LE FUNZIONI - I.I.S. Sassetti - Peruzzi 1 Le funzioni nel discreto 1.1 Le funzioni nel discreto Si...

APPUNTI DI MATEMATICA

LE FUNZIONI

ALESSANDRO BOCCONI

Indice

1 Le funzioni nel discreto 3

1.1 Le funzioni nel discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 La rappresentazione grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Le funzioni reali 10

2.1 Introduzione (dai numeri Naturali ai numeri Reali) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Le funzioni numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 La rappresentazione grafica di una funzione reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 La classificazione delle funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Il grafico di alcune funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.1 La funzione costante f(x) = numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.2 La funzione f(x) = mx+ q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.3 La funzione f(x) = ax2 + bx+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6 Funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7 Alcune funzioni discontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7.1 Le funzioni definite per casi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7.2 La funzione “parte intera di x” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.8 I limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.8.1 Definizione e verifica di un limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.8.2 Il calcolo di un limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8.3 Il calcolo del limite in un punto non appartenente al dominio . . . . . . . . . 27

2.8.4 I limiti per x tendente a piu o meno infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.8.5 Le potenze con esponente frazionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.8.6 Le forme indeterminate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.9 Lo Studio di Funzione (prima parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.9.1 Le sei fasi dello Studio di Funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.9.2 Gli asintoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1

2.9.3 Gli asintoti verticali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.9.4 Gli asintoti orizzontali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.9.5 Gli asintoti obliqui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.9.6 I primi 4 punti dello studio di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.10 La derivata di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.10.1 Il problema delle tangenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.10.2 Ripasso di geometria analitica della retta: il coefficiente angolare . . . . . . . 60

2.10.3 Ripasso di geometria analitica della retta: equazione delle infinite rette pas-santi per un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.10.4 Dalla retta secante alla retta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.10.5 Definizione di derivata in un punto. Significato geometrico della derivata . . 64

2.11 Funzioni derivabili. Relazione fra funzioni continue e derivabili . . . . . . . . . . . . 65

2.12 La funzione derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.13 Tavole di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.14 Regole di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.14.1 Le funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.15 Crescenza, decrescenza, massimi e minimi di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.16 La derivata seconda e la concavita e convessita delle funzioni (solo per funzionirazionali intere) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.17 Studio completo di alcune funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.18 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2

Capitolo 1

Le funzioni nel discreto

1.1 Le funzioni nel discreto

Si puo osservare che nei testi di analisi la parola piu ricorrente e senz’altro funzione. Essa rappre-senta un concetto che riveste un’importanza fondamentale nello studio della matematica.

Proviamo ad introdurla dando una definizione certamente “imperfetta” ma che per il momento esufficiente per i nostri scopi:

Definizione di funzione. Dati 2 insiemi A e B si definisce funzione da A a B (e si indica conf : A→ B) una “regola” che associa ogni elemento di A ad al piu un elemento di B.

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Osservazione. Capiamo subito perche la definizione e imperfetta: abbiamo spostato il problemadi definire la funzione, nel problema di definire cos’e una regola. Per ora accontentiamoci delsignificato intuitivo che diamo a questa parola.

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Osservazione. L’espressione “al piu” all’interno della definizione di funzione significa che possonoesserci elementi di A a cui non e associato nessun elemento di B e altri elementi di A a cui eassociato un elemento di B. L’importante e che nessun elemento di A sia associato a piu di unelemento di B.

�

Esempio

. Si considerino gli insiemi A = {Spagna, Portogallo, Germania, Italia, Gran Bretagna, Norvegia}e B = {Firenze, Berlino, Atene, Lisbona, Oslo } e f la regola che associa alla nazione le citta inessa contenute.

Ci chiediamo se f e una funzione: per esserlo, nessun elemento di A deve essere associato a piu diun elemento di B.

Osservando la figura 1.1 notiamo che qualche elemento di A (Portogallo, Germania, Italia e Norve-gia) e associato ad un elemento di B, mentre gli elementi di A, Spagna e Gran Bretagna, non sonoassociati a nessun elemento di B. Quindi nessun elemento di A e associato a piu di un elemento diB. Pertanto f risponde alla definizione di funzione.

�

Alessandro Bocconi 4

Spagna

Norvegia

Germania

Italia

Gran Bretagna

Portogallo

Berlino

Atene

Oslo

Lisbona

Firenze

A B

Figura 1.1: Le frecce indicano le associazioni fra elementi di A e B secondo la regola f

Possiamo ora dare la seguente:

Definizione di dominio. Il dominio di una funzione f : A → B e l’insieme degli elementi di Ache sono associati, tramite f , ad un elemento di B. Il dominio si indica con la lettera D.

Nell’esempio precedente il dominio risulta quindi:

D = {Portogallo,Germania, Italia,Norvegia}

Ovviamente il dominio di f e un sottoinsieme di A (in simboli D ⊆ A).

�

Generalmente indichiamo con la lettera x un generico elemento di A e con la lettera y un genericoelemento di B.

Definizione di immagine. Se x appartiene al dominio di f , con l’espressione y = f(x) si intendeun elemento y appartenente a B associato a x tramite la regola f . In questo caso si dice che y el’immagine di x tramite f .

Considerando l’esempio precedente, scegliendo ad esempio x =Germania, abbiamo che

y = f(Germania) = Berlino

Pertanto Berlino (che appartiene a B) e l’immagine dell’elemento Germania che appartiene ad A.

�


cane

gatto

topo

leone

giraffa

g

l

p

A B

Figura 1.2: Il fatto che a 2 elementi di A corrisponda lo stesso elemento di B non contraddice ladefinizione di funzione

Definizione di codominio. Il sottoinsieme di B costituito da tutte le immagini di f si dicecodominio. Nell’esempio precedente il codominio e costituito da:

{Lisbona, Firenze, Oslo, Berlino}

�

Esempi

. Si consideri nuovamente la regola f che associa alla nazione le citta in essa contenute, applicataagli insiemi A = {Spagna, Portogallo} e B = {Madrid, Lisbona, Barcellona}. f e una funzione?

Osserviamo che all’elemento Spagna appartenente ad A, f associa due elementi di B (Madrid eBarcellona). Pertanto f non e una funzione.

. Siano A = {cane, gatto, topo, leone, giraffa} e B = {g, l, p} ed f : A→ B la regola che associaad ogni parola la sua iniziale. Dire se f e una funzione e, in caso affermativo, determinare dominioe codominio.

Rappresentiamo graficamente la situazione (figura 1.2).

Osserviamo che f e una funzione (nessun elemento di A e associato a piu di un elemento di B). Ildominio risulta:

D = {gatto, leone, giraffa}

ed il codominio:{g, l}

�


Definizione di funzione suriettiva. Una funzione f : A→ B si dice suriettiva se ogni elementodi B e immagine di almeno un elemento di A.

�

Definizione di funzione iniettiva. Una funzione f : A→ B si dice iniettiva se ogni elemento diB e immagine di al piu un elemento di A.

�

Definizione di funzione biiettiva. Una funzione f : A → B si dice biiettiva se e sia iniettivache suriettiva

�

Osservazione. Una funzione per essere iniettiva o suriettiva deve essere, prima di tutto, unafunzione. Quindi nel caso che f non sia una funzione non ha senso verificare se e iniettiva osuriettiva.

�

Osservazione. Se una funzione e suriettiva, il codominio coincide con B.

�

Esempi

. Stabilire se la funzione dell’ultimo esempio (quello delle iniziali) e suriettiva e se e iniettiva.

Per essere suriettiva ogni elemento di B deve essere immagine di almeno un elemento di A. Siosserva che l’elemento p non e immagine di nessun elemento di A pertanto f non e suriettiva.

Per essere iniettiva ogni elemento di B deve essere immagine di al piu un elemento di A. Siosserva che l’elemento g di B e immagine sia dell’elemento “gatto” che dell’elemento “giraffa” diA. Pertanto f non e iniettiva.

. Si considerino gli insiemi A = {2, 3, 7, 5} e B = {25, 6} e f : A→ B la regola che associa ad unnumero i suoi multipli.

Osserviamo che f : A→ B e una funzione (nessun elemento di A ha piu di un’immagine in B). Ildominio risulta:

D = {2, 3, 5}

e il codominio:{25, 6}

Per essere suriettiva ogni elemento di B deve essere immagine di almeno un elemento di A. E cosie, infatti il codominio della funzione coincide con B. Pertanto f e suriettiva.

Per essere iniettiva ogni elemento di B deve essere immagine di al piu un elemento di A. Si osservache l’elemento 6 di B e immagine sia dell’elemento 2 che dell’elemento 3 di A. Pertanto f non einiettiva.

�


2

7

3

5

25

6

A B

Figura 1.3: Dal grafico si possono dedurre varie proprieta della funzione

1.1.1 La rappresentazione grafica

Estremamente utile, come abbiamo visto, e usare una rappresentazione grafica per descrivere lafunzione e tramite essa dedurre alcune proprieta. In particolare, una volta rappresentati gli insiemiA e B e effettuate con le frecce le associazioni, si ricava che:

• f e una funzione se da nessun elemento di A parte piu di una freccia.

• Il dominio di f e costituito da tutti gli elementi di A da cui parte una freccia.

• Il codominio di f e costituito da tutti gli elementi di B a cui arriva una freccia.

• f e suriettiva se a tutti gli elementi di B arriva almeno una freccia.

• f e iniettiva se a tutti gli elementi di B arriva al piu una freccia.

Esempio

. Rappresentiamo graficamente l’ultimo esempio (figura 1.3) e osserviamo che:

• f e una funzione perche da nessun elemento di A parte piu di una freccia.

• Il dominio di f e costituito da tutti gli elementi di A da cui parte una freccia, quindi D ={2, 3, 5}.

• Il codominio di f e costituito da tutti gli elementi di B a cui arriva una freccia, quindi {6, 25}.

• f e suriettiva perche a tutti gli elementi di B arriva almeno una freccia.

• f non e iniettiva perche all’elemento 6 di B arriva piu di una freccia.

�


1.2 Esercizi

Parafrafo 1.1

1. Si considerino gli insiemi A = {a; b; c; d} e B = {cuore; diamante; attore; arena}, e la legge fche associa ad ogni lettera dell’insieme A una parola che comincia con tale lettera dell’insiemeB.

(a) Si rappresenti graficamente (con i sacchetti e le frecce), la legge sopra descritta.

(b) Si dica se tale legge e una funzione (se non lo e si spieghi il motivo).

Rispondere alle successive 3 domande solo se la legge e una funzione

(c) Si determini il dominio di f .

(d) Si dica se f e iniettiva (se non lo e si spieghi il motivo).

(e) Si dica se f e suriettiva (se non lo e si spieghi il motivo).

2. Si considerino gli insiemi A = {Mosca;Barcellona;Londra;Madrid;Parigi;Roma} eB = {Francia;Spagna; Inghilterra;Russia} e la legge f che associa ad ogni citta dell’insie-me A una nazione dell’insieme B.







3. Si considerino gli insiemi A = {3; 5; 6; 2} e B = {no; colore;mela; parte} e la legge f cheassocia ad ogni numero dell’insieme A una parola con quel numero di lettere dell’insieme B.







4. Si considerino gli insiemi A = {20; 19; 7} e B = {2; 7; 4} e la legge f che associa ad ogninumero dell’insieme A un suo divisore nell’insieme B.







5. Si considerino gli insiemi A = {x2 − 5x+ 6;x2 − 1;x2 + 4x+ 4} e

B = {(x+ 2)2; (x− 1)(x+ 1); (x− 2)(x− 3)} e la legge f che associa ad ogni polinomio di Ala sua scomposizione nell’insieme B.








6. Si considerino gli insiemi A = {9; 25; 7; 3} e B = {1; 5; 7} e la legge f che associa ad ogninumero di A la sua radice quadrata nell’insieme B.







7. Si considerino gli insiemi A = {calcio; tennis; ciclismo; basket} e

B = {Federer;Nadal;Roncaglia;Armstrong; Jordan} e la legge f che associa ad ogni sportdi A degli atleti che hanno praticato o praticano quello sport nell’insieme B.







8. Si considerino gli insiemi A = {PDL;UDC;PD} e B = {Bersani;Alfano;Casini} e lalegge f che associa ad ogni partito politico di A dei politici che fanno parte di quel partitonell’insieme B.







Capitolo 2

Le funzioni reali

2.1 Introduzione (dai numeri Naturali ai numeri Reali)

Rispetto al capitolo precedente, considereremo funzioni numeriche in cui sia l’insieme di “partenza”(quello che abbiamo chiamato A) che l’insieme di “arrivo” (quello che abbiamo chiamato B) ecostituito dall’insieme dei numeri reali R (o da suoi sottoinsiemi).

Per proseguire e quindi necessario riprendere alcune caratteristiche dei numeri reali.

Il primo insieme numerico che abbiamo studiato e stato l’insieme N dei numeri naturali. Taleinsieme ben si rappresentava su una semiretta orientata con l’origine nello 0 (figura 2.1).

Purtroppo tale insieme non era del tutto soddisfacente in quanto le operazioni della sottrazionee della divisione non sempre erano eseguibili nei numeri naturali. Si considerino ad esempio leseguenti operazioni:

3− 7 10 : 3

ne questa sottrazione ne questa divisione ammettono un risultato nei numeri Naturali.

Per sopperire a tale problema, dopo molti secoli e molti sforzi, sono stati definiti i numeri con ilsegno, detti i numeri interi Z.

Nei numeri interi un numero e dotato di segno e di un valore assoluto: quindi abbiamo +5 (segno +e valore assoluto 5), −4, 0 (che e l’unico numero senza segno). Per una semplificazione di notazionisi e identificato l’insieme degli interi positivi con i numeri naturali, e quindi il numero 5 ed il numero+5 hanno assunto lo stesso significato, col risultato che, in un’espressione con i numeri interi, sipuo sottintendere il segno + per i numeri positivi.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Figura 2.1: La semiretta dei numeri Naturali

10


-3 -2 -1 0 +1 +2 +3

Figura 2.2: La retta dei numeri interi

Tornando alla sottrazione precedente, 3− 7 che, senza la semplificazione apena descritta, avrebbedovuto scriversi (+3)− (+7), nei numeri interi ha risultato −4.

Anche l’insieme Z ammette una relazione d’ordine, cioe un criterio che ci permette di stabilire,presa una qualunque coppia di elementi, quale elemento e minore dell’altro:

1. Ogni numero negativo e minore di 0, che a sua volta e minore di ogni numero positivo.

2. presi due numeri negativi e minore quello che ha il valore assoluto maggiore (ad esempio −7e minore di −3).

3. presi due numeri positivi e minore quello che ha il valore assoluto minore.

Possiamo quindi rappresentare i numeri interi su una retta orientata (figura 2.2)

Osservazione. Per molti autori e quantomeno improprio considerare l’insieme dei numeri interiun ampliamento dei numeri naturali. Per loro e un errore sottintendere il segno + e quindi se inun’espressione i numeri sono sprovvisti di segno significa che e un’espressione nei numeri naturali,in caso contrario, se tutti i numeri hanno il segno, l’espressione e con i numeri interi. Non devesuccedere che alcuni numeri hanno segno e altri no!

Pur condividendo le perplessita di tali autori, in questa trattazione si usa la semplificazione citatain precedenza.

�

Resta il problema della divisione: anche nei numeri interi non ha risultato la divisione 10 : 3.

Per risolvere questo problema nasce l’insieme dei numeri razionali Q, costituito da tutte le frazioniab ridotte ai minimi termini con b 6= 0. Anche le frazioni possono avere segno e, se non lo hanno, esottinteso che siano positive. La divisione precedente acquista quindi risultato:

10 : 3 =10

3

Anche presa una qualunque coppia di numeri razionali possiamo stabilire quale e minore dell’altro:

a

b<c

dse a · d < b · c

Possiamo quindi rappresentare anche i numeri razionali su una retta orientata, con la sostanzialedifferenza, rispetto ai precedenti insiemi numerici, che i numeri razionali sono estremamente fitti(il termine corretto sarebbe “densi”) all’interno della retta. Basti pensare che, preso sulla retta unqualunque intervallo piccolo a piacere, tale intervallo contiene infiniti numeri razionali.


Pero, a differenza di quanto si potrebbe pensare, i numeri razionali non esauriscono tutti i puntidella retta. In altre parole se la retta contenesse solo numeri razionali presenterebbe dei buchi. Ibuchi sono costituiti dai cosiddetti numeri irrazionali (cioe non razionali). Ad esempio si potrebbedimostrare che la radice quadrata di qualunque numero che non e un quadrato perfetto (come1, 4, 9, 16, 25, 36 . . .) e un numero irrazionale, cioe non esiste una frazione di numeri interi uguale aquel numero.

Il lettore si ricordera che per i numeri con un numero finito di cifre decimali, oppure con unnumero infinito di cifre decimali in cui un gruppo di cifre decimali si ripete infinitamente (numeriperiodici), si puo determinare una frazione equivalente a tale numero. Invece per i numeri coninfinite cifre decimali, ma non periodici, non esiste nessuna frazione ad essi equivalente. Questinumeri costituiscono l’insieme dei numeri irrazionali.

Ad esempio√

2 = 1, 41421356237309 . . . dove i puntini significano che le cifre decimali continuanoinfinitamente. Si osservi che tale numero decimale non e periodico e quindi siamo di fronte ad unnumero irrazionale.

Possiamo quindi ribadire la:

Definizione di insieme dei numeri reali. L’insieme dei razionali, unito all’insieme degliirrazionali, costituisce l’insieme dei numeri reali (che si indica con R).

�

Per i numeri reali vale la seguente importantissima proprieta:

Proprieta di continuita dei numeri reali. Se disegnamo una retta, e possibile stabilire laseguente corrispondenza fra tale retta e i numeri reali:

• ad ogni punto della retta corrisponde un numero reale;

• ad ogni numero reale corrisponde un punto della retta ;

per questo motivo, essendo la retta continua (cioe priva di “buchi”), questa proprieta si dice dicontinuita dei numeri reali.

�

2.2 Le funzioni numeriche

Il paragrafo precedente e servito, oltre che per evidenziare alcune caratteristiche degli insiemi nume-rici, anche per capire che, per le funzioni numeriche reali, non e possibile usare la rappresentazioneusata per le funzioni discrete. In quel caso infatti era possibile isolare un elemento dall’altro, cosache, come si e visto, non e possibile fare per i numeri reali.

Ci occuperemo successivamente della rappresentazione grafica di tali funzioni.

Adesso vediamo come le definizioni date nel caso di funzioni discrete possono essere riadattate perle funzioni numeriche reali (che d’ora in poi chiameremo semplicemente funzioni reali).

Definizione di funzione reale. Si definisce funzione reale (e si indica con f : R → R) una“regola” che associa ogni numero reale ad al piu un altro numero reale.

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Definizione di dominio. Il dominio di una funzione reale e l’insieme dei numeri reali che sonoassociati, tramite f , ad un altro numero reale. Il dominio si indica con la lettera D.

Definizione di immagine. Se x appartiene al dominio di f , con l’espressione y = f(x) si intendeun numero reale y associato a x tramite la regola f . In questo caso si dice che y e l’immagine di xtramite f .

Osservazione. Le definizioni appena date si accordano con quelle del discreto sostituendo A e Bcon l’insieme dei numeri reali.

�

Nelle funzioni reali la regola che associa gli elementi e un’espressione contenente la variabile x.Sono ad esempio funzioni:

f(x) = 3x− 5; f(x) = 4x3 − 13x+ 4; f(x) =√x2 − 5x+ 6; f(x) =

x+ 3

2x2 − 5

Esempio

. Data la funzione reale f(x) = 3x− 5 determinare l’immagine dei numeri 2; −1; 32 .

L’immagine y si determina ponendo y = f(x), quindi, in questo caso y = 3x− 5.

Per trovare l’immagine del numero 2, che si indica con f(2) basta sostituire il numero 2 alla xnell’espressione 3x− 5. Pertanto:

f(2) = 3 · 2− 5 = 1

Quindi l’immagine di x = 2 e y = 1.

Analogamente si determinano le immagini degli altri numeri trovando:

se x = −1, f(−1) = 3 · (−1)− 5 = −8 quindi y = −8.

se x = 32 , f(32) = 3 · (32)− 5 = −1

2 quindi y = −12 .

�

Osservazione. Non tutte le espressioni contenenti la x sono funzioni. Si consideri ad esempio:

f(x) = ±x

essa non rapresenta una funzione in quanto ogni numero ha due immagini (ad esempio se x = 3,f(3) e uguale sia a 3 che a −3) contraddicendo la definizione di funzione.

D’ora in poi comunque le espressioni che considereremo saranno sempre funzioni.

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2.3 La rappresentazione grafica di una funzione reale

Abbiamo gia sottolineato che il metodo di rappresentazione grafica usata per le funzioni discrete,non e applicabile per le funzioni reali. Nel primo paragrafo di questo capitolo abbiamo inoltreevidenziato che l’insieme dei numeri reali e in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta,pertanto la retta orientata e il miglior modo di rappresentare l’insieme dei numeri reali.

Consideriamo adesso la funzione f(x) = 2x−1. Prendiamo 3 numeri qualunque, ad esempio 2;−1; 32

e facilmente ricaviamo le rispettive immagini: 3;−3; 2 e adottiamo la seguente rappresentazione(figura 2.3):


R3/2-1 2

R2-3 3

Figura 2.3: Le frecce stabiliscono le associazioni fra l’insieme dei numeri reali di “partenza” el’insieme dei numeri reali di “arrivo”

x3/2-1 2

2

-3

3 ..

.

y

Figura 2.4: Ogni punto rappresenta un’associazione fra il numero e la sua immagine.

E immediato osservare che se avessimo considerato piu associazioni (e quindi piu frecce) il graficodi figura 2.3 sarebbe molto meno leggibile, fino a diventare assolutamente inutile per numeri elevatidi associazioni.

La rappresentazione grafica piu efficace e universalmente adottata e quella sul piano cartesiano: l’as-se delle ascisse (asse x) rappresenta l’insieme dei numeri reali di “partenza”, e l’asse delle ordinate(asse y) rappresenta l’insieme dei numeri reali di “arrivo”. Nella funzione precedente (f(x) = 2x−1)l’immagine del punto 2 e 3, pertanto l’associazione e rappresentata tramite il punto (2; 3) (figura2.4)

se avessimo considerato piu punti la rappresentazione sarebbe stata ugualmente chiara.

Possiamo adesso dare la fondamentale:

Definizione di grafico di una funzione. Il grafico di una funzione e l’insieme degli infiniti punti(x; y = f(x)) con x appartenente al dominio della funzione.

�

L’obiettivo dello studio di una funzione e quello, partendo dalla sua espressione, didisegnare il suo grafico sul piano cartesiano.

Nei prossimi paragrafi capiremo come.


Funzioni reali

Funzioni irrazionaliFunzioni razionali

Funzioni razionali intere

Funzioni razionali fratte

Funzioni irrazionali algebriche

Funzioni irrazionali trascendenti

Figura 2.5: La classificazione delle funzioni.

