LEZIONE A.5

Serie ordinate e numeri indici

TQuArs – a.a. 2010/11Tecniche quantitative per l’analisi nella ricerca sociale

Giuseppe A. Micheli

In questa lezione..

In questa lezione ci occuperemo delle Serie ordinate.

Familiarizzeremo con la rappresentazione grafica.

Analizzeremo le possibili trasformazioni delle serie.

Ci soffermeremo in particolare sui numeri indici.

Infine, partendo da dati di serie storiche, introdurremo una importante media analitica, la media geometrica.

Serie ordinate e serie storiche

Abbiamo definito SERIE ORDINATA la successione di modalità osser-vate di un carattere, rispettando l’ordine di rilevazione:

X = {x1, x2, x3, .., xN-2, xN-1, xN}

Ovviamente rinunciando a classificare ulteriormente le osservazioni per-diamo in sinteticità, ma manteniamo l’informazione dell’ordine della se-rie. E in certi casi (come per le ‘serie storiche’) l’ordine (l’unità di tem-po di rilevazione) è fondamentale.

t Xt

X

+1 X+1

+2 X+2

+i X+1

X

Attenti. In forma di tabella una serie storica appare spesso su due colonne, ma non si tratta di coppie di modalità e nu-merosità: la numerosità è sempre 1 per ogni modalità!

La prima colonna riporta in realtà l’indice (di sequenza tem-porale) che caratterizza l’osservazione. L’analisi di serie L’analisi di serie storiche è, sì, un’analisi monovariata, ma difatto storiche è, sì, un’analisi monovariata, ma difatto associa due variabiliassocia due variabili

Rappresentazione graficaLa rappresentazione grafica sul tempo è il modo più efficace per rappresen-tare l’evoluzione di una serie storica. Data la serie storica Xt, t=1,2,..N, si rappresentano in una piano cartesiano tutte le N coppie {t, Xt}, ponendo sulle ascisse il tempo t e sull’ordinata le osservazioni Xt, e unendo poi con una spezzata gli N punti così individuati.

In questo modo si può tentare in modo intuitivo di scorporare le compo-nenti erratiche del processo da eventuali leggi temporali ipotizzabili.

Trend lineare Trend nonlineare

Ciclo Stagionalità

Aids e e-commerce

t Xt

1994 4

1998 10

2002 20

2006 34

2010 70

050100150200250300350400450500550600

1997 1998 1999 2000 2001 2002

Fatturato in milioni di euro di imprese in settore E-commerce

Previsioni milioni casi conclamati Aids 5 paesi (Cina,India,Nigeria,Russia,Etiopia)

0

15

30

45

60

75

1994 1998 2002 2006 2010

t Xt

1998 3

1999 12

2000 55

2001 190

2002 580

Due esempi sorprenden-temente simmetrici: a differenza dei diagram-mi ad aste, qui i punti di coordinate (Xt,t) sono legati in una spezzata.

Un altro esempioXt

in carico

67500

92583

103805

104742

113742

123828

129828

131717

tAnno

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

Un altro esempio non certo leggero. Xt sono i pazienti tossicodipendenti in carico presso strutture del Sistema Sanitario Nazionale. Yt

sono gli episodi di overdose rilevati (fonte: Ministero degli Interni). Zt (rapporto statistico) misura i casi di overdose ogni cento presi in carico.

Annot0=’80

0

1

2

3

4

5

6

7

Yt

overdose

1161

1383

1217

888

867

1195

1566

1153

Zt

Yt / Xt %

1,72

1,49

1,17

0,85

0,76

0,96

1,21

0,88

60000

80000

100000

120000

140000

1990 1992 1994 1996 1998

800

1000

1200

1400

1600

1990 1992 1994 1996 1998

overdose

In carico

Trasformazioni di serie storiche

Xt –Xt-1

-

+25083

+11222

+937

+9000

+10086

+6000

+1889

(Xt –Xt-1)

