1. ———————————————————————————————–

Uncorpo viene lanciato su per un pianoscabro inclinato di 45◦ rispetto all’oriz-zontale (µd = 1/2). Detto TS il tem-po necessario al punto per raggiungerela quota massima e TD il tempo che, apartire da detta quota, impiega per tor-nare nella posizione di lancio, calcolareil rapporto TS/TD.

2. ———————————————————————————————–

Nella configurazione mostrata in figurale due masse appese sono identiche, lecarrucole prive di massa e il filo ideale.Dimostrare che l’equilibrio statico eimpossibile e calcolare l’accelerazionevettoriale di ciascuna massa.

3. ———————————————————————————————–

Due pendoli semplici aventi lunghezzel1 = 90 cm ed l2 = 40 cm si trovanoinizialmente a contatto, come descrittonella figura, e successivamente vengonoabbandonati. Ipotizzando che entrambii pendoli compiano piccole oscillazioniattorno alle rispettive posizioni di equi-librio, stabilire se le due masse torne-ranno nuovamente in contatto e, in casoaffermativo, dopo quanti secondi.

l2

l1

1

4. ———————————————————————————————–

Il 3 agosto 2015 a Woodford, in Virgi-nia, alcuni fotografi della NASA ripre-sero il transito della Stazione SpazialeInternazionale (ISS) davanti al disco lu-nare, come mostrato schematicamentenella figura. Sapendo che la ISS orbitaa circa 400 chilometri di altezza e che ildisco lunare e visto dalla superficie ter-restre sotto un angolo pari a circa mez-zo grado sessagesimale, stimare il tem-po di transito. Volendo tener conto delperiodo di rivoluzione lunare (pari a cir-ca 27 giorni), quale sarebbe l’ordine digrandezza percentuale della correzionedella suddetta stima? [g ' 10 m/s2,raggio terrestre ' 2π × 106 m]

5. ———————————————————————————————–

Tre masse puntiformi M , m ed m, so-no disposte come indicato in figura. Siponga il momento d’inerzia I0 rispettoall’asse ortogonale al piano della figurae passante per il centro di massa comesegue:

I0 = (M + 2m) l2 γ ,

e si fornisca l’espressione del fattore diforma γ in funzione dei parametri delproblema. Se M = 2m e α = π/2,quanto vale γ?

2

6. ———————————————————————————————–

Un pendolo fisico e costituito da un di-sco omogeneo di raggio R che ruota sen-z’attrito attorno all’asse z disposto oriz-zontalmente come in figura. Determi-nare la distanza d tra l’asse di rotazio-ne e il centro di massa per cui il periododelle piccole oscillazioni del pendolo siaminimo.

C

z

d

R

7. ———————————————————————————————–

Calcolare l’angolo α con cui un pun-to materiale deve essere lanciato ver-so un piano perfettamente liscio incli-nato a 45◦ in modo che dopo il primorimbalzo, perfettamente elastico, torniesattamente nel punto di lancio.

3

8. ———————————————————————————————–

Un sistema meccanico e composto dadue aste perfettamente rigide di lun-ghezza unitaria e massa trascurabilesaldate ad angolo retto per un estre-mo, come mostrato in figura. Agli al-tri estremi delle aste sono saldate duemasse puntiformi di valore pari, in op-portune unita di misura, ad 1 e x. Ilsistema e posto in un piano verticale epuo ruotare senza attrito attorno a unasse orizzontale passante per il centroO. Si chiede di determinare e grafica-re il periodo delle piccole oscillazioni infunzione di x.

O

9. ———————————————————————————————–

Un’asta omogenea di lunga 100 cm eappoggiata a un pavimento scabro e al-lo spigolo perfettamente liscio di unoscalino alto 30 cm, come mostrato infigura. Si osserva che l’asta scivolanon appena l’angolo α diventa minoredi 30◦. Determinare il coefficiente diattrito statico nel punto A.