2.4 La classificazione delle funzioni

Nel paragrafo 2.1, abbiamo ricordato come i numeri reali fossero composti da numeri razionali enumeri irrazionali. Tramite queste categorie possiamo classificare le funzioni secondo lo schema difigura 2.5.

Le funzioni razionali (dette cosı perche ogni valore intero di x ha come immagine un numerorazionale) si dividono in funzioni razionali intere e funzioni razionali fratte.

Una funzione razionale intera e un polinomio nell’incognita x; sono funzioni razionali intere, adesempio,

f(x) = x3 − 5x2 + 22; f(x) = 3x5 − 12x2 +3

2x+ 1; f(x) = −5x+ 10

Una funzione razionale fratta e un rapporto fra due polinomi (quindi e una frazione algebrica);sono funzioni razionali fratte, ad esempio,

f(x) =x3 − 5x2 + 22

3x+ 1; f(x) =

x2 + 8

3x− 10

Per comprendere la distinzione fra funzioni irrazionali algebriche e trascendenti, bisogna sapere chei numeri irrazionali si dividono in 2 categorie: gli irrazionali algebrici e gli irrazionali trascendenti.Valgono le seguenti 2 definizioni:

Definizione di numero irrazionale algebrico. Un numero irrazionale si dice algebrico se puoessere soluzione di un’equazione a coefficienti interi.

. Risulta quindi che il numero√

2 e irrazionale algebrico in quanto e soluzione dell’equazionex2 = 2

�

Definizione di numero irrazionale trascendente. Un numero irrazionale si dice trascendentese non e algebrico.

. I due numeri trascendenti “piu famosi” sono pi grego π, e il numero di nepero e.

�

Quindi le funzioni irrazionali algebriche sono quelle in cui un’espressione contenente la x e sottouna radice. Sono ad esempio funzioni irrazionali algebriche le seguenti:

f(x) =√x3 − 5x2 + 22; f(x) = 5

√−5x+ 10


Le funzioni irrazionali trascendenti che considereremo sono le esponenziali (quelle in cui la x sitrova all’esponente) e logaritmiche.

2.5 Il grafico di alcune funzioni

2.5.1 La funzione costante f(x) = numero

. Disegnare il grafico della funzione f(x) = 3

Dobbiamo disegnare il grafico della funzione y = f(x) con f(x) = 3 quindi y = 3. Tale funzionesi dice costante perche, essendo indipendente da x, i punti del grafico hanno tutti ordinata 3 aprescindere da x. Dalla geometria analitica sappiamo che y = 3 rappresenta una retta parallelaall’asse y figura 2.6 (Grafico A).

2.5.2 La funzione f(x) = mx+ q

. Disegnare il grafico della funzione f(x) = 2x+ 1

Dobbiamo disegnare il grafico della funzione y = f(x) con f(x) = 2x + 1 quindi y = 2x + 1.Dalla geometria analitica sappiamo che y = 2x + 1 rappresenta una retta: quindi per disegnarlae sufficiente conoscere 2 punti appartenenti a tale retta. Per determinarli si attribuiscono a x duevalori qualunque e si determinano i rispettivi valori di y sostituendo nella f(x), ad x, i valori scelti:

x y

0 11 3

Quindi i due punti hanno coordinate (0; 1) e (1; 3) e la retta e quella rappresentata in figura 2.6(Grafico B).

2.5.3 La funzione f(x) = ax2 + bx+ c

. Disegnare il grafico della funzione f(x) = x2 − 2x− 3

Dobbiamo disegnare il grafico della funzione y = f(x) con f(x) = x2−2x−3 quindi y = x2−2x−3.Dalla geometria analitica sappiamo che y = x2 − 2x − 3 rappresenta una parabola e, dato che ilcoefficente di x2 e positivo, si tratta di una parabola con la concavita rivolta verso l’alto. Perdisegnarla, come sappiamo, si determinano le coordinate delle eventuali intersezioni con l’asse dellex, le coordinate del vertice e l’intersezione con l’asse y e poi si uniscono i punti.

Intersezioni con l’asse x: {y = x2 − 2x− 3

y = 0

quindi sostituendo a y della prima equazione il valore 0 otteniamo l’equazione di secondo grado:

x2 − 2x− 3 = 0

Risolviamola:

4 = b2 − 4ac = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 16

x = −b±√4

2a = 2±42 → x1 = −1 x2 = 3

Da cui le intersezioni con l’asse x hanno coordinate (−1; 0) e (3; 0).


y

y

o

o

x

x

3

Grafico A

Grafico B

..3

1

1

Figura 2.6: La funzione costante (grafico A), e la funzione lineare (grafico B).

L’ascissa del vertice e il valor medio fra le ascisse delle intersezioni con l’asse x, quindi:

xv =−1 + 3

2= 1

L’ordinata del vertice si trova sostituendo xv ad x nell’equazione della parabola, quindi:

yv = 12 − 2 · 1− 3 = −4

quindi il vertice ha coordinate V (1;−4)

Intersezione con l’asse y: {y = x2 − 2x− 3

x = 0

quindi sostituendo a x della prima equazione il valore 0 otteniamo

y = −3

L’intersezione con l’asse y risulta quindi nel punto (0;−3).

Il grafico della parabola, e quindi della funzione, e riportata in figura 2.7:

�

Osservazione. Si noti che nel disegnare il grafico di queste 3 funzioni, ci ha aiutato il fatto disapere, dalla geometria analitica, che tipo di figure erano (rette nei primi due casi, parabola nelterzo). Nella maggior parte delle funzioni che studieremo in seguito non potremo contare su questaconoscenza.

�


o x-1 1 3

-3

-4

y

Figura 2.7: La funzione e una parabola.

2.6 Funzioni continue

Si osservino i seguenti tre grafici di funzioni di figura 2.8.

Si nota immediatamente che mentre il grafico della prima funzione e una linea continua, i graficidelle altre due presentano un salto in corrispondenza del punto di ascissa x0.

Piu precisamente:

• il grafico della seconda funzione passa per il punto (x0; y1) (ce lo dice il “pallino” nero postoin quel punto), ha un salto e riprende, immediatamente dopo x0, dal valore y1 (quandostudieremo i limiti capiremo meglio cosa si intende per “immediatamente dopo”).

• il grafico della terza funzione avvicinandosi a x0 cresce indefinitamente, ma in x0 la funzionevale y1 (ce lo dice il “pallino” nero posto nel punto (x0; y1)) (quando studieremo i limiticapiremo meglio cosa si intende per “la funzione cresce indefinitamente avvicinandosi adx0”).

Possiamo adesso dare una definizione di funzione continua:

Definizione di funzione continua. Una funzione si dice continua in x = x0 se in tale punto ilgrafico della funzione non ha salti.

�

Alcuni autori classificano le due discontinuita appena viste in maniera diversa (aggiungendoneaddirittura una terza). Per noi saranno semplicemente funzioni discontinue.


y

o x

o x

o x

x0

y1

y2

x0

y

y

y1

Figura 2.8: La prima e una funzione continua, le altre due sono discontinue nel punto di ascissax0

Osservazione. La definizione di continuita e una definizione puntuale. In altre parole le duefunzioni discontinue che abbiamo visto sono discontinue per x = x0, ma sono continue per tutti glialtri valori di x.

�

Definizione di funzione continua in un intervallo [a, b]. Una funzione si dice continua in unintervallo [a, b], se e continua per tutti i valori di x compresi fra a e b.

�

Convenzione. Quando parleremo di funzione continua, intenderemo una funzione continua perqualunque valore di x appartenente al suo dominio (brevemente: continua in tutto il suo dominio).

�

Osservazione. La definizione di continuita data in precedenza, puo essere utilizzata solo se co-nosciamo il grafico della funzione. Dal momento pero che il nostro intento sara quello di arrivarea disegnare il grafico, partendo dall’espressione della funzione, a priori non possiamo conoscere ilgrafico e quindi non possiamo sapere se la funzione e continua o meno.

�

Per stabilire se una funzione e continua pero, ci aiuta un importante teorema: innanzitutto osser-viamo che, quando il grafico di una funzione e una retta, come nell’esempio di paragrafo 2.5.2, eevidente che la funzione considerata e continua. Quindi una funzione del tipo f(x) = mx + q esempre continua.


Teorema. Sommando sottraendo o moltiplicando fra loro due funzioni continue, si ottiene unanuova funzione che e anch’essa continua. Il rapporto fra due funzioni continue e la radice di unafunzione continua sono anch’esse funzioni continue nel loro dominio.

�

Una conseguenza della prima parte del teorema e che tutte le funzioni razionali intere sono funzionicontinue. Verifichiamolo con il seguente esempio:

. Dimostriamo che la funzione 3x3 − 5x2 + 7x− 1

Sappiamo che una funzione del tipo f(x) = mx + q (una retta) e continua. Quindi sono continuele funzioni f(x) = 3x − 5 e f(x) = x. Per il teorema e continua anche la funzione data dallamoltiplicazione di queste due funzioni (3x − 5) · x cioe 3x2 − 5x. Ma allora e continua anche lafunzione che si ottiene moltiplicando (3x2 − 5x) · x cioe 3x3 − 5x2. La funzione 7x− 1 e continua(anch’essa ha come grafico una retta), quindi anche la somma fra le due funzioni continue 3x3−5x2

e 7x− 1 e continua, quindi f(x) = 3x3 − 5x2 + 7x− 1 e continua.

�

Osservazione. Si poteva arrivare alla conclusione che f(x) = 3x3 − 5x2 + 7x − 1 e una funzionecontinua in vari altri modi.

�

Veniamo alla seconda parte del teorema, che afferma che il rapporto, cioe la frazione, fra due fuzionicontinue, e continua nel suo dominio. Questo significa ad esempio che la funzione

f(x) =3x3 − 4x+ 1

x2 − 5x+ 6

e continua. Per determinare il suo dominio si procede in modo analogo a come si procedeva per ladeterminazione delle condizioni di esistenza di una frazione algebrica (il dominio e le condizioni diesistenza non sono esattamente la stessa cosa, anche se si “assomigliano” molto). Quindi si pone:

x2 − 5x+ 6 6= 0

che ha come soluzioni x 6= 2 e x 6= 3. Pertanto il denominatore si annulla per questi valori e quindiil dominio risulta:

D = {x ∈ R|x 6= 2 ∧ x 6= 3}

Il teorema afferma anche che la radice di una funzione continua e una funzione continua nel suodominio. Quindi, ad esempio, la funzione

f(x) =√x2 + 3x− 4

e continua nel suo dominio. Essendo una radice di indice pari il suo radicando deve essere positivoo uguale a zero. Pertanto il dominio si determina risolvendo la disequazione:

x2 + 3x− 4 ≥ 0

che ha come soluzioni x ≤ −4 ∨ x ≥ 1. Quindi il suo dominio e:

D = {x ∈ R|x ≤ −4 ∨ x ≥ 1}

Possiamo quindi riassumere:


• Una funzione razionale intera e sempre continua e il suo dominio e composto da tutti i numerireali: D = {x ∈ R}

• Una funzione razionale fratta e sempre continua nel suo dominio che e composto da tutti ivalori di x che non annullano il denominatore.

• Una funzione irrazionale algebrica, cioe la radice di un polinomio, e sempre continua nel suodominio:

– se l’indice della radice e pari, il suo radicando deve essere maggiore o uguale a zero, epertanto il dominio e costituito da quei valori di x che rendono il radicando maggiore ouguale a zero.

– se l’indice della radice e dispari, il suo radicando puo anche essere negativo, pertanto ildominio e costituito da tutti i valori di x che il radicando puo assumere.

Esempi

. Dire se e continua la seguente funzione e determinare il suo dominio f(x) = −5x4 + 12x

3−3x+4

La funzione e una funzione razionale intera: e quindi continua e il suo dominio e costituito daqualunque valore di x: D = {x ∈ R}.

. Dire se e continua la seguente funzione e determinare il suo dominio f(x) = 3x+1x2+x−6

La funzione e una funzione razionale frazionaria: essendo il rapporto di due funzioni continue eanch’essa continua e per determinare li suo dominio risolviamo:

x2 + x− 6 = 0

che ha come soluzioni x = −3 e x = 2. Pertanto il dominio risulta: D = {x ∈ R|x 6= −3 ∧ x 6= 2}.

. Dire se e continua la seguente funzione e determinare il suo dominio f(x) = 4√

2− 2x

La funzione e una funzione irrazionale algebrica: essendo la radice di una funzione continua eanch’essa continua. Dal momento che la radice e di indice pari, il radicando deve essere maggioreo uguale a zero, pertanto il dominio si ottiene risolvendo:

2− 2x ≥ 0→ −2x ≥ −2→ x ≤ 1

Il dominio risulta quindi: D = {x ∈ R|x ≤ 1}.

. Dire se e continua la seguente funzione e determinare il suo dominio f(x) = 4

√3x−6x−4

La funzione e una funzione irrazionale algebrica: essendo la radice di una funzione continua eanch’essa continua. Dal momento che la radice e di indice pari, il radicando deve essere maggioreo uguale a zero, pertanto il dominio si ottiene risolvendo:

3x− 6

x− 4≥ 0

E una disequazione fratta che si risolve ponendo sia numeratore che denominatore maggiore di zero,e disegnando il grafico per studiare il segno. Si ottiene: D = {x ∈ R|x ≤ 2 ∨ x > 4}.

. Dire se e continua la seguente funzione e determinare il suo dominio f(x) = 7√x2 − 4x− 10

La funzione e una funzione irrazionale algebrica: essendo la radice di una funzione continua eanch’essa continua. Dal momento che la radice e di indice dispari, il radicando puo essere ancheminore di zero, pertanto il dominio e: D = {x ∈ R}.

. Dire se e continua la seguente funzione e determinare il suo dominio f(x) = 3

√5x+1

x2−3x+2


La funzione e una funzione irrazionale algebrica: essendo la radice di una funzione continua eanch’essa continua. La radice e di indice dispari, ma il radicando e una frazione algebrica, quindinon importa se il radicando e positivo o negativo, ma importa che il denominatore sia diverso dazero. Pertanto il dominio si ottiene risolvendo:

x2 − 3x+ 2 = 0

che ha come risultati x = 1 e x = 2. Il dominio risulta quindi: D = {x ∈ R|x 6= 1 ∧ x 6= 2}.

�

Dagli esempi potrebbe sembrare che la maggior parte delle funzioni e continua. Questa impressionenon e certamente vera, anche se e vero che molte funzioni che trattiamo comunemente sono continue.Nel paragrafo successivo descriviamo alcune funzioni discontinue.

2.7 Alcune funzioni discontinue

2.7.1 Le funzioni definite per casi

Le funzioni definite per casi sono funzioni che cambiano la loro espressione in funzione del valoredi x. Vediamole con un esempio:

f(x) =

{5x− 3 se x ≤ 12x+ 1 se x > 1

Questa funzione “vale” 5x− 3 per valori di x ≤ 1, e “vale” 2x+ 1 se x > 1. Se vogliamo calcolarci,ad esempio, f(0), f(4) e f(1) procediamo nel seguente modo:

• 0 e minore di 1 pertanto dobbiamo sostituire 0 alla x nell’espressione 5x− 3. Quindi f(0) =5 · 0− 3 = −3.

• 4 e maggiore di 1 pertanto dobbiamo sostituire 4 alla x nell’espressione x+ 1. Quindi f(4) =2 · 4 + 1 = 9.

• 1 e uguale a 1 pertanto dobbiamo sostituire 1 alla x nell’espressione 5x − 2 (perche taleespressione vale sia per x < 1 sia per x = 1). Quindi f(1) = 5 · 1− 3 = 2.

Osservazione. Nelle funzioni definite per casi, nei valori in cui la funzione varia espressione,quindi nell’esempio precedente in x = 1, deve esserci uno e un solo caso in cui sia compresol’uguale, altrimenti la funzione non e ben definita.

�

Per quanto riguarda la continuita si osserva che sia 5x−3 sia 2x+1 sono funzioni continue. L’unicopunto in cui questa funzione potrebbe non essere continua e in quel valore di x in cui la funzionecambia aspetto, cioe in x = 1.

Per verificarlo bisogna sostituire il valore 1 nelle due espressioni. Se si ottiene lo stesso risultatola funzione e continua, altrimenti non lo e: sostituendo 1 a x nell’espressione 5x − 3 si ottiene 2.Sostituendo 1 a x nell’espressione 2x+ 1 si ottiene 3. Quindi la funzione non e continua in x = 1 equindi non e continua.

Tale situazione e ben rappresentata dal grafico della funzione in figura 2.9:


y

o x

x=1

-3

3

21

y=5x-3

y=2x+1

Figura 2.9: Il pallino nero sta a indicare, per x = 1, dove passa il grafico della funzione. In questoesempio e stato facile disegnare il grafico in quanto i due casi della funzione sono equazioni di rette

E interessante studiare il dominio delle funzioni definite per casi. Facciamolo tramite i seguenti:

Esempi

. Determinare il dominio della funzione definita per casi:

f(x) =

{2x−7x−10 se x ≤ 2

3x+ 1 se x > 2

Si osserva che il secondo caso della funzione ha come dominio tutto l’insieme dei numeri reali. Ilprimo caso e una funzione fratta, pertanto il denominatore deve essere diverso da zero. E facileosservare che il denominatore si annulla per x = 10. Pero per x = 10 siamo nel secondo caso dellafunzione, quindi, dato che il denominatore non si annulla per nessun valore di x minore o uguale a2.

Pertanto il dominio risulta: D = {x ∈ R}

. Determinare il dominio della funzione definita per casi:

f(x) =

{2x− 7 se x ≤ 1√

x2 − 4x− 5 se x > 1

Una radice quadrata deve avere radicando maggiore uguale a zero, pertanto si imposta la disequa-zione

x2 − 4x− 5 ≥ 0

che ha come soluzioni x ≤ −1∨x ≥ 5. Osserviamo che la radice rappresenta la funzione per x > 1.Se mettiamo a sistema la soluzione della disequazione (x ≤ −1∨x ≥ 5) con quella del caso (x > 1)si ottiene il dominio che risulta: D = {x ∈ R|x ≥ 5}

�


y

o x

-3

3

21

-2

-1

4

3

5

-5

-4

-5

1 2 3 4-1-2-3-4

Figura 2.10: La funzione e discontinua per ogni valore intero di x

2.7.2 La funzione “parte intera di x”

La funzione parte intera di x, che si scrive generalmente f(x) = [x], e una funzione che vale la parteintera di x. Chiariamo con degli esempi:

f(2, 57) = [2, 57] = 2; f(−3, 21) = [−3, 21] = −3; f(0, 6142) = [0, 6142] = 0; f(5) = [5] = 5

Quindi, sempre ad esempio, la funzione vale 2 per qualunque valore di x ∈ [2; 3) (dove la parentesiquadra significa che 2 appartiene all’intervallo, mentre 3 non ci appartiene).

Il grafico di tale funzione risulta quindi quello di figura 2.10

2.8 I limiti

Il concetto di limite riveste un’importanza fondamentale nell’analisi matematica, e chiarisce cosa siintendeva nel precedente paragrafo quando affermavamo che: “la funzione cresce indefinitamenteavvicinandosi ad x0” oppure “x si avvicina indefinitamente ad x0” o altre affermazioni che vedremoin seguito.

Necessaria, per il proseguimento della trattazione, la definizione di intorno su una retta, d’ora inpoi semplicemente intorno:

Definizione di intorno di un punto. Preso un punto x0 su una retta. Si definisce intorno dicentro x0 e raggio l, (e si indica con I(x0, l)), l’intervallo sulla retta (x0 − l, x0 + l) .

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Esempi

. L’intorno I(5, 1) e l’intervallo (5− 1; 5 + 1) cioe (4, 6).

. L’intorno I(−2, 14) e l’intervallo (−2− 14 ;−2 + 1

4) cioe (−94 ,−

74).

�


2.8.1 Definizione e verifica di un limite.

Definizione di limite. Con la notazione:

limx→x0

f(x) = L

che si legge “il limite per x tendente a x0 di f(x) e uguale a L”;

si intende che:

1. fissato sull’asse y un intorno I(L, ε) di centro L e di raggio piccolo a piacere (chiamiamoquesto numero piccolo a piacere ε lettera greca che si legge epsilon).

2. esiste sull’asse x un intorno di x0 tale che, per qualunque x appartenente a tale intorno,f(x) ∈ I(L, ε).

In parole piu semplici, ma anche meno precise, cio significa che il valore della funzione si avvicina“quanto vogliamo” a L, a patto che si scelga x “sufficientemente vicino” a x0.

Per verificare un limite, operazione in molti casi abbastanza complicata, si procede nel modoseguente:

• si imposta il sistema di disequazioni: {f(x) < L+ εf(x) > L− ε

In questo modo f(x) appartiene all’intorno I(L, ε)

• si risolve il sistema di disequazioni

• se la soluzione e un intorno di x0 abbiamo verificato il limite.

Cerchiamo di chiarire col seguente esempio:

. Verificare il limite:limx→3

2x− 1 = 5

Osserviamo che tale limite deriva dal caso generale ponendo L = 5, f(x) = 2x− 1, x0 = 3.

Impostiamo il sistema di disequazioni:

{2x− 1 < 5 + ε2x− 1 > 5− ε

{x < 6+ε

2x > 6−ε

2

{x < 3 + ε

2x > 3− ε

2

Per determinare la soluzione del sistema usiamo il grafico di figura 2.11

che fornisce la soluzione: S = {x ∈ R|3− ε2 < x < 3 + ε

2}

Essendo la soluzione un intorno di 3 (cioe di x0) il limite e verificato.

. Verificare il limite:limx→1

4x+ 3 = 11

Osserviamo che tale limite deriva dal caso generale ponendo L = 11, f(x) = 4x+ 3, x0 = 1.

Impostiamo il sistema di disequazioni:


3 - ε/2 3 + ε/2

Figura 2.11: La soluzione di un sistema corrisponde all’intervallo in cui sono presenti entrambe lelinee del grafico

{4x+ 3 < 11 + ε4x+ 3 > 11− ε

{x < 8+ε

4x > 8−ε

4

{x < 2 + ε

4x > 2− ε

4

La soluzione del sistema e quindi (lasciamo al lettore il compito di disegnare il grafico):

S = {x ∈ R|2− ε4 < x < 2 + ε

4}

Non essendo la soluzione un intorno di 1 (cioe di x0) il limite non e verificato (e quindi e sbagliato).

�

Osservazione. Se le funzioni fossero state anche leggermente piu complesse, sarebbe stato moltopiu difficile risolvere i sistemi e di conseguenza verificare i limiti.

�

2.8.2 Il calcolo di un limite

Nel precedente paragrafo abbiamo verificato un limite. In altre parole ci veniva assegnato in anticipoil valore del limite (cioe L) e dovevamo verificare se tale risultato era giusto (nel primo esempio loera, mentre nel secondo no).

Adesso ci occupiamo del calcolo di un limite, cioe di determinare L (e nella maggior parte dei casie un compito piu facile della verifica). Procederemo per casi.

