Lezione 1-2

1.1 EsercizioUn automobilista, quando si trova a una distanza d = 450 m da un semaforo, vede accendersi laluce rossa. Si sa che il rosso e il verde restano accesi alternativamente per un tempo T = 30 sciascuno (si consideri il giallo come un avvertimento abbinato al verde). L’autista vuole coprirela distanza d in meno di due minuti, procedendo a velocità costante (in modulo), e naturalmentepassare il semaforo col verde. Quali valori può avere il modulo della velocità?

• Sol.: 7.5 m/s < v < 15 m/s, 3.75 m/s < v < 5 m/s

1.2 EsercizioUn ciclista procede con una velocità di modulo costante v1 mentre un altro ciclista lo insegue conuna velocità di modulo costante v2 (con v2 > v1). In un certo istante la lunghezza del tratto distrada che separa i due ciclisti è l: calcolare il tempo che intercorre fra questo istante e l’istantein cui avviene il sorpasso, calcolare inoltre le lunghezze dei percorsi compiuti dai due ciclisti inquesto intervallo di tempo. Sia v1 = 36 km/h, v2 = 38 km/h, l = 80 m.

• Sol.: t0 = 144 s; ∆s1 = 1440 m; ∆s2 = 1520 m

1.3 EsercizioUn’automobile di lunghezza l = 4 m si muove di moto rettilineo uniforme alla velocità v = 100km/h e sorpassa un autotreno che si muove nella stessa direzione e con velocità V = 60 km/h. Sel’autotreno è lungo L = 15 m, quanto dura il sorpasso, cioè quanto tempo occorre perché si passidalla situazione in cui il fronte dell’auto è allineato con la coda dell’autotreno, alla situazione incui la coda dell’auto è allineata con il fronte dell’autotreno?

• Sol.: t = 1.7 s

1.4 EsercizioDue aerei viaggiano orizzontalmente alla stessa quota con velocità v1 = 500 km/h e v2 = 800km/h rispettivamente. Le direzioni di moto formano un angolo di 30◦, mentre gli aerei si allonta-

1

nano l’uno dall’altro. Calcolare la velocità relativa del secondo aereo rispetto al primo (modulo edirezione).

• Sol.: v = 444 km/h, θ = 64◦

1.5 EsercizioUna nave si muove con velocità v costante nota. Nell’istante in cui la prua si trova nella posizioneA, parte, dalla posizione B, un siluro che si muove con velocità w costante, di modulo noto, fino acollidere con la prua della nave nella posizione C. Il segmento AB è lungo l ed è perpendicolarealla traiettoria della nave AC. In quale direzione deve muoversi il siluro per colpire la prua dellanave, e dopo quanto tempo dalla partenza la colpisce?

• Sol.: tc =l√

w2 − v2, sin θ =

v

w

1.6 EsercizioCome cambiano i risultati dell’esercizio precedente nell’ipotesi che A − B e C − A formino unangolo α non retto.

• Sol.: tc = lv cosα +

√w2 − v2 sin2 α

w2 − v2

1.7 EsercizioDue corpi sono lanciati simultaneamente dallo stesso punto alla velocità iniziale di 25 m/s: unoverticalmente verso l’alto, l’altro con un angolo θ = 60◦ rispetto all’orizzontale. Determinare ladistanza tra i due corpi a t = 1.70 s senza tenere conto della resistenza dell’aria.

• Sol.: l = 22 m

1.8 EsercizioUn sasso praticamente puntiforme P viene lanciato da una data posizione con una velocità inizialedi modulo v e inclinazione θ rispetto all’orizzontale. il moto di P, con buona approssimazione,avviene con accelerazione costante, verticale discendente di modulo g e la traiettoria in generale èparabolica. Scegliendo una terna cartesiana ortogonale con l’origine nella posizione iniziale di P,l’asse x orizzontale e nel piano del moto, l’asse z verticale ascendente la parabola è rappresentatadall’equazione

z = −x2 g

2v2 cos2 θ+ xtgθ

2

Fissato v, per quali valori di θ il sasso colpisce il bersaglio praticamente puntiformeB di coordinate(xB, 0, zB)? In corrispondenza di questi valori di θ, quali sono le coordinate della posizione in cuiP raggiunge la quota massima? Quali bersagli, nel piano xz, non possono essere raggiunti da Pqualunque sia il valore di θ (fissato v)? Si supponga v = 20 m/s, g = 9.8 m/s2, xB = 30 m ezB = 7 m.

