LEZIONE DEL 16 NOVEMBRE 2006 EUREKA! GIOCANDO. METTI ALLA PROVA LE TUE CAPACITÀ DI RAZIOCINIO.

LEZIONE DEL 16 NOVEMBRE 2006LEZIONE DEL 16 NOVEMBRE 2006

EUREKA! EUREKA!

GIOCANDOGIOCANDO

METTI ALLA PROVA METTI ALLA PROVA LE TUE CAPACITÀ LE TUE CAPACITÀ

DI RAZIOCINIODI RAZIOCINIO

PER ORA PER ORA ADOPERIAMO SOLO LAADOPERIAMO SOLO LA

LOGICALOGICA

Ci sono tre carte davanti a voi; coperte, una accanto all'altra su un tavolo.

Di queste tre carte due sono assi e una è un fante. Io so qual è il fante e quali sono i due assi, ma voi no.

La sfida è che voi individuiate uno dei due assi, indicandomi, senza scoprirla, una delle tre carte e facendomi una sola domanda che ammetta una semplice risposta "si" oppure "no".

La regola è che io risponderò il vero se voi (a vostra insaputa) avete indicato un asso, e che risponderò, invece, a caso il vero o il falso se voi (a vostra insaputa) avete indicato il fante.

GIOCO DELLE TRE CARTEGIOCO DELLE TRE CARTE

nella carta 2 c’è un asso?

CARTA1

CARTA2

CARTA3

SOLUZIONE: nella carta 2 c’è certamente un asso.

SÌ

nella carta 2 c’è un asso?

CARTA1

CARTA2

CARTA3

NO


Si può ragionare come segue.Si indica ad es. la terza carta (quella in base alla quale io decido se mentire o dire la verità), e si chiede: la carta al centro è un asso?

SOLUZIONE "GIOCO DELLE TRE CARTE“

Se la terza carta è un asso io devo essere sincero. Quindi, se la carta centrale è un asso, dirò “si”, altrimenti dirò “no”. Si sceglie la seconda carta se ho detto si, la prima se ho detto no.

Se invece la terza carta è un fante, io posso scegliere se mentire o essere sincero, ma le altre due carte sono entrambe assi. Quindi, si sceglierà la seconda carta se ho detto si, la prima se ho detto no. Il risultato non cambia perché in questo caso sia la seconda che la prima sono assi.

A A F

A F A

F A A

Caso I

Caso II

Caso III

Se rispondo ‘sì’ vuol dire che siamo o nel caso I o nel caso III, quindi devi scegliere la carta 2

Se rispondo ‘no’ vuol dire che siamo o nel caso I o nel caso II, quindi devi scegliere la carta 1

SPIEGAZIONE SCHEMATIZZATA

A=asso F=fante

Nella tabella sono descritti i casi possibili

Carta 1 Carta 2 Carta 3

PORZIA

Si può ragionare anche come segue

nella carta 2 c’è un fante?

CARTA1

CARTA2

CARTA3


SÌSi può fare anche una domanda diversa e indicare una qualunque delle tre carte

nella carta 2 c’è un fante?

CARTA1

CARTA2

CARTA3

NO


Se rispondo ‘no’ vuol dire che siamo o nel caso I o nel caso III, quindi devi scegliere la carta 2.

SPIEGAZIONE SCHEMATIZZATA

A A F

A F A

F A A

Caso I

Caso II

Caso III

A=asso F=fante

Carta 1 Carta 2 Carta 3

Se rispondo ‘sì’ vuol dire che siamo o nel caso I o nel caso II, quindi devi scegliere la carta 1.

IL MISTERO DEGLI SCRIGNI DI PORZIAIL MISTERO DEGLI SCRIGNI DI PORZIA

Nel Mercante di Venezia di Shakespeare, Porzia aveva tre scrigni, uno d’oro, uno d’argento e uno di piombo e in uno c’era il suo ritratto. Il pretendente di Porzia doveva scegliere uno scrigno e se fosse stato tanto fortunato, o tanto saggio, da scegliere quello con il ritratto, avrebbe avuto diritto alla mano di Porzia.

Sul coperchio di ogni scrigno c’era un’iscrizione che aveva lo scopo di aiutare il pretendente a scegliere correttamente.

