lezione07-2016.ppt [modalità...

Legge di Ohm generalizzata per il condensatore• Abbiamo visto che la corrente che scorre in un condensatore a cui si

applica una differenza di potenziale sinusoidale è

• Dal punto di vista formale la formula appena trovata è simile alla legge di Ohm, basta pensare ad una «impedenza» del condensatore (analoga della resistenza per il resistore, ma complessa) definita come

• In tal caso si può scrivere la legge di Ohm generalizzata per il condensatore:

CCCC

tjoC

tjoC

C

iCj

VVCjii

ejCVeVdtdC

dtdVC

dtdqi

1

)()(

CCC iZV

CjZ C

1

Legge di Ohm generalizzata per l’induttore

• Un ragionamento analogo si può fare per l’ induttore. Dalla legge di Lenz per un induttore ideale:

assumendolo attraversato da una corrente sinusoidale:

• Quindi, definendo l’impedenza dell’induttore come:

si ottiene la legge di Ohm generalizzata per l’induttore:

dtdILV L

L

Ltj

oL

Ltj

oL ILjejLidt

dILVeiI

LLL IZV

LjZ L

Legge di Ohm generalizzata• Quindi, per circuiti attraversati da correnti sinusoidali, e

contenenti solo resistori, condensatori e induttori, varrà la legge di Ohm generalizzata, e quindi si potranno utilizzare gli stessi metodi (maglie, nodi etc.) utilizzati per i circuiti con i resistori, usando le impedenze al posto delle resistenze.

• Ad esempio il circuito RC può essere considerato un partitore di tensione realizzato con due impedenze, l’ impedenza del resistore e quella del condensatore:

C

RVin

Vout

Vin

Vout

Z1

Z2RCjV

V

CjRCj

ZZZ

VV

in

out

in

out

11

/1/1

21

2

Circuito RC in regime sinusoidale

• Se consideriamo il circuito RC come un blocco con un ingresso ed una uscita (vedi figura), vogliamo studiare Vout (segnale in uscita) al variare di Vin (segnale in ingresso, sinusoidale).

• Per la linearità dei componenti utilizzati, se Vin è sinusoidale, Vout è anch’esso sinusoidale, con la stessa frequenza ma con diverse ampiezza e fase, che si trovano con il metodo dei fasori:

C

R

Vin

Vout

arctan,1

1

1

2oin

oC

inC

VV

VRCj

V

• Data la risposta diversa alle diverse frequenze, questo blocco circuitale viene anche chiamato filtro, ed in particolare filtro passa-basso, perché trasmette in uscita le frequenze basse pressochèinalterate, mentre attenua le frequenze alte.

• In questo caso, riapplicando la formula del partitore abbiamo

• Da cui

• Il circuito CR è un filtro passa alto.

R

C

Vin

Vout

/1arctan

1

1

2

oinoR

inR

VV

VRCj

RCjV

Circuito CR in regime sinusoidale

CjRR

ZZZ

VV

in

out

/121

2

arctan

1

1

1

2

oinoC

inC

VV

VRCj

V

/1arctan

1

1

2

oinoR

inR

VV

VRCj

RCjV

Circuito RC: Filtro passa basso:

Circuito CR: Filtro passa alto :

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

0

0

RC

RC

Vo

2/oV

VoC

0

0

/2/4

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

0

0

RC

RC

Vo

0

0

/2/4

Filtri con induttori• Si possono realizzare filtri passa-basso e passa alto anche con

resistori e induttori, invece che con resistori e condensatori. • Sempre considerando i partitori di impedenze si ottiene facilmente

la funzione di trasferimento [Vout/Vin ] in funzione di , o di f :

Vin VoutL

R)/(1

1RLjLjR

RVV

in

out

Vin VoutLR

)/(1)/(RLj

RLjLjR

LjVV

in

out

Passa-basso con frequenza di taglio

Passa-alto con frequenza di taglio

LRfo 22

1

LRfo 22

1

Circuiti integratori e derivatori

• Sono circuiti che producono all’ uscita un segnale di tensione proporzionale all’ integrale (o alla derivata) del segnale in ingresso.