• Sol.: θ1 = 61◦17′, θ2 = 41◦51′, x1 = 17.2 m, z1 = 15.7 m, x2 = 20.3 m, z2 = 9.1 m,

zB > −x2Bg

2v2+v2

2g

1.9 Esercizio

Un corpo è lanciato verso l’alto con una velocità iniziale v0 che forma un angolo α rispetto al-l’orizzontale. Supponendo nulla la resistenza dell’aria calcolare: a) la durata del movimento; b)l’equazione della traiettoria; c) l’altezza massima e la gittata.

• Sol.: a) t =2v0 sinα

g; b) y = tgαx− 1

2g

x2

v20 cos2 α; c) h =

sin2 αv202g

, X =v20 sin 2α

g

1.10 Esercizio

Due proiettili sono sparati da un cannone con una velocità iniziale v0 = 250 m/s; uno con un angolodi tiro θ1 = 60◦, l’altro con un angolo di tiro θ2 = 45◦ (il piano di tiro è lo stesso per entrambi).Trascurando la resistenza dell’aria, determinare l’intervallo di tempo che separa il momento in cuii due proiettili sono lanciati e il momento in cui il primo proiettile raggiunge il punto in cui letraiettorie si incontrano.

• Sol.: ∆t = 37 s

1.11 Esercizio

Una particella A si muove su una circonferenza di raggioR = 50 cm in modo tale che il suo raggiovettore r con punto di applicazione in O (Fig. 1.1) ruoti con velocità angolare costante ω = 0.40s−1. Calcolare il vettore velocità della particella, il valore e l’orientazione del vettore accelerazionerisultante.

• Sol.: v = 0.40 m/s; w = 0.32 m/s2

3

Figura 1.1: Es. 8

1.12 Esercizio

Su una pista circolare, di raggio r = 150 m, un ciclista parte da fermo, si muove con accelerazionetangenziale at costante fino all’istante di tempo t1 in cui l’accelerazione e la velocità formanoun angolo di 45◦; da quell’istante in poi mantiene una velocità di modulo v costante. Il tempoimpiegato per fare il primo giro completo della pista è T = 2 min. Calcolare la lunghezza deltratto di pista percorso fino all’istante t1. Calcolare inoltre i valori di at, t1, v. Esprimere infine, infunzione del tempo, sia il modulo dell’accelerazione sia l’angolo compreso fra l’accelerazione e lavelocità.

• Sol.: s(t1) = 75 m; at = 0.479 m/s2; t1 = 17.7 s; v = 8.48 m/s;

0 ≤ t ≤ t1 :

a = r

(4π + 1

2T

)2√

1 +

(4π + 1

2T

)4

t4

tgθ =

(4π + 1

2T

)2

t2t ≥ t1 :

a =v2

rθ = π

2

1.13 Esercizio

Un punto P si muove con velocità di modulo v costante, lungo una circonferenza di raggio Rda un certo istante iniziale fino all’istante in cui ha percorso una volta l’intera circonferenza; daquesto istante in poi la sua velocità si mantiene costante anche in direzione e verso. Descriverela posizione, la velocità e l’accelerazione di P, in funzione del tempo, sia usando le coordinatecartesiane sia usando le coordinate polari.

• Sol.:

0 ≤ t ≤ T :

{x = R cos

(vRt)

y = R sin(vRt) t ≥ T :

{x = R

y = v(t− T )

4

0 ≤ t ≤ T :

{r = R

φ =v

Rt

t ≥ T :

{r =

√R2 + v2(t− T )2

φ = arctg[ vR

(t− T )]

0 ≤ t ≤ T : v = v sin( vRt)

i + v cos( vRt)

j

t ≥ T : v = vj

0 ≤ t ≤ T : v = vc

t ≥ T : v =v2(t− T )√

R2 + v2(t− T )2b +

vR√R2 + v2(t− T )2

c

0 ≤ t ≤ T : a = −v2

Rcos( vRt)

i− v2

Rsin( vRt)

j

t ≥ T : a = 0

0 ≤ t ≤ T : a = −v2

Rb

t ≥ T : a = 0

5

6

Lezione 3

2.1 EsercizioNel sistema di Fig. 2.1 le masse dei tre corpi sono indicate con m0, m1 e m2 mentre quelle deifili e della carrucola sono trascurabili. Determinare l’accelerazione del corpo m0 e la tensione delfilo che collega m1 e m2 nell’ipotesi in cui l’attrito dei corpi con il piano sia nullo e nel caso in cuiabbia coefficiente k.

