Leonardo ColzaniLA QUADRATURA DEL CERCHIO

E DELL0 IPERBOLE

�"���"��o&peripheria circuli

� = 3; 1415926535 89793238462643383279 50288419716939937510 58209749445923078164 06286208998628034825 3421170679 :::

exponentialis

e = 2; 7182818284 59045235360287471352 66249775724709369995 95749669676277240766 30353547594571382178 5251664274 :::

�Qual è �l geometra che tutto s�a¢ ge per misurar lo cerchio, e non ritrova,pensando, quel principio ond�elli indige,...�

�Il quadrato è il �ne del travagliamento delle super�tie geometriche... Quellasuper�tie è sempre quadrabile in se medesima, alla quale si dà quadrato eguale alei...�

�Frustra laborant quotquot se calculationibus fatigant pro inventione quadrat-urae circuli...�

Ci siamo serviti di queste dotte citazioni dal XXXIII canto del paradiso diDante Alighieri, da Leonardo da Vinci, �omo sanza lettere�, e da Michael Stifel,per introdurre il problema della retti�cazione e quadratura del cerchio, cioè lacostruzione di un segmento con la stessa lunghezza di una data circonferenzae di un quadrato con la stessa area di un dato cerchio. Denotiamo con �,��"���"��o&�, �peripheria circuli�, il rapporto tra la lunghezza della circonferenzaed il diametro di un cerchio, o che è lo stesso, il rapporto tra l�area ed il quadratodel raggio,

� =circonferenza

diametro=

area del cerchio

quadrato del raggio:

La quadratura del cerchio è stata uno dei problemi centrali della matematicaper più millenni e ha dato origine ad una vera e propria malattia, il �morbuscyclometricus�, che in certe epoche ha assunto dimensioni di epidemia e non èancora completamente debellata. Anzi, in epoche più recenti è anche comparsoil �morbus decimalium�, la spasmodica ricerca delle cifre decimali. Anche noicontagiati, senza alcuna pretesa di rigore �lologico vogliamo presentare qualchenotizia sulla storia, sul calcolo numerico, ed altre curiosità su questo numero � e,già che ci siamo, anche sul suo fratello naturale, il numero e, �exponentialis�. Labibliogra�a sull�argomento è vasta ma frammentata e come referenze di caratteregenerale, oltre a qualche buon testo di storia della matematica, citiamo solo laraccolta di articoli a cura di L.Berggren, J.Borwein, P.Borwein, ��: a sourcebook�, Springer, 1997.L�indice della nostra esposizione è il seguente:

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0- Cronologia di �.1- La quadratura del cerchio e dell�iperbole. Babilonesi, egizi, ebrei. La

matematica greca. India e Cina. Ultimi seguaci di Archimede. I logaritmi. Lanascita del calcolo. L�analisi. Costruzioni con riga e compasso. Numeri alge-brici e trascendenti. Equiscomponibilità e decomposizioni paradossali. Il morbodecimale. Il morbo ciclometrico.2- Le lunule di Ippocrate.3- Archimede ed il metodo di esaustione.4- Le tavole delle corde di Tolomeo e le tavole dei logaritmi di Nepero.5- Il prodotto in�nito di Wallis.6- La serie del logaritmo di Mercatore e Newton e la serie dell�arco tangente

di Gregory e Leibniz.7- Eulero e la serie dei reciproci dei quadrati.8- Le frazioni continue di Eulero e Lagrange.9- Bu¤on e i metodi Montecarlo.10- Il problema del cerchio di Gauss.11- La lemniscata dei Bernoulli e le medie aritmetico geometriche di Gauss.12- La catenaria e il problema isoperimetrico.13- La cicloide.14- Numeri razionali, algebrici, trascendenti.15- Riga, compasso, origami.16- Una de�nizione astratta di �.

Il capitolo zero è una tabella con vari valori numerici che sono stati attribuitia �. Il primo capitolo copre circa quattromila anni di storia ed è piuttosto dis-corsivo, gli altri sono brevi ma un poco più tecnici. In ogni caso, ogni capitolo èindipendente dagli altri.

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CRONOLOGIA DI�

2000 a.C. Babilonesi 3 + 1=8 = 3; 125

2000 a.C. Egizi (16=9)2 = 3; 160:::1200 a.C. Cinesi 3550 a.C. Ebrei 3

380 a.C. Platonep2 +

p3 = 3; 146:::

250 a.C. Archimede 3 + 10=71 < � < 3 + 1=7 = 3; 142:::150 d.C. Tolomeo 377=120 = 3; 1416:::

250 Chung Hingp10 = 3; 162:::

250 Wang Fau 142=45 = 3; 155:::263 Liu Hui 3927=1250 = 3; 1416480 Zu Chongzhi 3; 1415926 < � < 3; 1415927499 Aryabhata 62832=20000 = 3; 1416

640 Brahmaguptap10 = 3; 162:::

800 Al Khowarizmi 3; 14161220 Leonardo Pisano 864=275 = 3; 1418:::1429 Al Kashi 16 decimali1464 Nicola da Cusa (3=4)

�p3 +

p6�= 3; 13:::

1573 V. Otho 355=113 = 3; 1415929:::1583 S. Duchesne (39=22)2 = 3; 142:::1593 F. Viete 9 decimali1593 A. van Rooman 15 decimali1609 L. van Ceulen 35 decimali1630 Grienberger 39 decimali1674 Seki 10 decimali1723 Takebe 41 decimali1730 Kamata 25 decimali1739 Matsunaga 50 decimali

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1665 I. Newton 16 decimali1699 A. Sharp 71 decimali1706 J. Machin 100 decimali1719 F. de Lagny 127 decimali (112 corretti)1794 G. von Vega 140 decimali1824 W. Ruthenford 208 decimali (152 corretti)1844 M.Z. Dase 200 decimali1847 T. Clausen 248 decimali1853 W. Lehmann 261 decimali1853 W. Ruthenford 440 decimali1874 W. Shanks 707 decimali (527 corretti)1947 D.S. Ferguson e J.W. Wrench 808 decimali1949 L.B. Smith e J.W. Wrench 1120 decimali1949 G.W. Reitwiesner (ENIAC) 2037 decimali1958 F. Genuys (IBM) 10020 decimali1961 D. Shanks e J.W. Wrench (IBM) 100265 decimali1973 J. Guilloud e M. Bouyer (CDC7600) Un milione di decimali1989 D. Chudnovsky e G. Chudnovsky Un miliardo di decimali2002 Y. Kanada (Hitachi). Mille miliardi di decimali

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LA QUADRATURA DEL CERCHIO E DELL0 IPERBOLE

Il titolo 3,1415926535... è lungo perché è lunga la storia da raccontare e poi lastoria della quadratura del cerchio risulta così strettamente connessa alla storiadi tutta la matematica che ad ogni passo si cade nella tentazione di fare qualchedigressione. Non tutti i numeri sono nati uguali, e questo vale in particolar modoper � e per e. Entrambi sembrano essere dei �gli di nessuno e non sappiamodarne una precisa data di nascita, il secondo può essere stato concepito con ilproblema dell�interesse composto ed è venuto alla luce solo dopo la comparsa deilogaritmi, il primo deve essere vecchio quanto il cerchio ed anche il luogo di nascitaè sconosciuto.

BABILONESI, EGIZI, EBREI.

Iniziamo la nostra storia in Mesopotamia, circa nel 2000 a.C.. In alcune tav-olette d�argilla scritte in caratteri cuneiformi si trovano regole per il calcolo diaree e perimetri che danno le stime � = 3 e � = 3 + 7=60 + 30=3600 = 3; 125.In altre tavolette della stessa epoca si legge: �La lunghezza è 4 e la diagonale 9.Quant�è la larghezza? 4 per 4 è 16, 5 per 5 è 25, se da 25 si toglie 16 rimane9 e per ottenere 9 si deve moltiplicare 3 per 3. La larghezza è 3�. Nella tavo-letta Plimpton 322 ci sono delle liste di numeri che possono essere interpretaticome terne pitagoriche a2 + b2 = c2, con i rapporti a2=b2 che sono i quadratidella cotangente di un angolo del triangolo con lati (a; b; c). Forse è l�inizio dellatrigonometria. Nella tavoletta YBC 7289, accanto alla diagonale di un quadrato,si trova il numero 1 + 24=60 + 51=602 + 10=603 = 1; 414212:::. Se il lato è uno, ladiagonale è

p2 = 1; 414213:::. Ci sono anche tavolette in cui compaiono equazioni

esponenziali. �In quanto tempo un interesse del 20% raddoppia il capitale in-iziale?� Si tratta dell�equazione (1 + 20=100)x = 2 con soluzione x = 3; 80:::. Lasoluzione babilonese probaabilmente ottenuta tabulando (6=5)n ed interpolandolinearmente tra 3 e 4, è invece 3 + 47=60 + 13=602 + 20=603 = 3; 78:::, 3 anni 9mesi 13 giorni. Infatti (6=5)3 = 216=125, (6=5)4 = 1296=625, (x� 3) = (4� 3) =(2� 216=125) = (1296=625� 216=125), x = 409=108.Il papiro Golenischef del 1850 a.C. contiene una formula approssimata per

il calcolo della super�cie di una semisfera e la formula esatta del volume di untronco di piramide. Anche nel papiro Rhind datato intorno al 1700 a.C., �Per laconoscenza di tutte le cose e gli oscuri segreti... copiato da Ahmes nel 4o mesedella stagione dell�inondazione nel 33o anno del regno del re dell�alto e basso Egitto

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Auserre...�, ci sono alcuni problemi collegati alla costruzione delle piramidi. �Labase di una piramide è 360 cubiti e l�altezza 250. Quant�è l�inclinazione? Dividi360 per 2, 180, dividi 180 per 250, 1/2+1/5+1/50, moltiplica per 7, 5+1/25.�L�inclinazione viene misurata dal rapporto tra lo spostamento orizzontale in palmie quello verticale in cubiti e, siccome un cubito sono sette palmi, questa incli-nazione è 7 volte la cotangente dell�angolo. Per il calcolo dell�area di un cerchionel papiro copiato dallo scriba Ahmes si trova la seguente regola:

�Modo di operare per un campo rotondo di 9 khet. Quant�è l�area? Prendi 1/9di esso, cioè 1, il resto è 8, moltiplica 8 per 8, viene 64. Questa è l�area, 64 setat.

Fai così:1 1=99 1

, tolto questo rimane 8,1 2 4 88 16 32 64

, l�area è 64 setat.�

Secondo Ahmes, un cerchio con diametro 9ha la stessa area di un quadrato con lato 8.Se dai vertici del quadrato circoscritto alcerchio si tolgono 4 triangoli rettangoli dilato 3, si ottiene un ottagono con area 63.Questo ottagono è poco più piccolo delcerchio e 63 è poco meno di 64. Di fattol�area del cerchio è �(9=2)2 = 63; 617:::.

Un setat è un khet quadrato, un khet è cento cubiti, un cubito sono settepalmi ed un palmo quattro dita, misurandosi le dita si arriva alla stima di uncampo del diametro di 450 metri. Generalizzando, per quadrare un cerchio bastatogliere 1/9 del diametro e costruire un quadrato sul rimanente. Se D = 2R èil diametro, la stima per l�area è (D �D=9)2 = 256=81R2 = 3; 16:::R2. Gli egiziusano solo frazioni con numeratore uno, se invece di 1/9 del diametro si toglie 1/8o 1/10 l�approssimazione peggiora. La piramide di Cheope ha base di 440 cubitie altezza 280, il rapporto tra perimetro di base e altezza 44/7 è molto prossimoa 2�. Questo ed altro danno adito a parecchie speculazioni sui costruttori dellagrande piramide, ma secondo Erodoto le dimensioni sono tali che la super�cie diogni faccia è uguale al quadrato dell�altezza. Se L ed A sono il lato e l�altezza,2L=A =

pp20� 2 = 3; 144:::. Il rapporto tra lato e altezza della piramide del

sole maya è invece prossimo a �. La congettura naturale è che per ogni " > 0

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esiste un n tale che ogni insieme di nmisure ne contiene almeno due il cui rapportodi¤erisce da � per meno di ".Nel �Libro dei Re� e nelle �Cronache�, descrivendo la costruzione del Tempio

di Salomone nel X secolo a.C., si stima che il rapporto tra la circonferenza ed ildiametro di un cerchio è circa uguale a 3:

�Fece un bacino di metallo fuso di dieci cubiti da un orlo all�altro, rotondo; lasua altezza era di cinque cubiti e la sua circonferenza di trenta cubiti.�

Per alcuni commentatori il diametro è esterno e la circonferenza interna, tenendoconto dello spessore il conto torna. Per altri, ancor più fondamentalisti, il rap-porto tra circonferenza e diametro è cambiato nel tempo. Per i più tolleranti, unerrore relativo (� � 3) =� inferiore al 5% è un peccato veniale.

LA MATEMATICA GRECA.

Nel VI secolo a.C. Talete di Mileto e Pitagora di Samo importano in Grecia leconoscenze matematiche egizie e babilonesi ed alla scuola pitagorica si attribuiscela scoperta che non esiste un sottomultiplo comune del lato e della diagonale di unquadrato, cioè

p2 non è un rapporto tra numeri interi. Questa è forse la prima

dimostrazione di impossibilità in matematica. Se il rapporto tra diagonale e latodi un quadrato è un numero complicato, �guriamoci il rapporto tra circonferenzae diametro di un cerchio. Nel V secolo a.C. tra i primi a cercare di quadrare uncerchio, cioè costruire un quadrato con la stessa area di un dato cerchio, troviamoAnassagora di Clazomene, che si occupa di questo problema mentre è in prigionecon l�accusa di empietà per opinioni cosmologiche contrarie alla natura divinadegli astri, il Sole è un sasso incandescente e la Luna è fatta di terra e non brilladi luce propria. Sempre nel V secolo a.C. il so�sta Antifonte enuncia, più omeno, il principio di esaustione. Si parte da un poligono regolare inscritto inun cerchio e su ogni lato si costruisce un triangolo isoscele con vertice sul puntomedio dell�arco, ottenendo in questo modo un poligono regolare con un numerodoppio di lati. Ripetendo più volte la costruzione, il poligono tende a confondersicon la circonferenza, quindi se è possibile quadrare un poligono, allora deve ancheessere possibile quadrare un cerchio. Secondo Aristotele, �anche ammettendo laquadratura del cerchio possibile�, l�argomentazione �non è fondata sui principi�.Ma se dal punto di vista di un logico o di un matematico puro la conclusione non ècorretta, per un matematico applicato l�algoritmo funziona, perché i triangoli chesi costruiscono ad ogni passo riempiono più della metà della regione tra cerchio e

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poligono e l�errore si riduce di più della metà. Brisone di Eraclea ritiene che l�areadi un cerchio sia la media aritmetica delle aree dei poligoni inscritti e circoscritti.Ippia di Elide costruisce una curva poi usata da Dinostrato, Nicomede, e altri,per trisecare gli angoli e quadrare i cerchi. Aristofane nella commedia �Uccelli� siprende gioco di questi geometri che sprecano il loro tempo cercando di trasformareun cerchio in quadrato.

La quadratrice di Ippia è intersezione tra una retta uniformemente ruotataed una uniformemente traslata. Se i fasci di rette traslate e ruotate hannoequazioni x = 1� # e y=x = tan (�#=2) , l�intersezione è y = x cot (�x=2)

ed al limite per x! 0 si ha x cot (�x=2)! 2=�.

Ippocrate di Chio, omonimo e contemporaneo del medico, dopo vani sforzi diquadrare un cerchio per primo riesce a quadrare delle regioni curve, le lunule. Inparticolare, è attribuito ad Ippocrate un risultato poi riscoperto dal matematicoarabo medioevale Ibn Alhaitam e da Leonardo da Vinci (1452-1519). Se sui latidi un triangolo rettangolo si tracciano tre semicerchi, per il teorema di Pitagora lasomma delle aree dei semicerchi costruiti sui cateti è uguale all�area del semicerchiocostruito sull�ipotenusa. La somma delle aree delle due lunule interne ai semicerchisui cateti ed esterne al semicerchio sull�ipotenusa che passa per i tre vertici deltriangolo è uguale all�area del triangolo. Per quadrare queste lunule basta poiquadrare il triangolo.

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Le lunule di Ippocrate.

Se sui lati di un quadrato inscritto in un cerchiosi tracciano quattro semicirconferenze, le quattro

lunule hanno area uguale al quadrato.

Se sui lati di un esagono regolare inscritto inun cerchio si tracciano sei semicirconferenze,sei lunule più due semicirconferenze hanno

area uguale all�esagono.

Le lunole diLeonardo da Vinci.

�Qui sempre li due semicirculi a, b insieme sono equali al terzo, dov�èfatto l�ortogonio. E se a cose equali si leva la parte equale, il rimanente

saranno equali. Se dunque che tolto il depennato (ch�è doppio) allo a e toltoal b restano le e lunole; e di poi, tolto il depennato al semicirculo maggiore nche vale a due predetti, seguita che n, ortogonio resta equale alle due lunolea, b; resta a dare la parte dell�ortogonio a esse due lunole che sia quadrabile,

la qual si farà nell�angolo delle proporzioni.�

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Le lunghezze hanno dimensione uno, le aree dimensione due, i volumi dimen-sione tre. In particolare, il perimetro di un cerchio deve essere proporzionale alraggio e l�area al quadrato del raggio, la super�cie di una sfera deve essere pro-porzionale al quadrato del raggio ed il volume al cubo. Infatti, nel XII Libro degli�Elementi� di Euclide (III secolo a.C.) insieme alla determinazione dei volumi dicilindri e coni si trovano le seguenti proposizioni:

�I cerchi stanno tra loro come i quadrati dei diametri.��Le sfere stanno tra loro in ragione triplicata rispetto a quella dei diametri.�

Pare che questi enunciati siano essenzialmente dovuti ad Ippocrate, ma le di-mostrazioni sono basate sulla teoria della proporzioni e sul principio di esaustionedi Eudosso di Cnido (IV secolo a.C.).Il primo postulato negli �Elementi� di Euclide asserisce che si può tracciare

una retta per due punti dati ed il terzo che si può tracciare un cerchio di datocentro e raggio. Queste sono le costruzioni con riga e compasso. Problemi classicidella geometria greca sono la trisezione dell�angolo, la duplicazione del cubo, laretti�cazione e quadratura del cerchio, possibilmente con il solo utilizzo di questimezzi.

La duplicazione del cubodi Ippocrate e Menecmo.

Per costruire un cubo con volume x3 : a3 = b : a basta trovare due medieproporzionali tra i dati a e b, a : x = x : y = y : b. Infatti, a3 : x3 = (a : x)3

= (a : x)(x : y)(y : b) = a : b. Il punto (x; y) è l�intersezione tra le parabolex2 = ay e y2 = bx e l�iperbole xy = ab.

Ippocrate osserva che, se per duplicare un quadrato basta inserire una mediaproporzionale tra 1 e 2, 1 : x = x : 2, per duplicare un cubo basta inserirne due,1 : x = x : y = y : 2. Per ottenere una scala musicale temperata, J.S.Bach divideun�ottava in 12 semitoni inserendo 11 medie proporzionali tra 1 e 2. Menecmo (IVsecolo a.C.), tagliando un cono con base circolare, scopre le coniche e dimostra che

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intersecando queste curve si possono sia duplicare i cubi che trisecare gli angoli.Sempre per risolvere questi problemi, Diocle (II secolo a.C.) introduce la cissoide(a� x)y2 = x3 e Nicomede (II secolo a.C.) la concoide (a� x)2 (x2 + y2) = b2x2.Per esempio, i punti della cissoide y= (a� x) = (y=x)3 sono intersezione dellerette y=(a� x) = t e y=x = 3

pt. Se la prima retta interseca l�asse x = 0 in (0; at),

la seconda interseca l�asintoto x = a in�a; a 3pt�. Quindi con la cissoide, o con

qualche altra curva di terzo grado, si possono estrarre le radici cubiche.

La cissoidedi Diocle.

Se A e B sono due punti di intersezione di una retta per un punto O condue curve � e � e se P è un punto sulla retta tale che jP �Oj = jA�Bj ,al variare della retta il luogo dei punti P è a cissoide di � e � rispettoad O. Partendo da un cerchio, una sua tangente ed il punto sul cerchio

opposto al punto di contatto, si ottiene la cissoide di Diocle.

La concoidedi Nicomede.

Se A è un punto di intersezione di una retta per un punto �sso O con unacurva �, sulla retta esistono due punti P e Q tali che jP � Aj = jQ� Aj =k, costante �ssata. Al variare della retta il luogo di questi punti P e Q èla concoide di � rispetto ad O. Quella di Nicomede è la concoide di unaretta rispetto ad un punto. La concoide di Nicomede è anche la cissoide

di una retta ed un cerchio rispetto al centro del cerchio.

Accanto a queste curve algebriche, i greci ne introducono anche di trascendenti.La quadratrice di Ippia e Dinostrato è il luogo dei punti intersezione di una retta

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traslata ed una ruotata con moto uniforme. Se i fasci di rette traslate e ruotatehanno equazioni x = 1�# e y=x = tan (�#=2), l�intersezione è y = x cot (�x=2) edal limite per x! 0 si ha x cot (�x=2)! 2=�. È semplice costruire dei dispositiviche permettono di tracciare la cissoide e la concoide, un poco più complicato ètracciare la quadratrice di Ippia. Anzi, nella de�nizione di rotazione uniformesembra essere implicitamente già presente la misura degli archi di cerchio che sivogliono misurare. Comunque, con queste curve è possibile trisecare gli angoli equadrare i cerchi, ma in modo �meccanico�, non �geometrico�. Questo contrastacon l�ideologia dell�Accademia di Platone (427-348 a.C.), perché �procedendo inmodo meccanico si perde il meglio della geometria�. Insomma, le costruzioni geo-metriche perfette sono solo quelle con riga e compasso. Il problema della trisezionedell�angolo è quello di dividere un dato angolo in tre parti uguali utilizzando solola riga ed il compasso. Il problema della duplicazione del cubo è quello di costru-ire con riga e compasso il lato di un cubo con volume doppio di un cubo dato.Il problema della retti�cazione e quadratura del cerchio è quello di costruire conriga e compasso un segmento con la stessa lunghezza di una data circonferenza edun quadrato con la stessa area di un dato cerchio. Insomma, �ssata una unità dimisura, si tratta di costruire con riga e compasso dei segmenti di lunghezza 2� ep�.A parte le lunule di Ippocrate, la prima quadratura esatta di una regione

curva sembra essere quella della parabola, dovuta ad Archimede di Siracusa (287-212 a.C.). A lui si attribuiscono le famose a¤ermazioni �Eureka� e �Datemi unpunto d�appoggio e solleverò il mondo�. In e¤etti, se con leve reali Archimedecostruisce macchine da guerra per difendere la sua città, con leve immaginarietrova una quadratura meccanica della parabola. Questa quadratura meccanicaviene presentata nel trattato sulla �Quadratura della parabola�, insieme ad unaquadratura geometrica basata sul principio di esaustione.

La �Quadratura della parabola�di Archimede.�Qualunque segmento compreso tra unaretta e una sezione di cono rettangolo èquattro terzi del triangolo con la stessa

base e uguale altezza.�

In un segmento di parabola delimitato da una corda AB si iscrive un triangoloABC, con C il punto della parabola con tangente parallela alla corda AB. Le

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corde AC e CB delimitano due nuovi segmenti di parabola e i triangoli inscritti inquesti segmenti hanno ciascuno area 1/8 del precedente. Iterando la costruzionesi ottiene un�in�nità di triangoli che riempiono il segmento di parabola e la sommadelle aree di questi triangoli è una serie geometrica,�

1 + 1=4 + 1=42 + 1=43 + :::�ABC = 4=3 ABC:

Il risultato, espresso in modo geometrico, è equivalente alla formulaZ x

0

t2dt =

x3=3. Nella matematica greca le lunghezze, aree e volumi non sono numeri, magrandezze che vengono confrontate con grandezze della stessa specie. Il formalismoalgebrico a cui siamo abituati è piuttosto recente.

Archimedee la quadraturameccanica dellaparabola.

Su un segmento di parabola si costruisce un triangolo rettangolo conipotenusa sulla tangente alla parabola ed un cateto sulla base del segmento,poi si raddoppia il segmento di base. Se si considera questo doppio segmentocome una leva con fulcro nel punto di mezzo, le sezioni di triangolo con retteparallele ad un cateto bilanciano le sezioni di parabola spostate all�estremodella leva, quindi tutto il triangolo lasciato dove sta bilancia esattamente ilsegmento di parabola spostato all�estremo della leva. Siccome il baricentrodel triangolo si trova ad un terzo dell�altezza, il triangolo ha un�area tripla

del segmento di parabola.

Nel trattato �Sulle spirali� Archimede de�nisce una curva descritta da unpunto che si muove uniformemente su una semiretta che a sua volta ruota uni-formemente intorno al suo estremo, in coordinate polari � = �#. L�area e lalunghezza di un tratto di spirale sono rispettivamente

Z #

0

(�2=2) d# = (�2=2)

Z #

0

#2d# = �2#3=6;Z #

0

q(d�)2 + (�d#)2 = �

Z #

0

p1 + #2d# = (�=2)

�#p1 + #2 � log

�p1 + #2 � #

��:

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Anche la lunghezza del tratto di parabola y = x2=2 dal vertice al punto (x; y) è

data dall�integraleZ x

0

p1 + x2dx. Non conoscendo i logaritmi, Archimede calcola

le aree ma non le lunghezze.

La spirale di Archimede.�Se si traccia nel piano una linea retta edessa con un�estremo �sso viene ruotatacon velocità costante, se al tempo stessosulla linea rotante si trasporta un puntocon moto uniforme a partire dall�estremo�sso, il punto descrive una spirale.�

�L�area delimitata dalla spirale e dalla retta ritornata nella posizioneda cui è partita è la terza parte del cerchio con centro nel punto �ssoe raggio uguale alla distanza percorsa lungo la retta dal punto mobilein una rivoluzione. L�area delimitata dalla prima rivoluzione è un sestodi quella aggiunta nella seconda. Le aree aggiunte nelle rivoluzionisuccessive sono multipli dell�area aggiunta nella seconda, l�areadella terza è il doppio della seconda, la quarta il triplo,...�

Sempre di Archimede sono le formule per il perimetro e l�area del cerchio e perla super�cie ed il volume della sfera. La �Misura del cerchio� contiene tre soleproposizioni:

�Ogni cerchio è uguale ad un triangolo rettangolo se ha il raggio uguale ad uncateto e la circonferenza uguale alla base.��Il cerchio ha con il quadrato del diametro il rapporto che 11 ha con 14.��La circonferenza di un cerchio è tripla del diametro e lo supera ancora di

meno di un settimo del diametro e di più di dieci settantunesimi.�

3 + 10=71 < � < 3 + 1=7:

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Un cerchio si può decomporre in triangoli con altezza il raggio e sommadelle basi la circonferenza. L�area del cerchio è il prodotto del raggio

per metà circonferenza.

Secondo un commentatore quest�opera ha intendimenti pratici, �È un libro nec-essario per i bisogni della vita�. Pare che in un�opera andata perduta Archimedeabbia ottenuto delle approssimazioni di � più precise ed è probabile che l�operapervenutaci sia un sunto e qualche copista abbia invertito l�ordine delle propo-sizioni, infatti la seconda proposizione presuppone la prima, la terza poi non è unrisultato esatto ma una stima dell�area con � � 22=7.

I poligoni regolari con n lati inscritti ecircoscritti in una circonferenza di raggio

uno hanno lati 2 sin (�=n) e 2 tan (�=n) e per iperimetri di questi poligoni vale la disuguaglianzan sin (�=n) < � < n tan (�=n) . L�approssimazioneè dominata da n tan (�=n)� n sin (�=n) < �3=n2 eraddoppiando i lati l�approssimazione migliora

di un fattore quattro.

Archimede ottiene delle approssimazioni per difetto ed eccesso di � iscrivendoe circoscrivendo ad un cerchio dei poligoni regolari. I poligoni regolari con n latiiscritti e circoscritti in una circonferenza di raggio uno hanno lati 2 sin(�=n) e2 tan(�=n), quindi i perimetri di questi poligoni inscritti e circoscritti sono rispet-tivamente P (n) = 2n sin(�=n) e Q(n) = 2n tan(�=n), si ha P (n) < 2� < Q(n)e aumentando il numero dei lati l�approssimazione migliora. Archimede ricavaQ(2n) prendendo la media armonica tra P (n) e Q(n) e poi ricava P (2n) pren-dendo la media geometrica tra P (n) e Q(2n):

16

Q(2n) =2Q(n)P (n)

Q(n) + P (n); P (2n) =

pQ(2n)P (n):

La veri�ca di queste formule è un esercizio di trigonometria. Un modo alterna-tivo per ottenere P (2n) in funzione di P (n) e Q(2n) in funzione di Q(n) consistenell�applicare le formule di bisezione del seno e della tangente,

P (2n) = 4n � sin (�=2n) = 2n �q2� 2

p1� sin2 (�=n)

= 2n �r2�

q4� (P (n)=n)2:

In questo modo, partendo dall�esagono regolare iscritto in un cerchio che haperimetro sei volte il raggio e raddoppiando ripetutamente i lati si ottiene

6 sin(�=6) = 3;

12 sin(�=12) = 6 �p2�

p3;

24 sin(�=24) = 12 �q2�

p2 +

p3;

48 sin(�=48) = 24 �r2�

q2 +

p2 +

p3;

96 sin(�=96) = 48 �

s2�

r2 +

q2 +

p2 +

p3; :::

Il calcolo numerico di radici quadre senza un adeguato sistema di numer-azione non è banale. Partendo dagli esagoni inscritti e circoscritti con perimetri12 sin(�=6) = 6 e 12 tan(�=6) = 12=

p3, Archimede approssima 1=

p3 = 0; 5773502:::

dal di sotto con 780=1351 = 0; 5773501::: e dal di sopra con 153=265 = 0; 577358:::.Poi, utilizzando un�aritmetica degli intervalli per controllare gli errori, stima perdifetto ed eccesso il perimetro di poligoni con 12, 24, 48, 96 lati. Il risultato�nale 3 + 10=71 = 3; 140::: < � < 3 + 1=7 = 3; 142::: è un�approssimazione di� a meno di 22=7 � 223=71 = 1=497. Per diagnosticare una forma maligna del�morbus cyclometricus�, il più delle volte è su¢ ciente confrontare una presuntaquadratura del cerchio con queste stime, ma spesso non ci si arrende neanche difronte all�evidenza.Se in un cilindro con base circolare ed altezza metà del diametro di base si

iscrive una semisfera e nella semisfera si iscrive un cono, il volume del cono risultauguale ad un terzo del cilindro e si può congetturare che la sfera, intermedia tra

17

cono e cilindro, sia due terzi del cilindro. Questa congettura è corretta. Nel trat-tato �Sul cilindro e la sfera�, ideale continuazione del XII Libro degli �Elementi�di Euclide, si trovano le seguenti proposizioni:

�La super�cie di una sfera è quadrupla del suo cerchio massimo.��La sfera è quadrupla del cono con base uguale al cerchio massimo e altezza

uguale al raggio.��Un cilindro con base il cerchio massimo della sfera e altezza il diametro è una

volta e mezza la sfera e la sua super�cie, comprese le basi, è una volta e mezza lasuper�cie della sfera.�

Più in generale, Archimede trova anche volumi ed aree di calotte sferiche:

�La super�cie di un segmento sferico è uguale ad un cerchio con raggio ladistanza tra il vertice del segmento e la circonferenza di base.��Un settore sferico è uguale ad un cono con base uguale alla super�cie del

segmento sferico ed altezza il raggio della sfera.�

�Sul cilindro e la sfera�.�Un cilindro con base il cerchio massimodi una sfera ed altezza il diametro è unavolta e mezza la sfera e la sua super�cie,basi comprese, è una volta e mezza

la super�cie della sfera.�

Questi risultati sono dimostrati in modo rigorosamente geometrico, ma nel�Metodo�Archimede spiega ad Eratostene di Cirene (276-194 a.C.) come sia ar-rivato a �scoprire certe verità matematiche per mezzo della meccanica�.

18

�Archimede ad Eratostene salute...Ti scrivo per esporti un certo metodoche ti darà la possibilità di trattareproblemi matematici per mezzo della

meccanica...�

Tagliamo il cilindro fy2 + z2 � 4R2; 0 � x � 2Rg , il conofy2 + z2 � x2; 0 � x � 2Rg e la sfera fx2 + y2 + z2 � 2Rxg con la

famiglia di piani fx = tg . Pensando all�asse x come una leva con fulcroin x = 0, le sezioni di sfera � (2Rt� t2) e cono �t2 spostate in x = �2Rbilanciano la sezione del cilindro 4�R2 lasciata in x = t, quindi la sferaed il cono con baricentri in x = �2R bilanciano il cilindro con baricentroin x = R. Se il volume del cilindro 8�R3 è il doppio del cono 8=3�R3 piùla sfera, il volume della sfera è 4=3�R3. In modo analogo è anche possibilecalcolare il volume di segmenti di sfera. In�ne, come un cerchio è equivalentead un triangolo con base il perimetro del cerchio ed altezza il raggio, cosìuna sfera è equivalente ad un cono con base la super�cie della sfera ed

altezza il raggio. Quindi la super�cie della sfera è 4�R2.

Compiaciuto dell�elegante rapporto tra volume e area del cilindro e della sfera,Archimede chiede che sulla sua tomba sia incisa una sfera inscritta in un cilindro.Sembra che le ultime parole di Archimede al soldato che lo avrebbe ammazzatosiano state: �Noli tangere circulos meos�. Non sappiamo se siano state pronunci-ate in greco o in latino, ma tradotte in varie lingue sono entrate nell�uso comune.

�Il centro del corpo umano è l�ombelico. Se un uomo allarga le braccia ele gambe, le dita delle mani e dei piedi toccano la circonferenza descritta da uncompasso centrato nell�ombelico. E come il corpo umano dà un contorno circolare,così è possibile trovarvi una �gura quadrata. Se si misura l�altezza dai piedi allatesta e la larghezza delle braccia distese, queste risultano le stesse.�

Oltre a queste interessanti speculazioni, nel �De architectura�M.Vitruvio (Isecolo a.C.) descrive l�odometro, un congegno che contando i giri di una ruota

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permette di misurare le distanze, e usa 3 + 1=8 come approssimazione di �. Se inmolte applicazioni pratiche una semplice formula approssimata può essere più ef-�ciente di una complicata formula esatta, nei calcoli astronomici è spesso richiestala miglior precisione possibile. Aristarco di Samo (III secolo a.C), un precursoredi N.Copernico (1473-1543) nel formulare l�ipotesi eliocentrica, nel trattato �Sulledimensione e distanze del Sole e della Luna�osserva che quando la Luna ci mostraesattamente metà della sua faccia l�angolo Terra Luna Sole è retto. Misura alloral�angolo Luna Terra Sole e lo trova di 87o. Ne deduce che l�angolo Luna SoleTerra è 3o ed il rapporto tra le distanze Terra Luna e Terra Sole è sin (�=60),più di 1/18 e meno di 1/20. Il Sole e la Luna visti dalla Terra sembrano averelo stesso diametro, infatti durante le eclissi il disco della Luna copre esattamentequello del Sole. A partire dalle distanze stimate e dalle dimensioni apparenti,Aristarco deduce che il Sole deve avere un volume 7000 volte la Luna. Il ragiona-mento corretto ha una conclusione viziata da un errore di misura, l�angolo non è87o ma circa 89o500, il rapporto tra le distanze circa 1/350 ed il rapporto tra i vo-lumi circa 1/64000000. In�ne, dalle eclissi di Luna Aristarco stima che il rapportotra i diametri del Sole e della Terra è tra 19/3 e 43/6, una stima più corretta è1/109. Un calcolo più fortunato è dovuto a Eratostene. Questi misura al solstiziod�Estate l�altezza del Sole ad Alessandria e a Siene, una a Nord e l�altra a Sudsullo stesso meridiano. Quindi dalle di¤erenti altezze del Sole, un cinquantesimodi cerchio, e dalla distanza tra le due città, 5000 stadi, deduce che la circonferenzadella Terra è circa 250000 stadi, un errore del 1% rispetto al valore reale di 40000Km. Altri fanno conti simili, misurando l�altezza di certe stelle sull�orizzonte adiverse latitudini, comunque stime più precise della lunghezza di un meridianoterrestre sono ottenute solo nel XVII secolo d.C., utilizzando una tecnologia piùso�sticata ma ancora la stessa matematica di Eratostene. Anche Fidia, il padre diArchimede, si occupa delle dimensioni del cosmo ed il �glio nell��Arenario�, dopoaver introdotto un opportuno sistema di numerazione, stima che si possa riempirel�intero universo con al più 1063 granelli di sabbia.La creazione della trigonometria piana e sferica è motivata dalla necessità

di una geometria ed astronomia quantitative. Ipparco di Nicea (II secolo a.C.)e Menelao (I secolo a.C.), tra i primi ad occuparsi di trigonometria, costruis-cono delle tavole di corde in un cerchio. Anche la �Sintassi matematica�, o �Al-magesto�, di C.Tolomeo (87-165 d.C.) contiene una tavola delle corde:

�Costruiremo ora una tavola di queste rette, dividendo la circonferenza in 360parti. Tutti gli archi della nostra tavola andranno crescendo di mezzo grado edaremo per ognuno di questi archi il valore della corda, supponendo il diametro di-

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viso in 120 parti... Adopereremo la divisione sessagesimale per evitare le frazioni,e nelle moltiplicazioni e divisioni prenderemo sempre i valori più approssimati...�

La stima per la corda di un grado è 1+2=60+50=602, da cui si ricava, moltipli-cando per 360 gradi e dividendo per il diametro 120, il rapporto tra circonferenzae diametro 3+8=60+30=602 = 3:141666:::. Se ai numeratori delle ultime frazionisi aggiungono o tolgono delle unità le approssimazioni peggiorano.

INDIA E CINA.

Sia in India che in Cina si ottengono ottime approssimazioni di �. Apastamba(IV secolo a.C.) in una costruzione di un quadrato uguale ad un cerchio implici-tamente pone � uguale a 3,09. Nei �Nove capitoli dell�arte matematica� di LiuHui (III secolo d.C.) si trova la seguente regola pratica per stimare l�area di uncampo circolare:

�Per trovare l�area di un cerchio... moltiplica metà circonferenza per metàdiametro. Oppure moltiplica il diametro per sé stesso, poi per tre e dividi perquattro. Oppure moltiplica la circonferenza per sé stessa e dividi per dodici.�

Il primo metodo è corretto, gli altri due presuppongono � uguale a 3, comunqueLiu Hui sa che questa è solo un�approssimazione.

L�approssimazione di Liu Hui.

Se l(n) e a(n) sono lato ed apotema di un poligono regolare con n

lati inscritto in un cerchio di raggio r, si ha a(n) =qr2 � (l(n)=2)2 e

l(2n) =q(l(n)=2)2 � (r � a(n))2. Se A(n) = na(n)l(n)=2 è l�area del

poligono ed A l�area del cerchio, si ha anche A(2n) = nrl(n)=2 eA(2n) < A < A(n) + 2 (A(2n)� A(n)) .

Utilizzando il teorema di Pitagora, Liu Hui calcola le aree dei poligoni regolaricon 6, 12, 24, 48, 96 e 192 lati inscritti in un cerchio di raggio 10 ed ottiene la

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stima � � (314 + 4=25) =100 = 3; 1416. La stessa stima 62832=20000 = 3; 1416 èottenuta da Aryabhata (475-550) con un poligono di 384 lati:

�Aggiungi 4 a 100, moltiplica la somma per 8 e aggiungi 62000. Il risultatoè approssimativamente la circonferenza di un cerchio con diametro 20000... Per-ché diamo un�approssimazione invece del valore esatto? Perché il rapporto tracirconferenza e diametro non si può esprimere come rapporto tra numeri interi�.

Brahmagupta (VI secolo d.C.) suggerisce 3 come �valore pratico� ep10 =

3; 162::: come �valore esatto�. Questa è una stima piuttosto popolare per tutto ilmedio evo, sia in oriente che in occidente. Zu Chongzhi (430-501) con il metododi Liu Hui ed un poligono di 24576 lati trova le approssimazioni 3; 1415926 < � <3; 1415927. Con queste stime a partire dal raggio si potrebbe calcolare la circon-ferenza della Terra con un�approssimazione inferiore al metro. Zu Chongzhi sug-gerisce anche le approssimazioni razionali 22/7 e 355/113. La frazione 355=113 =3; 1415929::: è ritrovata da A.A.Metius (1527-1607), che dimostra in modo archimedeola disuguaglianza 333=106 < � < 377=120 e poi prende la media aritmetica deinumeratori e dei denominatori. Per meglio apprezzare questi risultati osserviamoche 22/7 e 355/113 sono ridotte dello sviluppo in frazioni continue di �,

� = 3 + 0; 1415926535::: = 3 +11

0; 1415926535:::

= 3 +1

7 +11

0; 0625133059:::

= 3 +1

7 +1

15 +1

1 +1

292 + :::

:

Le ridotte dello sviluppo in frazioni continue di � danno le approssimazioni

3 <333

106< � <

355

113<22

7:

La stima �inaccurata� 3 + 1=7 = 22=7 è la migliore approssimazione di �con frazioni di denominatore minore o uguale a 7, mentre la stima �accurata�3 + 1=(7 + 1=(15 + 1=1)) = 355=113 è la migliore approssimazione con frazionidi denominatore minore o uguale a 113. Questa approssimazione è molto buonaperché il termine successivo nello sviluppo in frazioni continue 292 è piuttostogrande, aggiungendo questo termine si ottiene l�approssimaziome 103993/33102con nove decimali corretti.

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Lasciamo ora il cerchio per occuparci della sfera. Nei �Nove capitoli dell�artematematica� di Liu Hui si trova la seguente regola, che ha un errore relativo dipoco superiore al 2%:

�Moltiplica il volume della sfera per 16 e dividi per 9, poi prendi la radicecubica. Il risultato è il diametro.�

L�idea è la seguente. Si parte da una sfera inscritta in un cilindro inscrittoin un cubo. Le sezioni del cilindro e del cubo con piani paralleli alle basi hannorapporto �=4, quindi anche il rapporto tra i volumi del cilindro e del cubo è�=4. Assumendo che anche il rapporto tra i volume della sfera e del cilindro siacirca �=4, si arriva ad un rapporto tra i volumi della sfera e del cubo di �2=16,che diventa 9/16 se si stima � uguale a 3. Comunque Liu Hui è ben coscienteche queste sono solo approssimazioni. Infatti osserva che se si intersecano i duecilindri fx2 + z2 � 1g e fy2 + z2 � 1g, le sezioni di questa �gura con i piani dinormale z sono quadrati di area 4 (1� z2). Questi stessi piani tagliano la sferafx2 + y2 + z2 � 1g in cerchi di area � (1� z2). Quindi il rapporto tra il volumedella sfera ed il volume dell�intersezione dei cilindri è esattamente �=4. Il volumedell�intersezione dei cilindri, già noto ad Archimede, è poi calcolato da Zu Gengzhi(VI secolo d.C.), �glio di Zu Chongzhi, che osserva che le sezioni con i pianidi normale z della regione interna al cubo fjxj � 1; jyj � 1; jzj � 1g ed esternaall�intersezione tra i cilindri hanno area 4z2, esattamente come le sezioni di unapiramide con base di area 4 ed altezza 1. Quindi il volume dell�intersezione trai cilindri è uguale al volume del cubo meno il volume di due piramidi, quindi ilvolume di una sfera di raggio uno è (4=3)�. Osserviamo che nella dimostrazione diquesti risultati sia Liu Hui che Zu Gengzhi utilizzano sistematicamente il principiodi B.Cavalieri (1598-1647), che Zu Gengzhi enuncia così:

�Se si costruiscono dei volumi sovrapponendo delle aree e se le aree corrispon-denti sono uguali, allora i volumi non possono essere diversi�.

ULTIMI SEGUACI DI ARCHIMEDE.

In un testo dell�anno 1000 si ritrova la regola di Ahmes per la quadratura delcerchio: �Circumducto quantolibet circulo, alterum circulum interiorem exterioricirculo nona parte contractiorem, aequos habebis quadratum et circulum�. In altritesti le regole sono di¤erenti e c�è chi commenta: �Hi omnes a veritate longeabsunt�. Nel �Libro d�abaco� di Leonardo da Pisa, il Fibonacci (1180-1250), sitrova il seguente problema:

23

�Quante coppie di conigli si ottengono in un anno se, iniziando con una coppia,ciascuna coppia produce ogni mese una nuova coppia che diviene produttiva alsecondo mese della sua esistenza?�

Il modello teorico prevede una crescita esponenziale, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...,ma nella realtà dopo qualche mese le simpatiche bestiole sono pronte per esserecucinate. Il Fibonacci importa dall�oriente in Italia il sistema di numerazionedecimale. Con questo sistema il calcolo numerico risulta facilitato e Fibonacci,dichiarando di poter far meglio di Archimede, trova un�approssimazione di � contre decimali corretti. Dai poligoni inscritti e circoscritti con 96 lati ottiene i valori1440=(458+4=9) e 1440=(458+1=5) e, prendendo una media, 1440=(458+1=3) =3; 1418:::. Inizia a di¤ondersi il �morbus decimalium�. A Samarcanda l�astronomoAl Kashi (XV secolo), per calcolare la circonferenza di un cerchio grande comel�intero universo con un�approssimazione inferiore ad un crine di cavallo, con unpoligono di 3 � 228 lati calcola le prime sedici cifre decimali di 2�,

6 +16

60+59

602+28

603+

1

604+34

605+51

606+46

607+14

608+50

609:

Di fatto, il rapporto tra la distanza della Terra dal Sole e lo spessore di uncapello è dell�ordine di 1016, sedici decimali sono appena su¢ cienti per calcolarecon l�approssimazione di un capello l�orbita della Terra intorno al Sole. A.Rooman(1561-1615) con un poligono di 230 lati trova quindici decimali di �. Nel 1584S.van der Eycke stima � = 1521=484 = 3; 142:::, ma nel 1585 con un poligonodi 192 lati Ludolph van Ceulen (1540-1610) dimostra che � < 1521=484, van derEycke replica con la stima � = 3; 1416055 e van Ceulen nel 1586 dimostra che3; 14103 < � < 3; 142732. Poi van Ceulen calcola il perimetro di un poligonodi 60 � 233 lati e pubblica nel 1596 i primi venti decimali di �, in�ne ne calcolatrentacinque che vengono anche inscritti sulla sua pietra tombale.

�Hic iacet sepultus Mr. Ludol¤ van Ceulen, professor belgicus dum viveretmathematicarum scientiarum in athenaeo huius urbis, natus hildeshemia anno1540 die XXVIII ianuarii et denatus XXXI decembris 1610, qui in vita sua multolabore circumferentiae circuli proximam rationem ad diametrum invenit sequentem:quando diameter est 100000000000000000000000000000000000 tunc circuli cir-cumferentia plus est quam 3141592653589793233846264338327950288 et minusquam 3141592653589793233846264338327950289.�

Dopo tanta fatica, �requiescat in pace�.

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La quadratura del cerchio è nella sua formulazione originaria un problemageometrico, ma nel 1593 entra in gioco l�analisi. F.Viète (1540-1603) con poligonidi 6 �216 lati stima � compreso tra 3,1415926535 e 3,1415926537, poi pubblica unaformula che, almeno in Europa, è forse la prima espressione analitica in�nita di �:

� =2r

1

2�

s1

2+1

2

r1

2�

vuut1

2+1

2

s1

2+1

2

r1

2� � � �

:

Anche questa formula viene ottenuta con un procedimento archimedeo, par-tendo dall�area di un quadrato iscritto in un cerchio di raggio uno ed ottenendoin modo ricorsivo l�area dei poligoni regolari con 8, 16, 32,... lati. L�area delquadrato è 2, l�area dell�ottagono è 2=

p1=2, l�area del poligono con sedici lati è

2=

�p1=2q1=2 + 1=2

p1=2

�,...

R.Descartes (1596-1650) esprime seri dubbi sulla possibilità di quadrare esat-tamente delle regioni curve: �La geometria non dovrebbe occuparsi di linee chesono come corde, un po�dritte e un po�storte, perché i rapporti tra linee dritte ecurve non sono noti e credo che neanche possano essere scoperti, quindi nessunaconclusione su questi rapporti può essere considerata rigorosa ed esatta�. Co-munque Cartesio invece di quadrare un cerchio trova il modo di rendere rotondoun quadrato. Il diametro del cerchio inscritto in un poligono regolare di perimetrop e m lati è d = p=m cot (�=m). Se xn è il diametro del cerchio inscritto in unpoligono regolare con perimetro 4x0 e 2n+2 lati, allora xn (xn � xn�1) = 4

�nx20. Sipossono così ottenere in modo ricorsivo i diametri dei cerchi inscritti in poligoniisoperimetrici con 4, 8, 16,..., lati e questi diametri convergono al diametro delcerchio isoperimetrico al quadrato.

25

La quadratura delcerchio di Cartesio.

�Per quanto riguarda la quadratura del cerchio, non trovo niente dipiù appropriato che aggiungere ad un quadrato dato di base AB ilrettangolo di base BC con vertice sul prolungamento della diagonaledel quadrato ed area un quarto del quadrato, poi un altro rettangolodi base CD con vertice sul prolungamento della diagonale del quadratoed area un quarto del rettangolo precedente, e così via all�in�nito. Tuttiquesti rettangoli saranno uguali ad un terzo del quadrato e la base AXsarà il diametro di una circonferenza uguale al perimetro del quadrato.Infatti AC è il diametro di un cerchio inscritto in un ottagono con lostesso perimetro del quadrato, OC il diametro di un cerchio inscritto

in una �gura con sedici lati, e così via all�in�nito.�

Il problema della retti�cazione della circonferenza consiste nel cercare di sti-mare un arco di cerchio, che è storto ed intrinsecamente di¢ cile da misurare, condelle combinazioni di segmenti dritti ad esso collegati ed esplicitamente misurabili,come il seno ed il coseno. In particolare, il metodo di calcolo della lunghezza diuna circonferenza con poligoni inscritti e circoscritti si basa sul fatto che un arcodi cerchio è compreso tra il seno e la tangente dell�angolo, ma nella �Perfezionematematica� il Cardinale Nicola da Cusa (1401-1464) trova un�approssimazionemigliore:

�Il rapporto tra tre semidiametri e tre semidiametri meno una freccia è minoredel rapporto tra arco e corda�.

In un cerchio di raggio uno ad un arco 2x corrispondono una corda 2 sin(x) eduna freccia 1 � cos(x) e si ha la disuguaglianza 3 sin(x)= (2 + cos(x)) < x, che èuna disuguaglianza più stretta di sin(x) < x,

sin(x) <3 sin(x)

2 + cos(x)< x:

26

La prima disuguaglianza sin(x) < 3 sin(x)= (2 + cos(x)) è equivalente a cos(x) <1. Per dimostrare la seconda disuguaglianza 3 sin(x)= (2 + cos(x)) < x utilizzandola nostra tecnologia, basta osservare che la funzione x�3 sin(x)= (2 + cos(x)) si an-nulla in zero ed è crescente,

d

dx(x� 3 sin(x)= (2 + cos(x))) = (1� cos(x))2 = (2 + cos(x))2.

