Lezione 5… Interazione delle particelle con la materia

Rivelatori di Particelle 1

Lezione 5…Lezione 5…Interazione delle particelle con la Interazione delle particelle con la

materiamateria

Introduzione.Introduzione.

Le particelle prodotte in una collisione hanno impulso, carica,massa ed altre proprietà che vogliamo misurare.Ogni possibile mezzo può essere usato per poter rivelare le particelle capirecapire come le particelle come le particelle interagiscono con il materiale con cui sono costruiti I interagiscono con il materiale con cui sono costruiti I rivelatori.rivelatori.

Lezione 5…Lezione 5…Interazione delle particelle con la Interazione delle particelle con la

materiamateria

Due possibili tipi di misure: Misure non distruttive: l’interazione col mezzo trasferisce poca

energia al mezzo stesso. Misure distruttive: l’energia della particella viene persa nel

rivelatore e la particella viene assorbita (calorimetria).

Tratteremo:• Collisioni fra particelle cariche: Scattering multiplo , Bethe Block.• Radiazione emessa da particelle cariche : Radiazione Cerenkov,

di transizione e Bremsstrahlung.• Interazioni dei fotoni e sciami elettromagnetici.• Sciami adronici.



Lezione 5…Lezione 5…Collisioni fra particelle caricheCollisioni fra particelle cariche..

Una particella di massa >> dell’elettrone in moto (veloce) in un materiale collide con:

Nuclei Nuclei poca energia rilasciata al nucleo, ma angolo di scattering della particella incidente significativo.

Elettroni atomici Elettroni atomici gli elettroni (leggeri) si prendono abbastanza energia dalla particella incidente, ma questa fa uno scattering trascurabile.


Lezione 5…Lezione 5…

Scattering elastico (RutherfordScattering elastico (Rutherford))

Simmetria entrante-uscente pb┴ p

A parametro d’impatto b la forza èF(b)=Ze2/(4b2)

Tempo d’interazione t=2b/v (piccole distanze) (dalla F=dp/dt)pb=pT ≈ F(b) t = (2Ze2)/(4cb)

Nell’approssimazione di piccoli angoli~ pb/p ~ (2Ze2)/(40cbp)~2Z/pbe2/(40ħc))

Z grande campo nucleo più grande grandepiccolo t più grande grande

ppbb

Nucleo a riposo Carica Ze

t v

ParticellaIncidente e, M, p, c

b

r

pb


Lezione 5…Lezione 5…

Scattering elastico (RutherfordScattering elastico (Rutherford))Si ottiene lo stesso risultato, sempre classicamente, integrando come segue:

Abbiamo ricavato la relazione fra angolo di scattering e parametro d’impatto. Quello che ora ci interessa è la probabilità di scattering.

222

20

2

); a ortog. (forza ;sin)( ; ;sin :dove

4

bxrprFFc

dxdtrb

c

dx

r

b

r

ZedtFp

b

bb

b

Z

cb

Zed

c

Ze

bx

bdx

c

Zep

bx

bx

b

22

4

1

144

2

02

0

2

220

2

23

23


Lezione 5 ….Lezione 5 ….Scattering elasticoScattering elastico

Sezione d’ urtoSezione d’ urto (probabilità di scattering)

La sezione d’urto sarà proporzionale all’elemento di area trasversadd= bdbd= bdbd

Integrando su dd=2=2bdb=2bdb=2(2Z(2Z)/(p)/(p)db)db

Ma db=(2Z/p2)d e d= 2sin()d~ 2d (per piccoli angoli)

dd/d/d= (2Z= (2Z//p)p)22 1/ 1/44

La formula esatta va come 1/(sin4)Questa formula è valida per particelle di spin 0 e massa M>>me

Nel caso di particelle di spin ½ la è quella di Mott :

d/d=d/dRut(1-b2sin2(/2))

Abbiamo eseguito il calcolo classicamente, ma viene esattamente lo stesso risultato in meccanica quantistica.


Lezione 5 ….Lezione 5 ….Scattering elasticoScattering elastico

Abbiamo visto:

dd/d/d= (2Z= (2Z//p)p)22 1/ 1/44

Questa formula ci dice che la sezione d’urto diverge a piccolo angolo.

Ma esiste un minimo ed un massimo ….


Lezione 5…Lezione 5…Scattering elasticoScattering elastico

Lo scattering di Rutherford è dovuto al campo elettrico dei nuclei. L’atomo è neutro se la particella arriva troppo lontano E ~ 0 bmax (min) e d/d non diverge per 0.

bmax = a0 = re2/2 per l’idrogeno

bmax = ra ~ 1.4 a0• Z-1/3 per materiali più pesanti

Abbiamo seguito un ragionamento classico. Dal punto di vista quantistico si usa il principio d’indeterminazione p ~ ħ/ra cioè ~ ħ/rap.

