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Introduzione ad archi volte e cupole

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Definizioni

Arco semplice

Volta a botte

Volta a padiglione

Volta a crociera

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Definizioni

Tagliando una volta a botte su pianta rettangolare con due piani verticali passanti per i vertici opposti del rettangolo di base si ottengono 4 elementi:

2 cappe o manti2 unghie o fusi

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Definizioni

L’unione di quattro cappe forma la volta a crociera

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Definizioni

L’unione di quattro unghie forma la volta a padiglione

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L’arcoAspetti base del comportamento strutturale

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L’arcoAspetti base del comportamento strutturale

Trazione

C om pressione

Trave appoggiata (sistema trilitico)

Arco

Isostatiche dicompressione

Isostatiche di trazione

Compressione

Trasmissione di sole azioni verticali

Trasmissione di azioni verticali e orizzontali (spinte)

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L’arcoAspetti base del comportamento strutturale

Reazione orizzontale

Reazione verticale

Curva di pressione o “funicolare”

L’arco è un elemento strutturale in grado di incanalare, con la sua traiettoria curvilinea, le sollecitazioni prodotte dai carichi trasformandole in forze prevalenti di compressione.

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L’arcoAspetti base del comportamento strutturale

Reazione orizzontale

Reazione verticale

Curva di pressione o “funicolare”

La sollecitazione di compressione rappresenta praticamente l’unica sollecitazione cui la pietra e la muratura sono in grado di resistere.

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L’arcoAspetti base del comportamento strutturale

Come si costruisce un arco

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Aspetti base del comportamento strutturale

Come si costruisce una volta

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Stabilitàottenuta per

compressione

Verifica dell’equilibrioGEOMETRIA e DISTRIBUZIONE delle masse garantiscono il corretto

flusso delle forze nelle sezioni resistenti

Verifica di resistenzaLe sollecitazioni nelle sezioni devono

essere minori delle resistenze dei materiali

Il materiale pietraProprietà principali:

Scarsa resistenza a trazioneFragile

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Situazione idealeCompressione uniforme

Situazione compatibileCarico eccentricoSezione compressa

Situazione limite Sezione parzializzata

Superamento della resistenza

Situazione instabileRisultante fuori base

RIBALTAMENTO

Equilibrio e resistenza

d/3

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Equilibrio e resistenza

La sezione rettangolare è tutta compressa se il centro di pressione cade all’interno del terzo medio

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Equilibrio e resistenzaNel caso di due corpi appoggiati l’uno sull’altro con vincolo di semplice contatto non può sussistere equilibrio se il risultante cade fuori dalla sezione.

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Gli studi sull’arcoGli studi condotti sull’arco nel corso del XIX secolo riguardavano prevalentemente la forma da conferire all’arco per garantire la centratura dello sforzo normale in corrispondenza delle facce a contatto tra un concio e l’altroMèry mostrò che il problema della determinazione del regime statico di un arco poteva essere risolto utilizzando un poligono di equilibrio a passaggio obbligato per due punti: il terzo medio inferiorenella sezione di imposta e il terzo medio superiorenella sezione in chiave, con retta d’azione orizzontale (per arco simmetrico e simmetricamente caricato e vincolato)In questo modo noti i carichi esterni, era possibile ottenere l’andamento della curva delle pressioni.

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Metodo di Mèry

La verifica dell’arco consiste nell’accertare che nelle sue sezioni non siano presenti forze di trazione Per un arco con sezione trasversale rettangolare, bisogna verificare che la curva delle pressioni sia contenuta all’interno della fascia delimitata dal terzo medio di tutte le sezioni trasversali (nocciolo centrale d’inerzia).

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Metodo di MèrySi determinano i carichi agenti sull’arco, considerando le parti di sovrastruttura che competono ad ogni singolo concio ed applicando la forza nel baricentro della regione relativa.

PP

PP P P123

45

6

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Metodo di MèryEssendo l’arco simmetrico e simmetricamente caricato e vincolato, si può limitare lo studio a metà di esso, applicando nella sezione di chiave la forza trasmessa dalla restante parte.