Ponendo x = �=6 nell�uguaglianza approssimata x � 3 sin(x)= (2 + cos(x)) siottiene � � 18=

�4 +

p3�= 3; 140:::. Per trovare i primi due decimali di �

Archimede deve utilizzare un poligono con 96 lati, a Nicola da Cusa basta l�esagono.Sostenitore della concordanza dei contrari, Nicola da Cusa congettura anche unarelazione tra il poligono con il minimo numero di lati e quello con il massimo,il triangolo ed il cerchio. Inscrive un quadrato in un cerchio e stima questo cer-chio uguale al triangolo equilatero inscritto in un cerchio di diametro il lato delquadrato più il raggio del cerchio dato. La costruzione fornisce per � il valore3�p3 +

p6�=4, ma nel 1464 J.M.Regiomontano (1436-1476) dimostra che questa

quadratura non è corretta e a sua volta propone il valore 3,14343.... A Regiomon-tano si deve anche una rinascita dell�interesse per la trigonometria piana e sferica.Nel �Ciclometricus� del 1621 W. Snell (1580-1626) completa la scoperta di

Nicola da Cusa, trovando che

3 sin(x)

2 + cos(x)< x <

tan(x) + 2 sin(x)

3:

Queste stime corrispondono alle seguenti costruzioni geometriche. Dato il cer-chio x2 + y2 = 1, la retta per A = (cos(#); sin(#)) e B = (�2; 0) interseca latangente al cerchio x = 1 nel punto di ordinata 3 sin(#)= (2 + cos(#)). Invece laretta per A = (cos(#); sin(#)) e C = (�2 cos(#=3); 0) interseca x = 1 nel punto diordinata tan(#=3)+2 sin(#=3). Quest�ultima costruzione coincide con la trisezionedell�angolo attribuita ad Archimede. Il punto D = (� cos(#=3); sin(#=3)) è laseconda intersezione della retta BC con la circonferenza, il segmento CD halunghezza uno e forma con l�asse delle ascisse un angolo #=3. Con queste dis-uguaglianze Snell scopre anche un e¢ ciente metodo per accelerare la convergenzanel calcolo di �. Se con poligoni di 96 lati Archimede trova due decimali di �, congli stessi poligoni Snell ne trova sei,

3; 1415926::: = 963 sin(�=96)

2 + cos(�=96)< � < 96

tan(�=96) + 2 sin(�=96)

3= 3; 1415928::::

Se con poligoni di 60� 233 van Ceulen calcola 20 decimali, con poligoni di 230lati Snell ne trova 34. Anche se Snell non dimostra in modo soddisfacente i suoi

27

risultati, queste applicazioni numeriche che forniscono le stesse cifre di van Ceulensono un convincente indizio della loro correttezza.

La retti�cazione approssimatadi un arco di cerchio diNicola da Cusa e Snell:

# � 3 sin(#)

2 + cos(#).

Se A = (1; 0), B = (cos(#); sin(#)) , C = (1; #) , l�arco AB è uguale alsegmento AC. La retta BC interseca l�asse y = 0 nel punto di ascissa(cos(#)� sin(#)) = (#� sin(#)) e questa ascissa tende a � 2 se #! 0.Viceversa, se B = (cos(#); sin(#)) e D = (�2; 0), la retta BD intersecala retta x = 1 nel punto di ordinata 3 sin(#)= (2 + cos(#)) . Invece, sel�angolo tra la retta per B e l�asse orizzontale è #=3, questa rettainterseca x = 1 nel punto di ordinata tan(#=3) + 2 sin(#=3).

C.Huygens (1629-1695) dimostra rigorosamente con metodi di geometria ele-mentare i risultati di Snell e nel 1654 pubblica �La scoperta della grandezza delcerchio�, con 20 proposizioni, cioè 14 teoremi più 4 problemi.

Stimando di esserci occupati recentemente con qualche successo dell�anticoproblema della quadratura del cerchio, il più celebre di tutti anche agli occhi diquelli che non si intendono di Matematica, e avendo ottenuto alcuni risultatimigliori di quelli trovati �no ad oggi, almeno secondo noi, vogliamo comunicarliai geometri insieme alle loro dimostrazioni...�Teorema 1: Se in un segmento di cerchio minore di metà cerchio si iscrive il

più grande triangolo possibile e similmente si iscrivono dei triangoli nei segmentirestanti, il primo triangolo risulta minore del quadruplo della somma degli altridue.��Teorema 2: Dato un segmento di cerchio minore di metà cerchio e sulla base

un triangolo con i due altri lati tangenti al segmento, tracciata una tangente al seg-mento nella sua sommità, questa retta taglia nel triangolo un triangolo maggioredella metà del più grande triangolo che si può iscrivere nel segmento.��Teorema 3: Il rapporto tra un segmento di cerchio minore di metà cerchio ed

il più grande triangolo che si può iscrivere nel segmento è più grande di quattro atre.�

28

�Teorema 4: Un segmento di cerchio minore di metà cerchio è minore dei dueterzi del triangolo con la stessa base ed i due altri lati tangenti al segmento.��Teorema 5: Un cerchio è maggiore di un poligono equilatero iscritto più un

terzo della di¤erenza tra questo poligono ed un poligono inscritto con metà lati.��Teorema 6: Un cerchio è minore dei due terzi di un poligono equilatero cir-

coscritto più un terzo del poligono simile inscritto.��Teorema 7: La circonferenza di un cerchio è maggiore del perimetro di un

poligono equilatero iscritto più un terzo della di¤erenza tra i perimetri di questopoligono e di un poligono inscritto con metà lati.��Teorema 8: Se all�estremità del diametro di un cerchio si traccia la tangente e

dall�estremità opposta si tira una retta che taglia il cerchio ed incontra la tangente,i due terzi della tangente intercettata più un terzo della retta che a partire del puntodi intersezione cade ad angolo retto sul diametro sono maggiori dell�arco tagliatoadiacente.��Teorema 9: La circonferenza di un cerchio è minore dei due terzi del perimetro

di un poligono equilatero iscritto più un terzo del perimetro di un poligono similecircoscritto.��Problema 1:Trovare il rapporto tra la circonferenza ed il diametro, quanto si

voglia vicino al vero.��Problema 2: Prendere una retta uguale alla circonferenza di un dato cerchio.��Problema 3: Prendere una retta uguale ad un arco qualsiasi.��Teorema 10: Il lato di un poligono equilatero iscritto in un cerchio è medio

proporzionale tra il lato del poligono simile circoscritto e la metà del lato delpoligono inscritto con metà lati.��Teorema 11: La circonferenza di un cerchio è minore della più piccola delle

due medie proporzionali tra i perimetri di poligoni regolari simili, uno inscrittonel cerchio e l�altro circoscritto. E il cerchio è più piccolo del poligono simile aquesti, con perimetro uguale alla più grande delle medie.��Teorema 12: Se fra il prolungamento del diametro di un cerchio e la circon-

ferenza si pone una retta uguale al raggio, che prolungata taglia ancora il cerchioed incontra la tangente ad esso nell�estremità opposta del diametro, questa rettaintercetta sulla tangente una parte più grande dell�arco adiacente formato.��Teorema 13: Se al diametro di un cerchio si aggiunge un semidiametro e a

partire dall�estremità della retta aggiunta si conduce una retta che taglia il cerchioincontrando la tangente al cerchio nell�estremità opposta del diametro, questa rettaintercetta sulla tangente una parte più piccola dell�arco adiacente formato.��Teorema 14: Il centro di gravità di un segmento di cerchio divide il diametro

29

del segmento in modo tale che la parte al vertice è più grande dell�altra e minoreuna volta e mezzo dell�altra.��Teorema 15: Un segmento di cerchio minore di un semicerchio sta al triangolo

massimo inscritto in un rapporto più grande di quattro a tre, ma più piccolo delrapporto tra tre ed un terzo del diametro del segmento restante ed il diametro delcerchio con il triplo della retta dal centro del cerchio alla base del segmento.��Teorema 16: Un arco qualunque, più piccolo di una semicirconfernza, è più

grande della corda sottesa aumentata di un terzo della di¤erenza tra la corda edil seno. Ma un tale arco è minore della corda più la retta che sta al detto terzocome il quadruplo della corda più il seno sta al doppio della corda più il triplo delseno.��Problema 4: Trovare il rapporto tra la circonferenza e il diametro e, per mezzo

di corde date inscritte in un cerchio, trovare la lunghezza degli archi ai quali essesono sottese.

Denotando con A(n) = n sin(�=n) cos(�=n) e B(n) = n tan(�=n) le aree deipoligoni regolari con n lati inscritti e circoscritti ad un cerchio di raggio uno e conP (n) = 2n sin(�=n) e Q(n) = 2n tan(�=n) i perimetri di questi poligoni inscrittie circoscritti, i teoremi 5 e 6 si traducono nelle disuguaglianze

A(2n) +1

3(A(2n)� A(n)) < � <

1

3A(n) +

2

3B(n):

Ponendo poi x = �=n, questi teoremi si riducono alle disuguaglianze trigono-metriche

8 sin(x)� sin(2x)6

< x <sin(2x) + 4 tan(x)

6:

Similmente, i teoremi 7 e 9 si traducono nelle disuguaglianze

P (2n) +1

3(P (2n)� P (n)) < 2� <

2

3P (n) +

1

3Q(n);

8 sin(x=2)� sin(x)3

< x <2 sin(x) + tan(x)

3:

Il teorema 11 si traduce nelle disuguaglianze

2� < 3pQ(n)P 2(n); � < 3

pA(n)B2(n);

x <sin(x)3pcos(x)

:

30

Nel teorema 14, nel cerchio x2 + y2 � 1 il segmento con vertice (1; 0) edestremi (cos(#);� sin(#)) ha diametro con estremi (cos(#); 0) e (1; 0) e l�ascissadel baricentro è

2

Z 1

cos(#)

xp1� x2dx

2

Z 1

cos(#)

p1� x2dx

=2 sin3(#)

3#� 3 cos(#) sin(#) :

Le disuguaglianze nel teorema sono dunque

2 sin3(x)

3x� 3 sin(x) cos(x) � cos(x) < 1�2 sin3(x)

3x� 3 sin(x) cos(x) ;

1� 2 sin3(x)

3x� 3 sin(x) cos(x) <3

2

�2 sin3(x)

3x� 3 sin(x) cos(x) � cos(x)�:

Svolgendo i conti, la prima disuguaglianza si trasforma nella disuguaglianzagià contenuta nei teoremi 5 e 7, 4 sin(x) � sin(x) cos(x) < 3x. Invece la secondadisuguaglianza si trasforma in

x <sin(x) (10 + 6 cos(x)� cos2(x))

6 + 9 cos(x):

In�ne, i teoremi 15 e 16 si traducono in disuguaglianze contenute nei teoremiprecedenti. Tutti questi teoremi sono dimostrati da Huygens utilizzando solola geometria euclidea, ma una volta tradotti in formule trigonometriche non èdi¢ cile dimostrarli con un po�d�analisi. Per esempio, per dimostrare l�ultimadisuguaglianza, che è la più precisa tra quelle presentate da Huygens, è su¢ cienteosservare che la funzione

sin(x) (10 + 6 cos(x)� cos2(x))6 + 9 cos(x)

� x

si annulla in x = 0 ed è crescente

d

dx

�sin(x) (10 + 6 cos(x)� cos2(x))

6 + 9 cos(x)� x

�=2 (1 + cos(x)) (1� cos(x))3

4 + 12 cos(x) + 9 cos2(x)� 0:

E dopo la teoria Huygens passa alla pratica. Nel problema 1 si osserva che ilperimetro di un esagono regolare inscritto in un cerchio di raggio 10000 è 60000 ed

31

il perimetro di un dodecagono è circa 62116+ 1=2 ed un terzo della di¤erenza deiperimetri è 705+1=2. Quindi, applicando il teorema 7, si deduce un rapporto tracirconferenza e diametro un poco maggiore di 62822=20000 = 3; 1411, un risultatomigliore di quello ottenuto da Archimede con poligoni di 96 lati. Poi nel prob-lema 4, utilizzando il teorema sui baricentri di segmenti di cerchio, si ottengonostime ancora più precise. Comunque dopo Huygens tutti questi metodi vengonosostituiti dalle nuove tecniche del calcolo di¤erenziale ed integrale. In particolare,I.Newton (1642-1727) nella sua corrispondenza con G.W.Leibniz (1646-1716) os-serva che le disuguaglianze di Snell ed i teoremi di Huygens si possono dimostrarefacilmente sviluppando in serie di potenze le funzioni interessate:

�Per trovare un�approssimazione di un arco con corda A e con B la corda dimetà arco, se z è l�arco e r il raggio del cerchio, allora A, il doppio del seno dellametà di z, e B sono

A = z � z3

4� 6r2 +z5

4� 4� 120r4 �&c:

B =z

2� z3

2� 16� 6r2 +z5

2� 16� 16� 120r4 �&c:

Moltiplichiamo B per un numero �ttizio n, dal prodotto sottraiamo A, poiponiamo uguale a zero il termine nz3= (2� 16� 6r2) � z3= (4� 6r2). Da questorisulta n = 8 e

8B � A = 3z � 3z5

64� 120r4 +&c:

Quindi z = (8B � A) =3, con un errore per eccesso di solo z5=7680r4 � &c.Questo è il teorema di Huygens.�

Poi Newton dimostra come far meglio di Huygens. Per stimare la misuradell�arco di cerchio x2 + y2 = 1 da (0; 0) a (cos(#); sin(#)), che ha lunghezza #,si traccia la retta per i punti (�+ � cos (#) ; 0) e (cos(#); sin(#)), che interseca latangente al cerchio x = 1 in un punto di ordinata

y =sin(#) (�� 1 + � cos (#))

�+ (� � 1) cos (#)= #+

�+ � + 2

6 (1� �� �)#3 +

(�+ 11� + 4) (�+ � � 1)� 10 (�+ � + 2) (� � 1)120 (�+ � � 1)2

#5 + :::

32

Scegliendo � = �9=5 e � = �1=5 si annullano i coe¢ cienti di #3 e #5 e siottiene

sin(#) (14 + cos (#))

9 + 6 cos (#)= #� #7=2100� #9=18000 + :::

Se nell�uguaglianza approssimata # � sin(#) (14 + cos (#)) = (9 + 6 cos (#)) sisostituisce # = �=6 si ottiene � �

�81� 25

p3�=12 = 3; 14156:::. Alla luce di

queste osservazioni di Newton, torniamo ad analizzare il metodo di Archimedeed i successivi ra¢ namenti di Nicola da Cusa, Snell, Huygens. Iniziamo con ledisuguaglianze utilizzate da Archimede:

sin(x) = x� x3=6 + x5=120� x7=5040 + x9=362880 + :::tan(x) = x+ x3=3 + 2x5=15 + 17x7=315 + 62x9=2835 + :::

Quindi, sostituendo all�arco x il seno o la tangente si commette un errore perdifetto dell�ordine di x3=6 o per eccesso dell�ordine di x3=3. Veniamo ora alledisuguaglianze di Nicola da Cusa e Snell:

3 sin(x)

2 + cos(x)= x� x5=180� x7=1512� x9=25920 + :::

tan(x) + 2 sin(x)

3= x+ x5=20 + x7=56 + 7x9=960 + :::

In entrambi i casi le approssimazione dell�arco x è dell�ordine di x5, se l�arco èpiccolo il guadagno rispetto alle approssimazioni di Archimede è notevole. Con-sideriamo in�ne alcune delle disuguaglianze di Huygens, iniziando dai teoremi 5 e6:

8 sin(x)� sin(2x)6

= x� x5=30 + x7=252� x9=4320 + :::

sin(2x) + 4 tan(x)

6= x+ 2x5=15 + 2x7=63 + 2x9=135 + :::

In entrambi i casi l�approssimazione dell�arco x è dell�ordine di x5 ed anche neiteoremi 7, 9, 11 l�ordine dell�approssimazione è lo stesso. Invece nel teorema 14l�approssimazione è dell�ordine di x7:

sin(x) (10 + 6 cos(x)� cos2(x))6 + 9 cos(x)

= x+ x7=350 + x9=4500 + :::

A questo punto risulta naturale congetturare che esistono approssimazioni an-cora migliori. Un semplice modo per ottenerle è di partire dall�identità x =

33

arcsin (sin(x)) o x = arctan (tan(x)) e sviluppare in serie di potenze l�arco senoo l�arco tangente. È chiaro che ci stiamo allontanando dalla tradizione greca estiamo incontrando una nuova matematica.

I LOGARITMI.

I prodotti sono operazioni più complicate delle somme e prima dell�introduzionedei logaritmi si sono usate delle tavole dei quadrati e delle tavole trigonometricheper trasformare questi in quelle,

a � b = (a+ b)2 � (a� b)2

4;

cos(�) � cos(�) = cos(�� �) + cos(�+ �)

2:

G.J.Rheticus (1514-1576), discepolo e collaboratore di Copernico, inizia lacompilazione di tavole trigonometriche con 15 decimali, poi completate nel 1596.Nell��Arenario� di Archimede si trova la seguente a¤ermazione:

�Siano dati dei numeri in proporzione continua A, B, C, D, E, F, G, H, I, K,L,..., a partire dall�unità A. Si moltiplichi D per H e si prenda nella proporzioneil termine L distante da H quanto D dista dall�unità, allora L è uguale al prodottoD per H.�

L��Arithmetica integra� di M.Stifel (1487-1567) contiene la tavola

�3 �2 �1 0 1 2 3 4 5 61=8 1=4 1=2 1 2 4 8 16 32 64

�L�addizione in progressioni aritmetiche corrisponde alla moltiplicazione inprogressioni geometriche... La sottrazione corrisponde alla divisione... La molti-plicazione all�elevamento a potenza... La divisione all�estrazione di radice...�

Una tavola di numeri simile ma abbastanza densa rende possibile e convenientela trasformazione di prodotti in somme. Nel 1614 J.Napier (1550-1617) pubblicala �Descrizione del meraviglioso canone dei logaritmi� e nel 1619 la �Costruzionedel meraviglioso canone dei logaritmi�, con la de�nizione:

�I logaritmi sono numeri che associati a proporzioni conservano uguali dif-ferenze.�

"�0o o�

`���#�

0o&", numero del rapporto. I logaritmi di progressioni geomet-

riche sono progressioni aritmetiche. In una progressione geometrica a, a2, a3,...,

34

il rapporto a tra due termini consecutivi è la ragione, a2 la ragione seconda, a3

la ragione terza,..., i numeri 1, 2, 3,... sono i numeri della ragione. Nepero dàanche una descrizione cinematica dei suoi logaritmi, che sono logaritmi di senidi angoli. Se un punto x si muove tra r e 0 con velocità decrescente �x e secontemporaneamente un punto y si muove tra 0 e +1 con velocità uniforme r,allora y è il logaritmo di x. Si tratta del sistema di equazioni di¤erenziali�

dx=dt = �x;x(0) = r;

�dy=dt = r;y(0) = 0;

con soluzioni x(t) = r exp(�t) e y(t) = rt, cioè x = r exp(�y=r) e y = r log(r=x).In questa de�nizione il logaritmo del prodotto non è la somma dei logaritmi, maquasi, se x1 e x2 hanno logaritmi y1 e y2, allora y1+y2 è il logaritmo di r�1x1x2. Inparticolare, se r è una potenza di 10 ed i numeri sono scritti in frazioni decimali,la conversione da r�1x1x2 a x1x2 è immediata. Infatti la scelta di Nepero per r è107 ed a lui si deve l�odierna notazione decimale:

�Nei numeri con un punto in mezzo, quello che viene dopo il punto è unafrazione, il denominatore della quale è una unità con tanti zeri quante sono le

cifre dopo il punto. Per esempio, 10000000:04 è lo stesso che 100000004

100�.

In�ne, Nepero osserva che per calcolare il logaritmo di un numero intero èsu¢ ciente conoscere i logaritmi dei fattori primi, è quindi possibile costruire unatavola di logaritmi a partire da un numero ridotto di logaritmi primitivi. Neperonon ha una precisa idea di base per il suo sistema di logaritmi, le sue tavole fannosemplicemente corrispondere una progressione aritmetica ad una geometrica. Illegame tra il logaritmo e la funzione esponenziale e la de�nizione di logaritmocome esponente da dare ad una base per ottenere un numero si trova in J.Gregory(1638-1675), �Gli esponenti sono come logaritmi�, poi in J.Wallis (1616-1703) chenella sua �Algebra� del 1685 considera le progressioni aritmetiche 0, 1, 2, 3,... egeometriche r0, r1, r2, r3,... ed osserva:

�Gli esponenti si chiamano logaritmi. Questi sono numeri arti�ciali che sonoassociati ai numeri naturali in modo tale che le loro addizioni e sottrazioni cor-rispondono alle moltiplicazioni e divisioni dei numeri naturali�.

In�ne, nella�Introduzione all�analisi dell�in�nito�pubblicata nel 1748 L.Eulero(1707-1783) de�nisce esplicitamente le funzioni esponenziali ed i logaritmi:

�Le quantità esponenziali non sono nient�altro che potenze con esponente vari-abile e dalla loro inversione si arriva in modo naturale i logaritmi... az è la potenza

35

di una quantità costante a con un esponente variabile z... Se az = y... questovalore z si chiama logaritmo di y...ed a si chiama base del logaritmo�.

La base dei logaritmi naturali è il numero e, �il numero il cui logaritmo iperbol-ico è uguale ad uno�. In quest�opera, dopo il capitolo �Sulle quantità esponenzialied i logaritmi�, nel capitolo �Sulle quantità trascendenti che nascono dal cerchio�si de�niscono anche le funzioni trigonometriche nel modo tuttora in uso. J.Bürgi(1552-1632) sembra sia arrivato alla scoperta dei logaritmi qualche anno primadi Nepero, ma pubblica le sue tavole solo nel 1620. Le prime tavole di logar-itmi neperiani sono basate sulla progressione geometrica 107 (1� 10�7)n, cioè illogaritmo neperiano di 107 (1� 10�7)n è n, mentre quelle di Bürgi sono basatesulla progressione 108 (1 + 10�4)n. In entrambi i casi si intravede in embrione lade�nizione di e = limn!�1 (1 + 1=n)

n e dei logaritmi naturali compaiono in ap-pendice all�opera di Nepero, con l�osservazione che numeri con rapporto 2 hannologaritmi con di¤erenza 6931469; 22 e numeri con rapporto 10 hanno logaritmi condi¤erenza 23025842; 34. Infatti log(2) = 0; 693147::: e log(10) = 2; 302585:::..I logaritmi suscitano un immediato e generale entusiasmo:

�La matematica ha ricevuto considerevoli vantaggi prima dall�introduzione deicaratteri indiani e poi delle frazioni decimali. Ora dall�invenzione dei logaritmista raccogliendo almeno tanto quanto dalle altre due assieme. Per mezzo di questi,come tutti sanno, dei numeri quasi in�niti ed in altro modo intrattabili sono trat-tati facilmente e rapidamente. Il marinaio governa il suo vascello, il geometrainvestiga la natura delle curve, l�astronomo determina la posizione delle stelle, il�losofo spiega i fenomeni naturali e, per �nire, l�usuraio calcola gli interessi deisuoi soldi�.

Nepero e H.Briggs (1561-1639) si accordano per costruire delle tavole con illogaritmo di 1 uguale a 0 e quello di 10 uguale a 1. Prendendo delle radici iteratep10,

pp10,

qpp10,..., Briggs arriva a calcolare 102

�54e, posto log10 (1) = 0

e log10�102

�54�= 2�54, utilizzando il fatto che il logaritmo del prodotto di due

numeri è la somma dei logaritmi, costruisce delle tavole di logaritmi in base 10con quattordici decimali. Le tavole di Briggs sono pubblicate nel 1624. All�amicoed ex insegnante M.Maestlin (1550-1631), che esprime dubbi sulla la teoria diquesti logaritmi e che osserva che non è poi il caso di entusiasmarsi tanto per unmero aiuto al calcolo, J.Keplero (1571-1630) replica dimostrando le proprietà deilogaritmi a partire dalla teoria delle proporzioni nel Libro V degli �Elementi� diEuclide. Poi calcola delle tavole di logaritmi con otto cifre. Queste tavole, insieme

36

a tabelle e regole per predire la posizione dei pianeti ed un catalogo con più di millestelle, sono pubblicate tra dal 1624 al 1627. Per il povero Keplero, che ha pagatodi tasca propria la pubblicazione, non è un gran successo editoriale: �I compratorisono pochi. È sempre così con delle opere di matematica, specialmente in questitempi di caos�. Nel 1620 E.Gunter (1581-1626) costruisce dei regoli rudimentali equalche anno dopo W.Oughtred (1574-1660) ne costruisce di più perfezionati. Nel1653 viene pubblicato il primo trattato sui logaritmi in Cina e nel 1722 i logaritmiraggiungono il Giappone.Concludiamo con qualche curiosità. Nel XIX secolo si scopre che nostra

risposta a stimoli luminosi, acustici, o altri, non dipende dalla di¤erenza tra le in-tensità di questi stimoli, ma dal loro rapporto, cioè la scala delle nostre percezioniè logaritmica. Anche senza saperlo, abbiamo sempre avuto i logaritmi nel cervello.Nel 1881 l�astronomo S.Newcomb, osservando che le prime pagine delle sue tavoledei logaritmi sono più sporche e consunte delle ultime, formula la legge empiricache le frequenze dei numeri che iniziano con una data cifra d = 1; 2; 3; :::; 9 nonsono tutte uguali a 1=9 = 0; 111:::, ma la cifra d ha una frequenza log10(1 + 1=d),in particolare l�uno compare più del due, il due più del tre,..., il nove meno ditutti.

Cifra 1 2 3 4 5 6 7 8 9Frequenza 0,301 0,176 0,124 0,096 0,079 0,066 0,057 0,051 0,045

Nel 1938 il �sico F.Benford, analizzando le più disparate tavole di numeri,comprese le statistiche dell�American League di baseball, arriva a formulare lastessa legge. Insomma, viviamo in un mondo logaritmico.

LA NASCITA DEL CALCOLO.

Il problema di calcolare la velocità conoscendo lo spazio percorso in funzionedel tempo ed il problema inverso di calcolare lo spazio conoscendo la velocitàconducono in modo naturale allo studio delle tangenti e delle aree sottese dallecurve che descrivono il moto. Anche i problemi di ri�essione e rifrazione in otticaconducono allo studio delle tangenti. Nel XVII secolo, con la meccanica di GalileoGalilei (1564-1642) e la geometria analitica di Descartes e P.Fermat (1601-1665),vengono studiate molte nuove curve e per mezzo del nascente calcolo se ne trac-ciano le tangenti e misurano il perimetro e l�area. I risultati sono così numerosi esi susseguono con tale rapidità che risulta di¢ cile assegnarne la paternità.

37

La quadratura di un�ellissecon un asse doppio dell�altrodi Leonardo da Vinci.

�La �gura ovale esser doppia del circolo posto nel medesimo parallelo dital �gura ovale... e questa tal �gura è doppia al circolo... e questa tal provaresta persuasiva immaginando esser diviso il circolo in istrettissimi paralleli,a modo di sottilissimi capelli in continuo contatto tra loro e che il moto diciascun parallelo sia rectamente duplicato nel medesimo parallelo...�

Il volume della sferasecondo Luca Valerio.

Tagliando il cilindro fx2 + y2 � R2; 0 � x � Rg , il cono fx2 + y2 � z2;0 � z � Rg e la semisfera fx2 + y2 + z2 � R2; 0 � x � Rg con la famigliadi piani fx = tg , si ottengono sezioni di area �R2, �t2, � (R2 � t2) . Quindile sezioni della semisfera sono uguali alle sezioni del cilindro meno il cono,

la semisfera ha volume uguale al cilindro meno il cono.

Le quadrature di parabole ed ellissi sono opera di Archimede. Fermat, Cavalierie E.Torricelli (1608-1647) quadrano le parabole ed iperboli generalizzate ym = xn e

ymxn = 1. In notazione modernaZ b

a

x�dx = (b�+1 � a�+1) = (�+ 1), se �+1 6= 0.

Ecco come Cavalieri calcola l�area sotto la curva y = x2. Sommando le ordinatedell�identità x2 + (a� x)2 = a2=2 + 2 (x� a=2)2, noi diremmo integrando,Z a

0

x2dx+

Z a

0

(a� x)2 dx =�a2=2

� Z a

0

dx+ 2

Z a

0

(x� a=2)2 dx:

I primi due integrali sono uguali al volume di una piramide con base quadratadi lato a e altezza a. Il terzo integrale è il volume di un parallelepipedo con lati a,

38

a, a=2. L�ultimo integrale, a parte il fattore 2, è il volume di due piramidi con basie altezza a=2. Per la similitudine tra le piramidi, se quelle grandi hanno volume V ,quelle piccole hanno volume V=8. Si ottiene quindi l�uguaglianza 2V = a3=2+V=2,da cui si ricava V = a3=3. Anche se è un risultato già noto ai greci, il metodoè nuovo e si presta ad essere generalizzato a potenze superiori alla seconda. Percalcolare l�area sotto la curva y = x�, Fermat divide l�intervallo 0 < x < a in unaprogressione geometrica a, aq, aq2, aq3,..., con q < 1, ed approssima la regionesotto la curva con i rettangoli di base aqn � aqn+1 e altezza (aqn)�. Quindi,sommando rispetto ad n e prendendo il limite per q ! 1�,

Z a

0

x�dx = limq!1�

(+1Xn=0

(aqn)��aqn � aqn+1

�)= a�+1 lim

q!1�

�1� q

1� q�+1

�=

a�+1

�+ 1:

In questo conto � > �1, ma un conto analogo permette di calcolareZ +1

a

x�dx

con � < �1. Il calcolo dell�integrale di x�1 è opera del Gesuita Gregorio diSan Vincenzo (1584-1667). Nella sua �Opera geometrica per la quadratura delcerchio e delle sezioni di cono�del 1647, insieme a presunte quadrature del cerchiosubito contestate da Cartesio e Huygens, si trova anche una vera quadraturadell�iperbole. Se da un asintoto di una iperbole si tracciano delle parallele all�altroasintoto e se le aree dei quadrilateri mistilinei che si vengono a formare sonouguali, allora le lunghezze dei segmenti paralleli sono in progressione geometricae viceversa, se le lunghezze sono in progressione geometrica, allora le aree sono

uguali. Si tratta della relazioneZ b

1

dx

x=

Z ab

a

dx

xche si può dimostrare con un

cambio di variabile x ax, se la base dx si dilata di un fattore a e l�altezza1=x si contrae di 1=a, l�area dx=x non cambia. La dimostrazione di Gregorioutilizza il metodo di esaustione, dividendo le basi dei segmenti di iperbole in unaprogressione geometrica. Nell�iperbole y = 1=x l�area compresa tra le ascisse qn

e qn+1 è compresa tra q�n�1 (qn+1 � qn) e q�n (qn+1 � qn), cioè 1 � q�1 e q � 1.Quindi l�area da qm a qn è compresa tra (n�m) (1� q�1) e (n�m) (q � 1), se leascisse crescono un modo geometrico, le aree crescono in modo aritmetico.

39

La quadraturadell�iperbole diGregorio di SanVincenzo.

�Se delle parallele ad un asintoto di una iperbole tagliano segmentidi area uguale, queste parallele sono in progressione continua�.

M.Mersenne (1588-1648) pone il problema: �Date tre grandezze, razionali oirrazionali, ed i logaritmi di due di queste, trovare geometricamente il logaritmodella terza�. A.A.de Sarasa (1618-1667) risolve il problema, traducendo la propo-sizione del confratello Gregorio in termini di logaritmi, l�area sotto un�iperbolesoddisfa l�equazione funzionale del logaritmi,Z ab

1

dx

x=

Z a

1

dx

x+

Z ab

a

dx

x=

Z a

1

dx

x+

Z b

1

dx

x:

L�area sotto l�iperbole equilatera y = 1=x de�nisce i logaritmi iperbolici log(x) =Z x

1

dt

te la base di questi logaritmi è il numero e. Di fatto i logaritmi così

de�niti sono l�unica funzione di¤erenziabile che trasforma i prodotti in somme,L(x � y) = L(x) + L(y). Infatti, ponendo x = y = 1 in questa uguaglianza, si ri-cava L(1) = 0. Derivando rispetto a y si ottiene xL0(x � y) = L0(y) e, per y = 1, si

ottiene anche L0(x) = L0(1)=x. Quindi, L(x) = L0(1)

Z x

1

dt

te la scelta naturale per

la costante L0(1) è 1. Nella �Geometria speciosa�del 1659 P.Mengoli (1625-1686)de�nisce esplicitamente i logaritmi naturali come limiti di successioni,

log(p=q) = limn!+1

�1

qn+

1

qn+ 1+ :::+

1

pn

�:

Infatti, dividendo l�area sotto la curva y = 1=x in rettangoli con base uno si

vede che log(p=q) =Z pn

qn

dx

xè maggiore dell�ipologaritmo e minore dell�iperlogaritmo,

1

qn+ 1+

1

qn+ 2+ :::+

1

pn<

Z pn

qn

dx

x<1

qn+

1

qn+ 1+ :::+

1

pn� 1 :

40

Per dimostrare la formula log(xy) = log(x) + log(y) basta poi osservare che

log�ab� cd

�= lim

n!+1

�1

bdn+ :::+

1

acn� 1

�=

limn!+1

�1

bdn+ :::+

1

adn� 1

�+ limn!+1

�1

dan+ :::+

1

can� 1

�= log

�ab

�+ log

� cd

�:

In particolare, Mengoli osserva che il logaritmo di 2 è il limite per n! +1 di

1=n+ 1=(n+ 1) + :::+ 1=2n= (1 + 1=2 + :::+ 1=2n)� (1 + 1=2 + :::+ 1=(n� 1))

= (1 + 1=3 + 1=5 + :::+ 1=(2n� 1))� (1=2 + 1=4 + 1=6 + :::+ 1=2n)= 1� 1=2 + 1=3� 1=4 + :::+ 1=(2n� 1)� 1=2n:

Cavalieri si fa divulgatore dei logaritmi in Italia e Torricelli per primo studiale proprietà della curva esponenziale, che chiama semi iperbole logaritmica perchési costruisce con i logaritmi ed assomiglia ad una iperbole con un solo asintoto, netraccia il gra�co, calcola l�area sottostante, determina il volume del solido gener-ato dalla rotazione della curva attorno all�asse delle ascisse. Nel 1638 F.de Beaunepone a Cartesio il problema di determinare una curva con sottotangente costante.La sottotangente è il rapporto tra l�ordinata e la pendenza, si tratta quindi dirisolvere l�equazione di¤erenziale dy=dx = y=m. Nel 1644 Torricelli dimostra chesoluzione è la curva logaritmica, se y = ax si ha dy=dx = ax log(a) e la sottotan-gente è 1= log(a). Torricelli dimostra anche che l�area tra due ascisse è la di¤erenza

tra le ordinate per la sottotangente, cioèZ q

p

axdx = (aq � ap) = log(a). Nel 1661

Huygens de�nisce una curva con la proprietà che l�ordinata del punto medio tradue ascisse è media proporzionale tra le ordinate di queste ascisse e, come Torri-celli, chiama questa curva logaritmica. Utilizzando delle tavole di logaritmi, Huy-gens calcola il rapporto tra la sottotangente ed il tempo di dimezzamento, 1= log(2)che approssima con 13/9. Calcola anche 17 cifre decimali del logaritmo in base 10di e, ma apparentemente non considera questa costante come il logaritmo di unnumero, poi il numero e appare esplicitamente in una lettera di Leibniz a Huygens.In�ne, nel 1684 Leibniz pubblica le sue ricerche sul calcolo di¤erenziale, con lasua soluzione del problema di de Beaune, una curva con sottotangente costante èesponenziale. Il numero e corrisponde alla sottotangente uno. La funzione espo-nenziale fa la sua apparizione anche in �sica. Nel 1668 Huygens studia la caduta

41

di un corpo soggetto ad una gravità costante e ad una resistenza proporzionale allavelocità. Risolvendo l�equazione a(t) = g�k

R t0a(s)ds, con a(t) l�accelerazione, ri-

conosce nella soluzione la funzione logaritmica. La teoria non si accorda però congli esperimenti e Huygens sostituisce una resistenza proporzionale al quadratodella velocità, ma la soluzione si complica. Nel 1701 Newton presenta i risul-tati dei suoi esperimenti sulla di¤usione del calore che mostrano che un oggettoriscaldato si riavvicina alla temperatura ambiente in modo approssimativamenteesponenziale. In particolare, Newton congettura una perdita di calore del corpoproporzionale alla di¤erenza tra la temperatura del corpo e dell�ambiente e daquesto deduce che il logaritmo della di¤erenza di temperatura varia uniforme-mente col tempo. Le applicazioni �siche dell�esponenziale si moltiplicano e risultadi¢ cile farne un elenco, per esempio la scoperta di E.Rutherford (1871-1937) deldecadimento radioattivo è del 1903. L�interpretazione probabilistica del fenom-eno è che gli atomi non hanno memoria e la probabilità di decadere in un certointervallo di tempo ha una distribuzione esponenziale.

Se un oggetto è trascinatocon una fune con un estremoche si muove su una retta, latraiettoria è la trattrice di

Huygens.

La fune è tangente alla traiettoria e la lunghezza della tangente è costante.Se la fune ha lunghezza uno ed un estremo sull�asse delle ascisse, le coordinate(x; y) dell�oggetto soddisfano l�equazione di¤erenziale dy=dx = �y=

p1� y2,

con soluzione x� c = log��1 +

p1� y2

�=y��p1� y2.

Nell�opera �Aritmetica degli in�niti� pubblicata nel 1665 Wallis de�nisce lepotenze con esponenti negativi o frazionari. Con un complicato processo di in-duzione ed interpolazione passa dall�area sotto le curve y = (1� x2)

n a quellasotto le curve y = (1� x2)

n=2 ed esprime l�area del semicerchio y =p1� x2 sotto

forma di prodotto in�nito,

�

2=2� 2� 4� 4� 6� 6� 8� 8� :::

1� 3� 3� 5� 5� 7� 7� 9� :::;

ottenendo anche le approssimazioni

42

8>>>><>>>>:4

�<3� 3� 5� 5� 7� 7� 9� 9� 11� 11� 13� 132� 4� 4� 6� 6� 8� 8� 10� 10� 12� 12� 14 �

r1 +

1

13;

4

�>3� 3� 5� 5� 7� 7� 9� 9� 11� 11� 13� 132� 4� 4� 6� 6� 8� 8� 10� 10� 12� 12� 14 �

r1 +

1

14:

Le aree sotto le curvey = (1� x2)

n=2 ed ilprodotto in�nito di Wallis.

Z +1

�1(1� x2)

1=2dx =

1

2�;

Z +1

�1(1� x2)

1dx =

2

32;Z +1

�1(1� x2)

3=2dx =

1� 32� 4�;

Z +1

�1(1� x2)

2dx =

2� 43� 52;Z +1

�1(1� x2)

5=2dx =

1� 3� 52� 4� 6�;

Z +1

�1(1� x2)

3dx =

2� 4� 63� 5� 72; :::

limn!+1

Z +1

�1(1� x2)

n+1=2dxZ +1

�1(1� x2)n dx

= 1;�

2=2� 2� 4� 4� 6� 6� :::

1� 3� 3� 5� 5� 7� ::::

Dopo il cerchio x2 + y2 = 1, Wallis a¤ronta l�iperbole x2 � y2 = 1, questavolta senza successo. Comunica le sue scoperte a W.Brouncker (1620-1684), ilprimo presidente della Royal Society, che riesce a calcolare l�area tra 1 e 2 sottol�iperbole xy = 1 sotto forma di serie 1�1=2+1=3�1=4+ ::: e riesce a trasformareil prodotto in�nito di Wallis nello sviluppo in frazioni continue

4

�= 1 +

12

2 +32

2 +52

2 + :::

:

Le frazioni continue sono implicitamente contenute nell�algoritmo euclideoper la ricerca del massimo comun divisore tra due numeri e sono introdotte nel

43

�L�Algebra� da R.Bombelli (1526-1573) come �Modo di formare il rotto nella es-trattione delle radici quadrate�. Sono poi esplicitamente de�nite, �rotti, & rotti dirotti...�, da P.A.Cataldi (1548-1626) nel �Trattato del modo brevissimo di trovarela radice quadra delli numeri, et regole da approssimarsi di continuo al vero nelleradici de� numeri non quadrati...�. Prima di scoprire le frazioni continue, nel�Trattato della quadratura del cerchio�Cataldi cerca di trasformare i primi ventidecimali di � in frazioni. Nella progettazione degli ingranaggi di un planetario,Huygens utilizza le frazioni continue per approssimare i rapporti tra i periodi dirivoluzione dei pianeti con frazioni di denominatore basso.

Lo sviluppo in frazioni continue dip2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 + :::

:

Se D e L sono la diagonale ed il lato di un quadrato,D

L= 1 +

D � L

L= 1 +

1L

D � L

= 1 +1

1 +2L�D

D � L

= 1 +1

1 +D

L

:

Trascuriamo ancora per un momento il cerchio e l�iperbole per occuparci breve-mente di qualche altra curva. Una spirale è una curva descritta in coordinatepolari da un�equazione � = f(#). La prima ad essere studiata è stata la spirale diArchimede � = �#, per le altre si è dovuto aspettare più di 1800 anni. Nel �Di-alogo dei massimi sistemi�Galileo Galilei, discorrendo del moto di un proiettile,osserva che un corpo che ruota attorno ad un centro con velocità angolare uniformee cade verso il centro con velocità uniforme descrive una spirale di Archimede, mase la velocità verso il centro è uniformemente accelerata la curva descritta è dif-ferente. Galileo ritiene che sia un semicerchio, invece è ancora una spirale, # = �te � = � � t2, quindi � = � � ��2#2. Fermat calcola l�area spazzata da questaspirale e ne studia altre, �m = #n. Nel 1638 Cartesio, forse insoddisfatto dellateoria di Galileo e pensando che il moto dei pianeti sia provocato da immensivortici di etere, de�nisce una curva con la proprietà di essere tagliata con angolicostanti da rette per l�origine, d�=(�d#) = �, quindi log(�) = �# + �. È unaspirale logaritmica, che ad angoli in progressione aritmetica associa raggi in pro-gressione geometrica. Cartesio dimostra che la lunghezza di un tratto di spirale

44

è proporzionale alla distanza dal centro ed anche Torricelli studia questa curva,calcolandone la lunghezza e l�area spazzata dal raggio. In notazione in�nitesimale,posteriore a Cartesio e Torricelli, la lunghezza di un tratto in�nitesimo di spirale

� = exp(�# + �) èq(d�)2 + (�d#)2 =

p1 + ��2d� e un elemento in�nitesimo di

area è 2�1�2d# = 2�1��1�d�. In particolare, la lunghezza di un tratto di curva èdirettamente proporzionale all�incremento del raggio e l�area spazzata dal raggioè proporzionale al quadrato del raggio.

Le�Spirali in�nite�di Torricelli.

Le tangenti ad una spirale logaritmica hanno un angolo costante con iraggi per il polo O. Se P è un punto sulla spirale e Q l�intersezione tra latangente alla spirale in P e la retta per O perpendicolare al raggio OP , ilsegmento PQ è lungo quanto il tratto di spirale da P ad O e l�area deltriangolo OPQ è doppia dell�area spazzata dal raggio nei suoi in�niti

avvolgimenti da P a O.

Gli indivisibilidi Cavalieri e le�Iperboli in�nite�di Torricelli.

Il �solido acuto iperbolico�ottenuto ruotando l�iperbole f0 < y < 1=xgintorno all�asintoto y = 0 può essere scomposto negli �indivisibili curvi�

formati dalle super�ci laterali dei cilindrin0 < x < t;

py2 + z2 = 1=t

o,

che sono tutte uguali a 2�. Da questo segue che il solido in�nitonx > 0;

py2 + z2 < min f1=a; 1=xg

oha volume �nito 2�=a.

Anche Newton, come Cartesio e Torricelli, all�inizio pensa che la traiettoria diun proiettile soggetto ad una forza centripeta sia una spirale, invece R.Hooke

45

(1635-1703) avanza l�ipotesi di una traiettoria ellittica. Newton ci ripensa esostituendo ad una accelerazione uniforme una inversamente proporzionale alquadrato della distanza riesce a dare ragione delle leggi di Keplero.Una curva molto studiata è la cicloide, descritta da un punto di un cerchio che

rotola lungo una retta. Questa Elena dei matematici, bella ma fonte di dispute,suscita l�interesse di Nicola da Cusa e poi di Galileo Galilei, G.P.Robenval (1602-1675), B.Pascal (1623-1662), C.Wren (1632-1723), Fermat, Cartesio, Torricelli,Huygens, Wallis, Leibniz, Newton, dell�intera famiglia Bernoulli e di tanti altri.

Galileo Galileie la cicloide.

�Quella linea arcuata sono più di cinquant�anni che mi venne in mente ildescriverla, e l�ammirai per una curvità graziosissima per adattarla agliarchi di un ponte. Feci sopra di essa e sopra lo spazio da lei e dalla suacorda compreso diversi tentativi per dimostrarne qualche passione, eparve da principio che tale spazio potesse essere triplo del cerchioche lo descrive ma non fu così, benché la di¤erenza non sia molta.�

La cicloide riceve il suo nome da Galileo nel 1599. Galileo scopre che unmodello di un arco di cicloide pesa circa tre volte più del suo cerchio genera-tore. Conscio dei possibili errori di misura e nella costruzione dei modelli e forsesospettoso per un numero così semplice, congettura che il rapporto tra l�area dellacicloide e del cerchio sia �. Invece Robenval, e poi Cartesio, Fermat, Torricelli,provano che l�area sotto la cicloide è proprio tre volte quella del cerchio gen-eratore. Oltre alla quadratura, questi studiosi riescono anche a determinare letangenti alla cicloide. In particolare, per studiare la cicloide Robenval introducee studia la sua curva compagna, la sinusoide. Tiene però segrete le sue ricerche,salvo poi accusare di plagio Torricelli quando questi riscopre gli stessi risultati.Cartesio giudica il risultato di Robenval �bello, uno che non avevo ancora notato,ma che non avrebbe causato di¢ coltà ad un geometra di media abilità� e rendepubblica la sua soluzione solo �per far vedere a quelli che fanno troppo rumoreche questa è molto facile�. Wren, architetto della cattedrale di S.Paolo a Londra,

46

prova che la lunghezza dell�arco di cicloide è otto volte il raggio del cerchio gen-eratore. Infatti, la cicloide di equazioni x = # � sin(#) e y = 1 � cos(#) ha areaZ 2�

0

ydx = 3� e lunghezzaZ 2�

0

pdx2 + dy2 = 8. Pascal trova molte altre propri-

età di questa curva, che lo distraggono dall�insonnia e dal mal di denti. O¤re poipremi in denaro per la soluzione di problemi su aree e centri di gravità di parti dicicloide sopra segmenti paralleli alla base e su volumi e centri di gravità dei solididi rotazione generati da queste parti. Wallis ottiene solo soluzioni parziali maniente soldi. Huygens scopre che l�evoluta di una cicloide è ancora una cicloidee scopre anche l�isocronia delle oscillazioni su un arco di cicloide, poi progettae costruisce a partire dal 1657 orologi a pendolo cicloidali. Pubblica in�ne nel1673 le sue scoperte di dinamica nel trattato �Horologium oscillatorium�. Mentregli orologi con bilanciere a verga prima di Huygens hanno una imprecisione diqualche minuto al giorno, gli orologi di Huygens, i primi orologi a pendolo, hannouna imprecisione di qualche secondo al giorno. Si studiano anche cicloidi accorci-ate o allungate, descritte da un punto interno o esterno ad un cerchio che rotolalungo una retta. Robenval ne trova l�area e Pascal osserva che la loro lunghezzadipende da quella delle ellissi. Newton utilizza queste cicloidi per �trovare ad undato tempo la posizione di un corpo che si muove lungo una ellisse�, cioè risolverel�equazione di Keplero t = A#�B sin(#).

Cicloidi accorciate e allungate�x = r#� d sin(#);y = r � d cos(#):

Invece di rotolare lungo una retta il cerchio può anche rotolare lungo un�altracurva. Per esempio, il moto dei pianeti intorno alla Terra è composizione di motiquasi circolari uniformi. Se al moto del Pianeta intorno al Sole si somma il motodel Sole intorno alla Terra, con raggi delle orbite A e B e periodi di rivoluzione2�=� e 2�=�,

P � T = (P � S) + (S � T ) = A exp (i�t) +B exp (i�t) :

47

Gli epicicli di Tolomeo sono i progenitori delle serie di J.Fourier (1768-1830).Le orbite della Terra, eccentricità 1/60, e di Venere, eccentricità 1/150, sonopraticamente circolari ed i conti tornano. Al contrario, l�eccentricità dell�orbita diMarte è 1/11 e per vincere la sua �guerra contro Marte�Keplero deve cambiaresistema.

Le orbite dei pianeti intorno alla Terra secondo Tolomeo.

L�anno venusiano è 0,61 volteil terrestre e la distanza mediadi Venere dal Sole è 0,72 volte ladistanza del Sole dalla Terra.

L�anno marziano è 1,88 volteil terrestre e la distanza mediadi Marte dal Sole è 1,52 volte ladistanza del Sole dalla Terra.

Torniamo alle curve algebriche. Cartesio e Fermat sanno che un�equazione diprimo grado in (x; y) rappresenta una retta ed una di secondo grado una conica.Sanno anche che con opportune traslazioni e rotazioni degli assi queste equazioni siposso portare a delle forme canoniche, y = ax2 è una parabola, (x=a)2+(y=b)2 = 1un�ellisse e (x=a)2 � (y=b)2 = 1 un�iperbole. Nella �Classi�cazione delle curve delterz�ordine� Newton asserisce che tutte le curve piane di terzo grado si possonoricondurre con appropriate scelte degli assi a quattro forme canoniche:

xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx+ d;xy = ax3 + bx2 + cx+ d;y2 = ax3 + bx2 + cx+ d;y = ax3 + bx2 + cx+ d:

A seconda degli zeri del polinomio di destra, Newton trova 72 tipi di cubiche.Nel 1717 J.Stirling (1692-1770) trova quattro nuove cubiche ed il catalogo vienecompletato nel 1740 con l�aggiunta di altre due cubiche. Newton asserisce an-che che tutte queste curve si possono ottenere da y2 = ax3 + bx2 + cx + d permezzo di opportune proiezioni. Nel 1657 W.Neil (1637-1670), smentendo il dogma

48

cartesiano sull�impossibilità di retti�care esattamente delle linee curve, retti�cala parabola semicubica. La lunghezza dell�arco di curva y2 = ax3 dall�origine a

(x; y) èZ x

0

p1 + (dy=dx)2dx =

Z x

0

p1 + 9ax=4dx =

�q(4 + 9ax)3 � 8

�=27a.

Di fatto, tutte le lunghezze delle parabole generalizzate y2n = ax2n+1 sono cal-colabili algebricamente. Nel 1658 Huygens e Wallis dimostrano che l�area tra lacissoide di Diocle e l�asintoto è tre volte l�area del cerchio generatore, l�area tra

la cissoide y = �p(a� x)3=x e l�asintoto x = 0 è 2

Z a

0

p(a� x)3=xdx = 3�a2=4.

Poi Newton dimostra che anche la lunghezza di un arco di cissoide si può cal-colare in modo elementare. Un�altra cubica la cui quadratura è riconducibile aquella del cerchio è la �versaria� o �curva con seno verso�, che si incontra inFermat, Huygens, G.Grandi (1671-1742) e nelle �Instituzioni analitiche ad usodella gioventù italiana di D.na Maria Gaetana Agnesi Milanese...�, pubblicatenel 1748. Si tratta della curva y = �a

p(a� x)=x, cioè x = a3= (a2 + y2). L�area

tra la versiera e l�asintoto èZ +1

�1a3 (a2 + y2)

�1dy = �a2.

�Instituzioni analitichead uso della gioventù italiana

di D.na Maria Gaetana Agnesi Milanese...�

�Dato il semicircolo ADC del diametro AC;si ricerca fuori di esso il punto M tale, checondotta MB normale al diametro AC, chetaglierà il circolo in D, sia AB, BD :: ACalla BM , e perché in�niti sono i punti M ,che soddisfano al problema, se ne dimanda

il luogo.

Sia M uno di questi punti, e chiamata AC = a, AB = x, BM = y, sarà, perla proprietà del circolo, BD =

pax� xx, e per la condizione del problema,

sarà AB;BD :: AC;BM , cioè x;pax� xx :: a; y; e però y = a

pax� xx=x,

o sia y = apa� x=

px, equazione alla curva da descriversi, che dicesi la

Versiera.�

Le quadrature dell�ellisse, della cicloide, della versiera e di molte altre curve siriconducono dunque a quella del cerchio, ma questo sembra resistere imperterrito

49

ad ogni tentativo di quadratura elementare.

I �ori geometrici di G.Grandi,� = sin (k#) :

�La rodonea è generata da un duplice movimento, uno di un raggio cheruota con moto circolare intorno al centro, l�altro di un punto che si muovesu e giù su questo raggio, sollecitato da una forza armonica uguale al senodi un angolo in un dato rapporto �sso con l�angolo descritto dal raggio.��L�area di una foglia di rodonea � = sin (#a=b) sta al quadrante di

cerchio come b sta ad a.�

L�ANALISI.

