Lezione9 DinamicaRotazionale...

Lezione 9Dinamica RotazionaleBiomeccanica

Ezio Maina

Corso di Laurea in FarmaciaAnno accademico 2019 -2020

Corso di Fisica

Lezione 9Corso di Laurea in Farmacia: Fisica

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L’elasticita’ in un solido e la legge di Hooke

La lezione di oggi

L’equilibrio statico e le leve

L’elasticità delle ossaF F


2019/2020 2

L’elasticita’ in un solido e la legge di Hooke

La lezione di oggi

L’equilibrio statico e le leve

L’elasticità delle ossaF F


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Si definisce corpo rigido un corpo che non si può deformare,qualunque sia l’entità delle forze che agiscono su di esso.


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Momento di una forzaEquilibrio staticoLe leveL’elasticitàSforzo e stiramento nelle ossa


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Il momento di una forza

Fr τ!!!

Ù=

Il momento di una forza mi permette di quantificare la

capacità di una forza di causare una rotazione


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Fr τ!!!

Ù=Il vettore t ha:l Modulo: r F senql Direzione: perpendicolare al piano di r e Fl Verso: regola della mano destra (r:pollice, F: indice, t:medio)

Unità di misura: N m (non joule !)Dimensionalmente: [L][MLT-2] = [M][L2][T-2]t > 0 se produce un’accelerazione angolare (a) inverso antiorariot < 0 se produce un’accelerazione angolare (a) inverso orario


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F e r

perpendicolari

rF )sen(90Fr τ o =××=


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F e r

paralleli

0 )sen(0Fr τ o =××=


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F e r

con angolo

qualunque

senθFr τ ××=

Nota. Dovrei mettere un segno ‘-’ per tener conto del fatto che

l’accelerazione è in verso orario (ovvero, negativo)


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Momento ed equilibrio statico

Se F1+F2=mg, il sistema èin equilibrio


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Se F1+F2=mg, il sistema e’in equilibrio

Ma se F1=mg e F2=0, ilsistema non è in equilibrio


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Se F1+F2=mg, il sistema èin equilibrio

Ma se F1=mg e F2=0, ilsistema non è in equilibrio

Condizione di equilibrio staticoLa risultante delle forze deve essere 0 0 F =å

!

0 τ =å !La risultante dei momenti deve essere 0


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0 mg - F F 21 =+

Problema unidimensionale (y)

0 F =å!

0 τ =å!0 senθF r senθmg r senθF r 222bb111 =××+××+××

0 )sen(90F L )sen(270mg 4

3L senθF 0 o2

o11 =××+××+××

-1 1mg 4

3L F L 2 ×=×


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0 mg - F F 21 =+

mg 4

3L F L 2 ×=×

mg41 F1 =

mg43 F2 =

Condizione

di

equilibrio statico


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Centro di massa ed equilibrioCondizione di equilibrio statico

0 τ =å!

0 )sen(270gm x )sen(90gmx o22

o11 =××+××

q

x1

w1

x2

w2

q


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Centro di massa ed equilibrioCondizione di equilibrio statico

0 τ =å!

0 )sen(270gm x )sen(90gmx o22

o11 =××+××

0 m x mx 2211 =×-×

Calcolo la xcentro di massa

M

xmx ii

CM == åi

Un sistema è in equilibrio quando il suo centro di massa è nel punto di sospensione

0 mm

xmxm- 21

2211 =++


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Le leveLa leva è una macchina semplice composta da

una forza motrice, una forze resistente e un fulcro

1o tipo

2o tipo

3o tipo


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Le leve nel

corpo umano

1o tipo

2o tipo

In punta di piedi

3o tipo


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Le leve e il guadagno meccanico

0Fb - Fb mmrr =

r

m

m

r

bb

FF G.M. ==

Guadagno meccanico è il rapporto tra le forze

motrice

resistente

FF G.M.=

Vale per tutti i tipi di leva

Condizione di equilibrio statico

con forze perpendicolari alla leva

0 τ =å!

x

y


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Le leve e il guadagno meccanico

Tipo di leva Guadagno meccanico

1o tipoPuò essere

<1 o >1

2o tipo Sempre > 1

3o tipo Sempre <1


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Le leve del corpoSe la forza è perpendicolare alla leva

r

m

bb G.M.=

Quindi br piccoli à grandi GMMa lo spostamento dell’estremità è proporzionale a brà grande velocità, grande br

Cavallo da corsa, zampa anteriore: GM 0.08l Poca forza, grande velocità

Armadillo, zampa anteriore: GM 0.25l Grande forza per scavare,

bassa velocità


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La colonna vertebrale

Persona piegata con il dorso orizzontale:l Fr ~ 65% del peso totale, applicato

circa a metà della colonna vertebralel FM muscoli della schiena, con q~12o

l Fulcro: osso sacro

Colonna vertebrale: 24 vertebre, separate da dischi pieni di liquidoDisco lombosacrale (separa l’ultima vertebra dall’osso sacro) deve sopportare grandi forze

FM q


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La condizione di equilibriodelle forze sull’asse xrichiede che

La condizione di equilibrio dei momenti sull’asse y richiede che

0 mgr - sen168 Fr mgo

mm =×

Con m=75 kg, la forza sul disco lombosacrale è ~ 2200 N

FMq

x

y ma rmg ~ rM e quindi

0.2mg Fm =

mo

mfulcro sul x, F0.98 cos12 F F ×==


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La condizione di equilibriodelle forze sull’asse xrichiede che

