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UN MODELLO MECCANICO TRIDIMENSIONALE PER LO STUDIO DI TRAVI CURVE

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  • Associazione Italiana per lAnalisi delle Sollecitazioni (AIAS) XXXV Convegno Nazionale 13-16 Settembre 2006, Universit Politecnica delle Marche

    * Corresponding author: Tel.: +39-071-2204552; Fax.: +39-071-22054576; E-mail: [email protected]

    UN MODELLO MECCANICO TRIDIMENSIONALE PER LO STUDIO DI TRAVI CURVE

    S. Lenci a*, F. Clementi a

    a DACS, Universit Politecnica delle Marche, via Brecce Bianche, I-60131 Ancona, Italia.

    Sommario Si considera un modello di trave elastica, isotropa e non omogenea con sezione trasversale generica, inizialmente curva in un piano. Il campo di spostamenti descritto da quattro funzioni dipendenti dalla sola ascissa angolare che descrive la posizione delle varie sezioni. Tali funzioni rappresentano lo spostamento radiale, tangenziale e fuori del piano dellasse della trave, legati allallungamento e alla flessione, e lingobbamento della sezione, dovuto alla torsione. I primi tre sono in accordo con la teoria di Eulero-Bernoulli per cui la sezione rimane piana, mentre nellultimo caso viene considerata anche la torsione non uniforme. Vengono determinati i parametri elasto-geometrici che sintetizzano le propriet della trave, e le equazioni di equilibrio sono ottenute mediante il principio di stazionariet dellenergia potenziale totale. La teoria generale viene illustrata con un esempio relativo alla sezione rettangolare, per il quale disponibile lespressione in forma chiusa della funzione di ingobbamento e che consente di evidenziare leffetto della curvatura sulla posizione del centro di torsione.

    Abstract A model for describing the mechanical behaviour of an initially planar, isotropic and non-homogeneous curved beam is developed. The kinematical field is described by four one dimensional unknown functions representing radial, tangential and out-of-plane displacements of the beam axis, which are due to flexures and extension, and the twist of the cross-section, due to torsion. The flexural and axial displacements fit with the classical Euler-Bernoulli beam theory of straight beams. The non-uniform torsion problem is considered, too. The relevant elasto-geometric parameters have been determined, and the system of governing equilibrium equations is obtained by means of the principle of minimum potential energy. Finally, the general theory is illustrated with the example of the rectangular cross section, for which the closed form expression of the warping function is determined analytically. This permits to highlights the effects of the initial curvature on the shear center position.

    Parole chiave: Trave curva, centro di torsione, funzione di ingobbamento, torsione non uniforme.

    1. INTRODUZIONE

    Lanalisi del comportamento di travi curve rappresenta da sempre un tema di grande importanza. Tale argomento risulta di interesse trasversale in vari campi dellingegneria, della fisica e della matematica applicata. Lo studio delle travi curve occupa un ampio spazio allinterno dei pi importanti libri di meccanica strutturale [1] e nei classici libri di meccanica teorica [2, 3] e applicata [4]. In aggiunta ai tipici esempi di archi, molle, scale a chiocciola, ecc., ci sono recenti applicazioni dove lelevata resistenza raggiunta dai materiali ha stimolato luso di geometrie curve. Inoltre, questa tendenza sempre pi accentuata poich le travi curve non-omogenee costituiscono importanti componenti in molte strutture moderne. Si pu menzionare nel campo dellingegneria meccanica lelevato uso di travi curve laminate, per le quali risulta necessaria unaccurata modellazione matematica; oppure nel campo dellingegneria civile lenorme diffusione di ponti bi-trave in curva.

    Essendo il tema un classico sono presenti, sia nella letteratura recente che in quella remota, molti

  • XXXV CONVEGNO NAZIONALE AIAS ANCONA, 13-16 SETTEMBRE 2006

    lavori che descrivono con diversi gradi di approssimazione il comportamento delle travi curve. Si menzioner, vista limpossibilit di citarli tutti, una non esaustiva selezione di essi, limitando lelenco ai lavori che trattano il comportamento statico.

    Il caso di pure torsion fu studiato da Mitchell [5], il quale ricav le equazioni che governavano il problema in termini di spostamenti, e da Southwell [6] il quale fece uso di una funzione delle tensioni. Anche Fubini [7], Tricomi [8] e altri diedero importanti contributi alla soluzione del problema. Mentrasti [9] affront il problema dello shear-torsion per una trave con forte curvatura e con una sezione multiconnessa, tramite la funzione di ingobbamento e mediante un potenziale delle tensioni.

