplikation mit Skalaren

Bsp.: Sei R Ring,

{ ( ) ∣∣ }

(( ) (

)) (

)

(komponentenweise Addition)

R-Modul-Struktur auf

, ( ( )) ( )

Beweis: Eigenschaft i):

Seien ( ) (

)

Dann gilt:

( ) (

) ( ( ) (

))

(

) ( ) (

)

( ) (

)

ist mit komponentenweise definierten Verknüpfungen ein R-Modul.

Weiteres Vorgehen:

i) R-Untermoduln

ii) R-Modulmorphismen

iii) Standard-Konstruktionen (neue R-Moduln aus alten)

Def.: Sei M ein R-Modul. Eine Untergruppe heisst R-Untermodul

gilt: .


Bem.: M ist R-Modul, R-Untermodul

| ist R-Modul-Struktur auf U.

Def.: ei ein in M n M‘ -Moduln.

Eine Abbildung heisst R-Modul-Morphismus

i) ( ) ( ) ( ) (Verträglichkeit mit Addition)

ii) ( ) ( ) (Verträglichkeit mit Mult. mit Skalaren)

Def.: Ein abstraktes lineares Gleichungssystem ist eine Gleichung ( ),

wobei und R-Moduln sind, R-Modul-Morphismus,

linear heisst: sind R-Moduln, erfüllt die Linearitätsbedingungen i) und ii).

Bsp.: nicht-linear:

22.11.2011

Bsp.: ( ( ) ) ist (i.a. nicht kommutativer) Ring mit Eins.

Endomorphismenring von M

( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ( ))

Nullelement: ,

Einselement:

Bem.: Alternative Definition: R-Modul-Struktur ist ein Ringmorphismus

( ) mit ( ) .

Die Menge aller R-Modulstrukturen auf M steht in Bijektion zu der Menge aller Ring-

Morphismen von R nach ( ), die die Eins-Elemente aufeinander abbilden.

Kürzungsregel: Sei M ein R-Modul. Für gilt: Ist mit , so gilt: .

Bew.: ( ) ( )

( ) ( )

Konsequenz für Vektorräume: Sei V ein K-Vektorraum (K ist ein Körper). Sei

mit . Dann gilt: oder .

Bew.: Sei (z.z.: )

{ } . Damit folgt aus der allgemeinen Kürzungsregel.

Lem.: Sei ( ) abelsche Gruppe. Es gibt eine kanonische -Modul-Struktur auf M.

Bew.: ist zu definieren, danach die Bedingungen an eine -Modul Struktur zu

verifizieren.

Sei . Dann definiere {

( )

( )( )

nachrechnen, dass dadurch auf M eine -Modul-Struktur definiert wird.

Bem.: Jede abelsche Gruppe hat eine kanonische -Modul-Struktur.

Damit ist die Theorie abelscher Gruppen gleich der Theorie der -Moduln.


Bsp.: Sei Menge, sei N ein R-Modul, ( ) Menge aller Abbildungen von X nach N.

i) Beh.: ( ( ) ) ist eine abelsche Gruppe

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

ii) Beh.: definiert eine (natürliche) R-Modul Struktur auf ( ( ) ):

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

[Nullelement ]

Lem.: Sei M ein R-Modul, Teilmenge. Folgende Aussagen sind äquivalent:

i) definiert ein R-Untermodul

ii) gilt:

iii) gilt:

Bew.: ( ) ( ) ( ) ( )

- ) ): Untergruppe . Seien , so gilt:

(weil U R-Untermodul ist)

- ) ): Sei (da ),

(da ).

- ) ): [z.z.: definiert Untergruppe, d.h.: ]

Es gilt: ( ) , da ( ) ( ) ( )

( ) (weil ( ) ( ) )

Lem.: Sei M ein R-Modul, R-Untermodul für (Familie von R-Untermoduln).

Dann definiert ⋂ ein R-Untermodul.

Bew.: ⋂ . Dann gilt: , da ⋂ .

Seien

-⇒

⋂ .

Def.: Sei M ein R-Modul, beliebig. Dann heisst

⟨ ⟩ ⋂

das von erzeugte Untermodul.

Lem.: Sei M ein R-Modul, . Dann gilt:

⟨ ⟩ ⟨{ }⟩ { ∣ }

Bsp.: M abelsche Gruppe, .

⟨ ⟩ { ∣ }

konkret:

⟨ ⟩ { ∣ }

Bew.: Definiere { ∣ }

Man zeigt leicht: definiert R-Untermodul.

⟨ ⟩ ⋂ -

, gilt: ⋂ -

⋂


⋂ -

⟨ ⟩

Bsp.: ( )

⟨ ⟩

24.11.2011

Bem.: ⟨ ⟩ { ∣ }

- , : für ( ) Gerade rx

- : { ( ) ∣∣ } alle ganzzahligen Koordinaten

Bsp.: ( ): ⟨ ⟩ { ( ) ∣∣ } (eigentlich: ⟨ ⟩ )

Bsp.: ( ): ⟨ ⟩ ( ) { ( ) ∣∣ }

{ ( ) ∣∣ }

Lem.: Zu jedem -Untermodul ⟨ ⟩ .

Bew.: -Untermoduln (von ) sind genau die Untergruppen (von ( )).

Lem.: Sei ein Körper, ein K-Untermodul. Dann gilt: { } oder .

Bew.: Sei { }. Wähle { } { } und

Bem.: für : entweder 0 oder ganz

Frage: Gibt es -Unterräume , die nicht von der Form { } ⟨ ⟩ sind?

Def.: Sei R ein (komm.) Ring (mit Eins). Eine Teilmenge heisst Ideal im R

definiert Untermodul ( ).

Bsp.:

i) Für jedes ist ⟨ ⟩ ein Ideal.

ii) ist Unterring aber kein Ideal.

