Lezione 5 Dinamica del punto

Argomenti della lezione   Classificazione delle forze

  Forza peso

  Forza di attrito radente (statico e dinamico)

  Piano inclinato

  Forza elastica

  Forza di attrito viscoso

  Forze centripete

  Perché avviene il moto??

Dinamica del punto Principio d’inerzia

Un corpo non soggetto a forze non subisce cambiamenti di velocità, ossia rimane in quiete se già

lo era o si muove di moto rettilineo uniforme

Principio d’inerzia

Accelerazione Presenza di una forza

Forza: Grandezza che esprime l’interazione fra sistemi fisici

La tendenza di un corpo a rimanere fermo o a proseguire di moto rettilineo e uniforme è chiamata inerzia per cui la prima legge di Newton è anche detta Legge o

Principio di Inerzia.

Dinamica del punto Principio d’inerzia

Quando si tenta di far cambiare la velocità di un oggetto, esso si oppone a questo cambiamento.

La risposta di tale corpo alla sollecitazione causata dalla forza esterna prende il nome di

Inerzia.

Tale particolare caratteristica è una proprietà esclusiva del singolo corpo, il quale la manifesterà tutte le volte che sarà soggetto a tale

tipo di sollecitazione.

Dinamica del punto Principio d’inerzia

L'inerzia viene misurata con la massa e nel Sistema Internazionale (SI) viene impiegato il chilogrammo. Tale grandezza è una grandezza scalare. Dati due corpi, di massa diversa, che si trovano sottoposti alla medesima

forza esterna, avranno accelerazioni diverse.

Non bisogna confondere la massa con il peso, esse sono cose completamente diverse. La massa essendo una proprietà intrinseca del

corpo non dipende da ciò che lo circonda e dal metodo utilizzato per misurarla.

Il peso di un corpo, invece, è uguale al modulo della forza esercitata dalla Terra (o chi per essa) su quel corpo e dipende dalla posizione.

Sperimentalmente si osserva che la proprietà di avere inerzia e quella di pesare "vanno insieme". Cioè sia l'inerzia che il peso sembrano essere

legati allo stesso parametro che caratterizza il corpo: la massa.

5

Sistemi di riferimento inerziali

Vt

Il moto è relativo: i vettori posizione, velocità ed accelerazione dipendono dal sistema al quale viene riferito il moto della particella.

Nel sistema in moto relativo uniforme la legge del moto è la

stessa che nel sistema fisso

Il tipo di moto è lo stesso! (cambiano le condizioni iniziali)

Sistemi inerziali In tutti i sistemi inerziali le proprietà

dello spazio e del tempo sono identiche, come pure le leggi della meccanica.

Quando un corpo è soggetto a una forza risultante nulla i sistemi di riferimento rispetto ai quali la sua accelerazione è zero sono inerziali.

Dinamica del punto 2° Legge di Newton La seconda legge di Newton dice cosa accade ad un corpo quando su di esso agisce una forza non nulla. Se le forze in gioco sono più di una, va considerata la loro somma ossia la

risultante delle forze, o forza risultante.

Ricordando le relazioni viste in cinematica, l’espressione vista può anche così essere riscritta: 2

2

dtdm

dtdmm rvaF ===

La relazione fra risultante e accelerazione è data con la seguente definizione formale:

L'accelerazione di un oggetto è direttamente proporzionale alla forza risultante agente su di esso ed inversamente proporzionale alla sua massa.

Fris = min·a

Questa relazione è di tipo vettoriale e come tale è equivalente alle tre equazioni fra le componenti

Da questa relazione è facile evincere che se una forza F viene applicata ad un corpo, esso sarà sottoposto ad una certa accelerazione a che avrà stessa direzione e stesso verso di F.

Dinamica del punto 2° Legge di Newton

F F F

F F’

Grandezza vettoriale!!! Dimensioni e unità di misura

Le dimensioni per la formula sono le seguenti:

[F] = [M][L]/[T][T]

e le corrispondenti unità di misura sono:

F = Kg·m/s·s = N

(dove N indica Newton.

