Le equazioni di primo grado

Problema

Cerchiamo di determinare un numero che aggiunto al suo triplo dia 20.

Dal linguaggio naturale a quello matematico

Come tradurre il nostro problema in termini matematici?Decidiamo di indicare con x il numero da determinare, ecco che il testo del problema può essere scritto così:

x+3x=20

Sommiamo i termini simili4x=20

A questo punto è facile rispondere che il numero cercato è 5.

verifichiamo

Tanto è vero che se calcoliamo

5+3*5

il risultato è proprio 20!

Le equazioni

Le equazioni non sono altro che

frasi in linguaggio matematico che possono essere vere per determinati valori e false per altri.

Riferendoci al problema appena visto diremo che l’equazione

x+3x=20

risulta VERA se al posto di x sostituiamo 5,

mentre diventa FALSA se al posto di x sostituiamo un altro numero.

Problema

Cerchiamo ora un numero che addizionato al suo triplo dia

esattamente il suo quadruplo.

Soluzione problema 2

Traducendo il testo in linguaggio matematico:

x+3x=4x

e perciò:

4x=4x.

Ma ciò significa che la soluzione di questo problema potrebbe essere qualsiasi numero!

Terminologia

x+3x

INCOGNITA

20

secondo membro

primo membro

Il numero 5, che era il risultato del nostro problema, è detto soluzione.

Grado di un’equazione

Si chiama

grado di un’equazione

il massimo esponente con cui compare l’incognita.

3x+24=12 è di primo grado

3x2+24=12 è di secondo grado

3x5+24=12 è di quinto grado

3x7+24=12 è di settimo grado

Equazioni equivalenti

Due equazioni che hanno le stesse soluzioni si dicono equivalenti.

Ad esempio

2x=10 che ha per soluzione 5

è equivalente a

3x=15 che pure ha per soluzione 5.

Risoluzione di un’equazione di primo grado

Dobbiamo risolvere

x+12=30

Proviamo a pensare all’equazione come ad una bilancia in perfetto equilibrio: se vogliamo mantenere l’equilibrio tutto ciò che viene fatto sul primo piatto deve farsi tale e quale nel secondo.

x+12 =30-12 -12

x=18Abbiamo applicato quello che viene

chiamato primo principio delle equazioni.

Abbiamo applicato quello che viene chiamato secondo principio delle equazioni.

3x = 303 3

x=10

Equazioni impossibili

Se un’equazione non ammette soluzione si chiama impossibile.

4x=4x+1 non ha soluzione: è impossibilex2=-2 non ha soluzione: è impossibile

Equazioni indeterminate

Un’equazione che ha infinite soluzioni si dice indeterminata.

4x=4x ha infinite soluzioni: è indeterminata2x=x+x ha infinite soluzioni: è indeterminata

FINE

Primo principio di equivalenza

Se si somma o si sottrae lo stesso valore da ambo i membri di

un’equazione si ottiene un’equazione equivalente.

Secondo principio di equivalenza

Se si moltiplicano o si dividono per lo stesso valore ambo i membri

di un’equazione si ottiene un’equazione equivalente.

Incognita

Incognita viene chiamata la lettera che rappresenta il numero da

determinare.

In genere viene indicata con le ultime lettere dell’alfabeto

Soluzione

Soluzione

di un’equazione è quel numero che sostituito all’incognita rende vera l’equazione.