Lezione6

7/21/2019 Lezione6

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Lezione 6:

Analisi della varianza (ANOVA)

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Sintesi della lezione

• Analisi della varianza (ANOVA):

concetti di base

• ANOVA ad un solo fattore

• ANOVA a due fattori

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L’analisi della varianza

(ANOVA)• Una procedura per la valutazione di differenze

fra i valori medi per due o più trattamenti (o popolazioni)

• Differenza rispetto al test t

– Possibilità di confrontare più di due trattamenti

– ad es. test dell’efficacia di un nuovo metodo didatticoin classi di dimensione:

• piccola

• media

• grande

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Terminologia

• Variabile indipendente: una variabile che ilricercatore sottopone a manipolazionesperimentale

• Variabile quasiindipendente: una variabileutilizzata per distin!uere fra diversi !ruppi dirisultati

• Nell"analisi della varianza le variabili indipendentie quasiindipendenti si chiamano fattori

• Variabile dipendente: una variabile il cui valore #determinato da quello dei fattori

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Due disegni sperimentali

$ anni % anni & anni

Metodo A c1 c2 c3

'lasse

piccola

classe

media

classe

!rande

Metodo A c1 c2 c3

Metodo B c4 c5 c6

Disegno ad un solo attore Disegno a pi! attori

" #ampioni $ " medie 6 #ampioni $ 6 medie

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Disegno #on un solo attore:

misure indipendenti• : non esistono

differenze fra le tre

popolazioni* +e

differenze osservate

sono dovute al caso

• ,: le differenze

osservaterispecchiano

differenze reali fra le

tre popolazioni

%&' &' "&'

#ampione %

*

media&

#ampione

%

*

+

media&*

#ampione "

*

6

,

media&6

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Apprendimento e temperatura

am-iente• +"esperimento

– Misurazione della

capacità diapprendimento a:

• 10°

• 20°

• 30°

• ) : ,- . - /

• ,: Almeno una

delle medie #

diversa dalle altre

(si considera

l"ipotesi alternativa più !enerale)

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.l rapporto /

• 0l rapporto 1 fornisce le stesseinformazioni che possiamoderivare dal test t

2A

• 0l test t si basa sulla differenzafra due medie

• 0l rapporto 1 si basa sullavarianza di un insieme di due o più medie

• 0n entrambi i casi una fortedifferenza fra le medie (unaelevata varianza) # indice della presenza di una differenzasi!nificativa

attesavarianza

mediedellevarianza F =

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Due tipi di varianza

• Varianza fra icampioni

– Effetto del trattamento

– L’apprendimento a 20gradi nettamentesuperiore a !uelloregistrato a "0 e a #0gradi

• Varianza all"internodei campioni

– $arianza dovuta al caso

3rattamento

A (, !radi)

3rattamento 4

(. !radi)

3rattamento ' (/

!radi)

0 4 1

1 3 2

3 6 2

1 3 0

0 4 0

Media 1 4 1

3rattamento

A (, !radi)

3rattamento 4

(. !radi)

3rattamento ' (/

!radi)

0 4 1

1 3 2

3 6 2

1 3 0

0 4 0

Media 1 4 1

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.l rapporto / per studi a misure

indipendenti• 5e il trattamento non

ha alcun effetto il

valore del rapporto 1

sar6 vicino a ,

• 5e il trattamento ha

un effetto si!nificativo

il rapporto 1 sar6

lontano da ,*

casuale

casualeotrattament

varianza

varianzavarianza

campionideiinternoall' varianza

campionii fravarianza F

+

=

=

Se il trattamento non 0a

eetto

1varianza

varianza

varianza

varianza0 F

casuale

casuale

casuale

casuale==

+=

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Analisi della varianza: pro#edura

• 'alcolo deviazioni quadratiche

– Popolazione

– %ra campioni

– &ll’interno dei campioni

• Analisi !radi di liberta

• 'alcolo varianza• 'alcolo rapporto 1

• Decisione

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1al#olo deviazioni 2uadrati#0e 3%

• 'alcolare il totaledelle deviazioniquadratiche per

l"intera popolazione

• 78cel

– dev.!'(tutti gli scorenel campione)*

• Open Office

– dev.s!'(tutti gli scoredel campione)*

3rattamento

A (, !radi)

3rattamento 4

(. !radi)

3rattamento ' (/

!radi)

0 4 11 3 2

3 6 2

1 3 0

0 4 0

Media 1 4 1

somma delle deviazioni2uadrati#0e&*6

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1al#olo deviazioni 2uadrati#0e 3

• 'alcolare la sommadelle deviazioniquadratiche per

ciascun campione

• 78cel: dev*q(9c,);dev*q(9c.);dev*q(9c/)

• Open Office:dev*sq(9c,);dev*sq(9c.);dev*q(9c/)

3rattamento

A (, !radi)

3rattamento 4

(. !radi)

3rattamento ' (/

!radi)

0 4 1

1 3 2

3 6 2

1 3 0

0 4 0

Media 1 4 1

dev.! c" 6

dev.! c2 6

dev.! c# 4

somma 16

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1al#olo deviazioni 2uadrati#0e 3"

• 0l valore per le

deviazioni

quadratiche fracampioni si calcola

come la differenza

fra dev*q totale e

dev*q all"interno dei campioni 3016 46 dev.q

dev.qdev.qdev.q

dev.qdev.qdev.q

fra

int totale fra

int fratotale

=−=

−∴

+=

=

3rattamento

A (, !radi)

3rattamento 4

(. !radi)

3rattamento ' (/

!radi)

0 4 1

1 3 2

3 6 2

1 3 0

0 4 0

Media 1 4 1

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Analisi dei gradi di li-ert4

• !dl totale-N,-,%,-,$

• !dl int -!dl c,;!dl c. ;!dl c/

-$;$;$

-,.

