NU0VA SERIE APRILE 1942-XX ASNO XIX - N. 4

LE S T A T I S T I O H E INTERMEDIE E LE PROPRIET)k DELL'ELIO LIQUIDO

Nora di GmVASNI GEN~rILE (j.) (l)

Sun to . - - Dopo alcune premesse sull'importanza della teorla del gas ideale degenere, si espongono i c~'iteri con cui si possono generaliz2are le sta- tistiche quantistiche di A. EINSTEIN e di E. FERmi; cio~, come si possa istituire la teoria delle cosidette statistiche intermedie, quelle statistiche dunque, in cui il massimo numero d'occupa~ione d d'una vella hello spazlo deUe fasi non ~ pi~ 1 (statistiea di FF_~I-DmAe), oppure ~ (statistica di BOSZ-EI~STEIN), ms un numero intero positivo qualunque. Passando poi a considerate le straordina'rie propriet~ presentate dall'elio liquido II , si ~ostra come si possa dare una teoria termodinamica coerente della degenerazione del gas di EINSTEIN, considerando questo gas come ubbi- dente a una statistica intermedia, in cui il parametro d ~ lo stesso numero tota]e N delle particel~e del gas. Il risultato, fisicamente molto importante, che ~a fase liquida superfluida sia limitata a uno strato sottilissimo, d~ degli argomenti per chiarire alcuni fenomeni, veramente straordinari, come /'effetto fontana. Inoltre il carattere semiclassico della nostra teoria meccanico-statistica permette di calcolare alcune proprier caratteristiche de~l'elio liquldo II, come la viscosit~ e la conduttivit~ calorifica.

1. L ' i m p o r t a n z a ehe ha sempre avuto 10 s tudio del comporta-

mento della ma te r i a alle var ie t e m p e r a t u r e ~ c osa bea n o t a ; poich~

t u t t i sanno che il << quan to d 'az ione >> in t rodot to , in via d ' ipotes i , ne l la t e rmod inamica del campo di rad iaz ione luminoso, ha d imost ra to la

sua pifl generale va l id i t~ a t t r ave r s 0 lo s tudio del c ompor tamen to dei solidi a basse t empera tu re . Con la conseguenza c h e s e , con PLANCK, si poteva pa r l a re di quan t i d~. luce, poi, con EINSTEIN e DEBYE, si

pot~ pa r l a r e anche di <~ q u a n t i di suono >>, 0 << quan,ti di onde ela- st iche >>.

At t r ave r so la v ia maes t ra della t e rmodinamica , dunque , ~ pene- t r a to ne l la fisica il eoncetto fondamen ta l e d ' u n a e lementare diseon-

(i) GIOVANNI G~NTILE junior, pr0fessore ordinario di Fisica teorica presso la R. Universit~t di Milano, mancato ai vivi il 30 marzo 1942-XX. :La presente Nota fu inviata dalPAutore, e le bozze corrette dalla Redazione.

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110 G. GElqWI:LE

tinuit~ nel comportamento dinamico, o sarebbe meglio dire addirit- tura, nelle proprieth cinematiche della m ateria. Se fosse stato altri- menti, non sarebbe concepibile la ferrea necessit& con cui i fisici si sono dovuti piegare davanti a questa nuova concezione : troppo gran- diosi i fenomeni, che si presentano a noi in queste considerazioni, pereh~ si possa prescinflere dalla loro s01uzione.

Si potrebbe dire di pifi: lo stesso concetto di BOHR di una succes- sione discontinua di stati quantici, caratteristica di ogni sistema fi- sico, 8 un concetto the, a guardare bene, si affaccia dapprima nella termodinamica. Senza di e.sso infatt i ~ incomprensibile quel feno- meno generalissimo che va sotto il n ome di << congelamento >> dei gradi di libert~ di un sistema. Per esempio, studiando la legge di DU- LONG e PETIT, perch~ una molecola monoatomica ha solo tre gradi di libertY, una biatomica ne ha cinque, etc? La m eccanica insegna

3,0

2,5

2,0

7,5

0,5 ~

o 50 75 1oo 125 15o T~

05%/~ V

31,1~_

1~5 200 225 250

Pig. 1 - Calori specifiei e v dell'idrogeno (paraidrogeno e ortoidrogeno in varie percentuali).

invece ehe ad ogni punto di maNNa va:nno attribuiti tre gradi di li- bert~ e quindi la molecola di idrogeno, in quanto ~ costituita da due ~ nuclei e da due elettroni, dovrebbe avere dodici ~radi di libertY. L 'un ica spiegazione convincente ~ quella che d~ la teoria dei quant i : la differenza t ra lo stato fondamentale e il primo stato eccitato di questi elettroni ~ tanto grand.e che, per effetto dell 'agitazione termica soltanto, essa, a temperatura ordinaria, non pub essere supexata. Lo stesso dicasi del grado di libert~ d'ascillazione dei due nuclei tra di loro: il primo quanto di oscillazione eomincerebbe a essere eccitato solo a una temperatura di un migliaio di gradi.