    Recentemente il problema della flessione uniforme, che in passato venne studiato da molti autori (es. [5, 10]), stato riconsiderato. Cook [11] si occup di una sezione scatolare a parete sottile, mentre Ecsedi & Dluhi [12] hanno presentato un modello meccanico mono-dimensionale per una trave con sezione trasversale simmetrica. Mentrasti [13] ha proposto una soluzione esatta del problema tridimensionale per la flessione uniforme nel piano della trave.

    I precedenti lavori si riferiscono al comportamento lineare, e sebbene ciascun autore si sia preoccupato di un singolo aspetto, mediante il principio di sovrapposizione degli effetti si possono combinare i vari casi ed ottenere risultati pi generali. Sono stati poi sviluppati modelli per lanalisi del comportamento non lineare di travi curve. Zulli et al. [14] hanno proposto un modello geometricamente esatto, mediante la teoria dei direttori, con lo scopo di studiare travi la cui curvatura iniziale vista come un difetto. Modelli non-lineari sono stati usati per lo studio della stabilit dellequilibrio elastico [15]. In particolare, il problema dellinstabilit di travi curve in parete sottile stato studiato approfonditamente da molti autori sotto varie ipotesi e con differenti sezioni trasversali. Yang & Kuo, ad esempio, [16, 17] hanno ricavato le equazioni differenziali dellequilibrio in regime di grandi spostamenti per una trave curva in parete sottile e hanno determinato la soglia di instabilit sotto lazione di vari carichi.

    Lobiettivo del presente lavoro quello di proporre un modello mono-dimensionale per lanalisi del comportamento statico di travi curve non-omogenee. La trave, modellata nel campo dellelasticit lineare, isotropa, con sezione trasversale costante e inizialmente piana. Questa scelta consente di evidenziare i fenomeni meccanici dovuti alla curvatura iniziale, trascurando la doppia e non costante curvatura iniziale, per le quali non difficile immaginare una estensione del presente modello. Estensioni sono pure facilmente immaginabili, e verranno certamente perseguite in futuro, al caso di materiali anisotropi e al caso non lineare.

    Il modello basato su un approccio tridimensionale, nel quale il campo di spostamenti parzialmente assegnato secondo opportune ipotesi sulla meccanica della struttura. Vengono prese in considerazione simultaneamente le flessioni nel piano e fuori del piano della trave, lestensione assiale e la torsione cinematica, permettendo cos di studiare il loro accoppiamento, fatto che rappresenta uno degli obiettivi del presente lavoro, e che in letteratura non sembra essere stato sufficientemente enfatizzato, specialmente per ci che riguarda la questione legata dipendenza della posizione del centro di torsione dalla curvatura iniziale.

    Gli spostamenti estensionali e flessionali sono stati scelti in accordo con la teoria di Eulero-Bernoulli, mentre quelli dovuti alla torsione prendono spunto dal corrispondente caso rettilineo. Gli effetti della curvatura sono stati considerati sia nella funzione di ingobbamento che nella teoria della torsione non uniforme, che necessaria per descrivere lingobbamento impedito al contorno. Lo studio sistematico della torsione non uniforme della trave curva il secondo obiettivo di questo lavoro.

    Le equazioni che reggono il problema sono state ottenute mediante il principio di minima energia potenziale totale. Lapproccio tridimensionale stato preferito allapproccio ai direttori [3], perch permette di dare espressioni coerenti per gli sforzi normali e tangenziali nella sezione trasversale, e perch fornisce una chiara espressione dei parametri elasto-geometrici che intervengono nel problema. Per di pi, permette di introdurre in maniera precisa il centro di torsione, che alla base dellaccoppiamento tra le varie sollecitazioni e che nel presente lavoro scelto come il punto che massimizza il disaccoppiamento tra la flessione e la torsione.

    Gli effetti della curvatura sulla posizione del centro di torsione sono illustrati con riferimento alla sezione rettangolare, per la quale disponibile la soluzione analitica del problema. Ci si riferisce ad un unico esempio per mancanza di spazio, ma in [18] vengono riportati altri casi significativi per le applicazioni.

