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LezionePONTI E GRANDI STRUTTUREProf. Pier Paolo RossiIng. Eugenio FerraraUniversità degli Studi di Catania

Superfici di influenza

Tutte le superfici di influenza si possono ottenere con opportune derivazioni dalla funzione di influenza della freccia w, calcolata nel punto (x0,y0) in cui si vogliono eseguire le verifiche.

Per esempio :

2 2

x 2 2

w wm D

x y

2 2

x 2 2

w wq D

x x y

3

212 1Es

Ddove : ( rigidezza flessionale della piastra )


3


La deformata si ottiene risolvendo l’equazione differenziale del 4° ordine :

I vari metodi di calcolo delle superfici di influenza si differenziano nel modo di risolvere questa equazione.

4 4 4

4 2 2 42w w w qx x y y D

Il problema quindi si riconduce al calcolo della deformata w(x,y,) per un carico unitario posto in (x0,y0).

4


Tra tutti i metodi si ricorda quello di Pucher che ha fornito le superfici di influenza per piastre rettangolari con diversi rapporti dei lati e diversamente vincolate.

L’utilizzazione pratica delle superfici di influenza è legata al fatto che esse sono le stesse per piastre di dimensioni diverse purché aventi lo stesso rapporto tra i lati.

Una volta in possesso di tabelle o grafici che forniscano le superfici di influenza per una piastra di riferimento di lati e tale che sia si dovrà calcolare il rapporto di similitudine :

0xl

0yl 0 0

y y x xl l l l

0 0y y x xk l l l l

e ridurre in scala il carico. Il carico lineare avrà nella piastra di riferimento la lunghezza s/k mentre il carico ripartito graverà su una superficie ridotta pari a A/k².

5


mxymx

ad un estremo vincolato

my ad un estremo

liberomx

Proiezione isometrica di una superficie di influenza del momento

qxqx

ad un estremo vincolato

qy ad un estremo

libero

tratto da: Pucher (1964), Influence surfaces of elastic Plates, Springer Verlag, Wien, New York. 6


tratto da: Pucher (1964), Influence surfaces of elastic Plates, Springer Verlag, Wien, New York.

Superficie di influenza del momento flettente my all’appoggio di una piastra quadrata appoggiata sui lati opposti

y

x

y

x

Superficie di influenza del momento flettente mx al centro di una piastra quadrata appoggiata sui lati opposti

7


Successivamente a Pucher, Homberg e Ropes hanno fornito superfici di influenza per piastre di lunghezza infinita continue su più appoggi e a spessore variabile.

8


x

y

x

1.0 1.0

tratto da: Homberg, H. (1965), Fahrbahnplatten mit Veränderlicher Dicke, Springer Verlag 9


x

y

x

1.0 1.0

tratto da: Homberg, H. (1965), Fahrbahnplatten mit Veränderlicher Dicke, Springer Verlag 10

La piastra equivalente di Guyon

Ripartizione trasversaleLa piastra equivalente di Guyon

Si consideri un impalcato composto da soletta e da nervature uguali ed ugualmente spaziate.

λ /2 λ λλ λ λ/2

0 1 2 i n‐1 n

B = (n+1) λ

12

λ λ

i+1


Se la luce delle travi λ è piccola rispetto alla larghezza totale B, ha senso definire una rigidità di fascia unitaria di piastra equivalente :

La posizione effettuata non risulta rigorosa in merito alla contrazione trasversale. A tal proposito, si ricorda che la rigidità di una piastra isotropa vale :

3

z 212 1Es

D

13

Tuttavia, si fa notare che l`influenza del coefficiente di Poisson sul parametro di rigidezza Dz e`alquanto trascurabile nelle opere in conglomerato cementizio armato.

Tale impalcato si può identificare come un insieme di travi longitudinali caratterizzate da EIl (rigidità flessionale della trave)

lz

l

EID


Se i traversi sono spaziati regolarmente e sono caratterizzati da una stessa rigidità flessionale EIt

tx

t

EID

può definirsi una rigidità flessionale equivalenteanche nella direzione trasversale :

dove : λt interasse dei traversi

14


Se si trascura la rigidità torsionale (metodo di Guyon), l’equazione della piastra equivalente è :

4 4

z x4 4 0v v

D Dz x

La mancanza del termine nella derivata mista implica proprio la supposta nullità della rigidezza torsionale.

La mancanza di un carico per unità di superficie al secondo membro deriva dal fatto che sono considerate solo distese di carico lungo linee parallele all’asse longitudinale z.