Teorema. Se x0 appartiene al dominio di una funzione e la funzione e continua in x = x0, alloravale:

limx→x0

f(x) = f(x0)

�

Il teorema ci dice quindi che se x0 appartiene al dominio di una funzione e la funzione e continuain x = x0, per calcolare il limite basta sostituire nella funzione a x il valore x0.

Esempi

. Calcolare il limite:limx→3

2x− 1


Sappiamo che tale funzione e continua (vedi paragrafo 2.6) e che il suo dominio e:

D = {x ∈ R}

Quindi 3 appartiene al suo dominio. Sostituiamo nella f(x), in questo caso 2x − 1, ad x il valoredi x0, in questo caso 3:

2 · 3− 1 = 6− 1 = 5

quindilimx→3

2x− 1 = 5

(si osservi che e il limite che abbiamo verificato nel precedente paragrafo).

. Calcolare il limite:

limx→2

x2 − 3x+ 1

x− 5

Sappiamo che tale funzione e continua (vedi paragrafo 2.6) e il suo dominio e:

D = {x ∈ R|x 6= 5}

Quindi 2 appartiene al suo dominio. Sostituiamo nella f(x), in questo caso x2−3x+1x−5 , ad x il valore

di x0, in questo caso 2:22 − 3 · 2 + 1

2− 5=

4− 6 + 1

−3=−1

−3=

1

3

quindi

limx→2

x2 − 3x+ 1

x− 5=

1

3

. Calcolare il limite:

limx→5

x2 − 3x+ 1

x− 5

(e la stessa funzione di prima; e cambiato il valore a cui tende x)

Dal momento che 5 non appartiene al dominio della funzione, non possiamo applicare il teorema equindi, per ora, non sappiamo calcolare il limite.

�

2.8.3 Il calcolo del limite in un punto non appartenente al dominio

Quando diciamo che x tende ad x0, si intende che x, muovendosi sulla retta, si “avvicina” sempredi piu, al punto “fermo” x0. Tale avvicinamento puo verificarsi in due modi, o da destra, quindiper valori di x maggiori di x0, o da sinistra, quindi per valori di x minori di x0 (figura 2.12).

Esempio

. Se x0 = 2, la successione di numeri:

2, 1; 2, 01; 2, 001; 2, 0001; 2, 00001; 2, 000001; . . .

si avvicina al numero 2 con valori maggiori di 2 e quindi da destra; mentre la successione di numeri:

1, 9; 1, 99; 1, 999; 1, 9999; 1, 99999; 1, 999999; . . .

si avvicina al numero 2 con valori minori di 2 e quindi da sinistra.


x0

Figura 2.12: A destra di x0 ci sono i valori maggiori di x0, mentre a sinistra di x0 ci sono i valoriminori di x0

�

Puo accadere che il limite sia diverso a seconda se x tende a x0 da destra o da sinistra. Per questosono stati definiti l’intorno destro e intorno sinistro di un punto:

Definizione di intorno destro di un punto. Preso un punto x0 su una retta. Si definisceintorno destro di centro x0 e raggio l, (e si indica con ID(x0, l)), l’intervallo sulla retta (x0, x0 + l) .

�

Definizione di intorno sinistro di un punto. Preso un punto x0 su una retta. Si definisceintorno sinistro di centro x0 e raggio l, (e si indica con IS(x0, l)), l’intervallo sulla retta (x0− l, x0).

�

Possiamo quindi definire il limite destro e il limite sinistro di una funzione:

Definizione di limite destro. Con la notazione:

limx→x0

+f(x) = L

si intende che:

1. fissato sull’asse y un intorno I(L, ε) di centro L e di raggio epsilon.

2. esiste sull’asse x un intorno destro di x0 tale che, per qualunque x appartenente a tale intorno,f(x) ∈ I(L, ε).

Definizione di limite sinistro. Con la notazione:

limx→x0

−f(x) = L

si intende che:

1. fissato sull’asse y un intorno I(L, ε) di centro L e di raggio epsilon.

2. esiste sull’asse x un intorno sinistro di x0 tale che, per qualunque x appartenente a taleintorno, f(x) ∈ I(L, ε).


Quindi siamo in presenza di un limite destro se accanto al valore cui tende x c’e il segno “+”,mentre siamo in presenza di un limite sinistro se accanto al valore cui tende x c’e il segno “-”. Nelcaso in cui non ci sia nessuno dei due segni, significa che il limite non cambia se xtende a x0 da destra o da sinistra.

Osservazione. Abbiamo titolato il paragrafo “Il calcolo del limite in un punto non appartenenteal dominio”. Come e intuibile il limite ad un punto non appartenente al dominio esiste, se il puntoche non appartiene al dominio ha un intorno (anche solo sinistro o destro) appartenente al dominio.In caso contrario non esiste il limite.

Pertanto esiste il limite:

limx→2−

1

x− 2

in quanto 2 non appartiene al dominio, ma tutti i punti appartenenti all’intorno di 2 (esclusoovviamente 2) appartengono al dominio.

Mentre non esiste il limite:lim

x→−5

√x

in quanto nessun intorno di −5 appartiene al dominio della funzione.

�

Osservazione. Non si confonda il segno che contraddistingue se il limite e destro o sinistro, con ilsegno del valore a cui tende il limite. Ad esempio:

limx→2−

f(x)

vuol dire che x tende a 2 da valori minori di 2 (come 1, 9; 1, 99; 1, 999; 1, 9999; 1, 99999; . . .)e non che tende a −2.

Cosı comelim

x→−2+f(x)

vuol dire che x tende a−2 da valori maggiori di−2 (come−1, 9; −1, 99; −1, 999; −1, 9999; . . .).

Come abbiamo visto nella prima osservazione questi limiti sono generalmente usati per le funzionirazionali fratte. Per capire il comportamento di tali limiti, studiamo l’andamento di una frazioneal variare del suo denominatore.

Prendiamo ad esempio la funzione f(x) = 1x . Se x “e vicino” a zero, la frazione e un numero

elevato. Infatti:

Se x = 0, 1 cioe x = 110 abbiamo che 1

x = 10,1 = 10


x = 10,01 = 100


x = 10,001 = 1000


x = 10,0001 = 10000

Ovviamente se ripetessimo questo procedimento senza mai interrompersi, la funzione crescerebbeillimitatamente. Nel linguaggio dei limiti una funzione che cresce illimitatatamente si dice che tendeall’infinito.

Ripetiamo il procedimento, soltanto che adesso ci avviciniamo a zero, scegliendo per x valorinegativi:

Se x = −0, 1 cioe x = − 110 abbiamo che 1

x = 1−0,1 = −10



x = 1−0,01 = −100


x = 1−0,001 = −1000


x = 1−0,0001 = −10000

Anche qui potremmo ripetere il procedimento, e vedremmo che la frazione decrescerebbe illimitata-mente. Appare chiaro comunque che, nei due casi, i comportamenti della frazione sono ben diversi(in una cresce illimitatamente e nell’altra decresce illimitatamente). Nel primo caso si dice che lafrazione tende a “piu infinito” (in simboli +∞), mentre nel secondo si dice che la frazione tende a“meno infinito” (in simboli −∞).

Quindi se x tende a 0 da destra, la frazione 1x tende a piu infinito. Tradotto in simboli significa:

limx→0+

1

x= +∞

mentre se x tende a 0 da sinistra, la frazione 1x tende a meno infinito. Tradotto in simboli significa:

limx→0−

1

x= −∞

Un modo utile per calcolare questi limiti e quello di sostituire al denominatore l’espressione 0+ se ildenominatore si avvicina a zero da valori positivi, e l’espressione 0− se si avvicina a zero da valorinegativi. In questo modo e facile calcolare il limite: se al denominatore abbiamo 0+ o 0− sappiamoche la funzione tende all’infinito. Per stabilire se e piu o meno infinito si usa la regola dei segnidella divisione. Chiariamo quanto detto con i seguenti:

Esempi

. Calcolare

limx→3+

x− 5

x− 3

Il dominio della funzione x−5x−3 e D = {x ∈ R|x 6= 3}

Quindi siamo nel caso appena affrontato. Se x tende a 3 da valori maggiori di 3, il denomina-tore tende a 0 da valori maggiori di 0. Pertanto al denominatore scriveremo 0+. Al numeratoresostituiamo 3 alla x ottenendo −2. Quindi:

limx→3+

x− 5

x− 3=−2

0+= −∞

Il valore −∞ viene dalla regola dei segni: infatti numeratore negativo fratto denominatore positivo(“piu diviso meno”) rende la frazione negativa.

. Calcolare il limite

limx→6+

x2 − 2x− 20

6− xIl dominio della funzione e D = {x ∈ R|x 6= 6}

Se x tende a 6 da valori maggiori di 6, il denominatore tende a 0 da valori minori di 0 (infatti sex e maggiore di 6, 6 − x e minore di 0). Pertanto al denominatore scriveremo 0−. Al numeratoresostituiamo 6 alla x ottenendo

62 − 2 · 6− 20 = 36− 12− 20 = 4

Quindi:

limx→6+

x2 − 2x− 20

6− x=

4

0−= −∞


1 2- ++

Figura 2.13: Il grafico mostra che a sinistra del 2, cioe per valori minori di 2, il trinomio x2−3x+2e negativo

. Calcolare il limite

limx→2−

x− 3

x2 − 3x+ 2

Ponendo il denominatore uguale a zero e risolvendo l’equazione di secondo grado, si ottiene ildominio:

x2 − 3x+ 2 = 0→ x1 = 1; x2 = 2

Quindi il dominio risulta: D = {x ∈ R|x 6= 1 ∧ x 6= 2}

Quindi siamo nel caso del limite ad un punto non appartenente al dominio. In questo caso percapire se al denominatore abbiamo uno 0+ oppure uno 0−, si imposta la disequazione:

x2 − 3x+ 2 > 0

la cui risoluzione e immediata dal momento che gia sappiamo le soluzioni dell’equazione associatache sono 1 e 2. Rappresentiamo quindi x > 1 e x > 2 sul grafico di figura 2.13

Dal grafico capiamo che, per x che tende a 2 da sinistra, il denominatore x2− 3x+ 2 tende a 0 convalori negativi. Pertanto al denominatore abbiamo 0−. Quindi, dal momento che al numeratore,sostituendo 2 ad x, otteniamo −1, il limite risulta:

limx→2−

x− 3

x2 − 3x+ 2=−1

0−= +∞

�

2.8.4 I limiti per x tendente a piu o meno infinito

Quella che stiamo per trattare fa parte della cosiddetta “Algebra degli Infiniti”. Per comprenderee meglio ricordare le seguenti uguaglianze, si pensi ad un numero positivo enormemente grandequando compare il simbolo +∞, e ad un numero negativo enormemente grande quando compare ilsimbolo −∞:

• +∞+∞ = +∞ (la somma di due numeri positivi enormemente grandi e ancora un numeropositivo enormemente grande).

−∞−∞ = −∞ (la somma di due numeri negativi enormemente grandi e ancora un numeronegativo enormemente grande).

• ±∞ · (±∞) = ±∞ vuol dire che “infinito per infinito ha sempre come risultato infinito” ed ilsegno del prodotto deriva dalla consueta regola dei segni della moltiplicazione.


• k · (±∞) = ±∞ vuol dire che il prodotto di un numero (positivo o negativo) per infini-to e sempre infinito ed il segno del prodotto deriva dalla consueta regola dei segni dellamoltiplicazione.

• n√

+∞ = +∞ (la radice di un numero enormemente grande, e ancora un numero enormementegrande)

n√−∞ = −∞ solo se n e un numero dispari. Se l’indice della radice e un numero pari, n

√−∞

non esiste.

• k±∞ = 0 a prescindere dal segno di k e dal segno di infinito.

Per capire l’ultima uguaglianza si pensi a quando ci hanno spiegato per la prima volta lefrazioni: ad esempio la frazione 2

5 significa tagliare una torta in 5 fette e prenderne 2;

La frazione 225 significa prendere la stessa torta, tagliarla in 25 fette e prenderle 2. Appare

chiaro che in questo caso le fette sono piu piccole;

La frazione 21000000 vuol dire tagliare la torta in un milione di fettine microscopiche e prenderle

solo 2.

Se il denominatore cresce illimitatamente la fetta di torta tende a diventare cosı piccola dascomparire e quindi una frazione col denominatore che tende all’infinito e uguale a zero.

Per proseguire ci basiamo sull’ovvio presupposto che:

limx→+∞

x = +∞ limx→−∞

x = −∞

Comprese le precedenti uguaglianze, e questi ultimi 2 limiti, possiamo affrontare, tramite i seguentiesempi, il calcolo dei limiti per x tendente a piu o meno infinito:

Esempi

. limx→+∞

x2 = +∞ infatti x2 = x · x quindi siamo nel caso +∞ · (+∞) = +∞

. limx→−∞

x2 = +∞ infatti −∞ · (−∞) = +∞ o anche: −∞ elevato a esponente pari risulta

+∞

. limx→−∞

x3 = −∞ infatti −∞ elevato a esponente dispari risulta −∞

. limx→+∞

x3 + 5x = +∞+ 5 · (+∞) = +∞+∞ = +∞

. limx→−∞

x3 + 5x = −∞+ 5 · (−∞) = −∞−∞ = −∞

. limx→+∞

4√x3 + 5x = 4

√+∞+ 5 · (+∞) = 4

√+∞+∞ = 4

√+∞ = +∞

. limx→−∞

3√x3 + 5x = 3

√−∞+ 5 · (−∞) = 3

√−∞−∞ = 5

√−∞ = −∞

. limx→−∞

10

x3 + x=

10

−∞+ k · (−∞)=

10

−∞−∞=

10

−∞= 0

2.8.5 Le potenze con esponente frazionario

Per proseguire e utile ricordare cosa significa una potenza con esponente frazionario.

Innanzitutto sappiamo che una potenza di potenza e equivalente ad una potenza che ha per basela stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti (terza proprieta delle potenze). Quindi,ad esempio, (23)5 = 215.


Vogliamo adesso rappresentare un radicale, sotto forma di potenza. Prendiamo ad esempio 3√

2 echiediamoci se puo essere rappresentato sotto forma di potenza di base 2, in modo che tutte leproprieta delle potenze rimangano valide. Dalla prima proprieta fondamentale dei radicali risultache:

(3√

2)3 = 2

quindi se vogliamo individuare un valore x tale che il radicale 3√

2 sia equivalente alla potenza2x, cioe 3

√2 = 2x, anche 2x elevato alla terza deve dare risultato 2. In altre parole deve valere

l’equazione:(2x)3 = 2

usando le proprieta delle potenze, l’equazione diventa:

23x = 2

Affinche due potenze aventi la stessa base siano uguali, devono necessariamente avere, salvo casiparticolari che a noi non interessano, anche lo stesso esponente, quindi deve risultare:

3x = 1→ x =1

3

(l’esponente di 2 del secondo termine e 1).

Quindi possiamo dare un significato alla potenza di base 2, con esponente frazionario 13 , ponendo

213 =

3√

2

Consideriamo adesso il radicale5√a2 e supponiamo di volerlo scrivere come potenza di base a.

Sempre dalla prima proprieta fondamentale risulta che:

(5√a2)5 = a2

pertanto se vogliamo individuare un numero x tale che ax =5√a2, x deve essere tale da verificare:

(ax)5 = a2 → a5x = a2 → 5x = 2→ x =2

5

Quindi a25 =

5√a2

Possiamo estendere allora tali risultati a qualunque potenza con esponente frazionario, mediante laseguente formula:

amn = n

√am

che puo essere descritta nel seguente modo: un radicale di indice n che ha come radicandouna potenza di base a ed esponente m, puo essere scritto come una potenza di basea ed esponente una frazione che ha al numeratore, l’esponente del radicando (m) e aldenominatore, l’indice della radice (n).

Potremmo verificare, ma non lo facciamo, che le potenze con esponente frazionario, cosı come leabbiamo definite, soddisfano tutte le proprieta delle potenze.

Esempi

.4√

73 = 734

.√

75 = 752

. 4√

7 = 714

�


2.8.6 Le forme indeterminate

Le forme indeterminate che tratteremo sono:

• +∞−∞

• ∞∞

• 00

Caso +∞−∞: si differenzia dai casi +∞ +∞ e −∞−∞, in quanto si tratta di una somma diinfiniti aventi segno diverso. In quato caso, per calcolare il limite, bisogna capire qual’e “l’infinitopiu grande” (forma impropria per dire l’infinito di ordine maggiore). Affrontiamo la questionetramite il seguente:

Esempio

. limx→+∞

x2 − 10x

Siamo nel caso +∞−∞. Consideriamo la seguente tabella:

x x2 10x x2 − 10x

100 10000 1000 9000

1000 1000000 10000 990000

10000 100000000 100000 99900000

100000 10000000000 1000000 9999000000

. . . . . . . . . . . .

e osserviamo che x2 cresce molto piu velcemente di 10x, tanto che, al crescere di x, il termine 10xdiventa sempre piu trascurabile. Vale il seguente:

Principio dei limiti per x tendente a ±∞. In una somma di infiniti, l’infinito di ordinemaggiore e quello che ha il grado (esponente) maggiore. Il limite e equivalente ad un limite in cuicompare solo il termine di grado maggiore.

Quindi tornando al precedente esempio, x2 ha grado maggiore e quindi:

limx→+∞

x2 − 10x = limx→+∞

x2 = +∞

�

Esempi

. Calcolare il seguente limite limx→−∞

121x3 − 11x− 3x4 + 100000

Il termine di grado maggiore e −3x4, quindi possiamo trascurare tutti gli altri termini e il limitediventa:

limx→−∞

−3x4

che sappiamo calcolare, infatti:

limx→−∞

−3x4 = −3 · (−∞)4 = −3 · (+∞) = −∞

. Calcolare il seguente limite limx→+∞

15x2 + 8x−√x5


Il termine di grado maggiore e −√x5 (infatti trasformato in potenza il termine diventa x

52 e

sappiamo che 52 > 2). Quindi possiamo trascurare tutti gli altri termini e il limite diventa:

limx→+∞

−√x5


limx→+∞

−√x5 = −

√(+∞)5 = −

√(+∞) = −(+∞) = −∞


3√

2x− x3 + 10x5

Il termine di grado maggiore e +10x5 . Quindi possiamo trascurare tutti gli altri termini e il limitediventa:

limx→+∞

3√

+10x5


limx→+∞

3√

+10x5 = 3√

+10 · (+∞)5 = 3√

+10 · (+∞) = 3√

+∞ = +∞


−4x3 + 3x3

Sono due i termini di grado maggiore, ma, naturalmente, essendo simili possiamo sommarli. Quindi

limx→+∞

−4x3 + 3x3 = limx→+∞

−x3 = −(+∞)3 = −(+∞) = −∞

�

Caso ∞∞ : bisogna stabilire se l’infinito di ordine maggiore e al denominatore, oppure al numeratore.Vediamo come affrontare questi limiti tramite degli esempi:

. Calcolare il seguente limite: limx→+∞

2x2 + 15

5x3 − 7x+ 2

Il termine di grado maggiore del numeratore e 2x2, mentre quello del denominatore e 5x3. Per cuiil precedente limite e equivalente al seguente:

limx→+∞

2x2

5x3

Possiamo semplificare:

limx→+∞

2x2

5x3= lim

x→+∞

2 6x2

5x63= lim

x→+∞

2

5x

L’ultimo limite lo sappiamo calcolare:

limx→+∞

2

5x=

2

5 · (+∞)=

2

+∞= 0

. Calcolare il seguente limite: limx→+∞

3√x2 + x4 − 22

−7x+ 2

Il termine di grado maggiore del numeratore e3√x4 (equivalente a 2x

43 ), mentre quello del denomi-

natore e −7x. Per cui il precedente limite e equivalente al seguente:

limx→+∞

x43

−7x



limx→+∞

x643

13

−7 6x= lim

x→+∞

x13

−7= lim

x→+∞

3√x

−7

L’ultimo limite lo sappiamo calcolare:

limx→+∞

3√x

−7=

3√

+∞−7

=+∞−7

= −∞

. Calcolare il seguente limite: limx→−∞

2x2 + 15 + 11x3

5x3 − 7x+ 2

Il termine di grado maggiore del numeratore e 11x3, mentre quello del denominatore e 5x3. Per cuiil precedente limite e equivalente al seguente:

limx→−∞

11x3

5x3


limx→−∞

11x3

5x3= lim

x→−∞

11 6x3

5 6x3= lim

x→−∞

11

5

Dall’ultimo limite e scomparsa la x, quindi:

limx→−∞

11

5=

11

5

�

Caso 00 : Il caso 0

0 si manifesta quando abbiamo un limite con x tendente ad un punto x0 (e quindinon a ±∞), che annulla sia il numeratore che il denominatore, come nel seguente:

Esempio

. Calcolare il limite: limx→5

x− 5

x2 − 7x+ 10

Determiniamo il dominio, ponendo il denominatore uguale a zero:

x2 − 7x+ 10 = 0→ x1 = 2; x2 = 5

Quindi il dominio risulta D = {x ∈ R|x 6= 2 ∧ x 6= 5}: da cio deriva anche che, sostituendo alla xil valore 5 il denominatore diventa uguale a zero.

Inoltre, sostituendo alla x il valore 5 anche il numeratore diventa uguale a zero, e quindi siamo nelcaso 0

0 .

Questi casi si affrontano scomponendo chi, fra numeratore, denominatore o tutti e due, ha gradomaggiore di uno. Generalmente per scomporre si usa:

• l’equazioni di secondo grado, o la tecnica “somma prodotto” se il polinomio ha grado 2;

• Metodo di Ruffini se il polinomio ha grado maggiore di 2

(Per un ripasso sulle scomposizioni si veda, fra le dispense “Appunti di Matematica”, la numero 2dal titolo: Il calcolo letterale”).


In questo caso solo il denominatore ha grado maggiore di 1 e quindi va scomposto. Dal momentoche abbiamo risolto l’equazione di secondo grado sappiamo che:

x2 − 7x+ 10 = (x− 2)(x− 5)

quindi il limite diventa:

limx→5

x− 5

x2 − 7x+ 10= lim

x→5

6x− 5

(x− 2) 6(x− 5)= lim

x→5

1

x− 2

A questo punto, essendo 1x−2 funzione continua nel punto x = 5, basta sostituire alla x il valore 5,

ottenendo:

limx→5

1

x− 2=

1

3

�

Approfondiamo con i seguenti:

Esempi


x3 − 5x+ 2

x2 − 5x+ 6


x2 − 5x+ 6 = 0→ x1 = 2; x2 = 3

Quindi il dominio risulta D = {x ∈ R|x 6= 2 ∧ x 6= 3}: da cio deriva anche che, sostituendo alla xil valore 2 il denominatore diventa uguale a zero.

Sostituiamo adesso il valore 2 al numeratore ottenendo:

23 − 5 · 2 + 2 = 8− 10 + 2 = 0

Quindi siamo nel caso 00 .