• Sol.: a =m0

m0 +m1 +m2

g, T12 =m0m2

m0 +m1 +m2

g; a =m0 − k(m1 +m2)

m0 +m1 +m2

g, T12 =

m0m2(1 + k)

m0 +m1 +m2

g

2.2 EsercizioUn piano inclinato forma un angolo di 30◦ con l’orizzontale (Fig. 3.1). Il rapporto tra le masse èη = m2/m1 = 2/3. Le masse della carrucola e del filo sono trascurabili. Determinare il modulo el’accelerazione dei corpi nel caso in cui il sistema sia inizialmente a riposo e si metta in movimento.

• Sol.: a = g/10 verso il basso per la massa m2.

2.3 EsercizioUn corpo di massa m1 è appeso tramite una fune inestensibile e di massa trascurabile che passaattraverso due carrucole, anch’esse prive di massa. Una carrucola sia fissata al soffitto, la seconda

Figura 2.1: Es. 1

7

carrucola sia mobile e reca appeso un secondo corpo di massa m2, come in Fig.2.3. Calcolare leaccelerazioni dei due corpi, la tensione della fune e il valore della massa m1 per il quale si ottienel’equilibrio.

• Sol.: a2 =2m1 −m2

4m1 +m2

g, a1 = 22m1 −m2

4m1 +m2

g; T = 2gm1m1 +m2

4m1 +m2

g

2.4 EsercizioUn corpo di massa m = 1 kg è collegato ad una molla di costante elastica k = 50 N/m ed èsottoposto ad una forza di attrito di tipo viscoso F = ηv con η = 4 kg/s. Data l’ampiezza delleoscillazioni iniziale A0 = 10 cm calcolare l’ampiezza dopo un periodo.

• Sol.: x = 7.5 cm

Figura 2.2: Es. 2

Figura 2.3: Es. 3

8

Lezione 4

3.1 EsercizioDue corpi di massa m1 = 1 kg e m2 = 2 kg sono collegati da un filo inestensibile e di massatrascurabile attraverso una carrucola. Le masse sono inizialmente ferme e il corpo m1 si trova aduna differenza di quota y0 = 0.2 m sopra il corpo m2. Calcolare la posizione iniziale del centro dimassa, la sua accelerazione e la sua posizione all’istante t = 1 s.

• Sol.: y0CM = 0.067 m, aCM = 1.1 m/s2, yCM = −0.48 m (posizioni rispetto alla quotainiziale della massa m1)

3.2 EsercizioConsiderare il piano inclinato di Fig. 3.1. La massa del piano inclinato è η volte superiore allamassa del blocco. Calcolare l’accelerazione del piano inclinato supponendo nulli gli attriti.

• Sol.: A = gsinα cosα

η + sin2 α

3.3 EsercizioSul piano inclinato di Fig. 3.1 è posto un blocco di massam e viene sottoposto ad un’accelerazionedi modulo A diretta verso sinistra. Determinare il valore massimo di A affinché il blocco rimangaimmobile rispetto al piano inclinato, supponendo che il coefficiente di attrito tra i due sia µ <cotgα.

Figura 3.1: Es. 2-3

9

• Sol.: A = g1 + µcotgα

cotgα− µ

3.4 EsercizioDue masse m1 = 0.2 kg e m2 = 0.15 sono poste su un doppio piano inclinato rispettivamente diα = 30◦ e β = 60◦, come mostrato in Fig.3.2. I coefficienti di attrito tra il piano inclinato e le duemasse misurano rispettivamente µ1 = 0.01 e µ2 = 0.02. Determinare l’accelerazione e le tensionidel sistema.