(Körper haben keine Ideale ausser { } )

Def.: Seien R-Module. heisst (R-Modul-)Morphismus

i) ( ) ( ) ( )

ii) ( ) ( )

Bem.: i), ii) ( ) ( ) ( )

Def.: ( ) { ( ) ∣∣ i -M -M r i }

Bem.: Für ( ) gilt:

i) ( )

ii) ( ) ( )

Bem.: ist R-Modul-Morphismus ist Morphismus abelscher Gruppen und

( ) ( )


Lineare Algebra ist Untersuchung linearer Gleichungssysteme ( ) ( )

, ( )

Lem.: Seien R-Moduln, ( ) ( ).

Dann gilt: ( )

Bew.:

. Seien und beliebig. Dann gilt:

( )( ) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ))

( )( ) ( )( )

Lem.: Sei ( ) bijektiv. Dann gilt: ( ).

Prop.: Seien M,N R-Moduln. Dann definiert ( ) ( ) einen R-Untermodul.

Def.: Sei ( ). heisst:

i) Monomorphismus injektiv

ii) Epimorphismus surjektiv

iii) Isomorphismus bijektiv

Not.: M R-Modul

- ( ) ( ) (Endomorphismen von M)

- ( ) { ( ) ∣∣ } (Automorphismen von M)

Bem.: ( ( ) ) ist ein (i.a. nicht kommutativer) Ring mit Eins.

Lem.: ( ) ( )

[ R-Modulmorphismus

( ) ( ) ( ) ( ) Bild von

Wissen schon: ( ) , ( ) sind Untergruppen]

Lem.: Sei ( ). Dann sind ( ) ( ) R-Untermoduln.

Bew.:

i) „ ( )“ ( ) ist Untergruppe. Sei ( ).

Dann gilt: ( ) ( ) ( )

ii) „ ( )“: ( ) ist Untergruppe. Sei ( ).

Dann gilt: mit ( ). Es folgt: ( ) ( ) ( ) ( ).

Bem.: ( ) ist Monomorphismus ( ) { }

( injektiv ( ) { })

(gilt nicht bei nicht-linearen Abbildungen, z.B. bei )

Bsp.: ( ) { ( ) ∣∣ }

( ) { ( ) ∣∣ }

Beh1: ( ) ( ) und ( ) ( ) definieren -Unterräume

Bew.:

i) „ ( )“: [z.z.: ( ) ( ) ist ( )]

( ) ( ) ( ) ( )

(wegen Lemma vom 22.11.)

ii) analog zu i) [( ) ]


Beh2: Sei . Dann ist

|

( ) ( ) ein -Vektorraummorphismus.

(Epimorphismus)

konkret: ( ) ( )

| ( )

Bew.: [z.z.: ( ) gilt:

| ( )

| ( )

| ( )

( ) ( ) ( )

( )]

(gegeben ( ) mit ( ) ( ) )

Bem.: Sei R (komm.) Ring (mit 1), R-Modul-Morphismus.

Seien (Einheitsvektoren) definiert durch:

( )

( )

( )

Beh.: ist völlig bestimmt durch die Werte ( ) ( ) ( )

Bew.: Sei ( ) beliebig. ( )

Dann gilt:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Weil -Vektorraummorphismus ist, gilt:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

29.11.2011

Not.: ( ) sagt man ist R-linear.

Bsp.: { ( ) ∣∣ },

( )

( )

} Einheitsvektoren im

Ist R-linear, so ist eindeutig bestimmt durch die m Werte ( ) ,

Grund: beliebig ( ) ∑

R-linear ( ) (∑ )

∑ ( )

Umgekehrt: Seien beliebig gegeben. Konstruieren R-linear

mit ( )

Beh.: ∑

Bew.:

i) „E i en “: Ist ( ), so gilt ∑ (Linearkombination der

Einheitsvektoren)

ii) Sei ∑ und ∑

. Dann gilt: (∑

) (∑

)

∑ ( )

(

)


Seien gegeben. Definiere dazu durch ( ) ∑ .

ist wohldefinierte Abbildung; z.z. bleibt R-Linearität.

Beh.: -

Bew.: Seien . Schreibe ( ) ( ) mit .

Dann gilt:

( ) (( ) ( )) (( ))

∑ ( ) (∑

) (∑

) (( )) (( ))

( ) ( ) R-linear

Prop.: Sei R (komm.) Ring (mit 1). Die Zuordnung ( ) ( ) definiert einen

R-Modul-Isomorphismus (

)

Bem.: Ersetzen jetzt R durch : ( ), wobei

(Formel: , ( ) )

Beh.: sind R-linear

Bew.: ( ) ( )

ist R-linear als Komposition von R-linearen Abb

Weil (i-te Komponente von ) R-linear ist,

mit ( )

ist gegeben n (Anzahl der Komponenten von ) m-Tupel ( )

Schreibe die n m-Tupel untereinander:

[

]

[ ]

heisst Matrix über R mit n Zeilen und m Spalten.

Fazit: Jede R-lineare Abbildung lässt sich eindeutig beschreiben durch eine

Matrix über R mit n Zeilen und m Spalten.

Def.: Sei R Ring, . Eine Matrix über R mit n Zeilen und m Spalten ist eine Abbildung

{ } { } .

Die Menge aller ( )-Matrizen über R wird mit ( ) bezeichnet.

Bem.: ( ) ist ein R-Modul, denn ( ) ({ } { } ) ( )

konkret: { } { } , ( ) ( )

Daher: [ ] ( ) ( )

( )

[

]


Die durch ( ) definierte R-lineare Abbildung ist (explizit)

gegeben durch:

(( )) (∑ ∑

∑

)

[

] [

] [

∑

∑

∑

]

Fazit: ( )

Bsp.: ( )

[

]

A definiert ( ). ist (explizit) die Abbildung:

( ) (( )), wobei

(( )) [

] [

] [

] [

] [

]

(( )) (

)

Anzahl der Variablen (m) = Anzahl der Spalten

01.12.2011

Standard-Konstruktionen (neue Moduln aus alten): Sei R (komm.) Ring (mit Eins)

1) M R-Modul, beliebige Teilmenge:

⟨ ⟩

(der von erzeugte Untermodul).