La condizione di equilibrio dei momenti richiede che

0 mgr - sen12 Fr mgo

mM =×

Con m=75 kg, la forza sul disco lombosacrale è ~ 2200 N

FMq

x

y ma rmg ~ rM e quindi

0.2mg Fm =

mo

mfulcro sul x, F0.98 cos12 F F ×==

Se applico una massa di 15 kg all’estremo destro, la forza diventa di ~ 3200 N

15 kg


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La colonna vertebraleSoluzione: tenere la colonna vertebrale verticaleI momenti sono quasi nulli (q tra mg e colonna vertebrale ~ 0o)Con m=75 kg, la forza sul disco lombosacrale e’ ~ 500 NSe aggiungo un peso di 15 kg, la forza sul disco lombosacrale diventa ~600 N)


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L’elasticitàCorpo elastico è un corpo che riprende la sua forma

originale una volta rimosse le cause della deformazione

Corpo plastico è un corpo che rimane deformato, anche dopo aver rimosso le cause della deformazione

l

F è modulo della forza applicata

A è area della sezione del corpo

Y è modulo di elasticità di Young

Corpi elastici è Legge di Hooke

ll Y

AF D=

gm P !!=

Dl


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La legge di Hooke e il modulo di Young

Legge di Hooke

ll Y

AF D=

Un campione lungo è allungato più di uno corto

Dl lUn campione

sottile è allungato più di

uno spessoDl 1/A

es Y =Se definisco

F/A = s (sforzo)Dl/l = e (stiramento)

µ

µGrande Y ⇒ piccolo "l


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La legge di Hooke e il modulo di Young

Materiale Y (N m-2)

Acciaio 2 1011

Ossa lungo l’asse (trazione) 1.8 1010

Ossa lungo l’asse (compressione)

0.9 1010

Vasi sanguigni 2 105


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Sforzo e stiramento nelle ossa

trazione

compressione

Sforzo terminale compressivo (S)

Sforzo terminale tensile (S)

s (F/A) Nm-2 x 107

e (Dl/l) x 10-3

5

10

15

-15

-10

-5

-5-10-15 5 10 15

Le pendenze sono diverse (trazione ~

2x compressione)

I valori di S sono diversi tra compressione e

trazione

F=mg~103 N

A~1 cm2=10-4 m2

Le ossa sono più deformabili in compressione che in trazione


2019/2020 34Prossima lezione: I fluidi

Riassumendo

Le ossa hanno valori diversi per lo stiramento a seconda che lo sforzo sia in compressione o trazione

La legge di Hooke è valida per molti casi reali

I momenti delle forze sono molto usati nel corpo umano (le leve).


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Esercizioda fare a

casa

Calcolare la forza FA che il supporto A esercita sul trampolino se una persona di 58 kgsta sulla sua estremità:

A) ignorando la massa del trampolino;B) tenendo conto della massa del trampolino di 35 kg e assumendo che il centro digravità del trampolino sia nel centro geometrico;

C) ignorando la massa del trampolino, con una persona che abbia una massa del 15%maggiore.


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Soluzione

A) FA = LmPg/l = 1700 N

B) FA = LmPg/l + (L-l)mTg/2l = 2000 N

C) FA’ = 1.15. FA = 2000 N


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Esercizio 1

Il femore di un adulto ha una sezione di circa 6 cm2 e la sostanza ossea di cui ècomposto ha un modulo di elasticità in compressione di 9x109 Nm-2. Prima dirompersi può sopportare un carico Smax pari a 1.7x108 Nm-2.Quanto vale l’intensità massima della forza che può essere applicata ?

Qual è l’accorciamento relativo che esso subisce subito prima dellarottura se assumiamo sempre valida una relazione di proporzionalità fra ilcarico e la deformazione?

N101.0)Nm10(17)m 10(6 A F 5-272-4MaxMax ´=´´´== s

100 volte il peso corporeo

% 1.90.019Nm109Nm1017

Yll

2-9

-27Max ==

´´

==D s

~ 1 cm


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Esercizio 2

Calcolare lo stiramento di un vaso sanguigno della sezione di 1 cm2 alquale sia applicata una forza di 10 N.

(ppm) milioneper parti 5.0105.0102

10 611

5

=´=´

= -e

Quanto varrebbe lo stiramento se il materiale fosse acciaio ?

2-524-2 Nm 10

m10N 10

cm 1N 10 ===s

% 505.0102

105

5

==´

=e

SforzoStiramento


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N 2000 sm 9,8 kg 210 2 »×=F

Per ogni gamba F ~ 1000 N

A=10 cm2

l = 40 cmPer le ossa:Y= 0,9·1010 N/m2 compressioneY= 1,8·1010 N/m2 trazione

lΔlY

AF=

La gamba si accorcia di:

mN100,9

cm 40cm 10

N 1000 Yl

AF Δl

210

2×

×=×=cm 100,9

m 104 11

24

××

=

m 100,9

104 9

4

××

= m 0,94 9410 -×= m 10 4,4 -5×=

m 10100,9m 104 2-11

24

×××

=

Esercizio 3

F F

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