Scomponiamo allora il numeratore con il metodo di Ruffini:

1 0 −5 2

2 2 4 −2

1 2 −1 0

Quindi il numeratore si scompone:

x3 − 5x+ 2 = (x− 2)(x2 + 2x− 1)

Il denominatore si scompone tramite l’equazione di secondo grado che abbiamo gia risolto perdeterminare il dominio. Quindi:

x2 − 5x+ 6 = (x− 2)(x− 3)

Sostituendo nel limite, ai polinomi le relative scomposizioni, otteniamo:

limx→2

x3 − 5x+ 2

x2 − 5x+ 6= lim

x→2

6(x− 2) (x2 + 2x− 1)

6(x− 2) (x− 3)= lim

x→2

x2 + 2x− 1

x− 3

A questo punto, essendo x2+2x−1x−3 funzione continua nel punto x = 2, basta sostituire alla x il valore

2, ottenendo:

limx→2

x2 + 2x− 1

x− 3=

22 + 2 · 2− 1

2− 3=

7

−1= −7



5x4 + 12x

8x


8x = 0→ x = 0

Quindi il dominio risulta D = {x ∈ R|x 6= 0}: da cio deriva anche che, sostituendo alla x il valore0 il denominatore diventa uguale a zero.

Sostituiamo adesso il valore 0 al numeratore ottenendo:

5 · 04 + 12 · 0 = 0

Quindi siamo nel caso 00 .

Scomponiamo allora il numeratore. Osserviamo che in questo caso possiamo adottare la tecnicadel raccoglimento a fattor comune:

5x4 + 12x = x(5x3 + 12)

Il denominatore e di primo grado e quindi gia scomposto. Pertanto:

limx→0

5x4 + 12x

8x= lim

x→0

6x (5x3 + 12)

8 6x= lim

x→0

5x3 + 12

8

A questo punto, essendo 5x3+128 funzione continua nel punto x = 0, basta sostituire alla x il valore

0, ottenendo:

limx→0

5x3 + 12

8=612 3

68 2=

3

2

�

2.9 Lo Studio di Funzione (prima parte)

Come gia detto uno dei nostri principali obiettivi e quello di saper rappresentare su un pianocartesiano il grafico di una funzione partendo dalla conoscenza della sua espressione analitica (perla sua importanza, si riguardi la definizione di grafico di una funzione, nel paragrafo 2.3 di questedispense).

Una strategia, fallimentare, potrebbe essere quella di dare una serie di valori alla variabile x,sostituirli nell’espressione di f(x), determinando cosı vari punti appartenenti al grafico, come nelseguente:

Esempio

. x3 − 4

Scegliamo casualmente dei valori da attribuire ad x, ad esempio: 1; 0; −1; 2; 3 e sostituiamolinell’espressione di f(x) ottenendo:

f(1) = −3; f(0) = −4; f(−1) = −5; f(2) = 4; f(3) = 23

Quindi alcuni punti appartenenti al grafico di f sono: (1;−3); (0;−4); (−1;−5); (2; 4); (3; 23).

�


Il problema di agire in questo modo e che non possiamo assolutamente sapere come si comportail grafico in quei valori di x che non abbiamo sostituito. Anche la tattica di determinare “tanti”punti e piuttosto inutile, in quanto un grafico e formato da un’infinita continua di punti!

Quello che faremo quindi, e studiare qualitativamente la funzione, cercando di capire il comporta-mento del suo grafico per qualunque valore di x appartenente al dominio.

2.9.1 Le sei fasi dello Studio di Funzione

Articoleremo lo studio di funzione nelle seguenti sei fasi:

1. L’individuazione del dominio.

2. Lo studio della continuita.

3. Le intersezioni con gli assi; positivita e negativita della funzione.

4. Il comportamento ai bordi del dominio: gli asintoti

5. Studio dei massimi e dei minimi; crescenza e decrescenza della funzione.

6. Studio della concavita, convessita e punti di flesso di una funzione.

Ognuna di queste fasi ci fornisce informazioni sul grafico, che noi annoteremo nel piano cartesiano.

Premettiamo che per gli ultimi due punti abbiamo bisogno di introdurre il concetto di derivata chetratteremo nel prossimo capitolo. Per ora ci limitiamo quindi ai primi 4 punti. Osserviamo che nelquarto punto compaiono gli asintoti. Affrontiamo quindi il concetto di asintoto.

2.9.2 Gli asintoti

La parola asintoto deriva dal greco e significa “che non incontra”. L’etimologia e rispecchiata nelladefinizione:

Definizione di asintoto di una funzione. L’asintoto di una funzione e una retta a cui il graficodella funzione si avvicina infinitamente senza mai toccarla. Tale “avvicinamento” si verifica per xo y tendenti all’infinito.

�

Tramite esempi cercheremo di capire meglio la definizione. Per ora osserviamo che l’asintoto,essendo una retta del piano cartesiano, puo essere o orizzontale o verticale o obliquo.

2.9.3 Gli asintoti verticali

L’asintoto verticale ha, come tutte le rette verticali, equazione x = un numero. Siamo di fronte adun asintoto verticale, quando, facendo tendere x ad un numero (e quindi calcolando il limite perx tendente ad un numero), si verifica che la funzione tende a piu o meno infinito. Osserviamo checio puo avvenire soltanto se il numero a cui tende x non appartiene al dominio della funzione, maesiste un intorno del numero, anche solo destro o sinistro, che invece appartiene al dominio dellefunzione. Per le funzioni che trattiamo, cio avviene solo per le funzioni razionali fratte.

Esempio


. Determinare eventuali asintoti verticali della funzione f(x) = x2−9x2−5x+6

Per prima cosa individuiamo il dominio ponendo il denominatore uguale a 0:

x2 − 5x+ 6 = 0→4 = 1→ x = 2 ∨ x = 3

Pertanto il dominio risulta: D = {x ∈ R|x 6= 2 ∧ x 6= 3}.

Una volta calcolato il dominio conviene provare a scomporre il numeratore e il denominatore dellafunzione per vedere se possiamo semplificare qualche fattore:

x2 − 5x+ 6 = (x− 2)(x− 3)

x2 − 9 = (x− 3)(x+ 3)

Pertanto la funzione puo essere riscritta come:

f(x) =x2 − 9

x2 − 5x+ 6=

6(x− 3) (x+ 3)

(x− 2) 6(x− 3)=x+ 3

x− 2

La frazione si presenta adesso in modo piu semplice. Ribadiamo pero che tale semplificazionepuo essere effettuata solo dopo aver determinato il dominio.

Per quanto detto le due rette “candidate” ad essere asintoti verticali per questa funzione sono x = 2e x = 3. Determiniamo allora i limiti, destro e sinistro, per x tendente prima a 2 poi a 3:

limx→2−

x+ 3

x− 2=

5

0−= −∞

limx→2+

x+ 3

x− 2=

5

0+= +∞

Pertanto la retta x = 2 e asintoto verticale.

limx→3−

x+ 3

x− 2=

6

1= 6

limx→3+

x+ 3

x− 2=

6

1= 6

Pertanto x = 3 non e asintoto verticale.

Dalla figura 2.14 osserviamo come disegnare sul grafico le informazioni ricavate.

Dal momento che il limite sinistro per x tendente a 2 e meno infinito, tracciamo alla sinistra e ilpiu vicino possibile alla retta x = 2, un segno in basso (questo sta a significare che per x tendentea 2 da sinistra la funzione tende a meno infinito).

Inoltre, dal momento che il limite destro per x tendente a 2 e piu infinito, tracciamo alla destra eil piu vicino possibile alla retta x = 2, un segno in alto (questo sta a significare che per x tendentea 2 da destra la funzione tende a piu infinito).

Invece per x tendente a 3, sia da sinistra che a destra, il limite della funzione e 6. Tracciamo quindiun pallino vuoto in corrispondenza del punto di coordinate (3; 6), che sta a significare che il graficodella funzione si avvicina infinitamente al pallino senza mai toccarlo.

2.9.4 Gli asintoti orizzontali

Le rette orizzontali hanno equazione y = un numero. Per vedere quindi se la funzione ha unasintoto orizzontale, considerando anche la definizione di asintoto, bisogna determinare il limitedella funzione per x tendente a piu infinito: se tale limite e un numero finito, la retta y = a quelnumero rappresenta l’asintoto orizzontale destro (destro perche x tende a piu infinito). Ripetiamoil procedimento per x tendente a meno infinito: se tale limite e un numero finito, la retta y = a


x=2 x=3

(3;6)

xo

y

Figura 2.14: I segni sul piano cartesiano e il pallino vuoto indicano il comportamento del graficoper x tendente a 2 e tendente a 3

xo

y

3/2

Figura 2.15: Con le informazioni che ricaveremo in seguito, sapremo quali segni cancellare dalpiano cartesiano

quel numero rappresenta l’asintoto orizzontale sinistro). Nella maggior parte dei casi i due limiticoincideranno e quindi l’asintoto orizzontale destro coincidera con quello sinistro.

Se i limiti precedenti sono infiniti, la funzione non ha asintoti orizzontali.

Esempi

. Determinare eventuali asintoti orizzontali della funzione f(x) = 3x2−5x+72x2−5x+6

Calcoliamo il limite della funzione per x tendente a piu e meno infinito:

limx→+∞

3x2 − 5x+ 7

2x2 − 5x+ 6= lim

x→+∞

3 6x2

2 6x2=

3

2

limx→−∞

3x2 − 5x+ 7

2x2 − 5x+ 6= lim

x→−∞

3 6x2

2 6x2=

3

2

Pertanto y = 32 e l’equazione dell’asintoto orizzontale (sia destro che sinistro). Per riportare questa

informazione sul grafico si disegna la retta y = 32 e, dal momento che e sia asintoto destro che

sinistro, in prossimita della retta, sia a destra che a sinistra, tracciamo un segno molto vicino allaretta. Il problema e che non sappiamo se disegnarlo sopra o sotto la retta: per il momento segnia-molo sia sopra che sotto la retta, con le informazioni che ricaveremo dallo studio della funzione,sapremo poi determinare quale dei due segni e giusto e quale va cancellato (figura 2.15).

. . Determinare eventuali asintoti orizzontali della funzione f(x) =√

3x2 − 5x+ 7

Calcoliamo il limite della funzione per x tendente a piu e meno infinito:


limx→+∞

√3x2 − 5x+ 7 = lim

x→+∞

√3x2 =

√+∞ = +∞

limx→−∞

√3x2 − 5x+ 7 = lim

x→−∞

√3x2 =

√+∞ = +∞

Pertanto la funzione non ha asintoti orizzontali.

�

2.9.5 Gli asintoti obliqui

Premettiamo alla trattazione due evidenti proprieta dei limiti:

• Il limite di una somma di funzioni e uguale alla somma dei limiti di ciascuna funzione(ovviamente se tali limiti sono finiti).

Esempio: limx→5

√5x+ 7 +

x+ 1

3x2= lim

x→5

√5x+ 7 + lim

x→5

x+ 1

3x2

• Il limite di una funzione costante e uguale alla costante stessa:

Esempio: limx→+∞

27 = 27

Torniamo quindi agli asintoti.

Nel caso la funzione non abbia asintoti orizzontali, dobbiamo verificare se ha asintoti obliqui. Lerette oblique hanno equazione y = mx + q. Per avere asintoto obliquo la funzione f(x), per xtendente all’infinito, deve avere lo stesso comportamento della retta y = mx+ q. In formule:

limx→+∞

f(x) = limx→+∞

mx+ q

limx→−∞

f(x) = limx→−∞

mx+ q

Queste equazioni ci suggeriscono come determinare l’eventuale asintoto obliquo (destro), dividendoentrambi i termini per x:

limx→+∞

f(x) = limx→+∞

mx+ q → limx→+∞

f(x)

x= lim

x→+∞

m 6x6x

+q

x

Ma dal momento che:

limx→+∞

q

x= 0

e che, ovviamente:

limx→+∞

m = m

Otteniamo, scambiando i termini della equazione:

m = limx→+∞

f(x)

x

Se il limite e finito, allora esiste l’asintoto obliquo (destro) ed ha coefficiente angolare uguale alvalore del limite. In tal caso possiamo ricavarci anche il termine noto q partendo dalla solitaequaglianza:

limx→+∞

f(x) = limx→+∞

mx+ q → q = limx→+∞

f(x)−mx

Riepiloghiamo allora il:

Metodo per determinare l’eventuale asintoto obliquo destro della funzione.


• Se la funzione non ha asintoto orizzontale destro, allora potrebbe avere (ma non e sicuro)asintoto obliquo destro.

• Si calcola il limx→+∞

f(x)

x. Se tale limite e finito l’asintoto obliquo esiste ed ha coefficiente

angolare m uguale al risultato del limite. Se il limite e invece infinito, non esiste nemmenol’asintoto obliquo destro.

• Se l’asintoto esiste bisogna calcolare il termine noto q con la formula:

q = limx→+∞

f(x)−mx

La retta di equazione y = mx+ q e l’asintoto obliquo destro cercato.

Il procedimento per determinare l’eventuale asintoto obliquo sinistro e identico: basta sostituire ilimiti per x tendente a piu infinito con limiti per x tendente a meno infinito.

Esempi

. Determinare eventuali asintoti obliqui della funzione f(x) = 6x2−5x+72x+5

Verifichiamo prima che la funzione non abbia asintoto orizzontale calcolando il limite della funzioneper x tendente a piu e meno infinito:

limx→+∞

6x2 − 5x+ 7

2x+ 5= lim

x→+∞

6x62

2 6x= lim

x→+∞x = +∞

limx→−∞

6x2 − 5x+ 7

2x+ 5= lim

x→−∞

6x62

2 6x= lim

x→−∞x = −∞

Pertanto non esistono asintoti orizzontali. Possiamo quindi vedere se esistono asintoti obliqui:

limx→+∞

6x2 − 5x+ 7

2x+ 5· 1

x= lim

x→+∞

6x2 − 5x+ 7

2x2 + 5x= lim

x→+∞

6 6x2

2 6x2= 3

limx→−∞

6x2 − 5x+ 7

2x+ 5· 1

x= lim

x→−∞

6x2 − 5x+ 7

2x2 + 5x= lim

x→−∞

6 6x2

2 6x2= 3

Pertanto esiste sia l’asintoto obliquo destro che sinistro ed ha coefficiente angolare m = 3. Deter-miniamo q:

q = limx→+∞

6x2 − 5x+ 7

2x+ 5−3x = lim

x→+∞

6x2 − 5x+ 7− 3x(2x+ 5)

2x+ 5= lim

x→+∞

66x2 −5x+ 7− 66x2 −15x

2x+ 5=

= limx→+∞

−20x+ 7

2x+ 5lim

x→+∞

− 620x 10

62x= −10

q = limx→−∞

6x2 − 5x+ 7

2x+ 5−3x = lim

x→−∞

6x2 − 5x+ 7− 3x(2x+ 5)

2x+ 5= lim

x→−∞

66x2 −5x+ 7− 66x2 −15x

2x+ 5=

= limx→−∞

−20x+ 7

2x+ 5lim

x→−∞

− 620x 10

62x= −10

Quindi la retta y = 3x− 10 e asintoto obliquo sia destro che sinistro (figura 2.16).

. Determinare eventuali asintoti obliqui della funzione f(x) = 6x2 − 5x+ 7

Verifichiamo prima che la funzione non abbia asintoto orizzontale calcolando il limite della funzioneper x tendente a piu e meno infinito:

limx→+∞

6x2 − 5x+ 7 = limx→+∞

6x2 = +∞

limx→−∞

6x2 − 5x+ 7 = limx→−∞

6x2 = +∞



xo

y

y=3x-10

-10

Figura 2.16: Con le informazioni che ricaveremo in seguito, sapremo quali segni cancellare dalpiano cartesiano

limx→+∞

6x2 − 5x+ 7

x= lim

x→+∞

6x62

6x= lim

x→+∞6x = +∞

limx→−∞

6x2 − 5x+ 7

x= lim

x→−∞

6x62

6x= lim

x→−∞6x = −∞

Essendo questi due limiti infiniti, non esiste ne l’asintoto obliquo destro ne quello sinistro.

�

Concludiamo il paragrafo sugli asintoti con la seguente:

Osservazione sugli asintoti. La presenza di asintoti verticali e indipendente dalla presenza diasintoti orizzontali o obliqui. Viceversa non puo esserci contemporaneamente asintoto orizzontalee asintoto obliquo. La presenza dell’asintoto obliquo e subordinata alla non presenza dell’asintotoorizzontale.

�

2.9.6 I primi 4 punti dello studio di funzione

Affrontiamo i primi 4 punti dello studio di funzione tramite i seguenti:

Esempi

. Studiare la seguente funzione: f(x) = x3 − 4x2 + x+ 6

Per disegnare il grafico sul piano cartesiano, poniamo y = f(x), quindi y = x3 − 4x2 + x+ 6.

1) Dominio: D = {x ∈ R}


2) Continuita: La funzione e continua nel suo dominio (e quindi su tutto l’insieme dei reali)

3) Intersezione con gli assi. Positivita e negativita.

Intersezione asse x: dal momento che l’asse delle x ha equazione y = 0, le intersezioni si determinanorisolvendo il sistema: {

y = f(x)y = 0

quindi in questo caso: {y = x3 − 4x2 + x+ 6

y = 0

Da cui, sostituendo 0 alla y nella prima equazione, e scambiando fra loro i termini, si ottiene:

x3 − 4x2 + x+ 6 = 0

Si tratta di un’equazione di terzo grado che non sappiamo risolvere a meno di scomposizioni.Proviamo col metodo di Ruffini:

Divisori di 6: {1;−1; 2;−2; 3;−3; 6;−6}

P (1) = 13 − 4 · 12 + 1 + 6 = 4

P (−1) = (−1)3 − 4 · (−1)2 + (−1) + 6 = −1− 4− 1 + 6 = 0

Quindi il polinomio x3 − 4x2 + x+ 6 e divisibile per x+ 1. Effettuiamo la divisione:

1 −4 1 6

−1 −1 +5 −6

1 −5 +6 0

Il quoziente della divisione risulta: x2 − 5x+ 6. Pertanto vale la seguente scomposizione:

x3 − 4x2 + x+ 6 = (x+ 1)(x2 − 5x+ 6)

L’equazione di terzo grado precedente puo quindi essere riscritta come: (x+ 1)(x2 − 5x+ 6) = 0.

Dal momento che un prodotto puo essere zero se e solo se almeno uno dei due fattori e zero, lesoluzioni dell’equazione si trovano ponendo:

x+ 1 = 0 e x2 − 5x+ 6 = 0

La prima ha come soluzione x = −1, mentre la seconda ha soluzioni x = 2, x = 3. Pertanto leintersezioni con l’asse delle x avvengono nei punti di ascissa x = −1, x = 2, x = 3.

Nel piano cartesiano mettiamo un pallino pieno in corrispondenza di questi punti.

Intersezione asse y: dal momento che l’asse delle y ha equazione x = 0, le intersezioni si determinanorisolvendo il sistema: {

y = f(x)x = 0

quindi in questo caso: {y = x3 − 4x2 + x+ 6

x = 0

Che ha come soluzione: {y = 6x = 0

Pertanto l’intersezione con l’asse y avviene nel punto di ordinata y = 6 (disegniamo nel pianocartesiano un pallino pieno in corrispondenza di questo punto).


-1 2 3- - ++

Figura 2.17: Determiniamo i valori di x in cui la funzione e positiva e i valori di x in cui lafunzione e negativa

Positivita e negativita. Studiare la positivita significa capire per quali valori di x la funzione epositiva, cioe quando il grafico sta sopra l’asse delle x. Per questo si studia la disequazione:

x3 − 4x2 + x+ 6 > 0

Sapendo gia le soluzioni dell’equazione associata, ed essendo il coefficiente di x3 positivo, si pone:x > −1, x > 2, x > 3 e si disegna il grafico (figura 2.17).

Risulta quindi che la funzione e positiva per −1 < x < 2 e per x > 3. Nel piano cartesianocancelliamo quindi la parte sotto l’asse x in questi 2 intervalli (visto che sappiamo che in questiintervalli il grafico sta sopra l’asse delle x).

Inoltre risulta che la funzione e negativa per x < −1 e per 2 < x < 3. Nel piano cartesianocancelliamo quindi la parte sopra l’asse x in questi 2 intervalli (visto che sappiamo che in questiintervalli il grafico sta sotto l’asse delle x).

4) Asintoti.

La funzione non ha asintoti verticali in quanto non ci sono valori esclusi dal dominio.

Asintoti orizzontali:

limx→+∞

x3 − 4x2 + x+ 6 = limx→+∞

x3 = +∞

limx→−∞

x3 − 4x2 + x+ 6 = limx→−∞

x3 = −∞


limx→+∞

x3 − 4x2 + x+ 6

x= lim

x→+∞

x63

6x= lim

x→+∞x2 = +∞

limx→−∞

x3 − 4x2 + x+ 6

x= lim

x→−∞

x63

6x= lim

x→−∞x2 = +∞

Essendo questi due limiti infiniti, non esiste ne l’asintoto obliquo destro ne quello sinistro.

Tutte le informazioni ricavate in questi 4 punti sono riportate in figura 2.18

�

Osservazione. Per studiare la positivita della precedente funzione, punto 3, abbiamo affermatoche, dal momento che il coefficiente di x3 e positivo, possiamo porre x > −1, x > 2 e x > 3. Cosaavremmo dovuto invece fare se il coefficiente della x di grado massimo fosse stato negativo? Unmodo di procedere e quello di studiare, per il solo punto 3, la funzione −f(x). Spieghiamoci con ilseguente esempio:

. Studiare la seguente funzione: f(x) = −x3 + 4x2 − x− 6


x=2 x=3

6

xo

y

x=-1

Figura 2.18: Le informazioni ricavate nei 4 punti sono riportate nel grafico

-1 2 3+ + --

Figura 2.19: La linea tratteggiata rappresenta il fattore −1

Osserviamo che e l’opposto della funzione precedente (cioe gli stessi termini, ma con i segni cam-biati). Per i punti 1, 2 e 4 il fatto che il coefficiente della x di grado massimo sia negativo non portaalcun problema. Neanche con l’intersezione con l’asse x presenta differenze in quanto le equazioni:

−x3 + 4x2 − x− 6 = 0 e x3 − 4x2 + x+ 6 = 0 sono equivalenti.

Conviene comunque scomporre il polinomio con il coefficiente di x3 positivo, quindi x3−4x2+x+6.La sua scomposizione risulta (l’abbiamo gia fatta prima):

x3 − 4x2 + x+ 6 = (x+ 1)(x2 − 5x+ 6).

Quindi per trovare la scomposizione di −x3 + 4x2 − x − 6 basta mettere un meno prima dellaparentesi:

−(x+ 1)(x2 − 5x+ 6)

Per rappresentarla sul grafico riportiamo x > −1, x > 2, x > 3. Il − lo rappresentiamo conun’unica linea tratteggiata. Lo studio del segno e riportato in figura 2.19.

�

Ricapitolando, per studiare la positivita di un polinomio il cui coefficiente della x di grado massimoe negativo, si procede nel seguente modo:

• Si cambia il segno a tutti i termini del polinomio.