Def.: Sei M R-Modul, . Ein Vektor heisst Linearkombination (von Vektoren)

aus T {

, so dass: ∑

(t hängt von m ab, )

Lem.: Sei M R-Modul, beliebig. Dann gilt:

⟨ ⟩ { ∣ }

Bsp.: { } . ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ { ∣ }

2) Sei Menge, N ein R-Modul. Dann ist ( ) in natürlicher Weise ein R-Modul.

Bsp.: ( ) ({ } { } ) R-Modul der Matrizen über R.

3) M,N R-Modul: ( ) { ( ) ∣∣ - }

4) Direktes Produkt: Sei ( ) eine Familie von R-Moduln.

Definiere ∏ (( ) ) ist direktes Produkt abelscher Gruppen.

M ist abelsche Gruppe

(∏ ) (∏ ) ∏ ( ) ( ) (

) (+ = Add. auf )

[schon gezeigt: (∏ ) ist abelsche Gruppe]

∏ ∏ ( ( ) ) ( ) ( = Mult. auf )

Lem.: Durch die angegebenen komponentenweise definierten Verknüpfungen wird

(∏ ) ein R-Modul


Bezeichnung: Direktes Produkt der Familie ( ) von R-Moduln: ∏

Bsp.: { } mit .

(∏ ) ( )

5) Direkte Summe: Sei ( ) eine Familie von R-Moduln, (∏ ) ihr direktes Produkt.

Sei { ( ) ∏ ∣∣ }

Lem.: ∏ definiert ein R-Untermodul.

Bem.: Ist endlich, so gilt: ∏

Bsp.:

∏ { ( ) ∣∣ } { }

{ ( ) ∣∣ }

{ }

(Abbildungen mit endlichem Träger (es kommt immer 0 raus, ausser bei

endlich vielen))

Def.: ( ) heisst direkte Summe der Familie von R-Moduln ( )

6) M R-Modul: ( ) (dualer Modul)

(Spezialfall ( ) der Konstruktion 3)

Def.: Sei M R-Modul. Der zu M duale Modul ist ( )

Not.: heisst R-Linearform auf M.

Bsp.:

i) ( ) ist abelsche Gruppe, also ein -Modul.

(

)

( -Modul Struktur)

Beh.: ( ) { }

Bew.: Sei beliebige -Linearform. Setze ( )

Es gilt: ( ) (

) (

) -

(

) { }

| { } .

Dann gilt: (

) (

)

(

) ⇒ (

) ( Integritätsring)

{ }

ii) [ ] ( ) { ( ) ∣∣ }

( ) zwei wichtige (Sorten von) Linearformen:

a) Sei fest gewählt: ( ) , ( ). Linearform heisst:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

b) ∫ ( )

∫ ( )

∫

R-Linearform heisst: ( ) gilt:

∫ ( )( )

∫ ( )

∫ ( )


Bem.: Seien M,N R-Moduln, ( ). Dann definiere Abbildung

( )

Beh.: ( )

7) M R-Modul, Untermodul: ⁄ (Quotientenmodul)

Erinnerung: ⟨ ⟩ für ein (fest)

haben konstruiert: ⟨ ⟩ ⁄

Definiere Relation: auf:

Beh.: i eine Äq iva en re a i n („Äquivalenz modulo U“)

Bew.: „re e iv“:

„ e ri “: ( )

„ ran i iv“: und

( ) ( ) .

Bem.: Sei [ ] die Äquivalenzklasse von .

Als Menge ist [ ] { ∣∣ } { ∣∣ }

{ ∣∣ }

Bsp.: ⟨ ⟩

Für welche gilt:

[ ] [ ]

Def.: ⁄ { [ ] ∣∣ } (Menge der Äquivalenzklassen modulo U)

(im Beispiel ist ⁄ die Menge aller zu U parallelen Geraden)

Haben Abbildung [ ] [ ] ⁄ [ ]

Ziel: Definiere R-Modul Struktur auf ⁄ , so dass [ ] ⁄ R-Modul-Epimorphismus

wird.

Addition: ⁄ ⁄ ⁄ ([ ] [ ]) [ ]

Wohldefiniertheit: Sei [ ] [ ] [ ] [ ]

( ) ( )⏟ ( ) ( )

[ ] [ ]

im Bsp oben.: i i n v n ei P nk en ‘ n ‘ er i ie e e Gera e ie

Addition von x und y

𝑀 𝑁 𝑅 𝜑 𝜆

𝜆 𝜑 𝜑𝑣(𝜆)

⟨ ⟩

[ ]


Beh.: ( ⁄ ) ist abelsche Gruppe

Bew.: wie bei ( ⟨ ⟩ )

R-Modul-Struktur: ⁄ ⁄ ( [ ]) [ ]

Wohldefiniertheit: überprüfen (+ geometrische Veranschaulichung)

Beh.: ⁄ ⁄ ist R-Modul Struktur

Beh.: [ ] ⁄ ist Modulepimorphismus

Bew.: i) „surjektiv“:

ii) „ - inear“: eien . Dann gilt: [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ].

⟨ ⟩, [ ]

Lem.: Sei Untermodul, [ ] ⁄ der kanonische Restklassenmorphismus

(i an i M n: „ e k a en“ a „Äq iva en k a en“)

Es gilt: [ ]

Bew.: [ ] { ∣∣ [ ] [ ] } { ∣∣ } { ∣ }

im Bsp.: Sei eine Gerade mit { }. Dann schneidet jede zu U parallele

Gerade in genau einem Punkt.

Dadurch erhält man eine Bijektion zwischen und ⁄ .