�Ci sono 7 case e in ogni casa 7 gatti, ogni gatto mangia 7 topi, ogni topo hamangiato 7 chicchi di grano ed ogni chicco avrebbe prodotto 7 misure di grano.Quant�è il totale? 7 case + 49 gatti + 343 topi + 2401 chicchi di grano + 16807misure di grano = 19607.�

Nel papiro copiato dello scriba Ahmes c�è 2301 invece di 2401, ma noi ci siamopermessi di correggere l�errore. Questo è comunque uno dei primi esempi di sommadi una progressione geometrica. Nel IX libro degli �Elementi� di Euclide si trovala seguente proposizione:

�Dati quanti si voglia numeri in proporzione continua, la di¤erenza fra il sec-ondo e il primo sta al primo come la di¤erenza tra l�ultimo e il primo sta allasomma di tutti i termini che precedono l�ultimo.�

Cioè, data la progressione geometrica a, ax, ax2,..., axn, si ha

ax� a

a=

axn � a

a+ ax+ ax2 + :::+ axn�1:

La dimostrazione di Euclide, basata sulla teoria delle proporzioni, può esseresostituita da una veri�ca diretta:

(1� x)�1 + x+ :::+ xn�1

�=�1 + x+ :::+ xn�1

���x+ :::+ xn�1 + xn

�= 1�xn:

50

Quindi, per ogni x 6= 1 si han�1Xk=0

xk = (1� xn) = (1� x) e, come osservato

da Viète, se jxj < 1 e n ! +1 si ottiene+1Xk=0

xk = 1= (1� x). Questa serie

geometrica è la capostipite di una lunga dinastia. In particolare, Gregorio diSan Vincenzo propone una soluzione dei paradossi di Zenone di Elea (V secoloa.C.) sommando delle serie geometriche e calcola l�istante esatto in cui il pie�veloce Achille raggiunge e sorpassa la tartaruga. Secondo Zenone non può esisteremovimento perché per passare da un punto iniziale ad uno �nale si deve primapassare per il punto medio e, anche ammesso che ci arrivi, si deve poi passareper il punto medio del rimanente, e così via ad in�nitum. Per Aristotele non hasenso dividere inde�nitivamente lo spazio e il tempo, per Gregorio, se ha sensouna divisione in�nita deve avere anche senso una somma in�nita. Se la distanzainiziale è 1, la metà è 1/2, la metà della metà 1/4, la metà della metà della metà1/8 e, sommando la serie geometrica, 1=2 + 1=4 + 1=8 + ::: = 1. Nell�opera diGregorio di San Vincenzo si trova anche una delle prime de�nizioni limite e diserie.Nel 1668 N.Mercatore (1620-1687) pubblica lo sviluppo in serie del logaritmo,

log(1 + x) = x� x2=2 + x3=3� x4=4 + ::::

Queste serie di potenze sono fondamentali nell�opera matematica di New-ton. �Applicando all�algebra la dottrina delle frazioni decimali,... ed osservandol�analogia tra numeri decimali e termini algebrici continuati all�in�nito...�, intu-isce che, come i numeri possono essere sviluppati in somme di potenze di 10, cosìle funzioni possono essere sviluppate in somme di potenze delle variabili. Neglianni 1665 e 1666, tornato a casa dall�università di Cambridge chiusa per peste,scopre la formula delle potenze di un binomio:

�Le estrazioni di radici possono essere molto abbreviate dal seguente teorema:

(P + PQ)m=n = Pm=n +m

nAQ+

m� n

2nBQ+

m� 2n3n

CQ+m� 3n4n

CQ+ etc:

P +PQ è la quantità di cui si deve ricercare la radice... P indica il primo ter-mine di tale quantità, Q i rimanenti termini divisi per il primo, m=n l�indice nu-merico della potenza di P+PQ... il termine A è Pm=n, il termine B è (m=n)AQ,e cosí per gli altri termini.�

51

Newton scopre questa formula ispirato dalle ricerche di Wallis sulle aree sottole curve y = (1� x2)

n=2, estendendo all�indietro il triangolo aritmetico di Pascale riempiendo gli spazi tra le righe,

::: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :::::: �2 �3=2 �1 �1=2 0 1=2 1 3=2 2 5=2 3 :::::: 3 15=8 1 3=8 0 �1=8 0 3=8 1 15=8 3 :::::: �4 �35=16 �1 �5=16 0 1=16 0 �1=16 0 5=16 1 :::::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: :::

I numeri in colonna sono i coe¢ cienti di xn nello sviluppo del binomio (1+x)�,

(1 + x)� = 1 +�

1x+

�(�� 1)1 � 2 x2 +

�(�� 1)(�� 2)1 � 2 � 3 x3 + ::::

Newton non ha una dimostrazione rigorosa della sua formula, ma si limita averi�carne la validità per esponenti razionali positivi e negativi, con delle divisionied estrazioni di radice. Forse le prime dimostrazioni �rigorose� della formuladel binomio per esponenti qualsiasi sono dovute a A.L.Cauchy (1789-1857) e aN.H.Abel (1802-1829). Comunque, dalla serie binomiale Newton ricava parecchialtri sviluppi in serie. Integrando termine a termine una serie geometrica (1 +x)�1 = 1�x+x2�:::, Newton ottiene l�area sotto l�iperbole z = x�x2=2+x3=3�:::.Ponendo poi x = az + bz2 + cz3 + ::: ed uguagliando le potenze di z dello stessogrado,

z = (az + bz2 + cz3 + :::)� (az + bz2 + cz3 + :::)2=2 + (az + bz2 + cz3 + :::)

3=3� :::

= az + (b� a2=2) z2 + (c� ab+ a3=3) cz3 + :::;

ricava i primi termini dello sviluppo della funzione inversa x = z+z2=2+z3=6+ :::ed indovina lo sviluppo completo. In modo simile, integrando termine a terminelo sviluppo in serie della funzione (1� x2)�1=2, ottiene la lunghezza di un arco dicerchio e quindi l�arco seno, poi per inversione ricava lo sviluppo di seno e coseno,

cos(x) = 1� x2=2! + x4=4!� x6=6! + :::; sin(x) = x� x3=3! + x5=5!� x7=7! + ::::

52

La serie dell�arco seno,del seno e coseno di

Newton.

Nel semicerchio y =p1� x2, il triangolo con lati fx; y; 1g è simile al

triangolo fdy; dx; dsg , in particolare ds=dx = 1=p1� x2. Sviluppando

in serie ed integrando si ottiene arcsin(x) =Z x

0

(1� t2)�1=2

dt

=

Z x

0

�1 +

1

2t2 +

1 � 32 � 4t

4 +1 � 3 � 52 � 4 � 6t

6 +1 � 3 � 5 � 72 � 4 � 6 � 8t

8 + :::

�dt

= x+1

2 � 3x3 +

1 � 32 � 4 � 5x

4 +1 � 3 � 52 � 4 � 6 � 7x

7 +1 � 3 � 5 � 72 � 4 � 6 � 8 � 9x

9 + :::

Risolvendo poi rispetto a z l�equazione z = x+ x3=6 + 3x5=40 + :::, si ottienesin(z) = z � x3=3! + x5=5!� ::: e similmente cos(z) = 1� x2=2! + x4=4!� :::.

Nel �Metodo delle �ussioni e serie in�nite�, terminato nel 1671 ma pubblicatosolo nel 1736, Newton sviluppa un calcolo per somme, sottrazioni, moltiplicazioni,divisioni, estrazioni di radici per serie in�nite e dedica due corti paragra� allaquadratura dell�iperbole e del cerchio.

�Data la quantità aa+ xx, si può estrarne la radice quadrata in questo modo,

paa+ xx = a+

x2

2a� x4

8a3+

x6

16a5� :::

Dato un semicerchio di diametro a, denotati con x l�ascissa ed y l�ordinata siha

y =pax� xx =

pax� x

2a

pax� x2

8a2pax� x3

16a3pax� :::

Data un�iperbole di equazionepx+ xx = z, l�area sottesa risulta uguale a

2

3x3=2 +

1

5x5=2 � 1

28x7=2 +

1

72x9=2 � 5

704x11=2 � :::

Dato il cerchio di equazionepx� xx = z, l�area sottesa risulta uguale a

2

3x3=2 � 1

5x5=2 � 1

28x7=2 � 1

72x9=2 � :::

53

L�area del cerchio di¤erisce dall�area dell�iperbole solo per i segni �... Benchéqueste aree non siano comparabili geometricamente, si possono trovare con lostesso calcolo aritmetico.�

La quadratura del cerchioy =

px� x2 di Newton.

�

24=

p3

32+

Z 1=4

0

px� x2dx

=

p3

32+

Z 1=4

0

�x1=2 � 1

2x3=2 � 1

8x5=2 � 1

16x7=2 � :::

�dx

=

p3

32+2

3(1

4)3=2 � 1

5(1

4)5=2 � 1

28(1

4)7=2 � 1

72(1

4)9=2 + :::

� =3p3

4+ 24 �

�1

3 � 22 �1

5 � 25 �1

7 � 29 �1

9 � 212 + :::

�:

Integrando 22 termini dello sviluppo in serie di y =px� x2 tra 0 e 1/4

Newton ottiene � = 3; 1415926535897928:::, gli ultimi due decimali sono errati.Similmente, sviluppando in serie l�area iperbolica calcola i logaritmi

(log (1 + 1=10)� log (1� 1=10)) =2 = 1=10 + (1=10)3=3 + (1=10)5=5 + :::;(log (1 + 1=10) + log (1� 1=10)) =2 = (1=10)2=2 + (1=10)4=4 + (1=10)6=6 + ::::

Da cui ricava log (0; 9) = �0; 1053605156577::: e log (1; 1) = 0; 0953101798043:::.Poi calcola log (0; 8) = �0; 2231435513142::: e log (1; 2) = 0; 1823215567939::: e ri-cava

log(2) = log

�1; 2� 1; 20; 8� 0; 9

�= 2 log (1; 2)� log (0; 8)� log (0; 9) = 0; 6931471805597:::;

log(10) = log

�2� 2� 20; 8

�= 3 log (2)� log (0; 8) = 2; 3025850929933::::

Ed ancora log(9) = log(0; 9)+log(10) e log(11) = log(1; 1)+log(10), ottenendoquindi i logaritmi dei numeri primi 2, 3, 5, 11. Similmente, calcola i logaritmi di

54

altri numeri primi da cui si possono dedurre con somme i logaritmi di numericomposti. Più tardi scrive: �Ho vergogna di confessare �no a quante cifre hoportato avanti questi calcoli, non avendo a quel tempo nient�altro da fare. Allorami compiacevo troppo in queste ricerche�. Infatti dal 1665 al 1666 Newton si trovaa casa in campagna, perché l�università di Cambridge è stata chiusa per peste.Nei �Principi matematici della �loso�a naturale�, pubblicati nel 1687, Newtondeduce le leggi di Keplero dalla legge di gravitazione universale. L�orbita di unpianeta intorno al sole è ellittica con il sole in un fuoco e l�area spazzata dal raggiovettore dal sole al pianeta è proporzionale al tempo impiegato a percorrerla. NelLemma XXVIII dimostra che quest�area non è una funzione algebrica del tempo.

�Non esiste alcuna �gura ovale la cui area, tagliata da rette tracciate a pi-acere, possa in generale trovarsi mediante equazioni �nite per numero di terminie di dimensioni. All�interno dell�ovale si prenda un punto intorno al quale, comead un polo, si ruoti con moto uniforme una linea retta e su questa retta un puntomobile esca dal polo e prosegua con velocità proporzionale al quadrato della partedi retta nell�ovale. In tal modo il punto descriverà una spirale con in�niti avvol-gimenti. Se una porzione dell�area dell�ovale tagliata dalla retta si potesse trovaremediante un�equazione �nita, con la stessa equazione si troverebbe anche la dis-tanza del punto dal polo, distanza che è proporzionale all�area, e perciò tutti ipunti della spirale potrebbero essere trovati mediante un�equazione �nita. Ma ogniretta inde�nitamente prolungata taglia la spirale in un numero in�nito di punti el�equazione con la quale si trova l�intersezione tra due linee esibisce le intersezionicome radici, perciò arriva a tante dimensioni quante sono le intersezioni... Quindile in�nite intersezioni di una retta con una spirale richiedono equazioni con unnumero in�nito di dimensioni... Analogamente, se l�intervallo tra il polo ed ilpunto che descrive la spirale è preso proporzionale al perimetro dell�ovale tagliato,si può dimostrare che la lunghezza del perimetro non può essere in generale esi-bita mediante un�equazione �nita... Di conseguenza, l�area dell�ellisse, che è de-scritta mediante un raggio condotto dal fuoco verso il corpo mobile, non può essereespressa a partire dal tempo per mezzo di un�equazione �nita, e perciò non puòessere determinata mediante la descrizione di curve geometricamente razionali.�

Leibniz commenta: �L�impossibilità di integrare una generica parte di cer-chio o ellisse mi pare su¢ cientemente dimostrata, ma non ho ancora visto unadimostrazione della non integrabilità dell�intero cerchio o di una sua parte de-terminata�. Invece Huygens osserva perplesso che il risultato non si applica a

55

delle semplici curve quali un triangolo o un quadrato, o ad una curva a forma diotto come la parabola virtuale di Gregorio di S.Vincenzo y2 = x2 � x4. Infatti

l�area sotto questa curva è data dall�integraleZ p

x2 � x4dx = � (1� x2)3=2=3.

Visti i dubbi di un così autorevole esperto, ripetiamo l�argomentazione di Newton.Gli ovali considerati sono curve analitiche chiuse e convesse senza punti singolari.L�area A(#) spazzata da una semiretta che ruota attorno ad un punto interno allacurva è una funzione analitica dell�angolo di rotazione #, ma non è una funzionealgebrica dei coseni direttori della semiretta, cioè non esiste un polinomio in trevariabili P (x; y; z) con P (cos(#); sin(#); A(#)) = 0 per ogni #. Denotiamo infatticon z1(#), z2(#), z3(#),..., zn(#) le radici di un polinomio P (cos(#); sin(#); z) digrado n nella variabile z. Se A(#), che è una funzione analitica, è radice delpolinomio anche solo per un piccolo intervallo di valori di #, per il principio diidentità delle funzioni analitiche quest�area è radice del polinomio per ogni valoredi #. Se A(#) = z1(#) per # vicino a zero, dopo un giro l�area aumenta di unaquantità uguale all�area totale nella curva e si trasforma in una seconda radicez2(#) diversa dalla prima, dopo due giri in una terza radice z3(#) diversa dalledue precedenti,..., e dopo n giri si raggiunge una contraddizione. L�argomento nonsi applica alla parabola virtuale di Gregorio di S.Vincenzo y2 = x2�x4, che ha unpunto doppio nell�origine, perché l�integrale dell�area

Zydx prolungato analitica-

mente lungo un giro di curva è zero. Un altro esempio di curva a cui l�argomentonon si applica è la foglia di Cartesio x3 � xy + y3 = 0, che ha un punto doppionell�origine e due rami che vanno all�in�nito. Intersecando la curva con un fasciodi rette per il punto doppio y = tx si ottiene la rappresentazione parametrica(x; y) = (t= (t3 + 1) ; t2 (t3 + 1)), che permette di calcolare algebricamente l�area,Z

ydx =

Zt2

t3 + 1

d

dt

�t

t3 + 1

�dt =

4t3 + 1

6 (t+ 1)2 (t2 � t+ 1)2:

Quindi, per il lemma di Newton è impossibile quadrare algebricamente un

generico spicchio di cerchio, cioè l�integraleZ p

1� x2dx de�nisce una funzione

trascendente. Al contrario, come mostrato da Archimede, il volume di un seg-mento sferico è una funzione algebrica della distanza tra il piano che taglia il seg-mento di sfera ed il centro della sfera. Infatti, questo volume dipende dall�integraleZ� (1� x2) dx.

56

L�area di un segmentodi cerchio nella

�Metrica�di Erone.

Se la base b è molto più grande dell�altezza a, il segmento di cerchiopuò essere approssimato con una parabola di area 2ab=3. Se la base ècomparabile all�altezza, si può approssimare l�area del segmento dicerchio con a (a+ b)=2 + (b=2)2 =14. Per l�area di un semicerchio di

raggio R si ottiene la stima di Archimede 22=14R2.

Anche Gregory cerca di dimostrare che la lunghezza della circonferenza non èuna funzione algebrica del raggio e nella�Vera quadratura del cerchio e dell�iperbole�del 1667 trova un algoritmo per calcolare in modo archimedeo l�area di un settoredi ellisse o iperbole. Dati due punti A e B su una conica di centro O, si denotacon x0 l�area del triangolo OAB e y0 l�area del quadrilatero con lati OA, OB, ele due tangenti alla conica per A e B. Poi si de�niscono ricorsivamente

xn+1 =pxnyn; yn+1 =

2xn+1ynxn+1 + yn

:

Queste medie armonico geometriche convergono all�area del settore di conicaindividuato dai punti OAB ed opportune combinazioni di xn e yn aumentano lavelocità di convergenza. Nel caso di un cerchio l�area è un arco tangente e nel casodi un�iperbole l�area è un logaritmo, uno stesso processo analitico può generaresia funzioni trigonometriche che logaritmi. In una lettera del 15 Febbraio 1671 aJ.Collins, che gli ha fatto conoscere le ricerche di Newton, Gregory scrive:

�Sia il raggio = r, l�arco = a, la tangente = t, la secante = s, allora�

a = t� t3

3r2+

t5

5r4� t7

7r6+

t9

9r8etc:::

t = a+a3

3r2+2a5

15r4+17a7

315r6+

3233a9

181440r8etc:::

s = r +a2

2r+5a4

24r3+61a6

720r5+277a8

8064r7etc:::

Il coe¢ ciente di nono grado nello sviluppo della tangente non è corretto. Laserie dell�arco tangente si trova anche in una lettera di Leibniz del 27 Agosto 1676

57

e in precedenti corrispondenze di questi con Huygens, ma viene pubblicata senzadimostrazione solo nel 1682 negli �Acta eruditorum�.

�La quadratura aritmetica del cerchio è contenuta nel seguente teorema: Es-sendo il raggio unitario e t la tangente di un arco, la grandezza dell�arco saràt=1� t3=3+ t5=5� t7=7+ t9=9 etc. Trovati gli archi, è facile trovare gli spazi, ed uncorollario del teorema è che se il diametro e il suo quadrato sono uno, il cerchio è1=1� 1=3 + 1=5� 1=7 + 1=9 etc.�

La quadratura è aritmetica perché utilizza solo i numeri interi e le quattrooperazioni elementari. Alla formula �=4 = 1 � 1=3 + 1=5 � 1=7 + ::: Leibnizaggiunge il commento: �Dio ama i numeri dispari�. Nel 1684 Leibniz pubblicaun �Nuovo metodo per i massimi e minimi e per le tangenti, che non si arrestadi fronte a quantità frazionarie o irrazionali, ed un singolare genere di calcolo perquesti problemi�. In questa memoria si de�niscono i di¤erenziali dy e dx come deisegmenti il cui rapporto dy=dx è uguale al rapporto tra ordinata e sottotangente,cioè il coe¢ ciente angolare della retta tangente, e si enunciano le regole del calcolocon queste quantità.

�Siano date più curve con ordinate v, w, y, z,... ed ascissa x... Preso unsegmento arbitrario dx, siano dv, dw, dy, dz,... dei segmenti che stanno a dxcome le ordinate stanno alle sottotangenti... Ciò posto, le regole del calcolo sonoqueste:Se a è una quantità costante, si ha da = 0 e dax = adx...Somme e Sottrazioni: Se v = z � y + w + x, si ha dv = dz � dy + dw + dx...Moltiplicazioni: Se y = xv, si ha dy = xdv + vdx...Divisioni: Se z = v=y, si ha dz = (�ydv � vdy) =y2...Potenze: dxa = axa�1dx... Radici: d b

pxa = (a=b)

bpxa�bdx...

Poiché le ordinate v a volte crescono ed altre volte decrescono, dv è posi-tivo o negativo... E quando le ordinate v non crescono né decrescono ma sonostazionarie, dv = 0... Se crescendo le ordinate v crescono anche gli incrementi odi¤erenziali dv, se cioè le di¤erenze delle di¤erenze ddv sono positive, la curvavolge all�asse la sua concavità, o nel caso contrario la sua convessità... Si trovaquindi un punto di �esso quando ddv = 0... Dalla conoscenza di questo algoritmo,o di questo calcolo che io chiamo di¤erenziale, si possono ricavare tutte le altreequazioni di¤erenziali per mezzo del calcolo comune, ed ottenere i massimi e min-imi e le tangenti... La dimostrazione di tutte le regole esposte è facile per chi è

58

versato in questi studi. Una sola cosa non è stata �n qui enfatizzata a su¢ cienza,cioè che si possono prendere dx, dy, dv, dw, dz proporzionali alle di¤erenze oincrementi o diminuzioni istantanee di x, y, v, w, z,...�

Non essendoci ancora una esatta convenzione sull�uso dei segni in geometriaanalitica, Leibniz spiega come scegliere i�segni ambigui in d(v=y) = (�ydv � vdy) =y2�.

Poi Leibniz prosegue trovando il minimo della funzione hpa2 + x2+k

qb2 + (c� x)2,

problema già risolto da Fermat nello studio della rifrazione della luce. A questoproposito Fermat osserva: �La natura sceglie sempre la via più breve�. In�neLeibniz risolvere l�equazione di¤erenziale dy=dx = y=m e dimostra che una curvacon sottotangente costante è logaritmica. Anche questo è un problema già risoltoda Torricelli.

Il problema di de Beaune sullacurva con sottotangente costante

e la soluzione di Leibniz.

�Si tratta di trovare una curva Y Y tale che, condotta all�asse una tangenteY C, la sottotangente XC sia uguale ad un segmento costante a. Ora XY ,cioè y, sta a XC, cioè a, come dy sta a dx. Se dunque dx, che si puòprendere ad arbitrio, si assume costante uguale a b, allora y = (a=b)dy,per cui le ordinate y risultano proporzionali alle loro stesse di¤erenze oincrementi, cioè se le x formano una progressione aritmetica, allora le yformano una progressione geometrica. In altre parole, se y sono i numeri,

allora x sono i logaritmi, la linea è logaritmica.�

A poco a poco i rapporti tra isola e continente cominciano a guastarsi e scop-piano delle polemiche con accuse incrociate di plagio sulla priorità dell�invenzionedel calcolo, con le parti in causa e gli amici delle parti in causa che danno il megliodi se. Newton osserva che le serie di Gregory e Leibniz sono casi particolari dirisultati più generali di cui è in possesso:

�Io sono capace di comparare geometricamente alle sezioni coniche tutte lecurve con ordinate

59

dxn�1

e+ fxn + gx2n; :::

dx2n�1

e+ fxn + gx2n; :::

dpe+ fxn + gx2n

x; :::

dxn�1pe+ fxn + gx2n

:::dxn�1

pe+ fxn

g + hxn; ::: dxn�1

re+ fxn

g + hxn; :::

qualunque sia n, intero o frazionario, positivo o negativo... Questi risultati gen-erano delle serie in più di un modo. Nel primo esempio, se n = 1 e f = 0 siottiene d= (e+ gx2), da cui proviene la serie che mi è stata comunicata. Simil-mente, se n = 1 e 2eg = f 2, per la lunghezza di un quarto di cerchio con cordauno si ottiene la serie 1 + 1=3 � 1=5 � 1=7 + 1=9 + 1=11 � 1=13 � 1=15 + :::Comunque, queste proposizioni mi sembrano più belle che utili e tutti questi prob-lemi possono esser risolti con minor fatica... Per ottenere archi di cerchio, osettori di sezioni coniche, io preferisco le serie di seni. Infatti, se si volessecalcolare la lunghezza di un quadrante con 20 decimali per mezzo della serie1+1=3�1=5�1=7+1=9+1=11�1=13�1=15+:::, occorrerebbero circa 5000000000termini e sarebbero appena su¢ cienti mille anni. Il calcolo con la serie dellatangente di 45 gradi sarebbe ancora più lento. Invece, con il seno di 45 gradibasterebbero 50 o 60 termini della serie

p1=2 (1 + 1=12 + 3=160 + 5=896 + :::) e

penso che questo calcolo dovrebbe richiedere solo tre o quattro giorni.�

Per calcolare 1 + 1=3 � 1=5 � 1=7 + 1=9 + 1=11 � 1=13 � 1=15 + ::: si puòtrasformare la serie in integrale,

1 + 1=3� 1=5� 1=7 + 1=9 + 1=11� 1=13� 1=15 + :::

=

Z 1

0

(1 + x2 � x4 � x6 + x8 + x10 � x12 � x14 + :::) dx

=

Z 1

0

(1 + x2) (1� x4 + x8 � x12 + :::) dx =

Z 1

0

1 + x2

1 + x4dx

=

Z 1

0

1=2

1�p2x+ x2

dx+

Z 1

0

1=2

1 +p2x+ x2

dx

=�arctan

�p2x� 1

�+ arctan

�p2x+ 1

��=p2��10= �=

�2p2�:

Nell�ultima uguaglianza si è utilizzata la formula arctan (x) + arctan (1=x) =�=2. Raggruppando i termini 1+(1=3� 1=5)�(1=7� 1=9)+(1=11� 1=13)� ::: siottiene una serie a segni alterni con termini 1=(4k�1)�1=(4k+1) = 2= (16k2 � 1)e questi termini sono minori di 10�20 solo per k > 1010=

p8. Questo sono i termini

da sommare per ottenere circa 20 decimali.

60

Sia la serie dell�arco tangente di Leibniz e di Gregory che le serie di Newtonsono casi particolari della formula di B.Taylor (1685-1731) apparsa nel 1715 sul�Medodo diretto ed inverso degli incrementi� ed ancora nel 1742 sul �Trattatosulle �ussioni� di C.MacLaurin (1698-1746),

f(x) =

+1Xn=0

f (n)(a)

n!(x� a)n:

Taylor ottiene questo sviluppo in serie come limite di una formula di Gregorye Newton sull�interpolazione di una funzione con polinomi. MacLaurin utilizzainvece il metodo dei coe¢ cienti indeterminati. Se f(x) = a+ bx+ cx2 + dx3 + :::,ponendo x = 0 si ottiene f(0) = a. Derivando, f 0(x) = b + 2cx + 3dx2 + :::e ponendo x = 0 si ottiene poi f 0(0) = b. Derivando ancora, f 00(x) = 2c +6dx + ::: e ponendo x = 0 si ottiene f 00(0) = 2c.... Anche questa formula scatenapolemiche ed accuse di plagio con la famiglia Bernoulli. È comunque pericolosolitigare sulla priorità delle proprie scoperte, infatti sia la serie dell�arco tangenteche le serie di altre funzioni trigonometriche compaiono in India già nel XV secolo,attribuite a Madhava sono pubblicate da Nilakantha nel libro sanscrito in versi�Tantrasangraha�:

�Prendi un arco circolare, con ascissa non inferiore all�ordinata. Moltiplical�ordinata per metà diametro e dividi per l�ascissa, questo è il primo termine.Moltiplica questo termine per il quadrato dell�ordinata e dividi per il quadratodell�ascissa, questo è il secondo termine. Ripeti il processo di moltiplicare peril quadrato dell�ordinata e dividere per il quadrato dell�ascissa. Ottieni quindi itermini successivi che devi dividere per i numeri dispari 1, 3, 5,... Se si sommanoi termini di posto dispari e si sottraggono quelli di posto pari, quello che si ottieneè la circonferenza.�

Di più, ci sono interessanti stime per l�errore di troncamento della serie,

� = 4

�1� 1

3+1

5� 17+ :::� 1

2n� 1 � E(n)

�;

E(n) � 1=4n; E(n) � n= (4n2 + 1) ; E(n) � (n2 + 1) = (4n3 + 5n) :

Dieci termini della serie più l�ultima formula di correzione dell�errore dannosei decimali corretti, mentre senza correzione l�errore è già al primo decimale.

61

Nilakantha propone anche l�approssimazione � � 104348=33215 con nove decimalicorretti ed altre serie, tra cui

� = 3 + 4

�1

33 � 3 �1

53 � 5 +1

73 � 7 �1

93 � 9 + :::

�;

� = 16

�1

15 + 4� 1

35 + 12+

1

55 + 20� 1

75 + 28+ :::

�:

In�ne, Nilakantha esprime seri dubbi sulla razionalità del rapporto tra circon-ferenza e diametro:

�Se il diametro, misurato in una qualche unità di misura, è commensurabilecon l�unità, allora la circonferenza non può essere misurata con la stessa unità eviceversa, se è possibile misurare la circonferenza non si può misurare il diametro�.

La serie dell�arco tangente di Nilakantha.Iscritto un quarto di cerchio di raggio unoin un quadrato e diviso un lato del quadratoin segmenti di lunghezza ", se si congiungonoi punti di divisione al centro del cerchio, ilk-esimo arco di cerchio risulta circa ugualea "= (1 + ("k)2) ed un arco di circonferenza

con tangente x circa uguale ax="Xk=0

"

1 + ("k)2=

+1Xn=0

x="Xk=0

(�)n"2n+1k2n �+1Xn=0

(�)nx2n+12n+ 1

:

Anche se eleganti, sia il prodotto di Wallis che la serie di Leibniz non sono deimetodi pratici per il calcolo numerico di �. Su suggerimento di E.Halley (1656-1742), con la serie di arctan

�1=p3�= �=6 nel 1699 A.Sharp (1651-1742) calcola

71 decimali di �. Nel 1706 J.Machin (1680-1752) osserva che

�=4 = 4 arctan(1=5)� arctan(1=239)e con le serie di arctan(1=5) e arctan(1=239) che convergono rapidamente calcolale prime cento cifre decimali di �. Sempre nel 1706 in �Una nuova introduzionealle matematiche� di W.Jones viene introdotta la notazione � per il rapporto tracirconferenza e diametro, mentre la notazione e per il numero con logaritmo iper-bolico uguale ad uno è del 1728 e si trova nelle �Meditazioni su recenti esperimenti

62

di spari di cannoni�di Eulero. Adottate da Eulero nella �Introduzione all�analisidell�in�nito�, queste notazioni divengono poi d�uso comune.Logaritmi ed esponenziali compaiono in modo naturale in problemi di interesse

semplice o composto. Nella �Summa de arithmetica, geometria, proportioni etproportionalità� di Luca Pacioli (1445-1514) si trova la seguente regola:

�A voler sapere ogni quantità a tanto per 100 l�anno, in quanti anni saràtornata doppia tra utile e capitale, tieni per regola 72, a mente, il quale semprepartirai per l�interesse, e quello che ne viene, in tanti anni sarà raddoppiato.Esempio: Quando l�interesse è a 6 per 100 l�anno, dico che si parta 72 per 6; neviene 12, e in 12 anni sarà raddoppiato il capitale.�

Con un interesse del y per cento, il tempo x in cui il capitale raddoppia èsoluzione dell�equazione esponenziale (1 + y=100)x = 2. La soluzione esatta èx = log(2)= log(1 + y=100), ma ponendo log(1 + y=100) � y=100 si ottiene unasoluzione approssimata x � 100 log(2)=y. Invece di 100 log(2) = 69; 314::: puòessere comodo usare 72 che è un numero intero con molti divisori. Questo prob-lema riguarda il calcolo dell�interesse semplice. Nel 1690 J.Bernoulli (1654-1705)pubblica la seguente questione sull�interesse composto:

�Se qualcuno presta i suoi soldi ad usura, con la condizione che il suo capitaleaumenti in ogni istante di una parte proporzionale all�interesse annuo, quantodeve ricevere alla �ne dell�anno?�

Se x è l�interesse annuo, dopo un anno il capitale è moltiplicato per il fattorelimn!+1 (1 + x=n)

n. Bernoulli non collega immediatamente questa espressione ai

logaritmi, comunque questo limite e l�equazione x =Z y

1

dt

tde�niscono la stessa

funzione y. Infatti, perturbando l�equazione si ottiene x =Z E(x;")

1

t"�1dt, da cui

ricava E(x; ") = (1 + "x)1=". Osserviamo che t"�1 decresce se " decresce, quindiE(x; ") cresce. Osserviamo in�ne che, per la formula del binomio,

limn!�1

�1 +

x

n

�n= lim

n!�1

nXk=0

n(n� 1):::(n� k + 1)

k!nkxk =

+1Xk=0

xk

k!

63

Quindi l�integrale di Gregorio di S.Vincenzo x =Z y

1

dt

t, la serie di Newton

+1Xk=0

xk=k! e la successione di Bernoulli f(1 + x=n)ng+1n=1 de�niscono una stessa fun-

zione y = exp(x). L�interesse è proporzionale all�integrale rispetto al tempo delcapitale. Nella serie esponenziale il termine 1 rappresenta il capitale iniziale, xl�interesse, x2=2 l�interesse sull�interesse,...

Un problema dei fratelli Bernoulli:Trovare le traiettorie ortogonali allecurve logaritmiche per un puntodato e con un dato asintoto.

La famiglia di curve y = exp (�x) soddisfa l�equazione di¤erenzialedy=dx = y log(y)=x, quindi la famiglia ortogonale soddisfa l�equazione

dy=dx = �x=y log(y), con soluzioni x =py2=2� y2 ln y + C.

A partire dal 1694 J.Bernoulli (1667-1748), fratello del precedente, inizia adinteressarsi del calcolo esponenziale e, insieme agli esponenziali semplici ax, studiaanche funzioni più complicate del tipo (f(x))g(x). In particolare, per la quadraturadella curva esponenziale y = xx sviluppa in serie xx = exp (x log(x)) = 1 �x log(x) + x2 log2(x)=2� ::: ed integra per parti i vari termini, ottenendoZ 1

0

xxdx = 1� 1=22 + 1=33 � 1=44 + :::

Nel 1697, de�nita la logaritmica come curva con sottotangente costante, ocome curva che a successioni aritmetiche in ascissa fa corrispondere successionigeometriche in ordinata, de�nisce le regole del calcolo,

log (mn) = n log (m) ; d log (m) =dm

m; d (mn) = nmn�1dm+mn log (m) dn:

Nel 1702 Bernoulli osserva che l�integrazione di funzioni razionali si può ridurreall�integrazione di frazioni con denominatori semplice e genera solo funzioni razion-ali, logaritmi, arcotangenti.

64

�Dato il di¤erenziale pdx : q, con p e q quantità razionali di una variabile xed altre costanti, se ne ricerca l�integrale o come somma algebrica o lo si riducealla quadratura dell�iperbole o del cerchio�

Poi osserva che un di¤erenziale che dipende dalla quadratura del cerchio si puòanche scomporre in due di¤erenziali di logaritmi immaginari,

adz

b2 + z2=1

2b

adz

b+ iz+1

2b

adz

b� iz:

Con la sostituzione z = ib (t� 1) = (t+ 1) il di¤erenziale adz= (b2 + z2) sitrasforma in (ia=2b) dt=t, quindi con i numeri complessi si può esprimere l�integralesia come arco tangente che come logaritmo. Bernoulli comunica questa sua scop-erta dell�integrazione delle funzioni razionali a Leibniz, che risponde di essere giàa conoscenza del risultato dai tempi della sua quadratura aritmetica del cerchio.Poi dal 1702 al 1712 Bernoulli e Leibniz si interrogano, senza venirne a capo, dellapossibile esistenza di logaritmi di numeri negativi o immaginari. Per Leibniz i log-aritmi dei numeri negativi non esistono, perché un logaritmo positivo corrispondead un numero maggiore di 1 ed un logaritmo negativo ad un numero tra 0 e 1. PerBernoulli log(�x) = log(x), infatti 2 log(�x) = log ((�x)2) = log (x2) = 2 log(x).Formule per i logaritmi di numeri complessi sono pubblicate da R.Cotes (1682-1716) nel 1714,

log (cos(#) + i sin(#)) = i#;

ed anche G.C.de�Toschi di Fagnano (1682-1766) nel 1719 trova le formule

�2i log(i) = 2i log ((1� i) = (1 + i)) = �:

Nel 1714 Cotes de�nisce esplicitamente il numero e ed utilizzando la seriedi potenze dell�esponenziale ne calcola 12 cifre decimali, poi nel 1748 Eulero necalcola 23. Il XVIII secolo è il secolo di Eulero, è l�autore di circa un terzo dellepubblicazioni di matematica e meccanica del secolo ed ha una parte di primopiano anche nella storia di � e di e. Nel 1736 Eulero riesce a calcolare la sommadei reciproci dei quadrati, poi di tutte le potenze pari,

+1Xk=1

k�2 =�2

6;

+1Xk=1

k�4 =�4

90;

+1Xk=1

k�6 =�6

945;

+1Xk=1

k�8 =�8

9450:::

65

Nel 1737 Eulero scopre come trasformare delle serie in frazioni continue eviceversa,

A�B =A

1 +B

A�B

;

A�B + C =A

1 +B

A�B +AC

B � C

;

A�B + C �D =A

1 +B

A�B +AC

B � C +BD

C �D

;

A�B + C �D + E =A

1 +B

A�B +AC

B � C +BD

C �D +CE

D � E

; :::

Similmente,

1

A� 1

B+1

C� 1

D+ ::: =

1

A+AA

B � A+BB

C �B +CC

D � C + :::

:

In particolare, le frazioni parziali dello sviluppo in frazioni continue di LordBrouncker coincidono con le somme parziali della serie di Gregory e Leibniz,

66

x� x3

3+x5

5� x7

7+x9

9� ::: =

x

1 +x2

3� x2 +9x2

5� 3x2 + 25x2

7� 5x2 + :::

;

�

4= 1� 1

3+1

5� 17+1

9� ::: =

1

1 +1

2 +9

2 +25

2 + :::

:

In modo empirico Eulero congettura lo sviluppo in frazioni continue di e,

e� 1 = 1 + 1

1 +1

2 +1

1 +1

1 +1

4 +1

1 +1

1 +1

6 + :::

;

che poi dimostra utilizzando le equazioni di¤erenziali di Riccati. Da questosviluppo in�nito segue l�irrazionalità di e, perché lo sviluppo in frazioni continuesemplici di un numero razionale è �nito. La regolarità di questo sviluppo contrastacon quella di � = 3+1=(7+ 1=(15+ 1=(292+ :::))). Un altro risultato di Eulero è

e1=q = 1 +1

q � 1 + 1

1 +1

1 +1

3q � 1 + 1

1 +1

1 +1

5q � 1 + :::

:

Utilizzando la formula di A.DeMoivre (1667-1754) (cos(#) + i sin(#))n = cos(n#)+i sin(n#), Eulero dimostra che l�equazione zn = a + ib nel campo complesso ha

67

n radici. Se � =pa2 + b2 e se si de�nisce # in modo da avere � cos(#) = a e

� sin(#) = b, allora npa+ ib = n

p� (cos ((#+ 2k�) =n) + i sin ((#+ 2k�) =n)) con

k = 0; 1; :::; n�1. Eulero scopre che exp(x) = limn!+1 (1 + x=n)n e inversamente

log(y) = limn!+1 n�y1=n � 1

�. Poi intuisce che nel campo complesso la funzione

logaritmo ha in�niti valori, perché log(x) = limn!+1 n�x1=n � 1

�e ci sono due

radici quadrate, tre radici cubiche,.... In�ne, studiando le equazioni di¤erenziali acoe¢ cienti costanti, nel 1743 Eulero scopre la relazione tra funzioni esponenzialie trigonometriche e tra i numeri 0, 1, i, e, �,

exp(ix) = cos(x) + i sin(x);exp(i�) + 1 = 0:

Infatti le funzioni exp(ix) e cos(x) + i sin(x) soddisfano la stessa equazionedi¤erenziale d2y=dx2 + y = 0 con condizioni iniziali y(0) = 1 e y0(0) = i ed hannolo stesso sviluppo in serie 1 + ix � x2=2 � ix3=6 + :::. Questo risolve l�enigmadei logaritmi di numeri complessi. Se a + ib = exp(x + iy), allora a = ex cos(y)e b = ex sin(y), la parte reale del logaritmo x = log

�pa2 + b2

�è univocamente

de�nita, mentre la parte immaginaria y = arctan(b=a) è solo de�nita a meno dimultipli di 2�, log(a + ib) = x + i(y + 2k�) con k = 0;�1;�2; :::. Le seguentiformule si ritrovano nella �Introduzione all�analisi dell�in�nito�:

ex = (1 +x

i)i;

e+vp�1 = cos :v +

p�1 � sin :v;

e�vp�1 = cos :v �

p�1 � sin :v;

cos :v =e+v

p�1 + e�v

p�1

2;

sin :v =e+v

p�1 � e�v

p�1

2p�1

:

68

La formula di Euleroexp(ix) = cos(x) + i sin(x):

(1 + ix=n)n ha modulo (1 + x2=n2)n=2 ! 1 e argomento n arctan(x=n)! xse n! +1. Quindi exp(ix) = limn!+1 (1 + ix=n)

n = cos(x) + i sin(x).La dimostrazione di Eulero è leggermente diversa. Nella formula(cos(#) + i sin(#))n = cos(n#) + i sin(n#) pone n# = x, sostituisce

cos(x=n) � 1 e sin(x=n) � x=n, quindi conclude checos(x) + i sin(x) � (1 + ix=n)n � exp(ix).

J.Riccati (1676-1754) è noto per i sui studi sulle equazioni di¤erenziali. Il �glioV.Riccati (1707-1775) nel 1757 de�nisce il coseno e seno iperbolico,

cosh(x) =exp(x) + exp(�x)

2; sinh(x) =

exp(x)� exp(�x)2

:

Le funzioni iperboliche si possono ottenere da quelle trigonometriche per mezzodella formula di Eulero, cosh(#) = cos(i#) e sinh(#) = �i sin(i#). Come le funzionitrigonometriche (cos(#); sin(#)) sono una parametrizzazione del cerchio x2+y2 = 1ed il parametro # è il doppio dell�area del settore di cerchio con vertici (0; 0), (1; 0),(x; y), così le funzioni iperboliche (cosh(#); sinh(#)) sono una parametrizzazionedell�iperbole x2 � y2 = 1 e # è il doppio dell�area del settore d�iperbole (0; 0),(1; 0), (x; y).

Le funzioni trigonometriche ed iperboliche.

y = cos(x); y = sin(x); y = cosh(x); y = sinh(x):

69

Nel capitolo VIII �Sulle quantità trascendenti che nascono dal cerchio� della�Introduzione all�analisi dell�in�nito�, Eulero riporta le prime 127 cifre decimalidi �, 112 corrette, calcolate nel 1719 da T.F.de Lagny (1660-1734). Non rilevandoalcuna periodicità in questo sviluppo, Eulero conclude: �Se il raggio di un cerchio,o il seno totale, è uguale a uno, è chiaro che il perimetro di questo cerchio non sipuò esprimere in numeri razionali�. Poi nel 1755 scrive: �Sembra quasi certo cheil perimetro del cerchio è una così peculiare quantità trascendente, che in nessunmodo può essere comparata con altre quantità, siano esse radici o altre quantitàtrascendenti�. Basandosi sui lavori di Eulero, nel 1761 J.H.Lambert (1728-1777)ottiene lo sviluppo in frazione continua della tangente dividendo gli sviluppi inserie di seno e coseno,

sin(x)

cos(x)=x� x3=6 + x5=120� :::

1� x2=2 + x4=24� :::=

x

1� x2=2 + x4=24� :::

1� x2=6 + x4=120� :::

=x

1� x2=3� x4=30� :::

1� x2=6 + x4=120� :::

=x

1� x2

3� x2=2 + :::

1� x2=10� :::

=x

1� x2

3� x2 + :::

5� x2=2 + :::

=x

1� x2

3� x2

5 + :::

1 + :::

:::

Quindi,

tan(x) =x

1� x2

3� x2

5� x2

7� :::

:

Poi dimostra che se dei razionali a=b, c=d, e=f ,... sono strettamente compresi

tra 0 e 1, allora la frazione continuaa

b�c

d�e

f� ::: è irrazionale. Posto infatti

X =a

b�c

d�e

f� ::: = a= (b� Y ), se fosse X = A=B, con A < B interi, allora

Y =c

d�e

f� ::: = �(aB � bA)=A sarebbe una frazione con denominatore A < B.

70

Iterando un numero in�nito di volte si otterrebbe una contraddizione. Questirisultati implicano il seguente.

�Tutte le volte che un arco di cerchio è commensurabile al raggio, la tangentedi questo arco è incommensurabile; reciprocamente, ogni tangente commensurabilenon è quella di un arco commensurabile.�

Cioè, se x è un razionale non nullo allora tan(x) non è razionale. Similmente, sex è un razionale non nullo allora exp(x) non è razionale. In particolare exp(1) = enon è razionale. Similmente, tan(�=4) = 1, quindi anche � non è razionale. Aisuoi teoremi Lambert aggiunge un commento: �Ho buone ragioni di dubitare cheil presente lavoro sarà letto o compreso da coloro i quali potrebbero trarne maggiorpro�tto, cioè da chi spende tempo e fatica cercando di quadrare il cerchio�. Nel1794 A.M.Legendre (1752-1833) dimostra che anche �2 è irrazionale e si associaa chi esprime dubbi sulla quadratura algebrica del cerchio: �È probabile che ilnumero � non sia contenuto tra le irrazionalità algebriche, cioè non sia radicedi una equazione con un numero �nito di termini con coe¢ cienti razionali. Maquesta proposizione sembra piuttosto di¢ cile da dimostrare rigorosamente�. Nel1770 Lambert pubblica una memoria sulla retti�cazione di curve, che estendealcuni dei risultati di Huygens. Se una liscia curva congiunge due punti viciniA = (0; 0) e B = ("; 0), si può scriverne l�equazione nella forma y = x ("� x)'(x),con '(x) = � + �x+ x2 + �x3:::. Per stimare la lunghezza dell�arco di curva daA a B, osserviamo che ordinando i termini "mxn con potenze m + n crescenti siha

dy

dx=

d

dx(x ("� x) (�+ �x+ x2 + �x3 + :::))

= �"� 2�x+ 2�"x� 3�x2 + 3 "x2 � 4 x3 + 4�"x3 � 5�x4 + :::

La lunghezza dell�arco di curva ha quindi lo sviluppo in serie

Z "

0

q1 + (dy=dx)2dx =

Z "

0

�1 + (dy=dx)2 =2� (dy=dx)4 =8 + :::

�dx

=

Z "

0

(1 + �2"2=2� 2�2"x+ 2�2x2 + 2��"2x� 7��"x2 + 6��x3 + :::) dx

= "+ �2"3=6 + ��"4=6 + :::

71

La tangente alla curva in A è y = "'(0)x e quella in B è y = "'(") ("� x),l�intersezione tra queste tangenti èC = ("'(")= ('(0) + '(")) ; "2'(0)'(")= ('(0) + '("))).Si ha

AC =

s�"'(")

'(0) + '(")

�2+

�"2'(0)'(")

'(0) + '(")

�2="

2+

�

4�"2 +

2�4 + 2� � �2

8�2"3 +

2�4� + 4�2� � 4�� + �3

16�3"4 + :::

Similmente si ha

BC =

s�"'(0)

'(0) + '(")

�2+

�"2'(0)'(")

'(0) + '(")

�2="

2� �

4�"2 +

2�4 � 2� + �2

8�2"3 +

6�4� � 4�2� + 4�� � �3

16�3"4 + :::

Una media ponderata tra le lunghezze dei segmenti inscritti AB e circoscrittiAC +BC è

2

3AB +

1

3(AC +BC) = "+ �2"3=6 + ��"4=6 + :::

Quindi la di¤erenza tra la lunghezza della curvaZ "

0

q1 + (dy=dx)2dx e 2=3AB+

1=3 (AC +BC) è dell�ordine di "5. Se la curva è un cerchio, si ritrova uno deirisultati di Huygens.

La retti�cazioneapprossimata diuna curva diLambert.

La lunghezza di un tratto di curva può essere approssimata dalla sommadi due terzi della base più un terzo dei lati obliqui del triangolo formato

dalla corda e dalle tangenti.

Nella�Enciclopedia metodica�, edita da D.Diderot (1713-1784) e J.R.D�Alembert(1717-1783), alla voce �Quadratura del cerchio� si legge:

72

�Il rapporto tra diametro e circonferenza è impossibile, perché queste due lineesono per la loro natura intellettuale incommensurabili. La linea curva circolare nonpuò avere un rapporto esatto con la linea retta, per la ragione che una è curva el�altra è dritta, non si può applicare una misura comune all�una ed all�altra. Unalinea curva si può misurare soltanto con una curva, una retta con una retta, unpiano con un piano, un solido con un solido. Per quanto piccola sia la misura chesi utilizza per misurare prima la retta e poi la curva, questa non potrà misurarleentrambe esattamente, la curva sarà sempre un poco più lunga della retta. Piùquesta misura sarà piccola, più si avvicinerà ad una misura comune tra le due,ma mancherà sempre qualcosa per quanto esatta possa essere la misura. Questaè la ragione per cui ci si può avvicinare arbitrariamente al rapporto tra diametroe circonferenza, senza però riuscire a determinarlo esattamente.�

Più avanti viene presentata una curiosa pseudo dimostrazione dell�impossibilitàdi quadrare un cerchio:

�Tra tutte le �gure con lo stesso perimetro, il cerchio è quella che racchiude piùsuper�cie... Poiché la super�cie di un cerchio è sempre più grande di quella deipoligoni con un qual si voglia numero di lati ed uguale perimetro, non si troveràmai un poligono con la stessa super�cie, per quanti lati possa avere... Se lo spiritoumano arriverà a trovare una �gura rettilinea con super�cie uguale a quella delcerchio, così come si sono quadrate le lunule di Ippocrate, i lati di questa �gurarettilinea saranno necessariamente incommensurabili con la circonferenza.�

In�ne si ripropone l�argomento di Newton sull�impossibilità di quadrare unagenerica porzione di cerchio:

�Se la quadratura inde�nita del cerchio fosse possibile, si avrebbe una equazionealgebrica con un numero �nito di termini tra un arco x ed il suo seno y. Questaequazione potrebbe essere resa razionale con un numero �nito di operazioni alge-briche e conseguentemente per un dato valore di y non darebbe che un numero�nito di valori di x. Ma per un dato seno ci sono in�niti archi.�

Il sospetto sull�impossibilità della quadratura del cerchio cresce insieme al nu-mero delle supposte soluzione così tanto che nel 1775 l�Accademia Reale delleScienze di Parigi, immediatamente imitata da altre accademie e società, si trovacostretta a rilasciare una lunga dichiarazione in proposito:

�L�Accademia ha preso quest�anno la risoluzione di non esaminare più alcunasoluzione dei problemi della duplicazione del cubo, della trisezione dell�angolo, o

73

della quadratura del cerchio, né alcuna macchina annunciata come un moto per-petuo. Crediamo anche opportuno rendere conto dei motivi che hanno determinatoquesta decisione. Il problema della duplicazione del cubo è stato celebre presso igreci. Si dice che l�oracolo di Delo, consultato dagli ateniesi sul modo di far cessarela peste, avesse loro prescritto di consacrare al Dio di Delo un altare doppio diquello che si vedeva nel tempio... Il problema della trisezione dell�angolo fu ugual-mente celebre presso gli antichi, e lo si risolve con una costruzione che richiede ladescrizione di una curva di terzo grado... Siccome gli antichi consideravano comegeometriche solo le costruzioni con la linea retta ed il cerchio, la riga ed il com-passo, questo ha fatto nascere un pregiudizio che regna ancora tra gli uomini menoilluminati. Continuano a cercare delle soluzioni geometriche di questi problemi;gli uni, non impiegando che riga e compasso, danno delle soluzioni errate; gli al-tri ne danno di vere, ma senza saperlo impiegano delle curve e le loro soluzionirientrano tra quelle già note... Il problema della quadratura del cerchio è invecedi un ordine di¤erente. La quadratura della parabola trovata da Archimede, quelladelle lunule di Ippocrate di Chio, danno delle speranze di quadrare il cerchio, cioèdi conoscere la misura della sua super�cie. Archimede ha mostrato che questoproblema e quello della retti�cazione del cerchio dipendono l�uno dall�altro, e perquesto i due problemi sono stati confusi. Non si conoscono che dei metodi ap-prossimati per quadrare il cerchio, il primo è dovuto ad Archimede ed un gran nu-mero di geometri famosi ne hanno proposti di nuovi, molto ingegnosi, molto sem-plici, molto comodi nella pratica. È possibile perfezionare ancora questi metodi;l�Accademia non esclude questo genere di ricerche. Ma quelli che si occupanodella quadratura del cerchio non cercano dei metodi di approssimazione, aspiranoinvece ad una soluzione rigorosa del problema... Senza conoscere la natura e ladi¢ coltà di questi problemi, i metodi da costoro impiegati non possono condurread una soluzione, sempre che questa sia possibile... Comunque, la quadratura delcerchio è il solo dei problemi ri�utati dall�Accademia che possa dar luogo a dellericerche utili, e se un geometra la venisse a trovare, la delibera dell�Accademia nonfarebbe che aumentare la sua gloria, mostrando quale opinione i geometri hannodella di¢ coltà, per non parlare dell�insolubilità del problema.�

COSTRUZIONI CON RIGA E COMPASSO.

