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Matematica ed Epidemie:il Ruolo dei Modelli

Maria GroppiRossella Della Marca

Dipartimento di Scienze Matematiche,Fisiche e Informatiche

Webinar INDIRE21 Maggio 2020
1Sommario

I Cosa sono e a cosa servono i modelli matematiciI Un po’ di storia dei modelli epidemiologiciI Il numero riproduttivo di base R0I La vaccinazione e la soglia per l’immunità di greggeI Epidemie e comportamento umano: l’epidemiologia

comportamentale

MARIA GROPPI | Matematica ed epidemie
1Sommario


comportamentale

1Sommario


comportamentale

1Sommario


comportamentale

1Sommario


comportamentale

2Una realtà complessa

I sistemi naturali sono intrinsecamente complessi

I pilastri fondamentali della ricerca scientifica:I lavorare in condizioni controllateI possibilità di ripetere gli esperimenti

non si possono applicare nello studio di molti fenomeninaturali

⇓I modelli matematici permettono di simulare i fenomeni e

di apprendere elementi utili per la loro comprensione

3Il compito della matematica

Compito della matematica è:I fornire un linguaggio per descrivere i fenomeni

naturali (equazioni);I fornire strumenti per meglio comprenderliI cercare di fornire previsioni mediante simulazioni dei

possibili scenari.




possibili scenari.




possibili scenari.




possibili scenari.

4Modellistica matematica

Traduzione nel linguaggio matematicodi un fenomeno naturale


Esistono molte classi di modelli(deterministici, stocastici, discreti, continui, su reti . . . )

di varia complessità

In generaleI non è necessariamente vero che i modelli più

complicati sono sempre migliori di quelli più semplici;I un modello non è giusto o sbagliato, dipende da

– la domanda a cui vogliamo rispondere,– quali dati e informazioni abbiamo a disposizione per

caratterizzare i processi, per calibrare il modello,– quanto tempo abbiamo per fornire indicazioni.

6Emergenza COVID–19

Center for Systems Science and Engineering at Johns HopkinsUniversity, 8 Maggio 2020


http://maddmaths.simai.eu/category/divulgazione/covid/

10Dinamica delle epidemie

Le folle sono terreno fertile per le malattie infettive

In una popolazione densa avvengono molti contatti tra gliindividui e quindi maggiori possibilità di infezione

11Contrasto alle epidemie

I Per alcune malattie esistono protocolli digestione che prevedono prevenzione(vaccinazione).

I Per altre malattie emergenti (poco note) sitenta un controllo con isolamento dei casiaccertati e quarantena dei sospetti infetti perdiminuire la possibilità di trasmissione.

Non è comunque possibile fare esperimenti perconfrontare l’efficacia di diverse strategie di contenimentoe riduzione del contagio.Un modo per confrontare diversi approcci è formulare unmodello matematico per fare previsioni sugli scenaripossibili.

12Le origini: Il modello di Bernoulli

La prima trattazione teorica delproblema della diffusione delleepidemie è dovuta a Daniel Bernoulli(1700-1782) e riguarda la diffusionedel vaiolo e i vantaggi di unavaccinazione preventiva.

Nei primi anni del Settecento (1712/14) la progenie del ReSole (Luigi XIV) era stata sterminata da questa malattia

. . . mi auguro solo che in una questione che riguarda cosìda vicino il bene dell’umanità, si decida con la pienaconsapevolezza che un po’ di analisi e di calcolo possonofornire.1

1“Nuova analisi della mortalità causata dal vaiolo e studio dei vantaggi connessi allavaccinazione preventiva” D. Bernoulli, 1760

13XX secolo: la Golden Age

XX secoloLa Golden Age dell’epidemiologia matematica

I Sir Ronald Ross vinse il premio Nobel per lamedicina nel 1902 per le sue ricerche sulla malaria:scoprì che la malattia è trasmessa dalle zanzare esviluppò un modello per descriverne la diffusione.

I Nel 1927 Kermack e Mc Kendrick proposero ilmodello SIR, primo modello generalecompartimentale, che sta alla base di tutti i modelli,anche i più recenti, per lo studio di epidemie ...