• Sol.: a = 0.84 m/s2, T = 1.16 N

Figura 3.2: Es. 4

10

Lezione 5

4.1 EsercizioCalcolare la posizione del centro di massa di una calotta sferica di altezza h e raggio r.

• Sol.: yG = h/2

4.2 EsercizioCalcolare la posizione del centro di massa di un cono omogeneo di altezza h e raggio di base R.

• Sol.: yG = 3h/4

4.3 EsercizioUna fune omogenea di lunghezza L e densità lineare λ è posta su una carrucola. Determinarel’accelerazione della fune quando da un lato della carrucola pende di un tratto 3/4L.

• Sol.: a = g/2

4.4 EsercizioDeterminare l’accelerazione nell’esercizio precedente nel caso in cui vengono appese due massem1 e m2 ai due estremi della fune.

• Sol.: a =λL/2−m1 −m2

m1 +m2 + Lλ

11

12

Lezione 6

5.1 Esercizio

Un blocco di massa M scende lungo la guida di raggio R di Fig.6.2. Determinare la quota h dipartenza affinchè il blocco raggiunga la sommità della guida senza staccarsi da essa.

• Sol.: h = 5/2R

5.2 Esercizio

Un blocco di massa M = 0.5 kg viene agganciato ad una molla inizialmente a risposo. In questaconfigurazione il blocco scende a quota y = 0. Da questa posizione la molla viene ulteriormen-te allungata di ∆y = 25 mm. Determinare il valore dell’energia meccanica nelle due configu-razioni, il valore della velocità massima e il valore dell’energia gravitazionale massima durantel’oscillazione.

• E0 = 1 J; E1 = 1.38 J; vmax = 0.38 m/s2; Egmax = 1.2 J

Rh

Figura 5.1: Es.1

13

5.3 EsercizioDeterminare il momento di inerzia di un disco sottile di raggio R, di una sfera di raggio R e di unasfera cava di raggi R1 e R2 rispettivamente interno ed esterno.

• 1

2MR2; I =

2

5MR2; I =

2

5MR5

2 −R51

R32 −R3

1

5.4 EsercizioUn blocco di massa M è posto su un piano a quota h dal suolo a contatto con una molla compressadi costante elastica k. La molla viene liberata e il blocco raggiunge il suolo a distanza D dalla basedel piano. Determinare la compressione iniziale della molla e la velocità del blocco quando essoarriva al suolo.

• x = D

√gm

2kh; v =

√D2g

2h+ 2gh

y = 0

∆y = 25 mm

Figura 5.2: Es. 2

14

D

h

Figura 5.3: Es. 4

15

16

Lezione 7

6.1 EsercizioUn cilindro di massa M e raggio R, inizialmente fermo, rotola senza strisciare lungo un pianoinclinato di un angolo α. Determinare la legge del moto. Supponendo che tra il cilindro e il pianoci sia un coefficiente di attrito µ determinare l’angolo massimo oltre il quale il cilindro inizia ascivolare.

• Sol.: x =1

3gsinαt2, tgαmax = 3µ.

6.2 EsercizioUna sfera di massa M rotola senza strisciare lungo la guida di raggio R di Fig.6.2. Determinare laquota h di partenza affinchè la sfera raggiunga la sommità della guida senza staccarsi da essa.

• Sol.: h = 27/10R

6.3 EsercizioUna sbarretta di lunghezza l e massa M è appoggiata con l’estremo inferiore e superiore rispetti-vamente sul pavimento e su una parete verticale con un angolo di inclinazione iniziale θ0 rispettoall’asse verticale, come mostrato in figura 6.3. Il pavimento e la parete sono entrambi privi diattrito. Determinare la velocità angolare della sbarra durante la caduta in funzione dell’angolo θ.

α

Figura 6.1: Es.1

17

• Sol.: w =

√3g

l(cosθ0 − cosθ)

6.4 EsercizioUna sbarretta di lunghezza l e massa M è appoggiata con l’estremo inferiore e superiore rispetti-vamente sul pavimento e su una parete verticale con un angolo di inclinazione iniziale α rispettoall’asse orizzontale, come mostrato in figura 6.4. Tra la sbarra e il pavimento è presente un coeffi-ciente di attrito µ. A distanza l/4 a partire dall’estremo inferiore della sbarra è appeso un bloccodi massa m. Determinare il coefficiente di attrito minimo affinchè il sistema rimanga in equilibrio.