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    2. CONFIGURAZIONE DI RIFERIMENTO

    Si consideri una trave curva piana con curvatura costante. Essa generata dalla rotazione di una figura piana attorno allasse z rispetto ad un sistema di coordinate cilindriche (O;R,z,) (Fig. 1). Lorigine O il centro di curvatura della trave, e il dominio = limitato e chiamato sezione trasversale. La trave curva occupa la regione V =VV, dove V={(R,z,) | (R,z), 0

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    caso di sola torsione uniforme di una trave curva omogenea [18]. Essa si determina risolvendo il problema:

    2

    2

    z

    f

    + 2

    2

    Rf

    +R1

    Rf

    2Rf

    =R0 20

    Rzz

    , in ,

    n

    f

    =

    RR0 [(zz0)nR(RR0)nz]+

    Rf

    nR, in , (3)

    dove n=[nR,nz]T la normale uscente da . La funzione f non pi definita a meno di una costante, come avviene nel caso rettilineo. Questo il principale effetto della curvatura, unito al fatto che loperatore differenziale non pi il laplaciano.

    Nelle espressioni (2) le quantit b() e RGh() rappresentano gli spostamenti dellasse della trave nelle direzioni radiali e tangenziali, rispettivamente, mentre RGa() rappresenta lo spostamento dello stesso asse nella direzione z, cio fuori dal piano trave. Come detto, questi termini si ottengono supponendo che tutte le deformazioni siano nulle eccetto lelongazione normale alla sezione, in accordo con la classica teoria della trave rettilinea di Eulero-Bernoulli, che qui viene estesa al caso curvo. E da notare come Yang & Kuo [16], nellanalisi della trave curva con sezione ad I, hanno assunto nulle le sole deformazioni sulla linea media della sezione trasversale. Inoltre, le (2) estendono [12] in quanto prendendo in considerazione anche lo spostamento fuori dal piano della trave.

    Il contributo della torsione alle espressioni (2) non deriva da assunzioni sulle deformazioni, bens da assunzioni fatte direttamente sugli spostamenti: la generica sezione subisce una rotazione nel piano e un ingobbamento al di fuori del suo piano. E importante ribadire che si sta considerando una torsione cinematica, perch si supposta una rotazione rigida della sezione trasversale intorno ad un determinato punto chiamato centro di torsione. La torsione cinematica non si associa unicamente ad un momento torcente M, come avviene nella torsione di travi rettilinee, ma anche a momenti flettenti, come conseguenza dellaccoppiamento creato dalla curvatura naturale della trave.

    Il problema (3) non ben definito, poich le coordinate (R0,z0) del centro di torsione restano ancora incognite. Queste si determineranno attraverso le condizioni

    dR

    RREf G )(=0,

    dR

    Efz=0, (4)

    che sono scelte in modo da massimizzare il disaccoppiamento tra torsione e flessione (vedi paragrafo 3.1). E importante ribadire che nella (4) E non in generale costante, cosicch la posizione di CT, come quella del baricentro, dipende dalla non-omogeneit del materiale, contrariamente alla funzione di ingobbamento, che invece si suppone esserne indipendente, come mostrato dalle (3). E facile verificare che in presenza di sezione simmetrica rispetto al piano z=0, la prima equazione in (4) automaticamente soddisfatta poich f in questo caso anti-simmetrica rispetto a z, ossia f(R,z)= f(R,z), e quindi z0=0. Altre propriet della funzione di ingobbamento sono riportate in [18].

    3.1. Forze interne

    Attraverso la legge di Hooke si ottiene =E, R=GR e z=Gz. Le forze interne sono quindi:

    N=

    d = (a+a)A3+(b+b)A2+

    + '

    '' hRb

    G

    A1+GRR0

    '' A6(A3z0A2)

    Mz=

    dRR G )( = (a+a)RGA3+(b+b)A5+(RGA3+z0A5)

    MR=

    dz =(a+a)A4+(b+b)A3(A4z0A3)

    (5)

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    M=

    dzzRR Rz ])()[( 00 =A7

    Nelle precedenti espressioni le relazioni (1) e (4) sono state usate per semplificare alcuni termini. In particolare le (4) sono state scelte in modo da massimizzare il disaccoppiamento tra le flessioni e la torsione, che si riduce al solo termine proporzionale a nelle espressioni di Mz e di MR. In (5) le propriet elasto-geometriche della trave sono riassunte dai parametri Ai, le cui espressioni sono riportate nellappendice di [18]. I tagli sono forze interne reattive e si determinano mediante le equazioni di equilibrio.

    Nel caso di sezione simmetrica rispetto al piano z=0 si ha che A3=A6=z0=0, cosicch le (5) diventano:

    N=(b+b)A2+(b/RG+h)A1, Mz=(b+b)A5, MR= (a+a+)A4, M=A7, (6)

    e il problema si semplifica notevolmente. Si noti come anche in questo caso sia necessario avere un momento flettente MR affinch la trave subisca esclusivamente una torsione geometrica, cio una sola rotazione attorno al proprio asse.

