LABORATORIO di FISICA III A cura di Boschetti Fabio & Rizzi Valerio Pendolo anarmonico.

LABORATORIO

di FISICA

III

A cura di Boschetti Fabio & Rizzi Valerio

Pendolo

anarmonico

INDICE

2Laboratorio III: pendolo anarmonico

• Abstract

• Introduzione teorica

• Apparato sperimentale

• Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo

• Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli

• Parte I b: approssimazione analitica del periodo

•Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e

conclusioni parte I

•Parte IIa: stima dell’attrito

•Parte IIb: fit spazio delle fasi

•Conclusioni


ABSTRACT

Lo scopo di questo esperimento è duplice:

1)Studiare l’andamento del periodo di un pendolo in un ampio intervallo di angoli iniziali, e in particolare analizzare il comportamento del pendolo per angoli in cui il periodo non segue la normale approssimazione. Estrapoleremo dai dati raccolti approssimazioni diverse, più adatte a spiegare il comportamento del pendolo e faremo un confronto tra due di esse: -serie di Taylor -media aritmetica e geometrica

2)Stimare la forza d’attrito agente sul pendolo e confrontare lo spazio delle fasi teorico con quello interpolato dai dati sperimentali.

INDICE


• Abstract







conclusioni parte I



•Conclusioni

Laboratorio III: pendolo anarmonico 5

Introduzione Teorica

2

2

2

2

sin

sin 0

zz z

CM z

CM

z

dLM I

dt

dmgh I

dt

mghd

dt I

Dopo dei passaggi elementari si giunge alla nota equazione differenziale del pendolo. Per piccole oscillazioni è possibile approssimare il sinθ con θ e procedere nel modo usuale; lo scopo di questo laboratorio va oltre e quindi dovremo trovare dei modi per approssimare meglio l’equazione differenziale.


Consideriamo il pendolo dal punto di vista energetico e ne facciamo un bilancio, indicando con θ0 l’angolo a cui il pendolo raggiunge la massima altezza.

2 2 2012 (sin sin )

2 2 2z CMI mgh

Utilizzando l’identità trigonometrica 2cos 1 2sin ( / 2)

otteniamo la seguente

20

1(1 cos ) (1 cos )

2 z CM CMI mgh mgh

da cui

2 2 1/20

2 2 1/20

2 (sin ( / 2) sin ( / 2))

1(sin ( / 2) sin ( / 2))

2

CM

z

z

CM

mghd

dt I

Idt d

mgh

I MODO


Ora integriamo per trovare il periodo, usando θ0 e 0 come estremi e considerando che il tempo trovato sarà ¼ del periodo. Quello che troviamo è un integrale ellittico del primo tipo.

0 2 2 1/200

2 (sin ( / 2) sin ( / 2))z

CM

IT d

mgh

Per semplificare i calcoli effettuiamo le seguenti sostituzioni

0

0

sin( / 2)

sin( / 2)

cos( / 2)

2sin( / 2)

z

dz d

0

2 2

sin( / 2)

1

2

k

k zdz d

k

da cui1 2 2 2 1/2

04 [(1 )(1 )]z

CM

IT z k z dz

mgh


Varrà 0 dove 0sin / 2 k con 1 1k

Espandiamo in serie di Taylor il fattore

2 2 4 41/22 2 3

1 1 ...2 8

k z k zk z

ottenendo questa approssimazione del periodo in cui, per ragioni di spazio, ci fermiamo al 4° grado. Nella trattazione successiva arriveremo fino al 10° grado.

2 2 4 41

2 1/20

2 2

2 4

34 1 ...

(1 ) 2 8

1 3 34 ...

2 2 2 2 8 8 2

92 1 ...

4 64

z

CM

z

CM

z

CM

I dz k z k zT

mgh z

I k kT

mgh

I k kT

mgh

Notiamo che per θ0 circa 0, k tende a zero e l’approssimazione del periodo diventa quella che tutti conosciamo.