LE 8TATISTIgHE INTERMEDIE E L~/:/e LIQUIDO 111

Essendo quindi condizionato dalla t empera tu ra il contributo che ogni grado di libert~ por ta a l l 'energia interna U, e quindi al calore specifico c~ - - che ~ la der ivata di U rispetto a T - - ne concludiamo che questa grandezza ~ una funzione deerescente con la t empera tu ra

e the tende ad annullarsi allo zero assoluto - - in cui, per cosi dire, tu t t i i gradi di l ibert~ sono congelati.

2. I n ques t 'u l t ima asserzione ~ contenuto uno degli enunciati del terzo principio della termodinamica, o principio di NEI~ST.

Ora non c'~ in fisica una teoria pifi semplice e cristallina della

teoria del gas perfetto, o gas ideale: le molecole, pensate sciolte da ogni vicendevole influenza, vengono schematizzate come dei punt i di massa liberi di muoversi in un volume chiuso.

N~, perch~ cosl semplice, questa teoria ~ meno importante, poi- ch~ ~ r isaputo ehe le propr ie th di un gas reale si approssimano asin- tot ieamente a quella d ' u n gas ideale quando la densit~ tende a zero. Ebbene anche questa teoria si ~ t rova ta nella necessit~ di fare i conti con il principio di N~NST. E poich~, per mezzo del teorema gene- rale del viriale di CLAUSlVS, discende dalle leggi di BOYLE e GAY- LUSSAC, eompendiate nell 'equazione di s ta to:

p V ~-- R T ,

che il calore specifico c~ del gas perfe t to ~ una costante indipen- dente dalla temperatura , dobbiamo concludere ehe anohe le leggi dei gas per fe t t i devono essere modificate se si vuol soddisfare al prlnci-

p]o di NERNST. (l~icordiamo a questo proposito che esiste sul l 'argo- mento un interessante gruppo di lavori del prof. POLVANI che ha stu- diato ]e propriet~ termodinamiche d ' u n gas perfetto).

Necessariamente dunque per il prineipio di NERNST devono pre- sentarsi delle deviazioni dal comportamneto classico dei gas per- fe t t i : deviazioni che non hanno nulla a c h e fare con le deviazioni

ordinarie dei gas reali dalla ledge: p V - - R T e dovute alle forze di VAN DER WAALS. I fenomeni che presenta a]le basse tempera ture un gas perfet to, che soddisfi al Drincipio di NERNST, vanno, percib sott~) il home speeifico di (< fenomeni di degenerazione >>.

D ' a l t r a par te anche la realth sperimentale ei pone dinanzi a que- sto problema: come spiegare infat t i che quel gas perfetto, che co- stituiscono i cosidetti eletireni liberi d ' u n metallo, deve por tare un eontributo nullo al calore specif i~ del solido? (seeondo la teoria classica ci dovremmo aspet tare un aumento del 50 ~/o circa). Si t r a t t a

112 G. GEbYrILE

qui evidentemente d ' u n gas degenere, che obbedisce al principio di NERNST.

3. Ci si pub rendere subito conto che nel caso di un gas ideale non basra pifi il quanteggiamento delle orbite alla BOHR per dedurre il principio di NERNST. Difa t t i quantizzando il moto d ' u n corpu- scolo di massa m, eostretto a muoversi per es. in un cubo di lato l, si t rova ehe l ' energia d ' uno stato quantico generico del sistema data dalla fo rmula :

h 2 (1) E . ,~n8 - - ~ (n, ' § n , ~ § n3~),

dove h b la costante di PLANCK, nl, he, na sono numeri interi positivi. Qui la min ima differenza di energia f ra due stati ~:

h ~ 1 10 - ' ~ 8m" ~r 11 '

e tende a .zero quando 1 ha delle dimensioni maeroscopiche. Colui che p r ima risolse il problema della degenerazione del gas

perfe t to fu ALBERTO EINSTEIN e precisamente nel l 'anno 1924-25. Egli comprese che era da modificare la legge di MAXWELL e BOLTZMANN, che, come ~ n o t o d~ la distribuzione statist ica delle veloei~s delle molecole d ' un gas intorno al valor medio. Natura lmente bisognava tenersi fermi a l l ' in terpretazione di BOLTZ~ANN del seeondo principio della termodinamica : lo stato di maggiore entropia ~ lo stato di mas- sima probabilitY. 0 pifi precisamente: uno stato macroscopico del nostro sistema ~ definito dal valore globale di alcuni parametr i , come l ' energia totale E, la pressione p, etc. D ' a l t r a par te anehe se stabi- l iamo p. es. ehe vi sono N, particelle d ' energ ia E , , r imane un ' inde- terminazione nel fat to ehe vi sono pifi staff quantiei d ' energ ia E, - - come si vede dalla formula (1) - - e che sostanzialmente differiseono per la direzione del vet tore velecith. Quindi si offrono molti modi, tu t t i d 'eguale pl~obabilit~ a priori, di realizzare una configurazione macroscopi,ca del nostro gas. Se si chiama probabilit~t termodinamica questo numero di modi, allora si Dub con BOLTZMANN de.finire come ent ropia del sistema il logari tmo della probabilitY.