IL RITRATTOIL RITRATTOE’ IN QUESTOE’ IN QUESTO

SCRIGNOSCRIGNO

A: Scrigno d’oro

IL RITRATTO IL RITRATTO NON È INNON È IN

QUESTO SCRIGNOQUESTO SCRIGNO

B: Scrigno d’argento

IL RITRATTOIL RITRATTONON È NELLONON È NELLO

SCRIGNO D’OROSCRIGNO D’ORO

C: Scrigno di piombo

Porzia dava, inoltre, un’altra indicazione: delle tre affermazioni una sola era vera.

Se il ritratto fosse stato dentro il primo scrigno due affermazioni risultavano vere: la A e la B, contraddicendo la premessa di Porzia ;

SOLUZIONE SCRIGNI DI PORZIA

Se il ritratto fosse stato nel terzo scrigno ci sarebbero state pure due affermazioni vere: la B e la C, contraddicendo anche in questo caso la premessa di Porzia.

Solo nel caso in cui si suppone che il ritratto sia nello scrigno d’argento non si contraddice l’ ipotesi iniziale, e cioè si ha che una sola affermazione è vera: l’affermazione C.

Per arrivare ad una soluzione ragionata, e non tentare la fortuna, il pretendente di Porzia non poteva fare altro che procedere nel seguente modo:

1. Tutti hanno paura di Dracula2. Dracula ha paura soltanto di me

3.Quindi io sono Dracula.

Sembra una barzelletta ma invece è un ragionamento corretto, la conclusione segue necessariamente dalle premesse.

Perché?

DRACULADRACULA

Conseguenza della prima affermazione:• se tutti hanno paura di DRACULA anche DRACULA ha paura di se stesso.

Conseguenze della seconda osservazione:• se DRACULA ha paura solamente di me, allora ha paura di una sola persona, • ma siccome ha paura anche di se stesso, io e DRACULA dobbiamo necessariamente coincidere, essere cioè la stessa persona.

SOLUZIONE DRACULA

COSÌ NON PUÒ ESSERE, IO e DRACULA NON POSSIAMO ESSERE DISTINTI

DRACULA AVREBBE PAURA DI SE STESSO E DI ME

E NON SOLO DI ME COME È INVECE IPOTIZZATO

giuliana

giovanni

mario

alberto

marinella

antonio

DRACULA

IO

luca …

giuseppe

DRACULA

IO

Tutti hanno paura di Dracula

Ma Dracula ha paura soltanto di me

Immaginate di avere tre scatole, in una ci sono due biglie nere, in un’altra due bianche, e nella terza una biglia nera e una bianca.

Le scatole hanno un’etichetta che indica il loro contenuto: NN, BB, BN. Qualcuno però ha mischiato le etichette, quindi il contenuto delle scatole non risponde più, in nessuno dei tre casi, a quanto indicato.

Potete prendere una sola biglia alla volta da ogni scatola, senza guardarci dentro, e attraverso questo procedimento dovete stabilire il contenuto delle tre scatole.

Qual è il minor numero di volte che dovrete pescare nelle scatole per stabilire quanto richiesto?

LE ETICHETTE SCAMBIATELE ETICHETTE SCAMBIATE

INIZIALMENTE ABBIAMO

LE SEGUENTI INFORMAZIONI

N N2

qui le biglie

possono essere BB o BN

B N3

qui le biglie

possono essere NN o BB

B B1

qui le biglie possono essere

NN o BN

ORA RAGIONIAMO

Dato che le etichette non corrispondono al contenuto in nessun caso

NN o BN

1BB o BN

2NN o BB

3

UTILIZZIAMO LE INFORMAZIONI CHE ABBIAMO

Se si pesca nella 1 o nella 2, non si ottiene, nel caso più sfortunato (cioè pesco una nera dalla 1 e una bianca dalla 2), alcuna nuova informazione.

Se invece sono fortunata e pesco ad es. una B nella 1, allora posso concludere che nella scatola 1 ci sono una B e una N.

Ma devo considerare il caso più sfortunato se voglio risolvere veramente il problema.

NN o BN BB o BN NN o BB

1 2 3

Se invece pesco, come prima e unica mossa, dalla 3, in ogni caso risolvo il problema:

Da questa ulteriore informazione che acquisisco, viene determinato anche che cosa c’è nelle altre due:

se nella 3 c’è BB allora nella 2 non può che esserci BN e nella 1 non può che esserci NN.

se quella che pesco è bianca allora nella 3 si ha BB, se è nera allora nella 3 si ha NN

Se nella 3 c’è NN allora nella 1 c’è BN e nella 2 c’è BB.