Facciamo una digressione sulle costruzioni geometriche con riga e compasso,iniziando dal primo e terzo dei postulati negli �Elementi� di Euclide.

�Si può condurre una linea retta da un qualunque punto ad un qualunque altropunto.�

74

�Si può descrivere un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi distanza.�

Nel Libro VI degli �Elementi� si spiega come moltiplicare, dividere, estrarreradici quadre.

�Date tre rette, trovare la quarta proporzionale dopo di esse.��Date due rette, trovare la media proporzionale.�

Moltiplicazioni, divisioni, estrazioni di radici quadrenegli �Elementi�di Euclide.

Per risolvere l�equazione a : b = c : x,dato un triangolo con lati a e c bastacostruirne uno simile con lati b e x.

Per risolvere l�equazione a : x = x : bbasta costruire un triangolo rettangolocon proiezioni dei cateti sull�ipotenusaa e b ed altezza relativa all�ipotenusa x.

Il metodo di Cartesio è di trasformare le costruzioni geometriche in equazioni,infatti l�indice del Libro I della �Geometria� è il seguente:

�Problemi la cui costruzione non utilizza che linee rette e cerchi.��Come i calcoli dell�aritmetica si rapportano alle operazioni della geometria.��Come si fanno geometricamente le moltiplicazioni, divisioni, estrazioni di

radici quadrate.��Come si possono utilizzare i numeri in geometria.��Come occorre arrivare a delle equazioni per risolvere i problemi...�

Con la riga e il compasso di Euclide si possono solo tracciare rette e cerchi,che nel piano di Cartesio sono curve descritte da equazioni di primo e secondogrado. Le intersezioni di rette e cerchi si ottengono risolvendo equazioni di primoo secondo grado. Viceversa, le equazioni di primo o secondo grado, o scomponibiliin equazioni di primo e secondo grado, si possono risolvere intersecando rette ecerchi. Con riga e compasso si possono costruire tutti e soli i numeri in estensioniquadratiche iterate del campo numerico di partenza, cioè numeri che si possono

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ottenere a partire dal numero uno con un numero �nito di addizioni, sottrazioni,moltiplicazioni, divisioni, estrazioni di radici quadre.Nel �General trattato di numeri et misure� di N.Tartaglia (1500-1557) �Si

mostra il modo di essequire con il compasso, et con la regha tutti li problemigeometrici di Euclide et da altri philosophi, et con modi più espedienti, e brevi diquelli dati da esso Euclide. Materia non men�utile che necessaria à Geometrici,Designatori, Prospettivi, Architettori, Ingenieri, et Machinatori, si naturali, comeMathematici�. Il suo allievo G.B.Benedetti (1530-1590) nel 1553 pubblica �Lasoluzione di tutti i problemi di Euclide con un solo cerchio di apertura data�.G.Mohr (1640-1697) nel �Euclide Danico� del 1672 e poi L.Mascheroni (1750-1800) nella �Geometria del compasso� del 1797 dimostrano che ogni costruzionecon riga e compasso si può anche ottenere col solo compasso. La motivazionedi Mascheroni è di carattere pratico, perché le costruzioni col compasso sono ingenere più precise di quelle con la riga. L�opera è dedicata a Napoleone Bonaparteliberatore d�Italia, che subito provvede a publicizzarla in Francia. P.S.Laplace(1749-1827) rivolgendosi al suo ex allievo commenta: �Da voi generale potevamoaspettarci di tutto, salvo che delle lezioni di matematica�. Ovviamente con uncompasso non si può tracciare una retta, ma una retta è individuata da due puntie col compasso è possibile trovare l�intersezione di rette con rette o rette concirconferenze, se di ogni retta si conoscono due punti. Nella direzione oppostaJ.V.Poncelet (1788-1867) e J.Steiner (1796-1863) dimostrano che, dati un cerchiocol suo centro, ogni altra costruzione con riga e compasso si può anche ottenerecon la sola riga. Infatti, da un punto di vista analitico, le quattro operazionielementari si possono eseguire intersecando delle rette e per calcolare la radicequadra di un dato numero a basta intersecare la retta x = (1� a)=(1 + a) con ilsemicerchio y =

p1� x2, il risultato è

pa = y(1 + a)=2. Con la sola riga non si

può però far tutto, per esempio non si può trovare il centro di un cerchio. Unapresunta costruzione deve consistere di un dato numero di rette due delle qualisi intersecano nel centro del cerchio. Esistono però trasformazioni proiettive chemandano rette in rette, �ssano il cerchio ma ne muovono il centro. Quindi lacostruzione trasformata non funziona più.La costruzione di poligoni regolari con 3, 4, 5, 6, 8, 10 lati è già nota ai

pitagorici e per altri poligoni sono note delle costruzioni approssimate. Per esem-pio, nella �Metrica� di Erone di Alessandria (II secolo d.C.) si danno i rapportiesatti o approssimati tra lato e apotema dei poligoni regolari da tre a dodici lati.In particolare, la diagonale di un quadrato è il diametro del cerchio circoscritto,l�esagono ha lato uguale al raggio ed il decagono ha lato uguale alla parte aurea del

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raggio. Poi, partendo da un poligono con n lati si può facilmente costruire quellocon 2n lati, e con n=2 lati se n è pari. Cotes e DeMoivre mostrano che questecostruzioni si possono ricondurre alle soluzioni dell�equazione ciclotomica zn = 1,con radici z = cos(2k�=n)+i sin(2k�=n), e A.T.Vandermonde (1735-1796) veri�ca�no ad n � 11 che questa equazione può essere risolta per radicali. C.F.Gauss(1777-1855) inizia i suoi diari il 30 Marzo 1796 con

�I principi da cui dipende la divisione del cerchio e la divisibilità geometricadello stesso in diciassette parti, etc.�

Nelle �Disquisizioni aritmetiche� pubblicate nel 1801 Gauss dimostra che èpossibile costruire con riga e compasso ogni poligono regolare con 2mp1p2:::pn latise i pj sono numeri primi distinti della forma 22

k+ 1, ed a¤erma che nessun altro

poligono è costruibile. La congettura di Fermat è che ogni numero della forma22

k+ 1 è primo e questo è vero per k = 0, 1, 2, 3, 4, ma Eulero mostra che

225+ 1 è composto. Per esempio, le lunghezze dei lati dei poligoni regolari con

3, 4, 5, 6, 8, 10 lati iscritti in un cerchio di raggio uno sono rispettivamentep3,

p2,q�5�

p5�=2, 1,

p2�

p2,�p5� 1

�=2, quindi questi poligoni sono costru-

ibili. Anche 2 sin(�=17) è una combinazione di radicali quadratici, l�eptadecagonoè costruibile ed una costruzione esplicita che utilizza solo la geometria sinteticaè pubblicata nel 1803. Similmente, nel 1832 viene pubblicata una costruzionedel poligono regolare con 257 lati. A partire dal 1714 Fagnano studia archi dicurve con somme o di¤erenze determinabili algebricamente. In particolare trovadegli archi di iperbole e di ellissi che non si riescono a misurare algebricamentema la cui di¤erenza è algebrica. Fagnano studia poi la lemniscata di Bernoullix2+ y2 =

px2 � y2 e questo lo porta a considerare delle formule di addizione per

integrali ellittici. Anche Eulero, Gauss ed Abel, si interessano agli integrali ellit-tici ed alla divisione con riga e compasso di archi della lemniscata. In particolare,Gauss a¤erma che la sua teoria sulla divisione delle funzioni circolari si applica an-che ad una più vasta classe di funzioni trascendenti �che dipendono dall�integraleZdt=p1� t4�. Nel 1837 P.L.Wantzel (1814-1848) dimostra l�impossibilità di ri-

solvere una generica equazione di terzo grado con solo riga e compasso, ed inparticolare risolve in negativo il problema della duplicazione del cubo, x3 = 2, edella trisezione dell�angolo, sin(#) = 3 sin(#=3) � 4 sin3(#=3). Geometricamente,la duplicazione del cubo si ottiene intersecando le parabole x2 = y e y2 = 2x,mentre la trisezione dell�angolo si ottiene intersecando la parabola y2 = x=4 colcerchio x2 + y2 � 13=4x + 4 sin(#) = 0. Cartesio dimostra che intersecando due

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coniche si possono risolvere, oltre alle equazioni di primo e secondo grado, anchequelle di terzo e quarto, anzi, sono su¢ cienti la riga, il compasso, ed una conicadiversa dal cerchio. Eulero e poi nel 1840 T.Clausen (1801-1855) scoprono duelunule quadrabili con riga e compasso che si aggiungono alle tre trovate da Ip-pocrate. Dei classici problemi della matematica greca resta ancora aperto quellodella retti�cazione e quadratura del cerchio, ma almeno risulta chiarita la naturaalgebrica del problema geometrico.

�Una costruzione geometricaapprossimata per ��del 1685

di A.A.Kochansky:

� �r40� 6

p3

3= 3; 14153:::

�Tracciamo le perpendicolari dall�estremità del diametro di un cerchio ecostruiamo un angolo di trenta gradi con vertice nel centro e lato sul diametro.Congiungiamo il punto di intersezione tra l�altro lato e la perpendicolare colpunto sull�altra perpendicolare che dista tre raggi dalla base. La linea così

ottenuta è un�ottima approssimazione di metà circonferenza.�

La costruzione diJ. de Gelder del 1849:

� � 355

113= 3; 141592920:::

In una circonferenza di raggio uno si traccia il diametro AOB ed il raggioOC perpendicolare al diametro. Sul raggio si prende un segmento OD = 7=8e sulla retta per AD un segmento AE = 1=2. Tracciata la perpendicolare EFal diametro, si congiunge F con D ed in�ne si traccia la parallela a DF per

E. Questa parallela interseca il diametro in un punto G con AG = 355=113� 3.

NUMERI RAZIONALI, ALGEBRICI, TRASCENDENTI.

I numeri interi sono i numeri 0, 1, 2, 3,..., i numeri razionali sono rapporti dinumeri interi, i numeri algebrici sono le radici di equazioni algebriche a coe¢ cienti

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interi, tutti gli altri numeri sono trascendenti. In particolare, un razionale p=q èradice dell�equazione di primo grado qx � p = 0 e una radice n

pp=q è radice

dell�equazione qxn � p = 0.

Il calcolo di una radice quadrata nei�Nove capitoli dell�arte matematica�

di Liu Hui.

Per calcolare la radice quadrata di un numero N con 2k + 1 o 2k + 2cifre, si cerca il più grande A = a � 10k con A2 � N , poi il più grandeB = b � 10k�1 con A2 +B2 + 2AB � N , poi il più grande C = c � 10k�2

con A2 +B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC � N ...pN = a � 10k + b � 10k�1 + c � 10k�2:::

Le soluzioni di equazioni di primo e secondo grado sono note �n dall�antichità.In particolare dal 2000 a.C. i babilonesi sanno risolvere il sistema u + v = pe u � v = q, che è equivalente all�equazione x2 � px + q = 0. Dal medio evoi matematici arabi sanno che per risolvere le equazioni di secondo grado bastasaper completare i quadrati. Moltiplicando per 4a l�equazione ax2 + bx+ c = 0 sitrasforma in (2ax+ b)2 = b2�4ac, e da qui le soluzioni x =

��b�

pb2 � 4ac

�=2a.

L��Algebra�di Al-Khowarizmi:Un quadrato e dieci sue radici sono ugualia trentanove. Prendi metà delle radici, 5, emoltiplica questo numero per se stesso, 25,aggiungi a 39, il risultato è 64, prendi laradice, 8, sottrai la metà del numero delleradici, 5. Il risultato è 3, questa è la radice�.

Per risolvere l�equazione x2 + 2bx = c, al quadrato x2 e ai due rettangoli bxsi aggiunge un altro quadrato b2. Il risultato è un quadrato (x+ b)2 = b2 + c.

Quindi x =pb2 + c� b.

Nel XVI secolo ad un facoltoso mercante tedesco preoccupato per l�educazionedel �glio viene dato il seguente consiglio: �Per imparare le somme e le sottrazioni

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bastano le università francesi o tedesche, ma per andare oltre, se il ragazzo è sveg-lio, è meglio andare in Italia�. Nella �Summa de Arithmetica� del 1494 LucaPacioli denota l�incognita x �cosa�, x2 �censo�, x3 �cubo�, x4 �censo de censo�,...e ritiene �Impossibile censo de censo e censo uguale a cosa.... Impossibile censode censo e cosa uguale a censo...�, cioè ritiene impossibile trovare una regola gen-erale per risolvere le equazioni ax4 + bx2 = cx e ax4 + bx = cx2. Questa s�dasuscita l�interesse della comunità matematica italiana e nella prima metà del XVIsecolo vengono risolte sia le equazioni di terzo grado che quelle di quarto. Il primoche risolve delle particolari equazioni cubiche, senza il termine quadratico, paresia stato del S.Ferro (1465-1526), che non pubblica la soluzione ma la comunicain punto di morte ad un suo allievo, A.M.Fior. Venuto a conoscenza della cosa,nel 1535 Tartaglia trova a sua volta la soluzione. L�incredulo Fior lancia unapubblica dis�da matematica a Tartaglia con in premio un banchetto o¤erto dalperdente al vincitore con tanti suoi invitati quanti i quesiti risolti. Tartaglia ri-solve i trenta quesiti proposti da Fior, tutti del capitolo di cosa e cubo uguale anumero, �Trovame uno numero che azontoli la sua radice cuba venghi 6�, mentrequesti non riesce a risolvere i quesiti di Tartaglia che, già sazio di gloria, rinuncia albanchetto. Nel 1539, con lusinghe e promesse di denaro, G.Cardano (1501-1576)convince Tartaglia a rivelargli la sua scoperta con la garanzia di mantenere il seg-reto, �Io vi giuro, ad sacra Dei evangelia, et da real gentil�huomo, non solamentedi non pubblicar giammai tali vostre inventioni, se me le insegnate, ma anchora viprometto, et impegno la fede mia da real cristiano, da notarmela in zifera, accioc-chè da poi la mia morte alcuno non la possa intendere�. Il sospettoso Tartaglianasconde la sua scoperta in un sonetto piuttosto criptico, che Cardano riesce peròa decifrare. Venuto poi a conoscenza delle ricerche di del Ferro, Cardano si ri-tiene sciolto dal giuramento e pubblica la soluzione delle equazioni di terzo gradonell��Ars magna� del 1545, attribuendola a del Ferro ma dando il dovuto creditoanche a Tartaglia. Nel libro, �Scritto in cinque anni, possa durarne altrettantemigliaia�, compare anche la soluzione delle equazioni di quarto grado attribuita alsuo discepolo L.Ferrari (1522-1565). Tartaglia furioso nel vedersi imbrogliato ac-cusa Cardano di plagio. Questi cerca di tirarsi fuori dalla polemica, �Credo... chestati uscito di cervello forsi per il vostro troppo studiare�, ma Ferrari, prendendole sue difese, accusa a sua volta Tartaglia di aver plagiato del Ferro e nel 1547lancia una pubblica dis�da a Tartaglia, che si dichiara ben felice di �Disputar conambidue largamente in geometria, in arithmetica,..., astronomia, musica, cosmo-gra�a,... et altre,..., ma anchora sopra le mie nuove inventioni...�, proponendosidi �Lavarve ottimamente el capo ad ambidui in un sol colpo, cosa che non sapria

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fare alcun barbier de Italia�. La dis�da in sei cartelli, contro�rmati da testimonied inviati a studiosi nei principali capoluoghi italiani, dura circa due anni. Gliargomenti dibattuti sono di algebra, geometria, astronomia e �loso�a. Alcuni deiquesiti posti dal Ferrari richiedono la soluzione di equazioni di quarto grado.

�Trovatemi sei quantità continue proportionali che la prima e la sesta giuntefacciano 6, et la seconda e terza giunte facciano 2�.

Se le quantità sono a, ax, ax2, ax3, ax4, ax5, e se a+ ax5 = 6 e ax+ ax2 = 2,allora 1+x5 = 3 (x+ x2) e dividendo per 1+x si ottiene x4�x3+x2�4x+1 = 0,equazione che Tartaglia non è in grado di risolvere. In un altro dei quesiti Ferrarichiede di scomporre 8 nella somma x+y rendendo massimo il prodotto x�y �(x�y),cioè trovare il massimo del polinomio di terzo grado x(8�x)(2x�8) nell�intervallo0 � x � 8. La risposta di Tartaglia è x = 4 +

p5 + 1=3.

�Fatemi di otto due tal parti, che�l prodotto dell�una nel altra moltiplicato nellaloro di¤erenza, faccia più che possibil sia, dimostrando il tutto.��Ve rispondo che la maggior parte fu 4 più R.(5+1/3) et la menore fu 4

men R.(5+1/3), el produtto è 10+2/3, qual moltiplicato nella di¤erentia che èR.(21+1/3) fa R.2423+7/27, et questa è di frutto della nostra pianta con li qualipensavati farmi guerra, ma el vi ha fallato el pensiero.�

Tra i quesiti posti da Tartaglia a Ferrari, si richiedono delle costruzioni geo-metriche con il terzo postulato di Euclide modi�cato: �Sopra qual si voglia centrosi possa disegnare un cerchio secondo la data quantità del compasso�. Questo dàal Ferrari l�opportunità di dimostrare tutto Euclide con un compasso ad apertura�ssa. In de�nitiva il Ferrari si dimostra un osso ben più duro del Fior e la guerrasi conclude senza vincitori né vinti. Ma ecco la soluzione dell�equazione di terzogrado nelle parole di Tartaglia, con tra parentesi la traduzione in formule:

�Quando chel cubo con le cose appressoSe agguaglia à qualche numero discreto (x3 + px = q)Trovan dui altri di¤erenti in esso. (u� v = q)Da poi terrai questo per consuetoChe�l lor produtto sempre sia egualeAl terzo cubo delle cose neto, (u � v = (p=3)3)El residuo poi suo generaleDelli lor lati cubi ben sottrattiVarrà la tua cosa principale. ( 3

pu� 3

pv = x)

81

In el secondo de cotesti attiQuando che�l cubo restasse lui solo (x3 = px+ q)Tu osservarai quest�altri contratti,Del numer farai due tal part�à volo (u+ v = q)Che l�una in l�altra si produca schiettoEl terzo cubo delle cose in stolo (u � v = (p=3)3)Delle qual poi, per commun precettoTorrai li lati cubi insieme giontiEt cotal somma sarà il tuo concetto. ( 3

pu+ 3

pv = x)

El terzo poi de questi nostri conti (x3 + q = px)Se solve col secondo se ben guardiChe per natura son quasi congionti.Questi trovai et non con passi tardiNel mille cinquecente, quatro e trentaCon fondamenti ben sald�è gagliardiNella città dal mar�intorno centa.�

L�equazione x3 + px = q con la sostituzione x = y + z diventa y3 + z3 +(p + 3yz)(y + z) = q. Se poi yz = �p=3, allora y3 e z3 diventano soluzionidel sistema y3 + z3 = q e y3z3 = �p3=27, cioè dell�equazione di secondo gradot2 � qt� p3=27 = 0. Quindi

x =3

sq +

pq2 + 4p3=27

2+

3

sq �

pq2 + 4p3=27

2:

Nel campo complesso le due radici cubiche hanno ognuna tre determinazioni,ma dovendo richiedere che il prodotto yz sia �p=3, si ottengono tre soluzioni. IlFerrari osserva che ogni equazione di terzo grado t3 + at2 + bt + c = 0 con lasostituzione t = x � a=3 perde il termine di secondo grado e prende la formax3 + px + q = 0. Se p � 0 la funzione x3 + px + q è crescente, mentre se p < 0la funzione ha massimo in x = �

p�p=3 e minimo in x =

p�p=3. Inoltre,

se q2 + 4p3=27 < 0 nel massimo la funzione è positiva e nel minimo negativa.Concludendo, il polinomio x3+px+q ha un solo zero reale quando q2+4p3=27 � 0e tre zeri reali quando q2 + 4p3=27 < 0. Osserviamo in�ne che in quest�ultimo�casus irreducibilis�, anche se tutti e tre gli zeri sono reali, la formula risolutivadell�equazione contiene delle radici quadrate di numeri negativi e si può dimostrareche non è possibile esprimere la soluzione in radicali reali.Messer Zuanne de Tonini da Coi propone a Tartaglia il seguente problema:

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�Sono tre che hanno comprato L.20 di carne e tante ne ha comprate uno diloro, che moltiplicato tal numero di lire in sè medesimo tal prodotto è uguale allamoltiplicazione delle lire che hanno comprato gli altri due, cioè quelle dell�uno perquelle dell�altro, e moltiplicate ancora le due minor quantità di lire l�una per l�altrafanno precisamente 8�.

Cioè, x+y+z = 20, x�x = y�z, x�y = 8, ed eliminando y e z si ottiene x4+8x2+64 = 160x. La risposta di Tartaglia si fa attendere e Cardano, venuto a conoscenzadel problema, lo propone al Ferrari che lo risolve. Ecco il suo procedimento. Dataun�equazione di quarto grado,

x4 + ax3 + bx2 + cx+ d = 0;

con la traslazione x = y � a=4 si elimina il termine di terzo grado,

y4 + py2 + qy + r = 0:

Trasformando y4 + py2 in un quadrato perfetto ed aggiungendo una nuovavariabile si ottiene�

y2 + p+ z�2= (2z + p)y2 � qy + z2 + 2pz + p2 � r:

Ora basta scegliere z in modo da avere anche a destra un quadrato perfetto,

(2z + p)y2 � qy + z2 + 2pz + p2 � r = (2z + p) (y � s)2 :

Per far questo basta risolvere l�equazione di terzo grado in z,

q2 � 4(2z + p)�z2 + 2pz + p2 � r

�= 0:

Si è così ottenuta un�equazione (y2 + p+ z)2= (2z + p) (y � s)2 che è facil-

mente risolubile. Comunque, le equazioni di quarto grado sono considerate solouna curiosità, perché, secondo Cardano, �Conseguito lo scioglimento delle equazionicubiche, l�arte analitica ne ha a su¢ cienza, perché �no al cubo vi è una gradu-azione in natura, essendovi linee, super�ci e corpi,... quindi le equazioni... sopraal cubo ascendono non per loro medesime, ma per accidente�. Nel �Ars Magna�,insieme alle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, c�è ancheuna �Regola aurea� per la risoluzione approssimata di equazioni che consiste nelcercare intervalli i cui estremi siano soluzioni approssimate per difetto e per ec-cesso e nel trovare poi una nuova approssimazione con una interpolazione lineare.

83

In�ne, in questa opera si introducono anche i numeri complessi, che Cardanoconsidera �tanto sottili quanto inutili�.

�Se qualcuno ti chiede di dividere 10 in due parti, una delle quali moltiplicatanell�altra produca 40, è evidente che questo è impossibile... Comunque, mettendoda parte la tortura mentale che questo provoca, moltiplichiamo 5 +

p�15 per

5 �p�15, il risultato è 25 � (�15), quindi il prodotto è 40... Tutto questo è

veramente so�stico...�

Anche Bombelli ritiene che questi numeri siano �un�idea assurda... basata suconsiderazioni so�stiche�, ma nel��Algebra� del 1572 ne stabilisce le regole dicalcolo. Lo scopo è di trasformare un�espressione

pa+ ib nella forma c + id,

per risolvere il caso irriducibile della formula di Cardano. Di fatto questi numericomplessi, sottoprodotto delle ricerche degli algebristi del XVI secolo, si rivelanoben più importanti dei risultati che li hanno generati.Viète scopre una semplice relazione tra il caso irriducibile delle equazioni di

terzo grado e la trisezione dell�angolo. La sostituzione x = y � a=3 trasformal�equazione x3+ax2+bx+c = 0 in y3+dy+e = 0 e, se d < 0, l�ulteriore sostituzioney =

p�4d=3z trasforma l�equazione in z3 � 3=4z � f=4 = 0. L�equazione ha tre

radici reali se e solo se jf j < 1. Per l�identità trigonometrica cos3(#)�3=4 cos(#)�1=4 cos(3#) = 0, posto cos(3#) = f , si ottiene z = cos(#) = cos (arccos (f) =3). Inparticolare, la formula di Viète utilizza i numeri reali esattamente quando quelladi Cardano utilizza i complessi. Inoltre, questa formula suggerisce la possibilità dirisolvere problemi algebrici con metodi trascendenti. Nel 1757 Lambert trova deglisviluppi in serie di potenze per soluzioni di equazioni trinomie zn� z+ t = 0 e nel1769 J.L.Lagrange (1736-1813) trova gli sviluppi in serie di soluzioni di equazioniz = t+ "'(z). Se z = z("; t) è una soluzione di questa equazione,

(1� "'0(z)) @z=@" = '(z); (1� "'0(z)) @z=@t = 1:

Da queste formule si ricava che per ogni �(z) e (z),

@

@t

��(z)

@

@"(z)

�=

@

@"

��(z)

@

@t(z)

�:

Poi, per induzione si può mostrare che

@k

@"k(z) =

@k�1

@tk�1

�'(z)k

@

@t(z)

�:

Poiché z = t se " = 0, sviluppando (z) in serie di potenze di " si ottiene

84

(z("; t)) = (t) +

+1Xk=1

"k

k!

@k�1

@tk�1

�'(t)k

@

@t(t)

�:

Se '(z) e (z) sono funzioni analitiche, le derivate che compaiono nella for-mula crescono al più come ckk!, quindi la serie converge almeno per " abbastanzapiccolo. In particolare, una generica equazione di quinto grado si può ricondurrecon trasformazioni algebriche alla forma z5 � z + t = 0 e la formula di Lagrangeda lo sviluppo in serie

z =

+1Xk=0

�5k

k

�t4k+1

4k + 1:

Questa serie de�nisce una funzione ipergeometrica generalizzata. Anche leequazioni trinomie zn + zm + t = 0 si possono risolvere in modo simile. Rias-sumendo, per risolvere le equazioni di primo grado bastano le quattro operazionielementari + � � :. Le equazioni di secondo, terzo e quarto grado si possonorisolvere con le quattro operazioni elementari più le radici, che sono le funzioniz = �(t) de�nite dall�equazione zn � t = 0. Per risolvere le equazioni di quintogrado si può utilizzare la funzione z = '(t) con z5 + z + t = 0, per le equazioni disesto grado si può utilizzare la funzione z = (u; v) con z6 + z2 + uz + v = 0, ecosì le equazioni di settimo, ottavo, nono,....Nel 1608 P.Roth (?-1617) e A.Girard (1590-1633) nel 1629 enunciano il teorema

fondamentale dell�algebra: �Ogni equazione di grado n ha n radici, e nessuna dipiù�, �Ogni equazione algebrica ha tante radici, quante indicate dall�esponente piùalto�. Anche nella �Geometria�di Cartesio si trova l�enunciato: �Ogni equazionepuò avere tante radici distinte quanto la dimensione dell�incognita... Ma alcune diqueste radici possono essere false, cioè minori di zero�. I tentativi di dimostrarequesto risultato sono diversi. Nel 1746 D�Alembert dimostra l�esistenza delle radicidi un�equazione algebrica P (z) = 0, assumendo l�esistenza di un punto di minimoper il modulo jP (a)j e dimostrando che se P (a) 6= 0 allora in un qualche intorno dia esistono punti jP (z)j < jP (a)j. Se infatti P (1)(a) = P (k�1)(a) = 0 e P (k)(a) 6= 0,scegliendo l�angolo # in modo che P (a) e eik#P (k)(a) risultino opposti rispettoall�origine, per � piccolo P

�a+ �ei#

�� P (a) + �keik#P (k)(a)=k! risulta più vicino

all�origine di P (a). Dopo aver criticato le dimostrazioni precedenti, nella suadissertazione di dottorato del 1797 Gauss dà una nuova dimostrazione del teoremafondamentale dell�algebra e questa è seguita da tre altre dimostrazioni successive.Una semplice dimostrazione topologica del teorema fondamentale dell�algebra è la

85

seguente. Se P (z) = azn+ :::+ b, con a 6= 0 e b 6= 0, per � piccolo e 0 � # < 2� lacurva P (�ei#) � b la curva gira intorno al punto b lasciando l�origine all�esterno,mentre per � grande P (�ei#) � a�nein# gira intorno all�origine. Al variare di� queste curve si deformano in modo continuo, quindi per un raggio opportunoP (�ei#) passa per l�origine.Basandosi sulle ricerche di Lagrange, nel 1799 P.Ru¢ ni (1765-1822), di profes-

sione medico come Cardano, dimostra l�impossibilità di risolvere per radicali unagenerica equazione di quinto grado. Questo risultato è riscoperto da Abel nel 1824e nel 1830 E.Galois (1811-1832) trova delle condizioni sulla risolubilità per radicalidi equazioni algebriche. Nel 1840 J.Liouville (1809-1882) dimostra che la base deilogaritmi naturali non è radice di nessun polinomio di secondo grado a coe¢ cientiinteri. Poi, nel 1844, dimostra che esistono numeri trascendenti, cioè non radici dipolinomi a coe¢ cienti interi. Più precisamente, se un numero irrazionale è radicedi un polinomio di grado n a coe¢ cienti interi, axn+bxn�1+ :::+cx+d = 0, alloraesiste " > 0 tale che per ogni razionale p=q si ha jx� p=qj > "=qn. Questo implicache ogni numero ben approssimabile con frazioni con denominatore piccolo non èalgebrico. Un esempio esplicito è

+1Xn=1

10�n! = 0; 110001000000000000000001000:::

Liouville non studia solo i numeri, ma anche le funzioni trascendenti. In par-ticolare dimostra che le primitive di certe funzioni elementari, come l�integrale

ellitticoZdx=

p1� x4 o la funzione errore

Zexp (�x2) dx, o più in generale le

soluzioni di certe equazioni di¤erenziali, non si possono esprimere come compo-sizione di funzioni elementari.Nel 1874 G.Cantor (1845-1918) dimostra che l�insieme dei numeri algebrici

è numerabile mentre l�insieme di tutti i numeri reali non lo è. Non solo es-istono numeri trascendenti, ma questi sono molti di più degli algebrici. Nel 1858C.Hermite (1822-1901) e L.Kronecker (1823-1891) risolvono le equazioni di quintogrado utilizzando le funzioni ellittiche, poi F.Brioschi (1824-1897) risolve quelledi sesto. Nel 1873 Hermite dimostra che e è trascendente ma stranamente si ri-�uta di a¤rontare �, �Non voglio neanche tentare di dimostrare la trascendenzadi ��. Invece la distanza tra e e � è più breve del previsto. Con le tecnichedi Hermite, nel 1882 C.L.F.Lindemann dimostra che se �, �,..., sono numericomplessi algebrici distinti e se a, b,..., c sono numeri complessi algebrici nonnulli, allora ae� + be� + ::: + ce non può essere zero. Per la formula di Eulero

86

ei� + e0 = 0, quindi i� non è algebrico e anche � è trascendente. Più in generale,da eix � e�ix � 2 sin(x) = 0 si ricava che se la corda 2 sin(x) è algebrica, l�arcox è trascendente. In particolare, questa è una risposta parziale alla domandaformulata da Leibniz a proposito del lemma XXVIII dei �Principia Mathemat-ica�di Newton su una possibile relazione tra la trascendenza di una funzione e latrascendenza dei valori assunti da tale funzione. L�area di un segmento di cerchio

x2+y2 = 1 con estremi (cos(#);� sin(#)) è 2Z 1

cos(#)

p1� x2dx = #� sin(#) cos(#).

Se gli estremi del segmento hanno coordinate algebriche, l�area è trascendente. Maper quali altre curve algebriche questo è vero? Sui lavori di Cantor, Lindemann,ed in generale sulla matematica non costruttiva, c�è un interessante commentodi Kronecker: �Dio ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell�uomo�,e poi �A cosa serve questa bella ricerca su �? Perché studiare queste cose sei numeri irrazionali non esistono?�. Estensioni e sempli�cazioni dei teoremi diHermite e Lindemann vengono pubblicate da K.T.W.Weierstrass (1815-1897) nel1885, da D.Hilbert (1862-1943) nel 1893, poi da altri ancora. Ora ciascun teoremaoccupa più o meno una pagina. Questo pone �ne al problema della quadraturadel cerchio. Per il teorema di Ru¢ ni, le radici di polinomi possono essere nu-meri più complicati di combinazioni di radici quadrate o cubiche. Per il teoremadi Lindemann � è un numero ancora più complicato. Non solo non appartienead estensioni quadratiche iterate del campo dei razionali, questi sono i numericostruibili con riga e compasso, ma neppure appartiene ad estensioni algebriche.Il pronostico di Stifel, �Invano faticano tutti quanti si a¤aticano in calcoli pertrovare la quadratura del cerchio�, si è rivelato errato e con il paziente contributodi generazioni di matematici si è venuti a capo del problema. Ma è proprio veroche di questo numero si sa tutto quanto si può o si deve sapere?

EQUISCOMPONIBILITÀ EDECOMPOSIZIONI PARADOSSALI.

Nel 1832 F.Bolyai (1775-1856) pubblica un saggio in cui, tra l�altro, dimostrache poligoni con area uguale sono equiscomponibili, cioè decomponibili in un nu-mero �nito di pezzi poligonali a due a due uguali. L�idea è che un poligono è de-componibile in triangoli, un triangolo è equiscomponibile con un parallelogrammo,due parallelogrammi con base ed altezza uguali sono equiscomponibili, due ret-tangoli con area uguale sono equiscomponibili. In appendice al saggio del padre,J.Bolyai (1802-1860) pubblica le sue ricerche sul postulato delle parallele, intro-duce una geometria non euclidea e dimostra che in questa geometria la quadraturadel cerchio è a volte possibile. Nella geometria iperbolica la lunghezza di una cir-

87

conferenza di raggio R è 2�k sinh(R=k) e l�area �k2 sinh2(R=2k), mentre nellageometria ellittica la lunghezza di una circonferenza di raggio R è 2�k sin(R=k) el�area 4�k2 sin2(R=2k), la costante �k�2 è la curvatura gaussiana. In geometriaeuclidea un quadrato e un cerchio hanno la stessa area se il rapporto tra lato delquadrato e raggio del cerchio è

p�. In geometria non euclidea i rapporti tra lati e

raggi di quadrati e cerchi di area uguale non sono costanti. Se per esempio questorapporto è un intero, la quadratura del cerchio diventa possibile. Il rovescio dellamedaglia è che altre semplici costruzioni euclidee risultano impossibili.Torniamo allo spazio euclideo. Per comparare i volumi di poliedri è su¢ ciente

l�equiscomponibilità o è necessaria l�esaustione? Due tetraedri con stessa areadi base e stessa altezza sono equiscomponibili? Questo problema di Gauss è ilterzo dei 23 problemi presentati al congresso internazionale dei matematici del1900 da Hilbert ed il primo ad essere risolto. Infatti nel 1902 M.Dehn (1878-1952)dimostra che per l�equiscomponibilità, oltre all�uguaglianza dei volumi occorronoanche condizioni sulla lunghezza degli spigoli e sugli angoli tra le facce. L�idea èdi de�nire un funzionale sull�insieme dei poliedri con � (P [Q) = � (P ) + � (Q)se P e Q sono disgiunti. Un tale funzionale assume uguale valore su poliedriequiscomponibili e, viceversa, se il funzionale assume valori diversi i poliedri nonsono equiscomponibili. Per costruire il funzionale si costruisce prima una funzioneadditiva �(x+ y) = �(x)+�(y) su R. Se fejg è una base dello spazio vettoriale Rsul campo Q, cioè ogni numero reale si può scomporre in modo unico in una com-binazione lineare �nita x =

Pxjej con xj razionali, si de�nisce �(x) =

Pxj� (ej)

con � (ej) arbitrari. Ad ogni poliedro P con spigoli di lunghezza � ed angoli tra lefacce # si associa il numero � (P ) =

P��(#). Se �(�) = 0 questa funzione � (P ) è

additiva, cioè se P può essere scomposto nei poliedri fPjg allora� (P ) =P� (Pj).

In particolare, � (P ) = � (Q) se i poliedri P e Q sono equiscomponibili. In�ne,se tutti i rapporti tra � e gli angoli # sono razionali, � (P ) = 0 e, al contrario, seuno di questi rapporti è irrazionale si può scegliere la funzione �(x) in modo daavere � (P ) 6= 0. Nel 1902 H.Lebesgue (1875-1941) pubblica la sua teoria dellamisura e dell�integrazione e nel 1905 G.Vitali (1875-1932) costruisce un insiemenon misurabile, provando che non esistono misure numerabilmente additive invari-anti per traslazioni de�nite su ogni sottoinsieme della retta. Nel 1924 S.Banach(1892-1945) e A.Tarsky (1902-1983) mostrano che due qualsiasi insiemi di puntinello spazio che contengono punti interni possono essere decomposti in un numero�nito di insiemi congruenti. Per esempio, una sfera di un dato volume è equi-scomponibile con un cubo, anche di volume diverso. La dimostrazione utilizzal�assioma della scelta ed il paradosso si spiega con il fatto che le parti in cui si

88

decompongono gli insiemi non sono necessariamente misurabili. Banach mostraanche che, contrariamente al caso dello spazio, sulla retta e nel piano è possibilede�nire una misura �nitamente additiva per ogni insieme limitato, che estendela misura classica ed assegna la stessa misura a insiemi congruenti. Quindi inuna o due dimensioni non ci sono decomposizioni paradossali. La di¤erenza trale varie dimensioni è legata alla struttura dei rispettivi gruppi di movimenti rigidied all�esistenza di misure invarianti.Nel 1963 L.Dubins, M.W.Hirsch e J.Karush dimostrano l�impossibilità di de-

comporre un cerchio ed un quadrato della stessa area in un numero �nito di regioniuguali, anche se queste hanno bordi curvi. L�idea è semplice. Per ogni punto sulbordo di un dominio A si de�nisce una funzione �(x) che vale +1 se in x il bordo èconvesso, �1 se è concavo, 0 se è piatto. L�integrale di questa funzione sul bordode�nisce una misura �(A) =

Z@A

�(x)ds invariante per traslazioni e rotazioni e

tale che se A e B sono equiscomponibili allora �(A) = �(B). Per un disco diraggio R si ha �(D) = 2�R e per un quadrato si ha �(Q) = 0, quindi cerchio equadrato non sono equiscomponibili. Questa dimostrazione si estende anche a piùdimensioni, ma vale solo per decomposizioni in domini con bordo retti�cabile. Nel1990 M.Laczkovich dimostra che un cerchio ed un quadrato della stessa area, opiù in generale due �gure con la stessa area delimitate da curve abbastanza lisce,sono equiscomponibili in un numero �nito di parti congruenti, ma questi insiemidi punti sono molto irregolari.

IL MORBO DECIMALE.

Torniamo ora ad occuparci dei decimali di e e �, iniziando con delle cu-riosità. (2e3 + e8)

1=7 di¤erisce da � per meno di 10�3, mentre (�4 + �5)1=6 dif-

ferisce da e per meno di 10�7. Indicando con � =�1 +

p5�=2 la sezione aurea,

si ha �2 + 1=10 = 2; 7180::: e 6�2=5 = 3; 1416:::. Non è di¢ cile ottenere dellebuone approssimazioni razionali di e a partire dallo sviluppo in frazioni continueo dalla serie dell�esponenziale. Consideriamo ora le approssimazioni di �. Leapprossimazioni razionali di Archimede 22=7 = 3; 142::: e di Metius 355=113 =3; 14159292::: sono le migliori approssimazioni con frazioni di denominatore minoreo uguale a 7 e a 113, la migliore approssimazione successiva è solo 52163=16604 =3; 14159238:::. Partendo dallo sviluppo decimale di � e dall�approssimazione diArchimede 22/7, il giovane Gauss risolve l�equazione �= (22=7) = (x + 1)=x,x = �2485; 4:::, e trova l�approssimazione (22=7)�(2484=2485). Iterando poi il pro-cedimento, trova l�approssimazione con 13 decimali corretti (22=7) � (2484=2485) �(12983009=12983008). In modo simile, ma partendo dall�approssimazione 355/113,

89

S.Ramanujan (1887-1920) trova che (1� 3=35330000) � (355=113) è maggiore di� di circa 10�15. Una semplice approssimazione algebrica è

p10 = 3; 162:::, la

migliore approssimazione di � con la radice quadrata di un intero. Passando dauna a due radici troviamo

p2+p3 = 3; 146:::. Questa approssimazione, attribuita

a Platone, è la media aritmetica dei perimetri del quadrato inscritto e dell�esagonocircoscritto ad una circonferenza di diametro uno. Altre buone approssimazioni

sonop146 � 13=50 = 3; 141591::: e

q�40� 6

p3�=3 = 3; 14153:::. Le seguenti

approssimazioni di � costruibili con riga e compasso sono dovute Ramanujan.

19

16

p7 = 3; 1418:::;

99

80

�7

7� 3p2

�= 3; 1415927:::;

9

5+

r9

5= 3; 1416:::;

63

25

17 + 15

p5

7 + 15p5

!= 3; 1415926538:::;

7

3

1 +

p3

5

!= 3; 1416:::;

�92 +

192

22

�1=4= 3; 141592652::::

Ramanujan scopre anche l�approssimazione, con 31 decimali corretti,

4p522

log

0@�5p29 + 11p6� 5 +p29p2

!3 p9 + 3

p6 +

p5 + 3

p6

2

!61Ae le serie

1

�=1

16

+1Xn=0

�2n

n

�342n+ 5

212n;

1

�=

p8

9801

+1Xn=0

(4n)!(1103 + 26390n)

(n!)4(396)4n:

Queste serie o¤rono un e¢ ciente metodo per il calcolo di �. Il termine n-esimodella prima serie ha un ordine di grandezza di 2�6n. La seconda serie convergeancora più velocemente, il termine n-esimo ha un ordine di grandezza di (99)�4n, ilprimo termine dà già le prime cinque cifre decimali di � ed ogni termine successivone aggiunge circa otto.Un altro e¢ ciente algoritmo, di R.Brent e E.Salamin, per il calcolo di � utilizza

le medie aritmetico geometriche di Gauss. Dati due numeri positivi x0 e y0,

90

de�niamo ricorsivamente le medie aritmetiche xn+1 = (xn + yn) =2 e geometricheyn+1 =

pxnyn. Se x0 > y0, allora xn > xn+1 > yn+1 > yn e queste successioni

convergono velocemente ad uno stesso limite AGM(x0; y0). Partendo da x0 = 1 ey0 = 1=

p2, si ottiene

4x211� 4 (x21 � y21)

= 3; 187672642:::;

4x221� 4 (x21 � y21)� 8 (x22 � y22)

= 3; 141680294:::;

4x231� 4 (x21 � y21)� 8 (x22 � y22)� 16 (x23 � y23)

= 3:141592646:::;

� = limn!+1

4x2n

1�nXk=1

2k+1 (x2k � y2k)

=4 � AGM(1; 1=

p2)2

1�+1Xk=1

2k+1 (x2k � y2k)

:

Prima di questi metodi, per il calcolo di � sono state molto utilizzate formule diaddizione per l�arcotangente del tipo Machin � = 16 arctan(1=5)�4 arctan(1=239)insieme allo sviluppo di Taylor arctan(x) = x � x3=3 + x5=5 � :::. Con carta epenna si è arrivati a calcolare 707 cifre decimali di � e con calcolatrici meccaniche1120 decimali. Su suggerimento di J.vonNeumann (1903-1957) nel Luglio del 1949ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer) calcola in 20 ore 2010cifre decimali di e utilizzando la serie dei reciproci dei fattoriali. Poi, nel Settembredel 1949 ENIAC calcola in 70 ore 2035 cifre decimali di � utilizzando la formuladi Machin. Nei cinquant�anni successivi al primo calcolatore elettronico le cifredecimali di � conosciute sono raddoppiate ogni due anni. Nel 1973 M.Bouyer eJ.Guilloud, con una formula tipo Machin, infrangono il muro del milione di cifree nel 1989 i fratelli D. e G.Chudnovsky, con una formula tipo Ramanujan, quellodel miliardo,

� =

12

+1Xn=0

(�)n (6n)!(13591409 + 545140134n)(3n)!(n!)3(640320)3n+3=2

!�1:

Il XX secolo si chiude con un record di P.Demichel, più di un miliardo didecimali di e, ed un analogo record di D.Takahashi e Y.Kanada, più di 206 miliardidi decimali di � con le medie aritmetico geometriche di Gauss. In�ne, il XXI secolosi apre con un nuovo record del team di Kanada, in 600 ore più di mille miliardidi cifre esadecimali di �, convertite in più di 1200 miliardi di decimali, calcolati econtrollati utilizzando due formule di tipo Machin,

91

� = 48 arctan (1=49) + 128 arctan (1=571)� 20 arctan (1=239) + 48 arctan (1=110443) ;� = 176 arctan (1=57) + 28 arctan (1=239)� 48 arctan (1=682) + 92 arctan (1=12943) :

Con un programma di calcolo formale nel 1995 D.Bailey, P.Borwein, e S.Plou¤etrovano che

� =

+1Xn=0

1

16n

�4

8n+ 1� 2

8n+ 4� 1

8n+ 5� 1

8n+ 6

�:

Per veri�care l�identità basta osservare che

+1Xn=0

16�n (8n+ k)�1 =+1Xn=0

2k=2Z 2�1=2

0

x8n+k�1dx = 2k=2Z 2�1=2

0

xk�1

1� x8dx;

poi calcolare gli integrali. Con questa formula è possibile calcolare una singolacifra binaria di � senza bisogno di tutte le precedenti. Il calcolo di � diventa quasiun test per misurare l�a¢ dabilità dei calcolatori e l�e¢ cienza degli algoritmi dicalcolo. I decimali di � sono anche sottoposti a svariati test statistici e sembraemergere un paradosso: questo numero è perfettamente deterministico, ma le suecifre decimali appaiono del tutto aleatorie. In � si possono cercare le date dinascita di parenti e amici, per esempio, la data 22 11 1995 compare a partire dal5357330-esimo decimale.A questo punto può essersi generata l�impressione che, utilizzando solo le quat-

tro operazioni elementari e magari le estrazioni di radici, è piuttosto semplice cal-colare miliardi di decimali di �, di e, o di altri numeri. Per suggerire che non èproprio così, accenniamo a problemi di complessità computazionale che mostranocome alcuni algoritmi di calcolo tradizionali non hanno necessariamente una ef-�cienza ottimale. Le somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, con numeripiccoli non costituiscono un problema, ma con numeri grandi le cose si compli-cano. Per sommare o sottrarre due numeri si sommano o sottraggono le cifre diun numero a quelle dell�altro e si eseguono dei riporti. Sommare o sottrarre duenumeri di n cifre richiede circa n operazioni elementari, e non si può sperare dimeglio. La moltiplicazione è più complicata, si deve moltiplicare ogni cifra diun numero per tutte le cifre dell�altro e poi sommare i risultati. In de�nitiva lamoltiplicazione di due numeri di n cifre richiede circa n2 operazioni elementari.Osserviamo le formule

92

(10na+ b) � (10nc+ d) = 102nac+ 10n (ad+ bc) + bd;(10na+ b) � (10nc+ d) = 102nac+ 10n ((a� b)(d� c) + ac+ bd) + bd:

La prima formula è quella che corrisponde all�algoritmo di moltiplicazionetradizionale, sembra più naturale e richiede il calcolo di tre somme e quattro molti-plicazioni, ac, ad, bc, bd. Con questo algoritmo di moltiplicazione raddoppiandole cifre si quadruplicano le operazioni. La seconda formula sembra più compli-cata perché richiede sei somme o sottrazioni ma solo tre moltiplicazioni, ac, bd,(a � b)(d � c). Con questo algoritmo raddoppiando le cifre si triplicano le oper-azioni, la moltiplicazione di due numeri di n cifre richiede circa nlog2(3) operazionielementari. Si può fare di meglio, cn log(n), ma gli algoritmi si complicano.Dei metodi e¢ cienti per dividere o estrarre radici sono basati sul metodo delle

tangenti di Newton per calcolare gli zeri di una funzione. Per trovare gli zeri diuna funzione y = f(x) si parte da una approssimazione a dello zero cercato e sisviluppa in serie y = f(a)+f 0(a)(x�a)+ :::. Si risolve poi l�equazione linearizzataf(a) + f 0(a)(x � a) = 0, con la speranza che la soluzione x = a � f(a)=f 0(a) diquesta equazione sia una migliore approssimazione della vera soluzione. Di fattose x0 è abbastanza vicino alla soluzione di f(x) = 0 e se f 0(x) 6= 0, le iteratexn+1 = xn�f(xn)=f 0(xn) convergono quadraticamente alla soluzione, jxn+1 � xj �c jxn � xj2, perché nello sviluppo in serie si trascurano i termini quadrati. Piùprecisamente,

xn+1�x = (xn � f(xn)=f0(xn))�(x� f(x)=f 0(x)) =

�f (y) f 00(y)=f 0 (y)2

�(xn � x) ;

con y compreso tra x e xn. Se f(x) = 0, allora jf (y)j � c jxn � xj e quindijxn+1 � xj � c jxn � xj2. Grosso modo ogni iterazione raddoppia il numero didecimali corretti. Per il calcolo degli inversi il metodo di Newton applicatoall�equazione y � 1=x = 0 fornisce le iterazioni xn+1 = xn (2� yxn). Questeiterazioni si calcolano solo con somme e moltiplicazioni e convergono velocementea 1=y, quindi si possono ridurre le divisioni a delle moltiplicazioni. Similmenteil metodo di Newton applicato all�equazione x2 � y = 0 fornisce le iterazionixn+1 = (xn + y=xn) =2 e coincide con il metodo di Erone per il calcolo di

py. È

anche possibile calcolare le radici quadre senza utilizzare divisioni. Dall�equazionex�2 � y = 0 si ricavano le iterazioni xn+1 = xn (3� x2ny) =2 che convergono ay�1=2 e con un�ultima moltiplicazione si ottiene y � y�1=2 = py. Osserviamo cheoltre a somme e moltilicazioni si sono utilizzate solo divisioni per 2, che in base

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2 sono uno spostamento delle cifre. Ci sono algoritmi per radici di ogni indice.Per esempio, le iterazioni xn+1 = xn (3� x3ny

2) =2 convergono a y�2=3 e con unamoltiplicazione per y si ottiene 3

py. Il risultato è che il calcolo di 1=y o di

py con

una precisione di n cifre ha essenzialmente la stessa complessità computazionaledella moltiplicazione di due numeri con n cifre. In de�nitiva, calcolare n decimalidi � non è troppo più complicato che moltiplicare due numeri di n cifre. Ma ècosì banale moltiplicare numeri con miliardi di cifre?

IL MORBO CICLOMETRICO.

