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L’ECONOMIA E LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE

(RICAVO E PROFITTO)

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LA FUNZIONE DEL RICAVO Chiamiamo RICAVO TOTALE il prodotto della quantità venduta per il prezzo unitario divendita.

RICAVO TOTALE

MERCATO LIBERO: In un mercato libero nessun produttore o consumatore può influenzare il prezzo. Esso è stabilito dal mercato, ossia dall’incontro tra domanda e offerta. p = prezzo di equilibrio tra domanda e offerta Il prezzo è dunque un valore fisso. R(q) = p q

MERCATO DI MONOPOLIO: In un mercato di monopolio il singolo produttore che detiene il monopolio può fissare il prezzo a sua discrezione, tenendo conto del fatto che un aumento di prezzo comporterà una diminuzione della domanda e una diminuzione di prezzo comporterà un aumento della domanda. p = funzione di vendita = funzione inversa della domanda Il prezzo è variabile, in quanto funzione della quantità domandata R(q) = p(q) q

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Esempio: Ricavo in regime di concorrenza perfetta Se la domanda di un certo bene è data dalla funzione : d(p) = 5000 – 2p e la sua offerta è data dalla funzione h(p) = 2p – 20, il prezzo di equilibrio si avrà quando l domanda è uguale all’offerta. In tal caso: 5000 – 2p = 2p – 20 - 4p = -5000 – 20 4p = 5020 p = 5020/4 = 1255 Il ricavo pertanto sarà R(q) = p q = 1255q Ricavo in regime di monopolio Se un monopolista decide che il prezzo di vendita della sua merce è p = 1000 – 25 q, allora il ricavo sarà dato da R(q) = (1000 – 25q) q = 1000q – 25 q2

Quest’ultima funzione è una parabola con concavità rivolta verso il basso. Il massimo ricavo si ha pertanto nel vertice con q = 20.

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RICAVO MEDIO E MARGINALE Allo stesso modo di come si è visto per i costi, anche nel caso del ricavo è possibile calcolare il ricavo medio, ossia il ricavo unitario.

Rm = !(!)!

rapporto tra la funzione ricavo e la quantità di merce venduta

Nel caso di mercato libero, il ricavo medio coinciderà con il prezzo unitario, nel caso di monopolio, coinciderà invece con la funzione di vendita o funzione del prezzo. Esempio:

R(q) = 450 q allora Rm = !(!)!= !"#!

!= 450

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Il ricavo marginale indica invece l’incremento di ricavo per la vendita di una unità infinitesimale, si determina pertanto con la derivata della funzione ricavo.

Rma = R’ Nel caso discreto e nel caso di funzioni non derivabili, si parla di ricavo marginale unitario, ossia la variazione di ricavo con un incremento di 1 unità in più venduta.

Rma = R(q + 1) – R(q)

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LA FUNZIONE DEL PROFITTO

Qualunque azienda produce beniperché vuole ricavarne profitto dallalorovendita.L’obiettivo principale di un’impresaè sempre stabilire quale quantità dibene è opportuno produrre perraggiungere il massimo profitto,minimizzandoicosti.

Anche inquestocasoverrannoanalizzatideimodellimatematicichebenrappresentano lasituazionereale,pursesemplificati.Ilprofittodiun’azienda,semplificandolecose,dipendedallaquantitàdimercevenduta,dalprezzoapplicatoedaicostisostenutiperlaproduzione.

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Si definisce PROFITTO o UTILE di un’impresa, e lo indicheremo con la lettera U, la differenza tra il ricavo totale e il costo totale.

U(q) = R(q) – C(q) Esempio: Supponiamo che un’impresa per fabbricare ombrelli sostenga costi fissi mensili di € 2000 e costi variabili pari a € 1,20 per ogni ombrello prodotto. Supponiamo poi che la sua capacità produttiva sia di 2500 ombrelli alla settimana e che riesca a vendere sul mercato l’intera produzione al prezzo unitario di € 6. Quale guadagno avrà l’impresa? Costo totale: C(q) = Cv + CF = 1,20q + 2000 Ricavo totale: R(q) = 6q Utile: U(q) = R(q) – C(q) = 6q – 1,20q – 2000 = 4,80q – 2000 Rappresentiamo su due diagrammi cartesiano la retta dell’utile e poi le rette di costi e ricavi e analizziamoli.

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La retta interseca l’asse x nel punto q = 416. Per 0 ≤ 𝑞 ≤ 416 il profitto è negativo, per cui l’impresa sarà in perdita. Per 416 ≤ 𝑞 ≤ 2500 il profitto è positivo, per cui l’impresa avrà un utile. In corrispondenza di q = 2500 (produzione massima consentita dai vincoli tecnici) si avrà il massimo utile.