    Ricavando dalla precedente espressione (5)4 facile ottenere le tensioni tangenziali dovute alla torsione (quelle dovute al taglio sono di natura reattiva e quindi si determinano a valle con le equazioni di equilibrio)

    R=7A

    GM {R

    zz 0 +0

    1R R

    f

    RRf0

    }, z=7A

    GM {R

    RR 0 +0

    1R z

    f }. (7)

    Al problema della torsione associato anche una tensione normale

    =E RRf0

    ER

    zz 0 . (8)

    Contrariamente alle tensioni tangenziali (7), non sar direttamente riconducibile ad una forza interna (pu essere collegata al cosiddetto bi-momento, ma si preferisce non seguire questa strada), e sar calcolato a posteriori quando la funzione () sar stata determinata.

    3.1. Equazioni di equilibrio

    Le equazioni di equilibrio vengono ottenute attraverso il principio di minima energia potenziale totale J. Dal campo di spostamenti si ricavano le deformazioni da inserire in J=E L, dove

    E=21 ++V

    zR dVGGE )( 222 ,

    L= ++V

    zzRR dVupupup )( +

    ++V

    zzRR dAuququq )( . (9)

    Attraverso le normali procedure del calcolo delle variazioni si ottengono le quattro equazioni che governano lequilibrio della trave:

    [(a+a)A4]+(a+a)A4[(b+b)A3](b+b)A3+[(A4z0A3)]+(A4z0A3)=ta(ta), (10)

    [(b+b)A5/RG]+(b+b)A2+(b/RG+h)A1[(a+a)A3](a+a)A3+ +(A8/R0)[(A3z0A2+A1/RG)](A3z0A2)=tb(tb), (11)

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    [(bRGh)A1][(b+b)A1](A6)/R0(z0A1)=th (12)

    (A9)/ 20R (A10)+A8z0/R0+(A8)(z0/R0)+(A42z0A3+ 20z A2)+(a+a)(A4z0A3)+ +(bA8)/R0(b+b)(A3z0A2)+(hA6)/R0+(b/RG+h)z0A1=t(t).

    (13)

    dove le espressioni di Ai, ta, ta, tb, tb, th, t, t sono riportate nellappendice di [18]. Si pu notare che, come atteso, gli spostamenti nel piano (b() e h()) e fuori dal piano (a() e

    ()) si disaccoppiano nel caso di sezione simmetrica rispetto al piano z=0, poich essendo in tal caso z0=A3=A6=A8=0 le (10)-(13) diventano, con lulteriore semplificazione consistente nellassumere moduli elastici indipendenti da ,

    (a+a+)+(a+a+)=[ta(ta)]/A4=:ma, (14)

    p2+p3(a+a+)=[t(t)]/A10=:m, (15)

    b+2b+b+p1(RGh+b)=[tb(tb)]RG/A5=:mb, (16)

    RGhb=th/A1=:mh, (17)

    dove

    p1=(A1/A5), p2=A9/( 20R A10), p3=(A4/A10), (18)

    e le condizioni al contorno non vengono riportate per motivi di spazio [18]. E importante notare come le equazioni (16)-(17) siano governate solo dal parametro p1, il quale

    misura laccoppiamento tra la flessione nel piano e lestensione assiale. Le equazioni (14)-(15), invece, sono governate da due parametri: p2, che misura linfluenza relativa tra la torsione uniforme e non uniforme, e p3, che descrive laccoppiamento tra la torsione e le flessioni.

    Lespressione (5)4 del momento torcente deve essere aggiornata per tener conto degli effetti della torsione non uniforme. Essa diviene

    =A10(p2), (19)

    dove il primo termine dovuto alla torsione uniforme e il secondo alla torsione non uniforme.

    4. ESEMPIO

    Per motivi spazio si considera solo lesempio della sezione rettangolare omogenea illustrata in Fig. 2, per la quale disponibile la soluzione analitica. Altri esempi sono riportati in [18].