Delle più importanti costanti �siche non si conoscono che poche cifre decimali.Della più importante costante matematica si conoscono miliardi di cifre e di tantoin tanto compare qualcuno che crede di aver �nalmente trovato l�ultima. Abbiamoaccennato a quadrature errate di persone competenti come Nicola da Cusa oGregorio di San Vincenzo, ma ci sono molti altri esempi più o meno famosi.Folgorato dalla lettura di Euclide, il �losofo T.Hobbes pubblica a partire dal

1655 una dozzina di soluzioni della quadratura del cerchio con diversi valori per �,3 + 1=5,

p10,... e nel 1669 a¤ronta anche la duplicazione del cubo, �Quadratura

circuli, cubatio sphaerae, duplicatio cubi breviter demonstrata�. Wallis, �homohomini lupus�, dà allora inizio ad una feroce polemica che si chiude solo dopoun quarto di secolo alla morte del �losofo novantenne. Hobbes pubblica �Seilezioni al professore di matematica...�, �Osservazioni sulla geometria assurda, illinguaggio rurale etc. del Dottor Wallis�, �Esame ed emendamento della matem-atica odierna�, �Sui principi e ragioni delle geometrie, contro i falsi professori digeometria�,... e Wallis replica con �Punizioni da in�iggere al Signor Hobbes pernon aver appreso correttamente la sua lezione� e commenti del tipo: �Non possonon osservare l�abitudine di Hobbes a contraddirsi. Trovo vergognoso che un sìgrande pretendente a tali alte cose in geometria, sia poi così miseramente igno-rante delle comuni operazioni dell�aritmetica pratica�. Newton si tiene lontano daquesta polemica, �La �loso�a è una signora così impertinente e litigiosa, che perun uomo è meglio esser citato in giudizio che aver a che fare con lei�, ma qualcheanno dopo inizia la sua polemica con Hooke per la priorità delle scoperte sull�otticae la gravitazione e poi con Leibniz per il calcolo di¤erenziale ed integrale.Facciamo ora una piccola digressione, dalla misura del cerchio in geometria alla

misura delle distanze sulla sfera terrestre. La determinazione della latitudine è unproblema relativamente semplice, che si può ridurre alla misura dell�altezza dellaStella Polare rispetto all�orizzonte, oppure l�altezza del Sole a mezzogiorno. Ladeterminazione della longitudine è più problematica e nei secoli delle grandi scop-erte geogra�che molti stati europei hanno o¤erto grossi premi per la soluzione di

94

questo problema di grande importanza per la navigazione. Galileo nel 1610 scoprele lune di Giove, �Sidera Medicea�, e ne studia i movimenti. Ha poi l�intuizionedi utilizzare le eclissi di questi satelliti che regolarmente compaiono e scompaionodietro al pianeta come un orologio astronomico, che visto da ogni punto dellaTerra segna la stessa ora. Con questo orologio è semplice risalire alla longitudine,che risulta proporzionale alla di¤erenza tra questa ora astronomica e l�ora solare.Nel 1616 cerca di vendere senza successo la sua idea alla Spagna. Ritenta poi conl�Olanda, che ha o¤erto un premio di 30.000 scudi per la soluzione del problema.Non riceve il premio in denaro, ma una catena d�oro. Il metodo di calcolo dellalongitudine proposto da Galileo è laborioso, comunque G.D.Cassini (1625-1712)nel 1668 pubblica le �Efemeridi delle stelle medicee�, poi utilizzate in varie spedi-zioni geogra�che. Nel 1714 il parlamento britannico o¤re £ 20.000 per un metododi determinazione della longitudine in mare con un�approssimazione inferiore amezzo grado, £ 15.000 per un�approssimazione inferiore a due terzi di grado e £10.000 per un�approssimazione inferiore ad un grado. Uno dei metodi proposti,che in verità si rivela poco pratico, si basa sulla tabulazione della direzione delmoto della Luna rispetto alle stelle �sse. Nel 1762 Eulero e T.Mayer ricevono £3.000 per delle tavole dei movimenti lunari. Finalmente nel 1765 J.Harrison riceve£ 10.000 per la costruzione di un cronometro che, a di¤erenza degli orologi a pen-dolo, riesce a funzionare anche sulle navi. Di fatto, molti fraintendono il problemadella longitudine con quello della misura del cerchio e, trovata una misura più omeno precisa, chiedono la ricompensa.Accade spesso che Tizio trovi una o più quadrature, magari distinte, se poi

queste vengono contestate da Caio, non è per aver violato il principio di noncontraddizione, ma semplicemente perché non coincidono con la vera quadraturatrovata da Caio stesso o da Sempronio. Molti tra quelli che presentano dellequadrature del cerchio promettono ricompense a chi trova l�errore, tanto anchese perdono poi non pagano, molti altri vogliono essere pagati per il contributodato al sapere. Nel 1724 J.Mathulon, di professione medico, presenta un paio dipresunte quadrature del cerchio, insieme ad una macchina che promette il motoperpetuo e ad altre interessanti invenzioni. Lamentandosi per lo scarso interessesuscitato dalle sue scoperte, che �se fossero state portate a conoscenza di suamaestà, avrebbero già potuto essere utilizzate in tutto il regno�, deposita 1000 scudipresso un notaio per chi trova l�errore. L�errore si trova ed i soldi sono devolutiai poveri. Comunque il lupo perde il pelo ma non il vizio e qualche anno dopolo scacco subito presenta all�Accademia Reale delle Scienze una terza quadratura.Nel 1753 J.L.V.de Mauléon de Causans propone una sottoscrizione di 4000 quote

95

da 1000 lire ciascuna per rivelare la sua quadratura del cerchio, impegnandosi arestituire a ciascun sottoscrittore 1500 lire nel caso si dimostrasse falsa. Vistolo scarso successo della sottoscrizione, tappezza i muri di Parigi con l�avviso chesono state depositate presso un notaio 1000 lire per chi dimostra la falsità dellasua quadratura, cosa non di¢ cile visto che il quadrato circoscritto risulta ugualeal cerchio inscritto. Citato in giudizio da chi vuole riscuotere il premio, vienesalvato dal tribunale che dichiara nulle le promesse fatte. Non contento per loscampato pericolo, trova una seconda quadratura con � = 25=8 ed una terzaancora ed invia delle suppliche al re accusando l�Accademia Reale delle Scienze dicattiva fede. Nel 1773 D.Lafrenaye, dopo aver de�nito la radice quadrata comel�ottava parte di un numero, dimostra un cerchio ha la stessa area di un quadratotale che il lato più la sua radice siano uguali al diametro. Ha ritrovato cioè laregola di Ahmes, se D = L + L=8 è il diametro del cerchio, l�area è L2. Anchequesta scoperta provoca una polemica con l�Accademia Reale delle Scienze, chein�ne nel 1775 reagisce con la dichiarazione: �L�Accademia ha preso quest�anno larisoluzione di non esaminare più alcuna soluzione dei problemi della duplicazionedel cubo, della trisezione dell�angolo, o della quadratura del cerchio, né alcunamacchina annunciata come un moto perpetuo�. Nel 1836 M.J.Lacomme, unoscavatore di pozzi analfabeta, chiede ad un matematico quante pietre occorronoper pavimentare il fondo di un pozzo circolare, poi studia da solo il problema etrova il valore 3 + 1=8. Già si conoscono più di cento cifre decimali di �, ma iltentativo viene premiato con delle medaglie. Un tale Recalcati di Milano o¤re laquadratura del cerchio a chiunque versi cinque franchi, con garanzia di restituzionein caso di soluzione non completamente rigorosa. Il garante è un banchiere.Un altro caso di quadratura del cerchio è quello di E.J.Goodwin, un medico

nello stato dell�Indiana, il quale molto umilmente dichiara che, non per suo meritoma per pura grazia, �Nella prima settimana di Marzo del 1888 è stato in modosoprannaturale illuminato sulla esatta misura del cerchio... nessuna autorità nellascienza dei numeri può dire come il rapporto è stato scoperto...�. Su richiestadell�autore la scoperta viene pubblicata nel 1894 sull��American MathematicalMonthly� e nel 1895 dopo la quadratura del cerchio è la volta della trisezionedell�angolo e della duplicazione del cubo:

�Un�area circolare è uguale al quadrato su di una linea uguale al quadrantedella circonferenza; e l�area di un quadrato è uguale all�area del cerchio la cuicirconferenza è uguale al perimetro del quadrato. (Copyrighted by the author,1889. All rights reserved.)�

96

�Trisezione di un angolo: La trisezione della corda di ogni arco di cerchiotriseca l�angolo dell�arco. Duplicazione del cubo: Duplicare la dimensione di uncubo ottuplica il suo contenuto, e duplicare il suo contenuto aumenta la sua di-mensione del venticinque più uno per cento.�

Se la circonferenza 2�r è uguale al perimetro del quadrato, il lato del quadratoè un quadrante �r=2 e l�area del quadrato è �2r2=4. Se l�area del quadrato èuguale all�area del cerchio, �2r2=4 = �r2 e si ricava � = 4. Il dottor Goodwincerca il riconoscimento del governo per le sue scoperte e chiede di includerle neiprogrammi di studio delle accademie di West Point ed Annapolis. Riesce poi aconvincere il suo deputato locale a presentare una proposta di legge per �ssare ilvalore legale di �.

�Progetto di legge no 246. Presentato da T.I.Record. Letto per la prima voltaalla Camera il 18/1/1897. Inviato al Comitato per i Canali ed inviato al Comitatoper l�Educazione il 19/1/1897. Letto per la seconda e terza volta il 5/2/1897.Approvato il 5/2/1897, Si 67, No 0. Letto per la prima volta al Senato il 18Gennaio 1897. Inviato al Comitato per la Temperanza il 11/2/1897. Parerefavorevole il 12/2/1897...��Progetto di legge per introdurre una nuova verità matematica ed o¤erto come

contributo all�educazione, da essere usato senza costi o diritti d�autore dal soloStato dell�Indiana se accettato ed adottato dalla legislatura nel 1897... Si è trovatoche l�area circolare sta al quadrante della circonferenza come l�area di un rettangoloequilatero sta al quadrato su un lato. Secondo la presente regola l�uso del diametrocome unità lineare per il calcolo dell�area del cerchio è completamente sbagliato...Prendendo il quadrante della circonferenza del cerchio come unità lineare si sod-disfano i requisiti richiesti per la quadratura e la retti�cazione della circonferenzadel cerchio. Inoltre, si è rivelato che il rapporto tra la corda ed un arco di novantagradi è come sette a otto, e anche che il rapporto tra la diagonale ed un lato diun quadrato è come dieci a sette, questo rivela l�importante fatto che il rapportotra diametro e circonferenza è come cinque quarti a quattro. Per questo ed altro,la regola �nora in uso non funziona sia matematicamente che nelle applicazionipratiche...�

Il rapporto tra corda ed arco di novanta gradi è�p2r�= (�r=2). Se 2

p2=� =

7=8 si ricava che � = 16p2=7. Inoltre, se il rapporto tra diagonale e lato di

97

un quadrato è dieci a sette, � = 16p2=7 = 160=49. Sono valori diversi dal

� = 4 ottenuto precedentemente, ma non è certo il caso di arrendersi davanti alprincipio di non contraddizione. L��Indianapolis Sentinel� del 20/1/1897 titola:�Quadrare il cerchio, ci sono voci che questo vecchio problema sia stato risolto�.Per caso la proposta di legge viene mostrata ad un matematico in visita alla Cam-era, con la preghiera di scrivere una presentazione del dotto autore, ma questideclina l�invito con la scusa che di pazzi ne conosce già troppi. A questo puntoi senatori cominciano ad aver qualche dubbio ed uno di loro pubblicamente con-fessa: �Può essere che io sia particolarmente ignorante su questa questione diMatematica�. L�assemblea unanime si associa decidendo, pur senza entrare nelmerito dell�argomento, di rimandare a tempo inde�nito l�approvazione de�nitiva.Di fatto, tutti quelli che pagano le tasse su proprietà tonde e subiscono passiva-mente interessi irrisori sui depositi e da usura sui debiti possono essere piuttostointeressati ai valori legali dei numeri � ed e.A.De Morgan osserva che �è più facile quadrare un cerchio che arrotondare un

matematico� e propone una spiegazione astrologica ai diversi valori di � apparsiin epoche di¤erenti. Il rapporto tra circonferenza e diametro non è costante, mavaria col tempo secondo la formula � = 3 + 13=80 + 3=80 cos(S � L), con S e Llongitudini del Sole e della Luna. Ma forse le perturbazioni di qualche pianetasono responsabili di valori minori di 3,125 o maggiori di 3,2.Terminiamo questa breve introduzione con l�ovvia osservazione che la soluzione

del problema della quadratura del cerchio non pone �ne alla storia di � il cui studio,insieme a quello di tanti altri numeri interessanti, continuerà ancora per molto.

98

LE LUNULE DI IPPOCRATE

Una lunula è una parte di piano delimitata da due archi di cerchio. Nel 1724D.Bernoulli (1700-1782), poi Eulero ed altri, traducono in formule le quadraturegeometriche delle lunule di Ippocrate. Se un arco ha raggio R e angolo 2' e l�altroha raggio S e angolo 2 , la corda comune misura 2R sin(') = 2S sin( ) e l�areadella lunula è �

R2'�R2 sin(2')=2���S2 � S2 sin(2 )=2

�:

La lunula è una parte di piano delimitatada archi di cerchio. Se (R; 2') e (S; 2 )sono i raggi e gli angoli degli archi di

cerchio, l�area della lunula èR2 ('� sin(2')=2)� S2 ( � sin(2 )=2) :

Data la lunula si possono misurarne raggi e corda ma, per il teorema diLindemann, a seni algebrici corrispondono angoli trascendenti, non si possonoquindi misurare separatamente le aree dei settori circolari. Comunque, se i set-tori circolari hanno area uguale queste quantità trascendenti si eliminano. SeR2' = S2 , l�area della lunula diventa (S2 sin(2 )�R2 sin(2')) =2, la condizioneR sin(') = S sin( ) si trasforma in

p sin(') =

p' sin( ) e, ponendo ' = m# e

= n#, si ha n sin2(m#) = m sin2(n#). Quando questa equazione è risolubile perradicali quadratici la lunula risulta quadrabile con riga e compasso. In particolarese il rapporto '= è 2/1, 3/1, 3/2, 5/1, 5/3, la lunula risulta quadrabile. Leprime tre lunule sono di Ippocrate e le ultime due di Eulero sono poi ritrovate daClausen.

99

'= = 2=1 cos(') =1p2

'= = 3=1 cos(') =1

2

�p1 +

p3�

'= = 3=2 cos(') =1

8

�p33� 1

�'= = 5=1 cos(2') =

1

4

�p5 + 4

p5� 1

�'= = 5=3 cos(

2

3') =

1

4

0@s203+

r20

3+

r5

3� 1

1ACon Viète osserviamo che se '= = 4=1 la quadratura della lunula si ri-

conduce ad una equazione cubica 4 cos3(') � 2 cos(') � 1 = 0. Utilizzandoil teorema di Lindemann, E.Landau (1877-1937) e L.Chakalov (1866-1963) di-mostrano che le condizioni R2' = S2 e '= razionale sono necessarie per laquadratura con riga e compasso della lunula. Le sostituzioni ' = m#, =n#, sin(#) = (exp(2i#)� 1) = (2i exp(2i#)), trasformano

p sin(') =

p' sin( )

nell�equazione algebrica m (zn � 1)2 zm�n � n (zm � 1)2 = 0 e studiando questaequazione N.G.Cebotarev e A.W.Dorodnov dimostrano che oltre a quelle di Ip-pocrate e Clausen non ci sono altre lunule quadrabili. Esistono comunque al-tre �gure delimitate da archi di cerchio quadrabili in modo elementare o la cuiquadratura si può ricondurre a quella del cerchio. In particolare, gli appunti diLeonardo da Vinci contengono molte di queste �gure.

L�arbelo ed il salino di Archimede.

L�arbelo è delimitato da tre semicirconferenze e il salino da quattro.L�area è uguale al cerchio con diametro l�altezza della �gura.

100

Il fuso circolare e il drepanoide di Archimede.

Un quadrante ha area uguale a due semicerchi, il fuso circolare ha areauguale al triangolo curvilineo. Il triangolo curvilineo delimitato da trecirconferenze con uguale diametro ha area uguale al parallelogramma.

La rosetta formata da sei archidi cerchio ha perimetro4� ed area 2� � 3

p3.

La rosa camuna formata da ottoarchi di cerchio ha il perimetro

10� ed area 16 + �.

Le lune falcate di Leonardo.L�arco di cerchio grande èdoppio dei piccoli e le quattroregioni hanno la stessa area.

101

ARCHIMEDE ED IL METODO DI ESAUSTIONE

Approssimando un cerchio con poligoni regolari inscritti e circoscritti è possi-bile, almeno in linea di principio, calcolare � con una approssimazione arbitraria-mente piccola ed Archimede è tra i primi ad implementare questo metodo da unpunto di vista numerico. Nell�esposizione che segue, traduciamo il suo linguaggiogeometrico in trigonometria. Un poligono regolare con n lati iscritto in una cir-conferenza di raggio uno si ottiene dividendo un angolo giro in n parti uguali. Illato risulta lungo 2 sin(�=n) ed il perimetro 2n sin(�=n). Analogamente, il latodi un poligono regolare con n lati circoscritto ad una circonferenza di raggio unorisulta lungo 2 tan(�=n) ed il perimetro 2n tan(�=n). I perimetri dei poligoni is-critti sono una stima per difetto ed i perimetri dei poligoni circoscritti sono unastima per eccesso della lunghezza della circonferenza,

n sin(�=n) < � < n tan(�=n):

Tanto più grande è il numero dei lati, tanto meglio i poligoni iscritti e cir-coscritti approssimano la circonferenza. In particolare, dagli sviluppi in seriesin(x) = x � x3=6 + ::: e tan(x) = x + x3=3 + ::: si ricava che la discrepanza trai perimetri dei poligoni e la circonferenza è dell�ordine di n�2, � � n sin(�=n) ��3=6n2 e n tan(�=n)� � � �3=3n2.Archimede ottiene i perimetri dei poligoni regolari di 6, 12, 24, 48, 96 lati per

mezzo di un procedimento che permette di passare dal perimetro di un poligonocon un certo numero di lati al perimetro di un poligono con un numero doppiodi lati. Il processo ricorsivo, formalizzato da J.F.Pfa¤ (1765-1825), è il seguente.Indicando con P (n) = 2n sin(�=n) e con Q(n) = 2n tan(�=n), è possibile ricavareQ(2n) prendendo la media armonica tra P (n) e Q(n) e poi ricavare P (2n) pren-dendo la media geometrica tra P (n) e Q(2n):

tan(x) =sin(2x) tan(2x)

sin(2x) + tan(2x); 2 sin(x) =

p2 sin(2x) tan(x);

Q(2n) =2Q(n)P (n)

Q(n) + P (n); P (2n) =

pQ(2n)P (n):

Un altro modo di procedere è il seguente. Per conoscere P (n) basta conosceresin(�=n) e, noto sin(�=n), si può ricavare sin(�=2n) dalle formule di bisezione,

102

P (2n) = 4n � sin (�=2n) = 2n �q2� 2

p1� sin2 (�=n)

= 2n �r2�

q4� (P (n)=n)2:

In particolare, partendo con sin(�=4) = 1=p2, si ottiene ricorsivamente

P (4) = 4p2;

P (8) = 8p2�

p2;

P (16) = 16

q2�

p2 +

p2;

P (32) = 32

r2�

q2 +

p2 +

p2;

P (64) = 64

s2�

r2 +

q2 +

p2 +

p2; :::

Similmente, partendo con sin(�=6) = 1=2,

P (6) = 6;

P (12) = 12p2�

p3;

P (24) = 24

q2�

p2 +

p3;

P (48) = 48

r2�

q2 +

p2 +

p3;

P (96) = 96

s2�

r2 +

q2 +

p2 +

p3; :::

Osserviamo che l�approssimazione � � P (n)=2 è dell�ordine di n�2:

P (n)=2 = n sin (�=n) = � � �3=6n2 + �5=120n4 � :::

Per accelerare la convergenza delle successioni fP (n)g e fQ(n)g, si può partiredalle identità x = arcsin (sin(x)) e x = arctan (tan(x)) e sviluppare in serie dipotenze l�arco seno o l�arco tangente. In questo modo si ottiene

� = n arcsin (P (n)=2n) = P (n)=2 + P (n)3=48n2 + 3P (n)5=1280n4 + :::;� = n arctan (Q(n)=2n) = Q(n)=2 +Q(n)3=24n2 +Q(n)5=160n4 + ::::

103

Con k termini di queste serie si hanno approssimazioni dell�ordine di n�2k. Peresempio, P (6)=2 = 3 è l�approssimazione biblica, P (6)=2+P (6)3=48 �62 = 3+1=8è quella babilonese, l�approssimazione successiva 3+1=8+9=640 = 3; 139::: è quasibuona come quella di Archimede. Per accelerare la convergenza di questi processidi approssimazione si può anche utilizzare il metodo di Snell e Huygens, che haun�approssimazione dell�ordine di n�4,

2

3P (2n)� 1

6P (n) = (8n=3) sin (�=2n)� (n=3) sin (�=n) = � � �5=480n4 + :::

Il metodo di Snell e Huygens si presta ad una immediata generalizzazione. Nel1927 L.F.Richardson osserva che se una certa quantità P è limite per x ! 0 diuna funzione f(x) con sviluppo asintotico

f(x) = P + Ax� +Bx� + Cx + :::;

con 0 < � < � < :::, allora f(y) approssima P meglio di f(x) se y < x,ma è possibile ottenere un�approssimazione ancora migliore con una opportunacombinazione lineare tra f(x) e f(y) che elimina la potenza �,

x�f(y)� y�f(x)

x� � y�= P +B

x�y� � y�x�

x� � y�+ C

x�y � y�x

x� � y�+ ::::

È interessante notare che per applicare il metodo è su¢ ciente conoscere gliesponenti dello sviluppo asintotico e non è necessario conoscerne i coe¢ cienti.Per esempio, il calcolo numerico di un integrale con il metodo dei trapezi conpasso (b� a)=n porta ad una formula del tipoZ b

a

f(t)dt = T (n) + �n�2 + �n�4 + n�6 + ::::

L�area dei trapezi T (n) approssima l�integrale a meno di n�2, ma (4T (n)� T (2n)) =3è un�approssimazione a meno di n�4 ed iterando il procedimento si può anche elim-inare questo termine ed i successivi.Ci sono altri metodi, anche non lineari, per accelerare la convergenza di una

successione. Nel 1674 Takakazu Seki (1642-1708), calcolati P (215), P (216), P (217),ottiene dieci cifre decimali di � utilizzando la formula

P (2n) +(P (2n)� P (n)) (P (4n)� P (2n))

(P (2n)� P (n))� (P (4n)� P (2n)):

104

Il metodo di Seki è riscoperto da A.Aitken nel 1926, il quale osserva che sefx(n)g converge a z in modo geometrico, x(n) = z + �n con j�j < 1, allora

x(n)� x(n� 1)x(n� 1)� x(n� 2) =

x(n)� z

x(n� 1)� z;

z =x(n)x(n� 2)� x(n� 1)2

x(n)� 2x(n� 1) + x(n� 2) :

Questo suggerisce di associare alla successione fx(n)g la successione

y(n) = x(n)� (x(n)� x(n� 1))2

x(n)� 2x(n� 1) + x(n� 2) :

In generale, se fx(n)g ! z anche fy(n)g ! z, ma la convergenza è più veloce,(y(n)� z) = (x(n)� z) � 1. Confrontiamo numericamente i metodi di Archimede,Huygens, Seki, ricordando che � = 3; 1415926535:::.

Archimede: x(n) = (6 � 2n) sin (�= (6 � 2n)) :

Huygens: y(n) =4x(n)� x(n� 1)

3:

Seki: z(n) = x(n)� (x(n)� x(n� 1))2

x(n)� 2x(n� 1) + x(n� 2) :

n x(n) y(n) z(n)0 31 3; 105828541::: 3; 141104721:::2 3; 132628613::: 3; 141561970::: 3; 141717032:::3 3; 139350203::: 3; 141590732::: 3; 141600361:::4 3; 141031950::: 3; 141592533::: 3; 141593134:::

Il metodo di Viète per stimare � è simile a quello di Archimede, ma utilizzale aree invece dei perimetri. Qui, seguendo Eulero, traduciamo la geometria inanalisi. Si parte dalle identità

sin(x) = 2 cos(x=2) sin(x=2) = 4 cos(x=2) cos(x=4) sin(x=4)= 2n cos(x=2) cos(x=4)::: cos(x=2n) sin(x=2n):

Da cos(#=2) =p(1 + cos(#)) =2 e 2n sin(2�n#)! #, si ricava

105

sin(x)

x= cos(x=2) cos(x=4) cos(x=8):::

=

r1

2+cos(x)

2

s1

2+1

2

r1

2+cos(x)

2

vuut1

2+1

2

s1

2+1

2

r1

2+cos(x)

2:::

Ponendo x = �=2 si ottiene la formula di Viète,

2

�=

r1

2

s1

2+1

2

r1

2

vuut1

2+1

2

s1

2+1

2

r1

2:::

Con dei metodi iterativi non solo è possibile stimare �, ma anche calcolarefunzioni trigonometriche e logaritmi. Per esempio si ha

limn!+1

2n tan�2�n arctan(x)

�= arctan(x):

Inoltre tan(y=2) = tan(y)=�1 +

p1 + tan2(y)

�. Quindi arctan(x) è limite

della successione de�nita ricorsivamente da

A0(x) = x; An+1(x) =2An(x)

1 +q1 + (2�nAn(x))

2:

Similmente,

limn!+1

2n�(1 + x)2

�n� 1�= log(1 + x):

Quindi log(1 + x) è limite della successione de�nita ricorsivamente da

L0(x) = x; Ln+1(x) =2Ln(x)

1 +p1 + 2�nLn(x)

:

Ma torniamo al metodo di esaustione ed a �. L�area di un cerchio di raggio uno

è 4Z 1

0

p1� x2dx e si può stimare questo integrale con qualche metodo numerico.

Per stimare un integraleZ b

a

f(x)dx si possono utilizzare i metodi di esaustione

con rettangoli o trapezi,

106

Z b

a

f(x)dx � b� a

n

n�1Xk=0

f (a+ k(b� a)=n) ;Z b

a

f(x)dx � b� a

n

f(a) + f(b)

2+

n�1Xk=1

f (a+ k(b� a)=n)

!;

che danno errori dell�ordine di n�1 e n�2, o metodi più so�sticati. Per esempio,con il metodo di Simpson con passo 1/4 si ottiene già una buona approssimazionedi �,

� = 12 � Z 1=2

0

p1� x2dx�

p3

8

!

� 12 � p

1� (0=4)2 + 4 �p1� (1=4)2 +

p1� (2=4)2

12�p3

8

!= 1 +

p15�

p3 = 3; 140932:::

Il metodo di Simpson è basato sull�interpolazione e quadratura con parabole,è quindi un metodo archimedeo.

107

LE TAV OLE DELLE CORDE DI TOLOMEOE LE TAV OLE DEI LOGARITMI DI NEPERO

Utilizzando la formula di Taylor, non è di¢ cile calcolare numericamente lefunzioni trigonometriche ed i logaritmi. Per esempio, il polinomio x � x3=6 +x5=120 approssima sin(x) nell�intervallo 0 � x � �=2 con un errore inferiorea 5 � 10�3. Modi�cando opportunamente i coe¢ cienti si può anche migliorarel�approssimazione. Per esempio, per approssimare log(1+x), invece del polinomiodi Taylor x�x2=2+x3=3�x4=4+x5=5, si può utilizzare ax+bx2+cx3+dx4+ex5,con a = 0; 99949556, b = �0; 49190896, c = 0; 28947478, d = �0; 13606275,e = 0; 03215841. L�approssimazione in 0 � x � 1 è a meno di 10�5. Ma non ècosì che sono state calcolate le prime tavole di queste funzioni.In un cerchio di raggio r una corda sottesa da un angolo # misura 2r sin(#=2).

Le tavole di corde sono quindi tavole di seni. Ecco come Tolomeo calcola le suetavole, con l�avvertenza che in Tolomeo il diametro del cerchio è 120 e gli angolisono in gradi, mentre qui il raggio è uno e gli angoli sono in radianti. Tolomeoconosce degli equivalenti delle formule trigonometriche

cos2(#) + sin2(#) = 1;cos(#� ') = cos(#) cos(')� sin(#) sin(');sin(#� ') = cos(#) sin(')� cos(') sin(#);

sin2(#=2) = (1� cos(#)) =2:Poi sa da Euclide che il quadrato sul lato del pentagono regolare iscritto in

una circonferenza è uguale alla somma dei quadrati sui lati dell�esagono e deldecagono. In particolare,

sin(�=6) = 1=2; sin(�=5) =

p10� 2

p5

4; sin(�=10) =

p5� 14

:

Con la formula di sottrazione si ottiene sin(�=5 � �=6) = sin(�=30), poi conbisezione sin(�=60), sin(�=120), sin(�=240). Per ottenere una stima di sin(�=180)basta interpolare tra �=120 e �=240. Aristarco ha mostrato che se 0 < ' <# < �=2, allora sin(�)= sin(') < �=' < tan(�)= tan('). Questo segue dal fattoche le funzioni sin(x)=x e tan(x)=x sono rispettivamente decrescenti e crescentinell�intervallo 0 < x < �=2. In particolare,

108

sin(�=120)

�=120<sin(�=180)

�=180<sin(�=240)

�=240;

2

3sin(�=120) < sin(�=180) <

4

3sin(�=240):

2=3 sin(�=120) = 0; 017451::: e 4=3 sin(�=240) = 0; 017452:::, l�approssimazioneper sin(�=180) è dell�ordine di 10�6. Poi, con passi di mezzo grado Tolomeocompleta le sue tavole di corde, con cinque decimali corretti. Un modo alterna-tivo per calcolare sin(�=180) partendo da sin(�=60) utilizza la formula sin(#) =3 sin(#=3)� 4 sin3(#=3). Risolvendo numericamente l�equazione sin(�=60) = 3x�4x3 Al Kashi trova che sin(�=180) è circa

1

60+

2

602+49

603+43

604+11

605+14

606+44

607+16

608+19

609+16

6010+ :::

L�errore è solo dalle potenze 60�9 in poi.Veniamo ora alle prime tavole dei logaritmi di Nepero. Queste sono basate sulla

progressione geometrica 107 (1� 10�7)n ed i conti in linea di principio sono sem-plici, perché la moltiplicazione per 1�10�7 si riduce alla sottrazione (1� 10�7)x =x � 10�7x ed in notazione decimale, Nepero è tra i primi ad adottare in Europatale notazione, le cifre di 10�7x sono le stesse cifre di x con la virgola spostata.

�Dal raggio 10000000.0000000, con aggiunte sette cifre per maggiore accu-ratezza, si sottrae 1.0000000 e si ottiene 9999999.0000000; da questo si sottrae0.9999999 e si ottiene 9999998.0000001;...�

Il metodo si rivela troppo laborioso e Nepero passa subito dal rapporto 1�10�7al rapporto 1� 10�5. Le tavole di Bürgi sono simili, ma basate sulla successione108 (1 + 10�4)

n. Le tavole dei logaritmi di Briggs sono in base 10, con log10(1) = 0e log10(10) = 1. Poiché log10(x

�1) = � log10(x), è su¢ ciente calcolare log10(x) con1 � x � 10. Briggs calcola questi logaritmi con delle estrazioni iterate di radiciquadrate, utilizzando la formula log10(

pxy) = (log10(x) + log10(y)) =2.

109

100 = 1 log10(1) = 0101 = 10 log10(10) = 1

101=2 = 3; 162277::: log10(3; 162277:::) = 1=2

101=4 = 1; 778279::: log10(1; 778279:::) = 1=4

103=4 = 5; 623413::: log10(5; 623413:::) = 3=4

101=8 = 1; 333521::: log10(1; 333521:::) = 1=8

103=8 = 2; 371373::: log10(2; 371373:::) = 3=8

105=8 = 4; 216965::: log10(4; 216965:::) = 5=8

107=8 = 7; 498942::: log10(7; 498942:::) = 7=8

Briggs arriva �no a 102�54, un numero molto prossimo a uno, poi osserva che per

x piccolo, log10(1+x) risulta circa proporzionale a x, log10(1+x) � (0; 434294:::)x.È il primo termine dello sviluppo in serie

log10(1 + x) = log10(e)�x� x2=2 + x3=3� :::

�:

Per calcolare il logaritmo di un numero y basta allora prendere un certo numerodi radici quadre y2

�n= 1 + x per poi ottenere log10(y) = 2n log10(1 + x) �

2n(0; 434294:::)x. In�ne, anticipando Newton, per calcolare le radici Briggs trovala formula

p1 + y = 1 + y=2� y2=8 + :::.

I logaritmi si possono calcolare facilmente anche utilizzando lo sviluppo inserie di Mercatore e Newton log(1 + x) = x � x2=2 + x3=3 � :::. Per esempio,per calcolare il fattore di conversione tra i logaritmi naturali e quelli di Briggslog10(e) = 1= log(10), seguendo il suggerimento di Newton è su¢ ciente calcolareper serie log (1� 1=10) e log (1� 2=10), poi sommando log(2) = 2 log (12=10) �log (8=10)� log (9=10) ed in�ne log(10) = 3 log (2)� log (8=10).Oggi le tavole di seni e logaritmi sono diventate quasi un oggetto di anti-

quariato, sostituite da un qualche algoritmo di calcolo nella memoria dei cal-colatori. Siccome anche i regoli sono scomparsi dal mercato, terminiamo illus-trandone brevemente il funzionamento. Su due righe che possono scorrere paral-lele sono segnate delle tacche numerate, per esempio 1, 2, 3,..., 9, 10, nelle po-sizioni log10(1) = 0, log10(2) = 0; 301:::, log10(3) = 0; 477:::, log10(9) = 0; 954::::,log10(10) = 1.

j1 j2 j3 j4 j5 j6 j7 j8 j9 j10j1 j2 j3 j4 j5 j6 j7 j8 j9 j10

110

Per moltiplicare due numeri, si fanno scorrere le righe facendo coincidere latacca 1 sulla riga sotto con quella x sopra, allora la tacca y sotto coincide conquella xy sopra. Viceversa, per dividere si muove la tacca y sotto quella x, allorala tacca 1 risulta sotto x=y. Se nel calcolare prodotti o divisioni si �nisce fuoriscala, basta dividere o moltiplicare per 10.Concludiamo illustrando brevemente un algoritmo per il calcolo di funzioni ele-

mentari che utilizza solo un numero �sso di addizioni o sottrazioni e di traslazionidella virgola. Questo algoritmo CORDIC (Coordinate Rotation Digital Com-puter) è stato introdotto nel 1959 per risolvere dei problemi trigonometrici legatialla navigazione ed è stato implementato in molte calcolatrici tascabili. Ruotandoun vettore [x; y] di un angolo # si ottiene

�cos(#) � sin(#)sin(#) cos(#)

� �xy

�=

1p1 + tan2(#)

�1 � tan(#)

tan(#) 1

� �xy

�In particolare [cos(#); sin(#)] è la rotazione di un angolo # del vettore [1; 0].

L�idea è di approssimare una rotazione arbitraria con una successione di rotazionielementari. Partendo da [X(0); Y (0)] = [1; 0] e ponendo tan(#(j)) = �2�j, side�nisce la successione�

X(j) = X(j � 1)� 2�jY (j � 1);Y (j) = �2�jX(j � 1) + Y (j � 1):

Osserviamo che in numerazione binaria la moltiplicazione per delle potenze didue si riduce ad una traslazione della virgola, quindi il calcolo degli [X(j); Y (j)]richiede solo queste traslazioni e delle somme e sottrazioni. Se dopo n iterazioni

si moltiplica il vettore [X(n); Y (n)] per il fattorenYj=1

(1 + 2�2j)�1=2, il risultato è

la rotazione del vettore [1; 0] di un angolonXj=1

� arctan (2�j). L�algoritmo per il

calcolo di cos(#) e sin(#) è dunque il seguente. Fissata la precisione 2�n con cuisi vuole operare, si calcolano le costanti "(j) = arctan (2�j) ed il fattore K =nYj=1

(1 + 2�2j)�1=2. Questi dati sono immagazzinati nella memoria del calcolatore.

Per calcolare cos(#) e sin(#) occorre poi scegliere i segni �(j) = �1 in modo

111

da averenXj=1

�(j)"(j) � #. Quindi, dato # e posto #(0) = 0, basta de�nire

ricorsivamente8>><>>:�(j) = �1 se #(j � 1) > #, �(j) = +1 se #(j � 1) � #;#(j) = #(j � 1) + �(j)"(j);X(j) = X(j � 1)� 2�j�(j)Y (j � 1);Y (j) = 2�j�(j)X(j � 1) + Y (j � 1):

In�ne,

cos

nXj=1

�(j)"(j)

!= KX(n); sin

nXj=1

�(j)"(j)

!= KY (n):

La possibilità di approssimare # connXj=1

�(j)"(j) dipende dall�osservazione

seguente. Se "(1) � "(2) � ::: � "(n) > 0 e "(k) � "(n) +nX

j=k+1

"(j) per ogni

1 � k � n, se j#j �nXj=1

"(j), se #(0) = 0 e #(j) = #(j � 1) + �(j)"(j), con

�(j) = �1 se #(j � 1) > # e �(j) = +1 se #(j � 1) � #, allora j#� #(n)j � "(n).Questo algoritmo non si applica solo al seno e coseno, ma anche al calcolo dialtre funzioni trigonometriche dirette ed inverse, radici quadrate, esponenzialie logaritmi. Per esempio, per calcolare exp(#) basta applicare l�algoritmo allefunzioni iperboliche cosh(#) e sinh(#). Con un algoritmo simile si possono anchecalcolare moltiplicazioni e divisioni. Dati X e Z, posto Y (0) = 0 e Z(0) = Z, side�niscono ricorsivamente8>>>>>><>>>>>>:

�(j) = �1 se Z(j � 1) < 0, �(j) = +1 se Z(j � 1) � 0;

Z(j) = Z �jXk=1

�(k)2�k;

Y (j) = X

jXk=1

�(k)2�k:

Quando Z(n) � 0, allora Y (n) = XZ.

112

IL PRODOTTO INFINITO DI WALLIS

Wallis ha ottenuto la formula

�

2=2� 2� 4� 4� 6� 6� 8� 8� :::

1� 3� 3� 5� 5� 7� 7� 9� :::;

studiando le aree sotto le curve y = (1�x2)m=2. Il cambio di variabili x cos(#)porta a studiare gli integrali

I(n) =

Z �=2

0

sinn(#)d#:

Integrando per parti si ha

I(n) =

Z �=2

0

sinn(#)d#

= � cos(#) sinn�1(#)���=20+ (n� 1)

Z �=2

0

cos2(#) sinn�2(#)d#

= (n� 1)Z �=2

0

(1� sin2(#)) sinn�2(#)d# = (n� 1) (I(n� 2)� I(n)) :

Quindi I(0) = �=2, I(1) = 1, I(n) = ((n� 1) =n) I(n� 2), e iterando,

I(2n) =1� 3� 5� :::� (2n� 1)2� 4� 6� :::� (2n) � �

2;

I(2n+ 1) =2� 4� 6� :::� (2n)

1� 3� 5� :::� (2n+ 1) :

Da queste uguaglianze e dalle disuguaglianze

I(2n+ 2) < I(2n+ 1) < I(2n);1 < I(2n)=I(2n+ 1) < I(2n)=I(2n+ 2) = (2n+ 2)=(2n+ 1);

si ottiene

1 <�

2� 1� 3� 5� :::� (2n� 1)

2� 4� 6� :::� (2n) � 1� 3� 5� :::� (2n+ 1)2� 4� 6� :::� (2n) <

2n+ 2

2n+ 1! 1:

113

Gli integraliZ �=2

0

sinn(#)d# hanno a che fare con il volume della sfera in uno

spazio euclideo ad n dimensioni. Se indichiamo con V (n) il volume di una sferadi raggio uno, allora V (n)rn è il volume di una sfera di raggio r. La misuradell�intervallo [�1; 1] è V (1) = 2 e per ricorrenza si può calcolare V (n),

V (n) =

Zfx2Rn:jxj�1g

dx =

Z 1

�1

Zfy2Rn�1:jyj�p1�t2g

dydt

= V (n� 1)Z 1

�1(1� t2)(n�1)=2dt = 2V (n� 1)

Z �=2

0

sinn(#)d#:

Il volume della buccia di sfera, cioè dell�insieme di punti a distanza h dalbordo, è V (n)(r+h)n�V (n)(r�h)n. Dividendo questo volume per l�altezza 2h siottiene una approssimazione dell�area della buccia. L�area della super�cie sfericaA(n)rn�1 è la derivata del volume V (n)rn,

A(n)rn�1 = limh!0

V (n)(r + h)n � V (n)(r � h)n

2h= nV (n)rn�1:

In particolare,

V (1) = 2 V (2) = � V (3) = 4�=3A(1) = 2 A(2) = 2� A(3) = 4�

ed in termini della funzione Gamma di Eulero �(x) =Z +1

0

tx�1 exp(�t)dt,

A(n) =2�n=2

�(n=2); V (n) =

2�n=2

n�(n=2):

C�è un legame tra l�integraleZ 1

�1(1� u2)m=2du = 2m+1

Z 1

0

tm=2(1� t)m=2dt e la

funzione Beta di Eulero B(x; y) =Z 1

0

tx�1(1 � t)y�1dt = �(x)�(y)=�(x + y). In

particolare, Z �=2

0

sinn(#)d# =

p�� ((n+ 1)=2)

2� ((n+ 2)=2):

C�è un legame tra il prodotto di Wallis, la funzione Gamma di Eulero e laformula asintotica di Stirling per il fattoriale n! � nne�n

p2�n. Si può usare una

formula per dimostrare l�altra, e viceversa,

114

2� 2� 4� 4� :::� (2n)� (2n)1� 3� 3� 5� :::� (2n� 1)� (2n+ 1) =

24n(n!)4

(2n)!(2n+ 1)!

�24n�nne�n

p2�n

�4�(2n)2ne�2n

p2�(2n)

��(2n+ 1)2n+1e�2n�1

p2�(2n+ 1)

� � �

2:

Come ultima applicazione degli integrali di Wallis e del binomio di Newton, cal-coliamo la lunghezza dell�ellisse (x=a)2+(y=b)2 = 1, cioè (x; y) = (a cos(#); b sin(#)).La lunghezza dell�ellisse è un integrale ellittico che si può sviluppare in serie dipotenze dell�eccentricità

p(a2 � b2) =a2, se a � b > 0:

Zf(x=a)2+(y=b)2=1g

pdx2 + dy2

= 4

Z �=2

0

pa2 sin2(#) + b2 cos2(#)d# = 4a

Z �=2

0

r1 +

b2 � a2

a2cos2(#)d#

= 4a+1Xn=0

�1=2

n

��b2 � a2

a2

�n Z �=2

0

cos2n(#)d# = 2�a

+1Xn=0

�1=2

n

��2n

n

��b2 � a2

4a2

�n:

La serie converge tanto più velocemente quanto più l�eccentricità è piccola e sequesta è nulla si riottiene il perimetro del cerchio. Questa formula per la lunghezzadi un�ellisse è del 1742 ed è dovuta a MacLaurin. Una formula equivalente è datadalla serie di Gauss-Kummer

�(a+ b)+1Xn=0

�1=2

n

�2�a� b

a+ b

�2n:

Un�ellisse di semiassi a e b ed un cerchio di raggiopab hanno la stessa area �ab

ma, per la proprietà isoperimetrica del cerchio, il perimetro dell�ellisse è maggioredel perimetro del cerchio 2�

pab. Inoltre la media aritmetica (a+ b) =2 è maggiore

di quella geometricapab. Con queste motivazioni, nel 1609 Keplero propone per

il perimetro dell�ellisse il valore �(a + b), che è il primo termine della serie diGauss-Kummer. Una buona approssimazione per il perimetro dell�ellisse è

�(a+ b)16(a+ b)2 + 3(a� b)2

16(a+ b)2 � (a� b)2:

115

Se l�eccentricità è nulla questa formula dà il valore esatto 2�a, se l�eccentricitàè uno la formula approssimata dà a�19=15 = a �3; 979::: contro il valore esatto 4a.L�orbita di Mercurio è circa un�ellisse con eccentricità 1/5 e la formula approssimala lunghezza dell�orbita con un errore di pochi millimetri. L�eccentricità dell�orbitadi Venere è circa 1/150, la Terra 1/60, Marte 1/11, Giove 1/21, Saturno 1/18�Urano 1/22, Nettuno 1/88, Plutone 1/4.

116

LA SERIE DEL LOGARITMO DI MERCATORE E NEWTONE LA SERIE DELL0 ARCO TANGENTE DI GREGORY E LEIBNIZ

Per ogni x 6= 1 si han�1Xk=0

xk = (1� xn) = (1� x) ed integrando questa serie geo-

metrica si può ottenere lo sviluppo in serie del logaritmo di Mercatore e Newton,

log(1 + x) =

Z x

0

dt

1 + t

=

Z x

0

(1� t+ t2 � t3 + :::+ (�t)n + (�t)n+1(1 + t)�1) dt

= x� x2=2 + x3=3� x4=4 + :::+ (�)nxn+1=(n+ 1) + (�)n+1Z x

0

tn+1(1 + t)�1dt:

Z x

0

tn+1 (1 + t)�1 dt! 0 se �1 < x � 1 e n! +1, quindi

log(1 + x) = x� x2=2 + x3=3� x4=4 + ::::

Questa serie converge solo se �1 < x � 1, ma la formula log(z) = � log(1=z)riduce il calcolo dei logaritmi dei numeri maggiori di uno a quello dei logaritmiminori di uno. Comunque Gregory osserva che è possibile calcolare il logaritmodi ogni numero positivo anche con la serie

log

�1 + x

1� x

�= log (1 + x)� log (1� x) = 2

�x+ x3=3 + x5=5 + x7=7 + :::

�:

La serie dell�arco tangente di Gregory, Leibniz, Madhava, Nilakantha, si puòottenere in modo simile:

arctan(x) =

Z x

0

dt

1 + t2

=

Z x

0

(1� t2 + t4 � t6 + :::) dt = x� x3=3 + x5=5� x7=7 + ::::

Osserviamo la somiglianza tra le due serie x + x3=3 + x5=5 + ::: e x� x3=3 +x5=5 + :::. Con la sostituzione ix x = tan(#) si ottiene

117

arctan(x) =1

2ilog

�1 + ix

1� ix

�;

1

2ilog

�cos(#) + i sin(#)

cos(#)� i sin(#)

�= #:

Queste formule sono anche conseguenza dell�identità di Eulero exp(i#) =cos(#) + i sin(#), o della scomposizione di Bernoulli

arctan(x) =

Z x

0

dt

1 + t2=1

2

Z x

0

�1

1 + it+

1

1� it

�dt =

1

2ilog

�1 + ix

1� ix

�:

Ma torniamo al campo reale. La serie dell�arco tangente converge per �1 �x � +1 e la convergenza è tanto più rapida quanto più x è piccolo. In particolare,

�=4 = arctan(1) = 1� 1=3 + 1=5� 1=7 + 1=9� :::;

�=6 = arctan�1=p3�=

1p3��1� 1

3 � 3 +1

5 � 32 �1

7 � 33 +1

9 � 34 � ::::

�:

La prima serie non si presta al calcolo numerico di � perché converge troppolentamente. La di¤erenza tra il valore della serie e quello delle somme parziali èdell�ordine del primo termine che si trascura e per ottenere con questa serie unaapprossimazione di � a meno di un centesimo bisogna sommare un centinaio ditermini. La seconda serie converge già abbastanza velocemente, ma è possibile fardi meglio. Dalla formula di addizione della tangente si ricava, per x e y piccoli,

tan(�+ �) =tan(�) + tan(�)

1� tan(�) tan(�) ;

arctan(x) + arctan(y) = arctan

�x+ y

1� xy

�;

arctan(x) + arctan

�1� x

1 + x

�= arctan(1) = �=4:

Possiamo usare quest�ultima formula per calcolare l�arco tangente di 0 < x <+1 usando la serie dell�arco tangente di �1 < (x� 1) = (x+ 1) < 1, ma possiamoanche usare questa formula per calcolare �. Un modo sistematico per ottenereformule di questo tipo si basa sulla fattorizzazione degli interi di Gauss � + i�,con � e � interi relativi, in fattori primi di Gauss,

�+ i� = (�1 + i�1) � ::: � (�n + i�n)arctan (�=�) = arctan (�1=�1) + :::+ arctan (�n=�n) + 2�k:

118

In particolare, poiché i primi di Gauss sono 1�i, 2�i, 3, 3�2i, 4�i, 5�2i, 6�i,5�4i, 7,..., si può scomporre arctan (�=�) in una somma di arctan(1), arctan(1=2),arctan(1=3), arctan(2=3),.... Fissato n, il numero delle soluzioni dell�equazionearctan (1=�1) + ::: + arctan (1=�n) = � è �nito, in particolare si può decomporre� = a arctan (1=m)� b arctan (1=n) con a, b, m e n interi, solo in cinque modi,

(1 + i)4 = �4; � = 4arctan (1) ;(2 + i)4(3 + i)4 = �2500; � = 4arctan (1=2) + 4 arctan (1=3) ;4(2 + i)8 = �(7 + i)4; � = 8arctan (1=2)� 4 arctan (1=7) ;

(3 + i)8(7 + i)4 = �25000000; � = 8arctan (1=3) + 4 arctan (1=7) ;(5 + i)16 = �64(239 + i)4; � = 16 arctan (1=5)� 4 arctan (1=239) :

La seconda formula è di Eulero 1738, la terza di Hermann 1706, la quarta diHutton 1776, la quinta di Machin 1706 e ci sono molte altre formule, di Eulero,Gauss ed altri, con tre o più addendi. Sviluppando in serie l�arco tangente, dallaformula di Machin si ottiene

� = 16 ��1

5� 1

3 � 53 +1

5 � 55 �1

7 � 57 + :::

�� 4 �

�1

239� :::

�:

Queste due serie convergono abbastanza velocemente ed essendo a termini alterni,le somme parziali di¤eriscono dal valore delle serie per meno dei primi terminitrascurati. Sommando solo i termini indicati si ottiene 1231847548=392109375 =3; 141591:::, una approssimazione di � per difetto a meno di 16= (9 � 59)+4= (3 � 2393),circa un milionesimo. Con la formula di Machin, nel 1873 W.Shanks (1812-1882)calcola 707 cifre decimali di �, ma solo 527 sono corrette.Abbiamo detto che 1 � 1=3 + 1=5 � 1=7 + ::: converge molto lentamente, ma

si può accelerare la convergenza di questa ed altre serie con delle trasformazionidi Eulero. L�idea è di aggiungere la metà di un termine alla metà del terminesuccessivo ed iterare,

1� 13+1

5� 17+ :::

=1

2+1

2

�1� 1

3

�� 12

�1

3� 15

�+1

2

�1

5� 17

�� :::

=1

2+1

4

�1� 1

3

�+1

4

�1� 2

3+1

5

�� 14

�1

3� 25+1

7

�+ :::

=1

2+1

4

�1� 1

3

�+1

8

�1� 2

3+1

5

�+1

16

�1� 3

3+3

5� 17

�+ :::

119

In questo modo si ottiene

+1Xn=0

(�)n2n+ 1

=

+1Xn=0

2n�1 (n!)2

(2n+ 1)!;

ma la seconda serie converge più velocemente della prima, dieci termini dellaseconda serie sono meglio di cento termini della prima. Questa serie è un casoparticolare di un�altra formula di Eulero del 1755,

arctan(x) =x

1 + x2

+1Xn=0

22n(n!)2

(2n+ 1)!

�x2

1 + x2

�n:

Con questa serie e la formula � = 20 arctan(1=7) + 8 arctan(3=79), Eulerocalcola 20 decimali di � in un�ora!Concludiamo con una curiosità. C�è una relazione tra �, l�arco tangente e i

numeri di Fibonacci, F (1) = F (2) = 1, F (n+2) = F (n) +F (n+1). Si ha infatti

arctan (1=F (2n)) = arctan (1=F (2n+ 1)) + arctan (1=F (2n+ 2)) ;

� = 4arctan (1=F (2)) = 4

+1Xn=1

arctan (1=F (2n+ 1)) :

120

EULERO E LA SERIE DEI RECIPROCI DEI QUADRATI

La media geometrica tra due numeri positivi a e b èpab e la media armonica

è 2ab= (a+ b). Nella serie geometrica 1+ x+ x2+ x3+ ::: ogni termine è la mediageometrica dei termini contigui e, similmente, nella serie armonica 1 + 1=2 +1=3 + 1=4 + ::: ogni termine è la media armonica dei termini contigui. La primadimostrazione della divergenza della serie armonica è forse quella di N.Oresme(1323-1382).

�Spostati di un piede, poi di un mezzo, un terzo, un quarto,... La somma totaleè in�nita. Infatti è possibile formare un numero in�nito di gruppi di termini consomma maggiore di un mezzo. 1=3+1=4 è maggiore di 1=2, 1=5+1=6+1=7+1=8è maggiore di 1=2, 1=9+1=10+1=11+1=12+1=13+1=14+1=15+1=16 è maggioredi 1=2, e così all�in�nito�.

La somma dei reciproci dei numeri triangolari è dovuta a Mengoli,

1

1 � 2 +1

2 � 3 +1

3 � 4 + ::: =

�1

1� 12

�+

�1

2� 13

�+

�1

3� 14

�+ ::: = 1:

Dal risultato di Mengoli segue facilmente che la somma dei reciproci dei quadrati1 + 1=4 + 1=9 + 1=16 + ::: è �nita e compresa tra uno e due. Più precisamente,Wallis calcola che la somma è circa 1; 645, ma trovare il valore esatto della serienon è banale. Comunque, nel 1736 Eulero riesce dove Mengoli, Wallis, Huygens,Leibniz, i Bernoulli, ed altri, hanno fallito:

�In maniera inaspettata ho trovato un�elegante espressione per la somma dellaserie 1+1=4+1=9+1=16+etc, che dipende dalla quadratura del cerchio... Sei voltela somma di questa serie è uguale al quadrato della circonferenza di un cerchiocon diametro uno�.