La forza di 1N è quella che, agendo su una massa di 1 Kg, ne causa un'accelerazione di 1 m/s2)

aF inris m=

8

cost

cost

=⇒=

⇒=

amFa

F

Applicazioni dei principi della dinamica..

Moto uniforme

vcost0 0 =⇒= aF

Moto uniform. accelerato

  Determiniamo l’espressione della forza o delle forze presenti.

  Una forza è completamente definita quando si conosce qual è il corpo che la subisce e qual è il corpo che la genera

Dinamica del punto 3° Legge di Newton principio di azione e reazione

Le interazioni tra due corpi si manifestano sempre come due forze,esercitate reciprocamente da ciascun corpo sull'altro.

N.B. Stessa retta di azione

A

B

FA,B

FB,A

FA,B = - FB,A

Le forze non compaiono mai da sole, ma ognuna di esse è sempre accompagnata da un'altra forza.

Infatti, se tiro un elastico, questo reagisce tornando indietro, anche violentemente.

Questo tipo di osservazioni portano al principio di azione e reazione; esso afferma che:

se un corpo A esercita una forza su un corpo B, allora B esercita su A una forza della stessa intensità, ma di verso opposto.

La quantità di moto

La grandezza vp m= si definisce quantità di moto

Ricordando 2

2

dtdm

dtdmm rvaF === è possibile scrivere

( )dtmd

dtd vpF ==

pF ddt = ppppFJ Δ=−=== ∫∫ 000

p

p

t

tddt

Teorema dell’impulso

(forma integrale della legge di Newton)

Risultante delle forze

La forza è una grandezza vettoriale se su un punto agiscono più forze esso si muove come se agisse una sola forza che è la risultante delle forze vettoriali applicate al punto!

In altri termini l’accelerazione del punto (vettore) è pari alla somma vettoriale delle accelerazioni dovute ad ogni singola forza.

In formule:

∑=

=+++=n

iin

121 .......... FFFFR ∑∑

==

===n

ii

n

i

i amm 11

FRa

F1 F2

R R

F2

F1

12

NNNFFF BxAxRx 2.52)37cos(30)45cos(40 =+=+=

NNsenNsenFFF ByAyRy 3.10)37(30)45(40 =−=+=

oRx

Ry

NN

FF

5.11)2.0arctan(

2.02.523.10)tan(

==

===

θ

θ

Applicazione

amF =∑

kgmb 500=

NFFF RyRx 5122 =+=

2m/s1.0kg500N51

==a

Equilibrio

Ricordiamo il principio di inerzia, se un corpo è in quiete o si muove di moto uniforme, su di esso la forza agente è nulla, ma questo vuole dire in senso più ampio che la risultante delle

forze applicate è nulla!

∑=

=+++=n

iin

121 .......... FFFFR

Condizioni di

equilibrio statico

Esempio

Un corpo è sottoposto all’azione di una forza F diretta verso l’asse negativo delle x e a quella di una seconda forza F che forma un angolo di 60° con l’asse positivo delle x, determinare modulo direzione e verso della forza F necessaria affinche il corpo sia in

equilibrio.

Reazioni vincolari

Per quanto visto in precedenza se un corpo sottoposto a forze rimane in equilibrio esso deve essere soggetto a una forza di reazione provocata

dall’ambiente circostante.

N

R

0=+NR

15

La reazione Vincolare

⇒= 0aIl corpo è fermo su di un tavolo cioè in equilibrio:

  II legge di Newton: la forza complessiva agente sul corpo deve essere nulla.

  Il tavolo esercita una forza uguale e contraria alla forza peso, in modo tale che la forza risultante che agisce sul corpo sia nulla.