• Che si possano costruire e’ evidente dalle relazioni

t

t

VdtL

Idt

dVCI

dtdILVIdt

CV

0

0

1;

;1

Circuiti integratori: RC

C

R

Vin Vout

t

tinout

t

tin

t

tCout

in

Rin

RC

RCin

o

oo

dttVtV

dttVRC

dttiC

tVtV

tVR

tI

tRItVtVtVtV

VVV

')'(1)(

')'(11')'(1)()(

)(1)(

)()()()()(

se

Circuiti integratori: LR

Vin Vout

t

toout

t

toRout

t

to

in

Lin

LR

RLin

o

o

o

tRidttVtV

tRidttVLRtRitVtV

tidttVL

ti

dttVtLdi

tidtdLtVtV

tVtVVVV

)(')'(1)(

)(')'()()()(

)(')'(1)(

)()(

)()()(

)()(

se

Circuiti derivatori: CR

)()()()(

)(1)()(

')'(1)()(

)()(

tVdtdtV

dtdRCtRitV

tiC

tVdtdtV

dtd

dttiC

tVtV

tVtVVVV

ininout

Cin

t

tCin

CR

RCin

o

seVin Vout

C R

Circuiti derivatori RL

Vin Vout

R

L

)()(

)()()(

)(1)(

)()()()()(

tVdtdtV

tVdtd

RLti

dtdLtV

tVR

ti

tRitVtVtVtV

VVV

inout

inout

in

Rin

RL

RLin

Circuiti integratori e derivatori

• Abbiamo quindi delle “approssimazioni” di circuiti integratori e derivatori.

• I filtri “passa basso” RC e LR forniscono gli integratori;

• I filtri “passa alto” CR e RL forniscono i derivatori.

CR

Vin Vout

Vin VoutL

R

Vin VoutL

R

Vin VoutC R

Regime sinusoidale

C

R

Vin

• Possiamo quindi graficare, in funzione della frequenza del segnale d’ ingresso, l’ ampiezza del segnale in uscita, ed il suo sfasamento:

Vout

arctan

1

dove

2

)(

ooC

tjoCout

tjoin

VV

eVV

eVV

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

0

0

RC

RC

Vo2/oV

VoC

/2/4

0

0

Circuiti integratori e derivatori• Le approssimazioni sono

tanto migliori quanto piu’ il segnale in uscita e’ piccolo rispetto a quello in ingresso.

• Per i circuiti derivatori questa approssimazione e’ rispettata tanto meglio quanto piu’ f < fo=1/2;

• Per i circuiti integratori questa approssimazione e’ rispettata tanto meglio quanto piu’ f > fo=1/2;

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

0

0

RC

RC

Vo2/oV

VoC

0

0

/2/4

A questa frequenzail passa basso e’ unbuon integratore.Ma il segnale in uscitae’ ridotto di 1/ !

Risposta Impulsiva• Supponiamo di applicare ad un circuito integratore o ad

un derivatore un segnale ad onda quadra:

• Alla fine dell’esperienza del 27 Aprile potrete provare ad ottenere queste forme d’ onda sperimentalmente. La difficoltà sta nel fatto che sono tanto più ideali (quindi simili alla derivata o all’integrale di Vin) quanto più la loro ampiezza è piccola.

t

Vin

Vout INT

Vout DER

Il circuito RLC serie• Se si aggiunge un

induttore al circuito RC si ottiene un circuito RLC serie.

• Sia L l’ induttanza (coefficiente di autoinduzione) dell’ induttore

• Proviamo a risolvere il circuito (cioe’ a trovare la corrente che lo attraversa) quando è eccitato da una sorgente sinusoidale.

R

C

L

)cos( Vo tVV

Il circuito RLC serie• Per la seconda legge di

Kirkhoff:

• Per l’ induttanza abbiamo considerato la forza elettromotrice autoindotta –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a secondo membro cambiandola di segno.

• Derivando rispetto a t:

R

C

L

CQRI

dtdILV

CI

dtdIR

dtIdL

dtdV

2

2

Il circuito RLC serie

• E’ una eq. differenziale lineare del secondo ordine non omogenea. La soluzione è la somma dell’ integrale generale dell’ omogenea più un integrale particolare della disomogenea.

• Fisicamente la soluzione dell’ omogenea corrisponde al comportamento transitorio iniziale; a regime vale l’ integrale particolare.