Rh

Figura 6.2: Es.2

18

θ

Figura 6.3: Es.3

α

Figura 6.4: Es.4

19

20

Lezione 8

7.1 EsercizioConsiderare i due sistemi descritti in Fig.7.1. In entrambi i casi il rocchetto è costituito da unasse cilindrico di raggio r alle cui estremità sono collegati due dischi cilindrici di raggio R e ilmomento di inerzia rispetto al suo asse baricentrale è I . Il rocchetto è collegato ad un blocco dimassa m tramite una fune ideale. Quando il blocco viene lasciato libero di cadere il rocchetto simuove verso destra rotolando sul piano orizzontale. Nel primo caso il filo si svolge dall’estremitàsuperiore dell’asse del rocchetto mentre nel secondo caso il filo si svolge dall’estremità inferiore.Determinare nei due casi la velocità del blocco, la velocità e l’accelerazione del centro di massadel rocchetto.

• Sol. caso A: vm = (R − r)√

2mgh

MR2 + I +m(R− r)2, vR = R

√2mgh

MR2 + I +m(R− r)2,

aR =mgR(R− r)

MR2 + I +m(R− r)2;

• Sol. caso B: vm = (R + r)

√2mgh

MR2 + I +m(R + r)2, vR = R

√2mgh

MR2 + I +m(R + r)2,

aR =mgR(R + r)

MR2 + I +m(R + r)2.

Soluzione• CASO A

Nel primo caso il rocchetto si muove rotolando lungo il piano orizzontale provocando l’av-volgimento del filo. Quindi durante il moto di rotolamento del rocchetto il corpo di massa mscende di un tratto h pari alla differenza tra lo spostamento del centro di massa del rocchettoe l’avvolgimento del filo:

h = sR − sr (7.1)

dove sR = ∆θR è lo spostamento del centro di massa e sr = ∆θr è il tratto di filo avvolto.Detta ω la velocità angolare del rocchetto, la velocità del suo centro di massa e la velocità diavvolgimento del filo sono rispettivamente:

vR = ωR vr = ωr (7.2)

21

m

Rr

m

R

r

Figura 7.1: Es.1

dalla quale si ottiene:

vr =r

RvR vR =

R

rvr. (7.3)

Dalla (7.1) si ottiene la velocità del blocco m:

vm = vR − vr = vR −r

RvR =

(R− rR

)vR. (7.4)

Applichiamo la conservazione dell’energia meccanica al sistema costituito dal rocchetto edalla massa m. Consideriamo come quota di riferimento quella del blocco m all’istantefinale, quando esso è sceso di un tratto h. All’istante iniziale il sistema è in quiete quindi ilsolo contributo all’energia è dato dall’energia potenziale della forza peso mgh. Nell’istantefinale l’energia sarà la somma dei termini di energia cinetica di rotazione del rocchetto e ditraslazione del rocchetto e del blocco m. Avendo scelto come quota di riferimento quelladel blocco all’istante finale, il contributo dell’energia potenziale gravitazionale sarà nullo.Otteniamo quindi:

mgh =1

2Mv2R +

1

2Iω2 +

1

2mv2m. (7.5)

La (7.5) non contiene alcun contributo dovuto all’energia potenziale gravitazionale del roc-chetto. Infatti questa non subisce variazione tra l’istante iniziale e quello finale (il rocchettoè vincolato a rimanere alla stessa quota) e il suo contributo si cancellerebbe.Utilizzando le (7.2), (7.3) e (7.4) è possibile esprimere la (7.5) in funzione di vm si ottiene:

mgh =1

2M

R2

(R− r)2v2m +

1

2I

v2m(R− r)2

+1

2mv2m

2mgh = v2m

[MR2 + I +m(R− r)2

(R− r)2

](7.6)

22

Ricavando vm si ottiene:

vm = (R− r)

√2mgh

MR2 + I +m(R− r)2. (7.7)

Sfruttando la (7.4) si ottiene la velocità del centro di massa del rocchetto:

vR = R

√2mgh

MR2 + I +m(R− r)2. (7.8)

L’accelerazione del centro di massa del rocchetto può essere calcolata utilizzando due meto-di. Il primo consiste nel derivare la (7.6) rispetto al tempo:

d

dt2mgh =

d

dtv2m

[MR2 + I +m(R− r)2

(R− r)2

]d

dt2mgh =

d

dt

(R− r)2

R2v2R

[MR2 + I +m(R− r)2

(R− r)2

]2mgvm = 2vRaR

MR2 + I +m(R− r)2

R2(7.9)

dalla quale si ricava:

aR =mgR(R− r)