14

...ma anche di un possibile attacco di zombie1

1Munz P., Hudea I., Imad J., Smith R. J. “When zombies attack!: mathematicalmodelling of an outbreak of zombie infection”. Infectious Disease Modelling ResearchProgress (2009) 4: 133–150.

15Il modello SIR

βIS(t) I(t) γ R(t)

La popolazione viene divisa in tre classi (compartimenti)I S: Suscettibili, cioè i sani che possono essere infettati

dalla malattia;I I: Infetti, cioè coloro che hanno contratto la malattia e

possono trasmetterla;I R: Rimossi, ossia coloro che, dopo essere stati

malati, non sono più infetti perché guariti eimmunizzati, oppure in quarantena, oppure morti.

15Il modello SIR






15Il modello SIR






15Il modello SIR






16Il modello SIR

Ipotesi:I la popolazione è omogenea (ossia si tralasciano le

differenze di sesso, di età e di localizzazionespaziale), isolata e la numerosità totale è costantenel tempo: S(t) + I(t) + R(t) = N;

I non vi è incubazione per il morbo, il contagio el’eventuale immunità sono istantanei;

I tutti gli individui infetti sono ugualmente contagiosi,cioè l’infettività non dipende da quanto tempo èpassato dal momento in cui l’infezione è statacontratta.

16Il modello SIR





16Il modello SIR





16Il modello SIR





17Il modello SIR

Le leggi di evoluzione (continue) sono espresse daequazioni differenziali, che descrivono la rapidità divariazione delle variabili S(t), I(t),R(t) (espresse dallederivate prime) rispetto al tempo

Equazioni del modello SIR

S′(t) = −βS(t)I(t)I ′(t) = βS(t)I(t)− γI(t)

R′(t) = γI(t)

β tasso di infezioneγ tasso di rimozione

S∗ =γ

βsoglia epidemiologica

17Il modello SIR




R′(t) = γI(t)


S∗ =γ


17Il modello SIR




R′(t) = γI(t)


S∗ =γ


17Il modello SIR




R′(t) = γI(t)


S∗ =γ


18Il modello SIR

Se il numero iniziale S0 di suscettibili è inferiore a S∗, lamalattia si estingue senza generare nuovi infetti.

0 20 40 60 80 100 120tempo (giorni)

0

200

400

600

800

1000

1200

0 20 40 60 80 100 120tempo (giorni)

0

200

400

600

800

1000

1200

(B)(A)

R0 =S0S∗

< 1

19Il modello SIR

Se il numero iniziale S0 di suscettibili è superiore a S∗, lamalattia si propaga fino a raggiungere il piccodell’infezione.

0 20 40 60 80 100 120tempo (giorni)

0

200

400

600

800

1000

1200

0 20 40 60 80 100 120tempo (giorni)

0

200

400

600

800

1000

1200

(B)(A)

R0 =S0S∗

> 1

20Curve epidemiche del COVID–19

(ENDCORONAVIRUS.org)

23Il numero riproduttivo di base R0

Elemento chiave dei modelli epidemiologici:

il numero riproduttivo di base R0

rappresenta il numero di nuovi casi prodotti da un infetto,nel corso della sua malattia, in una popolazione tuttasuscettibile.

R0 > 1 −→ l’epidemia invaderà la popolazione

R0 < 1 −→ l’epidemia si estinguerà con conseguenzelimitate


Le autorità sanitarie devono attuare strategie per cercaredi ridurre R0 sotto la soglia critica, con il supporto deimodelli matematici.Per il modello SIR:

R0 =β

γN

Strategie di riduzione di R0:I riduzione del tasso di infezione β tramite

vaccinazione, profilassi, misure di prevenzione(chiusura scuole, riduzione spostamenti . . . )

I aumento del tasso di rimozione γ tramite aumentodell’efficienza delle misure di sorveglianza e controllo(ospedalizzazione, isolamento, quarantena . . . )



R0 =β

γN






R0 =β

γN






R0 =β

γN






R0 =β

γN





Stime di R0 e modalità di trasmissione per alcune bennote malattie infettive1

Malattia Trasmissione R0Morbillo via aerea 12–18Pertosse 12–17Difterite saliva 6–7Rosolia via aerea

Polio via fecale/orale 5–7Vaiolo via aereaParotite 4–7

1Centers for Disease Control and Prevention and World Health Organization.History and epidemiology of global smallpox eradication. In Smallpox: disease,prevention, and intervention, 2014

26Il modello SIRV

La vaccinazione è uno dei metodi più efficaci per ridurrela diffusione e la mortalità delle malattie infettive.