/Xt-1

-

+0,372

+0,121

+0,009

+0,086

+0,089

+0,048

+0,015

60000

80000

100000

120000

140000

1990 1992 1994 1996 1998

0

7000

14000

21000

28000

1990 1992 1994 1996 1998

Xt /Xt-1

-

1,372

1,121

1,009

1,086

1,089

1,048

1,015

0

0,1

0,2

0,3

0,4

1990 1992 1994 1996 1998

Per capire l’andamento di una serie è utile calcolare (e rappre-sentare graficamente) una sua trasformata che renda conto (tramite differenze o rapporti) delle variazioni per unità di tempo.

differenze Tassi di variazione

Xt

Xt

in carico

67500

92583

103805

104742

113742

123828

129828

131717

Numeri indici

Abbiamo già visto come i numeri indicinumeri indici siano quozienti tra le intensità di uno stesso fenomeno in due istanti temporali diversi (o in due ambiti ter-ritoriali diversi)

bIt = xt / xb

I numeri indici temporali sono quindi misure derivate da una serie storica xt (per t=0,1,2,..,t,..T)

Il denominatore è detto basebase del N.I. e costituisce il termine rispetto a cui si analizza la variazione del fenomeno.

I due deponenti di i indicano: a sinistra b=tempo base, a destra t=tempo corrente. Sulla stessa serie storica xt si calcolano più serie parallele di N.I. :

·   N.I. a base fissa (denominatore fisso per tutta la serie)

·   N.I. a base mobile (denominatore di bit è = xt-i)

Base fissa e base mobile

Serie storica

xt

N.I. base fissa

x0 = 100

N.I. base fissa

x3 = 100

N.I. a base

mobile

X0 100 x0/x3 %

X1 x1/x0 % x1/x3 % x1/x0 %

X2 x2/x0 % x2/x3 % x2/x1 %

X3 x3/x0 % 100 x3/x2 %

Proprietà di circolarità o di concatenamento: concate-nando gli indici a base mobile (cioè moltiplicandoli tra loro in successione) si ritrovano i corrispondenti n.i. a base fissa

xx33/x/x00 =(x =(x11/x/x00).(x).(x22/x/x11).(x).(x33/x/x22))

00ii33 = = 0 0ii11 . . 1 1ii22 . . 2 2ii33

t (anno) Xt occupati

bit (’76=100)

t-1it bit (’78=100)

1976 9000 100,0 - 91,0

1977 9371 104,1 104,1 94,8

1978 9889 109.9 105,5 100,0

1979 10444 116,0 105,6 105,6

1980 11178 124,2 107,0 113,0

Tra n.i. a base mo-bile e tassi di va-riazione o incre-mento vale la rela-zione:

t-1it=1+rt

Valori assoluti e numeri indici: confronti grafici

tAnno

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

Xt

in carico

67500

92583

103805

104742

113742

123828

129828

131717

t-1it =

Xt /Xt-1

-

137,160

112,121

100,903

108,593

108,867

104,845

101,455

60000

80000

100000

120000

140000

1990 1992 1994 1996 1998

100

108

116

124

132

140

1990 1992 1994 1996 1998

t-1it

Xt

t

t

NB: l’ammontare iniziale del carattere può es-sere attualizzato moltiplicandolo per il prodot-to dei numeri indici a base mobile:

XXtt = = XX00 t t t-1t-1iit t

67500(1,37160)(1,12121)(..)(1,01455)= = 67550 (1,95136) = 131717

Il grafico dei n.i. a base mobile dei casi di tossi-cofilia evidenzia come l’incre-mento annuo, tolto il primo in-tervallo, è abba-stanza stabile (linea continua vs linea tratteg-giata)

Numeri indici e trend esponenziali

t Xt

1994 4

1998 10

2002 20

2006 34

2010 70

0

1

2

3

4

5

6

1997 1998 1999 2000 2001 2002

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

1994 1998 2002 2006 2010

t Xt

1998 3

1999 12

2000 55

2001 190

2002 580

t-1it-

4,000

4,583

3,455

3,053

t-1it-

2,500

2,000

1,700

2,059

Spesso (cfr casi di E-com e Aids) abbiamo a che fa-re con serie che si impen-nano ‘esponenzialmente’.

Questo tipo di andamento è rivelato dalla serie degli indici a base mobile corri-spondenti: essi tenderan-no o a restare costanti o a variare linearmente.