N

mg

N

Le reazioni vincolari si manifestano ogni qual volta c’è un vincolo ossia un impedimento al moto del corpo. Può avere una componente normale o parallela al vincolo

gmNgmN −=⇒=+ 0

Reazioni vincolari

Esempi

N

P

0=+NPN

P

y

x

0=− yPN

N

P

Classificazione delle forze Le interazioni in natura sono dovute a pochi tipi di interazione principali:

  L’interazione gravitazionale

  L’interazione elettromagnetica

  L’interazione nucleare debole

  L’interazione nucleare forte

Ponendo uguale a 1 l’interazione forte presente fra due protoni a contatto superficiale allora le altre interazioni hanno rispetto a questa le seguenti proporzioni:

L’interazione gravitazionale

L’interazione elettromagnetica

L’interazione nucleare debole

L’interazione nucleare forte

10-38

10—2

10-7

1

Forza Si definisce attraverso gli effetti provocati dalla sua applicazione

presenza vincoloeffetto staticoallungamento

L2-L1

assenza vincoloeffetto dinamico

accelerazione

entrambi direttamente proporzionalialla forza applicata

Si definisce la forza comela grandezza derivata, vettoriale

che si misura con il dinamometrola cui unità di misura è il newton

klF=

Δm

aF=

L’unità di misura della forza è il newton. Un newton equivale ad un ettogrammo -peso

Legge fondamentale della dinamica e la massa

F

a=m

F =ma F

m= a

La massa è la costante di proporzionalità tra forza e accelerazione (rapidità con cui varia la velocità)

La massa è inversamente proporzionale all’accelerazione

La massa è direttamente proporzionale alla forza applicata

Forza peso

Evidenza sperimentale: un corpo che cade qualunque sia la sua massa inerziale subisce una accelerazione detta di

gravità con modulo che in media vale g=9.81 m/s2

gaPaF mmm ==⇒=

Utilizzando la seconda legge di Newton

1 Kgpeso = forza peso di un chilogrammo massa = 1 Kg*9.8 m/s2

1 Kgpeso = 9.8 N 1 N ≅ 1 hgpeso

Massa e peso

  Massa e peso sono due grandezze direttamente proporzionali, essendo g costante in un determinato punto della superficie terrestre; per questo è facile confondersi. In realtà sono due grandezze tra loro ben diverse   Infatti mentre il peso è una forza ed ha come unità di misura

il NEWTON, la massa ha come unità di misura il Kg   La massa è una grandezza invariante mentre il peso è una

grandezza variante (infatti dipende da g che non sempre è costante)

  La massa è una grandezza scalare, il peso è una grandezza vettoriale

  La massa è una grandezza fondamentale, mentre la forza è una grandezza derivata

.

= = ≡ m

P g m

F a

Massa inerziale

Per una forza costante la massa è inversamente proporzionale all'accelerazione. Essendo il loro prodotto costante, se

la massa raddoppia, l'accelerazione dimezza : la massa, quindi ostacola il movimento.

Per questo motivo la massa che compare in questa espressione viene chiamata massa inerziale, dove l'inerzia

viene intesa come resistenza al movimento,

maF =

221

rmmGF ×

=

Massa gravitazionale Ogni massa ha la proprietà sia di attrarre che di essere

attratta da un'altra massa, secondo la legge di gravitazione universale.

Se indichiamo con m1 e m2 le due masse gravitazionali e con r la distanza fra i loro centri e G la costante di

gravitazione universale si ha

Massa inerziale e massa gravitazionale

maF = 221

rmmGF ×

=

mgP = 2RmMGP ×

=

2RmMGmg ×

=

2RMGg =

Dalla e dalla

si ha si ha

Per cui

Dividendo entrambi i membri per m, essendo la massa gravitazionale uguale alla massa inerziale si ha

Accelerazione di gravità

2RMGg =

L’accelerazione di gravità non dipende dalla massa dell’oggetto!

L’accelerazione di gravità dipende dalla massa terrestre

L’accelerazione di gravità dipende dal raggio terrestre

Peso e accelerazione di gravità

poli raggio minoreaccelerazione di gravità maggiore

intensità campo gravitazionale maggiorepeso maggiore

spiaggia raggio minoreaccelerazione di gravità maggiore

intensità campo gravitazionale maggiorepeso maggiore

equatore raggio maggioreaccelerazione di gravità minore

intensità campo gravitazionale minorepeso minore

vetta raggio maggioreaccelerazione di gravità minore

intensità campo gravitazionale minorepeso minore

accelerazione di gravitàe raggio terrestre

luna massa minoreaccelerazione di gravità minore

intensità campo gravitazionale minorepeso minore

terra massa maggioreaccelerazione di gravità maggiore

intensità campo gravitazionale maggiorepeso maggiore

accelerazionedi gravitàe massa del corpo celeste

2RMGg =

mgP=

Kgnewtong = g esprime l’intensità del campo gravitazionale,

cioè i newton associati ad un Kg

Intensità del campo gravitazionale

Kgnewtong =

g esprime, quindi, l’intensità del campo gravitazionale, cioè i newton associati ad un Kg