Idea: estendere il modello SIR per tener conto dellapossibilità per gli individui suscettibili di essereimmunizzati alla nascita.

⇓dal modello SIR al

modello SIRV (suscettibili–infetti–rimossi–vaccinati)MARIA GROPPI | Matematica ed epidemie
26Il modello SIRV




26Il modello SIRV




27Il modello SIRV

Ipotesi aggiuntive:I la popolazione è non chiusa, ossia vi è un input

(natalità) e un output (mortalità);I gli individui che entrano nel sistema appartengono al

solo compartimento dei suscettibili, mentre esconodal sistema, a seguito di morte naturale, gli individuidi tutti i compartimenti;

I i tassi di natalità e mortalità pro–capite sono assunticostanti e coincidenti (li indichiamo con m);

I una frazione costante p ∈ (0,1] dei suscettibili èvaccinata alla nascita;

I gli individui vaccinati godono di immunitàpermanente.

27Il modello SIRV







27Il modello SIRV







27Il modello SIRV







27Il modello SIRV







27Il modello SIRV







28Il modello SIRV

Equazioni del modello SIRV

S′(t) = mN(1− p)− βS(t)I(t)−mS(t)I ′(t) = βS(t)I(t)− γI(t)−mI(t)

R′(t) = γI(t)−mR(t)V ′(t)= mpN −mV (t)

m tasso di natalità/mortalitàp frazione di neonati vaccinatiβ tasso di infezioneγ tasso di rimozione

Numero riproduttivo di base: R0 =βN

m + γMARIA GROPPI | Matematica ed epidemie
28Il modello SIRV






28Il modello SIRV






29Il modello SIRV

Trasmissione diun’infezione su 3generazioni, assumendoR0 = 4.

Pannello A: trasmissionein una popolazionetotalmente suscettibile.

Pannello B: trasmissionein una popolazioneimmune per 3/4.

30Il modello SIRV

pc = 1−1R0

soglia epidemiologica o soglia per l’immunità di gregge

p < pc, cioè R0(1− p) > 1 −→ l’infezione non soloinvaderà la popolazione, ma rimarrà endemica

p > pc, cioè R0(1− p) < 1 −→ l’infezione si estingueràcon conseguenze limitate

Osservazione: se p > pc, coloro che avranno scelto dinon vaccinare i propri figli beneficeranno comunquedell’immunizzazione, in virtù del comportamento del restodella popolazione.

30Il modello SIRV

pc = 1−1R0





30Il modello SIRV

pc = 1−1R0





30Il modello SIRV

pc = 1−1R0





31Il modello SIRV

Stime della soglia per l’immunità di gregge pc per alcuneben note malattie infettive1

Malattia pcMorbillo 92–94%PertosseDifterite 83–86%Rosolia

Polio 80–86%VaioloParotite 75–86%

1Centers for Disease Control and Prevention and World Health Organization.History and epidemiology of global smallpox eradication. In Smallpox: disease,prevention, and intervention, 2014

32L’epidemiologia comportamentale

L’effettivo successo dei protocolli di intervento si basa suun fattore chiave per molti anni trascurato dai modellimatematici:

il comportamento umano

Esempio: nei Paesi dove l’immunizzazione è su basevolontaria, le scelte individuali possono influire anche inmaniera decisiva sulla trasmissione delle infezioni.

⇓Nei primi anni 2000 nasce

l’ epidemiologia comportamentale1

1Manfredi P., d’Onofrio A. (Eds.) Modeling the Interplay between Human Behaviorand the Spread of Infectious Diseases. Springer, New York (2013).