    I parametri elasto-geometrici coinvolti dalla flessione e dallestensione sono facilmente calcolabili. Il primo parametro che compare in (18) dato da

    p1=1

    1ln2

    +

    bRbR

    bR

    G

    GG. (20)

    Molto pi difficoltosi da determinare sono i parametri coinvolti nella torsione [8, 19]. La funzione di ingobbamento per una sezione rettangolare data da

    f(R,z)=R0{

    RRR

    z 0 +R0

    =

    +

    121 2

    ,12

    ,12

    sin2

    sinj

    jj RhjKcR

    hjIcz

    hjj pipipipi }, (21)

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    dove I(n,x) e K(n,x) sono le funzioni di Bessel modificate di ordine n. Lespressione (21) soddisfa lequazione alle derivate parziali (3)1 e le condizioni al contorno (3)2 (f/z)=(R0R)(R0/R) in z=h. Le costanti c1j e c2j possono essere calcolate richiedendo che le altre condizioni al contorno siano soddisfatte:

    Rf

    =

    RR0 z+

    Rf

    , R=RGb. (22)

    Si perviene cos ad un sistema algebrico lineare 22 [18] che pu essere risolto separatamente per ogni valore di j. Le costanti c1j e c2j dipenderanno solo dai rapporti adimensionali b/RG e b/h, ma non da R0.

    Figura 2: Sezione rettangolare.

    Una volta calcolate le costanti c1j e c2j , la soluzione nota a meno della coordinata del centro di torsione R0, che pu essere ricavata facendo uso della (4)2. Questa equazione stata risolta e il rapporto (R0/RG) riportato in Fig. 3 in funzione di b/RG e per vari valori dellaltro parametro principale b/h. E interessante notare come il rapporto pu assumere valori pi grandi e pi piccoli di uno, ovvero che il centro di torsione pu posizionarsi pi vicino o pi lontano del baricentro dal centro di curvature della trave. Pi precisamente, per b/h1.25 e al crescere di b/RG il centro di torsione inizialmente si avvicina ad O fino a raggiungere una distanza minima dipendente da b/h, poi se ne allontana indefinitamente. Esiste un determinato valore per cui R0=RG, cio baricentro e centro di torsione coincidono.

    Come ci si aspettava, il centro di torsione coincide con il baricentro quando RG, mentre per bRG, cio per travi molto curve, tende sempre allinfinito, bench per ragioni grafiche questo aspetto non evidente in Fig. 3 per grandi valori di b/h.

    0

    2

    10

    R0

    b/RG

    RG

    b/h=0.11

    1.25

    2

    10

    Figura 3: Posizione del centro di torsione (R0/RG) in funzione di b/RG al variare di b/h.

    Una volta determinata la posizione del centro di torsione, la funzione di ingobbamento definitivamente nota. Conoscendo la f(R,z) possibile calcolare le rimanenti grandezze elasto-geometriche A7=A10 (essendo la sezione omogenea) e A9. Per illustrare landamento di questi parametri si considerano i numeri =R0A7/(GJt) e =R0A9/(EJ), dove Jt=(2b)(2h)[min{2b,2h}]2/3 e

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    J=(2b)3(2h)3/144 sono rispettivamente il momento dinerzia torsionale e il modulo di rigidezza della torsione non uniforme di una trave rettangolare rettilinea in parete sottile. I coefficienti adimensionali e sono riportati in Fig. 4.

    a) 0

    3

    10

    b/RG

    b/h=0.1

    1

    10

    b) 0

    3

    10

    b/RG

    b/h=0.1

    1

    10

    Figura 4: I coefficienti a) e b) in funzione di b/RG al variare di b/h.

    Si pu notare in Fig. 4 che e condividono le stesse propriet qualitative. Per una sezione quadrata sono funzioni crescenti di b/RG, ed evidenziano come la curvatura iniziale aumenta la rigidezza della trave rispetto al caso rettilineo. Questo incremento moderato per curvature medie, ma diventa molto elevato per grandi curvature. Per sezioni in parete sottile il piano di curvatura iniziale molto importante. Infatti, mentre e tendono ad 1 quando la trave tende a divenire rettilinea (b/RG0), in accordo con la loro definizione, il loro andamento per curvature crescenti differente: quando il lato lungo parallelo (perpendicolare) al piano di simmetria, cio quando b/h=10 (b/h=0.1), la trave curva meno (pi) rigida rispetto alla corrispondente trave retta. La differenza principale che mentre il decremento di per b/h=10 quantitativamente modesto anche per travi fortemente curve, il decremento di pi marcato.