1 + 1=4 + 1=9 + 1=16 + 1=25 + 1=36 + ::: = �2=6:

L�idea della dimostrazione è semplice. Si parte dallo sviluppo in serie dipotenze della funzione seno,

sin(x) = x� x3=3! + x5=5!� :::;sin(

px)px

= 1� x=3! + x2=5!� ::::

121

Uguagliando a zero l�ultima espressione si ottiene una equazione con radicix = �2; 4�2; 9�2; :::,

0 = 1� x=6 + x2=120� :::

In un polinomio con termine noto uno, il coe¢ ciente del termine di primogrado cambiato di segno è uguale alla somma degli inversi delle radici. Quindi

è naturale congetturare che+1Xk=1

k�2 = �2=6. Per convincersi che il risultato è

corretto basta un riscontro numerico ed Eulero dal 1731 sa che la somma degliinversi dei quadrati è circa 1,644934..., conclude quindi che anche se si può averequalche perplessità sul metodo, non è lecito dubitare del risultato.Illustriamo più in dettaglio i lavori di Eulero. Nel 1673 Leibniz osserva che

�Z x

0

log(1� t)

tdt = x+ x2=4 + x3=9 + x4=16 + :::

Seguendo questo suggerimento, Eulero ottiene

+1Xk=1

1

k2= �

Z x

0

log(1� t)

tdt�

Z 1

x

log(1� t)

tdt

= log(x) log(1� x)�Z x

0

log(1� t)

tdt�

Z 1�x

0

log(1� t)

tdt

= log(x) log(1� x) ++1Xk=1

k�2xk ++1Xk=1

k�2(1� x)k:

Se x = 1=2,

+1Xk=1

k�2 =

+1Xk=1

k�12�k

!2+ 2

+1Xk=1

k�22�k:

Le serie a destra convergono più rapidamente di quella a sinistra e permettono

di ottenere la stima numerica+1Xk=1

k�2 = 1; 644934::: In seguito Eulero scopre una

formula di sommazione che permette di comparare una serie ad un integrale eriottiene più semplicemente questa stima.Se di un polinomio si conoscono gli zeri, questo polinomio può essere scom-

posto in fattori lineari. Eulero congettura una simile scomposizione anche per

122

certe funzioni trascendenti. In particolare, la funzione sin(x) ha gli zeri in x =0;��;�2�; ::: e sin(x) � x se x è piccolo, quindi

sin(x) = x�1 +

x

�

��1� x

�

��1 +

x

2�

��1� x

2�

�:::

= x

�1� x2

�2

��1� x2

4�2

��1� x2

9�2

�:::

Uguagliando lo sviluppo in serie di potenze al prodotto in�nito, Eulero ottiene

x� x3=6 + x5=120� :::= x (1� x2=�2) (1� x2=4�2) (1� x2=9�2) :::= x� ((1 + 1=4 + 1=9 + :::)=�2)x3 + :::

In�ne, uguagliando i coe¢ cienti di x3 Eulero ottiene il valore della serie dei

reciproci dei quadrati,+1Xk=1

k�2 = �2=6. Uguagliando i coe¢ cienti di x5 Eulero

ricava anche il valore della serie dei reciproci delle quarte potenze,+1Xk=1

k�4 = �4=90

e, più in generale, i valori delle serie dei reciproci delle potenze pari.Eulero ottiene il prodotto in�nito di Wallis ponendo x = �=2 nel suo prodotto

in�nito,

sin(x) = x�1 +

x

�

��1� x

�

��1 +

x

2�

��1� x

2�

�:::;

1 =�

2� 12� 32� 34� 54:::

e confrontando i termini lineari in

1� sin(x) = 1� x+ x3=6� ::: = (1� 2x=�)2 (1 + 2x=3�)2 (1 + 2x=5�)2 :::;

ottiene la serie di Leibniz �=4 = 1� 1=3 + 1=5� :::.Nel 1743 Eulero presenta un�altra dimostrazione della somma dei reciproci

dei quadrati. Si parte dalla formula (d=dx) arcsin2(x) = 2 arcsin(x)=p1� x2.

Sviluppando in serie di Taylor l�arco seno ed integrando termine a termine siottiene

123

�2

8=

Z 1

0

arcsin(x)p1� x2

dx

=

Z 1

0

xp1� x2

dx+1

2 � 3

Z 1

0

x3p1� x2

dx+1 � 32 � 4 � 5

Z 1

0

x5p1� x2

dx+ :::

= 1 +1

3 � 3 +1

5 � 5 + :::

Per ottenere la somma dei reciproci dei quadrati basta osservare che

X = 1 + 1=4 + 1=9 + 1=16 + 1=25 + 1=36 + :::= (1 + 1=9 + 1=25 + :::) + (1 + 1=4 + 1=9 + :::) =4 = �2=8 +X=4:

Mostriamo ora come è semplice calcolare la somma dei reciproci delle potenzepari con l�aiuto dei polinomi di Bernoulli e delle serie di Fourier. De�niamo ipolinomi f�n(x)g+1n=0 ricorsivamente:8>>><>>>:

�0(x) = 1;d

dx�n+1(x) = �n(x);Z 1

0

�n+1(x)dx = 0:

Per esempio, �1(x) = x � 1=2, �2(x) = x2=2 � x=2 + 1=12,... Lo sviluppo inserie di Fourier nell�intervallo 0 � x � 1 di x� 1=2 è

x� 12= � 1

�

+1Xk=1

sin(2�kx)

k:

Integrando si ricava

�2n(x) = (�)n+12+1Xk=1

cos(2�kx)

(2�k)2n;

�2n+1(x) = (�)n+12+1Xk=1

sin(2�kx)

(2�k)2n+1:

In particolare, per x = 0 e x = 1=4 si ottengono le serie

124

+1Xk=1

k�2n = (�)n+122n�1�2n�2n(0);

+1Xk=0

(�)k(2k + 1)�2n�1 = (�)n+122n�2n+1�2n+1(1=4):

Questi sviluppi in serie di Fourier dei polinomi di Bernoulli sono dovuti adEulero, il quale osserva che se siamo capaci di sommare una serie di potenze,siamo anche capaci di sommare le serie trigonometriche corrispondenti. Se z =r (cos(#) + i sin(#)), allora

+1Xk=0

ckzk =

+1Xk=0

ckrk cos(k#) + i

+1Xk=0

ckrk sin(k#):

Eulero non si preoccupa nel prendere valori di z sul bordo del cerchio di con-vergenza della serie e questo lo porta a considerare delle serie divergenti che poiintegra e deriva a piacimento. In particolare,

1 + z + z2 + z3 + ::: = 1=(1� z);cos(#)� cos(2#) + cos(3#)� ::: = 1=2;

sin(#)� sin(2#)=2 + sin(3#)=3� ::: = #=2:

La seconda serie si ottiene ponendo z = � exp(i#) nella serie geometrica. Laterza si ottiene integrando la seconda ed osservando in # = 0 che la costante diintegrazione è nulla. Questi sviluppi sono validi in �� < # < �, traslando eriscalando si possono ottenere gli sviluppi in altri intervalli.

Dieci termini della serie di Eulero-Fourierx

2=

+1Xk=1

(�)k+1 sin(kx)k

,

con il fenomeno di Wilbraham-Gibbs nei punti di discontinuità x = ��.

125

Abbiamo visto come Eulero calcola le serie dei reciproci delle potenze pari. Ele potenze dispari? �Tutti i miei sforzi sono stati vani...�. Anche Eulero ha i suoilimiti.

126

LE FRAZIONI CONTINUE DI EULERO E LAGRANGE

Le frazioni continue compaiono implicitamente nell�algoritmo di Euclide perla determinazione del massimo comun divisore. Dati due interi a e b, esistono dueinteri c ed r con a = b � c + r e 0 � r < b. Esistono poi d ed s con b = r � d + se 0 � s < r... I resti decrescono e l�ultimo resto non nullo è il massimo comundivisore tra a e b. Si può riscrivere l�algoritmo come una frazione continua,

a

b= c+

r

b= c+

1

b

r

= c+1

d+s

r

= c+1

d+1r

s

= :::

Per esempio, il massimo comun divisore tra 103993 e 33102 è 292, infatti

103993

33102= 3 +

1

7 +1

15 +1

1 +1

292

:

In un linguaggio funzionale più astratto, se [y] è la parte intera di y e F (x) =1=x� [1=x] la parte frazionaria di 1=x, allora per ogni 0 < x < 1 si ha

x =1

[1=x] + F (x)=

1

[1=x] +1

[1=F (x)] + F 2(x)

=1

[1=x] +1

[1=F (x)] +1

[1=F 2(x)] + :::

:

In particolare, i numeri razionali hanno sviluppi in frazioni continue semplici�nite e viceversa. Per comodità tipogra�ca si usa anche scrivere

a(0) +1

a(1) +1

a(2) +1

a(3) + :::

= a(0) +1

a(1)+

1

a(2)+

1

a(3)+:::

= [a(0); a(1); a(2); a(3); :::] :

127

Le n esime convergenti p(n)=q(n) = [a(0); a(1); a(2); a(3); :::; a(n)] si possonocalcolare in modo ricorsivo ponendo

p(0) = a(0); p(1) = a(0)a(1) + 1; p(n) = a(n)p(n� 1) + p(n� 2);q(0) = 1; q(1) = a(1); q(n) = a(n)q(n� 1) + q(n� 2):

Per dimostrare queste formule per induzione, basta scrivere la frazione con ntermini [a(0); :::; a(n)] nella forma con n � 1 termini [a(0); :::; a(n� 1) + 1=a(n)].Se x = [a(0); a(1); a(2); a(3); :::] e x(n) = [a(n); a(n+ 1); a(n+ 2); a(n+ 3); :::],risulta

x =x(n+ 1)p(n) + p(n� 1)x(n+ 1)q(n) + q(n� 1) ;

p(n+ 1)

q(n+ 1)� p(n)

q(n)=

(�)nq(n)q(n+ 1)

;

x� p(n+ 1)

q(n+ 1)=

�q(n)x(n+ 2)q(n+ 1)

�x� p(n)

q(n)

�:

Quindi p(n+ 1)=q(n+ 1) dista da x meno di p(n)=q(n) e

p(0)

q(0)<p(2)

q(2)<p(4)

q(4)< ::: < x < ::: <

p(5)

q(5)<p(3)

q(3)<p(1)

q(1);

1

2q(n)q(n+ 1)<

����x� p(n)

q(n)

���� < 1

q(n)q(n+ 1):

Le frazioni continue possono essere utilizzate per approssimare dei numeriirrazionali con delle frazioni, o dei numeri razionali con denominatore alto conrazionali con denominatore basso. Per esempio, la lunghezza di un anno astro-nomico è circa 365 giorni 5 ore 48 minuti 46 secondi, cioè, in giorni,

15778463

43200= 365 +

1

4 +1

7 +1

1 +1

3 +1

5 +1

64

:

La prima ridotta della frazione è 1/4 e la terza 8/33, cioè 24/99. Questosuggerisce di porre un anno bisestile ogni 4 e di eliminarne uno ogni 100. Su

128

suggerimento di C.Clavius (1537-1612), nel 1572 il Papa Gregorio XIII riforma ilcalendario giuliano introducendo la seguente regola: Gli anni divisibili per quattrosono bisestili, con l�eccezione degli anni divisibili per 100 ma non per 400.

L�orbita della Lunaintorno alla Terra.

La durata del mese sinodico, da Luna nuova a Luna nuova, è 29,53059giorni. Il mese draconico, da nodo a nodo, è 27,21222. Il mese anomalistico,da perigeo a perigeo, è 27,55455. Il ciclo del Saros è di 223 mesi sinodici,che corrispondono quasi esattamente a 242 mesi draconici o 239 mesianomalistici. Questo ciclo, scoperto dai caldei, governa le eclissi di

Sole e di Luna ed anche le maree.2953059=2721222 = [1; 11; 1; 2; 1; 4; 3; 4; 1; 3; 10; 6]

[1; 11; 1; 2; 1; 4] = 242=223223 � 29; 53059 = 6585; 32157242 � 27; 21222 = 6585; 35724239 � 27; 55455 = 6585; 53745

Per il calcolo delle radici quadrate Bombelli e Cataldi propongono la formula

pa2 + b = a+

b

2a+b

2a+b

2a+ :::

:

Basta osservare chepa2 + b è la soluzione positiva dell�equazione x = a +

b= (a+ x) e sostituire ripetutamente

x = a+b

a+ x= a+

b

a+

�a+

b

a+ x

� = a+b

2a+b

a+

�a+

b

a+ x

� = :::

129

Il metodo è semplice ed e¢ ciente. Per esempio, 1 + 1= (2 + 1= (2 + 1=2)) =17=12 = 1; 416::: e

p2 = 1; 414:::.

Per risolvere l�equazione x2 � ax � 1 = 0 si può trasformarla in x = a + 1=xed iterare, x = a + 1= (a+ 1=x),.... Nel 1770 Lagrange mostra che ogni frazionecontinua e periodica da un certo posto in poi è radice di una equazione di secondogrado a coe¢ cienti interi, e viceversa. Nel 1829 Galois dimostra che una frazionecontinua è puramente periodica se e solo se è la radice maggiore di 1 di unaequazione di secondo grado a coe¢ cienti interi e la radice coniugata è compresatra �1 e 0. Nel 1769 Lagrange propone un algoritmo per trovare lo sviluppo infrazioni continue delle radici di un generico polinomio a coe¢ cienti interi. Se unpolinomio P (x) di grado n ha una sola radice nell�intervallo � < x < �, allorail polinomio (1 + x)nP ((�+ �x) = (1 + x)) ha una sola radice in 0 < x < +1.Consideriamo ora un polinomio Q(x) di grado n con una sola radice positiva edenotiamo con a la parte intera di questa radice. Questa parte intera è determinatadalla disequazione Q(a) � 0 < Q(a + 1), o dalla disequazione inversa. Operiamola sostituzione x = a + 1=y e poniamo R(y) = ynQ (a+ 1=y). Anche questopolinomio ha una sola radice positiva, con parte intera b. Se y = b + 1=z, ancheS(z) = znR (b+ 1=z) ha una sola radice positiva, con parte intera c... In questomodo si ottiene lo sviluppo in frazione continua della radice Q(x) = 0,

x = a+1

b+1

c+ :::

:

Nel 1776 Lagrange propone il seguente metodo per ottenere lo sviluppo infrazioni continue della soluzione di un�equazione di¤erenziale. Sia dy=dx = F (x; y).Assumendo y(x) � a(x) per jxj piccolo, si pone y = a= (1 + z) e sostituendoquesta espressione nell�equazione di¤erenziale si ottiene un�equazione di¤erenzialedz=dx = G(x; z). Assumendo z(x) � b(x), si pone z = b= (1 + z), e così via.In questo modo si ottiene lo sviluppo y = a= (1 + b= (1 + :::)). Non è sempliceottenere una formula generale per i termini a, b,..., ma a volte il metodo funziona.La classe delle equazioni di¤erenziali di Riccati dy=dx = a(x)+b(x)y+c(x)y2 è in-variante per i cambi di variabili y = (�(x) + �(x)z) = ( (x) + �(x)z). Assumiamok + 2n 6= 0 per n = 1; 2; ::: e consideriamo l�equazione

xdy

dx+ ky + y2 + x2 = 0; y(0) = 0:

Inserendo una serie di potenze a+ bx+ cx2+ ::: nell�equazione ed uguagliandoa zero le potenze di x si ottiene lo sviluppo y = �x2= (k + 2) + :::. Ponendo

130

y = �x2= (k + 2 + z), si ottiene poi un�equazione per z analoga a quella per y, macon k + 2 al posto di k,

xdz

dx+ (k + 2)z + z2 + x2 = 0; z(0) = 0:

Si può iterare il procedimento ponendo z = �x2= (k + 4 + w), e così via... Intal modo si ottiene lo sviluppo

y =�x2

k + 2 +�x2

k + 4 +�x2

k + 6 + :::

:

Consideriamo ora l�equazione di¤erenziale a variabili separabili

dy

dx= 1 + y2; y(0) = 0:

La soluzione è y = tan(x), ma procediamo come sopra. Ponendo y = x= (1 + z),si ottiene un�equazione per z,

xdz

dx+ z + z2 + x2 = 0; z(0) = 0:

Quindi z = �x2= (3� x2= (5� x2=(7� :::))) e

tan(x) =x

1� x2

3� x2

5� x2

7� :::

:

Questa frazione continua converge per ogni x e sostituendo x con �ix si ot-tengono anche gli sviluppi in frazioni continue di tanh(x) e exp(x),

131

exp(x)� exp(�x)exp(x) + exp(�x) = �i tan(ix) =

x

1 +x2

3 +x2

5 +x2

7 + :::

;

exp(x) =1

1� 2

1� 1

i tan(ix=2)

=1

1� 2x

2 + x+x2

6 +x2

10 +x2

14 + :::

:

Questi sviluppi sono scoperti nel 1737 da Eulero e sono poi riottenuti nel 1761da Lambert e nel 1794 da Legendre, che li utilizzano per dimostrare l�irrazionalitàdi � e di e, e più in generale l�irrazionalità di tan(p=q) e di exp(p=q) per ognirazionale p=q. Qui osserviamo solo che ponendo x = �1 nello sviluppo di exp(x) ex = 1 in quello di tanh(x) si ottengono degli sviluppi in frazioni continue semplici,

e� 12

=1

1 +1

6 +1

10 +1

14 + :::

;e2 � 1e2 + 1

=1

1 +1

3 +1

5 +1

7 + :::

:

Da questi sviluppi segue immediatamente che sia e che e2 sono irrazionali.Inoltre questi numeri non sono radici di un polinomio di secondo grado a coe¢ -cienti interi, perché tali radici dovrebbero avere uno sviluppo in frazioni continueperiodico. Scriviamo ora e � 1 = 2= (1 + 1= (6 + 1= (10 + :::))) e cerchiamo dimoltiplicare per due uno sviluppo in frazioni continue. Si ha

2

(2a+ 1) +1

b

=1

a+1

1 +1

1 +2

b� 1

:

In particolare, con a = 0 e b = 6 + 1= (10 + 1=(14 + :::)), si ottiene

132

e� 1 = 2

1 +1

6 +1

10+

1

14+:::

= 1 +1

1 +2

5 +1

10+

1

14+:::

:

Similmente, con a = 2 e b = 10 + 1= (14 + 1=(18 + :::)),

e� 1 = 1 + 1

1 +2

5 +1

10+

1

14+:::

= 1 +1

1 +1

2 +1

1 +1

1 +2

9 +1

14+:::

:

Iterando si ottiene lo sviluppo in frazioni continue di e�1, quindi di e. Questisviluppi si possono anche ottenere più direttamente nel modo seguente. Se unasuccessione fX(n)g+1n=0 veri�ca una relazione di ricorrenza con tre termini

(an+ A)X(n) = (bn+B)X(n+ 1) + (cn+ C)X(n+ 2);

ponendo Y (n) = X(n)=X(n+ 1) ed iterarando la relazione

(an+ A)X(n)

X(n+ 1)= (bn+B) + (cn+ C)

X(n+ 2)

X(n+ 1);

Y (n) =(bn+B)

(an+ A)+

(cn+ C)

(an+ A)Y (n+ 1);

si ottiene uno sviluppo in frazioni continue per Y (0). In particolare, de�niamo

X(n; x) =2n

xn

+1Xk=0

(n+ k)!

k!(2n+ 2k)!x�2k; Y (n; x) =

X(n; x)

X(n+ 1; x):

Si ha X(0; x) = cosh(1=x), X(1; x) = sinh(1=x), ed anche

X(n; x) = (2n+ 1)xX(n+ 1; x) +X(n+ 2; x);

Y (n; x) = (2n+ 1)x+1

Y (n+ 1; x):

133

Quindi,

Y (0; x) = x+1

Y (1; x)= x+

1

3x+1

Y (2; x)

= x+1

3x+1

5x+1

Y (3; x)exp(1=x) + exp(�1=x)exp(1=x)� exp(�1=x) = x+

1

3x+1

5x+ :::

:

Le frazioni continue sono un metodo di approssimazione spesso più e¢ cientedelle serie di Taylor, che danno solo approssimazioni locali. Per esempio, le frazioniparziali x, 3x= (3� x2), (15x� x3) = (15� 6x2),..., dello sviluppo in frazioni con-

tinue tan(x) =x

1�x2

3�x2

5� ::: approssimano questa funzione anche oltre le singolar-ità in �=2, 3�=2,.... tan(x) ha un polo in �=2 mentre (15x� x3) = (15� 6x2) haun polo in

p10=2, in particolare � �

p10 = 3; 162:::.

Lo sviluppo in frazioni continue della tangente.

y =105x� 10x3

105� 45x2 + x4; y =

945x� 105x3 + x5

945� 420x2 + 15x4 ; y = tan(x):

Descriviamo in�ne un semplice algoritmo di D.Shanks per calcolare lo sviluppoin frazioni continue di logaritmi. Per calcolare logb0(b1), con 1 < b1 < b0, troviamon1 tale che b

n11 < b0 � bn1+11 . Si ha allora b0 = b

n1+1=x11 con x1 � 1, e in particolare

logb0(b1) = 1= (n1 + 1=x1). Determinati fb0; b1; :::; bk�1g e fn1; :::; nk�1g, de�niamobk = bk�2b

�nk�1k�1 e troviamo nk tale che b

nkk < bk�1 � bnk+1k . Allora bk�1 = b

nk+1=xkk

con xk � 1. Ora osserviamo che bk = bnk+1+1=xk+1k+1 e bk+1 = bk�1b

�nkk = b

1=xkk ,

quindi xk = nk+1 + 1=xk+1. Da questa relazione di ricorrenza si conclude che

134

logb0(b1) =1

n1 +1

x1

=1

n1 +1

n2 +1

x2

=1

n1 +1

n2 +1

n3 + :::

135

BUFFON E I METODI MONTECARLO

Alla domanda di un assicuratore su come stimare l�aspettativa di vita di un as-sicurato, un matematico risponde che se � e � sono la media e lo scarto quadratico,la probabilità che la durata sia tra a e b è descritta approssimativamente dall�areasotto una curva a campana,

1p2��

Z b

a

exp�� (x� �)2 =2�2

�dx:

Non tenta neanche di spiegare cos�è la funzione esponenziale, ma ricorda che �è quel numero che nasce dalla misura del cerchio. A questo punto l�interlocutoreperplesso osserva che ci deve essere un errore, cosa c�entra la vita di una personacon un cerchio? Che relazione ci può essere tra e, � e la probabilità?

La curva di Gaussy = exp(�x2).

Una variabile aleatoria normale con media � e varianza �2

ha densità di probabilità1p2��

exp

�12

�x� �

�

�2!.

Lanciando 2n volte una moneta non truccata, la probabilità di ottenere esat-

tamente n teste ed n croci è esattamente�2n

n

�2�2n e, per la formula di Stirling,

si ha �2n

n

�2�2n � (2n)2ne�2n

p4�n

22n�nne�n

p2�n

�2 = 1p�n

:

Non è un metodo e¢ ciente per calcolare �, ma dimostra comunque una re-lazione tra questo numero e la probabilità.All�interno di un quadrato tracciamo un cerchio. Se scegliamo �a caso� un

numero grande di punti nel quadrato e contiamo quanti di questi punti sono

136

anche nel cerchio, è ragionevole supporre che il rapporto tra il numero di puntinel cerchio ed il numero di punti nel quadrato è circa uguale al rapporto tra l�areadel cerchio e quella del quadrato:

numero di punti nel cerchionumero di punti nel quadrato

� area del cerchioarea del quadrato

:

Questa uguaglianza approssimata, per un numero di punti che cresce all�in�nitodiventa esatta. Probabilmente abbiamo quadrato il cerchio... Se l�area è unamisura dell�insieme dei punti che intersecano una �gura, il perimetro è una misuradell�insieme delle rette che intersecano una �gura convessa. La probabilità che unaretta che interseca un quadrato intersechi anche un cerchio interno al quadratoè uguale al rapporto tra il perimetro del cerchio e quello del quadrato. Proba-bilmente abbiamo retti�cato il cerchio... Per la stima dell�errore in un metodoMontecarlo si può solo parlare di errore probabile. Supponiamo che un esperi-mento abbia probabilità di successo p e probabilità di insuccesso 1�p. RipetendoN volte l�esperimento si ha un numero atteso di Np successi, con uno scartoquadratico medio

pNp(1� p).

Probabilità geometrica.

Un punto nel quadrato è anchenel cerchio con probabilità

area del cerchioarea del quadrato

.

Una retta nel quadrato intersecail cerchio con probabilitàperimetro del cerchioperimetro del quadrato

.

Scegliere a caso un oggetto equivale a scegliere a caso le sue coordinate. Lade�nizione di numero casuale è piuttosto problematica perché una de�nizione ingenere descrive una qualche proprietà, mentre un numero casuale dovrebbe essereun numero senza proprietà particolari. Comunque, le stelle sembrano quasi gettatea caso nel cielo così che le coordinate stellari dovrebbero essere numeri casuali.Anche i numeri generati dalle roulettes del Casinò di Montecarlo dovrebbero esserecasuali. Un�altra successione di numeri casuali sembra essere la successione dellecifre decimali di �. Se le cifre decimali di � sono casuali, tra i primiN decimali ognicifra deve comparire circa N=10 volte, con uno scarto quadratico medio

pN3=10.

137

Per esempio, tra i primi 100 decimali di � ogni cifra compare circa 10 volte, conscarti inferiori a cinque,

� = 3; 1415926535 8979323846 26433832795028841971 6939937510 58209749445923078164 0628620899 8628034825

3421170679:::

Anche tra il primo milione di cifre decimali di � ogni cifra compare circacentomila volte, con scarti inferiori a cinquecento. In un numero a caso di N cifre

la somma degli scarti quadratici pesati 10=N9Xk=0

(Xk �N=10)2 tra le frequenze Xk

delle cifre k e le frequenze attese N=10 ha media 9 e varianza 18. Applichiamoquesto test statistico chi quadro ai decimali di � con N = 100 e N = 1000000,

Cifra Frequenza Scarto quadrato0 8 41 8 42 12 43 11 14 10 05 8 46 9 17 8 48 12 49 14 16

Totale 100 42

Cifra Frequenza Scarto quadrato0 99959 16811 99758 585642 100026 6763 100229 524414 100230 529005 100359 1288816 99548 2043047 99800 400008 99985 2259 100106 11236

Totale 1000000 550908

In entrambi i casi lo scarto quadratico pesato ha un valore prossimo a 5,inferiore al valor medio 9. Con � possiamo anche giocare a poker, dividendo i suoidecimali in blocchi di cinque. I primi dieci milioni di decimali danno due milionidi mani, tra queste le coppie sono 1007151, i tris 144375, i poker sono 8887, controdei valori attesi di 1008000, 144000, 9000. All�apparenza non c�è niente di strano,� pare onesto. Un numero si dice normale se nel suo sviluppo decimale ogni cifracompare con frequenza 1/10 e, più in generale, ogni combinazione di cifre comparecon la frequenza dovuta. Quasi ogni numero è normale ed anche � ed e sembranonormale, anzi i decimali di questi due numeri speciali sembrano del tutto casuali.

138

La relazione tra � e la probabilità sembra aver origine da un gioco d�azzardodescritto da G.L.Leclerc, Comte de Bu¤on (1707-1788) : Si getta una monetasul pavimento di una stanza, c�è chi scommette che la moneta cade all�interno diuna piastrella, chi scommette che la moneta tocca due piastrelle e chi scommetteche ne tocca più di due. Quali sono le possibilità di vincite dei ognuno di questiscommettitori? Su incarico del conte un ragazzo ha dovuto fare più di duemilalanci... Un problema più semplice è quello dell�ago di Bu¤on:

�Io suppongo che in una stanza, con il pavimento semplicemente diviso inlinee parallele, si getta per aria un bastoncino, e uno dei giocatori scommette cheil bastoncino non toccherà nessuna delle linee parallele sul pavimento, l�altro alcontrario scommette che il bastoncino toccherà qualcuna di queste parallele; michiedo quale è la sorte di questi due giocatori. Si può giocare questo gioco con unago da cucito...�

Sia D la distanza tra le linee sul pavimento e L la lunghezza dell�ago, supponi-amo per semplicità L < D. Denotiamo con x la distanza tra il centro dell�agoe la linea più vicina, 0 � x � D=2, e denotiamo con # l�angolo tra ago e linea,0 � # � �. Gettare a caso l�ago equivale a scegliere a caso x e # e 2dxd#=�D èuna misura di probabilità su f0 � x � D=2g � f0 � # � �g. L�ago interseca lalinea quando x � L=2 sin(#) e la probabilità di questo evento è

P

�x � L

2sin(#)

�=

2

�D

Z �

0

Z L2sin(#)

0

dxd# =2L

�D:

In particolare, indicando con P la probabilità di intersezione, si ottiene � =2L=DP . Con esperimenti ripetuti è in principio possibile ottenere delle approssi-mazioni di � e sono molti quelli che ci hanno provato. Nel 1901 M.Lazzarini. in�Un�applicazione del calcolo della probabilità all ricerca sperimentale di un val-ore approssimato di �� ripete l�esperimento di Bu¤on con L=D = 5=6 e in 3408lanci ottiene 1808 intersezioni. Da questo si deduce la stima 2(5=6)(3408=1808) =355=113 che approssima � con sei decimali corretti. È un risultato troppo pre-ciso per non far nascere qualche sospetto, a parte gli errori di misurazione dellelunghezze e l�ambiguità sulla presenza o meno di intersezioni, c�è anche il fattoche questi esperimenti danno il risultato sotto forma di frazione e non sono moltele frazioni con un denominatore basso che approssimano bene �. Per esempio,dallo sviluppo in frazioni continue si hanno le approssimazioni 3=1 < 333=106 <

139

� < 355=113 < 22=7. La migliore approssimazione successiva è solo 52163/16604.Insomma, tutti questi numeri fanno nascere il sospetto che l�esperimento di Laz-zarini sia stato costruito a tavolino.Generalizzando il risultato di Bu¤on, nel 1812 Laplace dimostra che la proba-

bilità che un ago di lunghezza L intersechi una griglia rettangolare con dimensioniA e B è 2L=�A+ 2L=�B � L2=�AB, se l�ago ha dimensioni minori della griglia.Se invece l�ago è molto lungo e la griglia quadrata unitaria, per ogni angolo # traago e griglia ci sono circa L cos(#) intersezioni con le linee orizzontali e L sin(#)intersezioni con quelle verticali ed i valori attesi del numero di intersezioni X edel quadrato X2 sono circa

E (X) � 2L

�

Z �=2

0

(cos(#) + sin(#)) d# = 4L=�;

E (X2) � 2L2

�

Z �=2

0

(cos(#) + sin(#))2 d# = (1 + 2=�)L2:

Quindi il valore atteso di X=L risulta 4=� e la varianza 1 + 2=� � 16=�2 =0; 015::: è piuttosto piccola. Questo metodo per stimare � risulta più accurato deiprecedenti.Un problema simile all�ago di Bu¤on è contare le intersezioni tra delle linee par-

allele ed una curva gettata a caso su di esse. Denotando conX la variabile aleatoriache conta il numero di intersezioni di un segmento col sistema di parallele, il valoreatteso di intersezioni è una funzione della lunghezza del segmento, E (X) = � (L).Gettando a caso n segmenti il numero atteso di intersezioni è E (X1 + :::+X1) =E (X1)+:::+E (Xn) = � (L1)+:::+� (Ln) e questo vale anche se le variabili aleato-rie non sono indipendenti, come quando gli estremi dei segmenti sono concatenatie formano una poligonale. D�altra parte, se i segmenti sono esattamente allineatie formano un unico segmento si ha anche E (X1 + :::+X1) = � (L1 + :::+ Ln).Quindi, � (L1 + :::+ Ln) = � (L1) + :::+ � (Ln), la funzione � (L) = cL è lineare.Concludendo, il numero atteso di intersezioni di una poligonale col sistema di par-allele risulta proporzionale alla lunghezza della poligonale e, prendendo il limitedi poligonali, anche per ogni curva retti�cabile si ha E (X) = cL. Per calcolare lacostante di proporzionalità basta osservare che se la distanza tra le parallele è D ela curva è un cerchio di diametro D, con probabilità uno il numero di intersezioniè due, quindi c = 2=�D, cioè per ogni curva retti�cabile E (X) = 2L=�D. Quasisenza far conti abbiamo riottenuto il risultato di Bu¤on, e con degli aghi storti! Inparticolare, se una curva chiusa e convessa ha in ogni direzione diametro costanteuguale a D le intersezioni sono sempre 2, quindi il perimetro è legato al diametro

140

dalla relazione L = �D. Le curve con spessore costante D hanno perimetro �D.Il cerchio non è la sola curva con spessore costante. De�nendo metà curva inmodo pressoché arbitrario, si può completare l�altra metà ottenendo uno spessorecostante in ogni direzione.

La formula di Cauchy per l�areadi una super�cie convessa: A(C) =

(n� 1)�((n� 1)=2)2�(n�1)=2

ZSn�1

�n�1 (C; #) d#:

In questa formula C è un convesso in Rn, �n�1 (C; #) la misura dellaproiezione di C sul sottospazio ortogonale a #, Sn�1 l�insieme dei vettoridi norma uno, 2�(n�1)=2=(n� 1)�((n� 1)n=2) il volume della sfera unitariain Rn�1. Se C è un poliedro con facce Fj di area A (Fj) e normali nj,Z

Sn�1�n�1 (C; #) d# =

ZSn�1

1

2

Xj

A (Fj) jnj � #j!d#

=

�1

2

ZSn�1

jn � #j d#� X

j

A (Fj)

!.

In particolare, una curva chiusa con spessore costante D ha lunghezza �D.

Nel 1881 E.Cesaro (1859-1906) descrive una interessante relazione tra proba-bilità, teoria dei numeri, e �. Quale è la probabilità che due interi positivi sceltia caso siano primi tra loro? Indichiamo con P (n) la cardinalità dell�insieme dellecoppie di numeri minori o uguali ad n e primi tra loro. La probabilità che duenumeri siano primi tra loro è data dal limite limn!+1 P (n)=n

2 = p. Assumendonel�esistenza, calcoliamo questo limite. Calcoliamo la probabilità pk che il massimocomun divisore tra due numeri interi positivi a e b sia uguale a k. Vogliamo chesia a che b siano multipli di k e che a=k e b=k siano primi tra loro. I primi dueeventi hanno probabilità 1=k mentre il terzo ha probabilità p, inoltre questi eventisono indipendenti. Quindi pk = 1=k � 1=k � p e sommando otteniamo

1 =

+1Xk=1

pk =+1Xk=1

k�2p = p�2=6:

La probabilità che due numeri siano primi tra loro è quindi 6=�2 = 0; 607927:::

141

Questa probabilità ha la seguente interpretazione geometrica. Nel piano carte-siano consideriamo il reticolo dei punti a coordinate intere. Si può vedere (a; b) da(c; d) se e solo se ja� cj e jb� dj sono relativamente primi. Denotiamo con �(n) lafunzione di Eulero che conta i numeri tra 1 e n primi con n. Dividendo un quadratoin otto triangoli si mostra che il numero di punti nel quadrato fjaj � x; jbj � xgvisibili dall�origine è 8

X1�n�x

�(n). La stimaX1�n�x

�(n) � 3��2x2 divisa per l�area

del quadrato 4x2 fornisce la percentuale dei punti visibili dall�origine. Di fattoquesti risultati sono essenzialmente contenuti nei diari di Gauss in data 6 Set-tembre 1796 e sono pubblicati nel 1849 da P.G.L.Dirichlet (1805-1859). Più ingenerale, la probabilità che n interi positivi scelti a caso abbiano massimo comune

multiplo uno è uguale a

+1Xk=1

k�n

!�1.

Torniamo al Casinò di Montecarlo per una partita a carte. Due giocatoricon due mazzi di n carte identiche le scoprono una ad una. Uno scommetteche ogni volta le due carte scoperte saranno diverse ed uno che qualche voltacompariranno carte uguali. Qual�è la sorte di ciascuno dei due giocatori? Il calcolodi queste probabilità si riduce alla determinazione del numero di permutazioni cone senza punti �ssi ed è dovuto a N.Bernoulli (1687-1759) ed Eulero. Se denotiamocon Ai le permutazioni con i �sso, la probabilità che i1, i2,..., ik siano �ssi è

P [Ai1 \ Ai2 \ ::: \ Aik ] = (n � k)!=n! e ci sono�n

k

�sottoinsiemi di k elementi

scelti tra n. Per il principio di inclusione ed esclusione, la probabilità che ci siaqualche punto �sso è

P [A1 [ A2 [ ::: [ An]=Xi

P [Ai]�Xi6=j

P [Ai \ Aj] +X

i6=j;j 6=k;k 6=i

P [Ai \ Aj \ Ak]� :::

=

�n

1

�(n� 1)!n!

��n

2

�(n� 2)!n!

+

�n

3

�(n� 3)!n!

� :::

= 1� 1=2! + 1=3!� :::+ (�)n=n! � 1� 1=e:La probabilità di vincere di chi scommette su carte diverse è circa 1=e =

0; 367879:::.Un altro problema molto concreto in cui compare inaspettatamente il numero

e è quello della scelta del miglior partito. Assumiamo che ogni ragazza in età damarito abbia diritto a n pretendenti, non contemporaneamente ma in successione.Dopo aver conosciuto un pretendente ha due possibilità, o ne accetta la corte o lo

142

pianta, ma ogni lasciato è perso! La strategia per scegliere il miglior partito è discartare i primi k pretendenti e poi scegliere il primo tra i rimanenti migliore deiprimi k, ed il problema è trovare il k che massimizza la probabilità di successo.Se il miglior partito è tra i primi k, con la strategia descritta è perso. Se il migliorpartito è al posto j > k, allora la strategia ha successo qualora il migliore trai primi j � 1 partiti sia tra i primi k. Denotando con A l�evento di riuscire ascegliere il miglior partito e con Bj l�evento che il miglior partito è il j-esimo, siha quindi

P [A] =

nXj=1

P [AjBi]P [Bj] =nX

j=k+1

k

j � 11

n:

Se n e k sono grandi questa probabilità risulta approssimativamente ugualea (k=n) log(n=k). Quando n=k � e la probabilità è massima ed è circa 1=e. Lacontroindicazione a questa strategia è una probabilità di rimaner zitella piuttostoalta, k=n � 1=e, mentre la probabilità di non sposar l�uomo giusto è minore, circa1� 2=e. Ma torniamo alla storia. Dopo aver perso la prima moglie, Keplero anal-izza scienti�camente per un paio d�anni pregi e difetti di undici possibili candidate,per poi tornare sui suoi passi alla quinta da cui poi ha sette �gli. Osservando che11=e = 4; 046:::, si sarebbe risparmiato tempo e fatica e non avrebbe corso il ris-chio di trovare la sua bella già sposata con qualcun altro. La morale, se proprio cisi vuole sposare, è di non dir subito di sì al primo venuto, ma anche di non tirartroppo per le lunghe.

143

IL PROBLEMA DEL CERCHIO DI GAUSS

Un metodo elementare per stimare l�area di una �gura è di riportarla su dellacarta a quadretti di lato uno contando poi i quadretti contenuti nella �gura stessa.Sorge però il problema di quei quadrati che intersecando il bordo della �gura dannoun contributo minore di una all�area e risulta conveniente contare non i quadratima i centri di tali quadrati, che in un opportuno sistema di coordinate cartesianesono punti a coordinate intere.

Il problema del cerchiodi Gauss: stimare l�areacontando i punti interi.

Nel 1899 G.Pick ha dimostrato il seguente risultato. Sia A l�area di un poligonosemplice con vertici a coordinate intere, I il numero di punti a coordinate intereinterni al poligono e B il numero di punti a coordinate intere sul bordo. Allora A =I+B=2�1. Si può dimostrare il risultato per i triangoli e poi estenderlo alle �guretriangolabili. Ovviamente questo risultato per i poligoni non si estende a �guregeneriche. Non si può sperare di calcolare in modo esatto l�area semplicementecontando i punti interi, ma questa è pur sempre una buona approssimazione.Infatti nel 1947 M.V.Jarnik e H.Steinhaus hanno dimostrato il seguente risultato.Sia una curva piana, chiusa, semplice, retti�cabile di lunghezza L � 1. Sia Al�area racchiusa dalla curva e sia N il numero di punti a coordinate intere internialla curva. Allora jN � Aj < L. Se inoltre il dominio racchiuso dalla curva èconvesso, allora �L=2 < N �A � L=2+ 1 e l�uguaglianza vale solo per rettangolicon vertici interi e lati paralleli agli assi. L�idea della dimostrazione è la seguente.Associamo ad ogni punto intero il quadrato con centro nel punto e lati di lunghezzauno paralleli agli assi. Se un quadrato è interno alla curva, allora contribuisce +1sia all�area che al numero di punti interi, quindi contribuisce 0 all�errore N � A.Similmente, anche i quadrati esterni alla curva non danno contributo all�errore.Gli unici quadrati che danno un contributo all�errore sono quelli che intersecano la

144

curva e il contributo all�errore di uno di questi quadrati è minore della lunghezzadi quella parte della curva contenuta nel quadrato.Applichiamo questo metodo per stimare un�area al calcolo di �. Su un foglio di

carta a quadretti disegniamo una circonferenza di raggioR quadretti, poi contiamoi punti interi interni alla circonferenza. Il numero di questi punti N di¤eriscedall�area del cerchio �R2 per meno di metà circonferenza �R, quindi dividendoper R2 si ottiene l�approssimazione j� �R�2N j < R�1� +R�2.Parecchi problemi in teoria dei numeri conducono alla stima del numero di

punti interi contenuti in una regione del piano o dello spazio. Consideriamo peresempio un classico problema studiato da Fermat, Eulero, Lagrange, Legendre,Gauss, Jacobi, ed altri. È possibile decomporre un dato numero intero nellasomma di due quadrati? Un certo numero può non essere rappresentabile comesomma di due quadrati, per esempio un numero congruo a 3 modulo 4 non è sommadi due quadrati, al contrario altri numeri possono avere parecchie rappresentazioni.Per esempio, 25 = 02 + 52 = 32 + 42 e 26 = 12 + 52, ma 27 non è somma di duequadrati, 83 e 84 non sono somme di due quadrati, mentre 85 = 22+92 = 62+72.

Il cerchio con centro nell�origine e raggio25 contiene 20 punti con coordinate intere,(�25; 0), (�24;�7), (�20;�15), (�15;�20),(�7;�24), (0;�25). Il poligono con questivertici ha 12 lati lunghi 5

p2 e 8 lati lunghi

4p5. Il rapporto tra il perimetro del

poligono e il diametro del cerchio è�60p2 + 32

p5�=50 = 3; 128:::.

Denotiamo con r(n) il numero delle decomposizioni di n nella somma di duequadrati,

r(n) =���(x; y) 2 Z � Z : x2 + y2 = n

�� :Si può mostrare che un numero è somma di quadrati se e solo se nella sua scom-

posizione in fattori primi ogni primo della forma 4n+ 3 compare un numero paridi volte. Più precisamente Legendre ha dimostrato che r(n) = 4 (d1(n)� d3(n)),dove d1(n) e d3(n) sono i numeri dei divisori di n della forma 4n + 1 e 4n + 3.Questa funzione aritmetica dipende quindi dalla scomposizione in fattori primied è piuttosto irregolare, ma l�irregolarità viene mitigata considerandone il valor

145

medio. La somma r(1) + r(2) + ::: + r(n) è il numero di soluzioni intere delladisequazione x2+ y2 � n ed è uguale al numero di punti a coordinate intere in uncerchio con centro nell�origine e raggio

pn. Il numero di punti interi in un cerchio

è approssimativamente uguale all�area del cerchio, quindi un numero ha in media� rappresentazioni come somma di quadrati,

limn!+1

r(1) + r(2) + :::+ r(n)

n= �:

Dalla formula r(n) = 4 (d1(n)� d3(n)), denotando con [x] il più grande interominore o uguale a x, si ricava la seguente formula di Gauss,

r(1) + r(2) + :::+ r(n) = 1 + 4 ([n=1]� [n=3] + [n=5]� [n=7] + :::) :

Al limite per n! +1 si riconosce la serie di Leibniz 1�1=3+1=5�1=7+ ::: =�=4. È anche possibile calcolare esplicitamente r(1) + r(2) + ::: + r(n) con unsemplice metodo, sempre di Gauss del 1834. Dividiamo i punti interi nel cerchioin quattro sottoinsiemi: A = { l�origine }, B = { i punti sugli assi, esclusa l�origine}, C = { i punti nel quadrato di lato 2

pn=2 iscritto nel cerchio, esclusi i punti

sugli assi }, D = { i punti restanti }. Denotando con [x] il più grande interominore o uguale a x, si haX

0�k�n

r(k) = jAj+ jBj+ jCj+ jDj

= 1 + 4 [pn] + 4

hpn=2i2+ 8

Xpn=2<k�

pn

�pn� k2

�:

Malgrado l�aspetto, questa formula non è di di¢ cile uso perché non utilizza chela parte intera delle radici quadrate. Per esempio, se n = 100, jAj = 1, jBj = 40,jCj = 196, jDj = 80, quindi la disequazione x2 + y2 � (10)2 ha 317 soluzioniintere. Ecco qualche valore calcolato da Gauss.

n = 100 1000 10000 100000 1000000X0�k�n

r(k) = 317 3149 31417 314197 3141549

Con questi numeri si ottengono già buone stime di � e tra l�altro il metodoutilizzato è assolutamente elementare. Quello che non è elementare è la stima

146

dell�errore. Gauss ha mostrato che

����� X0�k�n

r(k)� �n

����� � 2�pn, ma esperimenti

numerici suggeriscono stime migliori. Di fatto W.Sierpinski, J.G.van der Corput,e altri, hanno mostrato che questo errore è minore di cn1=3�" per qualche c e " > 0,mentre G.H.Hardy e Landau hanno mostrato che può essere molto maggiore dicn1=4. Sempre Hardy ha mostrato che l�errore quadratico medio è dell�ordine dicn1=4. Per dare un�idea di questi risultati, accenniamo ad una generalizzazionedel problema del cerchio di Gauss ed al legame con le serie di Fourier. Quantipunti interi stanno in un dominio D in Rd? Per complicare un poco la domandachiediamoci quanti punti interi stanno in un traslato D� t. Questo numero è unafunzione periodica della traslazione t che possiamo sviluppare in serie di Fouriersul toro Td = Rd=Zd = [0; 1)d,

Xk2Zd

�D�t(k) =Xj2Zd

ZTd

Xk2Zd

�D�s(k) exp(�2�ij � s)ds!exp(2�ij � t)

=Xj2Zd

Xk2Zd

ZTd�D(k + s) exp(�2�ij � (k + s))ds

!exp(2�ij � t)

=Xj2Zd

�ZRd�D(x) exp(�2�ij � x)dx

�exp(2�ij � t)

= jDj+X

j2Zd�f0g

^�D(j) exp(2�ij � t):

^

f(�) =

ZRdf(x) exp(�2�i� � x)dx è la trasformata di Fourier in Rd ed il

conto non è nient�altro che la formula di sommazione di S.D.Poisson (1781-1840)Xk2Zd

f(k) =Xj2Zd

^

f(j). Gli esponenziali exp(2�ij � t) hanno media nulla sul toro,

quindi integrando sopravvive solo il termine jDj. Le traslate D � t contengonoin media tanti punti interi quanto la misura del dominio jDj e l�errore quadraticomedio è, per l�uguaglianza di M.A.Parseval (?-1836),8<:

ZTd

Xk2Zd

�D(k + t)� jDj!2

dt

9=;1=2

=

8<: Xj2Zd�f0g

��� ^�D(j)���29=;1=2

:

147

In particolare, la trasformata di Fourier della funzione caratteristica di unasfera è una funzione di F.W.Bessel (1784-1846),Z

fx2Rd;jxj�rgexp(�2�i� � x)dx = rd=2 j�j�d=2 Jd=2 (2�r j�j) :

È quindi possibile scrivere esplicitamente una serie di Fourier che rappresentail numero di punti interi in una sfera e dalla disuguaglianza

��Jd=2 (z)�� � c jzj�1=2

segue poi che l�errore quadratico medio è dell�ordine di cr(d�1)=2.Il problema del cerchio studia in quanti modi si può decomporre un numero in

somma di due quadrati, quello della sfera studia le decomposizioni nella somma ditre o quattro quadrati. Salendo di dimensione il problema si sempli�ca. Consid-eriamo ora dei problemi analoghi. In quanti modi si può decomporre un numeroin un prodotto di due numeri, cioè quanti divisori ha un dato numero intero? Ilnumero dei divisori è legato alla scomposizione in fattori primi. Un numero primoha due soli divisori, mentre i divisori di n = paqb:::rc con p, q,..., r primi e a, b,...,c interi positivi, sono (a + 1)(b + 1):::(c + 1). Il numero dei divisori di n dipendeda n in modo abbastanza irregolare. Riformuliamo allora la domanda. Quantisono in media i divisori di un numero intero? Indichiamo con d(n) il numero deidivisori di n,

d(n) = jf(x; y) 2 N �N : xy = ngj :Questo numero è uguale al numero dei punti (x; y) a coordinate intere e positive

sull�iperbole xy = n e d(1) + d(2) + :::+ d(n) è uguale al numero dei punti interi(x; y) con 0 < y � n=x. Una approssimazione di questo numero è data dall�area

sotto l�iperbole nZ n

1

dx

x= n log(n), quindi in media il numero dei divisori di

n è circa log(n). Di fatto, nel 1849 Dirichlet ha dimostrato un risultato piùpreciso. Scomponiamo la regione sotto l�iperbole nel quadrato di vertici (0; 0),(0;pn), (

pn;pn), (

pn; 0), nel trapezio curvilineo di vertici (0;

pn), (

pn;pn),

(1; n), (0; n), e nel trapezio curvilineo di vertici (pn; 0), (n; 0), (n; 1), (

pn;pn).

Siccome il numero di punti interi nei due trapezi è lo stesso, il numero di puntiinteri sotto l�iperbole 0 < y � n=x è

148

nXj=1

d(j) = [pn]2+ 2

[pn]X

j=1

([n=j]� [pn]) = 2

[pn]X

j=1

[n=j]� [pn]2

= 2n

[pn]X

j=1

1=j � n+ 2

[pn]X

j=1

([n=j]� n=j) +�n� [

pn]2�:

Per stimarenXj=1

1=j, sostituiamo alla serie un integrale,

nXj=1

1

j=

Z n

1

dx

x+

Z n

1

�1

[x]� 1

x

�dx+

1

n

=

Z n

1

dx

x+

Z +1

1

�x� [x]x [x]

�dx�

Z +1

n

�x� [x]x [x]

�dx+

1

n:

L�integraleZ +1

1

�x� [x]x [x]

�dx = limn!+1

nXj=1

1=j � log(n)!de�nisce la costante

di Eulero Mascheroni = 0; 577215:::. Insieme a �, e,p2,�1 +

p5�=2,..., è una

delle costanti della matematica. Quindi in media il numero dei divisori di n èuguale a log(n) + (2 � 1),����d(1) + d(2) + :::+ d(n)

n� (log(n) + (2 � 1))

���� � cpn:

Come per il problema del cerchio, questa stima dell�errore può essere miglio-rata.I diari di Gauss in data 20 Giugno 1796 contengono la seguente a¤ermazione:

�All�in�nito la somma dei fattori =�2

6� la somma dei numeri.�

Indichiamo con �(n) la somma dei divisori di n. La somma dei numeri interi

da 1 ad n ènXk=1

k = n(n + 1)=2 � n2=2. I divisori di k sono tanti quanti i punti

(x; y) a coordinate intere e positive sull�iperbole xy = k e la somma dei divisoridei numeri positivi minori o uguali ad n è

149

nXk=1

�(k) =nXk=1

0@[n=k]Xj=1

j

1A =nXk=1

�1

2

hnk

i hnk+ 1i�� n2

2

nXk=1

1

k2� �2n2

12:

Quindi, come enunciato da Gauss, si ha

limn!+1

nXk=1

�(k)

nXk=1

k

=�2

6:

Un ulteriore esempio del legame tra la teoria dei numeri interi ed i numeri� ed e è dato dal teorema dei numeri primi. I numeri primi si diradano via viache diventano grandi ed hanno una distribuzione piuttosto irregolare. Per cercareuna regolarità in questa irregolarità, costruiamo una tabella con nella la primacolonna un numero n, nella seconda colonna il numero �(n) di primi minori di n,nella terza colonna n=�(n) la distanza media tra due primi.

n�(n) = numeriprimi tra 1 e n.

n=�(n) = distanzamedia tra i primi.