Il campo gravitazionale è lo spazio in cui agiscono le forze gravitazionali

cioèmFg =

Campo di forze

  Si può pensare che un corpo A sia in grado di generare una forza in diversi punti dello spazio ad esso circostante

  Un corpo B (puntiforme) si muove in questa zona di spazio e risente della forza, a seconda del punto in cui si trova

  Esempio: il campo gravitazionale

rr

mmGFAB

BA ˆ2

⋅⋅=

r̂A B F

F

−

ABr

Il campo gravitazionale

La FORZA PESO è la forza di gravità applicata in modo semplice a un sistema di 2 corpi di cui uno molto più massiccio, considerando l’accelerazione costante (indipendente dalla massa del corpo B e dalla sua forma)

one!Accelerazi

Terra la èA se ˆ

2222

3

2

2

2

sm

TB

T

BTB

T

AB

BA

tL

LM

MtL

rmG

mrmGF

rr

mmGF

=

=

=

⋅

⋅=

⋅⋅=

mmgaamF

b

B

≡

≡

=

Calcolo di g

  Il risultato non è numericamente corretto a causa:   Della dipendenza di g dalla

distribuzione di massa sulla terra

  Dalla variazione del raggio terrestre punto per punto

Tr

g =6.67!10

"11m3

Kg!s2

G

!5.98!1024Kg

mT

6.67!106( )2

m2

rT

= 8.7ms2

Ipotesi: tutta la massa è concentrata nel centro della Terra

Misura di massa

  Si confrontano le forze peso, supponendo costante localmente la gravità

Massa campione

Massa da misurare

gmP cc

= gmP xx

=

c

x

c

x

cx

c

x

c

x

mm

PP

ggPP

gmgm

PP

=

==

=

quindi

con equilibrioall'

Forze di attrito Attrito radente statico

Quando un corpo scivola o scorre su di una superficie scabra oppure, quando si muove all'interno di un fluido, come l'aria o l'acqua, si verifica una resistenza al suo spostamento dovuta proprio alle forze di attrito.

Consideriamo il semplice esempio di un blocco poggiato su di un piano orizzontale a cui viene applicata una forza parallela al piano, si nota che il blocco rimane fermo nel caso in cui la forza applicata non sia sufficientemente elevata. Ciò in base al primo principio della dinamica, permette di dedurre che insorge una interazione d'attrito fra piano e corpo, la quale è uguale ed opposta alla forza che tenderebbe a far traslare il corpo.

Fattrito F

N

mg

Forze di attrito Attrito radente statico

L'intensità della forza d'attrito statico non è nota a priori: essa è esattamente quella sufficiente a bilanciare (annullandone gli effetti) tutte le altre eventuali forze agenti sul blocco in direzione parallela alle superfici a contatto. Se immaginiamo di aumentare progressivamente F, anche la forza di attrito statico aumenterà, e quando il blocco è sul punto di scorrere la forza di attrito statica avrà raggiunto il suo massimo valore possibile. Riassumendo, la forza di attrito statico fra due superfici è sempre opposta alla componente parallela alla superficie della risultante delle altre forze applicate, ed essa può assumere valori compresi fra zero e µsN. Il coefficiente µs è detto coefficiente d'attrito statico, ed il suo valore dipende dalla natura delle superfici in contatto, mentre N rappresenta la reazione vincolare fra le due superfici. Per esempio, nel caso considerato sopra N è uguale ed opposta alla forza peso mg. Se la forza applicata diventa maggiore di µsN le superfici iniziano a scorrere e si parla quindi di attrito dinamico.

