Liceo Scientifico “G. Stampacchia”- Tricase25/03/2006

SUL CONCETTO DI LIMITE PER FUNZIONI REALI DI VARIABILE

REALE

Conversazione di Eduardo PascaliProfessore Ordinario di Analisi MatematicaDipartimento di Matematica “E.De Giorgi”Facoltà di Scienze MM.FF.NN.Università degli Studi di Lecce

Lo scopo di questa conversazione è Lo scopo di questa conversazione è quello di interpretare una definizione quello di interpretare una definizione matematica ritenuta, giustamente, matematica ritenuta, giustamente, fondamentale e, nello stesso tempo, fondamentale e, nello stesso tempo, acquisita con notevole difficoltà dalla acquisita con notevole difficoltà dalla maggior parte degli studenti. maggior parte degli studenti. Dopo aver formulato in maniera astratta la Dopo aver formulato in maniera astratta la definizione, ci adopereremo nella definizione, ci adopereremo nella spiegazione dei concetti adoperati e, in spiegazione dei concetti adoperati e, in conclusione, tenteremo di far vedere come conclusione, tenteremo di far vedere come la definizione possa essere interpretata la definizione possa essere interpretata come la codifica formale di un particolare, come la codifica formale di un particolare, ma naturale, “atteggiamento mentale”. ma naturale, “atteggiamento mentale”. Partiamo con la definizione che intendiamo Partiamo con la definizione che intendiamo esaminare:esaminare:

Sia assegnata una funzione reale f definita in X e sia x° un punto di accumulazione per l’insieme X, inoltre sia L un elemento di R ampliato (cioè l’insieme dei numeri reali con l’aggiunta di +∞ e di -∞).

Diciamo che L è il limite, per x che tende ad x°, della funzione f e scriveremo, per brevità:

lim f(x) = Lx x°

quando si verifica quanto segue:I(L ) I(x°) t.c. x X I(x°)/ x° :

(x I(x°) f(x) I(L) )

I(L) I(x°) t.c.

xXI(x°)/x°:

(xI(x°)f(x)I(L) )

Si legge in questo modo:Qualunque sia l’intorno di L

fissato, indicato con I(L), esiste un intorno di x° , indicato con I(x°) , tale che per ogni elemento x di X che non sia x° risulta vero quanto segue:

se x è elemento di I(x°) allora necessariamente f(x) è elemento di

I(L).

Ma che vuol dire ?Per dare una risposta occorre analizzare gli oggetti “matematici” utilizzati nella definizione.

Gli oggetti “matematici” che intervengono nella definizione sono i seguenti.

INSIEMEINSIEMEI NUMERI REALI E SUOI I NUMERI REALI E SUOI

SOTTOINSIEMI SOTTOINSIEMINUMERI REALI CON L’AGGIUNTA NUMERI REALI CON L’AGGIUNTA DI DI + + e - e - FUNZIONEFUNZIONEINTORNIINTORNIPUNTO DI ACCUMULAZIONEPUNTO DI ACCUMULAZIONE

INSIEMEINSIEMELa definizione di INSIEME è una delle più difficili della Matematica. Il tentativo di fondare la Matematica su una definizione “intuitiva” di insieme è fallito, ma lo studio condotto per ottenere una fondazione coerente della Matematica sulla definizione intuitiva di insieme ha evidenziato i limiti della visione “logico-formalista” della Matematica. Comunque per la gran parte delle indagini matematiche la definizione intuitiva di insieme data da George Cantor è sicuramente utile e non conduce (per lo meno non ancora) a contraddizioni manifeste.

Cantor definiva un insieme come

“qualunque collezione in un tutto di determinati e ben distinti oggetti dati dalla nostra intuizione o dal nostro pensiero”.

Egli richiedeva che vi fosse una regola definita e priva di ambiguità che stabilisse quali fossero elementi dell’insieme e quali no.

Procedere nella indagine sul concetto di insieme ci porterebbe necessariamente su difficili problemi di logica e sui legami tra logica e fondamenti della Matematica. Accontentiamoci della definizione data da Cantor.

