Limiti - users.dimi.uniud.it · Introduzione Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Deﬁnizioni e...

Corso di Laurea in Matematica A.A. 2008-2009 - Analisi Matematica I - Limiti - p. 1/23

LimitiCorso di Analisi Matematica I - prima parte -

Laurea in Matematica

Paolo Baiti

A.A. 2008-2009

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2

Definizioni e illustrazioni

Altri Limiti


Avvertenza

Questa presentazione ha comeunico scopo quello di illustrare levarie definizione di limite.Non vuole essere una trattazioneesauriente.

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Introduzione

Siaan una successione di numeri reali

Problema:cosa succede adan, quandondiventa arbitrariamente grande?

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Introduzione



I valori■ cresceranno?

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Introduzione



I valori■ cresceranno?■ decresceranno?

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Introduzione



I valori■ cresceranno?■ decresceranno?■ approssimeranno sempre meglio un qualche

valore “limite”?

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primitermini della successionebn = n

n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn

1n bn

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn

1n bn

0 0

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn

1n bn

0 01 1/2

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn

1n bn

0 01 1/22 2/3

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn

1n bn

0 01 1/22 2/33 3/4

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn

1n bn

0 01 1/22 2/33 3/44 4/5

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn

1n bn

0 01 1/22 2/33 3/44 4/55 5/6

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn

1n bn

0 01 1/22 2/33 3/44 4/55 5/66 6/7

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn

1n bn

0 01 1/22 2/33 3/44 4/55 5/66 6/77 7/8

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn

1n bn

0 01 1/22 2/33 3/44 4/55 5/66 6/77 7/88 8/9

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn

1n bn

0 01 1/22 2/33 3/44 4/55 5/66 6/77 7/88 8/99 9/10

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn

1n bn

0 01 1/22 2/33 3/44 4/55 5/66 6/77 7/88 8/99 9/10

Si osserva che i valori tendono a crescere edavvicinarsi sempre più a1

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn

1n bn

0 01 1/22 2/33 3/44 4/55 5/66 6/77 7/88 8/99 9/10

Si osserva che i valori tendono a crescere edavvicinarsi sempre più a1

Il concetto dilimite (finito) formalizzeràquesta osservazione

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successionecn = n2

n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 0

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/2

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/3

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/33 9/4

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/33 9/44 16/5

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/33 9/44 16/55 25/6

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/33 9/44 16/55 25/66 36/7

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/33 9/44 16/55 25/66 36/77 49/8

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/33 9/44 16/55 25/66 36/77 49/88 64/9

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/33 9/44 16/55 25/66 36/77 49/88 64/99 81/10

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/33 9/44 16/55 25/66 36/77 49/88 64/99 81/10

Si osserva che, al crescere din, i valori cn

crescono, ma non esiste un maggiorante

Introduzione

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2


Altri Limiti


Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/33 9/44 16/55 25/66 36/77 49/88 64/99 81/10

Si osserva che, al crescere din, i valori cn

crescono, ma non esiste un maggiorante

Il concetto dilimite (infinito) formalizzeràquesta osservazione

Introduzione


Limite +∞ perx→+∞

Illustrazione della definizione

Limite −∞ perx→+∞


Limite finito perx→+∞


Funzione che non ha limite


Altri Limiti



Introduzione










Altri Limiti


Limite +∞ per x → +∞SiaA un sottoinsieme diR non limitatosuperiormente edf : A → R

Diremo chef ha limite+∞ perx tendente a+∞ e si scrive

limx→+∞

f(x) = +∞

se per ogniM ∈ R esistexM ∈ R tale chef(x) > M per ognix ∈ A tale chex > xM

Introduzione










Altri Limiti



Illustriamo la definizione col seguente esempio

limx→+∞

√x = +∞

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

√x = +∞

Dato un valoreM

M

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

√x = +∞

Dato un valoreMesistexM nel dominio

M

xM

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

√x = +∞

Dato un valoreMesistexM nel dominiotale che tutti glix > xM

M

xM x

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

√x = +∞


hanno valori corrispon-dentif(x) > M

M

xM x

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

√x = +∞



M

xM x

f(x)

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

√x = +∞

CambiandoM

M

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

√x = +∞

CambiandoMsi trova un altro corri-spondentexM

M

xM

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

√x = +∞


con analoghe proprietàM

xM

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

√x = +∞

Questo dev’essere veroper ogniM !