• Si trovano le soluzioni dell’equazione ottenuta ponendo il polinomio (con i segni appenacambiati) uguale a zero

• Si rappresentano sul grafico tutte le rette x > di ciascuna soluzione trovata al punto prece-dente. Inoltre nello stesso grafico rappresentiamo una linea sempre tratteggiata (che indicache il polinomio “originale” ha coefficiente della x di grado massimo negativo)


• Il grafico indica la positivita e la negativita del polinomio.

. Studiare la seguente funzione: f(x) = x2−6x+5x2+2x−35

Per disegnare il grafico sul piano cartesiano, poniamo y = f(x), quindi y = x2−6x+5x2+2x−35 .

1) Dominio: e una funzione razionale fratta, quindi bisogna trovare i valori di x per cui si annullail denominatore. Quindi:

x2 + 2x− 35 = 0

che ha come soluzioni x = −7 e x = 5. Pertanto il dominio risulta:

D = {x ∈ R|x 6= −7 ∧ x 6= 5}

Sul piano cartesiano disegniamo quindi le rette verticali x = −7 e x = 5.

Prima di andare avanti scomponiamo sia il denominatore che numeratore per vedere se e possibileeffettuare una semplificazione. Risulta:

x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x− 5) e x2 + 2x− 35 = (x+ 7)(x− 5)

Pertanto:

f(x) =x2 − 6x+ 5

x2 + 2x− 35=

(x− 1) 6(x− 5)

(x+ 7) 6(x− 5)=x− 1

x− 5

Come sempre ricordiamo che eventuali semplificazioni possono essere effettuate solo dopo averindividuato il dominio.

2) Continuita: La funzione e continua nel suo dominio.


Intersezione asse x: dal momento che l’asse delle x ha equazione y = 0, le intersezioni si determinanorisolvendo il sistema: {

y = f(x)y = 0

quindi in questo caso: {y = x−1

x+7

y = 0


x−1x+7 = 0

Sappiamo che una frazione, il cui denominatore e diverso da zero, risulta uguale a zero se e solose il numeratore e uguale a zero. Pertanto, all’interno del nostro dominio, l’equazione precedenteequivale a:

x− 1 = 0

che ha ovviamente soluzione x = 1. Pertanto l’unica intersezione con l’asse delle x avviene nelpunto di ascissa x = 1.

Nel piano cartesiano mettiamo un pallino pieno in corrispondenza di questo punto.

Intersezione asse y: dal momento che l’asse delle y ha equazione x = 0, le intersezioni si determinanorisolvendo il sistema: {

y = f(x)x = 0

quindi in questo caso: {y = x−1

x+7

x = 0


-7 1+ +-


Che ha come soluzione: {y = −1

7x = 0

Pertanto l’intersezione con l’asse y avviene nel punto di ordinata y = −17 (disegniamo nel piano

cartesiano un pallino pieno in corrispondenza di questo punto).

Positivita e negativita. Studiamo la disequazione:

x−1x+7 > 0

Poniamo maggiori di zero sia il denominatore che il denominatore:

x− 1 > 0→ x > 1

x+ 7 > 0→ x > −7

e rappresentiamo sul grafico di figura 2.20.

Risulta quindi che la funzione e positiva per x < −7 e per x > 1. Nel piano cartesiano cancelliamoquindi la parte sotto l’asse x in questi 2 intervalli (visto che sappiamo che in questi intervalli ilgrafico sta sopra l’asse delle x).

Inoltre risulta che la funzione e negativa per −7 < x < 1. Nel piano cartesiano cancelliamo quindila parte sopra l’asse x in questo intervallo (visto che sappiamo che in questo intervallo il grafico stasotto l’asse delle x).

4) Asintoti.

Asintoti verticali: i valori esclusi dal dominio sono −7 e 5. Pertanto effettueremo i limiti, destro esinistro, per x tendente a questi valori:

limx→−7−

x− 1

x+ 7=−8

0−= +∞

limx→−7+

x− 1

x+ 7=−8

0+= −∞

Pertanto la retta x = −7 e asintoto verticale.

limx→5−

x− 1

x+ 7=64 1

612 3=

1

3

limx→5+

x− 1

x+ 7=64 1

612 3=

1

3

Pertanto x = 1 non e asintoto verticale.

Dal momento che il limite sinistro per x tendente a −7 e piu infinito, tracciamo alla sinistra e ilpiu vicino possibile alla retta x = −7, un segno in alto (questo sta a significare che per x tendente


xo

y

x

y

-1/71

x=-7 x=5

(5;1/3)

y=1


a −7 da sinistra la funzione tende a piu infinito).

Inoltre, dal momento che il limite destro per x tendente a −7 e meno infinito, tracciamo alla destrae il piu vicino possibile alla retta x = −7, un segno in basso (questo sta a significare che per xtendente a 1 da destra la funzione tende a meno infinito).

Invece per x tendente a 1, sia da sinistra che a destra, il limite della funzione e 13 . Tracciamo quindi

un pallino vuoto in corrispondenza del punto di coordinate (1; 13), che sta a significare che il grafico

della funzione si avvicina infinitamente al pallino senza mai toccarlo.


limx→+∞

x− 1

x+ 7= lim

x→+∞

6x6x

= 1

limx→−∞

x− 1

x+ 7= lim

x→+∞

6x6x

= 1

Pertanto y = 1 e asintoto orizzontale.

Essendoci l’asintoto orizzontale non puo esserci quello obliquo.


. Studiare la seguente funzione: f(x) = 2x2+x−310−3x

Per disegnare il grafico sul piano cartesiano, poniamo y = f(x), quindi y = 2x2+x−310−3x .


10− 3x = 0

che ha soluzione x = 103 . Pertanto il dominio risulta:

D = {x ∈ R|x 6= 103 }

Sul piano cartesiano disegniamo quindi la retta verticale x = 103 .

Prima di andare avanti scomponiamo il numeratore (il denominatore non e scomponibile) per vederese e possibile effettuare una semplificazione. Risulta (usando le equazioni di secondo grado):

2x2 + x− 3 = 2(x− 1)(x− 32)

Pertanto nessuna semplificazione e fattibile




Intersezione asse x: {y = f(x)

y = 0

quindi in questo caso: {y = 2x2+x−3

10−3xy = 0


2x2+x−310−3x = 0

Sappiamo che una frazione, il cui denominatore e diverso da zero, risulta uguale a zero se e solose il numeratore e uguale a zero. Pertanto, all’interno del nostro dominio, l’equazione precedenteequivale a:

2x2 + x− 3 = 0

che ha soluzioni x = 1 e x = −32 . Pertanto le intersezioni con l’asse delle x avvengono nei punti di

ascissa x = 1 e x = −32 .


Intersezione asse y:

{y = f(x)

x = 0

quindi in questo caso: {y = 2x2+x−3

10−3xx = 0

Che ha come soluzione: {y = − 3

10x = 0

Pertanto l’intersezione con l’asse y avviene nel punto di ordinata y = − 310 (disegniamo nel piano

cartesiano un pallino pieno in corrispondenza di questo punto).


2x2+x−310−3x > 0

Rappresentiamo sul grafico x > −32 , x > 1, x < 10

3 (minore perche risolvendo 10−3x > 0 si ottienecome soluzione x < 10

3 figura 2.22).

Risulta quindi che la funzione e positiva per x < −32 e per 1 < x < 10

3 . Nel piano cartesianocancelliamo quindi la parte sotto l’asse x in questi 2 intervalli (visto che sappiamo che in questiintervalli il grafico sta sopra l’asse delle x).

Inoltre risulta che la funzione e negativa per −32 < x < 1 e per x > 10

3 . Nel piano cartesianocancelliamo quindi la parte sopra l’asse x in questi 2 intervalli (visto che sappiamo che in questiintervalli il grafico sta sotto l’asse delle x).

4) Asintoti.

Asintoti verticali: il valore escluso dal dominio e 103 . Pertanto effettueremo i limiti, destro e sinistro,

per x tendente a questo valore:

limx→ 10

3

−

2x2 + x− 3

10− 3x=

+2039

0+= +∞


-3/2 1 10/3+ + --


limx→ 10

3

+

2x2 + x− 3

10− 3x=

+2039

0−= −∞


Dal momento che il limite sinistro per x tendente a 103 e piu infinito, tracciamo alla sinistra e il piu

vicino possibile alla retta x = 103 , un segno in alto.

Inoltre, dal momento che il limite destro per x tendente a 103 e meno infinito, tracciamo alla destra

e il piu vicino possibile alla retta x = 103 , un segno in basso.


limx→+∞

2x2 + x− 3

10− 3x= lim

x→+∞

2x62

−3 6x= −∞

limx→−∞

2x2 + x− 3

10− 3x= lim

x→−∞

2x62

−3 6x= +∞

Pertanto la funzione non ha asintoti orizzontali e di conseguenza potrebbe avere asintoti obliqui.Per verificarlo calcoliamo i due limiti:

limx→±∞

f(x)

x

Se tale limite e un numero finito, l’asintoto obliquo esiste ed e una retta che ha coefficiente angolareuguale a tale numero. Proviamo quindi con l’asintoto obliquo destro:

limx→+∞

2x2 + x− 3

10− 3x· 1

x= lim

x→+∞

2x2 + x− 3

10x− 3x2= lim

x→+∞

2 6x2

−3 6x2= −2

3

Adesso l’asintoto obliquo sinistro:

limx→−∞

2x2 + x− 3

10− 3x· 1

x= lim

x→−∞

2x2 + x− 3

10x− 3x2= lim

x→−∞

2 6x2

−3 6x2= −2

3

Quindi l’asintoto obliquo (sia destro che sinistro) esiste ed e una retta di coefficiente angolarem = −2

3 .

Determiniamo allora il termine noto q con la formula:

q = limx→+∞

f(x)−mx

quindi:

limx→+∞

2x2 + x− 3

10− 3x− (−2

3x) = lim

x→+∞

3 · (2x2 + 2x− 3) + 2x(10− 3x)

3(10− 3x)=

limx→+∞

66x2 +6x− 9 + 20x− 66x2

30− 9x= lim

x→+∞

26 6x−9 6x

= −26

9


o

y

x

y

1

x=10/3

y=-2/3x-26/9

-3/2 -3/10


e

limx→−∞

2x2 + x− 3

10− 3x− (−2

3x) = lim

x→−∞

3 · (2x2 + 2x− 3) + 2x(10− 3x)

3(10− 3x)=

limx→−∞

66x2 +6x− 9 + 20x− 66x2

30− 9x= lim

x→−∞

26 6x−9 6x

= −26

9

Pertanto la retta y = −23x−

269 e asintoto obliquo sia destro che sinistro.


. Studiare la seguente funzione: f(x) =√x2 + 3x− 4

Per disegnare il grafico sul piano cartesiano, poniamo y = f(x), quindi y =√x2 + 3x− 4.

1) Dominio: e una funzione irrazionale. Essendo la radice di indice pari, per determinare il dominiobisogna porre il radicando maggiore o uguale a zero:

x2 + 3x− 4 ≥ 0

Le soluzioni dell’equazione associata sono x = −4 e x = 1. Tracciando il grafico (lasciato peresercizio) si ricava il dominio:

D = {x ∈ R|x ≤ −4 ∨ x ≥ 1}

Sul piano cartesiano disegniamo quindi le rette verticali x = −4 e x = 1 e tratteggiamo la partecompresa fra le due rette, in quanto fuori dal dominio.




y = 0

quindi in questo caso: {y =√x2 + 3x− 4

y = 0

Da cui, sostituendo 0 alla y nella prima equazione, e scambiando fra loro i termini, si ottiene:√x2 + 3x− 4 = 0


Sappiamo che una radice e uguale a zero, se e solo se il radicando e uguale a zero. Pertanto,all’interno del nostro dominio, l’equazione precedente equivale a:

x2 + 3x− 4 = 0

che, come gia sappiamo, ha soluzioni x = 1 e x = −4. Pertanto le intersezioni con l’asse delle xavvengono nei punti di ascissa x = 1 e x = −4.



{y = f(x)

x = 0

quindi in questo caso: {y =√x2 + 3x− 4

x = 0

Ma l’asse y, cioe la retta di equazione x = 0, e al di fuori del dominio. Quindi non ci possono essereintersezioni con l’asse y.

Positivita e negativita. La radice quadrata e sempre maggiore o uguale a zero nel suo dominio. Nelpiano cartesiano cancelliamo quindi tutta la parte sotto l’asse x.

4) Asintoti.

Osservazione importante. Consideriamo l’espressione√x2. Innanzitutto osserviamo che tale

radice, anche se di indice pari, esiste per qualunque valore di x: infatti, anche se x e negativa,elevata alla seconda diventa positiva, e di conseguenza il radicando e sempre maggiore o uguale azero. Inoltre ricordiamo che la radice quadrata di un numero positivo e sempre positiva.

Per quanto appena osservato, risulta chiaro che la seconda proprieta fondamentale dei radicali:√x2 = x

vale soltanto se x ≥ 0. Infatti per x < 0 il primo termine dell’uguaglianza risulta positivo, mentreil secondo e negativo. Pertanto l’uguaglianza e falsa.

Ad esempio, ponendo x = −10, risulta che x2 = 100 e che√

100 = 10. Quindi l’uguaglianza sitrasformerebbe in:

10 = −10

che e ovviamente falsa. Si osserva pero che se cambiassimo il segno al secondo termine l’uguaglianzatornerebbe ad essere vera. Possiamo allora ricapitolare affermando che:

• se x ≥ 0 vale l’uguaglianza√x2 = x

• se x < 0 vale l’uguaglianza√x2 = −x

�

Asintoti verticali: non essendo una frazione fratta non esistono asintoti verticali


limx→+∞

√x2 + 3x− 4 = lim

x→+∞

√x2 = +∞

limx→−∞

√x2 + 3x− 4 = lim

x→−∞

√x2 = +∞


o

y

x

y

1

Y=-x

-4

Y=x

Figura 2.24: Il tratteggio piu fitto indica la zona esclusa dal dominio


limx→±∞

f(x)

x


limx→+∞

√x2 + 3x− 4

x= lim

x→+∞

√x2

x= lim

x→+∞

x

x= 1


limx→−∞

√x2 + 3x− 4

x= lim

x→−∞

√x2

x= lim

x→−∞

−xx

= −1

(nel sostituire a√x2 il termine −x abbiamo usato l’Osservazione importante precedentemente

affrontata. Infatti dal momento che x tende a meno infinito, significa che x e negativa)

Quindi esistono sia l’asintoto obliquo destro che sinistro. L’asintoto obliquo destro e una retta dicoefficiente angolare m = 1, mentre quello sinistro e una retta di coefficiente angolare m = −1.

Per determinare il termine noto q si usa la formula:

q = limx→±∞

f(x)−mx

ma, in questo caso, risulta per noi troppo difficoltoso determinare:

limx→±∞

√x2 + 3x− 4− x

Per cui poniamo q = 0 e quindi la retta y = x e asintoto obliquo destro e la retta y = −x e asintotoobliquo sinistro.

Sottolineiamo che, nella individuazione dell’asintoto obliquo, risulta assai piu importante determi-nare la pendenza della retta, e quindi il coefficiente angolare m, piuttosto che il termine noto q.L’errore che commettiamo ponendo q = 0, da un punto di vista del comportamento del grafico,e davvero poco significativo. Resta il fatto che, se e possibile determinare q come nel caso dellefunzioni razionali fratte, e opportuno calcolarlo.


. Studiare la seguente funzione:

f(x) =

{2x+ 1 se x ≤ 1x+2

x2+x−6 se x > 1


Per disegnare il grafico sul piano cartesiano, poniamo y = f(x), quindi

y =

{2x+ 1 se x ≤ 1x+2

x2+x−6 se x > 1

1) Dominio: e una funzione definita per casi. Il primo caso della funzione e razionale intera quindinon ha valori da escludere dal dominio. Il secondo caso e una funzione razionale fratta, pertanto sipone:

x2 + x− 6 = 0

che ha soluzioni x = −3 e x = 2.

Dal momento che il secondo caso vale per x > 1, l’unico valore da escludere dal dominio e 2. Quindi:

D = {x ∈ R|x 6= 2}

Sul piano cartesiano disegniamo quindi la retta x = 2.

2) Continuita: L’unico punto in cui la funzione puo non essere continua e per x = 1 (valore di x incui si dividono i due casi). Sostituiamo quindi ad x il valore 1 nei due casi della funzione ottenendo:{

3 se x ≤ 1−3

4 se x > 1

Pertanto la funzione ha un salto e non e continua.

Per come e definita la funzione risulta che, se x = 1, siamo nel primo caso. Pertanto risulta chey = f(1) = 3 e nel grafico mettiamo un pallino pieno nel punto di coordinate (1; 3).

Mentre se sostituiamo 1 nel secondo caso della funzione otteniamo y = −34 . Pertanto nel grafico

mettiamo un pallino vuoto (il grafico ci si avvicina ma non lo tocca mai) nel punto di coordinate(1;−3

4).



y = 0

quindi, dobbiamo calcolare:

2x + 1 = 0 che ha soluzione x = −12 che possiamo accettare in quanto minore di uno e quindi

rientra nel primo caso.

x+2x2+x−6 = 0→ x+ 2 = 0→ x = −2

Questa soluzione non rientra nel secondo caso perche ovviamente −2 non e maggiore di 1.

Pertanto l’unica intersezione con l’asse delle x avviene nel punto x = −12 .

Nel piano cartesiano mettiamo un pallino pieno in corrispondenza di questi punto.

Intersezione asse y: {y = f(x)

x = 0

nella funzione che stiamo studiando, x = 0 appartiene al primo caso. Quindi dobbiamo risolvere:{y = 2x+ 1

x = 0


-1/2- + 1

Figura 2.25: A noi interessa soltanto la parte di grafico a sinistra di 1 perche siamo nel caso x ≤ 1

-3 -2 2- -+ +1

Figura 2.26: A noi interessa soltanto la parte di grafico a destra di 1 perche siamo nel caso x > 1

Che ha come risultato x = 0; y = 1. Pertanto l’intersezione con l’asse y avviene nel punto diordinata y = 1. Disegniamo un pallino pieno in corrispondenza di questo punto.

Positivita e negativita. Essendo una funzione definita per casi dobbiamo studiare, per x ≤ 1 lapositivita di 2x+ 1 e per x > 1, la positivita di x+2

x2+x−6 .

Poniamo quindi:

2x+ 1 > 0→ x > −12

e risulta (figura 2.25) che, per x > −12 (ma minore uguale di 1) la funzione e positiva e quindi

cancelliamo, in questo intervallo, la parte di piano sotto l’asse x, mentre per x < −12 la funzione e

negativa e quindi cancelliamo, in questo intervallo, la parte di piano sopra l’asse x

Venendo al secondo caso della funzione poniamo:

x+2x2+x−6 > 0

Dallo studio del numeratore otteniamo x > −2 mentre da quello del denominatore otteniamox > −3 e x > 2. Ricordiamoci che siamo nel caso x > 1. Lo studio del segno e evidenziato in figura2.26

dove risulta che, per 1 < x < 2 la funzione e negativa e quindi cancelliamo, in questo intervallo,la parte di piano sopra l’asse x, mentre per x > 2 la funzione e positiva e quindi cancelliamo, inquesto intervallo, la parte di piano sotto l’asse x.

4) Asintoti.

Asintoti verticali: l’unico valore escluso dal dominio e 2. Pertanto effettueremo i limiti, destro esinistro, per x tendente a 2:

limx→2−

x+ 2

x2 + x− 6=

4

0−= −∞

(Si verifichi per esercizio che il limite per x→ 2− di x2 + x− 6 tende davvero a 0−)


limx→2+

x+ 2

x2 + x− 6=

4

0+= +∞

(Si verifichi per esercizio che il limite per x→ 2+ di x2 + x− 6 tende davvero a 0+)


Dal momento che il limite sinistro per x tendente a 2 e meno infinito, tracciamo alla sinistra e ilpiu vicino possibile alla retta x = 2, un segno in basso.

Inoltre, dal momento che il limite destro per x tendente a 2 e piu infinito, tracciamo alla destra eil piu vicino possibile alla retta x = 10

3 , un segno in alto.


Bisogna distinguere fra asintoto orizzontale destro e asintoto orizzontale sinistro, in quanto, quandoeffettuiamo il limite per x tendente a piu infinito, la funzione e quella del secondo caso, mentrequando effettuiamo il limite per x tendente a meno infinito, la funzione e quella del primo caso

limx→+∞

x+ 2

x2 + x− 6= lim

x→+∞

6xx62

= limx→+∞

1

x= 0

Pertanto la funzione ha asintoto orizzontale destro che ha equazione y = 0 (l’asse delle x)

limx→−∞

2x+ 1 = −∞

Pertanto la funzione non ha asintoto orizzontale sinistro e di conseguenza potrebbe avere asintotoobliquo sinistro (e non destro perche l’asintoto orizzontale destro esiste). Per verificarlo calcoliamoil limite:

limx→−∞

2x+ 1

x= lim

x→−∞

2 6x6x

= 2

Quindi esiste l’asintoto obliquo sinistro che e una retta di coefficiente angolare m = 2.


q = limx→−∞

f(x)−mx

quindi:

limx→+∞

2x+ 1− 2x = 1

Pertanto la retta y = 2x+ 1 e asintoto obliquo sinistro.

Osservazione. Si osservi che l’asintoto obliquo coincide con il primo caso della funzione. Questonon deve stupirci, e accade sempre, se la funzione e, come nel primo caso di questa che stiamostudiando, una retta. Inoltre noi sappiamo esattamente disegnare una retta se conosciamo la suaequazione. Quindi noi potevamo disegnare la retta y = 2x + 1 (ovviamente solo per x ≤ 1), edevitare di affrontare i 4 punti che servono per avere informazioni sul grafico che gia sappiamo. Inquesto modo avremmo potuto affrontare i 4 punti solo per il secondo caso della funzione.

�


�


o

y

x

y

1

Y=2x+1

X=1

(1;3)

(-3/4;1)-1/2

X=2

Figura 2.27: L’asintoto obliquo sinistro coincide con il grafico del primo caso della funzione.

xo

y

A

B

Figura 2.28: La retta e tangente al grafico nel punto A anche se interseca il grafico anche nel puntoB

2.10 La derivata di una funzione

Lo studio della derivata di una funzione rientra nel piu vasto argomento del calcolo differenziale.Tale argomento e di fondamentale importanza per la matematica e per moltissime sue applicazioni.I “padri” del calcolo differenziale furono due grandissimi scienziati (chiamarli matematici sarebberiduttivo, visto i fondamentali contributi che hanno dato anche in altre discipline): GottfriedLeibnitz e Isaac Newton.

Il fatto curioso e che questi due uomini, vissuti a cavallo fra il diciassettesimo e diciottesimo secolo,svilupparono contemporaneamente questa teoria, tanto che ancora oggi non possiamo affermarecon certezza, se uno dei due si e ispirato (copiato?) al lavoro dell’altro, oppure, per una stranacoincidenza, siano arrivati alle stesse conclusioni, indipendentemente uno dall’altro.