22min

2

22 12

p

Ze

d

d


Lezione 5…Lezione 5…raggio classico di e (rraggio classico di e (r00))

Ricordiamo che il raggio classico dell’elettrone è e2/mc2 nel sistema di Gauss e e2/mc240 nel sistema S.I.

Si ricava calcolando l’energia totale del campo elettrico generato da un elettrone.

r

edrddr

r

e

dVEdVDEmcE

r

rr

tot

1

4sin

4 0

22

420

2

0

20

2

20

2

4 mc

ere


Lezione 5….Lezione 5….Scattering elastico …Scattering elastico …

Abbiamo anche un max (bmin).

Lo scattering alla Rutherford non funziona quando la lunghezza d’onda della particella incidente diventa paragonabile alla

dimensione del nucleo rn ~ (1/2)reA1/3. (ricorda la diffrazione)

2min

2

2

2

3/1

max

142

2

32max

min

ne

nn

rZ

rdd

d

p

mcA

prr

Osserviamo che la sezione d’urto decresce aumentando


Lezione 5…Lezione 5…Scattering multiploScattering multiplo

Abbiamo visto che c’è una probabilità non trascurabile che una particella carica subisca uno scattering Coulombiano nell’attraversamento di un pezzo di materiale.

Una particella può subire un solo scattering, ma può anche fare molti scattering coulombiani (la sezione d’urto cresce rapidamente quando gli angoli di scattering diminuiscono).La particella può lasciare il blocco di materiale dopo aver fatto molte collisioni a piccolo angolo

scattering multiplo.



Siccome ogni piccolo scattering individuale è un processo casuale ci aspettiamo che l’angolo medio di scattering di particelle che attraversano del materiale sia 0, ma in generale il valore quadratico medio non è pari a zero.

Siccome conosciamo la distribuzione degli angoli di scattering possiamo calcolarci il valor medio del quadrato dell’angolo di scattering (nell’approssimazione di piccolo angolo ddd)

Il valor medio del quadrato dell’angolo di scattering è :

min

max2min

3

2

2 ln2

d

d

ddd

ddd



Se consideriamo un blocco di materiale spesso avremo in media N nuclei (N molto grande) sui quali la particella diffonde. N grande distribuzione gaussiana <2(ms)> = N<2>. (dove <2> è di una singola diffusione)

In dx avrò per area unitaria N = N0dx/A = dx/<L>

N0 numero di Avogadro, densità del materiale, A peso atomico, <L> cammino libero medio fra i nuclei.

Se A~2Z il termine logaritmico diventa 2ln(173Z-1/3).

31

312

2

02 2ln

22

ZAp

Z

A

dxNms


Lezione 5….Lezione 5….Scattering multiploScattering multiplo

Tradizionalmente si scrive l’angolo di scattering in termini della lunghezza di radiazione X0.

Attenzione X0 è definita per processi radiativi. Lo scattering multiplo non è un processo radiativo ms dipende da X0 solo per caso.

La lunghezza di radiazione X0 è la distanza media attraversata da un elettrone di alta energia che perde tutta la sua energia tranne 1/e per Bremsstrahlung.

X0=(716.4 A)/(Z(Z+1)ln(287/21/2))

Si noti che con ms si indica (<sia qui che nel seguito)

1

214

energia di in termini ed 4

2

0

22

2

0

2

MeVmcEXx

cp

E

p

m

X

x

ss

ms

ms



La (1) è valida solo se attraverso molte lunghezze di radiazione, altrimenti è una sovrastima di ms.. Più accurata:

Formule valide per piccoli angoli. Per grandi angoli la distribuzione va come 1/sin4(/2) (Rutherford) con code più larghe di una gaussiana.

00 ln038.01

2.19X

xXxMeVcpms



Proiezione su un piano:

yy

xx

zz

yy

ms

2ms=2

x+2y

pr=ms/21/2

Per angoli grandi code più larghe di una gaussiana



La dispersione angolare causata dallo scattering multiplo introduce anche una dispersione laterale in un fascio di particelle. (yplane)

La media del quadrato della dispersione laterale è data da :

Essendo x la distanza attraversata nel mezzo.