Basta pescare una volta sola.

E precisamente dalla scatola con scritto BN.

Infatti se la biglia è bianca allora nella scatola devono esserci due biglie bianche.

Nella scatola NN deve esserci una bianca e una nera

Nella scatola BB devono esserci le due nere.

Bisogna infatti tenere presente che nessuna etichetta corrisponde all’ esatto contenuto della scatola.

SINTESI SOLUZIONE

ETICHETTE SCAMBIATE

IL FURTOIL FURTO

Si accertarono i seguenti fatti1. Ognuno dei tre uomini A B C era stato nel negozio il

giorno del furto, e nessun altro vi era stato quel giorno.2. Se A era colpevole aveva avuto esattamente un

complice.3. Se B è innocente lo è anche C.4. Se i colpevoli sono proprio due allora A è uno di essi.5. Se C è innocente lo è anche B.

Il signor Mc Gregor, negoziante di Londra, telefonò a Scotland Yard denunciando un furto nel suo negozio. Tre individui sospetti A, B e C furono fermati per essere interrogati.

Chi viene incriminato dall’ispettore Craig?

Dalla 3 e dalla 5 si può dedurre che B e C o sono ambedue colpevoli o non lo sono nessuno dei due.

Dalla 2 si deve dedurre che se A non ha avuto un complice, e uno solo, allora non è colpevole.

Dalla 4 si deve dedurre che non possono esserci due colpevoli senza che A sia uno di essi.

Si suppone inoltre che Mc Gregor non sia d’accordo con nessuno dei tre e che gli estranei sospettabili possono essere solo A B C.

SOLUZIONE DISOLUZIONE DI IL FURTO IL FURTO

QUINDI

B e C non possono essere ambedue colpevoli, perché se i colpevoli sono due A dovrebbe essere uno dei due.

Non possono essere colpevoli tutti e tre perché A non può avere più di un complice, se è colpevole. Quindi B e C sono ambedue innocenti.

A non può essere colpevole perché dovrebbe avere uno ed un solo complice, e il complice non può che essere o B o C.

Dall’ispettore viene incriminato Mc Gregor il negoziante, aveva mentito per ricevere i soldi dell’assicurazione.

Un esploratore si è ritrovato in una regione abitata da due tribù: i membri di una mentono sempre, i membri dell’altra dicono sempre la verità.

Egli incontra due indigeni: “Sei uno di quelli che dicono la verità?” chiede a quello più alto. “Guum” risponde l’indigeno.

“Volere dire “sì” risponde l’indigeno più basso, che parla la lingua dell’esploratore, “ma lui stare grande bugiardo”.

A quale tribù appartiene ognuno dei due?

CHI MENTE E CHI DICE IL VERO?CHI MENTE E CHI DICE IL VERO?

Prima cosa da notare è che l’indigeno più alto non può che rispondere sì, a qualunque tribù appartenga (NB: supponiamo che l’indigeno capisca la domanda anche se però non parla la lingua dell’esploratore).

Se è un bugiardo l’indigeno più alto deve dire il falso, quindi alla domanda “Sei uno di quelli che dicono la verità?” deve rispondere sì, se è uno che dice la verità alla stessa domanda deve rispondere comunque sì.

L’indigeno più basso ha detto la verità quindi sull’indigeno più alto, e appartiene alla tribù di coloro che dicono il vero e quello più alto alla tribù dei bugiardi.

(Si suppone che se dice la verità deve dire il vero in ogni singola affermazione, e se dice il falso deve essere falsa ogni singola affermazione.)

SOLUZIONE CHI MENTE E CHI DICE IL VERO

Si potrebbe ragionare anche in un altro modo

L’indigeno più basso potrebbe aver detto il falso perché, anche se è vero che il più alto ha detto sì, potrebbe essere falso che è un bugiardo e quindi la situazione si ribalterebbe.

La frase “ha detto sì ma lui stare grande bugiardo” potrebbe essere considerata una frase falsa infatti anche se è falsa solamente la seconda delle due affermazioni.

