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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Interazioni nucleone-nucleone

Lezione 6

Interazioni nucleone-nucleone (cap. 4 del Krane)

•  Finora abbiamo descritto delle proprietà dei nuclei, a partire da osservazioni empiriche, che ci hanno portato alla formula di Bethe-Weizsäcker:

•  Descrive parte della fenomenologia osservata –  interazione a breve range –  densità uniforme –  bilanciamento dei livelli tra neutroni e protoni –  energia di “pairing” dei nucleoni

•  Non descrive –  spin ed altri numeri quantici –  l’esistenza di strutture nelle energie di legame

•  Ora vogliamo studiare direttamente l’interazione nucleare. •  Il sistema da cui partire è l’interazione tra due nucleoni.

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2015/16 2

B.E. A,Z( ) = −a1A + a2A23 + a3

Z 2

A13+ a4

N − Z( )2

A± a5A

−34a1 = 15.753 MeV a2 = 17.804 MeV a3 = 0.7103 MeV a4 = 23.69 MeV a5 = 33.6 MeV

Il deutone

•  Il più semplice stato legato: N=1, Z=1 •  Indicato sia come 2H o d •  m(2H) =2.014 101 778 120 ± 0.000 000 000 122 u •  Energia di legame

•  Stato molto debolmente legato:

–  Non esistono stati eccitati.


B.E. 2H( ) = m 2H( ) −m 1H( ) −m n( )⎡⎣ ⎤⎦c2

2u +13.1357217MeV •  Dimensione –  charge radius –  Si noti che

•  Spin-Parità: –  1+

•  Momento magnetico

−1u − 7.2889706MeV−1u − 8.0713171MeV= −2.224566MeV

BA= 1.112283MeV

Rd = 2.1424 ± 0.0021fm

Rp = 0.8775± 0.0051fm

µd = 0.857438229 ± 0.000000007 µN

Il deutone: funzione d’onda

•  Assumiamo il classico potenziale della buca sferica:

•  e la separazione di variabili

•  Lo stato di energia minima ha l=0, •  Per E<0 le soluzioni hanno la forma:

•  con le condizioni: –  continuità a r=0: –  limitatezza per r→∞:


V r( ) =−V0 r < R0 r > R

⎧⎨⎪

⎩⎪

ψ r( ) =u(r)rYl,m (θ,ϕ )

−!2

2md2udr2

+ V (r)+ h2l(l +1)2mr2

− E⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥u = 0

u r( ) =Asink1r + Bcosk1r k1 = 2m(E +V0 ) / ! r < R

Ce−k2r + Dek2r k2 = −2mE / ! r > R

⎧⎨⎪

⎩⎪

u 0( ) = 0⇒ B = 0

Y0,0 (θ,ϕ ) =14π

limr→∞ u r( ) = 0⇒ D = 0

Massa ridotta

Il deutone: funzione d’onda

•  Le condizioni di continuità al bordo della buca:

•  Si traducono nell’equazione per gli autovalori:

•  Per R=2.1 fm, E=-2.22 MeV si può determinare

la profondità V0 della barriera di potenziale: V0≈35 MeV

•  La probabilità di trovare un nucleone “fuori” dalla barriera decresce esponenzialmente con una scala di lunghezze:


Asink1R = Ce−k2R

Ak1 cosk1R = −Ck2e−k2R

k1 cot k1R = −k2

12k2

=!

2 −2mE=

200 MeV ⋅ fm2 938 MeV ⋅ 2.2 MeV

= 2.2 fm

Il deutone: spin e parità

•  JP=1+

•  Gli spin dei due nucleoni possono accoppiarsi per dare uno spin totale S=0 o S=1.

•  Il momento angolare totale J=1 si può ottenere dalle seguenti combinazioni: –  stati s: S=1, L=0 –  stati p: S=0, L=1 o S=1, L=1 –  stati d: S=1, L=2

•  La parità è P(d)=ηn=ηp(-1)L

–  Con la convenzione usuale degli autovalori di parità ηn=ηp=+1

–  Solo gli stati L=0 o 2 sono permessi

–  S=1


•  Non esiste uno stato legato 0+ –  possiamo dedurre che il

potenziale deve dipendere fortemente dallo spin.