8) M R-Modul, Ring-Morphismus: (Änderung des Grundrings)

Bsp.: Änderung des Grundringes: , M R-Modul. S-Modul-Struktur auf ( ):

( )

( ) ( )

Beh.: ist eine S-Modul-Struktur auf M

06.12.2011

Wiederholung:

Restklassen (Quotienten-)Moduln:

R (komm.) Ring (mit 1), M R-Modul

Untermodul (äquivalent mod u)

[ ] Äquivalenzklasse repräsentiert durch x

⁄ { [ ] ∣∣ } Restklassenmodul von M modulo U

[ ] ⁄ [ ] R-linear

Bsp.: i) ⟨ ⟩ ⁄ ⟨ ⟩.

ii) ⟨ ⟩ ⁄ [ ]

[ ]


Prop.: Seien M, N R-Moduln, ( ). Sei ein Untermodul.

Falls ( ) ( ⁄ ) [ ] .

heisst die von induzierte R-lineare Abbildung.

Bew.:

i) „Ein e i kei :“ Wenn existiert, so dass das Diagramm kommutiert, so gilt: [ ] ,

d.h.: ([ ] ) ( ) eindeutig bestimmt durch und U

ii) „E i en :“ De iniere ⁄ durch ([ ] ) ( )

a) „ ist wohldefiniert:“

Sei [ ] beliebiger Repräsentant

mit ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

weil ( ) ( )

b) „ ist R- inear:“

Seien [ ] [ ] ⁄ . Dann gilt:

( [ ] [ ]) ([ ]) ( ) ( ) ( )

([ ]) ([ ])

Kor.: Homomorphiesatz

Sei ( ). Dann induziert einen R-Modul-Isomorphismus

( )⁄ ( ).

Bew.:

Setze ( ). ⇒ (

( )⁄ ) mit ([ ]) ( )

Beh1: ( ) ( )

Bew.: { ( [ ] ∣ } { ( ) ∣∣ }

Beh2: ist injektiv

Bew.: z.z.: ( ) {[ ] ( )}.

Sei [ ] ( ) ([ ]) ( )

( ) [ ] ( ) [ ] ( )

( )⁄ ( )

𝑥 𝑀 𝑁 𝜑(𝑥) 𝜑([𝑥]𝑢)

𝜑

𝑀𝑈⁄

[𝑥]𝑢

[ ]𝑢 𝜑

𝑀 𝑁 𝜑

𝑀 (𝜑)⁄

[ ] (𝜑) 𝜑


Bsp.: ⟨ ⟩ ( fest)

⟨ ⟩ [ ]

⟨ ⟩ ( ) ( ) ⟨ ⟩

Wissen: U als -Untermodul von ist von der Form ⟨ ⟩ .

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ |

konkret:

: ⟨ ⟩

[ ] → ⟨ ⟩⁄

⟨ ⟩⁄

Lineare Gleichungssysteme: ( ) ( )

Lösungsmenge: ( ) { ∣∣ ( ) }

i) „Existenz:“ ( ) ( ) ( ) ⟨ ( ) ⟩

ii) „Eindeutigkeit:“ | ( )| ( ) ⟨ ( ) ⟩ ( ) { }

iii) „Struktur der Lösungsmenge:“ Ist ( ), so gilt: ( ) ( )

Bew.: Sei ( ) . Dann gilt: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) [ ] ( )

iv) „Berechenbarkeit:“ möglich falls

( ) (

)

( ) Gleichungssystem:

falls [ ]

∑

⟨𝑚⟩ 𝜑

⟨𝑛⟩ [ ]𝑢 𝜑 ( )

𝑥 ⟨ ⟩ [𝑥] 𝜑

⟨ 𝑙⟩⁄ [𝑥] 𝑙

[ ] 𝑙 𝜑

( ) [ ] ( )

( )


5. Erzeugendensysteme, Freiheit, Basis, Rang

Def.: Sei M ein R-Modul, Teilmenge. T heisst Erzeugendensystem für M ⟨ ⟩ .

Bem.: ⟨ ⟩ ⋂

. heisst Linearkombination von Elementen aus

, , so dass ∑

Lem.: ⟨ ⟩ { ∣ }

Bew.:

i) { ∣ } ist ein R-Un er v n M √

ii) ⟨ ⟩ ⋂

⟨ ⟩ { }

iii) Sei ∑ Linearkombination von Elementen aus ; d.h.

Untermodul mit gilt:

∑ { } ⟨ ⟩ .

Def.: Sei M R-Modul. M heisst endlich erzeugbar | | mit ⟨ ⟩ .

Bem.: M endlich erzeugbar , so dass jedes Linearkombination der Form

∑ ist.

⟨ ⟩ {∑ ∣∣ }

Bsp.: ist endlich erzeugbar als -Modul.

z.B. { }. ⟨ ⟩ , weil: ⟨ ⟩ ⟨{ }⟩ { ∣ } , denn:

( ) ( ) { } ist Erzeugendensystem

z.B. { } ist Erzeugendensystem: ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ { ∣ }

Def.: Sei M endlich erzeugbarer R-Modul. Dann heisst

( ) { ∣∣ | | }

(minimale) Erzeugendenanzahl.

Bem.: ( ) ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ { } { }

Not.: ( ) M nicht endlich erzeugbar

Bsp.: ( ) . ( ) , da { }

Bsp.: ( ) , da die Einheitsvektoren ( ) ( ) erzeugen.

Lem.: ( )

Bew.: Wäre endlich erzeugbar / , so gäbe es mit

⟨ ⟩

Schreibe

.

∏ | |

( (∏ ) )

Wähle Primzahl, .

∑

(∑ ) (∑ ) |

08.12.2011

Lem.: Sei M R-Modul, ( ) . Dann gibt es einen Isomorphismus

⁄ .

Bew.: Sei ein Erzeugendensystem mit ( ). Definiere Abbildung:

durch ( ) ∑


Man sieht sofort: ist R-linear, also ( ). Weil , ist

surjektiv, ( ).

explizit:

Ist ∑ , so gilt: ( ) ( ).