Dunque questo era .il pun to : t rovare una nuova ledge statistica, diversa dalla classica, che desse la probabilit& termodinamiea d ' u n generico stato del gas. Pe r conseguire un tale seopo EINSTEIN segui un metodo, ehe era stato escogitato dal fisico indiano BOSE ~)er de- durre la legge di PI~NCK sulla base d ' u n a raDpresentazione foto- nica del campo di radiazione. Ad incoraggiare EINSTEIN a seguire

LE STA*rISq)ICHE INTER MF~DIE E L~He LIQUIDO 113

una tale via forse contribul il suecesso the gli aveva arriso una de- cina d ' ann i p r ima quan do aveva appljcato la formula di PLA~CK per spiegare l ' andamento dei catori specifici d ' u n solido. Nel l 'anno successivo, nel 1926, E. FERMI dava una teoria diversa del gas dege-

nere; in eui egli si ispirava al principio di esClusione che oropr io allora era stato seoperto da PAULI per Eli elettroni, in base alia di- scussione delle proprietor del sistema periodico degli elementi di M~N- DEI~V. Che cosa hanno di comune e c h e cosa di diverso le due teorie di EINSTEIN e di FERMI?

EINSTEIN, seguendo BosE, ammette che uno stat0 del sistema delle N moleeole del sup gas sia per fe t tamente definite quando siano dati il numero delle molecole che stanno nel pr imo stato quantico, il numero di quelle ehe oeeupano il secondo state e cosl via. Lo stesso fa F~R~I: per ambedue quindi non ha impor tanza the la mcleeola u stia nel pr imo stato e la moleeola b nel seeondo, o vieeversa, ma semplicemente ha importanza che tanto il pr imo quar to il secondo stato siano occupati da una sola particella. (Per BOLTZMANN mvece bisognerebbe dist inguere il pr imo dal seeondo easo).

Tut to ci5 si pub in terpre tare dieendo ehe due mole.cole del nostro gas non sono t ra loro distinguibili in aleun modo. La meeeaniea quantistica, come ha dimostrato DIRAC (che con FERMI divide iI merito di aver fondato la statistica che por ta il loro Rome), afferma la n.eccssith di una tale eonclusione. Questo ~ dunque comune a u n a qualunque statistica quantistiea.

Dove invece FERMI si discosta da EINSTEIN ~ the EINSTEIN am- metre con BOSE che in uno stato quantico vi possa stare un numero quatsiasi anehe infinite di part ieel le; mentre FERMI, tenendosi aI principio di esclusione di PAOLI, ammette che, al pifi. in uno stato quantico si possa t rovare u n a e d una sola particel]a.

4. Ma, in via puramente teori.ca, non si potrebbe pensare che si possano dare statistiche in eui il n.umero massimo di occupazione di uno stato quantieo sia un numero qualunque intero e positivo d ? I n part icolare se d ---- 1 si avrebbe la statistiea di FERMI, se d - - oo la statist ica di EINSTEIN; per d qualunque si avrebbero le statisti- che intermedie f ra EINSTEIN e FERMI. Questa fu la domanda che mi fu r ivolta un giorno dal prof. POLVANI. Natura lmente si Dub rispon- dere di si: per quanto << aprior i >> non si sappia quale senso oos~a avere studiare queste statistiche, dato che le uniche realizzate in na tura sembrano essere quelle di FERMI e di EINSTEIN. Ma prat ica- mente la teoria delle statistiehe intermedie presenta serie difficolth,

1 1 4 G. G ~ , ~ Z

perch~ non riesce agevole dedur re delle fo rmule asintotiche sem- ptici n u m e r a n d o d i re t t amente i diversi _modi possibili di realizzare una de te rmina ta eonfigurazione.

I n una mia nota recente, pubbl ica ta nel << Nuovo Cimento >>, ho most ra to invece che il p roblema diventa senz 'a l t ro risolubile ~uan- do si segua il metodo dato da BOSE nel suo lavoro del 1924. Ecco come si p roeede : poich~, quanclo ' si eonsider ino gli stati quant ic i d ' u n a stessa energia E, , che supponiamo in numero di Q,, ha im- po r t anza solo sapere quant i di essi non siano occupati , quan~i in- vece siano occupat i da una part icetla, quant i da due, etc., in t rodu- ciamo espl ici tamente come variabil i questi p a r a m e t r i : po ~ numero degli stati non oecupat i ; Pl ' numero di quelli occupat i da una par t icel la etc., sino a p s numero degti stati occupat i da d par t i - celle. Na tu ra lmen te deve essere:

r - - d

(2) ~ p~s = O,, T = 0

e i l numero complessivo di oart icelle sugli stati s sar~ dato d a : r ~ - d

(3) N~ = ~ rp~'. ~'=-0

0 r a ~ evidente the il numero dei modi di distr ibuire, in que- ste ipotesi, le N, part icelle t ra gli s tat i s 8:'