Quindi il più basso potrebbe aver detto il falso e il più alto la verità.

Un’altra possibile interpretazione

L’indigeno alto non capisce che cosa gli dice l’esploratore se non è in grado di rispondere sì in inglese, quindi il suo “Guum” significava qualcosa come “non capisco”.

Di conseguenza l’indigeno basso ha detto il falso quando ha affermato che il suo compagno alto aveva risposto sì. L’indigeno basso apparteneva quindi alla tribù dei bugiardi, e quello alto invece era uno che diceva la verità.

Tre uomini A B C vengono bendati e viene detto loro che su ognuno di essi verrà posto un cappello rosso o verde. Dopo che ciò viene fatto, la benda viene tolta; agli uomini viene chiesto di alzare una mano se vedono un cappello rosso e di uscire dalla stanza appena sono certi del colore del proprio cappello.

Si dà il caso che tutti e tre i cappelli siano rossi e tutti e tre gli uomini alzino la mano.

Passano diversi minuti sino a che C, che è più astuto degli altri, esce dalla stanza. Come ha fatto a dedurre il colore del suo cappello?

UOMINI E CAPPELLIUOMINI E CAPPELLI

Hanno tutti e due il cappello rosso e hanno alzato

ambedue la mano

A

B C

SOLUZIONE UOMINI E CAPPELLI

Hanno tutti e due il cappello rosso e hanno

alzato ambedue la mano

AC

B

Hanno tutti e due il cappello rosso e hanno

alzato ambedue la mano

C

A B

Infatti C ha ragionato così: se il mio cappello fosse verde, allora A e anche B avrebbero dovuto immediatamente capire il colore del loro cappello, perché sia B che A hanno visto almeno un cappello rosso ed essendo il mio verde il loro doveva essere rosso.

Dopo un po’ C esce perché ha capito il colore del suo cappello

Tutti e tre vedono che tutti e tre alzano la mano

C

A B

Hanno un cappello rosso e uno verde e hanno alzato tutti e

due la mano

RIVEDIAMO QUELLO CHE C PENSA:

“SE IL MIO CAPPELLO FOSSE VERDE …”

AB C

B

Hanno un cappello rosso e uno verde e hanno alzato

tutti e due la mano

AC

Se il mio cappello fosse stato verde, sia

A che B avrebbero dovuto immediatamente

capire che il loro cappello non poteva che essere rosso, altrimenti non avremmo potuto

tutti e tre alzare la mano affermando di avere

visto almeno un cappello rosso

C

Se non l’hanno fatto è perché il mio

cappello è rosso, e ci voleva una

ulteriore riflessione per poter capire che

in questo caso i cappelli non

potevano che essere tutti e tre rossi. Io

sono stato più veloce

C

CHI E’ L’INGEGNERE?CHI E’ L’INGEGNERE?

Smith, Jones e Robinson sono l’ingegnere il frenatore e il fuochista di un treno, ma non sono elencati esattamente in questo ordine.

Sul treno vi sono tre passeggeri con gli stessi tre nomi, identificati nelle premesse seguenti mediante un “Sig.” anteposto ai nomi.

I. Il Sig. Robinson vive a Los Angeles.

II. Il frenatore vive ad Omaha.

III. Il Sig. Jones ha da parecchio tempo dimenticata tutta l’algebra imparata nelle scuole superiori.

IV. Il passeggero che ha lo stesso nome del frenatore vive a Chicago.

V. Il frenatore ed uno dei passeggeri, un eminente fisico matematico, frequentano la stessa chiesa.

VI. Smith batte il fuochista al biliardo

VII. I tre passeggeri vivono in città diverse

CHI E’ L’INGEGNERE?

Utilizziamo due tabelle per risolvere il problema

ROBINSON

SMITH

JONES

ING

EG

NER

E FR

EN

ATO

RE F

UO

CH

IST

A LO

S

AN

GELES

OM

AH

A CH

ICA

GO

SIG. SMITH

SIG. JONES

SIG. ROBINSON

In una cella va inserito 1 se la combinazione è ammessa dalle premesse, 0 in caso contrario.