2.10.1 Il problema delle tangenti

Il calcolo differenziale ha fornito risposta a tanti problemi: uno di questi, quello che ci interessa, eil cosiddetto problema delle tangenti, che consiste nell’individuare, dato un punto appartenente aduna qualunque curva nel piano cartesiano, l’equazione della retta tangente alla curva passante perquel punto.

Bisogna premettere pero che non e cosı banale definire la retta tangente ad una curva: finora,per certe particolari curve come ad esempio la circonferenza, la retta tangente e quella retta cheinterseca la circonferenza in uno e un solo punto. Tale definizione e perfettamente corretta peroperde validita se la curva e il grafico di una funzione come quello descritto in figura 2.28, in cui laretta e effettivamente la tangente ma tocca il grafico in piu di un punto.

Nei prossimi paragrafi spiegheremo cos’e la retta tangente al grafico di una funzione e come possiamo


Figura 2.29: 10% significa che la strada sale di 10 metri ogni 100 metri

determinare la sua equazione.

2.10.2 Ripasso di geometria analitica della retta: il coefficiente angolare

Prima di procedere dobbiamo ricordare il significato geometrico del coefficiente angolare di unaretta (convenzionalmente indicato con la lettera m): il coefficiente angolare misura la pendenza diuna retta.

Se su una strada incontriamo un cartello come quello in figura 2.29, significa che ci apprestiamo adaffrontare una salita del 10%

Ma cosa vuol dire salita del 10%? Significa che ogni 100 metri la strada sale di 10 metri. Tradotto nellinguaggio della geometria analitica la “salita” di 10 metri rappresenta la variazione delle ordinate(l’asse y) e i 100 metri rappresentano la variazione delle ascisse (l’asse x).Quindi la retta che indicala salita avrebbe coefficiente angolare m = 10

100 = 110 , perche la pendenza di una retta e il rapporto

fra la variazione delle ordinate e la variazione delle ascisse. Il coefficiente angolare di una retta puoquindi essere determinato cosı: si scelgono su di essa due qualunque punti A e B di coordinaterispettivamente (xA; yA) e (xB; yB). Il coefficiente angolare e dato dalla formula:

m =yB − yAxB − xA

Scegliendo il punto B di ascissa maggiore del punto A risulta che xB − xA e una quantita positiva.Quindi il coefficiente angolare m risultera positivo se la retta “sale”, “negativo” se la retta “scende”e uguale a zero se la retta non sale ne scende, cioe e “in piano”. Tale situazione e rappresentata infigura 2.30.

2.10.3 Ripasso di geometria analitica della retta: equazione delle infinite rettepassanti per un punto

Sappiamo che per un punto passano infinite rette.


A

B

xA xB

yB

yA

A

B

xA xB

yB

yA

A B

xA xB

yA=yB

Figura 2.30: Nel primo caso yB − yA e positivo e quindi il coefficiente angolare e maggiore dizero: infatti la retta “sale”. Nel secondo caso yB − yA e negativo e quindi il coefficiente angolare eminore di zero: infatti la retta “scende”. Nel terzo caso yB−yA e zero e quindi anche il coefficienteangolare e zero: la retta non sale ne scende: e “in piano”

m=-1

m=0

m=1/2m=2

x

y

A

Figura 2.31: Ad ogni valore di m corrisponde una diversa retta per A

Le infinite rette passanti per tale punto possono essere descritte da una sola equazione. Infatti,assegnato un punto A(xA; yA) l’equazione delle infinite rette passanti per A e dato da:

y − yA = m(x− xA)

dove m rappresenta il coefficiente angolare e puo assumere qualunque valore. Ad ogni valore cheassume corrisponde una diversa retta sul piano cartesiano (ma sempre passante per A). Agli infinitivalori che puo assumere m corrispondono quindi infinite rette (figura 2.31).

Finche m non e specificato l’equazione rappresenta le infinite rette per A; nel momento che attri-buiamo a m un valore, “spariscono” le infinite rette lasciando solo quella che ha come coefficienteangolare il valore attribuito a m.

2.10.4 Dalla retta secante alla retta tangente

Consideriamo adesso una funzione f(x), e sia x0 un valore appartenente al suo dominio. Conside-riamo sull’asse x il punto di ascissa x = x0: il corrispondente punto sul grafico di f ha coordinate(x0; y = f(x0)). Chiariamo con un esempio:

. Si consideri la funzione f(x) = x2 e scegliamo x0 = 5. Consideriamo quindi sull’asse x il puntodi ascissa x = 5: il corrispondente punto sul grafico, dato che f(5) = 52 = 25, e (5; 25) (figura2.32).


y=x2

5

25

x

y

Figura 2.32: Il corrispondente punto sul grafico, al punto di ascissa x = 5, ha coordinate (5; 25)

X0 X0+h

f(X0+h)

f(X0)A

B

y

Retta tangente

y=f(x)

x

Figura 2.33: Nel grafico appare anche la retta tangente passante per il punto A

�

Tornando al caso generale, una volta scelto x0, individuiamo sul grafico di f il punto di coordinate(x0; f(x0)). Chiamiamo questo punto A. “Spostiamoci” da x0, sull’asse x, di una certa distanzache chiamiamo h. Arriviamo quindi, sempre sull’asse x, ad un punto di ascissa x = x0 + h; diconseguenza il corrispondente punto sul grafico ha coordinate (x0 + h; f(x0 + h)). Chiamiamo Btale punto (figura 2.33).

Possiamo determinare l’equazione della retta passante per A e B. Infatti dal paragrafo precedentesappiamo che possiamo descrivere tutte le infinite rette passanti per il punto A(x0; f(x0)) tramitel’equazione:

y − f(x0) = m(x− x0)

Determiniamo adesso il valore di m, effettuando il rapporto fra la variazione delle ordinate e lavariazione delle ascisse dei punti A e B. Quindi

m =f(x0 + h)− f(x0)

6x0 +h− 6x0=f(x0 + h)− f(x0)

h


X0 X0+h

f(X0+h)

f(X0)A

B

y

Retta tangente

y=f(x)

x

Figura 2.34: Al diminuire di h la retta secante “assomiglia” sempre di piu alla retta tangente

X0 X0+h

f(X0+h)f(X0)

AB

y

Retta tangente

y=f(x)

x

Figura 2.35: Al diminuire di h la retta secante “assomiglia” sempre di piu alla retta tangente

Definizione di rapporto incrementale. Si definisce rapporto incrementale il rapporto:

f(x0 + h)− f(x0)

h

�

Abbiamo appena determinato l’equazione di una delle infinte rette secanti il grafico della funzionee passante per il punto A. Cio non risolve il problema dell’individuazione della retta tangente allafunzione passante per il punto A; infatti, sempre in figura 2.33, compare sia la retta per A e B chela retta tangente al grafico nel punto A: si osserva facilmente che sono due rette distinte fra loro.

Osserviamo pero che se avessimo preso h minore, il punto B si sarebbe “avvicinato” ad A e la rettapassante per A e B sarebbe diventata “piu somigliante” alla retta tangente (figura 2.34 e figura2.35). Al divenire di h infinitamente piccolo, la retta passante per A e B diventa “infinitamentesomigliante” alla retta tangente. Nel linguaggio dei limiti questo significa che per h tendente azero, la retta secante diventa la retta tangente. Pertanto il coefficiente angolare della retta tangenteequivale al limite per h tendente a zero del rapporto incrementale:

coefficiente angolare della retta tangente = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h


2.10.5 Definizione di derivata in un punto. Significato geometrico della derivata

Possiamo adesso dare la fondamentale:

Definizione di derivata di una funzione in un punto x0. Sia f una funzione e x0 un puntodel suo dominio. La derivata di f in x0 si indica con f ′(x0), ed e definita come il limite per htendente a zero del rapporto incrementale:

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

�

Significato geometrico della derivata di f in x0. f ′(x0) rappresenta il coefficiente angolaredella retta tangente al grafico di f nel punto (x0; f(x0)).

�

Osservazione. Non tutte le funzioni sono derivabili in ogni loro punto. Se f non e derivabile inx0, dal punto di vista geometrico significa che non esiste la retta tangente al grafico di f nel punto(x0; f(x0)) (nei paragrafi successivi vedremo quando una funzione e derivabile e quando non lo e).

�

A questo punto possiamo individuare l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto(x0; f(x0)): infatti l’equazione di una generica retta passante per il punto (x0; f(x0)) e:

y − f(x0) = m(x− x0)

ma il coefficiente angolare della retta tangente e f ′(x0), pertanto l’equazione della retta risulta:

y − f(x0) = f ′(x0) · (x− x0)

Esempi

. Determinare la derivata della funzione f(x) = x2 nel punto x0 = 3. Si determini poi l’equazionedella retta tangente al corrispondente punto del grafico di f .

Sappiamo che f ′(x0) si determina tramite la formula:

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

in questo caso risulta x0 = 3 ed f(x) = x2.

Quindi f(x0) = 32 e f(x0 + h) = (3 + h)2. Sostituiamo nella precedente formula:

f ′(3) = limh→0

(3 + h)2 − 32

h= lim

h→0

69 +6h+ h2− 69h

= limh→0

6h (6 + h)

6h= lim

h→06 + h = 6

La formula della retta tangente e

y − f(x0) = f ′(x0) · (x− x0)

quindi, dato che f(3) = 9, risulta:

y − 9 = 6 · (x− 3)→ y = 6x− 9


. Determinare la derivata della funzione f(x) = x2 − 3x + 1 nel punto x0 = 2. Si determini poil’equazione della retta tangente al corrispondente punto del grafico di f .

In questo caso risulta x0 = 2 ed f(x) = x2 − 3x+ 1.

Quindi f(x0) = 22− 3 · 2 + 1 = −1 e f(x0 +h) = (2 +h)2− 3(2 +h) + 1. Sostituiamo nella formula:

f ′(2) = limh→0

(2 + h)2 − 3(2 + h) + 1− (−1)

h= lim

h→0

64 +4h+ h2− 66 −3h+ 61 + 61h

= limh→0

6h (1 + h)

6h=

= limh→0

1 + h = 1

L’equazione della retta tangente risulta quindi:

y − (−1) = 1 · (x− 2)→ y = x− 3

. Determinare la derivata della funzione f(x) = 3x − 2 nel punto x0 = 4. Si determini poil’equazione della retta tangente al corrispondente punto del grafico di f .

In questo caso risulta x0 = 4 ed f(x) = 3x− 2.

Quindi f(x0) = 3 · 4− 2 = 10 e f(x0 + h) = 3(4 + h)− 2. Da cui:

f ′(4) = limh→0

612 +3h− 62 − 610

h= lim

h→0

3 6h6h

= 3

L’equazione della retta tangente risulta quindi:

y − 10 = 3 · (x− 4)→ y = 3x− 2

Osserviamo che la retta tangente coincide con il grafico della funzione e che cosı sarebbe stato anchese avessimo scelto x0 diverso da 4.

�

2.11 Funzioni derivabili. Relazione fra funzioni continue e deriva-bili

Una funzione f si dice derivabile in x0 se i limiti:

limh→0+

f(x0 + h)− f(x0)

he lim

h→0−

f(x0 + h)− f(x0)

h

sono finiti e uguali fra loro.

Osservazione. Se f e una funzione lineare il suo grafico e una retta. E facile notare che la rettatangente, in ogni punto del grafico, coincide con la retta stessa (ultimo esempio del precedenteparagrafo). Pertanto una funzone lineare, avendo in ogni punto del suo grafico retta tangente, ederivabile per qualunque valore di x0.

Sfruttiamo quindi un Teorema analogo a quello usato per le funzioni continue:


Teorema. Sommando sottraendo o moltiplicando fra loro due funzioni derivabili, si ottiene unanuova funzione che e anch’essa derivabile. Il rapporto fra due funzioni derivabili e la radice di unafunzione derivabile sono anch’esse funzioni derivabili nel loro dominio.

�

Una conseguenza del teorema e che tutte le funzioni razionali intere, razionali fratte e radici difunzioni razionali o irrazionali sono derivabili nel loro dominio.

Per questo tipo di funzioni possiamo quindi fare semplicemente il limite per h tendente a zero,senza bisogno di determinare i 2 limiti (per h tendente a 0+ e a 0−) e vedere se coincidono.

A questo punto possiamo chiederci se esiste una relazione fra funzioni derivabili e funzioni continue.Tale relazione e evidenziata dal seguente:

Teorema. Se una funzione e derivabile in x0 allora e anche continua in x0. Viceversa se unafunzione e continua in x0 non e detto che sia anche derivabile in x0.

Dimostrazione. Dimostriamo prima che se f e derivabile e anche continua in x0. Derivabilesignifica che i limiti:

limh→0±

f(x0 + h)− f(x0)

h

sono della forma indeterminata 00 (infatti, dato che il denominatore tende a zero, se il numeratore

non tendesse a zero il limite tendeterbbe a piu o meno infinito, contraddicendo il fatto che f ederivabile).

Quindi:lim

h→0±f(x0 + h)− f(x0) = 0

Ma questo significa che, in x = x0, il grafico di f non ha salti. Quindi f e continua in x0.

Per dimostrare invece che se f e continua non e detto che sia derivabile, consideriamo un esempiodi funzione che e continua ma non derivabile:

. Sia f la funzione

f(x) =

{x se x ≥ 0−x se x < 0

e osserviamo che e continua in x0 = 0. Per essere anche derivabile in x0 = 0, deve risultare che idue limiti:

limh→0+

f(0 + h)− f(0)

he lim

h→0−

f(0 + h)− f(0)

h

sono finiti e uguali fra loro.

Risulta che f(0) = 0; f(h) = h se h > 0 e f(h) = −h se h < 0. Pertanto, dato che nel limite per htendente a 0+, h e positiva, mentre nel limite per h tendente a 0−, h e negativa, risulta:

limh→0+

f(h)− f(0)

h= lim

h→0+

h

h= 1

limh→0−

f(h)− f(0)

h= lim

h→0−

−hh

= −1

Quindi i due limiti sono fra loro diversi. Di conseguenza la funzione non e derivabile in x0 = 0.

La funzione affrontata in questo esempio e conosciuta come la funzione valore assoluto di x esi indica anche come: f(x) = |x|.

�


2.12 La funzione derivata

Supponiamo di dover affrontare il seguente esempio:

. Determinare la derivata della funzione f(x) = x2 − 5x+ 10 in x0 = 3; x0 = 0 e x0 = −2.

Iniziamo con x0 = 3.

Risulta f(3) = 32 − 5 · 3 + 10 = 4 e f(3 + h) = (3 + h)2 − 5(3 + h) + 10. Quindi:

f ′(3) = limh→0

f(3 + h)− f(3)

h= lim

h→0

69 +6h+ h2− 615 −5h+ 610 − 64h

= limh→0

6h (1 + h)

6h= lim

h→01+h = 1

Se x0 = 0, risulta:

f(0) = 10 e f(0 + h) = h2 − 5h+ 10. Quindi:

f ′(0) = limh→0

f(h)− f(0)

h= lim

h→0

h2 − 5h+ 610 − 610

h= lim

h→0

6h (h− 5)

6h= lim

h→0h− 5 = −5

Se x0 = −2, risulta:

f(−2) = (−2)2 − 5 · (−2) + 10 = 24 e f(−2 + h) = (−2 + h)2 − 5(−2 + h) + 10. Quindi:

f ′(−2) = limh→0

f(−2 + h)− f(−2)

h= lim

h→0

64 −4h+ h2+ 610 −5h+ 610 − 624

h= lim

h→0

6h (−9 + h)

6h= −9

�

Osserviamo che, nell’esempio appena svolto, abbiamo dovuto affrontare lo stesso procedimento perben 3 volte. Conviene allora calcolarsi il limite del rapporto incrementale, non in uno specificovalore x0, ma in un generico valore x. In questo modo si ottiene una nuova funzione, che si indicacon f ′(x), chiamata derivata di f .

L’esempio precedente si affronta allora nel modo seguente:

Prima calcoliamo il limite del rapporto incrementale in un generico punto x:

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

(x+ h)2 − 5(x+ h) + 10− (x2 − 5x+ 10)

h=

= limh→0

6x2 +2xh+ h2− 65x −5h+ 610 − 6x2 + 65x − 610

h=

= limh→0

6h (2x+ h− 5)

6h= lim

h→02x+ h− 5 = 2x− 5

Pertanto la derivata di f risulta: f ′(x) = 2x− 5.

Sostituiamo, in f ′(x), rispettivamente i valori 3; 0 e −2. Otteniamo:

f ′(3) = 2 · 3− 5 = 1; f ′(3) = 2 · 0− 5 = −5; f ′(−2) = 2 · (−2)− 5 = −9

Che sono ovviamente gli stessi risultati raggiunti in precedenza.


2.13 Tavole di derivazione

Non sempre e semplice e veloce calcolare il rapporto incrementale di una funzione. Ci vengonoquindi in aiuto le cosiddette tavole di derivazione, in cui sono inserite alcune funzioni e accanto leloro derivate.

f(x) f ′(x)

xn nxn−1

costante 0

Esempi

. Determinare la derivata di f(x) = 8

La funzione non dipende da x e quindi e costante. Pertanto f ′(x) = 0

. Determinare la derivata di f(x) = x6

Usiamo la regola che la derivata di xn e nxn−1. In questo caso n = 6. Quindi f ′(x) = 6x5

. Determinare la derivata di f(x) = 1x3

Sappiamo che 1x3 equivale a x−3. Usiamo allora la regola che la derivata di xn e nxn−1. In questo

caso n = −3 e quindi n− 1 = −3− 1 = −4.

Quindi f ′(x) = −3x−4 che possiamo scrivere: f ′(x) = − 3x4

. Determinare la derivata di f(x) =√x

Scriviamo√x come potenza con esponente frazionario:

√x = x

12 . Usiamo allora la regola che la

derivata di xn e nxn−1. In questo caso n = 12 e quindi n− 1 = 1

2 − 1 = −12 .

Quindi f ′(x) = 12x− 1

2 che equivale a f ′(x) = 12√x.

. Determinare la derivata di f(x) = x

Usiamo la regola che la derivata di xn e nxn−1. In questo caso n = 1. Quindi f ′(x) = 1 · x0 = 1

�

2.14 Regole di derivazione

Ovviamente dobbiamo essere in grado di determinare la derivata anche di funzioni “piu compli-cate”. Per questo elenchiamo, senza dimostrarle, le regole di derivazione. Premettiamo che conl’espressione, ad esempio, D(f(x) + g(x)) si intende la derivata della somma delle funzioni f(x) eg(x).

• D(k · f(x)) = k · f ′(x)

• D(f(x) + g(x)) = f ′(x) + g′(x)

• D(f(x)− g(x)) = f ′(x)− g′(x)

• D(f(x) · g(x)) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

• D(f(x)g(x) ) = f ′(x)·g(x)−f(x)·g′(x)(g(x))2


• D(f(g(x))) = f ′(g(x)) · g′(x)

Le prime tre sono regole del tutto intuitive e “naturali” mentre per le ultime 3 sono necessarieulteriori spiegazioni.

Il caso D(k ·f(x)) = k ·f ′(x) significa che quando abbiamo il prodotto di una costante (un numero)per una funzione, la derivata e il prodotto fra la costante e la derivata della funzione:

Esempi

. Determinare la derivata della funzione 7x4.

In questo caso la costante e 7. La derivata di x4 e 4x3, pertanto la derivata di 7x4 risulta:

D(7x4) = 7 · 4x3 = 28x3

. Determinare la derivata della funzione −3x2.

In questo caso la costante e −3. La derivata di x2 e 2x, pertanto la derivata di −3x2 risulta:

D(−3x2) = −3 · 2x = −6x

�

Il caso D(f(x) + g(x)) = f ′(x) + g′(x) significa che la derivata della somma di funzioni e la sommadelle derivate delle funzioni stesse:

Esempi

. Determinare la derivata della funzione 7x4 + 5x3.

La derivata di 7x4 e 28x3 (l’abbiamo visto prima), mentre la derivata di 5x3 e 15x2. Pertanto laderivata di 7x4 + 5x3 risulta:

D(7x4 + 5x3) = 28x3 + 15x2

. Determinare la derivata della funzione x4 + 3x2 + x+ 5.

La derivata di x4 e 4x3, la derivata di 3x2 e 6x, la derivata di x e 1, la derivata di 5 e 0, pertantola derivata di x4 + 3x2 + x+ 5 risulta:

D(x4 + 3x2 + x+ 5) = 4x3 + 6x+ 1

�

Il caso D(f(x) − g(x)) = f ′(x) − g′(x) e analogo al precedente e significa che la derivata delladifferenza di funzioni e la differenza delle derivate delle funzioni stesse:

Esempi

. Determinare la derivata della funzione 7x4 − 5x3.

La derivata di 7x4 e 28x3, mentre la derivata di 5x3 e 15x2. Pertanto la derivata di 7x4 − 5x3

risulta:D(7x4 − 5x3) = 28x3 − 15x2


. Determinare la derivata della funzione −x4 + 3x2 − x− 5.

La derivata di −x4 e −4x3, la derivata di 3x2 e 6x, la derivata di −x e −1, la derivata di −5 e 0,pertanto la derivata di −x4 + 3x2 − x− 5 risulta:

D(−x4 + 3x2 − x− 5) = −4x3 + 6x− 1

�

Il caso D(f(x) · g(x)) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x) evidenzia che la derivata del prodotto di duefunzioni non e il prodotto delle derivate delle funzioni stesse. La derivata di un prodotto di funzionie la derivata della prima funzione per la seconda funzione, piu la prima funzione per la derivatadella seconda.

Esempi

. Determinare la derivata della funzione 5x4 · (2x3 − 7x).

In questo caso f(x) = 5x4 e g(x) = 2x3 − 7x. Pertanto risulta che f ′(x) = 20x3 e g′(x) = 6x2 − 7.Quindi la derivata di 5x4 · (2x3 − 7x) risulta:

D(5x4 · (2x3− 7x)) = 20x3(2x3− 7x) + 5x4(6x2− 7) = 40x6− 140x4 + 30x6− 35x4 = 70x6− 175x4

�

Osservazione. Si osservi che l’ultimo esempio poteva essere svolto anche nel seguente modo: lafunzione:

5x4 · (2x3 − 7x)

puo essere scritta (semplicemente effettuando il prodotto) come:

10x7 − 35x5

Pertanto:D(10x7 − 35x5) = 70x6 − 175x4

che e ovviamente lo stesso risultato di prima.

�

Il caso D(f(x)g(x) ) = f ′(x)·g(x)−f(x)·g′(x)(g(x))2

significa che la derivata del quoziente di due funzioni e una

frazione dove al denominatore c’e la funzione al denominatore elevata alla seconda, mentre alnumeratore c’e la derivata della funzione al numeratore per la funzione al denominatore, meno lafunzione al numeratore per la derivata della funzione al denominatore.

Esempi

. Determinare la derivata della funzione 3x2+5x4 .

In questo caso f(x) = 3x2 + 5 e g(x) = x4. Risulta che f ′(x) = 6x, mentre g′(x) = 4x3. Inoltre(g(x))2 = x8.

