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Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 16 Pagina 1

Lez.16 Il metodo simbolico


Regime sinusoidale

Stato di funzionamento di un circuito in cui tutte le tensioni e tutte le

correnti variano nel tempo con legge sinusoidale a pulsazione fissata ,

indipendentemente dallo stato iniziale energetico del circuito.

Il regime sinusoidale a pulsazione si raggiunge quando la rete è eccitata

da uno o più generatori indipendenti sinusoidali a pulsazione e la rete è

lineare, tempoinvariante, stabile (con frequenze naturali a parte reale

negativa).

E’ il caso di reti lineari passive in cui l’energia inizialmente immagazzinata

nel circuito viene totalmente dissipata e l’unica energia in gioco rimane

quella continuamente erogata dai generatori.


Funzioni sinusoidali

Una funzione sinusoidale nel tempo è esprimibile come:

𝑎(𝑡) = 𝐴𝑀sin(𝜔𝑡 + 𝛼)

AM è l’ampiezza (valore massimo) della funzione

è la pulsazione angolare [rad/s]

è la fase iniziale [rad].

E’ una funzione periodica di periodo T e frequenza f: 𝑇 =2𝜋

𝜔=

1

𝑓

T AM

a(t)

t 𝑡0 =

𝛼

𝜔


Effetto dell’ampiezza AM

Effetto della pulsazione

Effetto della fase iniziale

pulsazione


Valore medio 𝑨𝒎

Può essere definito per qualsiasi funzione periodica:

𝐴𝑚 =1

𝑇 ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡

𝑡0+𝑇

𝑡0

Il valore medio di una funzione sinusoidale è 𝐴𝑚 = 0

Valore efficace 𝑨

Può essere definito per qualsiasi funzione periodica:

𝐴 = √1

𝑇∫ 𝑎2(𝑡)𝑑𝑡

𝑡0+𝑇

𝑡0

Il valore efficace di una funzione sinusoidale è 𝐴 =𝐴𝑀

√2= 0.707𝐴𝑀


Risoluzione di una rete in regime sinusoidale

La soluzione della rete si ricava scrivendo il sistema di equazioni

differenziali lineari descrittivo della rete. In particolare, si ottiene

risolvendo l’integrale particolare della equazione differenziale lineare a

coefficienti costanti, con termine noto sinusoidale, che descrive il

funzionamento della rete.

Tale operazione può risultare molto dispendiosa dal punto di vista

computazionale.

E’ possibile utilizzare una tecnica alternativa che consente di

semplificare i calcoli, pervenendo alla risoluzione di un sistema di

equazioni algebriche lineari, invece che a un sistema di equazioni

differenziali.

La tecnica risolutiva è nota come metodo simbolico.


Il metodo simbolico

L’idea base del metodo simbolico è la seguente: si cerca una

corrispondenza biunivoca che metta in relazione ogni elemento 𝑎(𝑡)

dell’insieme T delle funzioni sinusoidali nel tempo (ossia le tensioni e le

correnti della rete) con un elemento �̅� di un nuovo insieme C.

Questa corrispondenza deve conservare le seguenti operazioni:

1) Operazione di somma algebrica (per le LKC e LKT)

2) Operazione di moltiplicazione per una costante (per la

caratteristica dei resistori)

3) Operazione di derivazione (per la caratteristica di induttori e

condensatori)

a(t) �̅�

T C


Se tale insieme esiste, ed è più semplice operare in C perché i calcoli sono

più facili, allora si può procedere in questo modo:

a) si trasformano tutte le grandezze di T nelle corrispondenti

grandezze in C;

b) si opera nel dominio C (si opera cioè nella rete trasformata)

c) si eseguono i calcoli in C (cioè si risolve la rete in C);

d) si ottiene il risultato in C e si antitrasforma, ricavando il risultato

in T, ossia ricavando la soluzione nel dominio delle funzioni

sinusoidali nel tempo


La trasformata di Steinmetz

Assegnata la pulsazione , una grandezza sinusoidale nel tempo è

univocamente determinata da due numeri: AM (valore massimo) e (fase

iniziale):

𝑎(𝑡) = 𝐴𝑀sin(𝜔𝑡 + 𝛼)

Ad ogni funzione 𝑎(𝑡) in T è possibile associare, con corrispondenza

biunivoca, un numero complesso �̅� in C che ha come modulo AM e come

argomento :

𝑎(𝑡) ⟺ �̅� = 𝐴𝑀ejα

La funzione sinusoidale 𝑎(𝑡) ha pertanto il suo corrispondente anche nel

piano di Gauss: esso è rappresentato da un vettore con centro nell’origine

degli assi, di modulo AM e formante con l’asse reale un angolo ,

considerato positivo se valutato in senso antiorario.