Q~t (3') W~ -- P~ s ! ... P~' ! con (3") ~ N~ = N

e che quindi la probabi l i th t e rmodinamica re la t iva ad uno stato macroscopico di energia t_otale: (4) E =-- E N~E~

8

data dal p rodot to : W - - W~ ... W .... F r a tu t te queste possibili con- figurazioni r isul ta effet t ivamente realiz.zata quella di massima en- tropia, per cui dunque ~ massimo il logar i tmo di W. De te rminando questo massimo in modo the val~ono semlore le (2), (3) e (4) si ,*rova la fo rmula fondamenta le d ' u n a stat ist ica in termedia di oa r ame t ro d :

(5) N . = O , . f - ~ = Q, e ~ + ~ - 1 - (d + 1) e(d+lj(~ , ~ _ 1 '

che contiene come casi par t icolar i le formule fondamenta l i :

t x 2. 1 f Q" l d i e ~ - - I e~[~+~) - - 1 - - e ~ + ~ § 1 ' FERMI ( d - - l ) : N,--Q~ (5')

i o. e di EINSTEIN (d --- c~) : N, - - e~+~ _ 1"

LE STATISTIC~-IE INTERM:EDIE E L~He LIQUIDO 115

Inoltre si vede subito ehe la (5) si t rasforma nd la legge elassiea di MXXW~LL-BoLTZ~ANN per un valore sufficientemente grande della costante a - - caso questo ehe corrisponde percib ad alte temperature.

G i u ~ i a questo risultato, si pub procedere senz'altro a calcolare le formule fondamentali del nostro gas perfetto. In tanto la costante ~, ehe per d finito pub prendere tut t i i valori ira - - ~ e + c ~ pub essere determinata in fase alla condizione (trascrizione del- la (3")) :

N t 2rcmkT~/2 (6 ) V - - h ~ F ( a , ,

(8) dove

dove F(a ) ~ la funzione trascendente:

e~+x - - 1 - - (d + 1) e(a+l)(~+~ ) _ 1 dx, 0

e dove x - - E / k T . Allo stesso modo si pub ealcolare l 'energia in- terna

- - 3 G ( a ) U = N . E = ~ k . T . N . F ( - - ~,

3 as G(~) = Ug-~ f x I f(x)dx 0

~ legata alla F (e ) dalla rela~ione:

d o(~z) = - - Pip:) ;

e quindi la pressione p, the per il teorema del viriale di CnAvsIvs risulta :

2 U

Queste sono le formule fondamentali del nostro gas. L ' impor- tante ~ che per qualunque d l ' integrale F (a ) assume altre espres- sioni in serie completamente diverse per ~ > 0, o per g < 0. Nel primo easo che..come abbiamo osservato, corrisponde ad alte tem- perature, F (a ) ~ (ponendo A ~ e a) :

_P~--~m 1__ 1 V p:ao 1 I 1 (9) F(,~ ) Pal' ~ - -p~t (d -+- 1}'/, pal, AP(a+tl ' p = l =

e analoga espressione vale per G(a). Cosl l 'equazione di stato di- venta :

[ 1 N h ' d N h ' / V ] (9') p V = N k T 1 - - 2s/2 V (2u---mkT)~ +" "'" + (d § 1)~/, {2r:mkT)~/~ d . . . . .

Nel secondo caso, corrispondente a bassissime temperature:

(10) F(a) = a3/,. d , 1 + ~ d § 1 + "'" con a - - - - ~ ;

per cui l'equa~ione di stato assume la forma:

(10') P = 20 m ~); + ....

Questa funzione P(a) , che stabilisce una corrispondenza biuni- voca t ra la temperatura T e d a, determina essa sola il comporta- mento del gas perfetto, costringendolo entro leggi diversissime a seeonda del eampo di temperatura eonsiderato.

Quanto all 'entropia essa risulta zero per T----0 e per alte tem- perature assume la forma classica di SACKUR-TETRODE. Naturalmente i calori specifici vanno a zero con T. Possiamo concludere intanto che <( non ~ vero che le statistiche di F~RMI e di EINSTEIN siano le sole che soddisfino le pxpprieth termodinamiehe realmente accertate del gas perfetto >). I1 nostro gas intermedio d 'a l t ra parte se per alte temperature presenta un comportamento che si avvicina a quello del gas di EINSTEIN, per basse temperature presenta un eomporta- mento del tutto analogo al gas di FERMI (1).