I NUMERI REALI E SUOI I NUMERI REALI E SUOI SOTTOINSIEMISOTTOINSIEMI

I NUMERI REALI CON +I NUMERI REALI CON + e - e -

Questo argomento dovrebbe essere, in larga parte, noto. Per questo motivo accenneremo solo al significato che si attribuisce a + e - .

Il significato che si attribuisce ai due simboli è il seguente:

- < + ; - < a < + per ogni numero reale a.

FUNZIONEFUNZIONE

La nozione di funzione è strettamente legata ad un aspetto di un tipo d’attività che ognuno di noi costantemente adopera.

Spesso avendo a disposizione due insiemi ci troviamo, quasi inconsapevolmente, a tentare di stabilire delle “associazioni”: guardo un oggetto di un insieme e lo associo ad un oggetto dell’altro insieme, mediante un criterio che mi posso costruire in quella particolare situazione. La formalizzazione di uno di questi tipi di “gioco” conduce alla nozione matematica di funzione.

Il tipo di gioco che Il tipo di gioco che formalizziamo:formalizziamo: individua chi è l’insieme di partenza, (cioè da quale

dei due insiemi a disposizione partiamo) per poi associare ad ogni elemento di questo insieme un elemento dell’altro insieme, con l’accortezza che una volta considerato uno degli

elementi dell’insieme di partenza

(sia x) è univocamente determinato l’elemento dell’altro insieme associato ad x (indicato

con f(x)).

Si comprende bene allora cosa serve per formalizzare questo particolare gioco di associazione :

- Due insiemi, non vuoti, distinti o meno, di cui uno sia privilegiato rispetto all’altro- Un procedimento, una legge, comunque espressa, che ad ogni fissato elemento dell’insieme privilegiato associ uno ed un solo elemento dell’altro insieme.

Il modo più semplice per codificare questo fatto è esibire una scrittura di questo tipo:

(A,B,f)cioè una terna ordinata formata dall’insieme A, dall’insieme B e dal procedimento f.

Usualmente si usa la notazione f: A Be si dice di avere la funzione f definita in A ed a valori in B; A si dice insieme di partenza, B insieme d’arrivo; se x è elemento dell’insieme A, l’elemento di B associato ad x dal procedimento f si indica con il simbolo f(x) e si dice “immagine di x mediante f”.

In conclusione si può dare la seguente definizione:

Si dice di avere definito una funzione dall’insieme A verso l’insieme B se è assegnata una legge f che ad ogni elemento dell’insieme A associa uno ed un solo elemento dell’insieme B.

Nota Bene: Può succedere che a due differenti elementi di A la funzione associ lo stesso elemento di B.

I matematici hanno individuato alcuni tipi di funzioni particolarmente importanti. Piuttosto che dire perché sono importanti conviene sottolineare che esse corrispondono a codifiche di legittime domande che si possono porre una volta che sia stato dato il concetto di funzione.

1. Supponiamo di avere f:AB, se ho elementi distinti di A, i corrispondenti, mediante la f, sono distinti ?

2. Se ho un elemento di B, esso è sicuramente l’immagine mediante f di qualche elemento di A ?

La prima domanda si può interpretare meglio pensando alla legge f come ad un “trasporto” o uno “spostamento” degli elementi di A sugli elementi di B; la domanda si può allora riformulare dicendo: “se prendo due oggetti distinti di A, qualunque essi siano, alla fine del “trasporto” sono ancora distinti”.

La seconda domanda si interpreta meglio “stando” su y, elemento di B, e chiedendosi se il procedimento f “porterà” su y qualche elemento di A.

Funzioni per le quali la prima domanda si risolve in modo positivo sono dette

INIETTIVE

Quelle per le quali si risolve positivamente la seconda domanda sono dette

SURIETTIVE

f:A B INIETTIVA x, y A : (x y f(x) f(y)) (una funzione è iniettiva se conserva la diversità)

f:AB SURIETTIVA ( y B x A : f(x) = y)

Una funzione che sia iniettiva e suriettiva nello stesso tempo si dice bigettiva; pertanto:f:AB BIGETTIVA ( y B | x A : f(x) = y) N.B. In molte situazioni è assegnata semplicemente la legge f ed il problema è quello di determinare l’insieme A (dominio o campo di esistenza della variabile indipendente) e l’insieme B (insieme d’arrivo).