M

xM

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

√x = +∞

Equivalentemente è co-me richiedere che, datoM

M

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

√x = +∞


si riesce a trovare unxMM

xM

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

√x = +∞


si riesce a trovare unxM

tale che il grafico dellafunzione perx > xM

stia tutto nella regionetratteggiata

M

xM

Introduzione










Altri Limiti


Limite −∞ per x → +∞SiaA un sottoinsieme diR non limitatosuperiormente edf : A → R

Diremo chef ha limite−∞ perx tendente a+∞ e si scrive

limx→+∞

f(x) = −∞

se per ogniM ∈ R esistexM ∈ R tale chef(x) < M per ognix ∈ A tale chex > xM

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

(−x2) = −∞

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

(−x2) = −∞

Dato un valoreM

M

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

(−x2) = −∞

Dato un valoreMesistexM nel dominio

M

xM

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

(−x2) = −∞


M

xM x

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

(−x2) = −∞


hanno valori corrispon-dentif(x) < M

M

xM x

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

(−x2) = −∞


hanno valori corrispon-dentif(x) < M

M

xM x

f(x)

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

(−x2) = −∞

CambiandoM

M

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

(−x2) = −∞

CambiandoMsi trova un altro corri-spondentexM M

xM

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

(−x2) = −∞


con analoghe proprietàM

xM

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

(−x2) = −∞


M

xM

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

(−x2) = −∞

Questo dev’essere veroper ogniM ! M

xM

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

(−x2) = −∞


M

xM

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

(−x2) = −∞

Equivalentemente è co-me richiedere che, datoM M

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

(−x2) = −∞



M

xM

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

(−x2) = −∞



tale che il grafico dellafunzione perx > xM

stia tutto nella regionetratteggiata

M

xM

Introduzione










Altri Limiti


Limite finito per x → +∞SiaA un sottoinsieme diR non limitatosuperiormente edf : A → R

Diremo chef ha limiteℓ ∈ R perx tendentea+∞ e si scrive

limx→+∞

f(x) = ℓ

se per ogni intornoU di ℓ esistexU ∈ R talechef(x) ∈ U per ognix ∈ A conx > xU

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

f(x) = ℓ

se per ogni intornoU di ℓ esistexU ∈ R talechef(x) ∈ U per ognix ∈ A conx > xU

. . . e poiché abbiamo già osservato che bastalimitarsi agli ε-intorni, questa definizione èequivalente a

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

f(x) = ℓ

se per ogniε-intorno Bε(ℓ) esistexε ∈ R

tale chef(x) ∈ Bε(ℓ) per ognix ∈ A talechex > xε

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

f(x) = ℓ


tale chef(x) ∈ Bε(ℓ) per ognix ∈ A talechex > xε

oppure equivalentemente

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

f(x) = ℓ


tale che|f(x) − ℓ| < ε per ognix ∈ A talechex > xε

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

f(x) = ℓ


tale che|f(x) − ℓ| < ε per ognix ∈ A talechex > xε

che è equivalente a

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

f(x) = ℓ

se per ogniε > 0 esistexε ∈ R tale cheℓ − ε < f(x) < ℓ + ε per ognix ∈ A talechex > xε