5. - - Per quanto possano essere importanti queste conclusioni, non si pus negare che tutto questo pub sembrare anche eIegante, d ' u n interesse perb solo teorico. Ma passiamo a considerare la dege- nerazione del gas di EINSTEIN. Qui, poich~ a ~ al minimo zero, manca per cosl dire il regime a < 0, caratteristico del gas fermiano. Perb ora cominciano le diffieolth: poich~ F ( a ) cresce al deerescere di e raggiunge il massimo per a - - 0 (nel qual caso diventa la fun- zione ben nota in analisi ~ di RIEMANN nel punto d'ascissa 8/2 dove- assume il valore 2,612). evidentemente si ha una temoeratura cri- ~ica To oltre la quale non si pub scendere se si vuole soddisfare la (2). Allora EINSTEIN ammise, con il sup sicuro intuito fisico, ehe al disotto di questa temperatura T~ doveva avvenire un fatto sin- golare: tutte le molecole che non potevano, per cosl dire, rimanere nel gas, si staccavano da esso cadendo al suolo del recipiente con velocith zero. Si sarebbe dovuto avere una specie di condensazione.

LE STATISTICHE INTERM~DIE E L ~ e LIQUIDO 117

La teoria tu t tavia si presta evidentemente a deIle critiche: dalla (1) discende che N, tende a ~ quando ~ z 0 e E , ~ 0; allora come si fa ad ammettere , in un secondo tempo, che su questo livello energetico di velocit~t zero ve ne sia solo quel numero finito che corrisponde al numero delle moleeole della fase l iquida? Inol t re va r i levata u n ' a l t r a ' difficolt~: la eostante a secondo EINSTEIN r imane zero, dalla t empera tu ra critica To in gift sino allo zero assoluto. Ora a ha la seguente espressiva interpretazione: essa, a meno della eostante --1/N]~:T, ~ uguale al potenziate termodinamico a pres- sione costante, cio~:

1 1 ( l l ) a : N k T " ~ -~ ~ ( T S - - U - - pV) .

E si pub dimostrare, in base al prineipio di incertezza di HEI- SENBE.RG che l 'energia U allo zero assoluto 8 diversa da zero e quindi

tende all 'infinito negativo per T z 0, anehe per il gas di EINSTEIN~

Per ragioni di questo tipo il fenomeno della condensazione di EINSTEIN cadde in discredito, tanto ~ vero che essa di solito non viene r ipor ta ta nei t r a t t a t i che invece si a t ta rdano ]ungamente a descrivere i fenomeni di degenerazione del gas di FERmi. Ino l t r e si r i teneva che anche per il gas pifl leo'gero, l 'elio, ubbidiente alla statistiea di EINSTEIN, i fenomeni di degenerazione fossero completa- mente maseherat i dalle ordinarie deviazioni dal]e leggi dei gas per- fet t i dovute alle forze VAN DER WAALS.

6. - - E r a a questo punfo la questione quando nel 1937 F. LON- DON la risollev5 per ricollegarla ad alcune singolari anomalie the aveva rivelato lo studio delle propriet~ dell 'elio liquido.

L'el io a pressione atmosferiea si liquef~ a 4,22 ~ Ia t empera tura crit ica ~ di 5,2 ~ A 2,19 ~ sotto la sua p ropr ia oressione di vapore l 'elio liquido sottost~ a una notevo]e traspormazione. Quando il liquido ~ raffreddato al di sotto di 2,19 ~ il calore specifico salta dal valore di 0,4 calorie/gr, grado a pifi di 5 calorie per grammo~ per grado, dopo di che decresce rap idamente proporzionalmente circa a T 5. La trasformazione a 2,19 ~ ha pure un notevole effetto sul coefficiente di espansione dell 'clio che sopra questa t empera tu ra

positivo, mentre al di sotto ~ negativo, sebbene ]a densit~ noIl su- bisca alcuna brusca variazione. Inoltre, anehe solo guardando, ci si accorge di questa trasformazione, perch8 l'elio, che p r ima si mo- s t rava come un liquido in violenta ebollizione in tu t ta ]a sua massa, poi appare come un ' acqua chiara e senza molo.

118 G. GENTILE

Trasformazioni di fase di questo tipo nella fisica sono conosciute : per es. quella che subisce un materiale ferro-magnetico quando passa a l t raverso il punto di CVRrE; le t rasformazioni dalla disposizione ord ina ta hello spazio a quella disordinata di certe leghe, etc.

La t empera tu ra di t rasformazione dell 'clio liquido ~ chiamala con una denominazione dovuta a EHRENFEST, (< p 'un to ), >). La mo- dificazione dell 'elio al di sotto del punto ), ~ generalmente indicata come elio liquido I I , quella sopra come clio liquido I.

L 'e l io liquido pub essere solidifieato sotto una pressione esterna di 25 atm. A tempera ture maggiori occorrono pressioni maggiori. Le propriet~ dell 'elio liquido sono tall quali ci si ootrebbe aspet tare da un liquido di punto di ebollizione molto basso. Tu t t ' a l t ro invece accade per l 'elio l iquido I I . In tan to con considerazioni termodina- miche si pub dedurre che l 'elio liquido I I r imanc liquido anche allo zero assoluto.