Homomorphiesatz

( )⁄ ( ) ist Isomorphismus

wegen ( ) erklärt man

( )⁄

Kor.: ist ( ) , so gilt: ( ) { ∣∣ }

Bew.: Sei { ∣∣ }

i) Lemma ( )

ii) Sei Epimorphismus. Setze ( ) ( )

Beh.: erzeugt M

Bew.: ( ) ( ) mit ( )

( ) (∑ ) ∑ ( )

∑

.

( )

Lem.: Seien M, N R-Moduln, ( ).

i) Ist ⟨ ⟩, so gilt: ( ) ⟨ ( )⟩

ii) Ist ( ) ⟨ ⟩ und ist mit ⟨ ( )⟩ ( ), so gilt: ⟨ ⟩

Bew.:

i) Sei ⟨ ⟩ mit ∑

( ) ∑ ( ) ⟨ ( )⟩, da ( ) ( )

( ) ⟨ ( )⟩

wegen ( ) ( ) gilt auch: ⟨ ( )⟩ ( )

ii) Sei beliebig ( ) ( ) ⟨ ( )⟩

, so dass ( ) ∑ ( )

(∑

)

( ∑ ) , also: ∑

( )

mit ∑ ∑

⟨

⟩ ⟨ ⟩

Da beliebig war, gilt: ⟨ ⟩.

Prop.: Sei ( ).

Dann gilt: ( ( )) )

( ) )

( ( )) ( ( ))

Bew.:

i) Sei ⟨ ⟩ )⇒ ( ) ⟨ ( )⟩ ( ) | ( )| | |

dies gilt für alle Erzeugendensysteme T für M ( ( )) ( )

ii) Sei ( ) ⟨ ⟩ und ( ) ⟨ ⟩. ( )

, so dass | bijektiv ist:

𝑅𝑛 𝑀 𝜑

𝑅𝑛 (𝜑)⁄

𝜑 ( )


( ) ⟨ ⟩ ⟨ ( )⟩ ( ( ))

)⇒ ⟨ ⟩ ( ) |

| | | | | | |

( ) | | | |

gilt für jedes Erzeugendensystem von ( ) n ‘‘ v n ( )

( ) ( ( )) ( ( )).

Kor.: Sei Untermodul. Dann gilt: (typische Prüfungsaufgabe!)

( ⁄ ) ( ) ( ) (

⁄ )

Bew.: Prop. anwenden auf kanonische Restklassenabbildung

[ ] ⁄ ( ) ⁄ ( )

Lem.: Seien M, N R-Moduln, ( ). Falls ⟨ ⟩, so gilt:

( ) ( ) .

„Eine ineare i n i r i re Wer e a eine Erzeugendensystem bereits völlig

e e e “

Bew.: Sei beliebig. ⟨ ⟩ , mit ∑ .

Dann gilt: ( ) (∑ ) ∑ ( )

∑ ( )

(∑

) ( ).

Problem: Kann i.A. die Werte auf einem Erzeugendensystem nicht beliebig vorgeben:

Bsp.: { }

( ) ← ( ) ( )

Sei ( ), so mit

( ) ( ) ( ) ( )

Def.: Sei M ein R-Modul, ( ) eine Familie in M.

Die Familie ( ) heisst frei (linear unabhängig / R)

∑

Bem.: ( ) heisst linear abhängig / R (nicht frei)

mit ∑ , wobei mindestens ein .

Bsp.: linear abhängig / :

mit aber nicht

Bsp.:

i) ist nicht frei, sobald { }

ii) ist linear abhängig / R { } mit

ist Nullteiler

iii) ( ) ist linear unabhängig / R, denn:

∑ ( )

iv) Körper, M K-Vektorraum. Sei { } beliebig.

Dann ist v frei / K:

Ist mit , so gilt: oder { } .

( ) ( ) (da ).

v) ⟨ ⟩ ( )

[ ] ⟨ ⟩ linear unabhängig / ?


Def.: Sei M ein R-Modul. Der Freiheitsgrad ( ) ist die maximale Anzahl der Elemente in einer

linear unabhängigen Familie.

Bem.: ( )

i) freie Familie ( ) mit | |

ii) Ist ( ) eine freie Familie in M, so gilt: | | .

Not.: ( ) freie Familie ( ) mit | |

Def.: Sei M ein R-Modul. Eine Familie ( ) in M heisst R-Basis

i) ( ) ist linear unabhängig / R

ii) ( ) definiert ein Erzeugendensystem (⟨{ ∣∣ }⟩ )

Bsp.: ( ) in ist eine R-Basis.

(!) nicht jeder R-Modul hat eine R-Basis

13.12.2011

Prop.: Sei M ein R-Modul, ( ) ein beliebiges Erzeugendensystem. Dann gibt es

endlich viele , die M erzeugen.

Bew.: mit ⟨ ⟩, ⟨ ⟩

mit ∑

⟨ ⟩ ⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Warnung: i.a. ⟨ ⟩ mit

Bsp.: ⟨ ⟩ { }

Def.: M heisst zyklischer R-Modul ( )

Bem.: M ist zyklisch , so dass ⟨ ⟩

Bem.: M ist zyklisch Ideal und R-Modul-Isomorphismus.

⁄

Lem.: Sei ( ) eine freie Familie in M. dann ist jede Teilfamilie ( ) auch frei.

Bew.: Wäre ( ) linear abhängig / R endlich und mit ∑ und

nicht alle .

endlich mit ∑ ( ) nicht frei.

Bem.: Ist ( ) freie Familie, so ist jedes frei.

Prop.: Sei M ein R-Modul, ( ) eine freie Familie. Sei N ein beliebiger R-Modul, ( ) eine

beliebige Familie in N.

R-lineare Abbildung ⟨{ ∣∣ }⟩ mit ( ) .