P65P

4P3P 2P 1P H

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Metodo di MèryTale forza ha retta d’azione orizzontale (ortogonale alla sezione cui è applicata) e si considera applicata al terzo medio superiore della sezione stessa.

P65P

4P3P 2P 1P H

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Metodo di MèryCostruito il poligono funicolare dei carichi esterni relativa a metàarco, il problema si risolve utilizzando un poligono di equilibrio a passaggio obbligato per due punti: il terzo medio inferiorenella sezione di imposta e il terzo medio superiore nella sezione in chiave.

P6P5

P4P3

P2 1P

R

H

1PP2

O

RP3P4P5P6

Poligono delle forze

Poligono funicolare

K

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Metodo di MèryPer l’equilibrio il poligono dei vettori deve risultare chiuso e le rette d’azione devono concorrere in un medesimo punto (K)La retta d’azione della reazione d’imposta deve passare per K e per il terzo medio inferiore della sezione stessa.

K

S

6P curva delle pressioni

4P

P65P

1P

P32P

S

HH

S

P5P4

P3P2

P1

Q

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Metodo di MèrySi può costruire la curva delle pressioni, utilizzando il poligono funicolare costruito sul polo QIl poligono funicolare costruito utilizzando il polo Q rappresenta il poligono delle successive risultanti, cioè la curva delle pressioni.

S

6P curva delle pressioni

4P

P65P

1P

P32P

S

HH

S

P5P4

P3P2

P1

Q

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La verifica di stabilità dell’arcoLa linea delle pressioni descrive le azioni scambiate tra conci adiacenti

Se non passa per i baricentri delle sezioni si hanno sollecitazioni composte di forza assiale, taglio e flessione.

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La verifica di stabilità dell’arco

La verifica di stabilità richiede che siano verificate le condizioni:

T ≤ f NM/N = e ≤ h/2

f = tgφ è il coefficiente di attritoe = eccentricità della forza assiale rispetto al

baricentro:Se e ≤ h/6 la sezione è interamente compressa

Se e > h/6 la sezione è parzializzataSe e > h/2 l’equilibrio è impossibile.

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Metodo di Mèry

Lo spostamento della risultante dei carichi verso le imposte comporta una riduzione della reazione orizzontale.

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Cono di attrito

Il ruolo dell’attritoUn vincolo scabro è in grado di fornire, oltre alla reazione Rv una reazione Rt ortogonale ad essa, diretta secondo lo spostamento che esso consente.

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Il ruolo dell’attritoL’entità della componente Rt non può superare un’aliquota della reazione principale Rv:

Rt ≤ f RvCono di attrito

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Il ruolo dell’attrito

Il coefficiente di attrito f si può esprimere come:

f =Rt / Rv = tgφ

Cono di attrito

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Il ruolo dell’attrito

Cono di attrito

φ φ

Il vincolo è in grado di equilibrare una forza inclinata rispetto alla direzione ortogonale al piano di scorrimento < f (interna al cono di attrito)

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Trovare la “giusta” curva delle pressioni

Il tracciato della linea delle pressioni èun indice della stabilità dell’arcoQuanto più si discosta dalla linea d’asse dell’arco tanto maggiore deve essere lo spessore dell’arco

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Trovare la “giusta” curva delle pressioni

Domanda: la curva delle pressioni trovata è quella giusta (data la scelta arbitraria del polo H)?

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Esercizio

P1 = 10 kNP2 = 20 kN = P3 = P4 = P5Scala: 10 kN = 1 cmProviamo due poli diversi!

Trovare la “giusta” curva delle pressioni col metodo del Mèry

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EsercizioTrovare la “giusta” curva delle pressioni col metodo del Mèry

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EsercizioTrovare la “giusta” curva delle pressioni col metodo del Mèry

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EsercizioTrovare la “giusta” curva delle pressioni col metodo del Mèry

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Interpretazione: “Se il progettista è così furbo da trovare un polo che dia luogo ad una curva delle pressioni interna all’arco e prossima alla massima eccentricitàammissibile, allora l’arco sarà altrettanto furbo da trovarne una per proprio conto!”