4

10. ———————————————————————————————–

Un punto materiale viene lanciato nelvuoto dal punto O con velocita inizia-le v0 in presenza di una superficie in-clinata di π/4 rispetto all’orizzontale.Determinare l’angolo α in modo che ladistanza tra il punto in cui viene toc-cata la superficie per la prima volta el’origine O sia massima.

v0

11. ———————————————————————————————–

Un punto materiale si muove con velo-cita v su un piano orizzontale privo diattrito e urta elasticamente su una su-perficie semicilindrica verticale perfet-tamente liscia di raggio R, come mo-strato nella figura. Si chiede di deter-minare il valore massimo di b per cui ilpunto esce dalla superficie dopo un solorimbalzo.

5

12. ———————————————————————————————–

Un’asta omogenea e appoggiata sul gradino diuna scala come mostrato in figura. Tra l’astae il pavimento e presente attrito statico carat-terizzato dal coefficiente µS . L’angolo α chel’asta forma con l’orizzontale e pari a π/4 e laposizione del suo centro di massa coincide conlo spigolo del gradino. Si chiede:

(i) l’analisi delle forze che agiscono sulsistema;

(ii) le equazioni di equilibrio del sistema;

(iii) se µS = 1.5, determinare se l’astarimarra in equilibrio.

13. ———————————————————————————————–

Due punti materiali vengono lanciatiuno dopo l’altro a distanza di un se-condo dalla medesima posizione a terracon l’identica velocita di 10 m/s, diret-ta verso l’alto. Determinare il tempo divolo di ciascun corpo.

14. ———————————————————————————————–

Un punto materiale viene lanciato nelvuoto dal punto O con velocita inizialev0 in presenza di una superficie inclina-ta di π/4 rispetto all’orizzontale. Deter-minare l’alzo α in modo che la distanzatra il punto in cui viene toccata la su-perficie per la prima volta e l’origine Osia massima.

6

15. ———————————————————————————————–

Un bicchiere di forma cilindrica (con base circolare) e pieno per2/3 ed e in quiete sul bancone del vagone ristorante di un trenoche procede con velocita costante. A partire da un certo istante iltreno inizia a decelerare uniformemente. Sapendo che il diametro el’altezza del bicchiere sono uguali, determinare il massimo valoredella decelerazione del treno per cui il liquido non fuoriesce dalbicchiere. Si supponga che quest’ultimo rimanga in quiete rispettoalla superficie di appoggio durante la fase di decelerazione.

16. ———————————————————————————————–

Un’asta rettilinea e omogenea AB epoggiata in equilibrio sulla superficieperfettamente liscia di una semisfera, ilcui raggio e pari a 2/3 della lunghezzaAB e su un pavimento orizzontale sca-bro, come mostrato in figura. Sapendoche l’asta forma con il piano un ango-lo di 45◦ e che il coefficiente di attritostatico in corrispondenza del punto A epari a uno, dimostrare che l’equilibrio epossibile. Determinare inoltre il valoreminimo del coefficiente di attrito stati-co che consente all’asta di rimanere inequilibrio.

17. ———————————————————————————————–

Un punto materiale, partendo da fermo, accelera uniformementeper un certo tempo con accelerazione pari a 2 m/s2, quindi dece-lera uniformemente con decelerazione pari a 1 m/s2. Sapendo chelo spazio totale percorso e pari a 300 m, stimare il tempo totaledi moto.

18. ———————————————————————————————–

Un corpo di massa m = 1 kg poggia suun piano inclinato di un angolo α = 45◦

sull’orizzontale, come mostrato in figu-ra. Sapendo che il coefficiente d’attritostatico tra corpo e piano e pari a 1/2,determinare il valore minimo del modu-lo della forza orizzontale F che occor-re applicare al corpo per mantenerlo inequilibrio statico.