MR2 + I +m(R− r)2. (7.10)

Il secondo metodo consiste nello scrivere le equazioni cardinali del sistema, applicate alblocco e al rocchetto. Le uniche forze agenti sul rocchetto nella direzione orizzontale sonola tensione del filo e la forza di attrito mentre sul blocco agiscono invece la tensione del filoe la forza peso (vedi Fig.7.2). Per scrivere la seconda equazione cardinale per il rocchetto èconveniente scegliere come polo il punto di contatto tra il rocchetto e il piano orizzontale. Inquesto modo le uniche forze che provocano un momento sul rocchetto sono la tensione delfilo e la forza di attrito delle quali la prima provoca una rotazione in senso antiorario e la se-conda in senso orario. Durante il rotolamento il rocchetto ruota in senso orario (avvolgendoil filo). Tenendo conto di queste considerazioni possiamo scrivere:

mg − T = mam

T − Fa = MaR

rT −RFa = −Iα = −I aRR.

(7.11)

Esprimendo l’accelerazione am in funzione dell’accelerazione del centro di massa del roc-chetto

am =R− rR

aR (7.12)

23

T

Fa

m

Rr

Figura 7.2: Esercizio 1: forze applicate al sistema nel caso A.

e sostituendo nella prima equazione del sistema si ottienemg − T = m

R− rR

aR

T − Fa = MaR

rT −RFa = −Iα = −I aRR.

(7.13)

Risolvendo si ottiene:

aR =mgR(R− r)

MR2 + I +m(R− r)2. (7.14)

• CASO BIn questo caso il rocchetto, rotolando verso destra, svolge il filo. Quindi la discesa h delblocco m è dato dalla somma dello spostamento del centro di massa del rocchetto e dellosvolgimento del filo:

h = sR + sr (7.15)

dalla quale si ottiene la velocità vm:

vm = vR + vr = vR +r

RvR =

(R + r

R

)vR. (7.16)

Esprimendo la (7.5) in funzione di vm come nel caso precedente si ottiene:

mgh =1

2M

R2

(R + r)2v2m +

1

2I

v2m(R + r)2

+1

2mv2m

2mgh = v2m

[MR2 + I +m(R + r)2

(R + r)2

](7.17)

24

dalla quale si può ricavare:

vm = (R + r)

√2mgh

MR2 + I +m(R + r)2. (7.18)

La velocità del centro di massa del rocchetto si può ricavare sfruttando la precedente equa-zione e la (7.16):

vR = R

√2mgh

MR2 + I +m(R + r)2. (7.19)

Derivando la (7.17) si ottiene l’accelerazione del centro di massa del rocchetto:

aR =mgR(R + r)

MR2 + I +m(R + r)2. (7.20)

Anche in questo caso è possibile ottenere lo stesso risultato applicando le equazioni cardinali.Le prime due equazioni del sistema (7.11) rimangono invariate mentre per la terza equazioneoccorre tenere conto del fatto che entrambi i momenti provocano una rotazione del rocchettoin senso orario (vedi Fig.7.3). Anche in questo caso il rocchetto rotola in senso orario sulpiano orizzontare (svolgendo il filo). Il sistema diventa perciò:

mg − T = mam

T − Fa = MaR

rT +RFa = Iα = IaRR.

(7.21)

Esprimendo l’accelerazione am in funzione dell’accelerazione del centro di massa del roc-chetto

am =R + r

RaR (7.22)

e sostituendo nella prima equazione del sistema si risolve ottenendo:

aR =mgR(R + r)

MR2 + I +m(R + r)2. (7.23)

7.2 EsercizioUn’asta rigida omogenea sottile di lunghezza L = 1.5 m e massa M = 4.5 kg è vincolata a ruotarein un piano verticale attorno al suo estremo A senza attrito (vedi Fig. 7.4). Al suo estremo Bè attaccato un corpo di massa m tramite un filo ideale che passa attraverso una carrucola C didimensioni e peso trascurabili. Si ha AC = AB. Determinare il valore di m affinché il sistema siain equilibrio nella posizione φ = π/6 e verificare che questa posizione sia di equilibrio instabile.Determinare le leggi di moto del sistema quando la sbarra viene spostata verso l’alto rispetto allasua posizione di equilibrio. Determinare il valore della velocità angolare φ̇ e la tensione del filonella posizione verticale.