Bew.: ⟨{ ∣∣ }⟩ {∑ ∣∣ }

R-Untermodul aller Linearkombinationen von Elementen aus { ∣∣ }

i) „Ein e i kei :“ ei ⟨{ ∣∣ }⟩ beliebig

∑ , wobei endlich,

( ) (∑ ) ∑ ( ) ∑ .

ii) „E i en :“ ür ∑ definiere ( ) ∑

z.z.: a) Wohldefiniertheit, b) R- ineari ä √


Bew.: a)

Sei ∑ ∑

∑ ( )

( ) linear unabhängig

(∑ ) ∑ (∑ ) ∑

da Wohldefiniert

Bem.: Man sagt: die lineare Abbildung ⟨{ ∣∣ }⟩ ensteht durch lineare Fortsetzung aus

der Zuordnung ( ) .

Erinnerung: ( ) heisst Basis von M über R

i) ( ) linear unabhängig

ii) ⟨{ ∣∣ }⟩ (( ) erzeugt M)

Not.: ⟨{ ∣∣ }⟩ ∑

(Menge aller (endlichen) Linearkombinationen von den Elementen von )

Lem.: Eine Familie ( ) in M ist genau dann eine Basis für M, wenn jedes eine eindeutige

Darstellung ∑ ( ) ( ) endlich besitzt.

Bew.:

i) ( ) sei R-Basis für M:

) jedes ist Linearkombination der

hat Darstellung ∑ ( ) ( ) endlich

) Darstellung ist eindeutig: ∑ ∑ endlich

∑ ( ) ( ) ⇒

ii) jedes habe eindeutige Darstellung als Linearkombination der :

∑ ⟨{ ∣∣ }⟩ (d.h.: ii))

0 hat eindeutige Darstellung: ∑ , da ∑

⇒ (d.h.: i))

Erinnerung: ( ) Menge aller Folgen in

( ) ( )

( ) { ( ) ∣∣ } Menge der Folgen in mit

endlichem Träger

Verallgemeinerung: ersetzen durch beliebige (Index-)Menge

Def.: R (komm.) Ring (mit Eins)

( )

( ) { ∣∣ ( ) }

ist R-Modul, ( ) Untermodul

Bsp.: { }

speziell wichtige Elemente in :

Kronecker Symbol: {


es gilt: ( )

konkret: { } ist das m-Tupel ( ⏟

-

)

Lem.: Sei beliebig. Die Familie ( ) ist eine R-Basis von ( ).

Bew.:

i) Sei ( ) beliebig. mit ( ) für fast alle

Sei { ∣∣ ( ) }. ist endlich. Betrachte ∑ ( )

Es gilt: (∑ ( ) ) ( ) ∑ ( ) { ( )

∑ ( ) ( ) erzeugt ( )

ii) Sei ( ) ∑ mit endlich

( ) (∑ )( ) ∑ ( ) ∑

( ) linear unabhängig / R

Def.: Ein R-Modul M heisst frei M besitzt eine Basis.

Prop.: Sei M ein freier R-Modul. Zu jeder Basis ( ) von M R-Modul-Isomorphismus

( ) mit ( ) .

Bem.: Jeder freie R-Modul ist (bis auf Isomorphie) der Modul ( ) der Familie ( ) mit endlichem

Träger.

Bew.: Sei ( ) eine R-Basis von M.

i) Weil die Familie ( ) in ( ) frei ist ⇒ R-lineare Abbildung

⟨{ ∣∣ }⟩ mit ( ) (lineare Fortsetzung)

Weil ( ) ( ) erzeugt, gilt:

⟨{ ∣∣ }⟩ ( ) ( ) ( )

ii) ist injektiv: Sei ( ) ( )

( )

( ) (( ) ) ∑

( ) ⇒

iii) ist surjektiv: Sei beliebig ( ) ⇒

∑ mit endlich.

Dann gilt: ∑ ∑ ( ) (∑ ) ( ) surjektiv

Not.: Sei M freier R-Modul, ( ) eine Basis / R. Die Umkehrabbildung des dazugehörigen

Isomorphismus ( ) heisst Koordinatensystem auf M

( ( ) ∑ ( ) ( ) )

Prop.: Seien M, N R-Moduln, ( ). Dann gilt: ( ) ( ( )) ( ( ))

Bew.: Sei ( ) freie Familie in ( ) ( ) freie Familie in ( ). OE

Wähle zu jedem ( ) ein Urbild ( ( ) )

Setze {

Beh.: ( ) ist frei in M

Bew.: Sei ∑ mit :

( ) (∑ ) ∑ ( ) ∑ ( ) ∑


( ) ⇒

∑

( ) ⇒

( ) ist frei in M

( ) | | | | | |

( ) ( ( )) ( ( )).

Kor.: Sei R-Untermodul. Dann gilt:

i) ( ) ( ) ( ⁄ )

ii) ( ) ( )

Bew.:

i) Betrachte Restklassenmorphismus [ ] ⁄ .

Es gilt: ( ) ( ) ⁄

ii) folgt sofort aus i)

15.12.2011

Erinnerung:

- ( ) ⁄ , Ideal

{ ∣∣ }

( ) Ideal

- Ist M zyklisch, ( ) { } ( )

- Sei ( ) . Dann Isomorphismus ⁄

( ) ( ⁄ ).

Beh.: ( ⁄ ) {

{ }

{ }

Bew.:

i) { } ⁄ ( )

ii) { } { }. Sei beliebig. Dann [ ] [ ] [ ]

[ ] ist nicht frei in ⁄ , weil

konkret: ( ⟨ ⟩) {

Prop.: M, N R-Moduln, ( ). Dann gilt:

( ) ( ( )) ( ( ))

Prop.: Sei R Integritätsring, M, N R-Moduln, ( ). Dann gilt:

( ) ( ( )) ( ( ))

𝜑 𝑅𝑛 𝑀

𝑅𝐾𝑒𝑟(𝜑)⁄

𝜑


Bew.: E enü „ “ zu beweisen.

i) ( )

Sei ( ) eine freie Familie in M

Betrachte ( ) ( ) .