In casi simili a un grafico su scala lineare sfuggono le variazioni ‘basse’: si u-sano talvolta carte milli-metrate semilogaritmiche.

La trasformata logaritmica

-2-1,6-1,2-0,8-0,40

0,40,81,21,62

0 1 2 3 4 5 6

Y=f(x)=logx

x

t Xt

1994 4

1998 10

2002 20

2006 34

2010 70

log Xt

1,386

2,303

2,996

3,526

4,2481

2

3

4

5

1994 1998 2002 2006 2010

Nella carta a scala semilogaritmica sulla ordinata si trova non X ma la sua trasformata logaritmica.

Si tratta di una funzione matematica che cresce indefinitamente con X ma in modo assai più lento e indefinitamente decele-rato (se X<1 logX è negativo)

Calcolare un logaritmo è (oggi) semplicissimo. Digi-tate per esempio la cifra 5,3 sulla macchinetta, poi cliccate sul tasto “log” o “ln” (non Log): otterrete 1,6677, che è appunto il logaritmo corrispondente.

Perbacco, la trasformata logaritmica di X è davvero lineare!Perbacco, la trasformata logaritmica di X è davvero lineare!

Tassi medi di incrementoTorniamo ai tassi di occupazione. In 4 intervalli di tempo (bienni) gli occupati passano da 9000mila a 11178mila, con un incremento totale del 24,2%. I 4 tassi di incremento annui sono 4,1%; 5,5%; 5,6%; 7%. Possiamo domandarci: qual è il tasso medio di incremento del periodo?

Un modo per calcolare un tasso medio può consistere nel farne la media aritmetica semplice (somma dei tassi divisa per il loro numero). Tasso Tasso medio periodale semplice è la media aritmetica delle variazioni medio periodale semplice è la media aritmetica delle variazioni relativerelative intervenute in ciascun periodo nell’intervallo 0—T.

Xt occupati

Xt = Xt-

1* 1,055

9000 9000

9371 9500

9889 10027

10444 10583

11178 11170

r = (r1+r2+..+rk)/k = (i=1..k ri)/k =

(4,1+5,5+5,6+7,0)/4 = 22,2/4 = 5,55

Ma il tasso medio semplice ha un difetto: applicato allo stock iniziale non dà il corretto valore finale della serie. Il risultato finale è 11170, pari al 24,1% di incremento rispetto a x0 , mentre il valore esatto è il 24,2%.

Tasso medio composto

 0r4 = 0i4 -1 = (x1/x0).(x2/x1).(x3/x2).(x4/x3) - 1 = 1,242-1

Noi vogliamo che il tasso di incremento finale sia equiripartito tra i 4 periodi. Invece di fare la somma dei tassi di variazione (divisa per k=4), una alternativa consiste nella equiripartizione (tramite radice di ordine k=4) del prodotto dei numeri indici :

r = 4(x1/x0).(x2/x1).(x3/x2).(x4/x3) - 1 = 4x4/x0 - 1

r = 411178/9000 - 1 = 41,242 - 1 = 1,055675

Ora il prodotto (N-1) volte dell’ammontare iniziale della serie storica per il tasso medio periodale composto è pari all’ammontare finale.

9000.r=9501.r=10030.r=10588.r=11178=xt CVD

Il tasso medio periodale composto è la media geo-Il tasso medio periodale composto è la media geo-metrica delle variazioni relative intervenute tra 0 e T.metrica delle variazioni relative intervenute tra 0 e T.

Funzione obiettivo Abbiamo già detto che una buona media analitica implica l’esistenza di una sintesi algebrica delle proprietà individuali in una corri-sintesi algebrica delle proprietà individuali in una corri-spondente proprietà, dotata di significato, del collettivospondente proprietà, dotata di significato, del collettivo.

Media secondo ChisiniMedia secondo Chisini rispetto a una data funzione obiettivofunzione obiettivo è appunto quel valore numerico che, sostituito a ogni modalità osservata, lascia inalterata la funzione obiettivo stessa.