INTORNOINTORNO

Il concetto di intorno risulta essere una formalizzazione del concetto usuale di “vicinanza”, di “esser vicino”. Più che definire “intorno di un punto” definiremo cosa si debba intendere per la “famiglia degli intorni di un punto”.

Questo atteggiamento è naturale per i Matematici che vogliono, in generale, studiare gli oggetti per quello che permettono di fare non per quello di cui sono costituiti o, detto in altro modo, vogliono studiare le relazioni tra oggetti, o ancora alcune relazioni sono prese a fondamento della definizione di oggetto matematico da indagare.

Se X è un insieme astratto e p un suo punto diciamo che V(p) costituisce una famiglia di intorni di p se è formata da sottoinsiemi I di X per cui si abbia

Se I V(p) allora p I;

Se I V(p) e I J allora J V(p);

Se pq allora I V(p) e J V(q) tali che IJ =;

Se I V(p) allora J V(p) tale che:q V(p) I V(q).

La terza condizione si dice “PROPRIETA’ DI SEPARAZIONE”

La interpretazione delle precedenti quattro proprietà è semplice.

Ad ogni intorno di p appartiene almeno p;

Ogni sovrainsieme di un intorno di p è anche un intorno di p;

Se abbiamo p, q elementi distinti di X allora si possono determinare due intorni uno di p e l’altro di q che non hanno punti in comune

Se ho un intorno I di p allora esiste un altro intorno J di p per i cui elementi I è intorno.

Pensando molto liberamente, se per intorno di p (persona) si intende un insieme di amici di p, le proprietà dicono:

In ogni insieme di miei amici, ci sono io stesso (io sono amico di me stesso !)

Se prendo un insieme di miei amici ed aggiungo altri miei amici ho ancora un insieme di miei amici

Se considero un’altra persona, allora ci sono due insiemi di amici, uno mio ed uno dell’altra persona, che non hanno persone in comune (o con me o contro di me !)

Se ho un insieme di miei amici, un insieme di essi è formato da persone per le quali l’insieme originario è formato da persone a loro amiche.

Prendiamo la retta reale R.Se p è un numero reale, allora la famiglia degli intervalli aperti contenenti p costituisce una famiglia di intorni di p. Ai fini di quello che ci interesserà potremmo limitarci agli intervalli centrati in p, cioè dare la seguente definizioneI intorno di p tale che I = ]p- ,p+ [ (osserviamo che la quarta proprietà non è verificata).Se p=+ per intorno si intende ogni semiretta del tipo ]a, +). Se p=- per intorno si intende ogni semiretta del tipo (-, a[.

Prendiamo il piano cartesianoSe p è un punto del piano definiamo intorno di p ogni cerchio (con la circonferenza esclusa) contenente p; anche in questo caso potremo limitarci a considerare solo la famiglia dei cerchi con centro in p.

Una Osservazione su “cerchi” ed “intervalli”Una Osservazione su “cerchi” ed “intervalli”

Ricordiamo che sui numeri reali è definita una funzione detta “valore assoluto” in questo modo: x se x > 0| . | : RR dove |x| = -x se x 0Questa funzione verifica importanti proprietà:

|x| > 0 per x0 e |x|= 0 se e solo se x=0;|x| = |-x| per ogni x;|x+y| |x| + |y|||x|-|y|| |x-y|Se a>0 allora risulta (|x| < a se e solo se -a <x<a).

Il numero |x-y| si dice, come ben sappiamo, “distanza di x da y” ed esprime la “lunghezza” dell’intervallo di estremi x ed y.

Dall’ultima proprietà si ricava quanto segue.

Se r >0 allora |x-p|< r se e solo se p-r < x < p+r.

Che si può leggere “se x dista da p meno di r allora e solo allora x è un elemento dell’intervallo di centro p e semidimensione r”; in questo modo si comprende che: se consideriamo il generico intervallo aperto ]a,b[, posto p = (a+b)/2 ed r = (b-a)/2, si ha

]a,b[ = ]p-r,p+r[;quindi ogni intervallo della retta numerica è “cerchio” rispetto alla distanza tra punti della retta numerica.