222

6

1xy

msplane



Vediamo di ricavare

A tale scopo consideriamo un elemento di spessore dx a profondità x e vediamo il contributo di dy2 a <y2>

222

6

1xy

msplane

xydxxxxydxxdxxydxyd

d

dxxxyyd

dxxxyxydxxy

xdxx

dxxxydxxy

yy

y

y

y

22

22

2

22

infatti

2

2



Ora:

3

0

22

2

0

2

2

2

3

1

2

12

2

1

2

radiazione di lunghezzein espresso s ed 1

2

21con

ksdxkxy

ss

kkxdxy

p

MeVksk

s

y

s

y

222

6

1sy

msplane



Notiamo: lo scattering multiplo è un fattore

limitante per le misure.

Misure d’ impulso precisione della misura limitata dallo scattering multiplo.

Sciami elettromagnetici dimensioni trasverse dello sciame dovute allo scattering multiplo.


Lezione 5…Lezione 5…Perdita di energiaPerdita di energia

• Scattering multiplo scattering su nucleo deviazione della particella incidente

• Perdita di energia scattering su elettrone trasferimento di energia alla targhetta (elettroni dell’atomo), deviazione della particella incidente trascurabile.

Fattore 1/m in l’energia viene trasferita alle particelle più leggere

più energia agli elettroni (almeno 2000 volte più leggeri del nucleopiù energia agli elettroni (almeno 2000 volte più leggeri del nucleo) )

rinculo di energia

targhettamassa 22

incidente particella velocita'

impattod' parametro 2

22

22

m

mvbmp

v

bbvp

T

T


Lezione 5…Lezione 5…Considerazioni relativisticheConsiderazioni relativistiche

• Il campo ET si trasforma relativisticamente come • Il tempo di collisione t come 1/

ppTT= p= pbb= eE= eETT(b)(b)t ~ et ~ e2b/2b/~ 2eb/~ 2eb/

Quindi dato b e per 1 pT = costante.Vedremo in seguito che questo è vero a meno di un fattore logaritmico.Questo rende la vita più facile per i rivelatori perché, in prima approssimazione tutte le particelle di carica unitaria con sufficiente energia cinetica trasferiscono la stessa energia al mezzo.( MIP)


Lezione 5….Lezione 5….Perdita di energiaPerdita di energia

Massima e minima energia della particella di rinculoMassima e minima energia della particella di rinculo

p0, E0, M

k, , m

p, E, M

p0=p+kE0+m=E+T=-m Q=T/mMp0=M

22222

2222

cos

cos2

MmM

MQ



Quadrando p0 ed E0 cioè l’impulso e l’energia totale ottengo:

Sottraggo le (1) membro a membro ed ottengo:

mk MpEMpE

mEmEmEE

kpkpp

222222220

20

002222

022

02

; ; :che osservo

1222

cos2

0

220

20

22

20

22220

220

2220

222

002

cos2cos

ma

2cos

2cos

2 ma

0cos2

pmEpQ

m

TQ

mETmTTp

mmEmmTTp

mTTmk

mmEkpm



Ponendo ora E0=M e p0=M ottengo:

220

20

220

cos

cos2

pmE

pQ

22222

2222

cos

cos2

MmM

MQ



Massima e minima energia della particella di rinculo… continuaMassima e minima energia della particella di rinculo… continuaQuello che ci interessa è il minimo ed il massimo di Q (energia cinetica trasferita).

2

02max

2

2

max

min

22

0 e 0 elettronisu protoni e.g.

0 ,1cosper

21

2

90 0cosper 0

M

pQ

M

m

M

m

M

m

M

mQ

Q

o

o



Raggi deltaOccasionalmente gli elettroni di rinculo guadagnano sufficiente energia da essere rimossi dall’atomo (ionizzazione). Raggi Raggi

Assumendo di avere Z elettroni in ao (~1 Å ) ed una lunghezza d’onda del proiettile < ao e particelle incidenti veloci ( 1) abbiamo:

Ponendo Z/A~1/2 abbiamo che i raggi di energia > 1 MeV in 1 gr/cm2

sono circa il 7.8% della ionizzazione totale. Questo ci porta a delle grosse fluttuazioni della perdita di energia.(code di Landau)

Compton ondad' lunghezza 2

e raggio del cinetica energia T materiale, del densita' con

22

20

mc

TA

ZN

xdTd

dN e



Osserviamo:

Il comportamento angolare del proiettile (1/4) si trasforma in un comportamento 1/T2 dell’energia cinetica del bersaglio (di rinculo).

limitato l’angolo, limitata l’energia cinetica di rinculo.

mcTT

b

dT

dbb

dT

d

mbcbT

2

22

2

2

22

2

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