Ṡ(t) = mN(1− p(t))− βS(t)I(t)−mS(t)I ′(t) = βS(t)I(t)− γI(t)−mI(t)

R′(t) = γI(t)−mR(t)V ′(t) = mp(t)N −mV (t)

Il tasso di vaccinazione non è costante, ma varia neltempo in base alle scelte individuali:

p = p(t)



Ṡ(t) = mN(1− p(t))− βS(t)I(t)−mS(t)I ′(t) = βS(t)I(t)− γI(t)−mI(t)

R′(t) = γI(t)−mR(t)V ′(t) = mp(t)N −mV (t)

Il tasso di vaccinazione non è costante, ma varia neltempo in base alle scelte individuali:

p = p(t)


Per modellizzare il processo decisionale nei confrontidella vaccinazione sono stati adottati principalmente dueapprocci:

1. un approccio costi–benefici, che fa uso della teoriadei giochi per esaminare il guadagno che il singoloindividuo percepisce riguardo alla scelta di vaccinare:

p′(t) =coefficiente di imitazione︷︸︸︷

k0 (h(I(t))− α(p(t)))︸︷︷︸guadagno netto derivante dal vaccinare

p(t) (1− p(t))

2. un approccio basato sull’informazione, secondo cui lascelta di vaccinare è frutto dei dati e notizie sullamalattia:

p(t) = p0 + p1(M(t))MARIA GROPPI | Matematica ed epidemie





p(t) (1− p(t))







p(t) (1− p(t))



1. APPROCCIO COSTI–BENEFICII Se p(t) dipende dal

comportamentoindividuale, la malattiarisorge con ampiezzacostante (pannello A),in conseguenzaall’abbassamentoperiodico del tasso divaccinazione nelleepoche di bassoallarme (pannello B).

I Se p è costante (pannello D), le oscillazioni dellaprevalenza si smorzano nel tempo (pannello C).


2. APPROCCIO BASATO SULL’INFORMAZIONE (p0 = 0.75)

Anche qui p(t) = p0 + p1(t) ha oscillazioni periodiche(pannello B) che si ripercuotono sulla prevalenza(pannello A). L’ampiezza cresce fino a divenire costante.

37Conclusioni

I I modelli matematici per le epidemie rivestononotevole importanza non solo per l’interesse culturaleche suscitano, ma anche come supporto alle sceltepolitico–amministrative.

I Essi possono fornire indicazioni anche sulleconseguenze dei comportamenti individuali sulcontenimento e l’eradicazione delle infezioni.

I Questi modelli, pur nella loro semplicità, sono ingrado di catturare aspetti qualitativi compatibili conscenari reali e costituiscono una base per lo sviluppodi sistemi più elaborati.

I Altro aspetto cruciale nel far fronte a un’epidemia, èla necessità di minimizzare i costi che ne derivanoe/o la sua durata, a tal riguardo si possono studiareproblemi cosiddetti di controllo ottimo.

37Conclusioni





37Conclusioni





37Conclusioni





38Per approfondimenti

I Groppi M., Della Marca R. “Modelli epidemiologici evaccinazioni: da Bernoulli a oggi”. Matematica, Cultura eSocietà - Rivista dell’Unione Matematica Italiana (2018) Serie 1,Vol 3, n 1.

I L. Bolzoni, E. Bonacini, R. Della Marca, M. Groppi, Optimal control of epidemicsize and duration with limited resources, Mathematical Biosciences, 315 (2019)108232 - pp.12.

I Buonomo B., Della Marca R., d’Onofrio A. “Optimal public health intervention ina behavioural vaccination model: the interplay between seasonality, behaviourand latency period”. Mathematical Medicine and Biology: A Journal of the IMA(2018).

I d’Onofrio A., Manfredi P., Poletti P. “The interplay of public intervention andprivate choices in determining the outcome of vaccination programmes”. PLoSOne (2012) 7(10): e45653.

I d’Onofrio A., Manfredi P., Salinelli E. “Vaccinating behaviour, information, andthe dynamics of SIR vaccine preventable diseases”. Theoretical PopulationBiology (2007) 71(3): 301–317.

Grazie per l’attenzione

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