7. - - ]~ s ta ta allora avanzata l ' ipotesi che l 'elio li'quido I I a dif- ferenza dei liquidi ordinari corrisponda ad una disposizione di atomi per fe t tamente ordinata nello spazio, e il punto X quindi corrispon- dere ad un passaggio dal disordine all 'ordine, come si osserva in certe leghe. Ma una ricerca sperimentale di KEESON e TACONIS ha invece dimostrato che non si r i levava alcun cambiamento nella ri- flessione di raggi X da par te di una colonna di elio liquido al di sopra e al di sotto del punto X. Tut tavia p r ima ancora di questo risultato sperimentale, F. LONDON in base a considerazioni teoriche era ar r iva to alla conclusione che dovendosi s~cartare l ' ipotesi di una trasformazione dal l 'ordine al disordine bisognava pensare ad un 'a l - t ra spiegazione; e questa trovb nel fat to che ]a t empera tu ra critica in cui avviene la condensazione del gas di EINSTEIN ~ molto vicina al la t empera tu ra del punto X: la pr ima risulta di 3,09 ~ la seconda come abbiamo detto ~ di 2,19 ~ La concordanza ~ impressionante dato e h e l a teoria di EINSTEIN r iguarda un ~as perfetto, in cui quin- di non si mette in conto alcuna interazione t r a gli atomi, cosa che a r igore non ~ pifi consentito nel caso d ' un liquido. Tu t tav ia pos- siamo sempre ragionare cosi: se vogliamo conoseere le proprieth carat ter is t iche d ' u n liquido che si formi in seguito al fenomeno di condensazione previsto da EINSTEIN, allora sar~ lecito, anzi sarh opportuno, as t rar re dal l ' interazione reciproca degli atomi - - dato che questa, presente in ogni specie di liquido, non ci darebbe che le proprieth ordinarie dello stato liquido, mentre noi vogliamo ap- punto spiegare le singolari ~)ropriet'~ di questo liquido sui generis che ~ l 'elio liquido I I .

LB STATISTICHE INTERM:EDIE E L~He LIQUIDO 119

E che siano realmente proprietor singolarissime lo mostrano i fatti seguenti: questo fluido a differenza dell'elio liquido I, deve essere considerato, secondo K~SON, un << sovraconduttore del calo- re ~. La sua condlteibilit~ calorifica, che ~ c,z 1000 volte pifi grande

di quella del rame a temperatura ordinaria, dipende (e questo anche un fatto eccezionale) dal gradiente della temperatura, rag- giungendo il sup massimo valore a 2 ~ per un gradiente di ~em- peratura di 10 -5 gradi/cm. Quando invece il calore specifico torna normale, questa sovraconduttivit~ scompare - - come hanno dimo- straio SI~ON e P I C K A R D .

Inoltre l'elio liquido I I ~ << suoerfluido >>. BURTON e MISENER a Toronto avevano osservato che oassando attraverso il punto ),, 11 coefficiente di viscosit~t ~ cade da 10 -4 C. G. S. a 10 -5. Essi avevano fatto questa misura osservando come si smorzava la ' rotazione d ' un cilindro immerso in un bagno d'elio liquido I I . Con un disco oscil- lante MAC WOOD a Leyda aveva osservato che ~ immediatamente sotto il punto k ~ 3.10 -~ e scende sino 2.10 -6 per una temperatura di 1,1 ~ (Per confronto ricordiamo che per l 'acqua a 20 ~ ~ ~ 1 0 - ' C. G..S.). KAPITZA a Mosca misurb con quale velocit~ passava l'elio liquido secondo attraverso i capillari e trov5 che ~ era ancora pifi piccolo: 10 -9 C. G. S. Infine ALLEN e MISERER dimostrarono c h e l a ve]ocith d'efflusso dell'clio liquido I I ~ (in capil]ari di raggio 5 .10 -~ cm) indipendente dal]a pressione ai capi del tubo, contrariamente alla legge di POISEU_ILLE. Mentre BURTON, a Toronto, trovb che questa legge vale quando si adoperino larghi tubi per l'efi]usso.

Dunque attrav_erso eapillari, o scorrendo sotto forma di fihn so- pra una superficie - - come mostrarono le esperienze di ~ENDELSOHN-

DAUNT - - l 'elio liquido I,I si comporta come un liquido perfetto con ~ 0 .

Ancora pifi straordinari sono i seguenti fenomeni scoperti da KEE- SON e sistematicamente studiati da DAUNT e M.ENDELSOHN. Se si im- merge un tubo di vetro chiuso in un bagno d'elio liquido II . l 'elio spontaneamente dal bagno si trasferisce n.el tubo, arrampicandosi sopra Je pareti del vetro con una velocith di 20 cm/sec a 1,1 ~ Questo trasferimento spontaneo cessava quando il livello interno al tubo raggiungeva quello esterno del bagno. Se si sollevava il tubo, il liquido se ne andava, in modo da eguagliare di nuovo i livelli, interno ed esterno. Se poi infine si traeva il tubo fuori dal bagno l'elio liquido si raccoglieva in gocce sul rondo esterno del tubo e ricadeva nel bagno: come se avesse una << volont~ a ristotelica >~ di scendere al basso !