15


La soluzione del problema matematico è trovata mediante l’introduzione di un coefficiente di amplificazione dello spostamento medio.

IV IV IVm m m

0

1n

l lEIv EI v n EI v a

dove:

16

Se si suppone di riportare il carico a sull’asse z (e=0), e di consolidare la sezione trasversale, si ricade nel problema della trave:

vm spostamento medio verticale


Per il calcolo di vmsi considera lo sviluppo del carico in serie di Fourier :

k kcos cos

k za z a a k

l

Per a(z)=cost risulta : 4

ka ak

1,3,5.......2 1k n

Per k=1, lo spostamento medio è :

41

m 4 cosa l z

vEI l

17


Passando alla risoluzione dell’equazione della piastra, si pone :

m,v z x v z x

4IV

4 0z xD Dl

dove :δ(x) coefficiente di amplificazione dello spostamento medio (concettualmente

simile al coefficiente α(xi) del metodo di Engesser).

L’equazione della piastra diventa :

18


Ponendo :

4

44

z

x

Dl D

IV 4 0

l’equazione della piastra equivalente verrà scritta nella forma :

Essa coincide con quella della trave su suolo elastico, potendo riguardare le fasce trasversali di piastra come travi poggianti su un letto elastico.

19


La soluzione dell’equazione viene fornita da Guyon in funzione del parametro (parametro di Guyon) :

42

z

x

B Dl D

che fornisce la misura del comportamento della sezione nei riguardi della deformazione trasversale.

20

Al crescere di l e di Dx la σ tende a zero e si può operare a sezione indeformabile.


Nota la soluzione della piastra, si ottengono le caratteristiche della sollecitazione nelle travi longitudinali e nei traversi in base ai legami della linea elastica.

Nella trave longitudinale all’ascissa x=xi :

2II

i l l m i m i2

vM EI EI v x M x

z

3III

i l l m i m i3

vV EI EI v x V x

zdove : Mm e Vm caratteristiche della sollecitazione

corrispondenti alla deformazione media

21


Nel generico traverso all’ascissa z=zj :

2II

j l l j2 mv

M EI EI v zx

3III

j l l m j3

vV EI EI v z

x

22

Ripartizione trasversaleCoefficiente di amplificazione e coefficiente di ripartizione

m1

n 1M M

m1

n 1V V

Queste caratteristiche corrispondono all’aliquota di carico:

m1

n 1a a

Se M e V sono le caratteristiche flesso taglianti dell’impalcato, per ciascuna nervatura si avranno le seguenti caratteristiche della sollecitazione (da pura flessione dell`impalcato) :

23


Per ciascuna trave longitudinale si avranno, inoltre, le seguenti caratteristiche della sollecitazione (da flessione e torsione dell`impalcato):

i n 1 iM

M x i n 1 iV

V x

corrispondenti all’assorbimento dell’aliquota di carico :

i in 1a

a x

ed all’abbassamento :

i m iv v x

24


Il legame tra coefficiente di amplificazione e coefficiente di ripartizione è :

i i

in 1 n 1x

Essendo per definizione Στi = 1, dovrà risultare:

1i ix n

Ad eccezione del caso solo nel caso limite di n→∞, questa uguaglianza non è mai rispettata perché si è operato un iniziale frazionamento della struttura in una infinità di strisce e si è poi ritornati agli elementi discreti. Questa condizione rappresenta, tuttavia, un’ottima possibilità di controllo dei risultati.

25

Ripartizione trasversaleIl metodo di Massonnet‐Bareš

Si ha un miglioramento al metodo di Guyon se si considera la rigidità torsionale degli elementi longitudinali e trasversali :

Corrispondentemente, si possono definire le rigidità torsionali unitarie :

l

zxGJ

D

l rigidità torsionale di una traveGJt rigidità torsionale di una traversoGJ

txz

t

GJD

26

L’equazione della piastra si scrive :

Per ricondursi all’equazione della piastra isotropa si utilizza la posizione:

zx xz z x2D D D D

4 4 4

z zx xz x4 2 2 4 0v v v

D D D Dz z x x

che definisce il parametro di Massonnet:

zx xz

z x2D D

D D


27

Questo parametro ha il significato di indice dell’influenza torsionale e varia tra 0 e 1. Se si annulla restituisce il metodo di Guyon.