Forze di attrito Attrito radente statico

Esempio. Una cassa di legno di massa M=6kg è posta su un piano inclinato di 30° rispetto all'orizzontale. Tenendo conto del fatto che la cassa sta ferma e considerando tutte le forze agenti sulla cassa calcolare:

Fattrito

P

N

a. la forza risultante agente sulla cassa; b. la reazione normale "N" del piano nei confronti della cassa; c. la forza d'attrito statico ; d. il valore minimo del coefficiente d'attrito statico "µs".

Forze di attrito Attrito radente statico

Scegliamo due assi cartesiani di riferimento e scomponiamo la forza peso in due componenti

Py

Px

P

y

x

P=mg =10kg x 9.8m/s2=98 N Px=98sin30° Py=98cos30° N-Py = Ma considerando che l'accelerazione è nulla N-Py=0 N=Py=98cos30°N

Forze di attrito Attrito radente statico

Fattrito

Py

Px

P

N

y

x

Analogamente al punto precedente, la forza d'attrito si calcola facendo la somma delle forze dirette lungo l'asse x e ponendola = 0 considerando che l'accelerazione è nulla.

Px-A=0, Fattrito=Px=98sin30°N

Fs<µsN ⇒ 98sin30°<µs98cos30° ⇒ µs>tang30° Valore minimo di µs affinché la cassa resti ferma è

tang30°

µs ?

Attrito e forza normale

  L’attrito è PROPORZIONALE alla forza NORMALE ALLA SUPERFICIE DI CONTATTO

  Nella maggior parte dei casi: forza peso + forze applicate

direzione del moto

direzione del moto

Forza normale alla superficie di contatto

Forza normale alla superficie di contatto

attrito

attrito

Forze di attrito Attrito radente dinamico

Generalmente l'attrito è una forza che si esercita al contatto tra corpi. Le forze agenti tra due superfici in moto relativo sono dette forze di attrito

dinamico. La forza di attrito dinamico tra due superfici scabre e non lubrificate segue le seguenti leggi empiriche.

1)  Entro grandi limiti è approssimativamente indipendente dalle superfici a contatto e

2) é proporzionale alla forza normale (cioè alla forza con cui le due

superfici interagiscono in direzione perpendicolare ad esse e che ne impedisce la compenetrazione).

La forza di attrito dinamico è anche praticamente indipendente dalla velocità relativa tra le due superfici di contatto.

Forze di attrito Attrito radente dinamico

Il rapporto tra il modulo della forza di attrito dinamico e quello della forza normale è chiamato coefficiente di attrito dinamico. Se Fd rappresenta il modulo della forza di attrito dinamico, allora Fd = µd N dove µd è il coefficiente di attrito dinamico. Questo coefficiente dipende dalla natura delle superfici di contatto.

Riassumendo

Fs = µs N

Fd = µd N con µd < µs

t

f

Df

MAXsf

Coefficienti di attrito (numeri puri)

Acciaio su acciaio 0.15 0.09 Pneumatici su asciutto 1.0 0.7 Pneumatici su bagnato 0.7 0.5

sµ Dµ

Forza e coefficienti di attrito

Piano inclinato

Py

Px

P

N aNP m=+

=

=−

mamg

Nmg

ϑ

ϑ

sen

0cos

=

=

ϑ

ϑ

sen

cos

ga

mgN

Se è presente attrito

ϑµµϑ cossen mgNmg ss =≤

sµϑ ≤tan

Condizione di equilibrio statico

sµϑ >tanPer

mgsen! !µdmgcos! =ma

a = g sen! !µdcos!( ) N.B. Se 0tan =⇒= ad ϑµ

Forza elastica

Gli oggetti che principalmente danno origine a forze elastiche sono le molle. Esse hanno come caratteristica una lunghezza a riposo x0, vale a dire la lunghezza della molla quando la risultante delle forze applicate su di essa è nulla, e k, detta costante elastica della molla. Si osserva sperimentalmente che l'allungamento (o la compressione) di una molla è proporzionale alla forza applicata:

legge di Hooke, F = -kΔx dove Δx=(x-x0) è l'entità della deformazione della molla. Tale legge vale solamente se la deformazione avviene entro un certo limite: superato esso la molla perde la propria elasticità. Si nota che la forza ha segno negativo poiché è sempre opposta allo spostamento.