A tale vettore viene dato il nome di fasore.


Abbiamo creato un corrispondenza biunivoca

tra funzioni sinusoidali nel tempo e fasori.

Si può facilmente verificare che la

corrispondenza conserva le 3 operazioni

fondamentali:

1) 𝑎(𝑡) ⟺ �̅�; 𝑏(𝑡) ⟺ �̅�; 𝑎(𝑡) + 𝑏(𝑡) = 𝑐(𝑡); �̅� + �̅� = 𝐶̅; 𝑐(𝑡) ⟺ 𝐶̅

2) 𝑎(𝑡) ⟺ �̅�; 𝑘𝑎(𝑡) ⟺ 𝑘𝐴̅̅̅̅ ;;

3) 𝑎(𝑡) ⟺ �̅�;𝑑𝑎(𝑡)

𝑑𝑡⟺ 𝑗𝜔�̅�;

Quindi, l’operazione di derivazione si trasforma in C in operazione

algebrica, con l’operatore di derivazione definito come 𝑀 = 𝑗𝜔:

real

imag

A -

AM


In conclusione …

Se la rete è in regime sinusoidale, scriviamo il modello nel dominio del

tempo ottenendo un sistema di equazioni differenziali e associamo ad ogni

grandezza (tensione e corrente) il corrispondente fasore, ottenendo un

sistema di equazioni algebriche:

{

∑𝑣𝑘(𝑡) = 0∑ 𝑖𝑘(𝑡) = 0

𝑣𝑘(𝑡) = 𝑅𝑘𝑖𝑘(𝑡)

𝑖𝑘(𝑡) = 𝐶𝑑𝑣𝑘(𝑡)

𝑑𝑡

𝑣𝑘(𝑡) = 𝐿𝑑𝑖𝑘(𝑡)

𝑑𝑡

𝑖𝑘(𝑡) = 𝐽𝑘(𝑡)

𝑣𝑘(𝑡) = 𝐸𝑘(𝑡)

⟹

{

∑ �̅�𝑘 = 0

∑ 𝐼�̅� = 0

�̅�𝑘 = 𝑅𝑘𝐼�̅�𝐼�̅� = 𝑗𝜔𝐶�̅�

�̅�𝑘 = 𝑗𝜔𝐿𝐼 ̅

𝐼�̅� = 𝐽�̅��̅�𝑘 = �̅�𝑘

Si risolve il sistema di equazioni algebriche, si ricavano le soluzioni 𝐼�̅� e

�̅�𝑘, si opera l’antitrasformazione e si ottengono le soluzioni 𝑖(𝑡) e 𝑣(𝑡).


Esempio

𝑒(𝑡) = 100 sin (𝜔𝑡 +𝜋

3) 𝑉 ; 𝑅 = 20Ω; 𝐶 = 50𝜇𝐹; 𝜔 = 1000

𝑟𝑎𝑑

𝑠

𝑒(𝑡) = 𝑅𝐶𝑑𝑣𝑐(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑣𝑐(𝑡) ⟹ �̅� = 𝑅𝐶𝑗𝜔𝑉𝐶̅̅ ̅ + 𝑉𝐶̅̅ ̅

𝑉𝐶̅̅ ̅ =�̅�

1 + 𝑗𝜔𝑅𝐶=100𝑒𝑗

𝜋3

1 + 𝑗1=100𝑒𝑗

𝜋3

√2𝑒𝑗𝜋4

= 70.7𝑒𝑗(𝜋3−𝜋4) = 70.7𝑒𝑗

𝜋12

𝑣𝑐(𝑡) = 70.7 sin (1000𝑡 +𝜋

12)𝑉

𝑖𝑐(𝑡) = 𝐶𝑑𝑣𝑐(𝑡)

𝑑𝑡= 𝐶 ∙ 1000 ∙ 70.7 cos (1000𝑡 +

𝜋

12) = 3.5 cos (1000𝑡 +

𝜋

12) 𝐴

E C

R

Vc(t)

ic(t)

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