–  molto diverso dal caso del positronio, dove gli stati L=0,S=0 e L=0,S=1 differivano di 8×10-4 eV.

•  Possiamo introdurre termini proporzionali S2 o s1⋅s2

–  rispettano T e P S2 = (s1 + s2 )2 = s12 + s22 + 2s1 ⋅ s2

s1 ⋅ s2 =12S2 − s12 − s22( )

=12S(S +1)− s1 (s1 +1)− s2(s2 +1)( )!2

Il deutone: potenziali di tripletto e singoletto

•  Dalla relazione:

–  Per S=1

–  Per S=0

•  Possiamo definire il potenziale separatamente per gli stati di tripletto e singoletto:

•  Si noti che nello stato con L=0 le coppie nn e pp non possono essere nello stato S=1: –  per fermioni identici la funzione d’onda totale deve essere anti-simmetrica –  simmetria spaziale: (-1)l simmetria della componente di spin: (-1)S+1

Non esiste uno stato legato nn o pp Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2015/16 7

s1 ⋅ s2 =12S(S +1)− s1 (s1 +1)− s2(s2 +1)( )!2

s1 ⋅ s2 =121(1+1)− 1

2 (12 +1)−

12 (12 +1)( )!2 =

14!2

s1 ⋅ s2 =120(0 +1)− 1

2 (12 +1)−

12 (12 +1)( )!2 = −

34!2

V (r) = s1 ⋅ s2!2

−14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟V1(r)+

s1 ⋅ s2!2

+34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟V3(r) =

34V3(r)−

14V1(r)

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+s1 ⋅ s2!2

V1(r)+V3(r)( )

Il deutone: momento magnetico

•  Il momento magnetico del sistema di spin S=1 è dato dalla relazione:

•  Per calcolare il coefficiente giromagnetico, possiamo proiettare sp ed sn sul vettore dello spin totale:

•  Sostituendo i valori:

•  Il momento magnetico risultante: •  è vicino, ma non uguale a: •  Per giustificare il valore osservato bisogna assumere ci sia una componente di

momento magnetico dovuto al momento angolare orbitale: –  Il deutone deve essere in uno stato misto L=0 + L=2

–  Il potenziale di interazione non può essere un potenziale puramente centrale


µs = gsµNS!= gpµN

sp!+ gnµN

sn!

gsS2

!2= gp

sp ⋅ S!2

+ gnsn ⋅ S!2

= gpsp2 + sp ⋅ sn!2

+ gnsn2 + sp ⋅ sn!2

gs ⋅ 2 = gp34+14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ gn

34+14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ gs =

gp + gn2

gp = +5.5857gn = −3.8261

gs = +0.8798

µs = gsµN = 0.8798µNµd = gdµN = 0.8574µN


•  Una distribuzione di cariche in moto, produce un momento magnetico:

–  Nel caso del deutone, q=e, m=2mN e

•  Ripetendo lo stesso ragionamento, ma stavolta per la combinazione di L ed S:

•  La proiezione lungo J dà quindi la relazione:

•  Per uno stato con J=1, S=1, L=2 si ottiene:


µl =q2mL

µl =e!4mN

L!=12µNL!

µd = gdµNJ!=12µNL!+ gsµN

S!

J = L + S

L ⋅ S = 12J2 − L2 − S2( ) = 12 j( j +1)− l(l +1)− s(s +1)( )!2

gdJ2

!2=12L ⋅ (L + S)!2

+ gsS ⋅ (L + S)!2

gd =12L ⋅ S+ L2

J2+ gs

L ⋅ S+ S2

J2

gd =34− gs

12 = 0.3101


•  Se il mio stato è una sovrapposizione degli stati con 3s1 con L=0 e 3d1 con L=2:

•  Il valore di aspettazione del momento magnetico diventa:

•  La presenza di una componente d permette anche di giustificare il valore piccolo, ma non nullo del momento di quadrupolo elettrico:


ψd = as 3s1 + ad 3d1 as2 + ad

2 = 1

gdµN = as2 gsµN + ad

2 34−gs2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟µN 0.8574 = as

2 0.8798+ ad2 0.3101

as2 = 0.96, ad

2 = 0.04

Q = 0.00288 b

Potenziale tensoriale

•  La presenza di una mistura di stati s e d indica che il potenziale non può essere puramente centrale. –  deve comunque essere invariante per rotazioni, dato che il momento

angolare totale viene conservato –  spezza il disaccoppiamento tra funzione d’onda di spin e ed il

momento angolare orbitale che si ha con un potenziale centrale.