DOMANDADOMANDA

PERCHE’ ABBIAMO CHIAMATO DISTANZA TRA x PERCHE’ ABBIAMO CHIAMATO DISTANZA TRA x ED y IL NUMERO REALE NON NEGATIVO |x-y| ?ED y IL NUMERO REALE NON NEGATIVO |x-y| ?

Questa domanda apre il capitolo matematico degli spazi METRICI, cioè degli insiemi in cui è definito il concetto di distanza.

Ma che significa “DISTANZA” in Matematica ?

Se analizziamo le proprietà che noi attribuiamo al termine “distanza” quando usato comunemente, ci accorgiamo che richiediamo sicuramente i seguenti fatti:

Se non mi muovo allora il costo da pagare è zero;

se mi muovo per andare da A a B allora ho un costo positivo;

Per andare da un punto A ad un punto B pago lo stesso se vado dal punto B al punto A;

in più accettiamo che

Per andare dal punto A al punto B pago di meno che se facessi una fermata in un altro punto C (questa condizione può essere interpretata come una specie di “minimalità” del costo).

La formalizzazione di queste richieste conduce alla definizione di spazio metrico.

Se S è un insieme non vuoto, si dice che d è una distanza in X se risulta d una funzione del tipo

d: SxS R che verifica la seguenti condizioni:

d(A, B) 0 per ogni coppia di punti;d(A,B)=0 se e solo se A=B;d(A,B) = d(B,A) per ogni coppia di punti;d(A,B) d(A,C) + d(C,B) per ogni terna di

punti.

Negli spazi metrici si possono definire i cerchi, le circonferenze ed alcuni concetti della geometria, nonché il concetto di intorno di un punto dello spazio metrico.

PUNTO DI ACCUMULAZIONEPUNTO DI ACCUMULAZIONE

Siamo ora in grado di dare la nozione di punto di accumulazione. Questa definizione codifica un fatto semplicissimo:“la possibilità di avvicinarci ad un punto utilizzando punti di un assegnato insieme” o se vogliamo codifica “i punti che possono essere raggiunti muovendosi sui punti di un assegnato insieme”;difatti la locuzione precisa da usare non è “punto di accumulazione” ma “punto di accumulazione per l’insieme X”.

Allora, sia X un fissato sottoinsieme dei numeri reali R, un elemento p si dice punto di accumulazione per X se si verifica quanto segue:

I(p) risulta I(p) (X/p)

ovvero vicino, quanto voglio, a p c’è almeno un elemento di X che è diverso da p.

Se osserviamo la definizione notiamo che essa ha significato quando si abbia a disposizione il concetto di intorno (pertanto ha sicuramente significato negli spazi metrici).

La definizione precedente se p è un numero reale, tenendo conto dell’osservazione fatta sugli intorni (e del fatto che vuol significare), diviene

0 risulta x X, tale che 0< |x-p| <.

Come si può riscrivere se p=+ oppure p=- ?

La definizione precedente può essere scritta anche cosi

0 risulta x X, tale che 0< d(x,p) <.

E si comprende subito che la definizione ha “cittadinanza” anche negli spazi metrici.

Tentiamo ora di comprendere cosa vuole significare la definizione di limite ricorrendo ad un esempio triviale.

vetrata

???

Prof.

Quale è la domanda che naturalmente vi ponete ? Evidentemente:

Dove mi sbatte il Professore ?

Quale ragionamento facciamo per “tentare di prevedere” dove il professore ci metterà a sedere ?

Dopo averci pensato un poco……….

ANDATE A RIGUARDARE LA DEFINIZIONE DI LIMITE

MA NE SIETE PROPRIO MA NE SIETE PROPRIO CONVINTI ???CONVINTI ???

NON RAGIONATE PROPRIO COME E’ CODIFICATO NELLA

DEFINIZIONE !!!

Auguri per i prossimi Auguri per i prossimi esami esami

e e per i vostri progetti per i vostri progetti di studio e di vita di studio e di vita