II MODO

0 2 2 1/200

2 (sin ( / 2) sin ( / 2))z

CM

IT d

mgh

Torniamo all’integrale

a cui stavolta applichiamo le seguenti 0 2 z

CM

IT

mgh

0

sin( / 2)sin

sin( / 2)

che ci portano a

dove

0

2( )T K k T

0sin( / 2)k /2

2 20( )

1 sin

dK k

k

con le condizioni 1k 0


Per valutare la funzione K(k) numericamente, introduciamo i due termini ricorsivi

1 1

1 1

1

2n n n

n n n

a a b

b a b

dove a e b sono numeri reali tali che 0 b a

0a a

0b b

Si può dimostrare che per ogni e quindi n na b 1n

1 1

1 1.....

2 2n n n n na b a b a b infatti, sostituendo, si ha

1na a 1nb b 1 1 1 1 1 1

1 1

2 2n n n n n na b a b a b poniamo e

2 2 2 21 1

2 2a b ab a b e quindi 2 2a b che è vero


1 1

1 1.....

2 2n n n n na b a b a b

Tornando alla formula, poiché il membro a destra tende a zero per , le serie an e bn convergono a un limite comune, univocamente determinato da a0 e b0 . Chiameremo questo limite

Introduciamo ora la famiglia di integrali

in cui K rappresenta il caso

n

( , ) lim limn nn n

M a b a b

/2

2 2 2 20( , )

cos sin

dI a b

a b

2( ) (1, 1 )K k I k


1 1( , ) ( , )I a b I a bSiamo quindi giunti alla relazione chiave dove a1 e b1 sono la media aritmetica e geometrica di a e b rispettivamente. Quindi, per induzioneSe teniamo il limite e usiamo la definizione di M(a,b), otteniamo

che nel nostro caso particolare, diventa

dove . Usiamo questo risultato in per ottenere .

L’approssimazione ai primi 4 ordini risulta quindi essere

con

( , ) ( , )n nI a b I a bn

( , ) lim ( , ) ( ( , ), ( , ))n nn

I a b I a b I M a b M a b

/2

0 ( , ) 2 ( , )

d

M a b M a b

2( )

22 (1, 1 )K k

aM k

lim nn

a a 0

2( )T K k T

0T

Ta

01

02 1/2

03 1/2 3/2 1/4 1/2

04 1/2 3/2 1/4 1/2 7/4 1/8 1/4 1/2 1/2

2

4

1 2

8

1 2 2 (1 )

16

1 2 2 (1 ) 2 (1 ) (1 2 )

TT

q

TT

q q

TT

q q q q

TT

q q q q q q q q

0cos2

q

INDICE


• Abstract







conclusioni parte I



•Conclusioni


APPARATO SPERIMENTALESTRUMENTI

MASSA + VITE

V

ASTA OSCILLANTE

ASTA DI SUPPORTO

DISCO FISSAGGIO ASTA + VITE

BASE D’APPOGGIO

PASCO 500

INTERFACCIAPASCO

SENSORE DI SPOSTAMENTO ANGOLARE


Oggetto Massa (±0,1 g)

Diametro Est. (±0,1 mm)

Diametro Int.(±0,1 mm)

Lunghezza(±0,1 mm)

Masse 74 25,2 8,0 20,0±0,1

V.Grossa 7,0

V.Piccola 1,0

Asta 26,6 8,0 5,4 381 ± 1

Disco 7,9 5,0

Le misure sono state prese utilizzando una bilancia elettronica,un calibro e un righello per la lunghezza dell’asta perché era troppo lunga per il calibro


MONTAGGIO

1) Livellare la base per mezzo di una bolla2) Inserire l’asta di supporto nella base 3) Fissare il sensore di spostamento angolare in cima all’asta di supporto4) Collegare il sensore all’interfaccia5) Collegare l’interfaccia al computer6) Posizionare il disco facendo passare dal foro centrale il perno del sensore7) Fissare sul disco l’asta oscillante per mezzo dell’apposita vite, facendo attenzione ad adagiare il corpo dell’asta

tra le 2 coppie di scanalature presenti diametralmente opposte sul disco8) Aggiungere via via più masse supplementari quanto richiesto dall’esperimento