25

T

Fa

m

R

r

Figura 7.3: Esercizio 1: forze applicate al sistema nel caso B.

• Sol.: m = 2.25 kg, φ̇2 =g

L

3√

3

4− sin 2φ

2− cosφ

sin2 φ+ 2/3, φ̇(π/4) = 0.72 s−1, T = 11.2 N

m

2φCA

B

Figura 7.4: Es.2

26

Lezione 9

8.1 EsercizioUn sistema rigido è composto da due dischi omogenei, concentrici e solidali tra loro di massa eraggio rispettivamente m1 = 20 kg, r1 = 5.4 cm, m2 = 28, 8 kg, r2 = 4.5 cm. Il sistema èvincolato a ruotare intorno ad un asse orizzontale perpendicolare al piano dei dischi e passanteper il loro centro, in assenza di attrito. Una fune ideale di lunghezza l è avvolta attorno al bordodi uno dei due dischi. All’altra estremità della fune è attaccato un corpo di massa m = 10 g. Ilsistema, inizialmente fermo e con la fune completamente avvolta, viene lasciato partire. Calcolarela velocità angolare del sistema quando la fune si è completamente svolta e il tempo di caduta.Esaminare i due casi in cui la fune sia avvolta attorno ai due dischi.

• Sol.: ω = 2.59 rad/s, t =

8.2 EsercizioUn pendolo semplice di lunghezza L = 1.30 m e massa ma = 3.50 kg parte da fermo con unangolo di θ0 = 30◦ rispetto alla verticale. Determinare la velocità, l’energia cinetica e la tensionedel filo di sospensione quando il pendolo arriva nella posizione verticale. Nella posizione verticaleurta un secondo pendolo semplice, sospeso nello stesso punto, della stessa lunghezza e massa mb.

r1

r2

m

r1

r2

m

Figura 8.1: Es.1

27

Determinare la massima altezza raggiunta da ma e mb nei due casi mb = ma e mb = ma/3ipotizzando che l’urto sia completamente elastico o completamente anelastico. Calcolare l’energiadel sistema quando mb raggiunge la massima altezza.

• Sol.: v =

√√√√2gL

(1−√

3

2

)= 1.85 m/s, K = 5.98 J, T = 43.5 N.

• Urto elastico: ha = 0, hb = L

(1−√

3

2

)(mb = ma), ha =

L

4

(1−√

3

2

), hb =

9L

4

(1−√

3

2

)(mb = ma/3).

• Urto anelastico: h =L

4

(1−√

3

2

),E = mg

L

2

(1−√

3

2

)(mb = ma), h =

9L

16

(1−√

3

2

),

E = mg9L

8

(1−√

3

2

)(mb = ma/3).

8.3 EsercizioUna sbarretta sottile di lunghezza L e massa M è vincolata su uno dei due estremi a ruotarenel piano verticale. Viene inizialmente portata in posizione orizzontale e lasciata andare da fer-ma. Quando passa per la posizione verticale urta un corpo di massa m in modo completamenteanelastico. Determinare l’angolo di inclinazione massimo che raggiunge il sistema dopo l’urto.

• cos θ =11

12

28

Lezione 10-11

9.1 Esercizio

Un’asta di massa m1 e lunghezza l a riposo su un piano orizzontale è colpita da un proiettile dimassa m2 e velocità v perpendicolare all’asta, a distanza x dal suo centro O (Fig. 9.1). L’urto ècompletamente anelastico. Calcolare la velocità lineare e angolare del sistema dopo l’urto.

• Sol.: vCM =m2v

m1 +m2

, ω =m2vx

(m1 +m2)l2/12 +m2x2

9.2 Esercizio

Determinare la velocità angolare del sistema precedente nel caso in cui la sbarra sia vincolataad uno dei suoi estremi e calcolare l’impulso delle forze vincolari nel caso in cui la sbarra e ilproiettile abbiano la stessa massa (sia d la distanza dall’estremo vincolato della sbarra alla qualeurta il proiettile, Fig.9.2).