120 G. GENTILE

Ora non c'~ dubbio che propriet~ tanto singolari possono essere dovute soltanto al fat to che l 'elio ~ l'_unico gas che obbedisea alla statist ica di EINSTEIN e in cui la t empera tu ra critica To, cio~ il punto X, ~ relat ivamente cosl alta. ( In fa t t i il neon, aneh'esso un gas nobile che obbedisce per il 99 % alla statist iea di En~sTEIN, ha una tem- pe ra tu ra .eritica To calcolabile dalla (1) inferiore, 1 ~ mentre noto che a 23 ~ esso ~ gi~ solido).

F i g . 2 - E s p e r i e n z e d i DAUNT e ]~ENDELSOHN.

Dunque ~ cer tamente nel vero LONDON quando dice che l 'elio liquid o I I non ~ ehe una manifestazione della degenerazione del

gas di EINSTEIN. Per tut te queste ragioni lo studio di tale gas ha acquistato un

interesse nuovissimo. Lo stesso LONDON ha tentato nel '38 di dare una teoria del fenomeno, tanto discusso, della condensazione di BOSE- EINSTEIN, teoria la sua che, se non altro, presenta l ' inconveniente di sostituire la t ra t tazione generale semiclassica di carat tere meccanico- statistico con eonsiderazioni di meccanica ondulator ia ; considerazioni da isti tuire e x n o v o per ogni part icolare problema.

8. - - E p p u r e ~ evidente la .ragione per cui la formula fondamen- tale di E~sTEIN por ta a delle ineongruenze. Con EINSTEIN noi am- mett iamo the in uno stato quantico vi possa stare un numero anche infinito di partieelle, e quindi non c '~ da meravigliarsi che poi Ns = oo per a 4 - x - 0. Lasciamo cadere questa ipotesi e dieiamo esplici tamente che dovendo essere soddisfat ta l 'equazione:

~ ~ n l + n s - I - ... -~- ~s - I - . . .

con numeri non negativi, allora dev 'essere: n , ~ N . Secondo questo nuovo punto di vista veniamo ad ammet~ere che formalmente il ~as di EINSTEIN obbedisce a una statist iea intermedia, in cui il numero.

LE STATISTICHE INTERMISDIE E L'He LIQUIDO 121

(12)

quindi si ha:

massimo d'occupazione ~ lo stesso numero N delle particelle. Io ho cercato di svolgere questa idea ed ecco i r isul tat i : adesso a pub pren- dere, come dev'essere, tut t i i valori t ra - - o o e -~- c~ e si presentano

C.....K~

R

I

,1

T/T. Fig . 3 - o~/R p e r u n gas di B o s ~ - E n q s T ~ i s ( d i a g r a m m a - t e o r i e o ) .

percib i due regimi : e ; > > 0 e e < < 0 the abbiamo gi~ illustrat,i. I1 pr imo vale da alte t empera ture sino al punto k; il secondo vale solo per t empera tu re vicinissime allo zero assoluto: per T < 10- ' J~ Nel campo di temperature intermedio, che i' quello caratteristico del- l'elio liquido secondo, vale un terzo regime, in eui a ha valori negativi piccolissimi ~ N -~/~ e corrispondentemente vale per F ( a ) l 'espres- sione :

4 F(~) ~- 3 ~ N(-- ~)~/, § 2,612 ;

N 1 N ( - + 2,6121 (13)

in cui il pr imo termine corrisponde alla << fase di tu t t i gli atomi con velocit~ zero >> (fase liquida di EmswEi~), il secondo termine eorrisponde alla fase gassosa.

Poieh~ dal ealeolo r isulta una pressione solo funzione della tem- pera tu ra ( ~ T~[ ~) e indipendentemente dal volume, possiamo eonclu- dere che qui si ha a c h e fare con un gas ehe si comporta come un vapore saturo.

122 G. GEMTILE

I n o l t r e i l ca lore specifico p r e s e n t a u n mass imo p r o n u n c i a t o nel p u n t o ), dopo il qua le decresce con la legge T sl'. ( T u t t i ques t i r i su l -

Fig. 4 - Diagramma teorieo nel piano (p, V) delle isoterme.

t a t i e r ano s t a t i p r i m a t r o v a t i da LONDON). C'~ d a osservare perb che qui non poss iamo p a r l a r e a r igo re d ' u n a sepa raz ione in u n a f a s e gas- sosa e in u n a fase l i q u i d a come aveva i m m a g i n a t o EINSTEIN.

9. - - T u t t a v i a i l calcolo m o s t r a che se si pensano gli a tomi sot to- pos t i a l l ' a z ione del campo di g rav i th , 0 a l l ' a z ione a t t r a t t i v a d ' u n a pa re te , a l l o r a d a l l ' e s s e r e a cosl p ross imo allo zero ne deriva una stratificazione del nostro gas, in cui la fase ora s tudiata di vapore saturo si r iduce a una pelbicola sottilissima.