CI

dtdIR

dtIdL

dtdV

2

2

02

2

CI

dtdIR

dtIdL Omogenea associata


• La soluzione dell’ omogenea è del tipo

• Con I1 e I2 costanti da determinare dalle condizioni iniziali e k1 e k2 soluzioni dell’ equazione caratteristica:

• quindi

02

2

CI

dtdIR

dtIdL

tktk eIeItI 2121)(

LCLR

LRk

CRkLk

142

01

2

2

2,1

2


LCLR

LCLR

LCLR

eIeItI

LCLRb

LRa

tbatba

14

14

14

sia che seconda aaimmaginari o nulla reale, essere può b quantità la

)( trovasi

14

2

ponendo

2

2

2

2

2

2

)(2

)(1

2

2

Caso 1, b reale

Caso 2, b nullo

Caso 3, b immaginario


:atosovrasmorz caso

negativi. ambedue sono esponenti gli 14

se

)(e

14

2

2

2

)(2

)(1

2

2

LCLR

eIeItI

LCLRb

LRa

tbatba

I

t

}{2

)(

a arriva si LC1 ponendo e

2

....2

0 tponendo e 1la derivando quindi, trovasi

0)0(

)0( e)()0(0:)1

0)0(:inizialicondizioni le Imponendo

2

o1

1

21210)(

20)(

1

btbtatoo

o

o

o

oo

o

baba

eeeb

qtI

LCbqI

bIdtdI

Cq

dtdIL

Cq

dtdILRI

qqIIIIeIeItII

I

Quindi nel caso sovrasmorzato si ottiene il seguente andamento

I

t

}{2

)(2

btbtatoo eeeb

qtI

Caso criticamente smorzato

21

21

2

2

2

2

I e I trovanosi iniziali condizioni le imponendo nuovo, Di)()( tipodel e' soluzione la

0 smorzato) tecriticamen (caso 14

se

14

2

atetIItI

bLCL

RLCL

RbL

Ra

I

t

atoo

oo

teqtI

LCqI

LCq

dtdI

II

2

20

1

)(

00)0(


:smorzato iooscillator caso)(

e' soluzione la 14

se

)(e

14

2

)(2

)(1

2

2

)(2

)(1

2

2

tjtj

tbatba

eIeItILCL

R

eIeItI

LCLRb

LRa

I

t

)()(

2)(

41

2

2

2

2

2

tseneqtI

eeeqjtI

LR

LCLR

too

ttjtjoo


I

t

• L’ ampiezza delle oscillazioni diminuisce perchè l’ energia inizialmente disponibile come campo elettrico nel condensatore viene via via dissipata per effetto Joule nella resistenza.

• Le oscillazioni dipendono dal fatto che l’ energia viene rimbalzata continuamente tra condensatore (campo elettrico) e induttore (campo magnetico)


I

t

• Consideriamo il caso oscillatorio smorzato.• Se R fosse nulla avremmo =R/2L=0 e quindi

• Le oscillazioni in tal caso non sarebbero smorzate

)()(

)()(

2

2

tsenqtI

tseneqtI

oo

too

C

L


I

t

• In assenza di fenomeni dissipativi, e trascurando l’ energia irraggiata, l’ energia immagazzinata nel circuito dovrebbe rimanere costante. Vediamo se è vero.

?)0(21

21)()()(

2/1

2/2/121)0(

22

2

22

2

ELICVtEtEtE

LIILdIWdtE

CVCQqdqC

E

CqEE

LCCL

L

c

o

221

22212

21

22212222

212

21

2

sin

coscos

cos0

)(

oLC

ooL

oooocC

CoooCC

oooo

LIEE

tLILIE

tLItICLCVE

VtLIVdtdILV

dtdILRI

tsenItsenqtI

o

CL CL

Massima corrente Massima tensione

B E

Costante !


• Cosa succede a regime (se V è sinusoidale) ?• Si cerca un integrale particolare:

CI

dtdIR

dtIdL

dtdV

2

2

oj

o

tjo

tjo

tjo

tjo

IC

LjReV

eIC

RjLeVj

eII

eVV

IV

IV

I

V

1

1

)(

)(2)(

)(

)(

A questa equazionesi poteva arrivare subito dalla leggedi Ohm generalizzata.