1

0

0

0 0

1 00

0 110 0

0

0

1

SMITH È L’INGEGNERE

0 1 0

0 0 1

1 0 0ROBINSON

SMITH

JONES

ING

EG

NE

RE F

RE

NA

TO

RE F

UO

CH

IST

A LO

S

AN

GE

LE

S

OM

AH

A CH

ICA

GO

SIG. SMITH

SIG. JONES

SIG. ROBINSON

1 0 0

0 1 0

0 0 1

ORA CALCOLIAMOORA CALCOLIAMO

E UTILIZZIAMO ANCHEE UTILIZZIAMO ANCHE

PROPRIETÀ DI NUMERI E DI FIGUREPROPRIETÀ DI NUMERI E DI FIGURE

E SEMPRE E SOPRATTUTTO LA LOGICAE SEMPRE E SOPRATTUTTO LA LOGICA

LA BANDIERA DEL CIRCOLOLA BANDIERA DEL CIRCOLO(calcolo combinatorio)

In quanti modi diversi si può colorare la bandiera facendo in modo che i due rettangoli dello stesso colore non abbiano lati in comune

A B

C D

SOLUZIONE SOLUZIONE LA BANDIERA: primo modoLA BANDIERA: primo modo

I rettangoli dello stesso colore devono essere o A e D, o B e C. Una volta scelta la diagonale, i rettangoli sull’altra diagonale devono essere di colore diverso.

3 modi diversi per colorare A e D, per ognuno di questi 3 modi ce ne sono altri due per colorare, con colori diversi B e C, e sono così 6 possibilità; ce ne sono poi altri 6 se si sceglie di colorare con colore uguale l’altra diagonale B C.

12 MODI DIVERSI

A B

C D

A

D

B

C

SOLUZIONE SOLUZIONE LA BANDIERA: secondo modoLA BANDIERA: secondo modo

Posso pensare di colorare tre caselle in modo diverso: per colorare la prima delle tre ho 3 modi diversi, per ognuno di questi ho due modi per colorare la seconda e infine un solo modo per colorare la terza (3! =3x2x1 modi diversi). Devo poi moltiplicare per 2 dato che posso colorare A B D in modo diverso e poi C con lo stesso colore di B, oppure A B C in modo diverso e poi D con lo stesso colore di A.

I rettangoli dello stesso colore devono essere A e D, oppure B e C.

A B

C D

A B

C

A B

C D

A B

D

12 MODI DIVERSI

Un intervistatore bussa alla porta di una casa dove è atteso da una signora. La signora gli apre e lui chiede: "Quanti figli ha?“ "Ho tre figlie." gli risponde la donna.“"Età?“ "Il prodotto delle età è 36 e la somma è uguale al numero civico di questa casa.“ "Buon giorno e grazie.“

L'intervistatore se ne va, ma dopo un po' ritorna e le dice: "I dati che mi ha fornito non sono sufficienti.“ La signora ci pensa un po' e replica: “È vero, che sbadata! La figlia maggiore ha gli occhi azzurri.“

Con questo dato l'intervistatore può conoscere l'età delle tre figlie. Quanti anni hanno?

L'ETÀ DELLE FIGLIEL'ETÀ DELLE FIGLIE(soprattutto logica e scomposizione di un numero)(soprattutto logica e scomposizione di un numero)

Possibili terne di età prodotto somma

1 1 36 36 38

1 2 18 36 21

1 3 12 36 16

1 4 9 36 14

11 66 66 3636 1313

22 22 99 3636 13133 3 4 36 10

6 3 2 36 11

Le figlie hanno rispettivamente 2, 2, 9 anni. Vediamo di capire perché. Noi non conosciamo il numero civico della casa, quindi dobbiamo trovare ed esaminare tutti i casi possibili. Visto che il prodotto è 36, le età potrebbero essere:

Se, ad esempio, il numero civico della casa fosse 14, non ci sarebbero problemi. L'unica terna di numeri interi che da come prodotto 36 e come somma 14 è 1, 4, 9.

Come si vede dalla tabella, l'unica somma che dà origine ad ambiguità è 13, alla quale corrispondono due diverse terne, ciascuna delle quali prevede che due figlie sono gemelle.

Ma la mamma ha precisato: "E' vero, che sbadata! La figlia maggiore ha gli occhi azzurri.“

Da ciò si capisce che la maggiore non ha una gemella, ma è unica.Quindi possiamo dedurre che le tre figlie hanno 2, 2 e 9 anni.