, so dass ( ( )) linear unabhängige Elemente enthält, aber keine freie Teilfamilie

mit mehr als Elementen

Dann gilt: , weil ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ))

Also Indizes , so dass ( ) ( ) frei ist und maximal mit dieser Eigenschaft.

Nach eventueller Umnummerierung können wir annehmen, dass

Dann haben wir folgende Situation:

( ) ( ) sind linear unabhängig / R in N,

und für jedes { } { } ist ( ) ( ) ( ) linear abhängig / R.

mit mit ( ) ∑ ( ) , wobei

( ) ( )

Da ( ) ( ) linear unabhängig sind, muss gelten:

Definiere: ∑ mit

( ) ( ) ∑ ( ) , d.h.: ( )

Beh.: ( ) ist frei in ( )

Bew.: Seien { } gegeben mit ∑ ( ).

Setze Def. der ein, und erhalte:

∑ ∑ ( ∑

)

∑( ∑

)

∑ ( )

(Rechts steht eine Linearkombination in )

Weil linear unabhängig sind / R, müssen alle Koeffizienten = 0 sein.

. Wissen:

In e ri-⇒ ä rin

( ) ist linear unabhängig / R

Also: ( ( )) ( ( )) ( )

( ) weil ( ) linear unabhängige Elemente in ( ) sind.

( ) weil ( ) ( ) linear unabhängig in ( ) sind.

( ( )) ( ( )) ( )

ii) ( ) Zu zeigen: ( ( )) oder ( ( ))

Sei ( ( )) .

Konstruiert wie oben eine freie Familie ( ) in ( ) | | ( ( )) .


Kor.: Sei R Integritätsring, ein R-Untermodul. Dann gilt:

( ) ( ) ( ⁄ )

Bew.: Wenden Prop. an auf Restklassenabbildung [ ] ⁄

Es gilt: ( ) ( ) ⁄

Bsp.: ( )

⟨ ⟩ ( ⟨ ⟩)

Kor.: Sei R Integritätsring, M, N R-Moduln. Dann gilt:

( ) ( ) ( )

Bew.: Wende Prop. an auf die R-lineare (!) Abbildung ( )

mit ( ) ( ) ( ( ) {( ) })

( ( )) ( )

⇒ ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ).

Kor.: ( )

Bew.: Induktion / n: ( ) ( ) (

), weil

(

) ( ) ( ) .

Bem.: Offensichtlich ist nur: ( )

Prop.: Sei R Integritätsring, M endlich erzeugbarer R-Modul. Dann gilt:

i) ( ) ( )

ii) ( ) ( )

Bew.:

i) Sei ( ) (endlich erzeugbar). Sei ein Erzeugendensystem für M.

Definiere R-lineare Abbildung durch lineare Fortsetzung der Zuordnung

( ) ( ( ) ∑ )

Weil M erzeugen, ist surjektiv.

( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) ( )

( ) ( )

ii) Sei ( ) ( ). Dann ist ( ( )) (Bew. von i))

Sei ( ) ( ) ( ( )) ⇒ ( ) ist nicht frei

{ } mit ( ) ( )

-⇒ -

( ) ( ) ( ) {( )}

ist Isomorphismus ist frei.

Sei M freies R-Modul, ( ) eine R-Basis | | (weil ( ) M erzeugt)

( ) | | ( ) ( ) ( ) falls M frei

Kor.: Invarianz der Basislänge:

Sei R Integritätsring, M endlich erzeugbarer, freier R-Modul.

Je zwei R-Basen haben die gleiche Anzahl von Elementen ( ( ) ( )).


Bew.: Seien ( ) ( ) zwei Basen für M. Dann gilt:

| | ( ) ( )

| |

(*) weil ( ) M erzeugen

(**) Prop.

(***) weil ( ) eine freie Familie sind.

| | | |

aus Symmetriegründen folgt | | | | | | | |

Bsp.: In hat jede Basis n Elemente, weil ( ) eine Basis mit n Elementen ist.

Def.: Sei R Integritätsring, M endlich erzeugbar und frei. Dann heisst

( ) ( ) ( ) Rang von M über R.

22.12.2011

Lem.: Sei R (komm.) Ring (mit 1), M, N isomorphe R-Moduln. Dann gilt:

i)

ii)

Bew.: Sei R-Modul-Isomorphismus.

i) Sei ( ) erzeugend für M. Dann ist ( ( )) erzeugend für N.

Denn: ( ) mit ( ) .

| |

mit ∑ ( ) (∑ ) ∑ ( )

( ( )) erzeugt N

Also: .

Aus Symmetriegründen folgt , also Gleichheit.

ii) Sei ( ) eine freie Familie in M. Dann ist ( ( )) frei in N.

Denn: Ist ∑ ( ) , so gilt:

(∑ ) ∑ ( ) { }

( ( )) frei

.

e rie rün en i „=“

Not.: M R-Modul: [ ] Isomorphieklasse von M

konkret: [ ] [ ] Isomorphismus .

Theorem: Sei R Integritätsring. Die Zuordnung definiert Bijektion

{ [ ] ∣∣ - }

Bew.:

i) „ e inier “: [ ] [ ] Isomorphismus

⇒ endlich erzeugbar, frei .

ii) „injek iv“: ) )

)

)


[ ] [ ]

iii) „ rjek iv“: ( { })

Kor.: Sei K ein Körper. Die Zuordnung definiert Bijektion

{ [ ] ∣∣ - }

Bew.: E enü ei en: „En i er e are -Vek rrä e in rei“

Sei , sei ( ) eine erzeugende Familie.

Beh.: ( ) ist eine Basis (also V frei / K)

Bew.: Sei ∑ mit . Wähle für ein { } ,

( ) ∑

⇒ ∑ (

)

ist erzeugend für V mit nur Elementen

( ) ist K-Basis für V.