POWER

Computer

Interfaccia

Sensore spostamento angolare


INDICE

• Abstract







conclusioni parte I



•Conclusioni


DETERMINAZIONE CENTRO DI MASSA E MOMENTO D’INERZIA

ASTA SEMPLICE

0.3810.025 0.166

2 2asta

cma sx

lx x m

x

0,356-0,025 0,166

Xcma

0

XsxXdx

Abbiamo assunto l’asta di densità uniforme e abbiamo fissato l’origine del sistema di riferimento nel perno dell’asta. Perciò il CM dell’asta singola cadrà nel punto Xcma secondo la formula sottostante

CENTRO DI MASSA

MOMENTO D’INERZIA

Per trovare il momento d’inerzia dell’asta rispetto al perno basta applicare il teorema di Huygens-Steiner. Ometteremo sempre il polo rispetto a cui calcoleremo i momenti perché sarà sempre nel perno del pendolo.

2 21

12asta asta asta asta cmI m l m x

2 2 3 21(0.0266*0.381 ) (0.0266*0.166 ) 1.05*10

12astaI kgm

X cma(m) Err. Ass. Err. %

0.166 0.001 0.8%

I asta(kgm2) Err. Ass. Err. %

1.05*10-3 0.02*10-3 1.9%


ASTA SEMPLICE + 1 MASSA

3

( ) ( ) (0.0266*0.166) (0.075*0.346)0.299

(26.6 75)*10asta cma M

cmasta

m x Mxx

m M

x

Xsx Xcma

0,3560,166-0,025

XM

00,299

Xcm

0,346

Abbiamo assunto che il centro di massa del pesetto cada esattamente a metà, anche se non è esattamente simmetrico per via della vite da 1 grammo. Il centro di massa del sistema sarà dato dalla media del sistema asta e del sistema pesetto come si vede dalla formula qui sotto.

CENTRO DI MASSA

MOMENTO D’INERZIA

2tot asta massa asta MI I I I Mx 3 3 3 2(1.05*10 ) (8.98*10 ) 10.03*10totI kgm

X cm(m) Err. Ass. Err. %

0.299 0.002 0.6%

I tot(kgm2) Err. Ass. Err. %

10.03*10-3 0.06*10-3 0.6%

INDICE


• Abstract







conclusioni parte I



•Conclusioni


Andamento sperimentale del periodo al variare degli angoli

Tramite il software Science Workshop abbiamo determinato il periodo per ciascuna prova misurando la distanza tra i picchi nel grafico angolo-tempo riportato in figura.

Per semplicità di trattazione escludiamo dal discorso gli angoli superiori a 150°, a cui sarà dedicata una sezione successivamente.

Abbiamo effettuato la misura in 3 modi: su 10 periodi, su 3 e su 1. Nel caso di 10 periodi evidentemente la precisione sui dati migliora molto, ma è evidente che su angoli dove il periodo non è con buona approssimazione costante la misura è errata.


La precisione del mirino di Science Workshop è di 0.01 secondi e, visto che la misura del periodo prevede la rilevazione di 2 punti, l’errore sulle misure chiamate “1 oscillazione” sarà quindi 0.014 secondi. Visti i valori del periodo rilevati, l’errore % che ne deriverà sarà sempre intorno all’1%, perciò per i nostri scopi già la misura da 1 oscillazione può essere considerata soddisfacente.

Angolo ° 1 osc. 3 osc. 10 osc.

2 1,15 1,15 1,150

4 1,15 1,15 1,150

6 1,16 1,16 1,158

8 1,16 1,15 1,157

10 1,16 1,16 1,158

15 1,16 1,16 1,159

30 1,17 1,17 1,176

45 1,20 1,20 1,205

Angolo ° 1 osc. 3 osc. 10 osc.

60 1,23 1,23 1,231

75 1,29 1,28 1,272

90 1,36 1,34 1,327

105 1,45 1,43 1,443

120 1,58 1,53 1,476

135 1,71 1,64 1,561

150 1,95 1,80 1,653


Introducendo l’angolo da 180° e mantenendo lo stesso sistema di misurazione otterremmo il grafico che segue.

Ci siamo però accorti che lo smorzamento su una oscillazione era davvero rilevante, come si può notare dalla figura.


Ricordiamo che a 180° il pendolo presente un punto di equilibrio instabile e quindi il periodo per angoli sempre più vicini a 180° dovrebbe crescere ad libitum.