7

19. ———————————————————————————————–

Un corpo di massa m = 1 kg si muove lungo una retta x soggettoa una forza conservativa la cui energia potenziale U(x) e pari a

U(x) = x2 − x3 ,

dove x e espressa in m ed U in J. Supponendo che esso vengalanciato dalla posizione x = 0 con velocita scalare v, determi-nare il valore massimo di v per cui il moto risulta essere ancoraoscillatorio.

20. ———————————————————————————————–

Un punto materiale di massa m si muo-ve su un piano orizzontale privo di at-trito con velocita costante v0, come mo-strato in figura. Determinare l’angolo ϑtra le superfici verticali (supposte per-fettamente liscie) mostrate in figura af-finche dopo due urti (perfettamente ela-stici), la velocita del punto sia pari a−v0.

v0

m

21. ———————————————————————————————–

Tre punti materiali identici aventi mas-sa m si trovano in corrispondenza deivertici di un triangolo equilatero di latoa, come mostrato in figura. Disegnare,in funzione dell’angolo α, l’andamentodel momento d’inerzia del sistema cal-colato rispetto all’asse r, giacente nelpiano del triangolo e passante per il suocentro.

8

22. ———————————————————————————————–

Un ciclista compie 90 pedalate al minu-to. Con riferimento alla figura, il rap-porto tra i diametri della corona (D1)e del pignone (D2) e pari a 52

25 , men-tre il diametro della ruota (2R) e pari acirca 70 cm. Ipotizzando che la catenasia ideale (massa trascurabile, perfetta-mente flessibile e inestensibile), si stimila velocita del ciclista.

D1

D2

R

23. ———————————————————————————————–

Un corpo viene lanciato con velocita pa-ri a 1 m/s dal pavimento di un vagoneche sta accelerando verso destra con ac-celerazione at, come mostrato in figura.Sapendo che l’alzo α e pari a π/4 e cheat = g, calcolare la distanza tra il puntodi lancio P e quello in cui il corpo toccanuovamente il pavimento del vagone.

24. ———————————————————————————————–

Una pallina di massa m si trova sul-la superficie scabra di una sfera fissadi raggio R, come mostrato nella figu-ra. Sapendo che il coefficiente di attri-to statico tra pallina e sfera e µ = 1/2,calcolare:

(i) l’intervallo dei valori di θ per cuila pallina e in equilibrio statico;

(ii) il modulo della reazione vincola-re e quello della forza di attritostatico in funzione dell’angolo θ;

m

9

25. ———————————————————————————————–

A un estremo di un’asta rettilinea omo-genea di massa M e saldata una mas-sa puntiforme, anch’essa di massa M .Il sistema cosı composto e appoggiatotra due piani ortogonali, perfettamen-te lisci, inclinati di 45◦ rispetto all’o-rizzontale, come mostrato nella figura.Determinare:

(i) L’espressione dell’energia poten-ziale del sistema in funzionedell’angolo α;

(ii) Le equazioni di equilibrio delsistema;

(iii) L’angolo α corrispondente allaposizione di equilibrio;

26. ———————————————————————————————–

Un’asta omogenea di lunghezza l = 1 m e massa M = 1 kg puoruotare senz’attrito attorno a un asse orizzontale passante perun estremo. Supponendo che venga lasciata partire, con velocitainiziale nulla, dalla posizione orizzontale, si calcoli:

(i) la velocita del centro di massa quando l’asta passa per laposizione verticale;

(ii) la reazione vincolare corrispondente;

27. ———————————————————————————————–

Un ciclista percorre un tratto lungo 20 km costituito da un trattoin salita e uno in discesa, entrambi di 10 km. La velocita mediatenuta in salita e di 10 km/h, quella tenuta in discesa e di 40km/h. Si calcoli la velocita media tenuta durante l’intero percorso.Sapendo che il ciclista puo variare la sua velocita media in salitae in discesa (in piu o in meno) del 10 %, si calcoli di quanto almassimo puo aumentare la velocita media sul percorso rispetto aquella precedentemente calcolata.

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