La funzione obiettivo più diffusa è l’intensità totalel’intensità totale del carattere studiato, somma delle modalità osservate nelle N unità della popolazionesomma delle modalità osservate nelle N unità della popolazione. L’intensità totale ripartita tra le N unità è la media aritmetica.L’intensità totale ripartita tra le N unità è la media aritmetica.

m

i

m

iii

iix N

nxfxmXEXMm

1

11)()(

Per es., se Tizio Caio e Sempronio hanno rispettivamente 4, 6 e 11 euro in tasca, tutti insieme possiedono T=21 euro, e la media corretta è T/N=7 euro. Infatti se ciascuno di loro avesse 7 euro il totale non muterebbe.

Prodotto come funzione obiettivo

Ma supponiamo ora di analizzare la variabile “indice a base mobile del costo della vita” su due anni. Nel primo anno non ci sia incremento (0i1=1,00), nel secondo anno ci sia un’inflazione del 44% (1i2=1,44). Fatto 100 il costo della vita in t=0, esso sarà ancora 100 in t=1 e 144 in t=2.

In questo caso non ci interessa tenere fissa l’intensità totale degli indici, ma il rapportorapporto tra costo iniziale e costo finale della vita.

144=100144=10000ii1111ii22 00ii1111ii22=(144/100)=1,44=(144/100)=1,44

Quando le modalità sono legate tra loro da un meccanismo moltiplicativo, la corretta funzione obiettivo è il prodotto delle modalità funzione obiettivo è il prodotto delle modalità osservateosservate.

E se per ripartire equamente una somma la si divide per il numero di modalità [(a+a+a)/3=3a/3=a], per ripartire un prodotto occorre fare la radice di ordine N [3(aaa)=3(a3)=a].

Nell’esempio la media ‘giusta’ è 3(1,44)=1,2 che, sostituito ai due indici

00ii11 e 11ii22 osservati, dà il giusto costo finale della vita. Usando la media aritmetica m=1,22, il costo finale sarebbe stato 148,84: molto superiore!

La media geometrica e il suo calcolo

La media geometrica lascia inalterata una particolare funzione obiettivo, il prodotto di tutte le modalità, ponderate per le rispettive numerosità.

N

m

i

nigixmXMm

1

00 )(

La media geometrica non è così semplice da calcolare. La media aritme-tica si ottiene sommando N modalità e dividendo per N. La media geome-trica si ottiene moltiplicando N modalità e poi facendo la radice N-esima del prodotto. Che complicazione!Ci viene in aiuto una funzione di trasformazione di X che abbiamo già conosciuto: la trasformata logaritmica Y=logX.

Non temete, non toccheremo l’ar-gomento. Ci interessano solo cer-te proprietà ‘algebriche’ di logX.

Il logaritmo di un prodotto è = alla som-ma dei logaritmi.

Il logaritmo di xn è = a nlogx

Il logaritmo di nX=x(1/n) è = a (1/n)logx

Se y=logX, X=antilogY

Dulcis in fundo, logaritmi e antilogaritmi si calcolano con le macchinette da 1 $!

Nota: nelle serie storiche la nume-rosità delle modalità è sempre 1!:

Ancora sul calcolo della media geometrica

Date le proprietà della trasformata logaritmica, vediamo cosa succede al logaritmo della media geometrica:

m

iii

m

i

ni

m

i

ni

N

m

i

ni

xnN

xN

xN

xm

i

ii

11

110

log1

log1

log1

loglog

00 loglog mantim

Abbiamo già visto come calcolare un logaritmo. Ma quando avremo fatto la somma ifilogxi, come fare per risalire alla media geometrica?

E’ altrettanto semplice. Una volta calcolata la ifilogxi digitatela sulla vostra macchinetta e schiacciate la funzione “ex”.

Quindi il logaritmo di Mg è nien-t’altro che una media aritmetica calcolata non sulle modalità di base ma sui loro logaritmi.