• !dl fra - !dl totale!dl interno

-,$,.

-.

3rattamento

A (, !radi)

3rattamento 4

(. !radi)

3rattamento ' (/

!radi)

0 4 1

1 3 2

3 6 2

1 3 0

0 4 0

Media 1 4 1

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1al#olo della varianza

/ormula generale

gdl

dev.qvarianza =

""5%%(

%6

%(

")

===

===

interno

internointerno

fra

fra

fra

gdl

dev.q

varianza

gdl

dev.qvarianza

3rattamento

A (, !radi)

3rattamento 4

(. !radi)

3rattamento ' (/

!radi)

0 4 1

1 3 2

3 6 2

1 3 0

0 4 0

Media 1 4 1

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1al#olo del rapporto /

,5%%""5%

% ===

int

fra

varianzavarianza F

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La de#isione

• Nell"analisi 1 cos<come nel test z e neltest z occorre

confrontare il valoredella statisticacalcolata con ladistribuzione dellastessa calcolando la

probabilit6 che ilvalore riscontrato siaattribuibile allacasualit6

0,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0 1 2 3 4 5 6 7

F

p ( F )

Dist

+,#-..

p,0-0/

.l rapporto / 7 un rapporto ra due

varianze (sempre positive)

.l valore di / 7 sempre positivo

8ona

#riti#a

Distri-uzione / per

gdlint&% e gdlra&

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Ta-ella della distri-uzione /

• 0n una tabella dei valori

della distribuzione 1 il

valore critico si determina

in base ai !radi di libert6fra i campioni=quelli

all"interno dei campioni e il

valore di alfa

• 78cel: inv*1(alfa>

!dl fra>!dl int )

• Open Office:finv((alfa>

!dl fra>!dl int )

" 2 # /

"0 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33

"" 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20

"2 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11

"# 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03" 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96

"/ 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90

"1 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85

" 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81

" 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77

"3 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74

20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71

Valori #riti#i di / per

ala&5

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La de#isione

• 1-,,=.?

• 1 crit (=%=.=,.)-/=??

• 5i rifiuta l"ipotesi nulla

• +a temperatura

esercita un effetto

si!nificativo sulla

capacit6 di

apprendimento

3rattamento

A (, !radi)

3rattamento 4

(. !radi)

3rattamento ' (/

!radi)0 4 1

1 3 2

3 6 2

1 3 0

0 4 0

Media 1 4 1

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L’analisi della varianza nella

letteratura s#ientii#a• +e medie e le

deviazioni standard

sono presentate nella

tabella ,* +"analisidella varianza

dimostra una

differenza

si!nificativa=1(.=,$)-,,=.?= p9=%

3rattamento A

(, !radi)

3rattamento 4

(. !radi)

3rattamento ' (/

!radi)

Media 1,00 4,00 1,00

Dev !t 1,22 1,22 1,00

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9ser#itazione

3rattamento A 3rattamento 4 3rattamento '

n 5 5 5

media 1 2 3

4ev.5 45 35 50

%ot dev. 325

: non vi 7 al#una dierenza ra gli eetti dei tre

trattamenti

ala&5

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1al#olo delle deviazioni

2uadrati#0e• Dev*q tot -/.%

• Dev*q int -$%;/%;%-,/

• Dev*q fra-/.%,/-,@%

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Analisi dei gradi di li-ert4

• dl tot -N,-,%,-,$

• dl int -$;$;$-,.

• dl fra-.

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1al#olo della varianza e di /

• Varianzaint -,/B,.-,=?/

• Varianzafra-,@%B.-@C=%

• 1-@C=%B,=?/-@

• 10NV(=%>.>,.)-/=??

• 5i rifiuta l"ipotesi nulla

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1ondizioni di validit4 per

l’ANOVA ad un solo attore• Osservazioni indipendenti

• Distribuziuone normale della

popolazione

• Varianza omo!enea per ciascuno dei

campioni

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Disegni a pi! attori

• Nei limiti del possibile i ricercatori cercanodi studiare una sola variabile indipendente

• 0n situazioni di vita reale il fenomenoosservato # il risultato dell"interazione fra

più fattori

– ad es. interazione tra fattori ambientali e fattori

genetici nel cancro

• er studiare questi fenomeni si utilizzanodise!ni sperimentali fattoriali

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;midit4 e temperatura

• 7ffetti con!iunti ditemperatura e umidit6 sullacapacit6 di apprendimento

• +"analisi della varianzaconsente di valutare / diverseipotesi= che esistono:

– differenze negli score dovutea differenze di temperatura

– differenze negli score dovute

a differenze di umidità

– differenze negli score conparticolari combinazioni ditemperatura e umidità

3emperatura

Umidit6 ,) .) /)

)=/ c1 c2 c3

)=C c4 c5 c6

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<li =eetti prin#ipali>

• 7ffetto A: analisi

della varianza per il

fattore A(temperatura)

• 7ffetto 4: analisi

della varianza per il

fattore 4 (umidit6)

Umidit6 , . / 3otale

=/ 85 80 75 80

=C 75 70 65 70

3otale 80 75 70

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.nterazioni


=/ 85 80 75 80

=C 75 70 65 70

3otale 80 75 70

1aso senza interazioni? Tutte le

osservazioni possono esserespiegate in -ase agli eetti

prin#ipali


=/ 80 80 80 80

=C 80 70 60 70

3otale 80 75 70

1aso #on interazioni? La

temperatura eser#ita il suoeetto solo in presenza di

elevata umidit4

7ffetti dovuti a particolari combinazioni dei due fattori

che non possono essere spie!ati in termini de!li

effetti principali

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/ormalizzazione delle ipotesi

• ) : tutti i valori osservati possono

essere spie!ati in termini de!li effetti

principali

• ,: esiste almeno un valore che non

puE essere spie!ato solo in termini

de!li effetti principali

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Logi#a della verii#a dell’ipotesi

• Analisi della varianza per effetto A

(temperatura)

• Analisi della varianza per effetto 4

(umidit6)

• Analisi della varianza per effetti non

spie!ati da AF4 (interazioni)

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@ro#edura

• Analisi varianza complessiva

• Analisi varianza per fattori A F 4

• 0dentificazione varianza non spie!ata

da A e 4

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Analisi varianza #omplessiva 3%

• 1attore A: umidit6

• 1attore 4: temperatura

• 'alcolo delledeviazioni quadratiche

– dev.!tot,#0

–dev.!int,"621620662062,"20

– dev.!fra,#07"20,220

4, 4. 4/ 2edia

&" 5 9 3

3 9 8

3 13 3

8 6 3

6 8 3

media 4,75 9,25 4,25 6

dev.! 18 26 20

&2 0 0 0

2 0 3

0 0 7

0 5 5

3 0 5

media 0,5 1,25 3,75 2

dev.! 8 20 28

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Analisi varianza #omplessiva 3

• Analisi dei !radi di libert6

– 84Ltot,97",#07",23

– 84Lint,1,2

– 84Lfra,2372,/

• Varianzaint -dev*q int BD+int

-,.B.$

-%

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Analisi varianza A

• Dev*q tot -/$

• Dev*q int(A)-..

• Dev*q fra(A)-,.

• D+tot -.@

• D+int(A)-.?

• D+fra(A)-,• Varianzafra(A)-,.B,

-,.

4, 4. 4/ 2edia

&" 5 9 3

3 9 8

3 13 3

8 6 36 8 3

media 4,75 9,25 4,25 6

dev.! 18 26 20

&2 0 0 0

2 0 3

0 0 70 5 5

3 0 5

media 0,5 1,25 3,75 2

dev.! 8 20 28

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Analisi varianza

• Dev*q tot -/$

• Dev*q int(4)-/.

• Dev*q fra(4)-.

• D+tot -.@

• D+int(4)-.C

• D+fra(4)-. • Varianzafra(4)-.B.

-,

4, 4. 4/ 2edia

&" 5 9 3

3 9 8

3 13 3

8 6 36 8 3

media 4,75 9,25 4,25 6

dev.! 18 26 20

&2 0 0 0

2 0 3

0 0 70 5 5

3 0 5

media 0,5 1,25 3,75 2

dev.! 8 20 28

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Analisi interazione (AB)

• Dev*q A84-Dev*q fraDev*q fra(A)Dev*q fra(4)

-..,..

-?

• D+ A84-D+fraD+fra(A)D+fra(4)

-%,.

-. Varianzafra(A84)-?B.

-$

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.l rapporto /

1 A-varianzafra(A) Bvarianzaint

-,.B%-.$

1 4 -varianzafra(4) Bvarianzaint

-,B%-.

1 A84-$B%

-?

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De#isione

• 1attore A

– +&,2

– +crit'0-0/;";2*,-20

– <i rifiuta l’ipotesi nulla

• 1attore 4

– +=,2

– +crit'0-0/;2;2*,#-#/

– <i accetta l’ipotesi nulla

• A84

– +&>=,

– +crit'0-0/;2;2*,#-#/

– <i rifiuta l’ipotesi nulla

• 'onclusioni

– La temperatura ?a un

effetto diretto sulla

capacità diapprendimento

– L’umidità non esercita

alcun effetto diretto

– L’effetto dell’umiditàdipende da

un’interazione con la

temperatura

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1ondizioni di validit4 per

l’ANOVA a due attori• Osservazioni indipendenti

• Distribuziuone normale della

popolazione

• Varianza omo!enea per ciascuno dei

campioni

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