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

arctg x =π

2

π/2

−π/2

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

arctg x =π

2

Datoε > 0

π/2

−π/2

π/2− ε

π/2 + ε

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

arctg x =π

2

Datoε > 0

esistexε nel dominio

π/2− ε

π/2 + ε

xε

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

arctg x =π

2

Datoε > 0

esistexε nel dominiotale che a tutti glix > xε

π/2− ε

π/2 + ε

xε x

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

arctg x =π

2

Datoε > 0


corrispondono valoriπ

2− ε < f(x) < π

2+ ε

π/2− ε

π/2 + ε

xε x

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

arctg x =π

2

Datoε > 0


corrispondono valoriπ

2− ε < f(x) < π

2+ ε

π/2− ε

π/2 + ε

xε x

f(x)

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

arctg x =π

2

Cambiandoε > 0

π/2− ε

π/2 + ε

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

arctg x =π

2

Cambiandoε > 0

si trova un altro corri-spondentexε

π/2− ε

π/2 + ε

xε

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

arctg x =π

2

Cambiandoε > 0

si trova un altro corri-spondentexε

con analoghe proprietà π/2− ε

π/2 + ε

xε

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

arctg x =π

2

Questo dev’essere veroper ogniε > 0 !

π/2− ε

π/2 + ε

xε

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

arctg x =π

2

Equivalentemente è co-me richiedere che, datoε > 0

π/2− ε

π/2 + ε

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

arctg x =π

2


si riesce a trovare unxε π/2− ε

π/2 + ε

xε

Introduzione










Altri Limiti




limx→+∞

arctg x =π

2


si riesce a trovare unxε

tale che il grafico del-la funzione perx > xε

stia tutto nella strisciatratteggiata

π/2− ε

π/2 + ε

xε

Introduzione










Altri Limiti



SiaA un sottoinsieme diR non limitatosuperiormente edf : A → R

Diremo che f non ammette limiteper x tendente a+∞ se non verificanessuna delle precedenti definizioni

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

b b b b b b b b

−1 0 1 2 3 4 5 6 x

f(x)

1

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

f non può avere limite+∞o −∞ perché è limitata.

b b b b b b b b

−1 0 1 2 3 4 5 6 x

f(x)

1

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

Ma non può nemmeno avereun limite finito ℓ.

b b b b b b b b

−1 0 1 2 3 4 5 6 x

f(x)

1

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

Ma non può nemmeno avereun limite finito ℓ.Infatti, per ognixε

b b b b b b b bb

xε

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

Ma non può nemmeno avereun limite finito ℓ.Infatti, per ognixε esistonopunti y a destra dixε per cuif(y) = 0

b b b b b b b b

0b

xε

b

y

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

Ma non può nemmeno avereun limite finito ℓ.Infatti, per ognixε esistonopunti y a destra dixε per cuif(y) = 0, e punti z per cuif(z) = 1. b b b b b b b b

0

1

b

xε

b

yb

b

z

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

Si ha

|f(y) − f(z)| = 1

quindiy, z non potranno maiessere contemporaneamentecontenuti in alcuna pallaBε(ℓ) quandoε < 1/2, perqualunque scelta diℓ(il diametro diBε(ℓ) è< 1)

b b b b b b b b

0

1

b

xε

b

yb

b

z

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

Dunque, sceltoε < 1/2,qualunque siaℓ la definizio-ne di limite finito ℓ non saràverificata per alcunxε

b b b b b b b b

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

Per illustrare la situazione,sia ad esempioε = 0.4 e

ℓ = 1.2

b b b b b b b b

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste


ℓ = 1.2

b b b b b b b b

ℓℓ + ε

ℓ − ε

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste


ℓ = 1.2

presoxε,b b b b b b b b

ℓℓ + ε

ℓ − ε

b

xε

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste


ℓ = 1.2

presoxε,esistonox > xε per cui ilgrafico non cade nella stri-scia tratteggiata.

b b b b b b b b

ℓℓ + ε

ℓ − ε

b

xε

b b b b b

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

Preso un altroxε,

b b b b b b b b

ℓℓ + ε

ℓ − ε

b

xε

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

Preso un altroxε,esistono ancorax > xε percui il grafico non cade nellastriscia tratteggiata.