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E’ possibile analizzare la stessa situazione e pervenire ai medesimi risultati anche mediante un diagramma che confronti la retta dei costi e quella dei ricavi. Un simile diagramma prende il nome di diagramma di redditività.

Quando i costi supero i ricavi si ha una zona di perdita, quando invece i ricavi superano i costi si ha una zona di utile. Il punto di incontro tra costi e ricavi, ossia il punto in cui l’impresa passa da una zona di perdita ad una di utile, viene detto break – even point o punto di equilibrio tra costi e ricavi.

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RICERCA DEL MASSIMO PROFITTO Nel caso dell’esempio precedente in cui costi, ricavi e profitti sono tutti rappresentati da rette, il massimo profitto si avrà necessariamente in corrispondenza della massima produzione consentita. In alcuni casi, però, i costi o il ricavo possono essere rappresentati da modelli parabolici, pertanto il massimo profitto si determinerà con i metodi dell’analisi matematica. Esempio: Supponiamo che un’azienda sostenga costi di produzione espressi dalla seguente relazione C(q) = q2 – 106q +3190, dove q è la quantità prodotta e venduta. Se il prezzo di vendita sul mercato è p = 20, in corrispondenza di quale quantità prodotta si avrà il massimo utile? Costo totale: C(q) = q2 – 106q +3190 Ricavo totale: R(q) = 20q Utile: U(q) = R(q) – C(q) = 20q - q2 + 106q – 3190 = - q2 + 126q – 3190 Troviamo innanzitutto i valori di q per cui i costi uguagliano i ricavi, ossia i punti di equilibrio (break - even point)

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C(q) = R(q) q2 – 106q +3190 = 20q quindi q2 – 126q +3190 = 0 che ha soluzione per q = 35 e q = 91. Break – even point: q = 35 e q = 91 quando C(q) = R(q) Se C(q) > R(q) allora q2 – 106q +3190 > 20q ossia q2 – 126q +3190 > 0 Tale disequazione è verificata per q < 35 v q > 91 , pertanto in corrispondenza di questi valori si avrà un perdita, mentre per valori interni si avrà un utile. Ricapitolando: C(q) = R(q) con q = 35 e q = 91 break – even point C(q) > R(q) con q < 35 v q > 91 zona di perdita C(q) < R(q) con 35 < q < 91 zona di utile

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Il massimo profitto si cerca determinando la derivata della funzione dell’utile: U’ = – 2q + 126 Ponendo la derivata uguale a zero si determinano i punti stazionari: U’ = 0 – 2q + 126 = 0 quindi q = 63 Si studia infine la positività: U’ > 0 – 2q + 126 > 0 per q < 63 Per q = 63 si ha il massimo utile. Il valore del massimo utile è: U(q) = - q2 + 126q – 3190 = = - (63)2 + 126(63) – 3190 = 779

63

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Esercizi: Una torrefazione vende caffè a €3,50 il kg. Il caffè, allo stato originale, ha un costo di €2,90 il kg, cui vanno aggiunte spese fisse giornaliere di €180. Tenendo conto che la quantità massima che si può tostare è di 500 kg al giorno, determina: - la funzione del costo e la funzione ricavo; - il break – even point - i limiti entro cui si avrà un utile e quelli per cui l’impresa sarà in perdita; - la quantità giornaliera da produrre per consentire alla torrefazione di ottenere il massimo utile e l’ammontare di tale utile. Una segheria può lavorare fino a 500 quinatli di truciolato di legname in una settimana, sostenendo spese fisse pari a € 750 settimanali e spese quantificabili in € 5 per ogni quinatle lavorato. Il prezzo di vendita è così stabilito: € 40 al quintale diminuito, in euro, del 10% del numero dei quintali prodotti e pronti per la vendita. Determina: - la funzione costo e la funzione ricavo; - il punto di equilibrio tra costi e ricavi; - i limiti entro cui si avrà un utile e quelli per cui l’impresa sarà in perdita; - la quantità di legname che deve essere prodotta per consentire alla segheria di ottenere il massimo utile e l’ammontare di tale utile.

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Bibliografia: • Re Fraschini, Grazzi, Spezia, Matematica per l’economia, ATLAS, 2007 • Bergamini, Trifone, Barozzi, Matematica.rosso, Zanichelli, 2013 • Prof. Pasca Di Magliano, Lezioni di Economia Politica, 2015 • Prof. Luigi Bosco, Il Mercato di Concorrenza perfetta, Lezioni di Microeconomia,

Università degli Studi di Siena • Il Mercato, ITC Calamandrei:

http://www.itccalamandrei.it/attachments/145_domanda-e-offerta.pdf