RC

L

CLR

VZ

VI

ZIeV

CLjRZ

IC

LjReV

ooo

oj

o

IV

oj

oIV

1

arctan

1

ottiene si

1

)(ponendo

1

22

)(

risonanza. di condizione 0. a vasfasamento lo e R) a pari (e

reale diventa impedenza l' /1 se

1

arctan

1 22

LC

RC

L

CLR

VZVI

ZIeV

o

ooo

oj

o

1

/

1

:riscrivere può si e //1/

circuito del qualità di fattore il definisce si

2222

22

o

oo

oo

ooo

oo

Q

RVI

CLR

VZVI

CLRRLQ


oj

o IC

LjReV IV

1)(

R

C

L

qualità di fattore il è / dove

1

/

1

2222

22

RLQ

Q

RVC

LR

VZVI

oo

o

oo

o

ooo


• Il circuito presenta un massimo di risposta (corrente massima) per o.0 1 o

I

LC1 o

1

/222

2

o

oo

ooo

Q

RVZVI


• A seconda di Qo (fattore di qualità) la curva di risposta è più o meno piccata.

0 1 o

I

1

/222

2

o

oo

ooo

Q

RVZVI

/ RLQ oo

LC1 o

Qo altoQo basso


R

C

L

Vgen

Vout=RI

• In questa configurazione il circuito agisce come un filtro passa banda.

• Solo le frequenze intorno ad oproducono un segnale in uscita.

• Il filtro è tanto più selettivo quanto più alto è Qo.

• Viene utilizzato ad es. per sintonizzare una radio su una frequenza ben precisa, eliminando le altre.

Il circuito RLC serie• La larghezza di

banda del filtro è la distanza tra i due punti della risposta in frequenza in cui la risposta è 1/sqrt(2) del massimo.

• E’ strettamente legata a Qo.

0 1 o

I

/ RLQ oo

LC1 o

0.707

1


0 1

1

quando 2/1 vale

1

1/

2222

2222

2222

oo

o

oo

o

o

oo

o

oo

gen

o

QQ

Q

QRV

I


LR

Q

QQ

QQ

QQ

o

o

o

oooo

o

oooo

oooo

12

222

1,2

222

22

cui da2

4

sono positive soluzioni due le e2

4

è soluzione la0

La larghezza di banda è inversamente proporzionale al fattore di qualità Qo . Il filtro è tanto più selettivo quanto più alto è Qo.

CL

RRLQ oo

1

1 LCo

• La resistenza minima del circuito è quella dell’ avvolgimento con cui si realizza l’ induttanza.

• Con induttanze commerciali di ottima qualità si ottengono fattori di qualità dell’ ordine di 100, e quindi bande passanti dell’ ordine di 1/100 della frequenza centrale.

• Solo usando superconduttori si possono ottenere Q>>100.


CL

RRLQ oo

1

1 LCo

LR

Qo

o 12

ff

RLQ oo

oo

Nota: Misura di Qo• Il Qo che abbiamo definito si riferisce all’

espressione della corrente nel circuito.• La R che compare nell’ espressione di Qo è la

resistenza totale del circuito, somma di– Resistenza interna del generatore– Resistenza interna dell’ induttore– Resistenza reale

• La corrente che scorre nel circuito può essere valutata misurando V ai capi della resistenza reale e dividendo per il valore della resistenza reale.

• Da una curva di I in funzione della frequenza si valuta Qo=fo/f

Nota: Misura di Qo

• In un circuito reale solo Vin e Vout sono misurabili, Vgen non lo è (almeno non direttamente).

R

C

L

Vgen

Vout=RI

RLRG

Vin

GENERATORE INDUTTORE

R

C

L

Vgen

Vout=RI

RLRG

Vin

CLjRR

RVV

CLjRRR

VI

RV

Lin

out

LG

geno

out

1

1Qo si valutada questa

non da questa !

GENERATORE

INDUTTORE

Nota2: se si vuole misurare RL

• Dalle misure di I si valuta Qo=fo/f e da questo la somma di RL+RG+R, da cui per sottrazione RL (sapendo le altre due)

• Oppure, meglio• Dalle misure di Vout/Vin alla risonanza:

1

RISout

inL

LRISin

out

VVRR

RRR

VV

Lo sfasamento)(1 Itj

otj

o eIC

LjReV

R

C

L

• Vediamo le tensioni ai capi di ciascun componente:

• I tre termini nell’ equazione sopra sono delle tensioni, la cui parte reale e’ la proiezione del fasore rappresentativo sull’ asse reale del piano complesso.