10 4 2; 5100 25 41000 168 5; 952:::10000 1229 8; 136:::100000 9592 10; 425:::1000000 78498 12; 739:::10000000 664579 15; 047:::100000000 5761455 17; 356:::1000000000 50847534 19; 666:::10000000000 455052511 21; 975:::

In questa tabella si osserva che se n cresce di un fattore 10, la distanza mediatra i primi tra 1 e n cresce di circa 2; 3 e dalle tavole dei logaritmi risulta che2; 3 è circa uguale a log(10). In base a osservazioni simili, alla �ne del XVIIIsecolo Legendre e Gauss congetturano che il numero dei numeri primi p � n ècirca n= log(n) e P.L.Cebicev (1821-1894) mostra che a meno di un fattore (1� ")

150

l�ordine di grandezza è corretto. Seguendo la strada aperta da G.F.B.Riemann(1826-1866), nel 1898 C.J.G.N.de la Vallée Poussin (1866-1962) e J.Hadamard(1865-1963) provano la congettura. La dimostrazione del teorema dei numeriprimi si basa sullo studio della funzione, introdotta da Eulero e studiata nel campocomplesso da Riemann,

�(s) =

+1Xk=1

k�s =Y

p primo

�1� p�1

��s:

Come per il problema del cerchio di Gauss e dei divisori di Dirichlet, trovatauna stima asintotica per il numero di numeri primi, si cerca una stima dell�errore.

151

LA LEMNISCATA DEI BERNOULLI ELE MEDIE ARITMETICO GEOMETRICHE DI GAUSS

Iniziamo con un breve richiamo sugli integrali e le funzioni ellittiche. Nel 1694i fratelli Bernoulli risolvono il problema, proposto da Leibniz, di determinare lacurvatura di una sbarra elastica con una estremità �ssa e piegata da un pesoattaccato all�estremità libera. La di¤erenza tra le tensioni in due facce oppostedi un tratto in�nitesimo di sbarra risulta inversamente proporzionale al raggiodi curvatura della sbarra ed in condizioni di equilibrio il momento di questarisultante deve eguagliare il momento del peso. Quindi in un sistema di co-ordinate con origine nell�estremo libero ed asse delle ordinate in direzione delpeso si ottiene l�equazione di¤erenziale (1 + (dy=dx)2)�3=2 d2y=d2x = 2ax. Unaprima integrazione dà � (dy=dx) (1 + (dy=dx)2)�1=2 = ax2 + b, quindi dy=dx =

� (ax2 + b)�1� (ax2 + b)

2��1=2

e con una seconda integrazione

y = c�Z

ax2 + bq1� (ax2 + b)2

dx:

In particolare, se a = 1 e b = c = 0 la curva elastica risulta uguale all�area sottola curva y2 (1� x4) = x2, ma gli sforzi dei Bernoulli per calcolare esplicitamentequest�area in termini elementari risultano vani. Supponiamo di dover calcolare

un integrale della formaZR(x; y)dx con R(x; y) funzione razionale e y funzione

algebrica di x, cioè Q(x; y) = 0 per un opportuno polinomio in due variabili. Se lacurva Q(x; y) = 0 ha una parametrizzazione (x; y) = (A(t); B(t)), con A(t) e B(t)

razionali, l�integrale si trasforma inZR (A(t); B(t))A0(t)dt ed è quindi calcola-

bile in modo elementare scomponendo la funzione razionale R (A(t); B(t))A0(t)in frazioni semplici. In particolare le coniche hanno parametrizzazioni razionali

e quindi tutti gli integrali del tipoZR�x;pax2 + bx+ c

�dx sono calcolabili in

modo elementare. Gli integrali ellittici sono integrali del tipoZR�x;pP (x)

�dx

con R (x; y) razionale e P (x) polinomio di terzo o quarto grado. Se Q(x) è unpolinomio di quarto grado con una radice �, la sostituzione x = �+1=t trasformaQ(x) in t�4P (t) con P (t) di terzo grado e con ulteriori trasformazioni ci si puòpoi ricondurre alle tre forme canoniche di Legendre

152

ZdxpP (x)

;

ZxdxpP (x)

;

Zdx

(x� �)pP (x)

:

Liouville ha mostrato che in generale non è possibile esprimere questi integraliper mezzo di funzioni elementari. Dato un polinomio P (x) senza radici multiple,de�niamo

f(x) =

Z x

0

dtpP (t)

:

Abel e C.G.J.Jacobi (1804-1851) hanno l�idea di studiare la funzione inversadi questo integrale. Se x = g(z) è la funzione inversa di z = f(x), si hag0 (f(x)) = 1=f 0(x) =

pP (x). In particolare, posto x = g(z) e y = g0(z), si ottiene

una parametrizzazione della curva y2 = P (x). Per esempio, se P (x) = 1�x2 alloraf(x) = arcsin(x), e (g(z); g0(z)) = (sin(z); cos(z)) sono parametrizzazioni del cer-

chio. L�inversione dell�integrale ellitticoZ x

0

dt=pP (t), con P (t) polinomio di terzo

o quarto grado, genera le funzioni ellittiche che sono delle parametrizzazioni dellecurve ellittiche. Se le funzioni trigonometriche sono semplicemente periodiche, nelcampo complesso le funzioni ellittiche sono doppiamente periodiche, cioè esistono!1 e !2 linearmente indipendenti sui reali tali che g (z + !1) = g (z + !2) = g (z)e queste funzioni hanno delle formule di addizione simili alle formule di addizionedelle funzioni trigonometriche. L�ellisse, curva di secondo grado, non è una curvaellittica, ma la lunghezza di un�ellisse, o di un�iperbole, è un�integrale ellittico.L�ellisse è il luogo dei punti in un piano con somma delle distanze da due punti

�ssi costante e l�iperbole il luogo dei punti con di¤erenza delle distanze costante.Il luogo dei punti con costante il prodotto delle distanze da due punti �ssi sonogli ovali di Cassini, che non convinto delle teoria copernicana introduce questecurve nel 1680 per descrivere i moti del Sole e della Luna intorno alla Terra. Inparticolare, se questi punti �ssi sono

��1=

p2; 0�ed il prodotto delle distanze è

1=2, si ottiene la lemniscata di equazione cartesiana x2 � y2 = (x2 + y2)2. Con

x = � cos(#) e y = � sin(#), l�equazione diventa �2 = cos(2#). In coordinate polaril�equazione �� = cos(�#) descrive una iperbole se � = �2, una retta se � = �1,una parabola se � = �1=2, un cerchio se � = 1. La curva �n = cos(n#) quando n èun intero positivo ha la forma di un �ore con n petali, quindi la nostra lemniscatadi petali ne ha due.

153

Se A = (�1=p2; 0) e B = (1=

p2; 0), la lemniscata

è il luogo dei punti P con jAP j � jBP j = 1=2.Se O = (0; 0), C = (�1; 0) e D = (1; 0), la lemniscata

è il luogo dei punti P con���[CPO �\DPO��� = �=2.

Se sulle circonferenze di raggio uno con centri inA = (�1=

p2; 0) e B = (1=

p2; 0) si considerano due punti

variabili M e N con jMN j = jABj e MN non parallelo ad AB,il punto medio del segmento MN descrive la lemniscata. Questopermette di tracciare la lemniscata con un sistema articolato.Applicando all�iperbole equilatera w2 � z2 = 1 l�inversionecircolare w = x= (x2 + y2) e z = y= (x2 + y2) , si ottiene la

lemniscata x2 � y2 = (x2 + y2)2 .

Nel 1694 i fratelli Bernoulli, indipendentemente, descrivono questa curva �fattacome un 8 o un nastro annodato� ed una disputa sulla priorità di questa edaltre scoperte, catenaria, brachistocrona, problema isoperimetrico,..., guasta i lororapporti. All�interno della famiglia Bernoulli la matematica è un a¤are tropposerio. Il motto del fratello maggiore è �Contro la volontà di mio padre studiole stelle�. Un �glio del fratello minore partecipa ad un concorso dell�Accademiadelle Scienze di Parigi in cui anche il padre è concorrente, vince e viene cacciatoda casa. Poi il �glio accusa il padre di averlo derubato dell�intera �Idrodinamica�mutandone solo il titolo in �Idraulica�.Dall�equazione della lemniscata in coordinate polari �2 = cos(2#) e la for-

mula per l�elemento in�nitesimo di lunghezza ds2 = d�2 + �2d#2, si ricava ds =(1� �4)

�1=2d�. Quindi la lunghezza dell�arco di lemniscata dall�origine �no al

punto a distanza x è data dall�integraleZ x

0

(1� t4)�1=2

dt, un analogo dell�integraleZ x

0

(1� t2)�1=2

dt = arcsin(x) che dà la lunghezza di un arco di cerchio. Nel 1730

Stirling calcola le approssimazioni

154

Z 1

0

dxp1� x4

= 1; 31102877714605987:::;Z 1

0

x2dxp1� x4

= 0; 59907011736779611:::;

ed Eulero dimostra che

4

�Z 1

0

dxp1� x4

���Z 1

0

x2dxp1� x4

�=�

4:

Infatti con il cambio di variabile x t1=4 i due integrali si riconducono allafunzione Beta, (�=2)3=2��2(3=4) il primo e (2�)�1=2�2(3=4) il secondo. Nel 1718Fagnano scopre come dividere con riga e compasso l�arco di lemniscata nel primoquadrante in due, tre, o cinque parti uguali e nel 1758 Eulero trova una formuladi addizione per integrali ellittici,

z =xp1 + ay2 � y4 + y

p1 + ax2 � x4

1 + x2y2;Z x

0

dtp1 + at2 � t4

+

Z y

0

dtp1 + at2 � t4

=

Z z

0

dtp1 + at2 � t4

:

Anche Gauss si interessa alla lemniscata e dimostra che, come per il cerchio,è possibile dividere con riga e compasso l�arco di lemniscata nel primo quadrantein 2mp1p2:::pn parti uguali se i pj sono numeri primi distinti della forma 22

k+ 1.

Questo risultato è poi riscoperto da Abel nel 1826. Dal 1796 in poi i diari di Gausscontengono parecchie a¤ermazioni sugli integrali ellittici e le medie aritmeticogeometriche:

�La lemniscata si divide in cinque parti in modo geometrico.��Sulla lemniscata abbiamo trovato le cose più eleganti al di là di tutte le as-

pettative e questo con un metodo che apre un intero nuovo campo.��Abbiamo provato che la media aritmetico geometrica tra 1 e

p2 è �=! �no

a 11 cifre, una volta dimostrata la cosa si aprirà certamente un nuovo campo inanalisi.��La media aritmetico geometrica è una quantità integrale. Dimostrato!�

! = 2

Z 1

0

(1� t4)�1=2

dt è la lunghezza di metà lemniscata, l�analogo di � =

2

Z 1

0

(1� t2)�1=2

dt per il cerchio. Per dividere il cerchio in n parti uguali basta

155

trovare sin(2�k=n), k = 0; 1; :::; n�1, e sin(x) è la funzione inversa diZ x

0

(1� t2)�1=2

dt.

Analogamente, per dividere la lemniscata basta trovare �(2!k=n), con �(x) fun-

zione inversa diZ x

0

(1� t4)�1=2

dt. La media aritmetico geometrica AGM(x0; y0)

tra due numeri positivi x0 e y0 è il limite comune delle successioni de�nite ri-corsivamente da xn+1 = (xn + yn) =2 e yn+1 =

pxnyn. Il legame tra le medie

aritmetico geometriche e gli integrali ellittici è trovato da Lagrange nel 1785 eriscoperto qualche anno dopo da Gauss,Z +1

�1

dxp(a2 + x2) (b2 + x2)

=�

AGM(a; b):

Per dimostrare l�uguaglianza basta mostrare che questi integrali sono invariantirispetto alla trasformazione (a; b)

�(a+ b) =2;

pab�e questo segue dal cambio

di variabile x (x� ab=x) =2. Iterando la trasformazione gli integrali ellitticiconvergono a degli integrali elementari,Z +1

�1

dxp(a2 + x2) (b2 + x2)

=

Z +1

�1

dxq�((a+ b)=2)2 + x2

�(ab+ x2)

=

Z +1

�1

dxp(AGM(a; b)2 + x2) (AGM(a; b)2 + x2)

:

Per illustrare la relazione tra le medie aritmetico geometriche e �, si può partiredall�integrale ellittico

H(a; b) =1

�

Z +1

�1

dxp(1 + x2=a2) (1 + x2=b2)

:

Il cambio di variabile x N=x mostra cheZ pN

0

dxp(1 + x2) (1 + x2=N2)

=

Z +1

pN

dxp(1 + x2) (1 + x2=N2)

:

Quindi

156

H(1; N) =4

�

Z pN

0

dxp(1 + x2) (1 + x2=N2)

=4

�

Z pN

0

1� x2=2N2 + :::p1 + x2

dx

=4

�

log(

pN +

pN + 1)�

pN2 +N � log(

pN +

pN + 1)

4N2+ :::

!=2

�log(4N) +

log(4N)

2�N2+O (N�2) :

Per ottenere un�approssimazione di � a partire dalla funzione H(1; N), bastaosservare che

N

2(H(1; N + 1)�H(1; N)) =

1

�+O(N�1):

In de�nitiva, si può approssimare � con (N (H(1; N + 1)�H(1; N)) =2)�1 esi possono approssimare H(1; N + 1) e H(1; N) per mezzo delle medie aritmeticogeometriche. Malgrado le apparenze, questo algoritmo è e¢ ciente perché le mediearitmetico geometriche convergono rapidamente, con velocità quadratica,

a+ b

2�pab =

(a� b)2

4

�a+ b

2+pab

� :Grosso modo, ogni iterazione raddoppia il numero di decimali corretti. Una

variante di questo algoritmo permette di calcolare in modo e¢ ciente i logaritmi,da cui si possono ricavare con il metodo iterativo di Newton gli esponenziali.

157

LA CATENARIA E IL PROBLEMA ISOPERIMETRICO

Vogliamo presentare due esempi del ruolo di e e di � nel calcolo delle variazioni.Qual�è la posizione di equilibrio di una catena sospesa ai due estremi? Galileoosserva che:

�La corda così tesa, e poco o molto tirata, si piega in linee, le quali assai siavvicinano alle paraboliche,... e tale adattamento tanto più esser preciso, quanto lasegnata parabola sarà men curva, cioè più distesa; sì che nelle parabole descrittecon elevazioni sotto ai gr. 45, la catenella camina quasi ad unguem sopra laparabola�.

La costruzione dellacatenaria di Huygens.

�Due o più pesi appesi ad una corda �ssata ai due estremi possono avere unasola posizione di equilibrio, che rende il baricentro il più basso possibile�.

Nel 1646 il diciassettenne Huygens postula che la posizione di equilibrio diuna catena deve renderne il baricentro il più basso possibile e, poiché la parabolanon ha questa proprietà, deduce che quella proposta da Galileo è solo una buonaapprossimazione, che peggiora con l�aumentare dell�inclinazione della catena. Poinel 1691 i fratelli Bernoulli con Huygens e Leibniz scoprono che la soluzione esattaè un coseno iperbolico e Leibniz ipotizza l�utilizzo di una catena per calcolare ilogaritmi.

158

La costruzione diLeibniz della catenaria

y =ax + a�x

2.

Dei segmenti verticali con base su una linea orizzontale equispaziati econ lunghezza in progressione geometrica continua generano una curva

logaritmica. I punti sulla catenaria si ottengono prendendo per ogni coppiadi ascisse simmetriche rispetto ad un�origine un�ordinata uguale alla semisomma delle ordinate sulla curva logaritmica. Viceversa, data una catenariasi possono ottenere dei segmenti in progressione geometrica, cioè si possono

trovare i logaritmi dei numeri ed i numeri dei logaritmi.

Il più vecchio dei fratelli Bernoulli dimostra che tra tutte le curve per duepunti e di data lunghezza, la catenaria è quella con il baricentro più basso e piùtardi Eulero osserva che �ogni e¤etto in natura segue un principio di massimoo minimo�. La dimostrazione seguente si trova nelle lezioni del più giovane deidue Bernoulli a G.F. Marquis de l�Hospital (1661-1704). Denotiamo con V =(v; w) il vertice e con Q = (x; y) un generico punto sulla catenaria. Le forzeche agiscono sul pezzo di catena da V a Q sono le tensioni T (V ) e T (Q) neipunti V e Q ed il peso del pezzo di catena P (V;Q). Il pezzo di catena è inequilibrio se la somma delle forze che agiscono su di essa è nulla, T (V ) + T (Q) +P (V;Q) = 0. Il peso agisce lungo la verticale ed è proporzionale alla lunghezzadella curva L(V;Q). Le tensioni agiscono invece lungo direzioni tangenti allacurva. In particolare la tensione nel vertice T (V ) è orizzontale e non dipendeda Q. Per l�equilibrio, la componente orizzontale di T (Q) deve essere uguale a�T (V ), mentre la componente verticale di T (Q) deve essere uguale a �P (V;Q).Se indichiamo con dy=dx la derivata della curva nel punto Q, la condizione diequilibrio diventa

dy

dx=P (V;Q)

T (V )= �L(V;Q) = �

Z x

v

q1 + (dy=dx)2dx:

La costante � dipende dalla tensione in V e dal peso speci�co della catena.Derivando si ottiene l�equazione di¤erenziale

159

d2y

dx2= �

q1 + (dy=dx)2:

Con la sostituzione dy=dx = z l�equazione si abbassa di grado e diventa avariabili separabili, dz=

p1 + z2 = �dx. Quindi z = sinh(�x + �) ed integrando

nuovamente,

y = ��1 cosh(�x+ �) + :

Le costanti � e hanno il solo e¤etto di spostare la catena a destra o sinistrae in su o in giù, mentre il parametro � è legato alla lunghezza della catena. Se� = = 0,

Z x

0

q1 + (dy=dx)2dx =

Z x

0

q1 + sinh2(�x)dx =

Z x

0

cosh(�x)dx =sinh(�x)

�:

Nei suoi lavori sulla catenaria Leibniz suggerisce di studiare la forma di unacatena con densità variabile, di una fune elastica, di una vela al vento, lamentan-dosi di non aver abbastanza tempo da dedicare a questi problemi. Comunque iBernoulli a¤rontano tutti questi problemi ed anche il problema inverso, data laforma della catena, determinarne la densità. In�ne, Huygens osserva che se il pesosu un elemento di catena è proporzionale alla lunghezza della proiezione sull�assedelle ascisse, come nel caso dei cavi che sostengono un ponte, si ottiene l�equazionedy=dx = �x con una parabola per soluzione.Veniamo al problema isoperimetrico, o problema di Didone. Dopo esser fug-

gita da Tiro ed approdata sulle coste africane, Didone contratta e compra tantaterra quanta si può cingere con la pelle di un toro. Questa pelle è allora ri-dotta in una sottile stringa e con essa si racchiude il suolo su cui sorge Cartagine.Tra tutte le curve semplici chiuse di data lunghezza, qual�è quella che racchi-ude l�area massima? Di fatto il problema è più antico di Didone. Le api nellacostruzione dei favi ottimizzano l�uso della cera per contenere il miele, perché tra ipoligoni regolari che tassellano il piano, triangoli, quadrati, esagoni, questi ultimia parità di perimetro rendono massima l�area. C�è anche chi sostiene che le apinon conoscono la matematica e costruiscono favi esagonali solo perché hanno seizampe. Ma smettiamola di disturbare queste laboriose creature e torniamo adoccuparci del problema isoperimetrico. Nel II secolo a.C. Zenodoro dimostra:

�Tra i poligoni con uguale perimetro e uguale numero di lati, il poligono equi-latero ed equiangolo è il più grande in area.�

160

�Tra i poligoni regolari di uguale perimetro, il più grande in area è quello conil maggior numero di lati.��Un cerchio è più grande di tutti i poligoni regolari di uguale perimetro.��Tra tutte le �gure solide di uguale super�cie, la sfera ha il volume massimo.�

Steiner a partire dal 1838 presenta diverse dimostrazioni elementari ed elegantidella proprietà isoperimetrica del cerchio. È semplice mostrare che una soluzionedel problema isoperimetrico deve essere convessa e che ogni retta che divide inparti uguali il perimetro divide in parti uguali anche l�area, e viceversa. Si puòallora dividere in due il problema, cercando una curva con estremi su una rettae di lunghezza data che racchiude area massima. Ogni punto A su questa curvadeve vedere gli estremi B e C sulla retta secondo un angolo retto, perché tra itriangoli con due lati dati quello di area massima è rettangolo. Se il triangoloCAB non è rettangolo in A, senza variare la forma degli archi CA e AB e quindila lunghezza della curva, si può aprire o chiudere l�angolo aumentando l�area deltriangolo e quindi della �gura curvilinea CAB. Ma il luogo dei punti che vedonoun segmento dato secondo un angolo retto è una semicirconferenza, quindi la curvaisoperimetrica è un cerchio. Un�altra dimostrazione di Steiner è la seguente. Seuna regione non è circolare, esistono quattro punti sul suo bordo che non sonociclici. Se si pongono delle cerniere in questi punti, la regione si scompone inquattro lunule �sse ed un quadrilatero snodabile. Basta quindi mostrare che tratutti i quadrilateri con lati �ssati, quello ciclico ha area massima. Questo fattoè conseguenza di un formula di Brahmagupta per l�area di un quadrilatero pianocon lati a, b, c, d, ed angoli �, �, , �,

s(a+ b+ c� d) (a+ b� c+ d) (a� b+ c+ d) (�a+ b+ c+ d)

16� abcd cos2

��+

2

�:

Dati i lati a, b, c, d, l�area risulta massima quando �+ = � + � = �, cioè seil quadrilatero è ciclico. Dimostriamo questa formula. La diagonale per � e halunghezza p

a2 + b2 � 2ab cos (�) =pc2 + d2 � 2cd cos ( ):

Questa diagonale divide il quadrilatero in due triangoli di area ab sin(�)=2 ecd sin( )=2. Quindi, se A è l�area del quadrilatero,

4A2 = (ab sin(�) + cd sin( ))2

= a2b2 + c2d2 � (ab cos(�)� cd cos( ))2 � 2abcd cos (�+ ) :

161

Osservando che 2 (ab cos(�)� cd cos( )) = a2+ b2�c2�d2 e che cos (�+ ) =2 cos2 ((�+ ) =2)� 1, si conclude che

16A2 = 4 (a2b2 + c2d2)� (a2 + b2 � c2 � d2)2 � 8abcd

�2 cos2

��+

2

�� 1�=

(a+ b+ c� d) (a+ b� c+ d) (a� b+ c+ d) (�a+ b+ c+ d)� 16abcd cos2��+

2

�:

In particolare, se d = 0 la formula di Brahmagupta si riduce a quella di Eroneper l�area di un triangolo con lati a, b, c,r

(a+ b+ c) (a+ b� c) (a� b+ c) (�a+ b+ c)

16:

Come osservano Dirichlet e Weierstrass, queste dimostrazioni di Zenodoro eSteiner non sono completamente rigorose perché presuppongono l�esistenza diuna curva massimizzante. È infatti possibile dare esempi di problemi di mas-simo o minimo senza soluzioni. Comunque queste dimostrazioni possono esserecompletate utilizzando degli argomenti di compattezza. Se A è l�estremo su-periore per l�area delle �gure con perimetro P , esiste una successione di �g-ure con perimetri j@nj = P ed aree limn!+1 jnj = A. Queste �gure pos-sono essere prese convesse e contenute in un insieme limitato, infatti prendendol�involucro convesso di una �gura non convessa si diminuisce il perimetro ed au-menta l�area, inoltre una �gura con perimetro P può essere racchiusa in un cer-chio con diametro P . In�ne, de�nita la distanza tra due insiemi d (X; Y ) =supx2X infy2Y jx� yj+ supy2Y infx2X jx� yj, si può mostrare che da ogni succes-sione di convessi contenuti in un insieme limitato si può estrarre una sottosuc-cessione convergente. Nel nostro caso la sottosuccessione converge ad una �guracon perimetro P ed area A. A questo punto si possono applicare gli argomenti diSteiner e concludere che una �gura di area massima deve essere un cerchio.Esistono molte altre dimostrazioni della disuguaglianza isoperimetrica. Per

esempio, la seguente dimostrazione analitica è dovuta a A.Hurwitz (1859-1919).Sia una regione piana delimitata da una curva semplice chiusa @ di lunghezzauno, parametrizzata dalla lunghezza d�arco e descritta da una funzione periodicadi periodo uno s z(s) = x(s) + iy(s). Questa funzione ha uno sviluppo in seriedi Fourier

162

z(s) =

+1Xk=�1

^z(k) exp(2�iks):

Siccome jdz=dsj = 1, la lunghezza della curva è

j@j =Z 1

0

���� ddsz(s)���� ds =

(Z 1

0

���� ddsz(s)����2 ds

)1=2

=

(+1Xk=�1

���2�ik ^z(k)���2)1=2 = 2�( +1Xk=�1

k2���^z(k)���2)1=2 :

Similmente, l�area della regione delimitata dalla curva è

jj =ZZ

dxdy =1

2

Z@

(xdy � ydx) = Im

�1

2

Z 1

0

z(s)d

dsz(s)ds

�= Im

1

2

+1Xk=�1

2�ik^z(k)

^z(k)

!= �

+1Xk=�1

k���^z(k)���2 :

Comparando l�area con il quadrato del perimetro, si ottiene

j@j2 � 4� jj = 4�2+1Xk=�1

�k2 � k

� ���^z(k)���2 :Poiché tutti i termini della serie sono non negativi, si ha j@j2 � 4� jj,

con uguaglianza se e solo se z(s) =^z(0) +

^z(1) exp(2�is), che è l�equazione di

un cerchio. In�ne, se la disequazione j@j2 � 4� jj è veri�cata per curve dilunghezza uno, per omogeneità è veri�cata per curve di lunghezza arbitraria.Questa dimostrazione suggerisce anche la possibilità di misurare quantitativa-mente la di¤erenza tra perimetro e area. Per esempio, se r e R sono i raggi delpiù grande cerchio inscritto e del più piccolo cerchio circoscritto alla �gura, alloraj@j2 � 4� jj � �2 (R� r)2.Accenniamo all�analogo del problema isoperimetrico in tre dimensioni, tra

tutte le super�ci che racchiudono un dato volume, la sfera ha area minima.Una dimostrazione �sica di questo fatto è data dalle bolle di sapone, che rac-chiudono un certo volume d�aria con la tensione super�ciale che rende minimal�area. Una dimostrazione matematica si può ricavare dalla disuguaglianza di

163

H.Brunn e H.Minkowski (1864-1909). Se X e Y sono insiemi compatti non vuotiin Rd con volumi jXj e jY j, allora jX + Y j1=d � jXj1=d + jY j1=d. L�uguaglianzavale solo quando il volume della somma è zero, o un�insieme si riduce ad un solopunto, o gli insiemi sono omotetici. Dimostriamo la disuguaglianza quando X eY sono parallelogrammi con spigoli paralleli agli assi di lunghezza fxjg e fyjg.In questo caso, anche X + Y è un parallelogrammo con spigoli fxj + yjg. Per ladisuguaglianza tra le medie aritmetiche e geometriche,

dYj=1

xjxj + yj

!1=d+

dYj=1

yjxj + yj

!1=d

� 1

d

dXj=1

xjxj + yj

+1

d

dXj=1

xjxj + yj

= 1:

Quindi,

jXj1=d + jY j1=d =

dYj=1

xj

!1=d+

dYj=1

yj

!1=d

�

dYj=1

(xj + yj)

!1=d= jX + Y j1=d :

Dimostriamo ora la disuguaglianza quando X e Y sono unione di parallelo-grammi con spigoli paralleli agli assi, per induzione sul numero di parallelogrammiinX[Y . Con una opportuna traslazione si può assumere che l�iperpiano fxd = 0gdivide X in due parti X� sopra e sotto questo iperpiano, che contengono ciascunameno parallelogrammi di X. Con un�altra traslazione anche Y risulta diviso dafxd = 0g in due parti Y� con jX�j = jXj = jY�j = jY j. Si ha X� + Y� � fxd � 0ge X+ + Y+ � fxd � 0g ed il numero di parallelogrammi in X� [ Y� e in X+ [ Y+risulta minore del numero di parallelogrammi in X [Y . Per l�ipotesi di induzionesu questo numero si ha

jX + Y j � jX� + Y�j+ jX+ + Y+j��jX�j1=d + jY�j1=d

�d+�jX+j1=d + jY+j1=d

�d= jX�j

1 +

jY j1=d

jXj1=d

!d+ jX+j

1 +

jY j1=d

jXj1=d

!d=�jXj1=d + jY j1=d

�d:

164

In�ne, con un processo di approssimazione la disuguaglianza si estende dall�unionedi parallelogrammi a compatti arbitrari. Ricordiamo ora la de�nizione di area diMinkowski. Se � = fjxj � 1g è la sfera di raggio uno con centro nell�origine e se è un compatto arbitrario, si può de�nire l�area di @ come il limite, se esiste,

j@j = lim�!0+

j + ��j � jj�

:

Cioè il rapporto tra il volume e l�altezza della buccia f0 < d(x;) < �g tendeall�area j@j della super�cie @. La derivata dell�area è il perimetro e la derivatadel volume è l�area. Con questi strumenti la dimostrazione della disuguaglianzaisoperimetrica è immediata. Per la disuguaglianza di Brunn-Minkowski e per lade�nizione di area di Minkowski,

j + ��j1=d � jj1=d

�� j�j1=d ;

j + ��j � jj�

� j�j1=ddXj=1

j + ��j(d�j)=d jj(j�1)=d ;

j@j � d j�j1=d jj(d�1)=d :

In altre parole, j@jd � dd j�j jjd�1. Quando è una sfera tutte queste disug-uaglianze diventano uguaglianze. In particolare, se la dimensione è uno j@j � 2,se la dimensione è due j@j2 � 4� jj, se la dimensione è tre j@j3 � 36� jj2,...Anche la catenaria compare nella teoria delle super�ci minime. Per il teorema

di Pappo di Alessandria (IV secolo d.C.) e P.Guldino (1577-1643) la super�ciegenerata dalla rotazione di una curva intorno ad un asse è uguale alla lunghezzadella curva per la lunghezza del cerchio percorso dal baricentro della curva. C�èquindi una relazione tra le super�ci di rotazione minime e le curve con il baricentrobasso. Una curva y = y(x) con a � x � b e y(a) = A e y(b) = B che ruota in-

torno all�asse delle ascisse genera una super�cie di areaZ b

a

2�yq1 + (dy=dx)2dx.

Per minimizzare questo integrale rispetto a tutte le curve per (a;A) e (b; B),si considera una variazione y + "z, si deriva l�integrale rispetto ad " ed impo-nendo alla derivata di essere nulla per ogni scelta di z con z(a) = z(b) = 0 siottiene l�equazione di Eulero-Lagrange y (d2y=dx2) � (dy=dx)2 � 1 = 0, che hacome soluzione la catenaria. Questo è un risultato di Eulero. Un�altra super�-cie minima è l�elicoide (s cos(t); s sin(t); t) ed altre ancora si possono ottenere con

165

esperimenti con lamine saponate. Con questi esperimenti J.A.F.Plateau (1801-1883) ha trovato un certo numero di proprietà delle super�ci minime, che sonostate poi dimostrate rigorosamente.

166

LA CICLOIDE

La cicloide è la curva descritta da un punto di un cerchio che rotola lungo unaretta. Se alla traslazione del centro del cerchio (#; 1) si somma la rotazione delpunto intorno al centro � (sin(#); cos(#)), si ottiene la rappresentazione paramet-rica �

x = #� sin(#);y = 1� cos(#):

Se suggerimento di M.Marsenne (1588-1648), Robenval studia le proprietà diquesta curva e nel 1634 trova che l�area sotto la cicloide è tre volte quella delcerchio generatore. Similmente, Wren dimostra la lunghezza della cicloide è ottovolte il raggio del cerchio generatore,Z 2�

0

ydx =

Z 2�

0

(1� cos(#))2 d# = 3�;Z 2�

0

pdx2 + dy2 =

Z 2�

0

q(1� cos(#))2 + (sin(#))2d# = 8:

La quadratura di Robenval utilizza gli indivisibili di Cavalieri e l�osservazioneche sezioni parallele alla base della cicloide (#� sin(#); 1� cos(#)) sono uguali asezioni del cerchio (sin(#); 1� cos(#)) più sezioni della curva compagna della ci-cloide (#; 1� cos(#)), la sinusoide. Quindi l�area sotto la cicloide è uguale all�areadel cerchio più l�area sotto la sinusoide e, per simmetria, questa sinusoide è lametà del rettangolo con base la circonferenza ed altezza il diametro.

Per Robenval lacicloide è ugaleal cerchio più lasua compagna.�

x = #� sin(#);y = 1� cos(#);

�x = sin(#);y = 1� cos(#);

�x = #;y = 1� cos(#):

La ricetta di Robenval per trovare la tangente ad una curva è la seguente:

167

�La direzione del moto di un punto che descrive una linea curva è la tangentealla curva... Se esaminate i diversi movimenti del punto e tirate la risultante diquesti movimenti, avrete la tangente alla linea curva.�

Componendo la rotazione intorno al centro del cerchio con la traslazione delcentro, Robenval dimostra che la tangente ad una cicloide è la retta per il puntosulla cicloide ed il punto sul cerchio generatore diametralmente opposto al puntodi contatto alla retta base. Poi trova anche il volume del solido generato dallarotazione di un arco di cicloide intorno alla base, ma non pubblica le sue scoperte.Il motivo è che il Collegio Reale di Parigi mette a concorso ogni tre anni unacattedra con una competizione su argomenti scelti dal titolare. Vinta la cattedranel 1634, Robenval riesce a conservala per quarant�anni. Quando poi le proprietàdella cicloide vengono ritrovate da altri, scoppiano le polemiche. In particolareTorricelli osserva che il principio di composizione delle velocità di Robenval è giàpresente in Galileo ed anche Fermat utilizza questo principio ottenendo, in uncerto senso, la nostra de�nizione di derivata. La tangente alla curva y = f(x)si ottiene componendo gli spostamenti orizzontali (x+ h)� x con quelli verticalif(x + h) � f(x), il coe¢ ciente angolare della tangente è il limite dei rapportiincrementali (f(x+ h)� f(x)) =h.

La lunghezza di un arcodi cicloide secondo Wren.

Se si tracciano le tangenti alla cicloide nel suo vertice V ed in un punto Pe se le due tangenti si intersecano in un punto Q, l�arco di cicloide V P

è il doppio del segmento V Q.

Nel 1673 Huygens de�nisce l�evolvente e l�evoluta di una curva.

�Se si considera un �lo avvolto su una linea concava, rimanendo un�estremitàdel �lo sempre attaccata alla curva e l�altra restando libera in modo che la partenon legata rimanga sempre tesa, è chiaro che questa estremità del �lo descriveràun�altra curva che sarà descritta per evoluzione. La linea alla quale il �lo eraavvolta si chiama evoluta.�

168

In termini moderni l�evoluta è il luogo dei centri di curvatura di una curvae, relativamente alle coniche, si trova già nelle Coniche di Apollonio di Perga(262-190 a.C.). Dopo aver mostrato che le rette tangenti all�evoluta incontranol�evolvente ad angoli retti, Huygens dimostra che l�evolvente di una cicloide èancora una cicloide. In�altra curva con questa proprietà di autoriprodursi è laspirale logaritmica. Infatti, come mostrato da Bernoulli, l�evoluta di una spiralelogaritmica è la stessa spirale.

Huygens e l�evolvente edevoluta di una cicloide.

�Se una linea retta è tangente ad una cicloide nel suo vertice e su questaretta presa come base viene costruita un�altra cicloide uguale alla primacon inizio nel vertice, una qualunque retta tangente alla cicloide inferioreincontra ad angoli retti la cicloide superiore... Per evoluzione, a partireda una semicicloide si descrive un�altra semicicloide uguale all�evoluta,la cui base coincide con la retta che tocca la cicloide evoluta nel vertice.�

La normale alla cicloide per il punto di parametro # ha equazione

y � (1� cos(#)) = cos(#)� 1sin(#)

(x� (#� sin(#))) ;

x� x cos(#) + y sin(#) + # cos(#)� # = 0;

e la normale in un punto in�nitesimamente vicino di parametro #+ d#,

(x� x cos(#) + y sin(#) + # cos(#)� #)+ (x sin(#) + y cos(#) + cos(#)� # sin(#)� 1) d# = 0:

Il punto di intersezione di queste due normali in�nitamente vicine è una cicloideuguale alla prima ma traslata di (�;�2), (x; y) = (sin(#) + #; cos(#)� 1). Se A =(#� sin(#); 1� cos(#)) è un punto sulla evolvente, B = (sin(#) + #; cos(#)� 1) ilpunto corrispondente sulla evoluta, C = (�;�2) il vertice della cicloide evoluta,

169

la distanza tra A e B è 4 sin(#=2) e la lunghezza dell�arco di cicloide tra B e Cè 4 � 4 sin(#=2). Quindi la somma del segmento AB più l�arco BC è costante euguale a quattro volte il raggio.Huygens scopre anche che la cicloide è tautocrona.

Huygens e latautocronia della cicloide.

�In una cicloide rovesciata, i tempi di discesa di un corpo che parte da puntiqualsiasi della curva e raggiunge il punto più basso sono uguali. Il rapportotra questi tempi ed il tempo di caduta verticale lungo l�asse della cicloideè uguale al rapporto tra metà circonferenza e diametro del cerchio.�

Scivolando senza attrito lungo una cicloide rovesciata (#� sin(#); cos(#)� 1)un corpo pesante raggiunge il punto più basso (�;�2) in un tempo indipendentedal punto di partenza. Per la conservazione dell�energia cinetica e potenziale, se inun punto di parametro � la velocità iniziale è v(�) = 0, in un punto di parametro# la velocità è v(#) =

p2g (y(�)� y(#)). Siccome tempo = spazio=velocit�a, il

tempo impiegato per scivolare lungo la cicloide da un punto di parametro � alpunto di parametro � è

Z �

�

q(1� cos(#))2 + (� sin(#))2p

2g ((cos(�)� 1)� (cos(#)� 1))d#

=1pg

Z �

�

sin(#=2)pcos2(�=2)� cos2(#=2)

d#

=2pg

Z 1

0

dwp1� w2

=�pg:

Il tempo di caduta lungo la verticale da (�; 0) a (�;�2) è invece 2=pg, quindiil rapporto tra il tempo di discesa lungo la cicloide e lungo l�asse verticale è�=2. L�evoluta di una cicloide è ancora una cicloide e la cicloide è tautocrona.Questi sono i principi utilizzati da Huygens nella costruzione di orologi a pendolocicloidali. Se un pendolo oscilla tra due guide cicloidali rovesciate, descrive una

170

cicloide ed il periodo dell�oscillazione è indipendente dall�ampiezza dell�oscillazionestessa.I classici pendoli circolari sono solo approssimativamente tautocroni per piccole

oscillazioni. Infatti il tempo impiegato da un corpo pesante per scivolare lungo unpendolo circolare (R sin(#); R�R cos(#)) da un punto di parametro � al puntodi parametro 0 è un integrale ellittico,s

R

2g

Z �

0

d#pcos(#)� cos(�)

=

sR

g

Z �=2

0

d'p1� sin2(�=2) sin2(')

:

Per � piccolo il termine sin2(�=2) sin2(') risulta trascurabile, quindi, comeosservato da Galileo, il periodo delle piccole oscillazioni di un pendolo circolare èapprossimativamente 2�

pR=g. Al contrario, il periodo di tutte le oscillazioni di

un pendolo cicloidale è esattamente 4�pR=g. Tenuto però conto dei vari attriti

che in ogni caso compromettono la precisione di un orologio, le migliori prestazionidi un pendolo cicloidale sono più teoriche che reali.Nel 1696 Bernoulli pubblica la seguente s�da.

�Si invitano i matematici a risolvere un problema nuovo. Dati due punti A eB in un piano verticale, trovare la curva AMB lungo la quale un corpo mobile M,che parte da A e scende per gravità, arriva a B nel più breve tempo possibile.�

Il problema è di fatto già presente in Galileo, il quale congettura che �il movi-mento più veloce da punto a punto non ha luogo lungo la linea più breve, cioè laretta, ma lungo un arco di cerchio�. La soluzione corretta viene data nel 1697 daentrambi i fratelli Bernoulli, de l�Hospital, Leibniz, e da un anonimo:

�Problema: Trovare la curva AB lungo la quale un corpo pesante scende pergravità da un punto A ad un punto B più velocemente.Soluzione: Per il punto A tracciare la linea orizzontale e su questa una ci-

cloide che interseca la linea AB nel punto Q, poi una seconda cicloide con base ealtezza rispetto alla base e altezza della prima cicloide come AB sta a AQ. Questaseconda cicloide passa per A e B ed è la curva lungo la quale il corpo discende piùvelocemente dal punto A a B.�

L�anonimo viene identi�cato con Newton, �ex ungue leonem�. La soluzionedel più giovane dei Bernoulli utilizza un�analogia con il principio di rifrazione diFermat e �l�ipotesi di Galileo� secondo la quale la velocità di un corpo che cade

171

è proporzionale alla radice quadrata dell�altezza. Poniamo un sistema di assicartesiani con origine nel punto di partenza ed asse delle ordinate rivolto versoil basso e denotiamo con ' l�angolo tra questo asse e la tangente alle curva. Lavelocità v e l�altezza y del corpo sono legate dalla relazione v =

p2gy. Se pensiamo

a degli strati di materiali dove la velocità della luce è data da v =p2gy, il cammino

più rapido è quello che in ogni punto soddisfa la legge di rifrazione v= sin(') = k.

Poiché sin(') =�1 + (dy=dx)2

��1=2, si ottiene l�equazione di¤erenzialeq

2gy�1 + (dy=dx)2

�= k;

dx

dy=

ry

2r � y:

La soluzione per (0; 0) è la cicloide (x; y) = r (#� sin(#); 1� cos(#)) e scegliendoil raggio r si può imporre il passaggio per un altro punto. Bernoulli osserva ancheche se la velocità di caduta non è proporzionale alla radice quadrata dell�altezzama alla radice cubica, allora la brachistocrona è algebrica e la tautocrona trascen-dente. Se invece la velocità di caduta è proporzionale all�altezza, sia la brachis-tocrona che la tautocrona sono algebriche, la prima è un cerchio e la seconda unaretta.Consideriamo ora un modello più realistico di brachistocrona con attrito. Sia

(x(s); y(s)) l�equazione parametrica di una curva, con lunghezza d�arco s. Sia T =��x(s);

�y(s)

�la tangente e N =

�� �y(s);

�x(s)

�la normale alla curva, F = (0;mg)

la forza di gravità e �"(F �N)T = �"mg �x(s)��x(s);

�y(s)

�l�attrito. Le componenti

del peso e dell�attrito lungo la curva sono mg�y(s) e �"mg �x(s) e, per la legge di

Newton,

md2s

dt2= mg

�y(s)� "mg

�x(s):

Sostituendo v = ds=dt e dv=dt = vdv=ds =d

ds(v2=2), si ottiene

d

ds

�v2

2

�= g

d

ds(y � "x) :

Se nell�origine la velocità del corpo è zero si ottiene v =p2g(y � "x) ed il

tempo per percorrere un tratto L di curva da (0; 0) a (a; b) è

Z L

0

ds

v=

Z a

0

s1 + (dy=dx)2

2g(y � "x)dx:

172

La curva che rende minimo questo integrale si trova risolvendo un�equazionedi Eulero-Lagrange e l�equazione è�

x = r (#� sin(#)) + "r (1� cos(#)) ;y = r (1� cos(#)) + "r (#+ sin(#)) :

Brachistocrone con e senza attrito.

Se c�è attrito ci sono punti non raggiungibili da una brachistocrona, se l�attritoè troppo il corpo non si muove.

173

NUMERI RAZIONALI; ALGEBRICI; TRASCENDENTI

La matematica si è sempre occupata di numeri, ma cosa sia esattamente unnumero non è mai stato chiaro, infatti l�introduzione di un qualche nuovo numero,lo zero, i negativi, gli irrazionali, gli immaginari, ha sempre creato sospetti e per-plessità. Di fatto una de�nizione rigorosa di numero è relativamente recente erisale solo alla seconda metà del secolo XIX. Dimenticando l�a¤ermazione di Kro-necker, �Dio ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell�uomo�, nel 1889G.Peano (1858-1932) introduce l�insieme dei numeri naturali N con un sistemadi assiomi espresso in simboli che noi ci permettiamo di tradurre in parole: 1)Zero è un numero. 2) Il successore di un numero è un numero. 3) Il numero zeronon ha successore. 4) Due numeri con lo stesso successore sono uguali. 5) Se uninsieme di numeri contiene lo zero ed il successore di ogni numero nell�insieme,allora questo insieme contiene tutti i numeri. Quest�ultimo assioma è il principiodi induzione. L�addizione tra numeri naturali si de�nisce ricorsivamente ponendoa + 0 uguale ad a, a + 1 uguale al successore di a e, per induzione, a + (b+ 1)uguale al successore di a + b. Similmente si de�nisce la moltiplicazione ponendoa � 1 = a e a � (b+ 1) = (a � b) + a. Peano de�nisce poi i numeri interi relativi Zcome coppie di interi (a; b), con addizione (a; b)+(c; d) = (a+ c; b+ d) e relazionedi equivalenza (a; b) = (c; d) se a+ d = b+ c. La coppia (a; b) rappresenta quindiil numero a� b. Sia Weierstrass che Peano de�niscono in modo astratto i numerirazionali Q come coppie ordinate di interi. Nell�insieme di tutte le coppie di in-teri relativi (a; b), con b > 0, si de�niscono le operazioni di somma e prodotto,(a; b)+(c; d) = (ad+ bc; bd) e (a; b) �(c; d) = (ac; bd). Si de�nisce poi una relazionedi equivalenza, (a; b) = (c; d) se ad = bc, ed una relazione d�ordine, (a; b) > (c; d)se ad > bc. L�insieme delle coppie di interi relativi con questa somma e prodotto,quozientato rispetto alla relazione di equivalenza è il campo dei numeri razionalied invece di (a; b) si scrive a=b. I razionali, più che su¢ cienti per tutti i problemipratici, non esauriscono però l�insieme di tutti i numeri. Intuitivamente si pos-sono de�nire i numeri reali come limiti di successioni razionali. Infatti Cantor nel1872 de�nisce i numeri reali come classi di equivalenza di successioni di Cauchydi numeri razionali. Una successione è fondamentale se per ogni " > 0 tutti isuoi termini da un certo posto in poi di¤eriscono per meno di ", cioè fx(n)g+1n=1è fondamentale se dato " > 0 esiste k tale che jx(n)� x(m)j < " se n;m > k.Ogni successione fondamentale di numeri razionali è per de�nizione un numeroreale e due successioni fx(n)g+1n=1 e fy(n)g

+1n=1 de�niscono lo stesso numero se

174

jx(n)� y(n)j tende a zero per n! +1. Le operazioni sui numeri reali sono ered-itate delle operazioni sulle successioni di razionali. In particolare, si può associaread ogni numero reale la successione delle somme parziali del suo sviluppo decimale,quindi questa de�nizione astratta risulta più o meno equivalente alla de�nizionedi numero reale come sviluppo decimale in�nito. Contemporaneamente a Cantor,nel 1872 J.W.R.Dedekind (1831-1916) pubblica le sue ri�essioni su �Continuità enumeri irrazionali�.

�L�essenza della continuità è nel seguente principio: Se tutti i punti di unalinea retta sono divisi in due classi in modo che ogni punto della prima sia asinistra di ogni punto della seconda, allora esiste uno ed un solo punto che producequesta divisione in classi, questa sezione della retta in due parti.�

Poi Dedekind estende questa osservazione apparentemente banale dalla rettaai numeri e de�nisce i numeri reali come elementi separatori tra classi contiguedi razionali. Di fatto, senza presupporre a priori l�esistenza di un elemento sep-aratore tra due classi contigue, è possibile de�nire un numero reale come unacoppia di classi contigue di numeri razionali. Anzi, visto che una classe deter-mina l�altra, è possibile de�nire i reali nel modo seguente. Una sezione del campodei numeri razionali Q è un sottoinsieme proprio non vuoto di razionali con leproprietà: 1) Se x appartiene alla sezione, ogni razionale y minore di x appar-tiene alla sezione. 2) I razionali nella sezione non hanno massimo, cioè per ognix nella sezione esiste y nella sezione maggiore di x. Denotiamo con �, �, ,..., lesezioni e con R l�insieme di tutte le sezioni. Ad ogni razionale z si può associarela sezione di tutti i razionali x < z. Questo permette di identi�care Q con unsottoinsieme di R, ma non tutte le sezioni sono ottenute in questo modo. Peresempio, l�insieme dei razionali negativi e positivi con x2 < 2, che de�nisce

p2,

non è una sezione razionale. Nell�insieme delle sezioni è possibile introdurre unordinamento, ponendo � < � se � è un sottoinsieme proprio di �. Con questoordinamento, ogni sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato in R ha unestremo superiore de�nito dalla sezione sup�2A � = [�2A�. La somma di duesezioni è la sezione �+ � = fx+ y; x 2 �; y 2 �g. Il prodotto di sezioni positiveè la sezione � �� = fz < x � y; x 2 �; y 2 �; x > 0; y > 0g. Poi, se � < 0 e � < 0,� � � = (��) � (��). Se � > 0 e � < 0, � � � = � (� � (��)). L�insieme R con lasomma ed il prodotto così de�niti risulta essere un campo, il campo dei numerireali. De�niti i reali, si possono de�nire i numeri complessi C come coppie dinumeri reali (a; b), con addizione (a; b) + (c; d) = (a+ c; b+ d) e moltiplicazione(a; b) � (c; d) = (ac� bd; ad+ bc). Ponendo (0; 1) = i, invece (a; b) si può scri-vere a + ib. Questa de�nizioni dei numeri complessi è dovuta a W.R.Hamilton

175

(1805-1865). Poiché i2 = �1, si ha formalmente i =p�1, quindi si hanno i

numeri complessi nella forma a + bp�1. In�ne, sostituendo x a

p�1, si pos-

sono identi�care i numeri complessi con l�insieme dei polinomi a coe¢ cienti reali,modulo x2 + 1, cioè con l�estensione algebrica del campo reale per mezzo delleradici di x2 + 1. A questo punto sorge naturale una domanda. Si hanno le inclu-sioni N � Z � Q � R � C. C�è qualcosa sopra C? La risposta di Gauss a questadomanda è la seguente:

�Le relazioni tra oggetti in insiemi con più di due dimensioni non possono dareorigine ad una aritmetica generalizzata.�

In particolare, non è possibile de�nire nello spazio tridimensionale una strut-tura di somma e prodotto compatibili con quelli sulla retta reale e sul pianocomplesso. Se così fosse, indicata con e = (1; 0; 0) l�unità di questa algebra, coni = (0; 1; 0) l�unità immaginaria, i � i = �e, con j = (0; 0; 1) una terza unità, siavrebbe i � j = �e+ �i+ j con �, �, reali. Allora �j = (i � i) � j = i � (i � j) =(� � �)e + (� + � )i + 2j. Quindi, per l�indipendenza dei vettori e, i, j, sidovrebbe avere 2 = �1, contrariamente all�ipotesi reale. Più in generale, sefosse possibile estendere le quattro operazioni dell�aritmetica da R a R2n+1, sitratterebbe di una estensione algebrica, ma un polinomio di grado dispari ha sem-pre una radice reale. I numeri complessi possono essere immersi nei quaternionidi Hamilton, ma si perde la commutatività del prodotto. I quaternioni possonoessere immersi negli ottetti di A.Caley (1821-1895), ma si perde anche la proprietàassociativa.Ma, dopo queste de�nizioni astratte, torniamo ad occuparci di numeri in modo

più concreto. I razionali sono rapporti di interi. Per esempio, gli antichi egiziusano solo frazioni con numeratore uno, ma ogni razionale può essere scompostoin somme di razionali distinti con numeratore uno e un algoritmo naturale perscomporre una frazione in frazioni egizie è dovuto al Fibonacci. Dato m=n, sisceglie a tale che 1=a � m=n < 1=(a � 1) e, se 1=a 6= m=n, si sceglie b taleche 1=b � m=n � 1=a < 1=(b � 1),.... In un numero �nito di passi si ottienem=n = 1=a + 1=b + ::: + 1=c. Per dimostrare che l�iterazione ha termine, bastaosservare che m=n � 1=a = p=q, con p < m. Infatti m=n � 1=a = (ma � n)=nae ma � n < m se e solo se m=n < 1=(a � 1). Comunque la scomposizione infrazioni egizie non è unica, per esempio 1=n = 1=(n + 1) + 1=(n2 + n). Ogninumero razionale ha sviluppo decimale periodico. Per esempio, dividendo 22 per7 si ottiene 3 con resto 1, dividendo 10 per 7 si ottiene 1 con resto 3, dividendo30 per 7 si ottiene 4 con resto 2,..., il resto è sempre compreso tra 0 e 6 e quando

176

si ripetere si ottiene il periodo, 22=7 = 3; 142857 142857::: Viceversa, ogni numerocon sviluppo decimale periodico è razionale. Per esempio

3; 142857 142857 142857::: = 3 +142857

1000000

+1Xk=0

1000000�k = 3 +142857

999999=22

7:

Un corollario di quanto mostrato è che ogni numero con sviluppo decimalenon periodico non è razionale. Quindi esistono numeri irrazionali, anzi secondoCantor gli irrazionali sono molti più dei razionali. Iniziamo osservando che inumeri razionali sono numerabili, cioè possono essere messi in corrispondenzabiunivoca con gli interi 1, 2, 3,... ed allineati in una successione. Infatti, per ognin esiste solo un numero �nito di razionali p=q con jpj + jqj = n e questi possonoessere ordinati per modulo crescente. In particolare, se n = 1 si ha solo 0=1, sen = 2 si ha �1=1 e 1=1, se n = 3 si ha �2=1, �1=2, 1=2, 2=1,... In questo modosi ottiene l�ordinamento 0=1, �1=1, 1=1, �2=1, �1=2, 1=2, 2=1, �3=1, �1=3, 1=3,3=1, �4=1, �3=2, �2=3, �1=4, 1=4, 2=3, 3=2, 4=1,... I numeri algebrici sono leradici di equazioni algebriche a coe¢ cienti interi. Anche questi sono numerabili,infatti per ogni n esiste solo un numero �nito di equazioni algebriche a coe¢ cientiinteri axk + bxk�1 + cx+ d = 0 con k+ jaj+ jbj+ :::+ jcj+ jdj = n, le soluzioni diqueste equazioni possono essere ordinate per modulo crescente ed in questo modosi ottiene un ordinamento dei numeri algebrici. Dimostriamo in�ne che i numerireali non sono numerabili. Assumendo il contrario, esisterebbe un ordinamentodi tutti i reali 0 < x < 1, con x(1) = 0; x11x12x13:::, x(2) = 0; x21x22x23:::,x(1) = 0; x31x32x33:::. A partire da questa lista è però possibile costruire unnumero reale 0 < y < 1 non nella lista. Per esempio, il numero y = 0; y1y2y3::: conyj = xjj +1 se 0 � xjj � 4 e yj = xjj � 1 se 5 � xjj � 9 di¤erisce da x(1) almenonel primo decimale, da x(2) nel secondo, da x(3) nel terzo,.... Quindi y non haun posto nella lista supposta esaustiva. Un immediato corollario è che se i numerialgebrici sono numerabili ed i reali no, devono esistere numeri trascendenti. Ma seè semplice dimostrare che esistono numeri irrazionali ed anche trascendenti, puòessere più complicato mostrare che un particolare numero ha questa proprietà.Si attribuisce alla scuola pitagorica la scoperta che

p2,p3,p5,... non sono

rapporti tra numeri interi p=q. Questi numeripm sono radici del polinomio

x2�m = 0 e, come osserva Gauss, le radici razionali di un polinomio con coe¢ ci-enti interi si possono determinare esplicitamente in un numero �nito di tentativi.Infatti se un polinomio a coe¢ cienti interi axn + bxn�1 + :::+ cx + d = 0 ha una

177

radice razionale x = p=q, sostituendo p=q nell�equazione e moltiplicando per qn siottiene

dqn = p (�cqn�1 � :::� bpn�2q � apn�1) ;apn = q (�bpn�1 � :::� cpqn�2 + dqn�1) :

Se p e q non hanno divisori comuni, dalla prima uguaglianza si ricava che pdeve dividere d e dalla seconda che q deve dividere a. In particolare, se tra idivisori di a e d non si trovano radici p=q, il polinomio non ha radici razionali.