b b b b b b b b

ℓℓ + ε

ℓ − ε

b

xε

b b b

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

Preso un altroxε,esistono ancorax > xε percui il grafico non cade nellastriscia tratteggiata. Questoaccade per ogni scelta dixε.

b b b b b b b b

ℓℓ + ε

ℓ − ε

b

xε

b b b

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

Preso un altroxε,esistono ancorax > xε percui il grafico non cade nellastriscia tratteggiata. Questoaccade per ogni scelta dixε.Quindi ℓ = 1.2 non può es-sere il limite dif

b b b b b b b b

ℓℓ + ε

ℓ − ε

b

xε

b b b

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

Ma questo accade per ogniscelta diℓ.

b b b b b b b b

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

Come altro esempio, per

ℓ = 0.2

b b b b b b b b

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste


ℓ = 0.2

b b b b b b b bℓℓ + ε

ℓ − ε

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste


ℓ = 0.2

presoxε,


ℓ − εb

xε

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste


ℓ = 0.2

presoxε,esistonox > xε


ℓ − εb

xε

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste


ℓ = 0.2

presoxε,esistonox > xε per cui ilgrafico non cade tutto nellastriscia tratteggiata.


ℓ − εb

xε

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste


ℓ = 0.2

presoxε,esistonox > xε per cui ilgrafico non cade tutto nellastriscia tratteggiata. Preso unaltroxε,


ℓ − εb

xε

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

Preso un altroxε,esistono ancorax > xε


ℓ − εb

xε

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

Preso un altroxε,esistono ancorax > xε percui il grafico non cade nellastriscia tratteggiata.


ℓ − εb

xε

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

Preso un altroxε,esistono ancorax > xε percui il grafico non cade nellastriscia tratteggiata. Questoaccade per ogni scelta dixε.


ℓ − εb

xε

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

Preso un altroxε,esistono ancorax > xε percui il grafico non cade nellastriscia tratteggiata. Questoaccade per ogni scelta dixε.Quindi ℓ = 0.2 non può es-sere il limite dif


ℓ − εb

xε

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

Analogamente accade perogni scelta diℓ ∈ R, chequindi non può essere illimite di f perx → +∞.

b b b b b b b b

Introduzione










Altri Limiti




f(x) =

{

0 sex ∈ Z

1 sex ∈ R \ Z,lim

x→+∞

f(x) non esiste

Analogamente accade perogni scelta diℓ ∈ R, chequindi non può essere illimite di f perx → +∞.

Quindi il limite di f per x

che tende a+∞ non esiste.b b b b b b b b

Introduzione


Altri Limiti

Esempio introduttivo

Limite finito perx → x0Illustrazione della definizione

Limite +∞ perx→x0Illustrazione delle definizione

Limite +∞ perx→x+0

Limite +∞ perx→x−

0


Altri Limiti

Introduzione


Altri Limiti






0



Siaf(x) = x2

1

1

Introduzione


Altri Limiti






0



Siaf(x) = x2

Consideriamo laretta secantepas-

sante per i punti del grafico di

ascissa1 ex

1

1 x

x2

Introduzione


Altri Limiti






0



Siaf(x) = x2



ascissa1 ex

Il coefficiente angolare è

m(x) =x2 − 1

x − 1

1

1 x

x2

Introduzione


Altri Limiti






0



Siaf(x) = x2



ascissa1 ex


m(x) =x2 − 1

x − 1

Facciamo variarex 6= 1

1

1 x

x2

Introduzione


Altri Limiti






0



Siaf(x) = x2



ascissa1 ex


m(x) =x2 − 1

x − 1


1

1x

x2

Introduzione


Altri Limiti






0



Siaf(x) = x2



ascissa1 ex


m(x) =x2 − 1

x − 1


Al “limite”, quando x tende a1,

m(x) tende al coefficiente ango-

lare dellaretta tangentein x = 1;