QUESTIONE DI AREE(proprietà di figure geometriche, aree e similitudini)

Emma e Giulio capitarono in un palazzo da Mille e una notte …

il pavimento era costituito da mattonelle tutte uguali fra loro, a forma di triangolo equilatero.

La sala stessa era pure un triangolo equilatero e il lato della sala era lungo 50 volte il lato di una mattonella.

“Chissà quante mattonelle ci sono volute per piastrellare questa sala”, disse Giulio… e si mise a contarle.

Ma Emma, più avveduta di lui, gli ribattè: “Non ho voglia certo di stare qui fino a domani mattina a contare mattonelle.

Piuttosto, cerchiamo di capire come funziona!” e, estratto il notes che usava portare sempre con sé, buttò là questi schizzi:

Questione di aree

Invece delle tre pietre tombali ho tre carte: una interamente verde (le due facce numerate 1 e 2), una interamente rossa (3 e 4), una carta rossa da una parte e verde dall’altra (5 la rossa e 6 la verde).

LE PIETRE DA CONTALE PIETRE DA CONTA (calcolo delle probabilità: pagg. 85-99 di “S. Holmes e le trappole della logica”, Scienza e Idee)

Bisogna trovare qual è la probabilità che la tomba venuta alla luce, con segni che indicano che è regale dalla parte venuta alla luce, sia regale anche dall’altra parte, perché solo in questo caso potremmo avere dei vantaggi a scavare. Bisogna sapere se conviene tentare la fortuna.

Supponiamo che il rosso indichi un regale e il verde un suddito.

SOLUZIONE LE PIETRE DA CONTA

Sulle pietre tombali dei simboli indicavano i matrimoni tra regali, tra sudditi e tra sudditi e regali.

La parte superiore della pietra aveva il simbolo del più vecchio della coppia, però non si era a conoscenza dell’età dei sepolti.

Si potrebbe pensare che ci sia il 50% di probabilità che l’altra faccia della pietra sia di un regale o di un suddito, dato che la scelta è solo tra queste due possibilità.

Ma ragioniamo come segue.

I numeri sulle carte servono solo a noi per capire meglio.

Nel nostro caso dobbiamo escludere le carte 1 e 2, perché certamente la nostra tomba non è di due sudditi.

1 2

Pietra tombale di due coniugi sudditi

3 4

Pietra tombale di due coniugi regali

5 6

Pietra tombale di un matrimonio misto

Noi sappiamo che la parte venuta alla luce è regale, cioè rossa.

È come se noi avessimo un’ urna con quattro biglie: 3 rosse e una verde.

Abbiamo pescato una rossa. Qual è la probabilità che anche la seconda che pesco dall’urna sia rossa?

3 4

Pietra tombale di due coniugi regali

5 6

Pietra tombale di un matrimonio misto

Possiamo ragionare come segue

Essendo rimaste nell’urna due biglie rosse e una verde,

la probabilità di pescare una rossa è di 2/3 (~67%),

e non di 1/2 (50%).

È quindi conveniente scavare.

Possiamo ragionare anche come segue:consideriamo le varie coppie che possiamo avere

Se quello venuto alla luce è il lato 4 allora il rovescio sarà il 3 rosso.

4 5 6

Se quello venuto alla luce è il lato 3 allora il rovescio sarà il 4 rosso.

Se quello venuto alla luce è il lato 5 allora il rovescio sarà il 6 verde.

Quindi la probabilità che la pietra che fuoriesce dalla collina sia interamente regale non è di 1/2 ma di 2/3.

3 34

MAGIA CON LE MATRICI

19 8 11 25 7

12 1 4 18 0

16 5 8 22 4

21 10 13 27 9

14 3 6 20 2

sembra una tabella con numeri messi a caso, invece possiede proprietà che si potrebbero definire magiche!!!

19 8 11 25 7

12 1 4 18 0

16 5 8 22 4

21 10 13 27 9

14 3 6 20 2

1. Scegli un numero della tabella a caso, per esempio 22

2. Elimina tutti gli altri numeri della stessa riga e colonna

3. Continua allo stesso modo per quattro volte, ad esempio scegli, tra i numeri scoperti, 10, 2, 11.

4. Dopo aver eliminato tutte le righe e colonne corrispondenti ai numeri scelti a caso, ti resta ancora il 12.

La somma dei numeri rimasti, per qualunque scelta dei numeri, è sempre la stessa, 57, e chi propone il gioco la conosce a priori.

