Liceo Scientifico «Vittorio Veneto» Milano

A.Sc. 2001/2002 – classe VH

proff Andrea Bernardinello – Luigina Malvestio

La fisica in francese

Le triomphe du déterminisme: Lagrange et Laplace

Le triomphe du déterminisme: Lagrange et Laplace

(Beaumont-en-Auge 1749 -Paris 1827)

(Turin 1736 -Paris 1813)

Pierre Simon de LaplaceJoseph Louis Lagrange

Un petit pas en arrière

Isaac Newton (1643-1727) découvre les lois de la mécanique (1) et de la gravitation universelle (2):

F = m a

F = G M mr2

(1)

(2)

(1) cela semble facile, mais... a = d vd t

v = d xd t

et

donc il y a des dérivées, et on doit les intégrer pour connaîtrele mouvement des corps: x = x (t) et v = v (t).

Un cas simple et bien connu

Dans ce cas, il suffit d’avoir deux informations: positions et vitessesdes deux objets à un instant donné, et voilà, les trajectoires sont servies!

Dans le cas de (2) on trouve les lois de Kepler (1571-1630), maisaussi les autres coniques: la parabole et les hyperboles

Le problème le plus simple, c’est celui de “deux corps”: Soleil-planète,Terre-Lune, Terre-pomme, etc.

Le problème des trois corps

…malheureusement il y a plus de deux corps dans l’Univers!

Donc, pour commencer, on peut prendre trois corps.

Ça c’est un modèle pour le système Soleil-Terre-Lune

Pour ce système on découvre qu’il n’est pas possible d’utiliserles méthodes qui ont conduit à la solution du problème des deuxcorps (séparation des variables), car l’intéraction entre les trois

objets agit pour lier leurs coordonnées d’une façon trop compliquée.

Méthodes approximatives

Le problème peut être attaqué de plusieurs façons:

SO

LE

IL

TERRE

LUNE

On peut penser que l’action d’un des corps (le Soleil) est presque constante

Ou que l’action d’un des corps (la Lune) est trop faible pour influencer le plus massif (le Soleil)

Ou encore que les orbites sont “en première approximation” donnéespar le lois de Képler, avec des perturbations superposée.

Quelle question?

Quel est le vrai problème, celui qui est vraiment important? C’est la stabilité du système, c’est-à-dire si les orbites

des objets seront toujours à peu-près les mêmes ou non.

POURQUOI ?

Parce que, en voyant la chose un peu plus en général, si lesystème Solaire n’est pas stable, les orbites des planètes peuvent se

modifier de telle façon que la Terre peut être rapprochéeau Soleil ou expulsée du système.

Ça est très important pour notre vie, cela va sans dire!

La découverte de Lagrange

Lagrange découvre 5 points qui constituent des des positionspositions d’d’ééquilibquilibrere pour un objet de masse petite sous l’influence de deux autres corps.

Ces cinq points ont été appelés “points lagrang“points lagrangieiens”.ns”.

Les 5 points deLagrange

Les deux points indiquée par L1 et L2 sont stables, c’est-à- dire qu’un objet qui soit en L1 ou L2 sera toujours là, dans la même position parrapport au deux objets plus massifs.

L

L

LLL

Les points de Lagrange dans l’espace (1)

Est-ce qu’on peut observer des objetsdans les points L1 et L2 d’une orbite?

Bien sûr: il y a de petites lunesqui évoluent sur la même orbite deJupiter en deux groupes placés dans

L1 et L2. Ces satellites ont étéappelé “TroyensTroyens”. Un satellite troyenne pourra jamais évoluer autour de

Jupiter, mais il va continuer sa marcheautour du Soleil, toujours à la même

distance de Jupiter. Crédit : JPL - NASAJupiter vue par la sonde Voyager 1 en 1979

Pour en savoir plus sur les troyens visitez http://perso.club-internet.fr/lemomo/troyens.htm

Les points de Lagrange dans l’espace (2)

Mais ce n’est pas tout: on peut “utiliser” les points lagrangiens,par exemple, pour étudier le Soleil au dehors de l’atmosphère, 24 heures sur 24, en plaçant une sonde dans le point lagrangienqui est entre la Terre e le Soleil.

Cette image de l’émission UV duSoleil à été obtenue par SOHO - Observatoire Solaire et Héliosphérique (SOlar and Heliospheric Observatory)

Pour en savoir plus visitezPour en savoir plus visitez http://www-dapnia.cea.fr/Phys/Sap/Actualites/SOHO/soho2.shtml

La découverte de Neptune

Le résultat le plus éclatant est sans doutela découverte de Neptune, effectuée parle mathématicien anglais John Couch Adams en 1845, et, indépendamment,par l’astronome Urbain Leverrier, l’annéesuivante. La planète fut observée dans laposition indiquée par les astronomes le23 septembre 1846.

La mécanique céleste pouvait donc être considérée comme la théorie la plus “robuste” de la science, et on pouvait penser que...

Neptune a été découvert en étudiant les pertubations du mouvement de Uranus, et supposant que la huitième planète était perturbée par une neuvième.

Le démon de Laplace

…que Laplace avait raison quand il avait dit en 1778:

“L'état présent du système de la Nature est évidemment une suite de ce qu'elle était au moment précédent et, si nous concevons une intelligence qui, pour un instant donné, embrasse tous les rapports des êtres de cet Univers, elle pourra déterminer pour un temps quelconque pris dans le passé ou dans l'avenir la position respective, les motions et généralement toutes les affections de ces êtres …”

Cette intelligence, ce démon, va a dominer les idées et les effortsdes physiciens pour plus d'un siècle.