si avrà

limx→1

m(x) = 2

1

1

Introduzione


Altri Limiti






0


Limite finito per x → x0

Siaf : A → R conA ⊆ R, e siax0 ∈ A′

Si dice chef ha limiteℓ ∈ R perx tendenteax0, e si scrive

limx→x0

f(x) = ℓ

se per ogni intornoU di ℓ esiste un intornoVdi x0 tale che

f(V ∩ A \ {x0}) ⊆ U

Introduzione


Altri Limiti






0





limx→x0

f(x) = ℓ

se per ogni intornoU di ℓ esiste un intornoVdi x0 tale che

f(V ∩ A \ {x0}) ⊆ U

. . . e poiché abbiamo già osservato che bastalimitarsi agli ε-intorni, questa definizione èequivalente a

Introduzione


Altri Limiti






0





limx→x0

f(x) = ℓ

se per ogni ε-intorno Bε(ℓ) esiste unδε-intornoBδε

(x0) tale che

f(Bδε(x0) ∩ A \ {x0}) ⊆ Bε(ℓ)

Introduzione


Altri Limiti






0





limx→x0

f(x) = ℓ

se e solo se

x ∈ A, 0 < |x − x0| < δε ⇒ |f(x) − ℓ| < ε

Introduzione


Altri Limiti






0





limx→x0

f(x) = ℓ

se e solo se per ogniε > 0 esisteδε > 0 taleche sex ∈ A \ {x0} ex0 − δε < x < x0 + δε

alloraℓ − ε < f(x) < ℓ + ε

Introduzione


Altri Limiti






0



Illustriamo la definizione di limite finito perx → x0 colseguente esempio

limx→0

x sin1

x= 0

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→0

x sin1

x= 0

Datoε > 0

bε

b−ε

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→0

x sin1

x= 0

Datoε > 0

esisteδε > 0

bε

b−ε

bb

−δε δε

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→0

x sin1

x= 0

Datoε > 0

esisteδε > 0 tale che sex0 − δε < x < x0 + δε

ex 6= x0bε

b−ε

bb

−δε δε

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→0

x sin1

x= 0

Datoε > 0

esisteδε > 0 tale che sex0 − δε < x < x0 + δε

ex 6= x0 alloraℓ − ε < f(x) < ℓ + ε

conℓ = 0 ex0 = 0

bε

b−ε

bb

−δε δε

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→0

x sin1

x= 0

Cambiandoε > 0

bε

b

−ε

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→0

x sin1

x= 0

Cambiandoε > 0

si trova un altro corri-spondenteδε

bε

b

−ε

b b−δε δε

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→0

x sin1

x= 0

Cambiandoε > 0

si trova un altro corri-spondenteδε

con analoghe proprietàb

ε

b

−ε

b b−δε δε

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→0

x sin1

x= 0

Questo dev’essere veroper ogniε > 0 !

ε

−ε

−δε δε

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→0

x sin1

x= 0

Questo dev’essere veroper ogniε > 0 ! ε

−ε

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→0

x sin1

x= 0


ε

−ε

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→0

x sin1

x= 0


si riesce a trovare unδεε

−ε

−δε δε

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→0

x sin1

x= 0


si riesce a trovare unδε

tale che se−δε < x < δε

il grafico della funzio-ne stia tutto nella regionetratteggiata

ε

−ε

−δε δε

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→0

x sin1

x= 0


si riesce a trovare unδε

tale che se−δε < x < δε

il grafico della funzio-ne stia tutto nella regionetratteggiata

ε

−ε

Introduzione


Altri Limiti






0


Limite +∞ per x → x0


Si dice chef ha limite+∞ perx tendenteax0 e si scrive

limx→x0

f(x) = +∞

se e solo se∀M ∈ R ∃ δM > 0 tale che

x ∈ A, 0 < |x−x0| < δM =⇒ f(x) > M

Introduzione


Altri Limiti






0


Illustrazione delle definizione


limx→1

1

(x − 1)2= +∞

×1

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→1

1

(x − 1)2= +∞

Dato un valoreM

×1

M

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→1

1

(x − 1)2= +∞

Dato un valoreMesisteδM > 0

M

1− δM 1 + δM

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→1

1

(x − 1)2= +∞


tale che tutti gli0 < |x − 1| < δM

M

1− δM 1 + δMx

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→1

1

(x − 1)2= +∞




M

1− δM 1 + δMx

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→1

1

(x − 1)2= +∞




M

1− δM 1 + δMx

f(x)