Forza elastica   Una molla non sollecitata ha una

lunghezza a riposo x0

  Sollecitata da una forza T si allunga (o si accorcia)

  La forza coniugata a T secondo la 3a legge, generata dalla molla, e` la forza elastica Fe

  Per una molla ideale, l’allungamento (o accorciamento) e l’intensita` della forza sono proporzionali

  Ove k e` la costante elastica della molla

( ) xkxxkF Δ=−= 0

Fe T

Legge di Hooke   In termini vettoriali:

  Questa e` la legge di Hooke

  Il segno meno indica che la forza, pur avendo ugual direzione, e` sempre diretta in verso opposto allo spostamento

  Per ogni molla ciò e` valido in un intervallo limitato di intensita` di forza che non superi il cosiddetto limite elastico della molla

Fe FT

Δx

Fe FC

Δx

( ) xkxxkF Δ−=−−= 0

Ancora sul moto armonico

  Studiamo il moto di un corpo soggetto ad una forza F:

  Se F e` la forza di Hooke

  Se il moto e` vincolato in una dimensione, possiamo scrivere l’equazione dell’unica componente come segue

( ) xkxxkF Δ−=−−= 0

Fdtxdmam

== 2

2

( )02

2

xxkdtxdm −−=

Ancora sul moto armonico   Ponendo y=x-x0 e sfruttando il fatto ovvio che

  l’equazione del moto diviene

  Dividendo i membri per m e ponendo

  Otteniamo

  Cioe` l’equazione che individua il moto armonico

  Abbiamo quindi scoperto che il moto armonico e` causato dalla forza elastica

kydtydm −=2

2

2

2

2

2

dtxd

dtyd=

mk

=2ω

yadtyd 22

2

ω−==

Forza elastica

dove A è l'ampiezza di oscillazione e per dimensioni ha una lunghezza, e φ è la fase. Sia A che φ dipendono dalle condizioni iniziali del moto.

( )φω += tAtx sen)(

La legge oraria sarà quindi:

Andando a studiare il moto, si osserva che: →  nel punto di massimo allungamento e di massima compressione, l'accelerazione è massima e la velocità è nulla (il corpo sta infatti invertendo il verso del moto)

→  nel punto di equilibrio, l'accelerazione è nulla e la velocità massima (con opportuno segno a seconda che la molla si stia allungando o comprimendo)

Forza di attrito viscoso   Come per l’attrito dinamico, e` sempre opposta

alla velocita`

  E` proporzionale alla velocita` del corpo

  Ha luogo nel moto di un corpo in un fluido in particolari condizioni, generalmente a basse velocita`

  Per velocita` piu` elevate la forza d’attrito esercitata dal fluido assume forme piu` complicate

vbF −=

Forza di attrito viscoso Per esempio, può essere proporzionale a una potenza di v con un dato esponente n:

ncvF −=

Supponiamo che un paracadutista si lanci dall'aereo e che - γ(v) sia la forza d'attrito che egli subisce dall'aria. Vogliamo calcolare la velocità limite cui arriverà il paracadutista: in questa situazione la velocità sarà costante (indichiamone con vL il valore) e di conseguenza la sua derivata (ovvero l'accelerazione) sarà nulla. Basta quindi imporre la seguente condizione:

0)( =− Lvmg γ

Nel caso particolare in cui sia βmgvL =vv ⋅= βγ )(

Forza di attrito viscoso   Troviamo la legge oraria integrando l’equazione del

moto e supponendo che il corpo abbia inizialmente (cioe` a t=0) velocita` v(0)

  Usiamo la relazione differenziale tra a e v:

  Se e` presente solo la forza d’attrito, si puo` ridurre il moto ad una dimensione e l’equazione per la componente dei vettori in tale direzione e`

  Ove si e` introdotta una costante τ con le dimensioni del tempo

vbFam −==

vmb

dtvd

−=

τvv

mb

dtdv

−=−=

bm

=τ

Forza di attrito viscoso   L’equazione si risolve per separazione delle variabili

  e integrando tra l’istante iniziale e finale

  Da cui

  Ponendo t1=0 e t2=t e risolvendo:

τdt

vdv

−=

∫∫ −=2

1

2

1

t

t

v

v

dtvdv

τ

( )( ) τ

12

1

2log tttvtv −

−=

( ) ( )

−=τtvtv exp0

Forza di attrito viscoso   Questa equazione oraria ci dice che la velocita`

del corpo decresce esponenzialmente nel tempo

  Una variante interessante si ha nella caduta di un grave in un mezzo con attrito viscoso

v(t)

t

Forze centripete Supponiamo che la risultante delle forze agenti su un punto materiale presenti una componente normale alla traiettoria, questa componente causa l’accelerazione centripeta dell’oggetto:

RvmmaF NN

2

==

Dove R è il raggio di curvatura della traiettoria.

In generale forze centripete sono prodotte da rotaie, pneumatici, fili… ossia vincoli che consentono di incurvare la traiettoria oppure da forze gravitazionali

Vincoli   Un vincolo e` una qualunque limitazione

dell’ambiente al moto del corpo

  Questa limitazione avviene per contatto tra corpo e vincolo

  Esempi:   una fune   una superficie d’appoggio o rotaia   un asse fisso   un punto fisso

Reazioni vincolari

  Il contatto tra corpo e vincolo produce un’interazione che si manifesta sotto forma di forza

  Per il 3o principio la forza con cui il corpo agisce sul vincolo e` uguale e contraria a quella, detta reazione vincolare, con cui il vincolo agisce sul corpo

  Le forze vincolari non sono in generale note a priori, ma si possono dedurre a posteriori esaminando il comportamento del sistema

Reazioni vincolari   Esempio: corpo vincolato in equilibrio statico

  Supponiamo che il corpo sia soggetto, oltre alla forza di vincolo V, ad altre forze di risultante R diversa da zero

  Se il corpo e` in equilibrio statico, allora la risultante di tutte le forze, compresa quella di vincolo, dev’esser nulla:

  Da questa relazione possiamo calcolare, a posteriori, la forza di vincolo:

0≡+= VRRtot

RV

−=

Fili e funi

  Sono oggetti che trasmettono la forza solo in trazione

  Al contrario le barre possono trasmettere la forza sia in trazione, sia in compressione, che in sforzo di taglio

Fili e funi   Spesso supporremo per semplicita` che le funi

siano inestensibili (cioe` la lunghezza non cambi) di massa trascurabile

Tensione di una fune in quiete

  Sia data una fune in equilibrio statico, tesa mediante due forze Fs e Fd applicate ai suoi capi

  Consideriamo due sezioni arbitrarie A e B e sia m la massa della fune compresa tra le due sezioni

Fs Fd

A B TA TB

Tensione di una fune in quiete   A causa della condizione di equilibrio statico

(cioe` a=0), abbiamo:

  Ne segue che le tensioni TA che agisce sulla sezione A e TB che agisce sulla sezione B devono essere uguali in modulo e opposte in verso

  Se sovrapponiamo A a B troviamo che le tensioni sui due lati di una sezione sono uguali e contrarie

0≡=+ amTT BA

BA TT

−=

A≡B -T T

Tensione di una fune in quiete

  Dall’arbitrarieta` di A e B, segue che la tensione statica di una fune ha ugual valore T (in modulo) in ogni punto della stessa

  In particolare cio` vale anche alle estremita`, per cui

  Cioe` le forze esterne che tendono la fune sono uguali, in modulo, alla tensione della fune

  La tensione della fune a ciascuna estremita` e` la forza coniugata per il 3o principio alla forza esterna che la tende

TFF ds ==

Non hanno una risposta elastica, p.e.

Inestensibilita ̀

  Questa ipotesi semplificativa significa che due punti arbitrari della fune A e B mantengono la loro distanza indipendentemente dal fatto che siano in quiete o in moto (accelerato)

  Questo implica che abbiano velocita` uguali e accelerazioni uguali

BA

BA

aavv

=

=

Carrucole

  Le considerazioni svolte possono essere estese al caso in cui siano presenti carrucole e quindi la fune cambi direzione

  Dobbiamo aspettare di introdurre il momento di forza