• Sol.: ω =m2vd

(m1)l2/3 +m2d2, I =

mlv

l2/3− d2

[d

2− l

3

]

O

m2, v

m1, l

x

Figura 9.1: Es.1

29

9.3 EsercizioUna sbarra di massa m1 e lunghezza l ruota in senso antiorario con velocità angolare ω in un pianoverticale attorno all’asse passante per il suo centro di massa (Fig. 9.3). Una particella di massam2 e velocità v colpisce perpendicolarmente la sbarra ad un suo estremo. Determinare la velocitàangolare finale del sistema, l’impulso e il momento dell’impulso delle reazioni vicolari.

• ωf =m1ω

m1 + 3m2

, I =

√(m1m2ω

m1 + 3m2

l

2

)2

+m22v

2, IM =l

2m2v

9.4 EsercizioUn cilindro omogeneo di massa M e raggio R rotola su un piano orizzontale con velocità costantev0c e incontra un gradino di altezza h nel punto B (Fig. 9.4). Determinare la velocità del baricentrosubito dopo l’urto. Determinare la minima velocità iniziale v0cMIN che consente al disco di saliresul gradino.

• vc = v0c

[1− 2h

3R

], v0cMIN =

√4gh

3

3R

3R− 2h.

P

m2, v

m1, l

d

Figura 9.2: Es.2

30

Oω

m2, v

m1, l

Figura 9.3: Es.3

R

hB

A

C

Figura 9.4: Es.1

31

32

Lezione 12

10.1 Esercizio

Un’asta rigida AB omogenea e pesante, di lunghezza l è appoggiata senza attrito sulla superficiecurva di un semicilindro di raggio r la cui parte piana è appoggiata su un piano orizzontale. L’e-stremo B dell’asta è appoggiato sul piano orizzontale e l’asta si trova in un piano perpendicolareall’asse del semicilindro. Indicato con ϕ l’angolo tra l’asta e il piano orizzontale, determinare ilcoefficiente di attrito tra l’estremo B e il piano orizzontale affinché il sistema sia in equilibrio.

• Sol.: µ =l sin2 ϕ

2r − l sinϕ cosϕ.

10.2 Esercizio

Un’asta AB rigida e omogenea, di massa M e lunghezza L, è appoggiata senza strisciare su unaguida semicircolare di raggio r, avente il diametro appoggiato sul piano orizzontale. L’asta ela guida si trovano nello stesso piano verticale e nell’istante iniziale l’asta ha il suo baricentroa contatto con la guida. Un punto materiale di massa m viene posto sull’estremo A dell’asta.Calcolare l’angolo α tra l’asta e il piano orizzontale all’equilibrio.

r

A

BO

ϕ

Figura 10.1: Es.1

33

• Sol.: α =ml

2r(m+M).

10.3 EsercizioIl sistema in Fig. 10.3 è costituito da due aste rigide, omogenee e pesanti: la prima AB di lunghezza2L e massaM , la seconda CD di lunghezza 2l e massam. La prima asta è incernierata nel punto Amentre la seconda è incernierata nel punto C, posto sulla verticale a distanza 2l da A. L’estremo Ddella seconda asta è vincolato a scorrere lungo l’asta AB. Ai punti A e D sono collegati gli estremidi una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo l. Indicato con 2ϕ l’angolo tra l’asta CD ela verticale, determinare il valore dell’angolo ϕ0 della configurazione di equilibrio del sistema. Ilsistema viene abbandonato in quite nella configurazione in cui la molla è a riposo. Determinare lavelocità angolare delle due aste passano dalla configurazione di equilibrio.

• Sol.: sinϕ =4kl2 +MgL

16kl2 − 4mgl, ωCD = 2ωAB =

√6(U(ϕ1)− U(ϕ0))

ML2 + 4ml2dove

– U(ϕ0) = −MgL4kl2 +MgL

16kl2 − 4mgl−mgl−mgl

8

(4kl2 +MgL

4kl2 −mgl

)2

+1

2kl2(MgL+mgl

4kl2 −mgl

)2

– U(ϕ1) = −MgL

4− 9mgl

8

sono le energie potenziali del sistema nelle due configurazioni ϕ0 e ϕ1.

34

r

A

B

O

ϕ

Figura 10.2: Es.2

2ϕ

C

A

B

D

Figura 10.3: Es.3

35