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→1

1

(x − 1)2= +∞

CambiandoM

M

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→1

1

(x − 1)2= +∞

CambiandoMsi trova un altro corri-spondenteδM

M

1− δM 1 + δM

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→1

1

(x − 1)2= +∞

CambiandoMsi trova un altro corri-spondenteδM

con analoghe proprietà

M

1− δM 1 + δM

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→1

1

(x − 1)2= +∞


M

1− δM 1 + δM

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→1

1

(x − 1)2= +∞

Questo dev’essere veroper ogniM ! M

1− δM 1 + δM

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→1

1

(x − 1)2= +∞


M

1− δM 1 + δM

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→1

1

(x − 1)2= +∞

Equivalentemente è co-me chiedere che, datoM

M

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→1

1

(x − 1)2= +∞

Equivalentemente è co-me chiedere che, datoMsi riesce a trovare unδM

M

1− δM 1 + δM

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→1

1

(x − 1)2= +∞


tale che il grafico,per 0 < |x − 1| < δM ,stia tutto nella strisciatratteggiata

M

1− δM 1 + δM

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→1

1

(x − 1)2= +∞


tale che il grafico,per 0 < |x − 1| < δM ,stia tutto nella strisciatratteggiata M

1− δM 1 + δM

Introduzione


Altri Limiti






0




limx→1

1

(x − 1)2= +∞


tale che il grafico,per 0 < |x − 1| < δM ,stia tutto nella strisciatratteggiata

M

1− δM 1 + δM

Introduzione


Altri Limiti






0


Limite +∞ per x → x+0


Si dice chef ha limite+∞ perx tendenteax0 da destrae si scrive

limx→x+

0

f(x) = +∞


x ∈ A, x0 < x < x0 +δM =⇒ f(x) > M

Introduzione


Altri Limiti






0


Limite +∞ per x → x−0


Si dice chef ha limite+∞ perx tendenteax0 da sinistrae si scrive

limx→x−

0

f(x) = +∞


x ∈ A, x0−δM < x < x0 =⇒ f(x) > M

Introduzione


Altri Limiti






0


Illustriamo le ultime definizioni con i seguenti esempi

limx→1+

1

x − 1= +∞ lim

x→1−

1

x − 1= −∞

×

Introduzione


Altri Limiti






0



limx→1+

1

x − 1= +∞ lim

x→1−

1

x − 1= −∞

Dato un arbitrarioM

×1

M

Introduzione


Altri Limiti






0



limx→1+

1

x − 1= +∞ lim

x→1−

1

x − 1= −∞

Dato un arbitrarioMsi riesce a trovare unδM

×1

M

1 + δM

Introduzione


Altri Limiti






0



limx→1+

1

x − 1= +∞ lim

x→1−

1

x − 1= −∞


tale che il grafico,per 1 < x < 1 + δM ,stia tutto nella strisciatratteggiata

×1

M

1 + δM

Introduzione


Altri Limiti






0



limx→1+

1

x − 1= +∞ lim

x→1−

1

x − 1= −∞


tale che il grafico,per 1 − δM < x < 1,stia tutto nella strisciatratteggiata

×1

M

Introduzione


Altri Limiti






0



limx→1+

1

x − 1= +∞ lim

x→1−

1

x − 1= −∞


tale che il grafico,per 1 − δM < x < 1,stia tutto nella strisciatratteggiata

×1

M

1− δM

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