Lo sviluppo in serie della funzione esponenziale exp(x) =+1Xn=0

xn=n! converge

rapidamente e con la formula exp(x) = (exp(x=2))2 la convergenza è accelerata.È poi semplice calcolare per ricorrenza le somme parziali,

nXk=0

xk

k!=A(x; n)

n!=n � A(x; n� 1) + xn

n!:

Per esempio, se x = 1 si ha A(1; 10)=10! = 9864101=3628800. Questo ap-prossima e per difetto a meno di 1= (10 � 10!), meno di tre centomilionesimi. Difatto

e = 2; 7182818284 5904523536 02874713526624977572 4709369995 95749669676277240766 3035354759 4571382178

5251664274:::

I numeri razionali hanno uno sviluppo decimale periodico, ma almeno in questecento cifre decimali non sembra essere presente nessuna periodicità. Con un pocodi fatica, dallo sviluppo decimale si riescono ad ottenere i primi termini dellosviluppo in frazione continua e si intuisce anche quale è lo sviluppo completo.Dallo sviluppo in frazioni continue segue immediatamente l�irrazionalità di e, mavogliamo presentare una semplice dimostrazione di questa irrazionalità dovuta a

Fourier. Poiché e =+1Xn=0

1=n!, si ha

0 < e�NXn=0

1=n! =+1X

n=N+1

1=n!

<1

(N + 1)!

�1 +

1

N + 2+

1

(N + 2)2+ :::

�=

1

(N + 1)!

N + 2

N + 1:

178

Se per assurdo e fosse razionale, e = p=q, prendendo N � q e moltiplicando per

N ! la disuguaglianza 0 < e�NXn=0

1=n! < 1=NN ! si otterrebbe l�assurdo di un intero

maggiore di zero e minore di uno. Similmente si può mostrare che e non è radice diun polinomio di secondo grado con coe¢ cienti interi, ae2+be+c 6= 0. Sostituendoin ae+b+ce�1 = 0 gli sviluppi in serie di e e di e�1, poi moltiplicando perN ! conNgrande si ottiene un assurdo. A questa dimostrazione dell�irrazionalità di e si puòdare una veste geometrica. Partiamo dall�intervallo I(1) = [2; 3] e per induzionede�niamo I(n) dividendo I(n � 1) in n intervalli uguali e scegliendo il secondo

di questi intervalli, I(n) =

"nXk=0

1=k!;nXk=0

1=k! + 1=n!

#. Allora e =

T+1n=1 I(n). Da

questa costruzione ricava che je�m=n!j > 1=(n+1)!, in particolare e deve essereirrazionale.Presentiamo ora una semplice dimostrazione dell�irrazionalità di � dovuta a

I.Niven. Partiamo dal polinomio P (x) = xn(1 � x)n=n! ed integriamo ripetuta-mente per parti P (x) sin(�x),Z 1

0

P (x) sin(�x)dx =P (0) + P (1)

�� :::� P (2n)(0) + P (2n)(1)

�2n+1:

Se 0 � x � 1 si ha jP (x)j < 1=n! e tutte le derivate di P (x) sono numeri interise valutate in x = 0 o x = 1. Fissato un intero p, se n è abbastanza grande si ha

0 < p2n+1Z 1

0

P (x) sin(�x)dx < p2n+1=n! < 1:

Se fosse per assurdo � = p=q, con p e q interi, la quantità

p2n+1Z 1

0

P (x) sin(�x)dx

= p2nq (P (0) + P (1))� :::� q2n+1�P (2n)(0) + P (2n)(1)

�sarebbe un intero maggiore di zero e minore di uno.Ogni numero reale può essere approssimato arbitrariamente bene con razion-

ali ma, interessati all�economia, cerchiamo approssimazioni con razionali di de-nominatore non troppo grande. Per esempio, ridimostriamo l�approssimazione diArchimede 3 + 10=71 < � < 3 + 1=7 con un metodo non archimedeo. Partiamodall�integrale

179

Z x

0

x4(1� x)4

1 + x2dx

=

Z x

0

�x6 � 4x5 + 5x4 � 4x2 + 4� 4

1 + x2

�=1

7x7 � 2

3x6 + x5 � 4

3x3 + 4x� 4 arctan(x):

Ponendo x = 1 si ottieneZ 1

0

x4(1� x)4

1 + x2dx = 22=7� �:

Poi osserviamo che

1=1260 =1

2

Z 1

0

x4(1� x)4dx <

Z x

0

x4(1� x)4

1 + x2dx <

Z 1

0

x4(1� x)4dx = 1=630:

Quindi22=7� 1=630 < � < 22=7� 1=1260:

La frazione 22/7 è la migliore approssimazione di � con denominatore minoreo uguale a 7 e 355/113 la migliore approssimazione con denominatore al più 113.Lagrange ha mostrato che dallo sviluppo in frazioni continue di un numero ir-razionale x si possono costruire in�niti razionali p=q tali che jx� p=qj < 1=q2.Per esempio je� 2721=1001j < 1001�2. Dirichlet ha ridimostrato questo risul-tato utilizzando il principio che se n scatole contengono n + 1 oggetti, allorac�è una scatola con almeno due oggetti. Le n scatole sono gli intervalli [0; 1=n),[1=n; 2=n),..., [(n � 1)=n; 1) e gli n + 1 oggetti sono le parti decimali dei nu-meri 0x, 1x, 2x,..., nx, almeno due tra le parti decimali di 0x, 1x,..., nx dif-feriscono per meno di 1=n, cioè esistono interi h, k, j, con 0 � h < k � n e conjkx� hx� jj < 1=n. Quindi jx� j=(k � h)j < 1=n(k�h) � 1=(k�h)2. In parti-colare, per approssimare

pm con una frazione p=q a meno di q�2, basta risolvere

l�equazione mq2 � p2 = �1. Infatti,pm � p=q = (

pm+ p=q)

�1(mq2 � p2) q�2.

Questo metodo risale alla scuola pitagorica. Osserviamo che si è anche ottenuta ladisuguaglianza j

pm� p=qj � (

pm+ p=q)

�1q�2, il metodo pitagorico è ottimale,

non si può approssimarepm con p=q a meno di q�2. Similmente j 3

pm� p=qj ��

3pm2 + 3

pmp=q + p2=q2

��1q�3, e così per le altre radici. Osserviamo in�ne che

sem=n e p=q sono numeri razionali distinti, allora jm=n� p=qj > 1=nq, un numero

180

razionale può essere ben approssimato solo da se stesso. Liouville ha mostrato chese x è un numero irrazionale algebrico, radice di un polinomio P (x) = 0 di gradon a coe¢ cienti interi, allora esiste una costante c tale che per ogni razionale p=q siha jx� p=qj > c=qn. Infatti se p=q è un razionale abbastanza vicino ad x, alloraP (p=q) è un razionale non nullo con denominatore qn e

1

qn�����P �pq

����� = ����P �pq�� P (x)

���� = ���� ddxP (#)���� ����pq � x

���� � c

����pq � x

���� :In particolare, se x è irrazionale e se per in�niti n e p=q si ha jx� p=qj < q�n,

allora x è trascendente. Per esempio, se x =+1Xk=1

10�k! e p=q =nXk=1

10�k!, allora

jx� p=qj < q�n. Il numero di Liouville+1Xk=1

10�k! è trascendente. Come osservato

da P.Erdös, ogni numero è somma o prodotto di due numeri di Liouville. Infatti,

se z =+1Xn=1

"(n)2�n con "(n) = 0; 1, basta de�nire x =+1Xn=1

�(n)2�n con �(n) = "(n)

se (2k� 1)! � n < (2k)! e �(n) = 0 altrimenti, y =+1Xn=1

�(n)2�n con �(n) = "(n) se

(2k)! � n < (2k+1)! e �(n) = 0 altrimenti. Sia x che y sono numeri di Liouville ex+ y = z. L�esponente nel teorema di Liouville non è il migliore possibile, infattiK.F.Roth ha dimostrato che per ogni numero algebrico x ed ogni � > 2 esistec > 0 tale che jx� p=qj > c=q� per ogni razionale p=q 6= x. Comunque la costantec nel teorema di Liouville è calcolabile esplicitamente, mentre quella di Roth nonlo è. Un numero x è � approssimabile se per in�niti p=q si ha jx� p=qj < q��. Unrazionale è sono solo 1 approssimabile con razionali diversi dal numero stesso, sem=n 6= p=q allora jm=n� p=qj � 1=nq. Per il teorema di Dirichlet ogni irrazionaleè 2 approssimabile, mentre i numeri di Liouville sono quelli � approssimabili per

ogni �. Se '(q) > 0 e+1Xq=1

'(q) < +1, l�insieme degli x con jqx� pj < '(q) per

in�niti p e q ha misura nulla. Infatti, un 0 � x � 1 con jqx� pj < '(q) per in�niti0 � p � q deve appartenere ad in�niti intervalli [p=q � 1=q'(q); p=q + 1=q'(q)],

la misura dell�unione di questi intervalli è �nita,+1Xq=1

qXp=0

2=q'(q) < +1, quindi

181

l�intersezione di un numero in�nito di questi intervalli ha misura zero. In par-ticolare, l�insieme dei numeri reali � approssimabili ha misura di Lebesgue zerose � > 2. Più precisamente, M.V.Jarnik e A.S.Besicovitch hanno dimostrato chequesto insieme ha dimensione di Hausdor¤ 2=�. Se dal punto di vista della misurai numeri ben approssimabili sono pochi, dal punto di vista della categoria sonola maggioranza. Infatti i numeri di Liouville sono intersezione di aperti densi,Tn

Sp=q fjx� p=qj < q�ng.

K.Mahler ha dimostrato che � non è � approssimabile se � è troppo grande,cioè � non è un numero di Liouville. Anche il numero e non è un numero diLiouville, anzi per ogni � > 2 esiste c > 0 tale che je� p=qj > cq��. Per mostrarequesto occorre ricordare lo sviluppo in frazioni continue di e =

�2; 1; 2n; 1

�+1n=1

equalche proprietà delle frazioni continue x = [a(0); a(1); a(2); a(3); :::]. Se jxq � pj <1=2q, la frazione p=q è una convergente di x. Per ogni convergente p(n)=q(n) e perogni p=q 6= p(n)=q(n) con 0 < q � q(n) si ha jxq(n)� p(n)j < jxq � pj. Inoltre

1

2q(n)q(n+ 1)<

����x� p(n)

q(n)

���� < 1

q(n)q(n+ 1):

Si ha anche q(n+1) = a(n+1)q(n) + q(n� 1) < (a(n+ 1) + 1) q(n) e quindi,����x� p(n)

q(n)

���� > 1

2q(n)q(n+ 1)>

1

2 (a(n+ 1) + 1) q(n)2:

Osserviamo in�ne che la successione fq(n)g ha una crescita almeno esponen-ziale, infatti deve crescere almeno come la successione di Fibonacci associataallo sviluppo di [1; 1; 1; 1; :::] =

�1 +

p5�=2, F (1) = F (2) = 1, F (n + 2) =

F (n+ 1) + F (n),

F (n) =1p5

1 +

p5

2

!n� 1�

p5

2

!n!:

Quindi, se x = [a(0); a(1); a(2); a(3); :::] e se la successione fa(n)g non hacrescita esponenziale, cioè per ogni " > 0 esiste c > 0 tale che ja(n)j � c exp ("n),allora per ogni � > 2 esiste c > 0 tale che jx� p=qj > cq��. Per esempio,dall�ottava convergente di (e� 1)=2 = [0; 1; 6; 10; 14; :::] si ricava la stima

e � 848456353

312129649= 2; 718281828459045234:::

182

L�ultima cifra corretta è 5. Con un denominatore di nove cifre si sono ottenutiquasi diciotto decimali corretti, come previsto l�errore è circa l�inverso del quadratodel denominatore.Nel 1873 Hermite dimostra che e è trascendente e nel 1882 Lindemann di-

mostra che anche � è trascendente. Nel 1885 Weierstrass dimostra la trascen-denza di log(2). Nel 1934 O.Gelfond e T.Schneider dimostrano che se a e bsono numeri algebrici, con b irrazionale e a diverso da 0 o 1, allora ab è trascen-

dente. In particolarep2p2e e� = (�1)�i sono trascendenti. Mahler dimostra che

se P (x) è un polinomio a coe¢ cienti interi, allora il numero con sviluppo deci-male 0; P (1)P (2)P (3)::: è trascendente. In particolare 0,12345678910111213... ètrascendente. Almeno uno dei due numeri e + � e e � � deve essere irrazionale,

perché e e � sono radici di x2 � (e+ �)x+ e� = 0. �e? ee? ��?p2p2p2

?...

183

RIGA; COMPASSO; ORIGAMI

La riga ed il compasso sono gli strumenti principe della geometria greca el�origami è l�arte di piegare la carta giapponese. Se i postulati della riga e com-passo risalgono almeno ad Euclide, quelli dell�origami sono una creazione italo-giapponese più recente.Nella geometria della riga e compasso si possono introdurre i seguenti postulati:(RC-1) Si può tracciare una retta per due punti.(RC-2) Si può tracciare una circonferenza di centro e raggio dati.(RC-3) Si può trovare l�intersezione tra due rette.(RC-4) Si può trovare l�intersezione tra una retta ed un cerchio.(RC-5) Si può trovare l�intersezione tra due cerchi.Il signi�cato geometrico dei postulati di riga e compasso è evidente, ed anche

quello algebrico non è di¢ cile da spiegare. Partendo da due punti, con riga ecompasso si può tracciare la retta congiungente e la perpendicolare a questa rettaper uno dei punti. Si ottiene così in un sistema di assi cartesiani un punto dicoordinate (0; 0) ed uno di coordinate (1; 0). Con riga e compasso si possonopoi trovare i punti (x; y) con coordinate ottenibili a partire dai numeri 0 e 1 conun numero �nito di somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, estrazioni diradici quadrate. Questo è conseguenza del fatto che analiticamente l�intersezionetra rette e cerchi porta a risolvere equazioni di primo e secondo grado, cosa cherichiede appunto delle somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, estrazioni diradici quadrate.Ricordiamo ora qualche nozione di teoria dei campi. Dati due campi H � K,

si può vedere il più grande come spazio vettoriale sul più piccolo. Se [K : H]è la dimensione di questo spazio vettoriale e se H � K � L, allora [L : H] =[L : K] [K : H]. Un numero � è radice di un polinomio di grado n con coe¢ cientiin K se e solo 1, �, a2,..., �n sono linearmente dipendenti su K. Se inoltre 1,�, a2,..., �n�1 sono linearmente indipendenti, gli elementi del più piccolo campoK(�) che contiene sia K che � hanno la rappresentazione k0+k1�+ :::+kn�1�n�1,con kj in K. In particolare, � è algebrico su K se e solo se [K(�) : K] < +1.L�equazione [K(�; �) : K] = [K(�; �) : K(�)] [K(�) : K] mostra in�ne che se �e � sono algebrici su K, allora anche � � �, � � � e �=� sono algebrici. Quindii numeri algebrici formano un campo. Se K è un campo e k un elemento di Kcon

pk non in K, l�estensione quadratica di K con

pk è il più piccolo campo che

contiene sia K chepk. Questa estensione K

�pk�può essere identi�cata con le

184

espressioni della forma u+ vpk, con u e v in K. Un punto (x; y) è costruibile con

riga e compasso a partire dai punti (0; 0) e (1; 0) se e solo se le coordinate x e yappartengono ad un campo K estensione quadratica iterata del campo dei numerirazionali Q. In particolare, siccome ogni estensione quadratica ha grado due, ladimensione di K come spazio vettoriale su Q è una potenza di due, [K : Q] = 2n.Un corollario di questo fatto è l�impossibilità di risolvere con riga e compasso dellegeneriche equazioni di terzo grado, che portano ad estensioni di grado multiplo ditre. In parole povere, non si possono ottenere le radici cubiche mettendo insiemedelle radici quadrate. Ridimostriamo più in dettaglio questo risultato.Se un�equazione cubica a coe¢ cienti razionali non ha radici razionali, al-

lora nessuna radice appartiene ad una estensione quadratica iterata del camporazionale. Per dimostrare questa proposizione, assumiamo che x sia una radice diun polinomio x3 + ax2 + bx + c = 0 a coe¢ cienti razionali ed esista una catenadi campi Q = K0 � K1 � ::: � Kn con Kj estensione quadratica di Kj�1 ex in Kn. Assumiamo inoltre questo indice n minimale, cioè nessuna radice delpolinomio appartenga ad estensioni quadratiche di lunghezza minore di n. Postox = u+ v

pk e y = u� v

pk, con u, v, k in Kn�1 ma

pk non in Kn�1, si ha

�u� v

pk�3+ a

�u� v

pk�2+ b�u� v

pk�+ c

= (u3 + 3uv2k + au2 + av2k + bu+ c)� (3u2v + v3k + 2auv + bv)pk:

Se x = u+ vpk è una radice del polinomio, allora u3 + 3uv2k + au2 + av2k +

bu+ c = 0 e 3u2v+ v3k+ 2auv+ bv = 0. Quindi anche y = u� vpk è una radice

e questo implica che la terza radice del polinomio z = �x � y � a = �2u � aappartiene a Kn�1, in contraddizione con la minimalità di n.Applichiamo questo risultato alla duplicazione del cubo. L�equazione x3� 2 =

0 non ha radici razionali, quindi neppure in estensioni quadratiche del camporazionale. La duplicazione del cubo con riga e compasso è impossibile. Applichi-amo ora il risultato alla trisezione dell�angolo. Ricordando la formula cos(#) =4 cos3(#=3) � 3 cos(#=3), si deduce che se # è l�angolo da dividere in tre partiuguali e x = cos(#=3) l�incognita, si deve avere 4x3 � 3x = cos(#). In particolare,se # = �=3 si ha 8x3 � 6x = 1. Sostituendo ad x un numero razionale p=q siottiene 2p (4p2 � 3q2) = q3, ma questa uguaglianza con p e q primi tra loro è im-possibile. Quindi il polinomio 8x3� 6x� 1 = 0 non ha radici razionali, e neppurein estensioni quadratiche del campo razionale. È impossibile trisecare con riga ecompasso un angolo di sessanta gradi.

185

Consideriamo in�ne il problema della costruzione dei poligoni regolari. In-iziamo osservando che se è possibile costruire un poligono regolare con pq lati,allora congiungendo i vertici di indici 1, p, 2p,..., si ottiene un poligono regolarecon q lati. Viceversa, se sono costruibili i poligoni con p e q lati, p e q primi traloro, anche il poligono con pq lati è costruibile. Basta infatti costruire due poligonicon p e q lati inscritti nella stessa circonferenza e con un vertice in comune, con-giungendo un opportuno vertice del primo poligono con uno del secondo si ottieneil lato cercato. Infatti, wm = exp(2�im=p) e zn = exp(2�in=q) sono i vertici dipoligoni regolari con p e q lati inscritti nella circonferenza con centro nell�originee raggio uno. Si ha wm� zn = zn (wmz�n � 1) e wmz�n = exp (2�i(mq � np)=pq)e, se p e q sono primi tra loro, esistono m e n con mq � np = �1. Quindi datiexp(2�i=p) e exp(2�i=q) è possibile trovare exp (2�i=pq). In�ne, dato un poligonocon p lati, bisecando gli angoli al centro se ne costruisce uno con 2p lati. Con-cludendo, si possono costruire tutti i poligoni regolari con 2npq::: lati, se e solose i poligoni p, q,... sono costruibili. Le lunghezze dei lati dei poligoni rego-lari con 3, 4, 5, 6 lati iscritti in un cerchio di raggio uno sono rispettivamentep3,p2,q�5�

p5�=2, 1, questi poligoni sono costruibili con riga e compasso.

Per procedere in modo più sistematico, osserviamo che i punti z = exp (2�ik=n),k = 0; 1; 2; :::, sono le radici del polinomio zn � 1 = 0 e sono i vertici di unpoligono regolare con n lati inscritto nella circonferenza jzj = 1. Per individuarequesti vertici è su¢ ciente determinarne le ascisse (z + 1=z) =2 = cos (2�k=n), o leordinate.(z � 1=z) =2i = sin (2�k=n). Il polinomio zn � 1 si fattorizza in

zn � 1 = (z � 1)�zn�1 + zn�2 + :::+ z + 1

�:

In particolare, se n = 3 si ha

z2 + z + 1 = z ((z + 1=z) + 1) :

Quindi cos (2�=3) = (z + 1=z) =2 = �1=2. Se n = 5 si ha

z4 + z3 + z2 + z + 1 = z2�(z + 1=z)2 + (z + 1=z)� 1

�:

Quindi cos (2�=5) = (z + 1=z) =2 =�p5� 1

�=4. In�ne, se n = 7,

z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = z3�(z + 1=z)3 + (z + 1=z)2 � 2 (z + 1=z)� 1

�:

Quindi, se z 6= 1 è un vertice dell�eptagono, x = z+1=z è soluzione dell�equazionex3 + x2 � 2x � 1 = 0. Sostituendo ad x un numero razionale p=q si ottiene

186

p (p2 + pq � 2q2) = q3, un�uguaglianza impossibile. L�equazione non ha radicirazionali e quindi neanche radici in estensioni quadratiche iterate del camporazionale. Se z fosse costruibile, anche x = z + 1=z lo sarebbe, cosa che abbi-amo appena mostrato essere falsa. Quindi l�eptagono regolare non è costruibilecon riga e compasso. Per la costruzione è però su¢ ciente risolvere un�equazionedi terzo grado, o trisecare un angolo. Infatti dalle formule di Cardano o da quelledi Viète si ottiene

cos(2�=7) =1

12

�3p28�

3p1 + 3

p3i+

3p1� 3

p3i�� 2�

=6p21952

6cos

arctan

�3p3�

3

!� 16:

Veniamo ora all�origami. Anche per la geometria della carta piegata si possonointrodurre dei postulati:(O-1) Si può trovare la piega che congiunge due punti.(O-2) Si può trovarne il punto d�intersezione tra due pieghe.(O-3) Si può trovare la piega che porta un punto su un altro punto.(O-4) Si può trovare una piega che porta una retta su un�altra retta.(O-5) Si può trovare una piega che �ssa un punto e porta un altro punto su

una retta.(O-6) Si può trovare una piega che manda un punto su una retta ed un altro

punto su un�altra retta.Per illustrare il signi�cato algebrico di questi postulati, immaginiamo un foglio

molto grande che identi�chiamo con il piano cartesiano. Una piega produce unaretta e realizza una simmetria del piano rispetto a questa retta. I postulati (O-1)e (O-2) dell�origami sono i corrispondenti dei postulati (RC-1) e (RC-3) di riga ecompasso, si può tracciare la retta per due punti e trovare l�intersezione tra duerette. La piega in (O-3) realizza l�asse del segmento con i due punti per estremi.In (O-4) le possibili pieghe sono due e sono le bisettrici tra le due rette, ma c�èuna sola piega se le rette sono parallele. In (O-5), se un punto è �sso l�altro simuove su una circonferenza. È l�intersezione tra una retta ed una circonferenza.Quindi i primi cinque postulati dell�origami permettono di trovare le intersezionidi rette con rette e rette con cerchi. Siccome in geometria analitica l�intersezionetra due circonferenze si riduce all�intersezione tra una retta ed una circonferenza,i primi cinque postulati dell�origami risultano equivalenti ai cinque postulati diriga e compasso. Rimane in�ne da analizzare il sesto postulato, ma per far questodiamo un�altra interpretazione del quinto. Una piega che �ssa un punto P e

187

manda un altro punto F su una retta d è tangente ad una parabola con fuoco Fe direttrice d. Per un punto ci sono due tangenti ad una parabola e trovarle è unproblema di secondo grado. Una piega che manda un punto su una retta ed unaltro punto su un�altra retta è tangente a due parabole. Due parabole hanno, ingenerale, tre rette tangenti in comune e trovarle è un problema di terzo grado.Questo suggerisce che con il sesto postulato dell�origami si possono estrarre leradici cubiche. Dato un numero a, la parabola con fuoco (0; a) e direttrice y = �aha equazione y = x2=4a e quella con fuoco (1; 0) e direttrice x = �1 equazionex = y2=4. Queste parabole hanno una sola tangente comune y = �a�1=3x � a1=3

e la radice cubica 3pa si trova intersecando la tangente con gli assi. Con i primi

quattro postulati dell�origami si possono risolvere le equazioni di primo grado,anzi, bastano i primi tre se in partenza si hanno a disposizione tre punti nonallineati. Con i primi cinque postulati si possono risolvere le equazioni di secondogrado ed il sesto postulato permette di risolvere le equazioni di terzo grado edanche quelle di quarto. Infatti queste ultime si risolvono con estrazioni di radiciquadrate e cubiche. In particolare, con l�origami si possono duplicare cubi etrisecare angoli, ma ancora non si possono quadrare cerchi.

188

I postulati di riga e compasso.Con riga e compasso si possono trovare:

Una retta per due punti. Una circonferenza dati centro e raggio.

L�intersezione tra due rette. Le intersezioni tra una retta ed un cerchio.

Le intersezioni tra due circonferenze.

189

I postulati dell�origami.Con l�origami si possono trovare:

La piega che congiunge due punti. L�intersezione tra due pieghe.

La piega che porta un puntosu un altro punto.

La piega che porta una rettasu un�altra retta.

La piega che �ssa un puntoe porta un altro punto

su una retta.

La piega che manda un puntosu una retta ed un altro punto

su un�altra retta.

190

UNA DEFINIZIONE ASTRATTA DI �

Abbiamo de�nito � come il rapporto tra lunghezza della circonferenza e di-ametro di un cerchio, o il rapporto tra area e quadrato del raggio. Questade�nizione è solo apparentemente elementare, perché di fatto presuppone le nozionidi lunghezza e di area, che per quanto intuitive non sono banali. Poi, per il cal-colo di � abbiamo sistematicamente usato il calcolo di¤erenziale ed integrale. Inparticolare, se è una curva semplice che circonda un punto w e se f(z) è unafunzione olomorfa, si ha la formula di Cauchy

1

2�i

Z

f(z)

z � wdz = f(w):

Questo spiega perché � compare così spesso nel calcolo di integrali. Anzi, sipuò de�nire � come valore di certi integrali, per esempio,Z +1

�1

dx

1 + x2= �;

4

Z 1

0

p1� x2dx = �;Z b

a

dxp(x� a)(b� x)

= �;�Z +1

�1exp(�x2)dx

�2= �:

Abbiamo visto come per molti secoli si sia cercato di costruire � con rigae compasso o, più in generale, si sia cercato di esprimere questo numero comeradice di un polinomio a coe¢ cienti interi. Ma se con i polinomi non funziona,perchè non provare con altre funzioni? Landau nelle sue lezioni all�universitàdi Göttingen de�nisce �=2 come il primo zero positivo della funzione cos(x) =1 � x2=2 + x4=24 � ::: e con questo ed altri pretesti nel 1934 viene brutalmenteallontanato dall�insegnamento. Un suo collega tenta di giusti�care l�accaduto af-fermando che �Il suo stile non germanico di insegnamento e ricerca è diventato in-tollerabile per la sensibilità germanica... Si devono ri�utare insegnanti di un�altrarazza che lavorano per imporre idee estranee...�. Da Cambridge Hardy commentaamaramente: �Molti di noi, sia inglesi che tedeschi, durante la guerra hanno dettocose che a malapena volevamo dire che ora ricordano con rincrescimento. L�ansiaper la propria posizione, il timore di essere lasciati indietro il nascente torrente di

191

follia, la determinazione a tutti i costi di non essere da meno, possono essere dellescusanti naturali anche se non particolarmente eroiche. La reputazione del profes-sor Bieberbach esclude tali spiegazioni per le sue a¤ermazioni ed io sono portatoalla non caritatevole conclusione che lui le creda vere�. Casi simili a questo de-scritto si sono veri�cati in molti altri paesi, compreso il nostro. Ma torniamo a �.Anche se un po�astratta e niente a¤atto geometrica, la de�nizione di Landau èrigorosa e da questa seguono le principali proprietà di questo numero.Iniziamo col de�nire in modo astratto le funzioni trigonometriche e la funzione

esponenziale, la funzione più importante dell�analisi. Ecco più o meno come Eulerointroduce la formula del binomio di Newton e gli sviluppi in serie della funzioneesponenziale az e del logaritmo l(1+x) nella �Introduzione all�analisi dell�in�nito�.

�Le funzioni irrazionali si possono trasformare in serie per mezzo di questoteorema universale,

(P +Q)mn =

Pmn +

m

nP

m�nn Q+

m(m� n)

n � 2n Pm�2nn Q2 +

m(m� n)(m� 3n)n � 2n � 3n P

m�3nn Q3 + etc:

... Poiché a0 = 1... se ! è in�nitamente piccolo... a! = 1 + k!... ai! =(1 + k!)i qualunque sia i. Quindi

ai! = 1 +i

1k! +

i(i� 1)1 � 2 k2!2 +

i(i� 1)(i� 2)1 � 2 � 3 k3!3 + etc:

Ponendo i = z=!, se z è un numero �nito e ! un numero in�nitamentepiccolo, i diventa un numero in�nitamente grande...

az =

�1 +

kz

i

�i= 1 +

1

1kz +

1(i� 1)1 � 2i k2z2 +

1(i� 1)(i� 2)1 � 2i � 3i k3z3 + etc:

... Poiché i è in�nitamente grande, (i� 1) =i = 1, (i� 2) =i = 1,...

az = 1 +kz

1+k2z2

1 � 2 +k3z3

1 � 2 � 3 +k4z4

1 � 2 � 3 � 4 + etc: all�in�nito.

... Ponendo ai! = (1 + k!)i = 1 + x, si ha l(1 + x) = i!...

(1 + k!)i = 1 + x; ::: i! =i

k

�(1 + x)1=i � 1

�:

192

... Inoltre

(1 + x)1=i = 1 +1

ix� 1(i� 1)

i � 2i x2 +1(i� 1)(2i� 1)

i � 2i � 3i x3 � etc:

Se i è in�nito, (i� 1) =2i = 1=2, (2i� 1) =3i = 2=3,... conseguentemente

l(1 + x) =1

k

�x

1� xx

2+x3

3� x4

4+ etc:

�:

... Poiché si può scegliere arbitrariamente la base a dei logaritmi, si può farequesta scelta in modo da avere k = 1. Ponendo k = 1 nella serie sopra trovata,

a = 1 +1

1+

1

1 � 2 +1

1 � 2 � 3 +1

1 � 2 � 3 � 4 + etc:

= 2; 71828182845904523536028 etc:

I logaritmi in questa base si chiamano naturali o iperbolici, perché con essi èpossibile quadrare l�iperbole. Per brevità chiamiamo questo numero 2,718281828459etc. con la lettera e...�

In notazione odierna si sono dimostrate le formule

exp(z) = limn!+1

�1 +

z

n

�n=

+1Xn=0

zn

n!; log(1 + z) =

+1Xn=1

(�)n�1znn

:

Osserviamo che Eulero non è in possesso di una dimostrazione completamenterigorosa della formula del binomio di Newton per ogni esponente reale. Inoltre,ponendo a! = 1 + k! si assume implicitamente la di¤erenziabilità della funzioneesponenziale. Per evitare questi problemi, può essere conveniente partire diretta-mente dallo sviluppo in serie per de�nire l�esponenziale e ricavare dallo sviluppoin serie le altre proprietà di questa funzione.

TEOREMA: De�niamo

exp(z) =+1Xn=0

zn

n!;

cos(z) =exp(iz) + exp(�iz)

2=

+1Xn=0

(�)nz2n(2n)!

;

sin(z) =exp(iz)� exp(�iz)

2i=

+1Xn=0

(�)nz2n+1(2n+ 1)!

193

1) Queste serie convergono per ogni numero complesso e veri�cano le equazionidi¤erenziali

d

dzexp(z) = exp(z);

d

dzsin(z) = cos(z);

d

dzcos(z) = � sin(z):

2) Le funzioni esponenziali e trigonometriche veri�cano le equazioni funzionali

exp(z + w) = exp(z) � exp(w);cos(z + w) = cos(z) � cos(w)� sin(z) � sin(w);sin(z + w) = sin(z) � cos(w) + cos(z) � sin(w);

cos2(z) + sin2(z) = 1:

3) Esiste un numero positivo � tale che exp(z+2�i) = exp(z) e exp(z+ iy) 6=exp(z) se 0 < y < 2�.4) La funzione esponenziale ristretta all�asse reale è positiva e crescente, con

limx!�1 exp(x) = 0+ e limx!+1 exp(x) = +1. Inoltre, applica l�asse immagi-nario sulla circonferenza jwj = 1, cioè jexp(iy)j = 1 se y è reale. In�ne, per ogniw 6= 0 esistono in�niti z tali che w = exp(z).

Dimostrazione: 1) jzn+1=(n+ 1)!j = jzn=n!j = jzj =(n+ 1)! 0 e per il crite-rio del rapporto la serie esponenziale converge per ogni z. Derivando termine atermine si veri�ca che (d=dz) exp(z) = exp(z) e analogamente si veri�cano le altrerelazioni.2) Per dimostrare la formula di addizione dell�esponenziale basta moltiplicare

due serie,

+1Xn=0

(z + w)n

n!=

+1Xn=0

1

n!

nXk=0

n!

k!(n� k)!zkwn�k

!=

+1Xn=0

zn

n!

! +1Xn=0

wn

n!

!:

Per dimostrare le formule di addizione del seno e coseno basta osservare che

cos(z + w) + i sin(z + w) = exp(i(z + w))= exp(iz) exp(iw) = (cos(z) + i sin(z)) (cos(w) + i sin(w))

= (cos(z) cos(w)� sin(z) sin(w)) + i (sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w)) :

Inoltre,

194

cos2(z) + sin2(z) =

�exp(iz) + exp(�iz)

2

�2+

�exp(iz)� exp(�iz)

2i

�2= 1:

Le formule di addizione sono anche conseguenza immediata della formula di

Taylor f(z + w) =

+1Xn=0

f (n)(z)wn=n!. La relazione cos2(z) + sin2(z) = 1 si può

veri�care osservando che cos2(z) + sin2(z) vale 1 nell�origine ed ha derivata nulla.Di fatto si può dimostrare che le equazioni funzionali per l�esponenziale e dellefunzioni trigonometriche caratterizzano quasi completamente queste funzioni. Peresempio, derivando '(x+y) = '(x)'(y) rispetto a y si ottiene

�'(x+y) = '(x)

�'(y)

e ponendo y = 0 si ricava�'(x) =

�'(0)'(x). Quindi, per il teorema di unicità per

soluzioni di un�equazione di¤erenziale, '(x) = C exp��'(0)x

�e dalla relazione

'(0 + 0) = '(0)'(0) si deduce che C = 0 o C = 1. In de�nitiva, '(x) = 0 oppure

'(x) = ax, con a = exp��'(0)

�. Di fatto l�ipotesi di derivabilità di '(x) può

essere sostituita dalla misurabilità, ma esistono soluzioni non misurabili.3) Si ha cos(1) > 1�1=2! = 1=2 e cos(2) < 1�22=2!+24=4! = �1=3, quindi la

funzione coseno ha uno zero tra 1 e 2. Denotiamo con �=2 il primo zero positivodel coseno, cos(�=2) = 0. Siccome la funzione seno cresce se il coseno è positivo esiccome cos2(y)+ sin2(y) = 1, nell�intervallo 0 � y � �=2 la funzione sin(y) cresceda 0 a 1, mentre cos(y) decresce da 1 a 0. Inoltre, per le formule di addizione,

cos(y) = sin(y + �=2) = � cos(y + �) = cos(y + 2�);sin(y) = � cos(y + �=2) = � sin(y + �) = sin(y + 2�):

In particolare, le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2� e lafunzione esponenziale è periodica di periodo 2�i,

exp(z + 2�i) = exp(z) exp(2�i) = exp(z) (cos(2�) + i sin(2�)) = exp(z):

Una dimostrazione complessa della periodicità della funzione esponenziale è

la seguente. Se F (z) = z�1 exp

�Z z

1

w�1dw

�, allora dF (z)=dz = 0, quindi F (z)

è costante. D�altra parteZ

w�1dw = 2�i se la curva compie un giro intorno

all�origine. Quindi exp(z) è periodica con periodo 2�i.

195

4) Se x > 0 allora exp(x) > 0, inoltre exp(x) > xn=n! ! +1 se x ! +1.Dalla relazione exp(x) exp(�x) = 1 si ricava che anche exp(�x) > 0 e exp(�x)!0+ se x ! +1. Da (d=dx) exp(x) = exp(x) > 0 si deduce in�ne che sull�assereale la funzione esponenziale è monotona crescente. Se y è reale, exp(iy) =cos(y) + i sin(y) è un numero complesso di modulo uno e, per la continuità dellefunzioni seno e coseno, ogni numero complesso di modulo uno si può ottenerein questo modo. Per concludere, se w è un numero complesso non nullo, peropportuni x e y si ha

pa2 + b2 = exp(x);

apa2 + b2

= cos(y);bp

a2 + b2= sin(y):

x è unicamente determinato e y è determinato a meno di multipli di 2�. Quindi,

w = a+ ib =pa2 + b2

�ap

a2 + b2+ i

bpa2 + b2

�= exp(x) (cos(y) + i sin(y)) = exp(x) exp(iy) = exp(x+ iy): �

Dopo aver introdotto in modo astratto i numeri e e � e le funzioni esponenzialie trigonometriche, riproponiamo un rompicapo proposto da Clausen nel 1827:

e1+2�i = e =) (e1+2�i)2�i= e2�i =) e2�i�4�

2= e2�i =) e�4�

2= 1:

La soluzione sta in una precisa de�nizione di �� se � e � sono numeri complessi.

TEOREMA: De�niamo

log(1� z) = �+1Xn=1

zn

n:

Questa serie converge per jzj � 1, z 6= 1, inoltre si ha (d=dz) log(z) = 1=z elog (exp(z)) = exp (log(z)) = z.

Dimostrazione: Per il criterio del rapporto la serie+1Xn=1

zn=n converge per

ogni jzj < 1 e si può mostrare che converge anche se jzj = 1 e z 6= 1. Derivandola serie del logaritmo si ottiene la serie geometrica,

196

d

dz(log(1� z)) =

d

dz

�+1Xn=1

zn

n

!= �

+1Xn=1

zn�1 =�11� z

:

Per dimostrare che log (exp(z)) = exp (log(z)) = z basta poi osservare che

log (exp(0)) = 0;d

dz(log (exp(z))) =

exp(z)

exp(z)= 1:

Quindi y = log (exp(z)) è soluzione dell�equazione di¤erenziale dy=dz = 1 cony(0) = 0. �TEOREMA: Se de�niamo (1 + z)� = exp (� log(1 + z)), si ha (1 + z)1 =

1 + z e (1 + z)� (1 + z)� = (1 + z)�+�. Inoltre,

(1 + x)� = 1 +�

1x+

�(�� 1)1 � 2 x2 +

�(�� 1)(�� 2)1 � 2 � 3 x3 + ::::

Dimostrazione: Le formule (1 + z)1 = 1+ z e (1+ z)� (1 + z)� = (1 + z)�+�

sono conseguenza della formula di inversione exp(log(w)) = w e di addizioneexp(�w) exp(�w) = exp((� + �)w). Per dimostrare lo sviluppo in serie bastaosservare che sia la serie 1+�x+�(��1)x2=2+::: che la funzione exp (� log(1 + z))soddisfano l�equazione di¤erenziale(

(1 + z)dw

dz= �w;

w(0) = 1: �Torniamo ora ad occuparci della quadratura del cerchio.

TEOREMA: La lunghezza della circonferenza fx2 + y2 = R2g è 2�R e l�areadel cerchio fx2 + y2 � R2g è �R2.

Dimostrazione: Parametrizziamo la circonferenza fx2 + y2 = R2g ponendo�x = R cos(#);y = R sin(#);

0 � # < 2�:

L�elemento in�nitesimale di lunghezza èpdx2 + dy2 = Rd#, quindi la lunghezza

dell�arco con estremi (R; 0) e (R cos(#); R sin(#)) è R# e la lunghezza dell�interacirconferenza fx2 + y2 = R2g è

197

Zfx2+y2=R2g

pdx2 + dy2 =

Z 2�

0

Rd# = 2�R:

L�area del cerchio fx2 + y2 � R2g è

Z Zfx2+y2�R2g

dxdy = 4

Z R

0

pR2 � x2dx = 4R2

Z �=2

0

sin2(#)d# = �R2: �

In particolare le funzioni trigonometriche sopra de�nite coincidono con quelleintrodotte in geometria e la de�nizione astratta di � coincide con quella classica.Per �nire, seguendo le dimostrazioni di Hilbert ed altri, mostriamo che i numeridi Archimede e di Nepero sono trascendenti.

TEOREMA: Il numero e è trascendente.

Dimostrazione: Se P (x) è un polinomio, integrando per parti si haZ x

0

P (t) exp(x� t)dt = exp(x)+1Xj=0

P (j)(0)�+1Xj=0

P (j)(x):

Se e è radice di un polinomio a coe¢ cienti interi c0+ c1e+ c2e2+ :::+ cnen = 0con c0 6= 0, allora

nXk=0

ck

Z k

0

P (t) exp(k � t)dt = �nXk=0

+1Xj=0

ckP(j)(k):

Prendiamo un numero primo p maggiore di c0 e di n e poniamo

P (x) = xp�1(x� 1)p(x� 2)p:::(x� n)p:

Se 0 � x � n si ha jP (x)j � (n!)p, dunque�����nXk=0

ck

Z k

0

P (t) exp(k � t)dt

����� � (n!)pnXk=0

�ek � 1

�jckj :

198

Ora valutiamonXk=0

+1Xj=0

ckP(j)(k). Si ha P (0) = ::: = P (p�2)(0) = 0 e P (p�1)(0) =

(�)np(n!)p(p� 1)!, le altre derivate da P (p)(0) in poi sono divisibili per p!. Simil-mente si mostra che tutti gli altri P (j)(k), k = 1; 2; :::; n, sono divisibili per p!. In

conclusionenXk=0

+1Xj=0

ckP(j)(k) è un intero divisibile per (p � 1)! ma non per per p.

Quindi

(p�1)! ������nXk=0

+1Xj=0

ckP(j)(k)

����� =�����nXk=0

ck

Z k

0

P (x) exp(t� k)dx

����� � (n!)pnXk=0

�ek � 1

�jckj :

Per concludere la dimostrazione basta osservare che (p� 1)! cresce più rapida-mente di (n!)p se p! +1. �

La dimostrazione della trascendenza di � è un poco più complicata ed utilizza leproprietà dei polinomi simmetrici, cioè invarianti per permutazioni delle variabiliP (x1; x2; :::; xn) = P

�x�(1); x�(2); :::; x�(n)

�. Ricordiamo che i polinomi simmetrici

elementari nelle variabili x1, x2,..., xn sono de�niti dalle relazioni

(x� x1) (x� x2) ::: (x� xn)

= xn � X1�i�n

xi

!xn�1 +

X1�i<j�n

xixj

!xn�2 �

X1�i<j<k�n

xixjxk

!xn�3 + :::

Newton ha mostrato che ogni polinomio simmetrico nelle variabili (x1; x2; :::; xn)è anche un polinomio in questi polinomi simmetrici elementari e se il polinomiodi partenza ha coe¢ cienti interi anche la decomposizione in polinomi elementariè a coe¢ cienti interi. Per semplicità di scrittura dimostriamo questo risultatocon le tre variabili (x; y; z). Ordiniamo gli esponenti dei monomi x�y�z in modolessicogra�co, (�; �; ) > (�; "; �) se � > �, o se � = � ma � > ", o se � = � e� = " ma > �. Dato un polinomio simmetrico P (x; y; z) con monomio di indicemaggiore cx�y�z , poniamo

Q(x; y; z) = c (x+ y + z)��� (xy + yz + zx)�� (xyz) :

Anche Q(x; y; z) contiene il monomio cx�y�z e P (x; y; z)�Q(x; y; z) è ancoraun polinomio simmetrico, ma l�indice maggiore in P (x; y; z)�Q(x; y; z) è minore

199

dell�indice maggiore in P (x; y; z). Iterando si eliminano tutti i monomi e ad uncerto punto si arriva a zero. In particolare, se x1, x2,..., xn sono le radici diaxn + bxn�1 + cxn�2 + dxn�3 + ::: = 0, si ha

X1�i�n

axi = b,X

1�i<j�naxiaxj = ac,....

Quindi un polinomio a coe¢ cienti interi e simmetrico in ax1, ax2,..., axn è ancheun polinomio a coe¢ cienti interi in a, b, c, d,.... Se a, b, c, d,... sono interi, ancheil polinomio a coe¢ cienti interi e simmetrico nelle variabili ax1, ax2,..., axn ha unvalore intero.

TEOREMA: Il numero � è trascendente.

Dimostrazione: Poiché i numeri algebrici formano un campo, se x è algebrico,anche ix lo è. Questo si può anche veri�care direttamente come segue:

axn + bxn�1 + cxn�2 + dxn�3 + ::: = 0;(a(ix)n � c(ix)n�2 + :::) + i (b(ix)n�1 � d(ix)n�3 + :::) = 0;

(a(ix)n � c(ix)n�2 + :::)2+ (b(ix)n�1 � d(ix)n�3 + :::)

2= 0:

La terza uguaglianza deriva dalla seconda perché U2+V 2 = (U� iV )(U+ iV ).In particolare, se � è algebrico anche i� lo è. Supponiamo i� sia una delle radicix1, x2,..., xn di un polinomio irriducibile di grado n a coe¢ cienti interi, axn +bxn�1 + :::+ cx+ d = 0. Per la formula di Eulero ei� + 1 = 0, quindi

(ex1 + 1) (ex2 + 1) ::: (exn + 1) = ey1 + ey2 + :::+ ey2n = 0;

con yk = "k;1x1 + "k;2x2 + ::: + "k;nxn e "k;j = 0; 1. Assumendo y1 6= 0, y2 6= 0,...,ym 6= 0, e ym+1 = ym+2 = y2n = 0, si ha

ey1 + ey2 + :::+ ey2n = ey1 + ey2 + :::+ eym + 2n �m = 0:

Un polinomio a coe¢ cienti interi e simmetrico nelle variabili ay1,..., aym sipuò estendere ad un polinomio a coe¢ cienti interi simmetrico in ay1,..., ay2n, cheè anche un polinomio a coe¢ cienti interi simmetrico in ax1,..., axn, quindi è unintero. Se P (x) è un polinomio, integrando per parti si ha

I(x) =

Z x

0

P (t) exp(x� t)dt = exp(x)+1Xj=0

P (j)(0)�+1Xj=0

P (j)(x):

In questa formula poniamo

200

P (x) = xp�1(ax� ay1)p(ax� ay2)

p:::(ax� aym)p;

con p primo. Allora

J = I(y1) + I(y2) + :::+ I(ym)

=mXk=1

eyk+1Xj=0

P (j)(0)�mXk=1

+1Xj=0

P (j)(yk) = (m� 2n)+1Xj=0

P (j)(0)�+1Xj=0

mXk=1

P (j)(yk):

Le quantitàmXk=1

P (j)(yk) sono polinomi a coe¢ cienti interi simmetrici in ay1,...,

aym, sono quindi interi divisibili per p! perché P (j)(yk) 6= 0 solo se il fattore(ax � ayk)

p è derivato p volte. Similmente, anche i P (j)(0) sono interi divisibiliper p! se j 6= p � 1, mentre P (p�1)(0) = (�)mp(ay1ay2:::aym)p(p � 1)! è divisibileper (p � 1)! ma non per p se questo primo è abbastanza grande. Quindi J è unintero divisibile per (p � 1)! ma non per per p, jJ j � (p � 1)!. Osserviamo in�neche per ogni x complesso,

jI(x)j =����Z x

0

P (t) exp(x� t)dt

���� � jxj ejxj maxjtj�jxjjP (t)j � C (a; x1; :::; xn; x)

p :

Si può scegliere la costante C (a; x1; :::; xn; x) dipendente da a, x1,..., xn, x, manon da p. Concludendo, esiste C tale che per ogni p,

(p� 1)! � jJ j � jI(y1)j+ jI(y2)j+ :::+ jI(ym)j � Cp:

Ma, se p! +1, questa disuguaglianza è assurda. �

201

CONCLUSIONE

In un interessante saggio del 1974 lo scrittore Achille Campanile ha analizzatoin dettaglio le relazioni tra gli asparagi e l�immortalità dell�anima, giungendo allasorprendente conclusione che probabilmente di relazioni non ce ne sono. Noi, alcontrario, speriamo di aver dimostrato ad abundantiam l�esistenza di molteplicirelazioni tra i numeri � ed e e diversi capitoli della matematica. Siamo comunqueconvinti che queste relazioni siano molto di più di quelle a cui abbiamo accennatoe certamente abbiamo dimenticato qualcosa di importante.

202

Il frontespizio dell�opera di Gregorio di San Vincenzo

203

Le tavole astronomiche e dei logaritmi di Keplero204