V (r) = s1 ⋅ s2!2

−14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟V1(r)+

s1 ⋅ s2!2

+34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟V3(r)

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+VT (r)S1,2

S1,2 = 3s1 ⋅ r( ) s2 ⋅ r( )

r2− s1 ⋅ s2( )

Interazioni nucleone-nucleone: bassa energia

•  Ulteriori informazioni sulle interazioni forti vengono dalla misura dello scattering nucleone-nucleone.

•  A basse energie contribuiscono solo collisioni con momento angolare orbitale L=0. –  la sezione d’urto è appros-

simativamente indipendente dall’angolo solido.

–  la lunghezza di scattering a

dipende dallo stato di tripletto o singoletto dello spin.

–  Una volta corretta per le interazioni coulombiane: •  app = -17.1±0.2 fm •  ann = -16.6±0.5 fm

Le interazioni forti sono indipendenti dalla carica Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2015/16 12

dσdΩ

=a2

1+ (k /α)2

k = 2µNE / !

Interazione Spin-Orbita

•  Supponiamo che: –  VSO(r) sia attrattivo –  nucleoni 1 e 2 abbiano spin uscente dalla

pagina: •  per nucleone 1, s⋅L<0: la forza diventa repulsiva •  per nucleone 2, s⋅L>0: la forza rimane attrattiva •  Entrambi i nucleoni saranno deviati verso l’alto •  Al contrario nucleoni con spin entrante nella

pagina verranno deviati verso il basso

•  Come risultato dello scattering si osserva una polarizzazione dei nucleoni uscenti:

•  Si può descrivere tramite un potenziale del tipo:


P(θ ) = dσdΩ

=N↑(θ )− N↓(θ )N↑(θ )+ N↓(θ )

VSO (r)s ⋅ (r × p)!2

= VSO (r)s ⋅L!2

Interazione spin-orbita

Scattering nucleone-nucleone: forza di scambio

•  All’aumentare dell’energia ci si aspetterebbe che l’effetto del potenziale nucleone-nucleone diminuisca sempre di più.

–  L’ordine di grandezza della deflessione

–  a 500 MeV ci aspettiammo θ~0.035 rad=2° –  Invece nello scattering p-n si nota un grosso picco di diffusione all’indietro

•  Interazione di scambio: –  interazione mediata

da una particella carica –  scambia la natura delle particelle uscenti,

ma sempre a basso momento trasferito Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2015/16 14

p

-p

Δp p+Δp

-p-Δp -Δp

θ =Δpp

=FΔtp

=(V0 / R)(R /υ)

p=V0pυ

=V0

2 12mυ

2( )

Forza F=-dV/dr ~V0/R

Per un tempo Δt~R/v

R

p

-p

Δp p+Δp

-p-Δp -Δp

Scattering nucleone-nucleone: forza di scambio

•  La particella in questione non può venire prodotta realmente: –  violerebbe conservazione di energia e momento

•  Tuttavia è permessa dal principio di indeterminazione: –  ΔEΔt>ħ ci dice che per processi di durata Δt non possiamo verificare

la conservazione dell’energia a meno di ΔE>ħ/Δt –  Per scambiare interazioni nucleari il mediatore ha bisogno di coprire

almeno una distanza r0 corrispondente a Δt~r0/c –  Quindi è possibile avere masse:

mXc2<ħ/Δt=ħc/r0~200 MeV

•  Una forma usata del potenziale di interazione:


V (r) =gπ2 mXc2( )3

3 mNc2( )2 !2s1 ⋅ s2 + S1,2 1+

3Rr+3R2

r2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥e−r /R

r / R

S1,2 = 3s1 ⋅ r( ) s2 ⋅ r( )

r2− s1 ⋅ s2( ) R = !

mXc

Costante di accoppiamento

Breve range delle forze

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