• I tre vettori sono lunghi rispettivamente

• IoR, IoL, Io/CRIo

LIo

C)Io

Im

Re

to=-

Il circuito RLC serie)(1 Itj

otj

o eIC

LjReV

R

C

L

• Vediamo le tensioni ai capi di ciascun componente:

• I tre termini nell’ equazione sopra sono delle tensioni, la cui parte reale è la proiezione del fasore rappresentativo sull’ asse reale del piano complesso.

• I tre vettori sono lunghi rispettivamente

• IoR, IoL, Io/C• Al passare del tempo ruotano

mantenendo le stesse fasi relative

RIoLIo

C)Io

)( It

Im

Re

t generico


otj

o eIC

LjReV

R

C

L

• La composizione dei vettori si può fare sommando prima i contributi di L e C:

RIoLIoC)Io )( It

Im

Re

t generico


otj

o eIC

LjReV

R

C

L

• E poi trovando la risultante, che deve essere proprio la tensione (complessa) del generatore.

• Se L>C) , la corrente è in ritardo rispetto alla tensione del generatore

RIo

LIoC)Io

)(, Vt Im

Re

)( It

Vo


otj

o eIC

LjReV

R

C

L

• E poi trovando la risultante, cioè la tensione (complessa) del generatore.

• Se L<C) , la corrente è in anticipo rispetto alla tensione

RIo

LIoC)Io

)(, Vt

Im

Re

)( It

Vo

circuito RLC serie

0 1 o

I

0 1

V-I

RC

LIV

1

arctan

tensionealla rispetto ritardoin corrente

001 tensionealla rispetto anticipoin corrente

001

IVo

IVo

CL

CL

Sfasamento tra tensione e corrente:

Extratensioni)(1 Itj

otj

o eIC

LjReV

R

C

L

• Vediamo i moduli delle tensioni ai capi di ciascun componente reattivo:

CLjR

VLjIZV

CLjR

VCjIZV

oLL

o

CC

1

1

1

22

22

1

1

1

CLR

LVV

CLR

CVV

o

L

o

C

Il circuito RLC serieR

C

L

22

22

1

1

1

CLR

LVV

CLR

CVV

o

L

o

C

1 1

1 1 oo0 000

VC/Vo

VL/Vo

Q2>1/2 Q2<1/2

VC/Vo VL/Vo

Extratensioni

oo

o

L

o

L

ooo

C

o

C

QCL

RRL

VV

CLR

LVV

QCL

RCRVV

CLR

CVV

1

1

11

1

1

22

22

• Notare che, alla risonanza :

cioè la tensione ai capi di C e L è maggiore di quella di ingresso, di un fattore pari a Qo.

• Va anche notato che, seppure le due tensioni su L e su C siano grandi, hanno fase opposta, e quindi si elidono istante per istante, e non fanno scorrere alcuna corrente, né nel resistore né nel generatore.


C

L

1 1

1 1 oo0 000

VC/Vo

VL/Vo

Q2>1/2 Q2<1/2

VC/Vo VL/Vo

EXTRATENSIONI:La tensione massima, però, si ha per una frequenza leggermente diversa da quella di risonanza.


C

L

1 1

1 1 oo0 000

VC/Vo

VL/Vo

Q2>1/2 Q2<1/2

VC/Vo VL/Vo

Si può dimostrare che nei due casi

oC

oL

LR

LCV

RCLC

V

2

max

2max

211)(

2

1)(

Il circuito RLC parallelo

)1(1)/1/()1(

11

111

11111

20

2

2

2

arctgRL

Carctg

LC

RVI

LCj

RV

ZVI

LCj

RCj

LjRZ

oo

RCL

I


RCL

0 1 o

I

0 1

o

V/R

I


RCL

0 1 o

V

0 1

o

RI2

211

LC

R

IV oo

Io

)1(1

)/1/()1(

20

2

arctg

RL

Carctg

Misure con il picoscope• Ovvero: l’ oscilloscopio digitale in azione• Il picoscope è un oscilloscopio digitale completo di generatore di funzioni, che lavora in simbiosi con un PC (al quale sono demandate le funzioni di visualizzazione e impostazione delle misure)

• Permette di eseguire misure complesse in modo semplice.