COME SI GIOCA?

11 0 3 17 -1

8 19 8 11 25 7

1 12 1 4 18 0

5 16 5 8 22 4

10 21 10 13 27 9

3 14 3 6 20 2

La matrice magica può essere generata come somma dei numeri delle celle rosa.

Con il procedimento precedente ci assicuriamo un solo numero per ogni riga e colonna.

Ognuno di quei numeri è la somma dei due corrispondenti nelle celle rosa. Quindi la somma dei numeri rimasti sarà proprio la somma dei numeri delle celle rosa che avevano generato la matrice.

La stessa matrice può essere generata da insiemi diversi di numeri di qualunque tipo.

SOLUZIONE MAGIA CON LE MATRICI

1 -10 -7 7 -11

18 19 8 11 25 7

11 12 1 4 18 0

15 16 5 8 22 4

20 21 10 13 27 9

13 14 3 6 20 2

LA STESSA MATRICE GENERATA DA ALTRI NUMERI

10 -1 2 16 -2

9 19 8 11 25 7

2 12 1 4 18 0

6 16 5 8 22 4

11 21 10 13 27 9

4 14 3 6 20 2

S A T O R

A R E P O

T E N E T

O P E R A

R O T A S

UNA CURIOSITÀ: UN QUADRATOPALINDROMO E MUSICALE

Il compositore viennese Alban Berg,

degli anni 20-30 del Novecento,

lo utilizzava per le sue composizioni.

UN ARTISTA STRAVAGANTEartifizi e sorprese con i numeri

lato = 1

l = 1/2

l = 1/3

Area =1

A=1/4

A=1/9

Un artista decide di costruire una piramide nel modo indicato in figura: il lato inizialmente è lungo 1, e poi 1/2, 1/3, 1/4 e via di seguito.

Il laboratorio in cui la piramide viene costruita ha un soffitto alto 3m.

1. Quanti cubi posso mettere uno sopra l’altro?

2. L’artista dispone di un quantitativo di vernice dorata sufficiente per dipingere 3m2. Basterà per dipingere una sola delle facce dei vari cubi sovrapposti?

2

1

16

1

16

1

16

1

16

1

16

1

16

1

16

1

16

1

16

1

15

1

14

1

13

1

12

1

11

1

10

1

9

12

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

7

1

6

1

5

12

1

4

1

4

1

4

1

3

12

1

1

...16

1

15

1

14

1

13

1

12

1

11

1

10

1

9

1

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11 altezza

Il calcolo che deve fare l’artista per l’altezza della piramide è il seguente:

Che possiamo scrivere nel seguente modo:

Si vede con chiarezza che 16 cubi superano l’altezza di 3m.

Se il numero dei cubi cresce all’infinito (n = 2k cubi) anche l’altezza della piramide cresce all’infinito.

Infatti se esprimiamo il numero dei cubi mediante una potenza di 2, con k-esponente numero naturale, otteniamo che l’altezza si può esprimere nel modo seguente:

kk

kaltezza2

11

2

112...32

116

16

18

8

14

4

12

2

11

Se cresce n, e quindi cresce 2k, cresce anche

l’esponente k

1

5

25= 32

…

n = 2k

k

n = numero dei cubi

La superficie da dipingere sarà: ...

49

1

36

1

25

1

16

1

9

1

4

11sup_ area

Che si può scrivere come segue:

...77

1

66

1

55

1

44

1

33

1

22

11sup_

area

7

1

6

1

76

1

77

1

...5

1

4

1

54

1

55

1

...2

1

1

1

21

1

22

1

Ma i termini

dell’addizione si possono scrivere così

Quindi, a differenza dell’altezza, la superficie si mantiene sempre più piccola di 2 m2, la vernice è più che sufficiente quindi, ma dovrà fare attenzione al soffitto...

...5

1

4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2

1

1

11...

55

1

44

1

33

1

22

11

Se la piramide ha 5 cubi uno su l’altro, il calcolo è il seguente

nnnnnnnn

1

1

1

1

1

2

1...

3

1

2

1

2

1

1

11

1

11

1...