Pertanto:

D(3x2 + 5

x4) =

6x · x4 − (3x2 + 5) · 4x3

x8=

6x5 − 12x5 − 20x3

x8=−6x5 − 20x3

x8

. Determinare la derivata della funzione 1x3 .


Osserviamo che abbiamo gia affrontato questo esempio nel precedente paragrafo. Adesso lo svol-giamo considerando la funzione come il quoziente fra f(x) = 1 e g(x) = x3. Risulta che f ′(x) = 0,mentre g′(x) = 3x2. Inoltre (g(x))2 = x6.

Pertanto:

D(1

x3) =

0 · x3 − 1 · 3x2

x6=−3 6x2

x664= − 3

x4

che e ovviamente lo stesso risultato del precedente paragrafo.

�

Per comprendere la sesta e ultima regola, bisogna affrontare il tema delle funzioni composte.

2.14.1 Le funzioni composte

Ricordiamo che con l’espressione f(x) si intende la regola (funzione) f , applicata all’“oggetto” x.f(x) e il risultato di questa applicazione. Cosı, se per esempio f e la regola di elevare al quadrato, fapplicata all’oggetto 3 risulta: f(3) = 32 = 9. Se applichiamo la stessa regola all’oggetto x, si ottienef(x) = x2. Se l’applichiamo ancora la stessa regola all’oggetto x+ h si ottiene f(x+ h) = (x+ h)2

e cosı via.

Se f e g sono 2 funzioni, cosa intendiamo allora con l’espressione f(g(x)) (che si puo anche trovarescritta f ◦ g(x))?

Significa che all’oggetto x, prima applichiamo la funzione g (quella piu vicina alla x), e poi, alrisultato g(x), applichiamo la funzione f . Chiariamo con degli esempi.

Esempio

. Sia f la funzione che eleva alla terza, cioe f(x) = x3, e g la funzione g(x) = 3x + 1. Cosaintendiamo con f(g(x))?

Dato che g(x) = 3x + 1, risulta che f(g(x)) = f(3x + 1). Ma f e la funzione che eleva alla terza,quindi f(3x+ 1) = (3x+ 1)3.

Ricapitolando f(g(x)) = (3x + 1)3. Quindi, la composizione delle due funzioni f e g e anch’essauna funzione che, applicata ad x, risulta essere (3x+ 1)3

�

Osservazione. L’operazione di composizione di funzioni non gode della proprieta commutativa.Infatti, prendendo f e g le stesse dell’esempio precedente, a quale funzione corrisponde g(f(x))?

Dato che f(x) = x3, risulta che g(f(x)) = g(x3) = 3x3 + 1.

Ricapitolando g(f(x)) = 3x3 + 1. Quindi, f composto g e diverso da g composto f .

�

. Sia f la funzione radice quadrata, cioe f(x) =√x, e g la funzione g(x) = x2 − 8. Si determini

la funzione f(g(x)) e successivamente la funzione g(f(x)).

Cominciamo con la funzione f(g(x)): dato che g(x) = x2 − 8, risulta che f(g(x)) = f(x2 − 8) =√x2 − 8.


Determiniamo ora la funzione g(f(x)): dato che f(x) =√x risulta che g(f(x)) = g(

√x) = (

√x)2−

8 = x− 8 (nell’ultima uguaglianza abbiamo usato la prima proprieta dei radicali).

�

A noi interessa pero il problema inverso: data una funzione, riuscire a scriverla come composizionedi 2 funzioni. Spieghiamoci con degli esempi:

. Si consideri la funzione (5x2 − 12)4, e si scriva come composizione di 2 funzioni.

Premettiamo che non esiste un’unica strada per scrivere la funzione come composizione di 2 funzioni.Noi comunque cercheremo di scegliere la piu semplice.

Poniamo quindi f(x) = x4 e g(x) = 5x2 − 12. Quindi f(g(x)) = f(5x2 − 12) = (5x2 − 12)4

. Si consideri la funzione√

3x2 − 2x+ 5, e si scriva come composizione di 2 funzioni.

Poniamo f(x) =√x e g(x) = 3x2 − 2x+ 5. Quindi f(g(x)) = f(3x2 − 2x+ 5) =

√3x2 − 2x+ 5

�

Possiamo adesso affrontare il caso della derivazione di una funzione composta.

Il caso D(f(g(x))) = f ′(g(x)) · g′(x) significa che la derivata di una funzione composta e data dalprodotto fra la derivata di f applicata all’oggetto g(x), e la derivata di g(x).

. Determinare la derivata della funzione (3x2 + 5)4.

Scriviamola come composizione della funzione f(x) = x4 e g(x) = 3x2 +5. Risulta che f ′(x) = 4x3,quindi f ′(g(x)) = f ′(3x2 + 5) = 4(3x2 + 5)3, mentre g′(x) = 6x.

Pertanto:D((3x2 + 5)4) = 4(3x2 + 5)3 · 6x = 24x(3x2 + 5)3

. Determinare la derivata della funzione√

2x2 − 7x+ 1.

Scriviamola come composizione della funzione f(x) =√x e g(x) = 2x2 − 7x+ 1. Risulta che

f ′(x) = 12√x, quindi f ′(g(x)) = f ′(2x2 − 7x+ 1) = 1

2√2x2−7x+1

,

mentre g′(x) = 4x− 7.Pertanto:

D(√

2x2 − 7x+ 1) =1

2√

2x2 − 7x+ 1· (4x− 7) =

4x− 7

2√

2x2 − 7x+ 1

�

2.15 Crescenza, decrescenza, massimi e minimi di una funzione

Definizione di massimo relativo di una funzione. Una funzione f ha un massimo relativo inx0, se esiste un intorno di x0, tale che f(x0) > f(x) per qualunque x appartenente a tale intorno(figura 2.36).

�

Definizione di massimo assoluto di una funzione. x0 e un punto di massimo assoluto per f ,se f(x0) > f(x) per qualunque x appartenente al dominio di f . Il massimo assoluto va cercato fra


o

y

xx3x2x1

Figura 2.36: La funzione ha 2 minimi relativi, uno in x1 e l’altro in x3; ha un massimo relativo inx2. Il minimo assoluto e in x3, mentre non c’e massimo assoluto

i massimi relativi e gli eventuali “punti isolati” (che comunque non sono presenti nelle funzioni cheabbiamo studiato e che studieremo).

Definizione di minimo relativo di una funzione. Una funzione f ha un minimo relativo inx0, se esiste un intorno di x0, tale che f(x0) < f(x) per qualunque x appartenente a tale intorno(figura2.36).

�

Definizione di minimo assoluto di una funzione. x0 e un punto di minimo assoluto per f ,se f(x0) < f(x) per qualunque x appartenente al dominio di f . Il minimo assoluto va cercato fra iminimi relativi e gli eventuali “punti isolati” .

�

Dalla figura 2.37 possiamo intuire la relazione fra la derivata e il grafico di una funzione: si osservache, se il grafico della funzione cresce, la retta tangente ha coefficiente angolare maggiore di zero;se il grafico della funzione decresce, la retta tangente ha coefficiente angolare minore di zero; se ilgrafico della funzione ha un massimo o un minimo relativo, la retta tangente e orizzontale e quindiha coefficiente angolare maggiore di zero.

Ma il coefficiente angolare della retta tangente corrisponde alla derivata della funzione, quindipossiamo stabilire la seguente relazione:

• se f ′(x) > 0 la funzione cresce

• se f ′(x) < 0 la funzione decresce

• se f ′(x) = 0 la funzione puo avere un massimo o un minimo relativo

Esempi

. Studiare crescenza, decrescenza massimi e minimi della funzione f(x) = x3 − 9x2 + 24x− 7.

Per studiare crescenza e decrescenza calcoliamo la derivata:

f ′(x) = 3x2 − 18x+ 24

e studiamo la disequazione f ′(x) > 0:

3x2 − 18x+ 24 > 0 4 = 36 x1 = 2, x2 = 4

Dalle informazioni ricavate dal grafico (lasciato per esercizio), risulta che


m=0

m=0m>0

m<0

x

y

Figura 2.37: Nei valori di x in cui il grafico di f cresce, la derivata di f e positiva, nei valori dix in cui il grafico di f decresce, la derivata di f e negativa, nei punti di massimo e minimo laderivata di f e nulla.

• f ′ > 0 per x < 2 ∨ x > 4

• f ′(x) < 0 per 2 < x < 4

• f ′(x) = 0 per x = 2 ∨ x > 4

Questo significa che il grafico di f , partendo da x = −∞, cresce fino a che x raggiunge il valore 2,per 2 < x < 4 il grafico decresce, e poi torna a crescere per x > 4. Come abbiamo detto in x = 2e in x = 4 la funzione ha un massimo o un minimo relativo. Come capire se, ad esempio in x = 2,ha un minimo o un massimo? Basta osservare il comportamento del grafico prima e dopo x = 2.Prima (per x < 2) la funzione cresce, dopo (per x > 2) la funzione decresce. Quindi e come arrivarein cima ad una montagna: prima saliamo, si arriva sulla vetta e poi scendiamo. Quindi x = 2 eun massimo relativo. Per x = 4 accade il contrario: prima (per x < 4) la funzione decresce, dopo(per x > 4) la funzione cresce. Quindi e come arrivare in fondo ad una buca: prima scendiamo, siarriva sul fondo e poi risaliamo. Quindi x = 4 e un minimo relativo.

Conviene, per disegnare il grafico, determinare le coordinate dei punti di massimo o minimo relativi:

per farlo basta calcolare f(2) e f(4):

f(2) = 23 − 9 · 22 + 24 · 2− 7 = 8− 36 + 48− 7 = 13

Pertanto il grafico di f ha un massimo nel punto (2; 13).

f(4) = 43 − 9 · 42 + 24 · 4− 7 = 64− 144 + 96− 7 = 9

Pertanto il grafico di f ha un minimo nel punto (4; 9).

�

Osservazione Abbiamo detto che, se per un certo valore x0 risulta f ′(x0) = 0, la funzione puoavere un massimo o un minimo. Questo significa che non e sicuro che la funzione abbia massimo ominimo in x0. Per essere sicuri deve accadere che la derivata f ′ deve cambiare segno inqualunque intorno di x0; se cio non accade f non ha ne minimo ne massimo in x0. Chiariamocol seguente esempio:

. Studiare massimi e minimi della funzione f(x) = x3.

Il grafico di y = x3 e ben noto e riportato in figura 2.38. Come si vede la funzione non ha massimio minimi. Studiamo la derivata:

f ′(x) = 3x2, quindi f ′(x) = 0→ 3x2 = 0→ x = 0


Figura 2.38: Il grafico di y = x3

ma in x = 0 la funzione non ha massimo o minimo, infatti la derivata e positiva sia prima di 0 chedopo, e quindi non cambia di segno.

�

. Studiare crescenza, decrescenza massimi e minimi della funzione f(x) = x2−10x+9x−10 .

Essendo una funzione fratta determiniamo il dominio che risulta:

D = {x ∈ R|x 6= 10}

Per studiare crescenza e decrescenza calcoliamo la derivata ricordando la regola della derivata diuna funzione fratta:

(derivata del numeratore) · (denominatore)− (numeratore) · (derivata del denominatore)

(denominatore)2

Dal momento che il numeratore della funzione e x2 − 10x+ 9, la sua derivata e 2x− 10; mentre ildenominatore della funzione e x− 10 e la sua derivata e 1, sostituendo nella precedente formula siottiene:

f ′(x) =(2x− 10) · (x− 10)− (x2 − 10x+ 9) · (1)

(x− 10)2

svolgendo i calcoli si ottiene

2x2 − 30x+ 100− x2 + 10x− 9

(x− 10)2=x2 − 20x+ 91

(x− 10)2

quindi:

f ′(x) =x2 − 20x+ 91

(x− 10)2

Dal momento che vogliamo studiare il segno di f ′(x), dobbiamo impostare la disequazione f ′(x) > 0.Si tratta di una disequazione fratta, ma si osserva che il denominatore e un quadrato equindi sempre positivo. Pertanto il segno della funzione e deciso solo dal numeratore,e quindi sara sufficiente studiare solo il segno del numeratore:


x2 − 20x+ 91 > 0

determinando il delta (400 − 4 · 91 = 36) si determinano le radici x = 7 e x = 13 (si lascia peresercizio disegnare il grafico del segno).

Si ricava che:

• f ′(x) > 0 se x < 7 ∨ x > 13

• f ′(x) < 0 se 7 < x < 13

• f ′(x) = 0 se x = 7 ∨ x = 13

Pertanto, partendo da x = −∞ e muovendosi verso destra sull’asse delle x:

• La funzione cresce fino a x = 7

• In x = 7 raggiunge un massimo relativo.

• Dopo x = 7 la funzione comincia a decrescere fino a x = 13 dove ha un minimo.

• Da x = 13 in poi la funzione ricomincia a crescere

Dobbiamo ora determinare le coordinate del punto di massimo e di minimo. Sappiamo che lafunzione ha un massimo in x = 7, bisogna determinare quanto vale la funzione in quel punto (lafunzione e non la sua derivata!!).

Per farlo calcoliamo f(7):

f(7) = −12−3 = 4

Pertanto il grafico di f ha un massimo nel punto (7; 4).

f(13) = 483 = 16


. Studiare crescenza, decrescenza massimi e minimi della funzione f(x) =√x2 − 6x− 7.

Essendo una funzione radicale determiniamo il dominio imponendo che il radicando sia maggioreo uguale a zero:

x2 − 6x− 7 ≥ 0→4 = 64; x = −1; x = 7

il dominio risulta:

D = {x ∈ R|x ≤ −1 ∨ x ≥ 7}

Per studiare crescenza e decrescenza calcoliamo la derivata. Per farlo conviene scrivere la funzionecome composizione di due funzioni e poi usare la regola delle derivazioni composte.

Ponendo:

g(x) =√x e h(x) = x2 − 6x+ 7 (non possiamo usare la lettera f in quanto usata per chiamare la

funzione originale).

risulta che f(x) = g(h(x)).

Ricordiamo la regola della derivata di una funzione composta:

D(g(h(x)) = g′(h(x)) · h′(x)


Dal momento che:

g′(x) = 12√x

risulta che g′(h(x)) = 12√x2−6x+7

. Inoltre h′(x) = 2x− 6.

Pertanto, sostituendo nella precedente formula otteniamo:

f ′(x) =1

2√x2 − 6x+ 7

· (2x− 6) =2x− 6

2√x2 − 6x+ 7

Dal momento che vogliamo studiare il segno di f ′(x), dobbiamo impostare la disequazione f ′(x) > 0.Si tratta di una disequazione fratta, ma si osserva che il denominatore e una radicequadrata e quindi, per convenzione, sempre positivo. Pertanto il segno della funzio-ne e deciso solo dal numeratore, e quindi sara sufficiente studiare solo il segno delnumeratore:

2x− 6 > 0→ x > 3

Pertanto ricaviamo che:

• f ′(x) < 0 se x < 3

• f ′(x) > 0 se x > 3

• f ′(x) = 0 se x = 3

Ora osserviamo che x = 3 e escluso dal dominio, quindi la funzione non ha ne minimi, ne massimi.

Quindi, partendo da x = −∞ e muovendosi verso destra sull’asse delle x:

• La funzione decresce fino a x = −1

• in −1 < x < 7 la funzione non e definita (valori fuori dal dominio).

• Dopo x = 7 la funzione cresce

�

2.16 La derivata seconda e la concavita e convessita delle funzioni(solo per funzioni razionali intere)

Un’ulteriore informazione per poter disegnare il grafico deriva dal sapere dove il grafico ha laconcavita rivolta verso l’alto e dove ha la concavita rivolta verso il basso. Abbiamo piu volteincontrato queste parole, ad esempio nello studio della parabola.

Infatti, nota l’equazione della parabola, possiamo subito affermare che, se il coefficiente di x2 epositivo, la parabola ha la concavita rivolta verso l’alto, mentre se il coefficiente di x2 e negativo,la parabola ha la concavita rivolta verso il basso.

Si osservi la figura 2.39. Supponiamo di sapere che il grafico della funzione passa dal punto A alpunto B ed in tale intervallo la funzione e crescente.

La domanda che ci poniamo e: da A a B la funzione cresce con la concavita rivolta verso l’alto overso il basso?

La risposta arriva dallo studio della derivata seconda. La derivata seconda di una funzione f , e unafunzione che si ottiene derivando f ′ (che infatti viene anche chiamata derivata prima). La derivataseconda si indica con f ′′(x).


A

B

x

A

o x

y

Figura 2.39: La linea continua indica il grafico della funzione se la sua concavita e rivolta versol’alto, La linea tratteggiata indica il grafico della funzione se la sua concavita e rivolta verso il basso

Senza dimostrarlo enunciamo il seguente Teorema:

• Se f ′′(x) > 0 il grafico della funzione ha la concavita rivolta verso l’alto.

• Se f ′′(x) < 0 il grafico della funzione ha la concavita rivolta verso il basso.

• Se f ′′(x) = 0 la funzione puo avere un punto di flesso, cioe passa dall’avere la concavitarivolta verso l’alto, alla concavita rivolta verso il basso o viceversa. Come per i massimi ei minimi, la funzione ha un punto di flesso in x0, se f ′′(x) cambia di segno in x0.

Noi studieremo la derivata seconda solo per funzioni razionali intere. Per le altre funzioni risultatroppo difficoltoso, rispetto ai nostri obiettivi, determinare la derivata seconda e studiarne il segno.

Esempi

. Studiare concavita e flessi della funzione f(x) = x3 − 9x2 + 24x− 7.

Essendo la funzione gia studiata precedentemente (paragrafo 2.15), sappiamo che ha un minimo dicoordinate (4; 9) e un massimo di coordinate (2; 13). Sappiamo anche che il grafico di f(x) cresceda −∞ a 2, decresce da x = 2 a x = 4 e decresce da x = 4 in poi. Tutte queste informazioniprovengono dallo studio della derivata prima che risulta:

f ′(x) = 3x2 − 18x+ 24

Grazie alla derivata seconda possiamo scoprire la concavita:

f ′′(x) = 6x− 18

Studiamo allora f ′′(x) > 0:

6x− 18 > 0→ 6x > 18→ x > 3

Pertanto la funzione ha la concavita rivolta verso il basso fino a x = 3. In x = 3 ha un punto diflesso, Da x = 3 in poi ha la concavita rivolta verso l’alto. Calcoliamo le coordinate del punto diflesso, sostituendo x = 3 nell’espressione della funzione (e non della sua derivata prima o seconda!).

f(3) = 33 − 9 · 32 + 24 · 3− 7 = 27− 81 + 72− 7 = 11

pertanto il punto di flesso ha coordinate (3; 11). Riportiamo tutte le informazioni nel grafico difigura 2.40.

�


2 3 43 xo

9

1113

Figura 2.40: La derivata seconda ci indica se il grafico della funzione ha concavita verso l’alto overso il basso

2.17 Studio completo di alcune funzioni

. Studiare la funzione f(x) = x3 − 9x2 + 24x− 16

Poniamo y = f(x), quindi y = x3 − 9x2 + 24x− 16. Le informazioni che ricaviamo dallo studio difunzione sono riportate in figura 2.41.

1) Dominio: D = {x ∈ R}

2) Continuita: la funzione e continua nel suo dominio (e quindi in tutto R)

3) Intersezione con gli assi, positivita e negativita:

Intersezione con l’asse x: {y = x3 − 9x2 + 24x− 16

y = 0

Da cui si ottiene l’equazione:

x3 − 9x2 + 24x− 16 = 0

E un’equazione di terzo grado, il polinomio e pero scomponibile con Ruffini (si noti che P (1) = 0).Pertanto:

x3 − 9x2 + 24x− 16 = (x− 1)(x2 − 8x+ 16)

Quindi le intersezioni con l’asse x si determinano risolvendo le equazioni x−1 = 0 e x2−8x+16 = 0.La prima ha come soluzione x = 1, la seconda ha come soluzione, doppia, x = 4.

Pertanto le intersezioni con l’asse x avvengono nei punti di ascissa x = 1 e x = 4.

Intersezione con l’asse y:

{y = x3 − 9x2 + 24x− 16

x = 0

Pertanto l’intersezione con l’asse y avviene nel punto di ascissa y = −16.

Per la positivita poniamo x3 − 9x2 + 24x− 16 > 0

Sappiamo gia le soluzioni dell’equazione associata (x = 1 e la soluzione doppia x = 4). Pertantoriportiamo sul grafico (lasciato per esercizio) x > 1; x > 4; x > 4.


Dal grafico deduciamo che la funzione e negativa per x < 1 e positiva per x > 1. Cancelliamoquindi la parte sopra l’asse x, per x < 1, e quella sotto l’asse x per x > 1.

4) Asintoti.

Non esistono asintoti verticali non essendoci valori esclusi dal dominio.

Asintoto orizzontale, prima destro e poi sinistro:

limx→+∞

x3 − 9x2 + 24x− 16 = limx→+∞

x3 = +∞

limx→−∞

x3 − 9x2 + 24x− 16 = limx→+∞

x3 = −∞

Quindi la funzione non ha asintoti orizzontali.

Asintoto obliquo, prima destro e poi sinistro:

limx→+∞

x3 − 9x2 + 24x− 16

x= lim

x→+∞

x3

x= lim

x→+∞x2 = +∞

limx→−∞

x3 − 9x2 + 24x− 16

x= lim

x→−∞

x3

x= lim

x→−∞x2 = +∞

Quindi la funzione non ha asintoti obliqui.

Conviene comunque riportare l’informazione

limx→+∞

f(x) = +∞

tracciando un segno in alto a destra del grafico (a destra perche x tende a +∞ e in alto perche ilrisultato del limite e +∞).

e l’informazione

limx→−∞

f(x) = −∞

tracciando un segno in basso a sinistra del grafico (a sinistra perche x tende a −∞ e in basso percheil risultato del limite e −∞).

5) Crescenza, decrescenza, massimi e minimi.

Calcoliamo f ′(x):

f ′(x) = 3x2 − 18x+ 24

Ponendo f ′(x) > 0 e tracciando il grafico (lasciato per esercizio) troviamo che:

• f ′(x) > 0 per x < 2

• f ′(x) = 0 per x = 2

• f ′(x) < 0 per 2 < x < 4

• f ′(x) = 0 per x = 4

• f ′(x) > 0 per x > 4

Quindi la funzione cresce da −∞ a 2, in x = 2 ha un massimo, decresce per 2 < x < 4, in x = 4 haun minimo, riprende a crescere per x > 4.

Calcoliamo le coordinate del punto di massimo, sostituendo il valore 2 a x nell’espressione dellafunzione:

f(2) = 8− 36 + 48− 16 = 4


1 21 3 4 x

2

4

-16

y

Figura 2.41:

Quindi il punto di massimo ha coordinate (2; 4).

Calcoliamo le coordinate del punto di minimo, sostituendo il valore 4 a x nell’espressione dellafunzione:

f(4) = 64− 144 + 96− 16 = 0

Quindi il punto di minimo ha coordinate (4; 0).