Aspetti base del comportamento strutturale

Teorema di minimo di J. Heymans:“Se è possibile trovare un campo di tensioni nella struttura che sia ovunque equilibrato internamente e con i carichi esterni, senza violare la condizione di rottura, tali carichi esterni saranno portati dalla struttura in sicurezza.”

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Spessore dell’imposta

medievale

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Spessore dell’imposta

analitico

6 3beoppureb ≤

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Spessore dell’imposta

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Danneggiamento degli archi• Assestamento dell’imposta

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Danneggiamento degli archi• Assestamento dell’imposta• Dimensionamento insufficiente

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Danneggiamento degli archi• Assestamento dell’imposta• Dimensionamento insufficiente• Forze concentrate / carico eccessivo del

riempimento

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Danneggiamento degli archi• Assestamento dell’imposta• Dimensionamento insufficiente• Forze concentrate / carico eccessivo del riempimento• Degradazione dei mattoni/malta e

allentamento/scorrimento dei conci

Roma (via S. Vito)

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• modifica delle condizioni, ad es. cambiamento di destinazione d’uso

Danneggiamento degli archi• Assestamento dell’imposta• Dimensionamento insufficiente

• Degradazione dei mattoni/malta e allentamento/scorrimento dei conci

• Forze concentrate / carico eccessivo del riempimento

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InterventoIncremento della componente verticale

P1

P2S

R

6be >

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InterventoIncremento della componente verticale

P1

P2SR

6be <

F

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InterventoIncremento della componente verticale

guaina

barra

riempimento

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InterventoDiminuzione dell’eccentricità

Speroni di contrasto

Catene all’estradosso

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InterventoDiminuzione dell’eccentricità

Catene all’intradosso

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InterventoDiminuzione dell’eccentricità

Catene all’intradosso(Roma - via S. Vito)

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InterventoMiglioramento dell’attrito

Colla o inserimento di elementi trasversali

Collegamento dei conci con spinotti

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InterventoIncremento della capacità portante

Strati di cls all’estradosso

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InterventoIncremento della capacità portante

Strati di cls all’estradosso

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InterventoIncremento della capacità portante

Irrigidimenti all’estradosso

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Sicurezza

Può essere definita come la distanza fra lo stato corrente ed un dato stato limite

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Elementi strutturali: cupoleLa prima cupola della storia:La stanza del tesoro a Micene (XIV s. a.C.)

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EsempiPrima cupola costruita in opus cementitium (clsromano): il Pantheon

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EsempiPantheon

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EsempiCombinazione di archi e cupole:Hagia Sofia ad Istanbul (6° secolo D.C.)

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EsempiFalsi “archi”:Tempio del Sole a Konarak (India)

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EsempiSchemi nascosti:Duomi a bulbo ad Isfahan

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EsempiSchemi nascosti :Taj Mahal in India

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EsempiSchemi misti:Santa Maria del Fiore a Firenze

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Elementi strutturali: cupoleComportamento strutturale

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Danneggiamento delle cupole• Assestamento delle imposte• Effetti biologici, ad es. semi…

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Danneggiamento delle cupole• Assestamento delle imposte• Effetti biologici, ad es. semi…• Tamburo inefficiente• Translation of supporting

columns/walls

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Danneggiamento delle cupole• Assestamento delle imposte• Effetti biologici, ad es. semi• Tamburo inefficiente• Traslazione dei

pilastri/muri di supporto

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• Tamburo insufficiente

• Traslazione delle pareti/colonne di sostegno

Danneggiamento delle cupole Il Pantheon

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InterventoCerchiatura della cupola

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InterventoCerchiatura della cupola

San Carlo a Roma

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InterventoCerchiatura della cupola

Sant’Ignazio in Spagna

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Intervento Cerchiatura della cupola con FRP

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Intervento Cerchiatura della cupola con FRP

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InterventoAnelli di rinforzo per false volte