„M e “ : jeder endlich erzeugbare freie R-Modul vom Rang n ist isomorph zu


Konstruktion der reellen Zahlen:

ZFC („k ein e“ nen i e Men e)

grothemdieck Gruppe (mit Kürzungsregel)

Lokalisierung (Körper der Brüche)

:

0) (axiomatische Einführung)

1) e ekin ’ e ni e

2) Kettenbrüche

3) Intervallschachtelungen

4) Komplettierung

0) Axiomensystem:

( ) heisst Modell der reellen Zahlen

i) ( ) ist Körper

ii) ist eine lineare Ordnung, verträglich mit

iii) ( ) ist archimedisch* geordnet, und K ist vollständig

*unvollständig, zu jedem Element in K gibt es eine natürliche Zahl, die grösser ist

1) De ekin ’ e ni e:

( ) mit ( ) { }, so dass

i)

ii) gilt:

iii) ist kein Minimum

Kann dann ( ) a ör er i Or n n re a i n e inieren a Men e er De ekin ’ en

Schnitte

3) Intervallschachtelungen:

Rationale Intervallschachtelung ist Folge ( ) von Intervallen

[ ] mit ,

so dass und ( )

Bsp.: (

) (

)

[ ]

Bem.: .

Def.: ( ) ( )

rat. Intervallschachtelung ( ) mit

Kann dann Modell für die reellen Zahlen einführen, dessen Elemente Äquivalenzklassen

[( ) ] von rationalen Intervallschachtelungen sind.

Bsp.: [([(

)

⏟

(

)

⏟

])]

4) Komplettierung:

( ) heisst Fundamentalfolge (Cauchy-Folge)

| |


{ ( ) ∣∣ }

{ ( ) ∣∣ }

( ) Nullfolge

Bsp.:

( ) ist Cauchy-Folge

Definiert Ringstruktur auf F (komponentenweise):

(( ) ( )) (

)

(( ) ( )) (

)

zu zeigen: Wohldefiniertheit (durch Addition zweier Cauchy-Folge ergibt sich wieder eine

Cauchy-Folge):

Bew.: ( ) ( ) Fundamentalfolgen.

| |

|

|

|( ) (

)| | | |

|

Man zeigt (leicht):

i) ( ) ist komm. Ring mit Eins.

ii) ist ein Ideal

Definiert Ringstruktur auf ⁄ (Äquivalenzklassen von Fundamentalfolgen; sind äquivalent,

wenn Differenz Nullfolge ist).:

⁄ ⁄ ⁄ ([( )] [( )]) [(

)]

⁄ ⁄ ⁄ ([( )] [( )]) [(

)]

Definition ist repräsentantenweise; also zu zeigen: wohldefiniert!

Lem.: Sei ( ) (komm.) Ring (mit 1), Ideal. Dann wird durch

⁄ ⁄

⁄ ([ ] [

]) [ ]

⁄ ⁄

⁄ ([ ] [

]) [ ]

eine Ringstruktur auf ⁄ definiert, sodass ( ⁄ ) ein komm. Ring mit 1 wird.

Bsp.: ⟨ ⟩ ⁄ ⟨ ⟩⁄

Beh.: ( ⁄ ) ist ein Körper.

Bew.: Sei [( ) ] ⁄ {[ ]} ( ) ist Cauchy-Folge, keine Nullfolge

nur endliche viele können 0 sein. Ersetze diese Nullen durch 1

( ) Fundamentalfolge mit (

) ( ) . (

)

Zeigt leicht: (

)

[(

)] [( )] [(

)] [(

)] [

]

⁄


Def.: ( ⁄ ) heisst Cantor’sches Modell er ree en a en (Can r’ er ör er)

Def.: ⁄ , Einbettung von in :

[( )], also Teilkörper

muss dann noch übertragen ( ) erfüllt Axiome der reellen Zahlen.

Bsp.:

[( ) ]

( ) (goldener Schnitt)

Bem.: Wesentlich für die Komplettierung von zu ⁄ ist Bewertung:

| | , so dass:

i) | |

ii) | | | || |

iii) | | | | | |

Bem.: Es gibt weitere ( ) solcher Bewertungen; für jede Primzahl eine:

Sei Primzahl:

| |

i) | |

ii) | | | | | |

iii) | | (| | | | ) (ultrametrische Ungleichung)

ultrametrische Ungleichung Dreiecksungleichung

| | | | | |

{ }

{ }, so dass und

Bsp.:

Dann setzt man | | { { }

Bsp.: |

| {

Für jede Primzahl p konstruiert man mittels | | einen Körper (analog zu ).

Fundamentalfolgen bzgl. | |

| | ⁄ (Körper der p-adischen Zahlen).


Prüfungsvorbereitung:

I) logische Grundbegriffe, Mengen, Relationen, Abbildungen

Äquivalenzrelation, Abbildung

II) natürliche Zahlen

vollständige Induktion, Division mit Rest, q-adische Darstellung von Zahlen

III) Aufbau der Zahlensysteme

,

IV) Moduln, lineare Abbildungen

Gruppen, Ring, Integritätsring, Körper, Unterobjekte, Morphismen (strukturerhaltende

Abbildungen)

Beispiele: (symmetrische Gruppen), ⟨ ⟩, ⟨ ⟩

R-Modul (R-Untermoduln, R-lineare Abbildungen)

Beispiele: -Moduln abelsche Gruppen

K-Moduln = K-Vektorräume

K-Körper

Standard-Konstruktionen

( ) ∏ ⨁ ( ) ( )

⁄

Homomorphiesatz

( ) ( )

lineare Gleichungssysteme

( ) ( )

Lösungsmenge: ( ) ( ), wenn ( )

V) Erzeugendensysteme, Freiheit, Basis, Rang

Linearkombination

Erzeugendensystem ( ) ⁄ falls ( )

linear unabhängig ( ( ))

Basis ( ( )) ( ) für jede Basis ( )

Klassifikation: R Integritätsring: (Modelle )

Isomorphismen endlich erzeugbarer freier R-Moduln → ist Bijektion

Lineare Algebra I - user.math.uzh.ch · Lineare Algebra I Prof. Christian Okonek HS 2011...

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