6) Concavita e punti di flesso:

Calcoliamo la derivata seconda:

f ′′(x) = 6x− 18

Ponendo f ′′(x) > 0 troviamo che:

• f ′′(x) < 0 per x < 3

• f ′′(x) = 0 per x = 3

• f ′′(x) > 0 per x > 3

Quindi la funzione ha la concavita verso il basso da −∞ a 3, in x = 3 ha un flesso, e ha la concavitaverso l’alto per x > 3.

Calcoliamo le coordinate del punto di flesso, sostituendo il valore 3 a x nell’espressione dellafunzione:

f(3) = 27− 81 + 72− 16 = 2

Quindi il punto di flesso ha coordinate (3; 2).

. Studiare la seguente funzione: x2−5x+4x−5

Per disegnare il grafico sul piano cartesiano, poniamo y = f(x), quindi y = x2−5x+4x−5 .

(Tutte le informazioni ricavate sono riportate nel grafico in figura 2.42)


x− 5 = 0→ x = 5

Pertanto il dominio risulta:

D = {x ∈ R|x 6= 5}

Sul piano cartesiano disegniamo quindi la retta verticale x = 5.


Prima di andare avanti scomponiamo il numeratore (il denominatore non e scomponibile) per vederese e possibile effettuare una semplificazione. Risulta:

x2 − 5x+ 4 = (x− 4)(x− 1)

Pertanto nessuna semplificazione e fattibile




y = 0

quindi in questo caso: {y = x2−5x+4

x−5y = 0


x2−5x+4x−5 = 0

Che si riduce a:x2 − 5x+ 4 = 0

che ha soluzioni x = 1 e x = 4. Pertanto le intersezioni con l’asse delle x avvengono nei punti diascissa x = 1 e x = 4.


{y = f(x)

x = 0

quindi in questo caso: {y = x2−5x+4

x−5x = 0

Che ha come soluzione: {y = −4

5x = 0

Pertanto l’intersezione con l’asse y avviene nel punto di ordinata y = −45 .


x2−5x+4x−5 > 0

Rappresentiamo sul grafico x > 4, x > 1, x > 5 (lasciato per esercizio).

Risulta quindi che la funzione e negativa per x < 1 e per 4 < x < 5. Nel piano cartesianocancelliamo quindi la parte sopra l’asse x in questi 2 intervalli.

Inoltre risulta che la funzione e positiva per 1 < x < 4 e per x > 5. Nel piano cartesiano cancelliamoquindi la parte sotto l’asse x in questi 2 intervalli.

4) Asintoti.

Asintoti verticali: il valore escluso dal dominio e 5. Pertanto effettueremo i limiti, destro e sinistro,per x tendente a questo valore:


limx→5−

x2 − 5x+ 4

x− 5=

9

0−= −∞

limx→5+

x2 − 5x+ 4

x− 5=

9

0+= +∞


Dal momento che il limite sinistro per x tendente a 5 e meno infinito, tracciamo alla sinistra e ilpiu vicino possibile alla retta x = 5, un segno in basso.

Inoltre, dal momento che il limite destro per x tendente a 5 e piu infinito, tracciamo alla destra eil piu vicino possibile alla retta x = 5, un segno in alto.


limx→+∞

x2 − 5x+ 4

x− 5= lim

x→+∞

x62

6x= +∞

limx→−∞

x2 − 5x+ 4

x− 5= lim

x→−∞

x62

6x= −∞


limx→±∞

f(x)

x


limx→+∞

x2 − 5x+ 4

x− 5· 1

x= lim

x→+∞

x2 − 5x+ 4

x2 − 5x= lim

x→+∞

6x2

6x2= 1


limx→−∞

x2 − 5x+ 4

x− 5· 1

x= lim

x→−∞

x2 − 5x+ 4

x2 − 5x= lim

x→−∞

6x2

6x2= 1

Quindi l’asintoto obliquo (sia destro che sinistro) esiste ed e una retta di coefficiente angolare m = 1.


q = limx→+∞

f(x)−mx

quindi:

limx→+∞

x2 − 5x+ 4

x− 5− x = lim

x→+∞

· 6x2 − 65x +4− 6x2 + 65xx− 5

= limx→+∞

4

x− 5= 0

e

limx→+∞

x2 − 5x+ 4

x− 5− x = lim

x→+∞

· 6x2 − 65x +4− 6x2 + 65xx− 5

= limx→+∞

4

x− 5= 0

Pertanto la retta y = x e asintoto obliquo sia destro che sinistro.

5) Crescenza e decrescenza, massimi e minimi.

Calcoliamo la derivata: dal momento che il numeratore della funzione e x2−5x+ 4, la sua derivatae 2x − 5; mentre il denominatore della funzione e x − 5 e la sua derivata e 1, sostituendo nellaformula di derivazione di una funzione fratta si ottiene:

f ′(x) = (2x−5)·(x−5)−(x2−5x+4)·(1)(x−5)2

svolgendo i calcoli si ottiene

2x2−10x−5x+25−x2+5x−4(x−5)2 = x2−10x+21

(x−5)2


quindi:

f ′(x) = x2−10x+21(x−5)2

Dal momento che vogliamo studiare il segno di f ′(x), dobbiamo impostare la disequazione f ′(x) > 0.Dato che il denominatore e un quadrato, quindi sempre positivo, e sufficiente studiare solo il segnodel numeratore:

x2 − 10x+ 21 > 0

calcolando il delta (100− 4 · 21 = 16) si determinano le radici x = 3 e x = 7 (si lascia per eserciziodisegnare il grafico del segno).

Si ricava che:

• f ′(x) > 0 se x < 3 ∨ x > 7

• f ′(x) < 0 se 3 < x < 7

• f ′(x) = 0 se x = 3 ∨ x = 7

Pertanto, partendo da x = −∞ e muovendosi verso destra sull’asse delle x:

• La funzione cresce fino a x = 3

• In x = 3 raggiunge un massimo relativo.

• Dopo x = 3 la funzione comincia a decrescere fino a x = 7 dove ha un minimo.

• Da x = 7 in poi la funzione ricomincia a crescere

Dobbiamo ora determinare le coordinate del punto di massimo e di minimo. Sappiamo che lafunzione ha un massimo in x = 3, bisogna determinare quanto vale la funzione in quel punto.

Per farlo calcoliamo f(3):

f(3) = −2−2 = 1

Pertanto il grafico di f ha un massimo nel punto (3;−1).

Calcoliamo adesso f(7):

f(7) = 182 = 9


�

2.18 Esercizi

Paragrafo 2.2

1. Data la funzione f(x) = −2x2 + 2, determina l’immagine di x = 2; x = −3; x = 14 e x = 0.

2. Data la funzione f(x) = −3xx2+1

, determina l’immagine di x = 0; x = −2; x = −14 .

3. Data la funzione f(x) =√x2 + 4x+ 4, determina l’immagine di x = 3; x = −1; x = 1

2 ex = 0.


x=5

y=x

1 3 4 7 x

1

9

y

-4/5

y=x

Figura 2.42:

4. Data la funzione f(x) =√x+ 14, determina l’immagine di x = 3; x = −14; x = 1 e x = −13.

5. Data la funzione f(x) = 33x+ 33, determina l’immagine di x = 10; x = −10; x = 133 e x = 0.

Paragrafo 1.1.1

6. Data la funzione f(x) = −3x2 + x + 1, disegna i punti del grafico di f per x = 2; x = −3;x = 1

4 e x = 0.

7. Data la funzione f(x) = 5x3

x+1 , disegna i punti del grafico di f per x = −2; x = −1; x = 12 e

x = 0.

8. Data la funzione f(x) =√x2 + 4x+ 4, disegna i punti del grafico di f per x = −2; x = −1;

x = 12 e x = 0.

9. Data la funzione f(x) = 4, determina l’immagine di x = 3; x = −14; x = 1 e x = −13.

10. Data la funzione f(x) =√x, determina l’immagine di x = 100; x = 9

16 ; x = 1336 e x = 0.

Paragrafo 2.5

11. Disegnare il grafico della funzione f(x) = −2

12. Disegnare il grafico della funzione f(x) = −2x+ 1

13. Disegnare il grafico della funzione f(x) = x2 + 3x− 4

14. Disegnare il grafico della funzione f(x) = −x2 + 6x

15. Disegnare il grafico della funzione f(x) = −25x+ 1

16. Disegnare il grafico della funzione f(x) = 13x+ 1

6

17. Disegnare il grafico della funzione f(x) = −x2 − x− 4

18. Disegnare il grafico della funzione f(x) = 22

19. Disegnare il grafico della funzion f(x) = x

20. Disegnare il grafico della funzion f(x) = −x2 − 5x− 6

Paragrafo 2.6

21. Determina il dominio della funzione f(x) = 3x− 14

22. Determina il dominio della funzione f(x) = x2 − 13x


23. Determina il dominio della funzione f(x) = x+2x−2

24. Determina il dominio della funzione f(x) = xx2+1

25. Determina il dominio della funzione f(x) = 3√x2 + 5x+ 6

26. Determina il dominio della funzione f(x) = 4√x2 + 5x+ 6

27. Determina il dominio della funzione f(x) = 8√−x2 + 5x− 6

28. Determina il dominio della funzione f(x) = 3

√x+3

x2−7x+12

29. Determina il dominio della funzione f(x) = x+3x2−5x

30. Determina il dominio della funzione f(x) = 4√−x

31. Determina il dominio della funzione f(x) = 4

√3−xx−1

32. Determina il dominio della funzione f(x) =√

2x−92x−8

Paragrafo 2.7

33. Determina il dominio della funzione definita per casi

f(x) =

{x2 + 1 se x ≤ 2

2x−5x−3 se x > 2


f(x) =

{x2 + 1 se x ≤ 4

2x−5x−3 se x > 4


f(x) =

{x2 + 1 se x ≤ 2

4√

2x− 4 se x > 2


f(x) =

{ √x2 − 6x+ 8 se x ≤ 3

x− 3 se x > 3


f(x) =

{x2 + 1 se x ≤ 2

2x−57−2x se x > 2

Dire se sono continue le seguenti funzioni definite per casi:

38.

f(x) =

{x2 − 3x+ 1 se x ≤ 2

2x− 5 se x > 2


39.

f(x) =

{x+2x−1 se x < 0

2x− 5 se x ≥ 0

40.

f(x) =

{x se x < −1−1 se x ≥ −1

Paragrafo 2.8

41. Determinare i seguenti intorni: I(2, 4); I(1, 110); I(−3, 32); I(0, 1);

Verifica i seguenti limiti:

42. limx→1

3x− 3 = 0; limx→4

2x− 3 = 6

43. limx→−1

5x = −5; limx→2

4x− 1 = 7

44. limx→0

3x− 3 = −3; limx→1

2x− 7 = −5

Calcola i seguenti limiti dopo aver determinato il dominio della funzione (nei limiti che ten-dono a ±∞ non importa calcolare il dominio):

45. limx→1

3x3 − 1; limx→−3

2x3 − 4

46. limx→−2

x+ 3

x2 − 1; lim

x→ 12

x2 − 5

47. limx→11

x2 − 11x+ 1; limx→ 3

4

2x− 4

x− 1

48. limx→0

273x9 − 55x4 + 1; limx→−2

√x2 + 3x+ 18

49. limx→4

x2 − 1

2x− 10; lim

x→−33√x3 + 26

50. limx→−2

5

√x2 − 4

5x− 10; lim

x→−4

√x2 + 5x+ 6

51. limx→− 1

3

x2 + 2

2x− 10; lim

x→−32√x+ 1

52. limx→10+

x2 + 1

x− 10; lim

x→−3+4x+ 8

x+ 3

53. limx→ 1

2

−

5x

1− 2x; lim

x→0−

3x− 8

4x

54. limx→ 2

3

+

x− 1

3x− 2; lim

x→−2−4x+ 7

x2 + 3x+ 2

55. limx→6+

−1

12− 2x; lim

x→5+

x2

x2 − 8x+ 15


56. limx→− 1

3

−

−3x− 2

3 + 9x; lim

x→7−

−4x+ 3

x2 − 6x− 7

57. limx→3+

30 + 10x

30− 10x; lim

x→−1−−17

x2 + 5x+ 4

58. limx→0−

x− 1

3x; lim

x→− 23

−

x+ 1

3x2 + 8x+ 4

59. limx→4+

1− x2

12− 3x; lim

x→ 17

+

2 + x

7x2 + 6x− 1

60. limx→− 4

5

+

x− 1

8 + 10x; lim

x→−2−−1111

x2 + 6x+ 8

61. limx→ 2

5

+

x+ 1

5x− 2; lim

x→0−

3

x2 + 3x

62. limx→5+

√x− 1

3x− 2; lim

x→2−

3

√4x+ 7

x2 + 3x− 8

63. limx→+∞

3x+ 12; limx→−∞

+11x− 5

64. limx→+∞

√x2 + 3x; lim

x→−∞−x2 + x

65. limx→−∞

5√x2 − 3x; lim

x→+∞

3

2x+ 1

66. limx→−∞

√−2x; lim

x→−∞

5x2 + 1

36

67. limx→+∞

3√−x2 − 3x+ 2; lim

x→−∞

7

12x+ 1

68. limx→−∞

x

3; lim

x→−∞

3

x

69. limx→+∞

√10x; lim

x→−∞3

√8

3x

70. limx→+∞

√−4

100x; lim

x→−∞3

√x3 + 8

71

Trasformare i seguenti radicali in potenze con esponente frazionario

71.5√x4; 3

√2;

5√x4

72.8√a9; 3

√(x+ 2)2;

√x

73. 5√

2x;√x+ 2; 7

√x2 + 1

Trasformare le seguenti potenze ad esponente frazionario in radicali:

74. x12 ; (x+ 2)

35 ; (3x)

56

75. x47 ; (2x− 4)

13 ; 5

16


76. 912 ; (2x+ 12)

43 ; (6x)

58

Calcola i seguenti limiti dopo aver determinato il dominio della funzione e evidenziando diquale forma indeterminata si tratta (nei limiti che tendono a ±∞ non importa calcolare ildominio):

77. limx→+∞

5x3 − 12x2 − 7x− 21; limx→−∞

−x9 − x2 − 4

78. limx→+∞

−5x3 − 12x2 − 7x72 + 1; lim

x→−∞x3 + 2x6 − 1111

79. limx→+∞

3√

8x3 − 20x; limx→−∞

−x3 − x7 + x2 − 3x4

80. limx→+∞

2x+ 7

1− x2; lim

x→−∞

−x3 − x7 + x2 − 3x4

3x6 + 2x− 11

81. limx→+∞

−3x4 + x+ 17

−x2 + 6x4 + 2; lim

x→−∞

−3x4

2x6 + 2x− 1

82. limx→+∞

x3 + x2 + x+ 1

x3 − x2 − x− 1; lim

x→−∞

−2x3 + x2

x+7√x2 − 8

83. limx→+∞

x53 + 27

1− 3√x5

; limx→−∞

√−x3 − x2 − 3

−4x3 + 22x

84. limx→+∞

12x+ 7

3x− 5; lim

x→−∞

1000 + x2

3x6

85. limx→+∞

√x3 + 7

3x2 − 5; lim

x→−∞3

√x2 + x+ 1

3x3

86. limx→+∞

√9x3 − 27

x3 − 5; lim

x→−∞3

√1000x2 + 1

x2 − 2x

87. limx→3

x2 + 6x− 27

x2 − 5x+ 6; lim

x→−1

x+ 1

x2 − 2x− 3

88. limx→1

x3 + 6x− 7

x2 − 1; lim

x→0

x3 + 3x2 + x

x2 − 2x

89. limx→5

x2 − 6x+ 5

x2 − 25; lim

x→−3

x2 − 6x− 27

x+ 3

90. limx→2+

x4 − 7x− 2

x2 − 4x+ 4; lim

x→−6

x2 + 36

x2 − 2x− 48

91. limx→1

√x2 + 2x− 3

x− 1; lim

x→−25

√x2 + 10x+ 16

x2 − 2x− 8

92. limx→10

x3 − 99x− 10

x2 − 10x; lim

x→−2

x2 + 7x+ 10

x+ 2

93. limx→2

√x2 + 12x− 28

x2 − 4; lim

x→0

x2 + 7x

10x

Paragrafo 2.9.2

Determina eventuali asintoti verticali, orizzontali, obliqui delle seguenti funzioni, disegnandole informazioni ottenute sul piano cartesiano.


94. f(x) = 2x−1x−3 f(x) = x2−3x+4

x+2

95. f(x) =√x2 + 2x− 3 f(x) = x+4

x2−1

96. f(x) = x2−7x+12x2−16 f(x) = x3 − 2x2 − 5x+ 1

97. f(x) = 10x− 2 f(x) = 1x

98. f(x) = 3 f(x) = x3−x2−4x+4x2−5x+4

99. f(x) = 2x−1x−3 f(x) = x2−3x+4

x+2

100.

f(x) =

{x2−7x+12x2+2x−15 se x < 1

2x− 3 se x ≥ 1f(x) =

{x2+2x

x se x < 1x2 + 5 se x ≥ 1

101. f(x) = 9x2−253x+5 f(x) = x2−3x

x2

Paragrafo 2.9.6

Delle seguenti funzioni, effettuare i primi 4 punti dello studio di funzione, rappresentando sulpiano cartesiano le informazioni sul grafico.

102. f(x) = x3 − 3x2 − 10x

103. f(x) = x2−7x+12x2−9

104. f(x) =√x2 + 2x− 3

105. f(x) = x2+5x+4x−2

106. f(x) = 5−xx2+7x+6

107. f(x) = x2+7x4x−x2

108. f(x) = x3 + 4x2 + x− 6

109. f(x) = x+2x−2

110. f(x) = x3 − 5x

111.

f(x) =

{ 1x2−6x+8

se x ≤ 3

x− 3 se x > 3

Paragrafo2.10.5

Calcolare la derivata delle seguenti funzioni nel valore x0 specificato. Successivamente siscriva l’equazione della retta tangente al grafico nel punto (x0, f(x0)).

112. f(x) = 3x− 2 x0 = 1

113. f(x) = −x2 − 2x x0 = 2

114. f(x) = 10 x0 = −1

115. f(x) = x2 − 3x+ 2 x0 = 4

116. f(x) = 3x2 x0 = −5


117. f(x) = 2x2 + 1 x0 = 2

118. f(x) = 1x x0 = 1

119. f(x) = 3x−2x x0 = 2

120. f(x) = 13x x0 = −3

Paragrafo 2.11

Dimostrare che sono continue ma non derivabili le seguenti funzioni:

121. f(x) =

{5x− 2 se x ≤ 12x+ 1 se x > 1

122. f(x) =

{2x se x ≤ 2x2 se x > 2

123. f(x) =

{x2 − 2 se x ≤ 02x− 2 se x > 0

124. f(x) =

{3x2 se x < −1

x− 5 se x ≥ −1

125. f(x) =

{x2 − 1 se x < 2x+ 1 se x ≥ 2

126. f(x) =

{1x se x < 1

3x− 2 se x ≥ 1

Paragrafo 2.12

Calcolare la funzione derivata delle seguenti funzioni. Successivamente si calcoli quanto valela derivata nei valori x0 indicati:

127. f(x) = −3x+ 2 x0 = 1; x0 = −2;x0 = 0

128. f(x) = x2 − 5x x0 = 2; x0 = −2;x0 = 0

129. f(x) = 5 x0 = −1; x0 = 12 ;x0 = 0

130. f(x) = x2 − 3x+ 2 x0 = 4; x0 = −2;x0 = 0

131. f(x) = 3x2 x0 = −5; x0 = −23 ;x0 = 0

132. f(x) = 2x2 + 1 x0 = 25 ; x0 = −2;x0 = 0

133. f(x) = 1x x0 = 1; x0 = −2;x0 = 0

134. f(x) = 3x−2x x0 = 2; x0 = −2;x0 = 0

135. f(x) = 13x x0 = −3; x0 = −2;x0 = 0

Paragrafo 2.13

Calcola la derivata delle seguenti funzioni:

136. f(x) = x4; f(x) = x−1; f(x) = 30

137. f(x) =3√x4; f(x) = 1

x2 ; f(x) = x


138. f(x) =√x7; f(x) = 1

x3 ; f(x) = 12

Paragrafo 2.13

Calcola la derivata delle seguenti funzioni:

139. f(x) = 8x4; f(x) = x+1x+3 ; f(x) = 30x

140. f(x) =√x2 + 2x+ 3; f(x) = x2+3x+1

x−2 ; f(x) = 5x+2

141. f(x) =√x7 + 5; f(x) = 2x−3

x2+3x+4; f(x) = −x4 + 3x3 + 5x

142. f(x) =√x3 + 5x2 − 14; f(x) = 2x2−3

x2−5x+4; f(x) = 1

4x4 + 1

3x3 + 1

2x2 + x+ 1000

143. f(x) =√−x2 + 5x; f(x) = −2x+3

−x2 ; f(x) = x8 + x7 + x6

144. f(x) = (2x3 + 1)5; f(x) = (x+ 5)(3x3 − 6); f(x) = 7x(−x4 + 3x3)

145. f(x) = (−x2 + 1)2; f(x) = (2x2 + 5)(32x3 − 6); f(x) = (7− x)(−3x2 + 10)

Paragrafo 2.15

Determinare il dominio e studiare crescenza, decrescenza, massimi e minimi relativi delleseguenti funzioni:

146. f(x) = 2x−1x−2

147. f(x) = x3 − 9x2 + 24x+ 2

148. f(x) = x2−11x+28x−8

149. f(x) = −13x

3 + 52x

2 − 6x− 3

150. f(x) = x4

151. f(x) = x+10x−3

152. f(x) = x2−2x+1x−2

153. f(x) = x2−9x+18x−7

154. f(x) = x2−9x+14x−11

155. f(x) = 2x3 − 6x2

Paragrafo 2.16

Studiare concavita e flessi delle seguenti funzioni:

156. f(x) = 2x3 − 8x2 + 11

157. f(x) = 112x

4 − x3 + 4x2 − 5x+ 1

158. f(x) = −3x3 + 9x2 + 11

159. f(x) = x3 − 8x+ 11

160. f(x) = x4 + 3x3 − 8x+ 1


161. f(x) = 2x2 − 12x+ 10

Paragrafo 2.17

Effettuare lo studio delle seguenti funzioni rappresentando il grafico sul piano cartesiano (serazionali intere effettuare anche lo studio della concavita)

162. f(x) = x3 − 6x2 + 9x− 4

163. f(x) = x2−11x+28x−3

164. f(x) =√x2 − 8x+ 12

165. f(x) = x3 − 9x2 + 24x− 20

166. f(x) = x2−12x+20x−11

167. f(x) =√x2 + 10x+ 16

168. f(x) = x3 − 3x2 − 9x− 5

169. f(x) = x2+7x+6x−3

170. f(x) =√x2 + 4x− 12

171. f(x) = x3 − 3x

172. f(x) = x2−13x+36x−13

173. f(x) =√x2 − 4x+ 3

174. f(x) = x3 + 3x2 − 9x+ 5

175. f(x) =

{x+12x−5 se x ≤ 1

2x+ 1 se x > 1

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