Questo, a mio pa re re , d~ un a rgomen to p e r l ' i n t e r p r e t a z i o n e de l cos idet to << fenomeno f o n t a n a >> che consis te nel f a t t o s eguen te : se noi r i s ca ld i amo (pe r es. i l l u m i n a n d o l a con u n a l a m p a d i n a tascabi le ) u n a va sche t t a con tenen te elio l iqu ido I I e che pesca p e r u n cap i l l a r e a b b a s t a n z a lungo in un bagno del lo stesso l iquido , i l l ive l lo ne l la va- sehe t ta cresce. Poss iamo i n t e r p r e t a r l o eos~: g l i a tomi ne l la vasc h e t t a t endono ad a n d a r e in al to e quel l i nel cap i l l a r e e n t r a n o ne l la va- sche t ta ; n a t u r a l m e n t e si po t r ebbe i m m a g i n a r e che v iceversa gl i a tom]

de l la va sche t t a potessero p e r a v v e n t u r a p 0 n e t r a r e ne l c ap i l l a r e e

LE STATISTICHE INTERMEDIE E L'He LIQTJ/DO 12~*

cosl compensare la pressione verso l 'a l to dei pr imi atomi. In al tre parole si potrebbe pensare che il t raspor to di calore avvenisse sia

RAOIAZ ION E~)-~

POLV ERIE DIJ" SMERI~LIO

LANA D! COTONE ) Fig. 5 - Schema per 1' esperienza del ~ fenomeno fontana ).

per mezzo di atomi ealdi migrant i dal l 'a l to verso il basso, sia pe r mezzo della migrazione inversa di atomi freddi dal basso verso l 'al to. Invece accade come se in qualche modo esistesse uno scompenso t r a il basso e ] 'alto, qualche cosa che funziona come una .oarete semi- permeabile posta nel capillare. Ma noi sappiamo ehe sulle paret i si addensano gli atomi pifi f reddi formando una pellicola di spessore valutabile sper imentalmente a 10 -5 cm. Questa pellicola ~ quella in .cui la viscosit~ ~ pra t icamente zero. Quando non funziona la sorgente di calore c '~ equilibrio t ra la vaschet ta e il bagno, sepour~ l 'agi tazione termica nell~ massa del liquido tenda a fa r scorrere in generale gli atomi freddi lungo le pareti . Quando funziona la sorgente di calore, lo s trato superficiale sulle paret i interne della vaschetta ~ disperso dal calore nel l ' in terno del liquido ; o s i pub dire : gli atomi di velocit~ zero vengono eccitati e sollevati in uno stato di energia cinetica maggiore. ]~ allora evidente c h e l a migrazione degli atomi freddi dal basso verso l 'a l to non ~ pifi compensata da un ' ident iea migrazione dal l 'a l to verso il basso: tanto pi~ che questi

124 G. G E ~ E

atomi freddi appena arrivano nella vaschetta vengono riscaldati, cio~ distrutti per quel che riguarda il loro possibile ritorno verso il basso.

i

!

---5 ~ __

_ _ _

Fig. 6 - Schema dell'esperienza di DAUNT, e MENDELSOHN..

Che torni questa spiegazione, in cui dunque ~ essenziale il con- cetto di una fase pifi fredda aderente alle pareti, si vede anche da quest'altro meraviglioso esperimento di MENDELSOttN e DAUNT: se noi immergiamo (v. fig. 7) un tubo, chiuso all'estremith inferiore, in un bagno di elio II il tubo subito si r iempie, finch~, come abbiamo detto, il livello del tubo raggiunge quello esterno. Se riscaldiamo il liquido nel tubo, si vede subito che il livello cresce in questo. ~ chia- ro: ora cresce perch~ nell'interno del tubo ~ dispersa dal calore la pellicola superfluida aderente alle pareti che tende sempre a for- marsi di nuovo a spese degli atomi che Davtendo dal liquido esterno si arrampicano lungo le pareti del vetro esterno.

Naturalmente rimane da dimostrare la superfluidit~ di questa fase sotto il punto ),. Ora ~ important e che l a nostra teoria della degenerazione del gas di EINSTEIN permetta (appunto pereh~ ~ stato rispettato il suo carat~ere semiclassico di teoria meccanico-statica) di calcolare, con i soliti metodi della teoria cinetica dei gas, la viscosit~ e la condueibilith termica dell'elio liauido II. Comunque non c'~ dubbio chela fase, per cos1 dire, pifi fredda sia superfluida.

LE STATISTICTIE INTKR~IED[E E L 'He LIQUIDO 125

Intanto , anche cosl, mi pare si possa conctudere che gis cosl siamo ar r iva t i a nuovi sicuri punt i di vista teorici, da cui si vedono sotto

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Fig. 7 - Altro esperimento di DAUNT e MENDELSOHN" l 'e l io liquido I I esce dal tubo passando at traverso g l ' in te rs t i z i della polvere di sme-

riglio P. Con il termometro T si constata un aumento di temperatura .

u n a luce pifi chiara questi fenomeni cosl comlalicati e ancora da in- vest igare sperimentalmente.

B I B L I O G R A F I A

G. GENTILE, Osser'vazioni 8opra ~e statistr he ~ntermedie. r I1 Nuovo Ci-

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