4 4 4

z z x x4 2 2 42 0v v v

D D D Dz z x x

L’equazione della piastra può quindi scriversi:


28

Se si effettua la sostituzione proposta nel metodo di Guyon, si ha :

4 2II IV

z z x x4 22 0D D D D

l l

m,v z x v z x

Tutte le quantità di interesse per la valutazione delle caratteristiche della sollecitazione sono tabellate da Massonnet‐Bareš in funzione del coefficiente di Guyon (o parametro di rigidezza flessionale) :

z4

x2B Dl D


29

Tali quantità sono disponibili per per i casi di estremo (0 e 1) del parametro .

Al fine di pervenire al valore della grandezza Gcorrispondente al desiderato valore di viene inoltre suggerita un’interpolazione tra i valori di G relativi ai valori di estremo di .


30

θ = 0.45e/b

y/b ‐1 ‐0.75 ‐0.5 ‐0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

0 0.7355 0.8811 1.0194 1.1305 1.1783 1.1305 1.0194 0.811 0.7350.25 0.073 0.3495 0.6243 0.8902 1.1305 1.3144 1.4148 1.4672 1.5060.5 ‐0.5152 ‐0.1402 0.238 0.6243 1.1094 1.4148 1.7857 2.1063 2.40610.75 ‐1.064 ‐0.606 ‐0.1402 0.3495 0.8811 1.4672 2.1063 2.7741 3.4341 ‐1.6003 ‐1.064 ‐0.5152 0.073 0.7355 1.5059 2.4061 3.434 4.5496

0 0.8933 0.9458 1.0032 1.0577 1.085 1.0577 1.0032 0.9458 0.89330.25 0.7355 0.8029 0.8804 0.9688 1.0577 1.1214 1.1318 1.1152 1.09380.5 0.6142 0.6881 0.7748 0.8804 1.0032 1.1318 1.2405 1.3013 1.340.75 0.5202 0.5969 0.6881 0.8029 0.9458 1.1152 1.3013 1.4809 1.62911 0.4418 0.5202 0.6142 0.7355 0.8933 1.0938 1.34 1.6291 1.9476

θ = 0.5e/b

y/b ‐1 ‐0.75 ‐0.5 ‐0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

0 0.6203 0.8288 1.0273 1.1877 1.2575 1.1877 1.0273 0.8288 0.62030.25 ‐0.0021 0.3111 0.6223 0.9226 1.1877 1.3721 1.4336 1.425 1.39680.5 ‐0.5198 ‐0.1466 0.2317 0.6223 1.0273 1.4336 1.8038 2.0981 2.36130.75 ‐0.9828 ‐0.5703 ‐0.1466 0.3111 0.8288 1.425 2.0981 2.8125 3.5141 ‐1.4286 ‐0.9828 ‐0.5198 ‐0.0021 0.6203 1.3968 2.3613 3.514 4.7981

0 0.8609 0.9276 1.0028 1.0767 1.1146 1.0767 1.0028 0.9276 0.86090.25 0.6834 0.7617 0.8547 0.9642 1.0767 1.1557 1.1603 1.1293 1.09370.5 0.5516 0.6326 0.7308 0.8547 1.0028 1.1603 1.2911 1.3544 1.38760.75 0.4358 0.534 0.6326 0.7617 0.9276 1.1293 1.3544 1.5704 1.74091 0.3751 0.4538 0.5516 0.6834 0.8609 1.0937 1.3876 1.7409 2.1362

K0

K1

K0

K1

Ripartizione trasversaleLimiti del modello a piastra equivalente

La modellazione a piastra secondo Guyon‐Massonnet‐Bareš presenta delle limitazioni :

Ⱶ Non è applicabile nei casi in cui la soletta è di forma diversa nei campi esaminati

Ⱶ Non è applicabile nei casi in cui la luce tra i traversi è variabile lungo l’asse longitudinale del ponte

31

Ⱶ Non è applicabile a travi a più luci perché viene meno il presupposto in base a cui è calcolato lo spostamento medio

Ⱶ La somma dei coefficienti di ripartizione non dà luogo all’unità

Principali riferimenti

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Aldo Raithel. Ponti a travata. Liguori editore. 1978. ISBN 88-207-0563-X

Richard Bareš, Charles Massonet . Le calcul des grillages de poutres et dalles orthotropes selon la méthode Guyon Massonet Bareš. Maison d’Edition Technique, Prague 1966

Hellmut Homberg. Fahrbahnplatten mit veränderlicher Dicke. Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH, 1968. ISBN 978-3-662-11726-2

Adolf Pucher. Einflufßfelder elastischer Platten: Influence Surfaces of Elastic Plates. Springer-Verlag Wien · New York, 1977 ISBN-13: 978-3-7091-7071-7

FINE

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