Due ingressi analogici (8 bit, 1Gs/s)Ingresso per trigger esterno

Uscita del generatore di funzioni

Uso del Picoscope per verificare il comportamento di circuiti RC, con onde quadre e sinusoidali in ingresso

1) Misura resistenza interna del generatore integrato nel picoscope

2) Circuito RC con onda quadra in ingresso: misura costante di tempo dalla salita e dalla discesa dell’onda in uscita

3) Circuito RC come integratore4) Circuito RC con onda sinusoidale in ingresso:

misura frequenza di taglio del circuito

1) Misura della resistenza interna del generatore di fuzioni del picoscope

R2Resistenza interna R3>> R2

OscilloscopioPicoscope

V0(t)Generatore di funzioni (uscita Picoscope, frequenza f=1kHz) V1(t)

V0(t)

Si genera un segnale quadro V0(t) impostandone l’ampiezza a 1V e si legge il valore dell’ampiezza A0 senza carico. Si inserisce poi una resistenza di carico R2 e si misura V1(t) stimandone l’ampiezza A1. Dal rapporto tra A0 e A1 e dal valore di R2 si ricava con la formula del partitore.

Immagine schermo con segnale generatore (picoscope) onda quadra V0(t) con ampiezza A0=1.00 V , frequenza 1 KHz

Immagine schermo con segnale ai capi di R2: onda quadra V1(t) con ampiezza A1=(1.552 / 2) V , frequenza 1 kHz

Stima resistenza interna dal confronto delle due misure (formula del partitore di tensione):

430

776.0000.17.2

1

102

1

0

2

AAAR

VAVA

kR

2) RC eccitato con onda quadra

R2

Resistenza interna R3>> R2

OscilloscopioPicoscope

V0(t)Generatore di funzioni (uscita Picoscope, frequenza f=1kHz) V1(t)

V0(t)

Si provano due circuiti che hanno nominalmente la stessa costante di tempo: R2=2.7k e C=150nF oppure R2=27k e C=15nF

C

usando i cursori si cerca il momento in cui l’ampiezza diventa pari a (1‐e‐1) del valore asintotico: si trova t==440s

Costante di tempo per circuito RC (C=150 nF R= 2.7K) da dati di salita

Costante di tempo per circuito RC (C=150 nF R= 2.7K) da dati di discesa

usando i cursori si cerca il momento in cui l’ampiezza diventa pari a e‐1 del valore di partenza: si trova t==420s

• Teoricamente la costante di tempo dovrebbe essere pari a

• Con i valori nominali dei componenti:

si dovrebbe avere:

• in buon accordo con quanto misurato.• Quindi la frequenza di taglio di questo RC è pari a

sCR 470)( 2

CR )( 2

FCkkR

9

2

1015042.07.2

Hzf 3402

1

3) Circuito RC come integratore: onda quadra in ingresso

Circuito RC come integratore:segnale in uscita a frequenza f=8KHz (>>ftaglio)

4) Risposta in frequenza circuito RC con segnale sinusoidale in ingresso.

Si inizia con una frequenza (10Hz) << di quella di taglio e si misura l’ampiezza.

Frequenza di taglio circuito RC, da confrontare con quella ricavata dalla costante

di tempo misurata prima (circa 340 Hz)

Si varia la frequenza finchè l’ampiezza non diventa di quella a basse frequenze2/1

Altro RC (C=15 nF, R=27k

Dettagli dell’ onda quadra in ingresso:

Quando il condensatore si carica (in un verso o nell’altro) il generatore, a causa della sua resistenza interna, fatica a mantenere l’ampiezza impostata per l’onda.

Stessa onda quadra in ingresso,a 10 Hz

RC (C=15 nF, R=27Kcirca 500 Hz

R1

C

V g(t)

=0V

..5V

Resistenza interna R2

molto grande

oscilloscopioVg(t)(uscita GEN picoscope, frequenza f=10Hz o quanto serve a vedere la frequenza di taglio e forma d’onda quadra o sinusoidale)

VR(t)

CircuitoCR

Nello stesso modo si studia il circuito passa alto (CR) invertendo la disposizione di R e C, e si visualizza la sua azione comederivatore a basse frequenze

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