    I parametri p2=(E/G)(/)[max{b,h}]2/(12R02) e p3 valutano laccoppiamento tra la torsione uniforme e non uniforme e tra i momenti flettenti e la torsione, rispettivamente. Essi sono riportati in Fig. 5 e 6, rispettivamente.

    a) 0

    0.08

    10

    Gp

    b/RG

    E2

    b/h=10

    1

    b) 0

    3.2

    10

    Gp

    b/RG

    E2

    b/h=0.1

    Figura 5: Il parametro (G/E)p2 in funzione di b/RG al variare di b/h.

    Dalla Fig. 5 si vede come la torsione non uniforme diventa importante probabilmente dominante per sezioni in parete sottile molto curve che hanno il lato maggiore normale al piano della trave (b/h=0.1), mentre negli altri casi diventa importante solo vicino al bordo, dove in presenza di ingobbamento impedito governo lo strato limite che permette il soddisfacimento delle condizioni al contorno.

    In Fig. 6 viene evidenziato per p3 un comportamento molto differente tra le due classi di sezioni discusse in precedenza. Tuttavia, le differenze tra Fig. 6a e 6b possono essere facilmente comprese notando che nel caso della Fig. 6b la rigidezza flessionale fuori dal piano molto grande, mentre la

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    rigidezza torsionale ha sempre lo stesso ordine di grandezza. In ogni caso, interessante osservare che la curvatura tende a ridurre laccoppiamento tra flessione e torsione.

    a) 0

    0.6

    10 b/RG

    p3 b/h=10

    1

    b)0

    30

    10 b/RG

    p3 b/h=0.1

    Figura 6: Il parametro p3 in funzione di b/RG al variare di b/h.

    Le ultime quantit che devono essere calcolate sono le tensioni tangenziali (7). Il loro andamento qualitativo illustrato con lesempio di Fig. 7. In questa figura la tensione massima z(RGb,0), ed raggiunta nel punto pi vicino al centro di curvatura. Tale massimo illustrato mediante il rapporto adimensionale =(2b)(2h)min{2b,2h}z(RGb,0)/3M, che riportato in Fig. 8 e che dimostra chiaramente come la curvatura iniziale incrementa il massimo valore della tensione. Vale la pena notare che per b/h=10, e per piccoli valori di b/RG, z(RGb,0) non rappresenta pi la massima tensione, che invece si ha in un punto dei lati z=h (in R=RG quando RG). Questo spiega perch la curva in Fig. 8 non tende a 1 per b/RG0. In questo intervallo le differenze sono piccole da un punto di vista ingegneristico, e per questo non verr disegnata la effettiva tensione massima.

    a) b) c) Figura 7: Tensioni tangenziali r/Mt e z/Mt per RG=1 e a) b=0.5, h=0.5, b) b=0.5, h=0.2 e c) b=0.2, h=0.5. Le tensioni in a)

    sono amplificate di un fattore 10 per ragioni grafiche.

    0

    6

    10

    b/RG

    b/h=0.1

    1

    10

    Figura 8: Il coefficiente in funzione di b/RG al variare di b/h.

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    5. CONCLUSIONI

    E stato studiato il comportamento statico di travi piane aventi curvatura iniziale costante. Mediante opportune ipotesi sul campo di spostamenti, stato proposto un modello capace di descrivere le due flessioni, lestensione assiale e la torsione, e capace di descrive in maniera adeguata il loro accoppiamento, che il fenomeno meccanico principale per questa famiglia di travi.

    Sono state ottenute le equazioni di equilibrio che reggono il problema. Queste sono molto complicate, e si semplificano notevolmente in presenza di simmetrie geometriche e materiali della sezione. Si mostrato come in questo ultimo caso ci sono solo tre parametri che misurano laccoppiamento tra le varie sollecitazioni.

    E stato scelto un approccio tridimensionale cos da poter determinare in maniera coerente landamento delle tensioni allinterno della sezioni e in modo da poter studiare linfluenza della curvatura iniziale sul centro di torsione. Questa non stata adeguatamente evidenziata in letteratura, e non pu essere determinata con un approccio ai direttori. Daltronde, non pu neanche venir trascurata, perch, come mostrato con un esempio, lo spostamento del centro di torsione pu anche essere marcato, e questo induce effetti di accoppiamento che in generale non possono essere ignorati.

    E stato anche studiato il problema della torsione non uniforme di travi curve, necessario per soddisfare le condizioni al contorno in caso di ingobbamento impedito al bordo, e particolarmente importante per le sezioni in parete sottile.

    Tutti i risultati teorici sono stati illustrati con riferimento allesempio della sezione rettangolare, per il quale disponibile la soluzione in forma chiusa. Altri esempi sono riportati in [18].

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