Le equazioni

1

Chiamiamo equazione l’uguaglianza tra due espressioni algebriche, funzioni delle stesse variabili, che è verificata solo per particolari valori che vengono attribuiti a tali variabili.L’espressione che si trova a sinistra del simbolo di uguaglianza si chiama primo membro, quella che si trova a destra si chiama secondo membro.Le variabili delle due espressioni si chiamano incognite.

2x – 3 = x + 1

II membroI membro

Incognita: è la lettera x

Dominio : è l’insieme dei valori che si possono attribuire a x

Soluzione: è il valore di x che rende vera l’uguaglianza

Definizione e caratteristiche

ESEMPIO

Le equazioni

x – 2 = 3L’equazione è determinata perché ha come sola soluzione 5.

EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE, IMPOSSIBILI

1 – 2x = (x – 1)2 – x2 L’equazione è indeterminata perché il primo membro è sempre uguale al secondo.

x + 4 = x L’equazione è impossibile perché non esiste un valore di x che sommato a 4 dia ancora x.

Definizione e caratteristiche

ESEMPI

2

Un equazione di dominio D si dice:

determinata se ha un numero finito di soluzioni in D;

indeterminata se ne ha un numero infinito;

impossibile se non ha soluzioni in D.

Le equazioni

ax – 2 = 3x + a

L’equazione può contenere altre lettere oltre all’incognita; queste lettere si chiamano parametri.

Parametro

Incognita: è la lettera di cui si vuole trovare il valore che soddisfa l’equazione.

Parametro: è una lettera che compare nell’equazione, ma che si suppone abbia un valore fisso anche se non noto a priori.

Per convenzione le incognite delle equazioni vengono indicate con le ultime lettere dell’alfabeto internazionale, quindi x, y, z; i parametri con le prime, quindi a, b, c e così via.

Incognita

Diversi tipi di equazioni

3

Le equazioni

CLASSIFICHIAMO LE EQUAZIONI

1 + x =2x – 1

3

Equazioni numeriche: oltre alla x, non contengono altre lettere

Equazioni letterali : oltre alla x contengono anche dei parametri ax + 2 = (a – 1) x + a

Equazioni intere: l’incognita non compare al denominatore – =

2x – 1

3

x + 1

3

1

2x

Equazioni frazionarie: l’incognita si trova in almeno uno dei denominatori – =

2x + 3

4

x – 1

x + 1 1

Diversi tipi di equazioni

4

Le equazioni

Due equazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

3x = 6 x + 3 = 5e

Esse sono diverse nella forma, ma entrambe determinate con la stessa soluzione x = 2:

3x = 6 x + 3 = 5

3 2 = 6 2 + 3 = 5

2 2

Principi di equivalenza

ESEMPIO

5

Le equazioni

PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Principi di equivalenza

Teorema. Se si aggiunge ai due membri di un’equazione una stessa espressione algebrica P, che ha lo stesso dominio dell’equazione data, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

A B=

A B=P+ P+

6

Le equazioni Principi di equivalenza

2x – 5 = x – 2

Applichiamo il primo principio di equivalenza

2x – 5 + 5 = x – 2 + 5Aggiungiamo +5 ad entrambi i membri

Riduciamo i termini simili 2x = x + 3

Sottraiamo x ad entrambi i membri 2x – x = x + 3 – x

Riduciamo i termini simili e otteniamo x = + 3

7

L’applicazione di questo principio ci permette di passare da un’equazione ad un’altra equivalente via via più semplice, che permette di determinare il valore di x.

che è la soluzione cercata

Le equazioni

CONSEGUENZE DEL PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Principi di equivalenza

Regola del trasporto. Si può spostare un termine da un membro all’altro di un’equazione purché gli si cambi segno.

Di conseguenza una qualunque equazione si può sempre scrivere nella forma E(x) = 0, dove E(x) è l’espressione che si ottiene spostando tutti i termini al primo membro.

2x = 4+ 1 – x

2x = 4+ 1+ x

ESEMPIO

8

2x + 1 + x – 4 = 0

Le equazioni Principi di equivalenza

Regola di cancellazione. Se nei due membri di un’equazione compaiono due addendi uguali, uno per ogni membro, questi possono essere soppressi.

2x = 5x

2x + 3 = 5x + 3

Sono uguali

ESEMPIO

9

Le equazioni

SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Principi di equivalenza

Teorema. Se si moltiplicano i due membri per una stessa espressione P, che abbia lo stesso dominio dell’equazione e che in quel dominio sia sempre diversa da zero, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

A B=

A B=P P

10

Le equazioni

ESEMPIO

CONSEGUENZE DEL SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Principi di equivalenza

Regola di semplificazione. Si possono semplificare tutti i termini di un’equazione per uno stesso fattore comune, purché diverso da zero.

3x – 6 = 9

x – 2 = 3

3x=

93 3 3

6–

11

Tutti i termini sono divisibili per 3.

