Limiti notevoli ed ordini di...
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Liceo Scientifico Statale "G. Peano" – Cuneo GfO Classe 5ª Matematica Limiti notevoli ed ordini di infinitesimo-infinito Trigonometrici 1 sin lim 0 x x x 0 cos 1 lim 0 x x x 2 1 cos 1 lim 2 0 x x x 1 tan lim 0 x x x 1 arcsin lim 0 x x x 1 arctan lim 0 x x x Esponenziali e logaritmici 0 lim x x a se a>1 x x a lim se 0<a<1 x x a lim se a>1 0 lim x x a se 0<a<1 x a x log lim 0 se a>1 x a x log lim 0 se 0<a<1 x a x log lim se a>1 x a x log lim se 0<a<1 e x x x 1 1 lim e x x x 1 0 1 lim 1 1 ln lim 0 x x x e a x x a a x log ln 1 1 log lim 0 1 1 lim 0 x e x x a x a x x ln 1 lim 0 1 1 1 lim 0 nx x n x Ordini di infinitesimo Quando x→0 gli infinitesimi sono ordinabili nel modo seguente: infinitesimi di ordine minore →→→→→→→→→→→→→→→→→→ infinitesimi di ordine maggiore x n con 0<n<1 « … « x 1/3 « x 1/2 « x « x² « x³ « … « x n con n>1 In presenza di una somma algebrica di più infinitesimi possono essere trascurati tutti quelli di ordine superiore all’ordine minimo fra quelli presenti. Sotto l’ipotesi x→0 è possibile sostituire un infinitesimo con un altro equivalente: sin x ≈ tan x ≈ arcsin x ≈ arctan x ≈ e x – 1 ≈ ln (1 + x) ≈ x 1 – cos x ≈ ½ x² Ordini di infinito Quando x→+∞ gli infiniti sono ordinabili nel modo seguente: infiniti di ordine minore →→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→ infiniti di ordine maggiore log a x con a>1 « x n con 0<n<1 « … « x 1/2 « x « x² « … « x n con n>1 « a x con a>1 « b x con b>a>1 In presenza di una somma algebrica di più infiniti possono essere trascurati tutti quelli di ordine inferiore all’ordine massimo fra quelli presenti.
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Liceo Scientifico Statale "G. Peano" – Cuneo GfO
Classe 5ª Matematica
Limiti notevoli ed ordini di infinitesimo-infinito
Trigonometrici
1sin
lim0
x
x
x
0
cos1lim
0
x
x
x
2
1cos1lim
20
x
x
x
1tan
lim0
x
x
x 1
arcsinlim
0
x
x
x 1
arctanlim
0
x
x
x
Esponenziali e logaritmici
0lim
x
xa
se a>1
x
xalim
se 0<a<1
x
xalim
se a>1 0lim
x
xa
se 0<a<1
xax
loglim0 se a>1
xax
loglim0 se 0<a<1
xax
loglim se a>1
xax
loglim se 0<a<1
ex
x
x
11lim
exx
x
1
01lim
1
1lnlim
0
x
x
x
e
ax
xa
a
xlog
ln
11loglim
0
11
lim0
x
ex
x a
x
a x
xln
1lim
0
1
11lim
0
nx
xn
x
Ordini di infinitesimo
Quando x→0 gli infinitesimi sono ordinabili nel modo seguente:
infinitesimi di ordine minore →→→→→→→→→→→→→→→→→→ infinitesimi di ordine maggiore
xn con 0<n<1 « … « x
1/3 « x
1/2 « x « x² « x³ « … « x
n con n>1
In presenza di una somma algebrica di più infinitesimi possono essere trascurati tutti quelli di ordine superiore
all’ordine minimo fra quelli presenti.
Sotto l’ipotesi x→0 è possibile sostituire un infinitesimo con un altro equivalente:
sin x ≈ tan x ≈ arcsin x ≈ arctan x ≈ ex – 1 ≈ ln (1 + x) ≈ x
1 – cos x ≈ ½ x²
Ordini di infinito
Quando x→+∞ gli infiniti sono ordinabili nel modo seguente:
infiniti di ordine minore →→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→ infiniti di ordine maggiore
loga x con a>1 « xn con 0<n<1 « … « x
1/2 « x « x² « … « x
n con n>1 « a
x con a>1 « b
x con b>a>1
In presenza di una somma algebrica di più infiniti possono essere trascurati tutti quelli di ordine inferiore
all’ordine massimo fra quelli presenti.