33

1

22

11

Se la piramide ha n cubi uno su l’altro, il calcolo è il seguente

INGANNI INGANNI MATEMATICIMATEMATICI

Il paradosso di Hilbert del celeste locandiere e l’incredibile miracolo dell’astuto oste terreno

Il direttore di un albergo celeste dotato di un numero infinito di stanze, tutte occupate, vuole sistemare un nuovo cliente.

Egli vi riesce spostando ogni occupante di una stanza in quella di numero immediatamente successivo, lasciando libera così la stanza numero 1.

Cosa può fare se arriva un numero infinito di nuovi ospiti?

L’impassibile direttore sposta semplicemente ogni occupante di una stanza in quella avente il numero doppio corrispondente:

IL PARADOSSO DI HILBERT

Ma è realmente necessario che il numero delle stanze occupate sia infinito per poter sistemare i nuovi clienti?

La canzoncina che segue, tratta da una rivista inglese della fine del secolo XIX, racconta come un abile locandiere che disponeva di 9 stanze libere non ebbe difficoltà a provvedere di alloggi singoli ognuno dei 10 viaggiatori.

il cliente della stanza 1 va nella 2, quello della stanza 2 va nella 4, quello della stanza 3 va nella 6 e così via. Questo rende libere tutte le stanze di numero dispari, in cui tutti i nuovi clienti potranno trovare posto.

IL MIRACOLO DELL’OSTE TERRENO

Dieci stanchi viaggiatoripiè piagati ed ossa rotte,eran giunti a una locandaChe già cupa era la notte.-Nove stanze, non di più –

-disse l’oste, - posso offrire.-solo in otto il letto è singolo,L’altra a due dovrà servire -Qui successe un parapiglia,

una cosa da ammattire,ché nessun di quei signori

in due insiem volea dormire.L’oste in dubbio, era un furbone,

alla svelta si sbrigòe per far piacere agli ospiti

ecco cosa ti pensò.

Due di quelli mise in Aed il terzo alloggiò in B;assegnato il quarto in C,

ritirossi il quinto in D.In E il sesto e in F poi

anche un altro sistemò;in G e in H ottavo e nono.

Indi ad A se ne tornò,dove aveva, come dissi,due clienti a sistemare

e uno di essi, il dieci, infinein I fece traslocare.

Nove stanze a letto singolofece a dieci allor bastare

ed è questo che me e moltiancor fa meravigliare.

ba

cbabcbaa

bcbabacaba

bcbacababa

bacbbaa

cba

)6

)5

)4

)3

)2

)1

22

22

Qualsiasi numero a può essere uguale ad un numero minore b, trova l’errore.

L’errore sta nella divisione per 0, che si fa dal passaggio 5) al passaggio 6). Dato che a = b+c si ha che a-b-c = 0. ESEMPIO: a=7 e b=5 e c=2. In 6) si ottiene 7*0=5*0 che è un’uguaglianza vera, ma se divido per 0 ottengo 7 = 5 che è falsa.

ba

cbabcbaa

bcbabacaba

bcbacababa

bacbbaa

cba

)6

)5

)4

)3

)2

)1

22

22

Se c è un numero positivo allora a>b, es: 7=5+2

Se a>b non può essere a=b

11

1111

1

1

1

1

1

1

1

1

11

La manipolazione del numero immaginario i (i2=-1) presenta molti trabocchetti

11)5

1111)4

1

1

1

1)3

1

1

1

1)2

11)1

nel passaggio da 2) a 3)

c’è l’errore. Infatti:

ii

ii

i

i

i

i

i

i

perché

i

i

i

1

1

1

1

1

1

2

2

2

Giochi tratti da

soluzioni personalmente rielaborate

ENIGMI E GIOCHI MATEMATICI

Martin Gardner, Rizzoli

QUAL È IL TITOLO DI QUESTO LIBRO?

Raymond Smullyan, Zanichelli

LA MATEMATICA NELLA REALTÀ

Castelnuovo / Gori Giorgi / Valenti, La Nuova Italia

DA VARI SITI INTERNET

SHERLOCK HOLMES E LE TRAPPOLE DELLA LOGICA

Colin Bruce, Scienza e Idee

LEZIONE DEL 16 NOVEMBRE 2006 EUREKA! GIOCANDO. METTI ALLA PROVA LE TUE CAPACITÀ DI RAZIOCINIO.

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