Mg = E(logX)

Per esempio l’antilogaritmo di 1,6677 è 5,3

Un esempio di procedura di calcolo (e tre note)

t-1it1,372

1,121

1,009

1,086

1,089

1,048

1,015

7,740

Mg xt-1

74264

81706

89894

98902

108813

119717

131715

logxt

0,3163

0,1141

0,0089

0,0824

0,0851

0,0468

0,0149

0,6685

logxt = 0,6685

logMg=logxt/N=0,0955

Mg = antilog = 1,10021

M(X)=xt/N=7,740/7=1,106

La serie stimata è esponenziale

M(x)xt-1

74655

82568

91321

101001

111707

123548

136644

xt

92583

103805

104742

113742

123828

129828

131717

NB1: se si ricalcola il montante (1990=67500)

usando M(X) esso risulta sovrastimato.

NB2: è sempre vero che Mg (X) M(X)

NB3: Mg si calcola anche come n(xt/x0)=

7(131717/67500)= 71,95136=1,1002160000

80000

100000

120000

140000

1990 1992 1994 1996 1998

60000

80000

100000

120000

140000

1990 1992 1994 1996 1998

60000

80000

100000

120000

140000

1990 1992 1994 1996 1998

Un altro esempiot Xt

1994 4

1998 10

2002 20

2006 34

2010 70

log t-1it-

0,9163

0,6931

0,5306

0,7222

2,8622

0

15

30

45

60

75

1994 1998 2002 2006 2010

t-1it-

2,500

2,000

1,700

2,059

8,259

Qual è il giusto (si fa per dire) tasso me-dio di crescita dell’epidemia di Aids?

M(X)=xt/N=8,259/4=2,06475

logMg=logxt/N=2,86222/4=0,71555

Mg = antilog = 2,04532

NB:la media geometrica è sempre<M(X)!

t Xt

1994 4

1998 10

2002 20

2006 34

2010 70

Mg xt-1

-

8,181

16,733

34,225

70,000

M(x)xt-1

-

8,259

17,053

35,210

72,700

Nota: la media aritmetica porta a sovrastimare il valore finale di oltre il 3,8% (72700 invece che 72000)!!

Confrontare incidenti e feritixt

incidenti

163,8

165,7

159,9

161,1

159,0

157,8

155,4

158,2

166,0

160,8

161,8

170,7

170,8

153,4

170,7

tanno

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

150

166

1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996

yt

feriti

222,9

225,2

217,4

219,7

217,5

216,1

213,2

217,5

228,2

216,3

221,0

240,7

241,1

216,1

239,2

210

246

1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996

Per esempio, le due serie (incidenti in rosso a tratto continuo, feriti in blu a tratteggio) hanno ordini di grandezza differenti. Ma se li riportiamo su scale comparabili, ci accorgiamo come l’andamento sia simile. Scala e andamento sono cose distinte.

Riportare due serie storiche su scale compara-bili con-sente a volte di cogliere interes-santi cor-relazioni tra serie storiche

Confrontare incidenti e vittime

xt

incidenti

163,8

165,7

159,9

161,1

159,0

157,8

155,4

158,2

166,0

160,8

161,8

170,7

170,8

153,4

170,7

tanno

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

150

1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996

wt

morti

11,1

10,5

10,0

9,9

9,2

9,2

9,4

9,1

9,0

8,7

9,2

9,6

9,6

8,6

8,4

8,2

1980

In questo caso le due serie (in-cidenti in rosso a tratto conti-nuo, vittime in blu a tratteg-gio), riportati su scale compa-rabili, mostrano andamenti dif-ferenti. Non pare esserci ‘cor-relazione’ tra le due serie.

Ma cosa è mai questa ‘correla-zione’?Confron-tare due anda-menti ci condu-ce nel dominio

dell’analisi bivariata

Da tre serie, altre serie (rapporti statistici)

tanno

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1335

1980

zt

fer/incid

1,361

1,359

1,360

1,364

1,368

1,369

1,372

1,375

1,375

1,345

1,366

1,410

1,411

1,409

1,401

kt

morti/in

68

63

62

61

58

58

60

57

54

54

57

56

56

56

49

48

1980

Anche combinare due serie in for-ma di rapporto statistico permette spesso di capire di più. Per esem-pio, la serie delle vittime per inci-dente, in rosso a tratto continuo, sembra declinare, mentre quella dei feriti per incidente, in blu tratteggiato, si impenna.

Lavorare con serie di rap-

porti statistici è dunque un

modo più compatto per

analizzare due fenomeni

insieme