Le equazioni

ESEMPIO

Principi di equivalenza

Regola del cambio dei segni. Se si cambiano i segni a tutti i termini di un’equazione, in entrambi i membri, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

– 2x – 3 = x – 1

2x + 3 = – x + 1

12

Le equazioni

ESEMPIO

Principi di equivalenza

Regola della riduzione a coefficienti interi. Da un’equazione a coefficienti frazionari si può passare ad un’equazione a coefficienti interi moltiplicando entrambi i membri per il m.c.m. fra i denominatori di tutte le frazioni.

=13

x + 112

x – 16

m.c.m. (3, 2, 6) = 6

( )=2x + 6

66

3x – 16

6( )2x + 6 = 3x – 1

13

Le equazioni

IL GRADO DI UN’EQUAZIONE

Equazioni numeriche intere

Un’equazione intera si può sempre scrivere in forma normale come E(x) = 0, dove E(x) è un polinomio.

Quando un’equazione è scritta in questa forma, si dice grado dell’equazione il grado complessivo del polinomio E(x). Ad esempio:

2x – 3 = 0 È un’equazione di primo grado.

4x2 – 6x + 3 = 0 È un’equazione di secondo grado.

6x3 – 7x + 1 = 0 È un’equazione di terzo grado.

14

Le equazioni

LE EQUAZIONI LINEARI

Equazioni numeriche intere

Un’equazione di primo grado si dice anche lineare ed ha la forma:

ax + b = 0

Termine noto

a è il coefficiente del termine di primo grado, b è il termine noto dell’equazione.Il dominio di un’equazione lineare è sempre R.

Possiamo dire di avere risolto un’equazione lineare quando riusciamo a scriverla nella forma

x = k

In questo caso diciamo che k è la soluzione e che S={k} è l’insieme delle soluzioni.

15

Le equazioni

PROCEDURA DI RISOLUZIONE

Equazioni numeriche intere

ax + b = 0

a ≠ 0

Data l’equazione

ax = – b

x = b

a–

a = 0

b = 0 b ≠ 0

Impossibile

S =

Indeterminata

S = R S = ba

–{ }

Si porta il termine noto al secondo membro

16

Si analizza il coefficiente a

Le equazioni Equazioni numeriche frazionarie

Nelle equazioni frazionarie il dominio non è più R, perché bisogna escludere quei valori che, annullando qualche denominatore, fanno perdere significato all’equazione.

REGOLA PER DETERMINARE IL DOMINIO

Determinato il dominio, si procede alla risoluzione dell’equazione applicando i principi di equivalenza.Una volta trovata la soluzione si deve confrontare il valore trovato con quelli esclusi dal dominio.

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1) si esegue, se necessario, la scomposizione dei polinomi ai denominatori;

2) si impone che ciascun fattore al denominatore sia diverso da zero;

3) si risolvono le condizioni di esistenza con la stessa procedura usata per risolvere le equazioni intere.

Il dominio è l’insieme R – {valori trovati al punto 3}

Le equazioni Equazioni numeriche frazionarie

ESEMPIO

1

x2 – 4–

3

x – 2=

5

x + 2

1

(x – 2) (x + 2)–

3

x – 2=

5

x + 2

1 – 3 (x + 2)

(x – 2) (x + 2)=

(x – 2) (x + 2)

5 (x – 2)

continua

Poiché deve essere x + 2 ≠ 0 ∧ x – 2 ≠ 0

ossia x ≠ – 2 ∧ x ≠ 2

Il dominio è l’insieme D = R – {– 2; 2}

18

Le equazioni Equazioni numeriche frazionarie

1 – 3 (x + 2)

(x – 2) (x + 2)= (x – 2) (x + 2) (x – 2) (x + 2)

(x – 2) (x + 2)

5 (x – 2)

1 – 3 (x + 2) = 5 (x – 2)

1 – 3x – 6 = 5x – 10

– 3x – 5x = – 10 + 6 – 1

– 8x = – 5 = +x58

5

8Poiché non coincide con uno dei valori esclusi dal domino, la soluzione è accettabile: S = { }5

8

19

Le equazioni Equazioni letterali

Non è invece possibile:

moltiplicare o dividere per un coefficiente letterale senza avere posto le condizioni di

diversità da zero di tale coefficiente.

In un’equazione letterale bisogna distinguere:

• il dominio, determinato rispetto all’incognita x

+ =1a

2ax – 1

2

x ≠ 1D = R – {1}

• le condizioni sul parametro a ≠ 0

20

In un’equazione letterale si può sempre:

trasportare i termini da un membro all’altro dell’equazione cambiando loro di segno;

cambiare tutti i segni dei termini ai due membri;

moltiplicare o dividere entrambi i membri per un coefficiente numerico diverso da zero.

Le equazioni

ESEMPIO

Equazioni letterali

Discutere un’equazione significa analizzare come cambia l’insieme delle soluzioni al variare dei parametri.

x (3a – 1) = a

Per trovare la soluzione dividiamo entrambi i membri per 3a – 1; si presentano quindi i seguenti casi:

13

a ≠ Sea

3a – 1S= { }

13

a= Se S =

21

l’equazione diventa x 0 = 13

che è impossibile