Abbiamo provato allora a sacrificare la precisione per cercare di ottenere un risultato più attinente alla realtà. Abbiamo quindi ripetuto le misure del periodo per angoli superiori a 45° prendendo come riferimento mezzo e un quarto di periodo.Nella tabella le confrontiamo con i valori ottenuti per 1 intera oscillazione.

Angolo °1/4 osc. (±0.06s)

1/2 osc. (±0.03s)

1 osc. (±0.014s)

45 1,18 1,18 1,20

60 1,22 1,22 1,23

75 1,28 1,30 1,29

90 1,36 1,37 1,36

105 1,44 1,45 1,45

120 1,56 1,56 1,58

135 1,68 1,7 1,71

150 1,96 1,92 1,95

165 2,48 2,39 2,30

180 6,00 4,18 2,97

Possiamo notare che fino a 150° i valori ottenuti sono sempre molto vicini, quindi nella nostra stima del periodo possiamo prendere tranquillamente il dato da 1 oscillazione.

I dati da 165° e soprattutto da 180° cambiano molto in base al tipo di misurazione effettuata per l’intervento dell’attrito che smorza pesantemente l’angolo di massimo.


Integrando questi ultimi dati otteniamo quello che chiameremo “Periodo sperimentale” e useremo nelle analisi successive.

Angolo (°) 2 4 6 8 10 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180

Periodo (s) 1.15 1.15 1.16 1.16 1.16 1.16 1.17 1.20 1.23 1.29 1.36 1.45 1.58 1.71 1.95 2.48 6.00

Err. Ass. 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.06 0.06

Err. % 0.9% 0.9% 0.9% 0.9% 0.9% 0.9% 0.9% 0.8% 0.8% 0.8% 0.7% 0.7% 0.6% 0.6% 0.5% 2.4% 1.0%

INDICE


• Abstract







conclusioni parte I



•Conclusioni


Approssimazione analitica del periodo

Come spiegato nella parte teorica, abbiamo utilizzato essenzialmente 2 metodi per ottenere un’approssimazione analitica del periodo per ogni angolo iniziale.

Il I modo prevede un’espansione in serie di Taylor e perciò restituisce sempre migliore precisione al crescere dei termini. Noi ci siamo spinti fino a 6, e questo è il risultato.

I MODO


II MODO

Il II modo è un po’ più laborioso. Tramite una procedura ricorsiva si ottiene una approssimazione punto per punto del periodo per ogni angolo iniziale. Abbiamo svolto 3 iterazioni e le curve che abbiamo ottenuto sono le seguenti

INDICE


• Abstract







conclusioni parte I



•Conclusioni


Confronto con l’andamento sperimentale della curva

Dapprima limitiamo la nostra analisi ad angoli inferiori a 150°.

Notiamo che per angoli inferiori a 60° tutte le approssimazioni analitiche riproducono bene l’andamento della curva sperimentale.Fino a circa 100° l’andamento sperimentale è man mano meglio riprodotto solo dalle curve AGM e da quelle con più termini di Taylor.Oltre 100° è evidente che le approssimazioni ricorsive siano più aderenti alla curva sperimentale. In particolare le curve di Taylor presentano un cambio di concavità mentre le altre crescono in modo deciso.

Notiamo inoltre che sembra non esserci differenza tra l’approssimazione AGM 2 e AGM 3, rispettivamente a 2 e 3 iterazioni. Il motivo è da ricercarsi nel fatto che ora siamo fermi a 150°.


Ora estendiamo l’analisi a tutto il range degli angoli fino a 180°


La situazione che si delineava nel caso limitato a 150°, qui si fa evidente. Le curve AGM incontrano evidentemente un asintoto per 180° a differenza di quelle di Taylor. I dati sperimentali, cioè le rilevazioni per 165° e 180° seguono evidentemente l’andamento asintotico. Purtroppo al momento attuale non possiamo più ripetere l’esperimento. Qualche ulteriore dato in quella zona sarebbe stato veramente utile.Notiamo inoltre che ora c’è una marcata differenza tra la AGM 2 e la AGM 3, una differenza che però si palesa solo nella zona di angoli intorno ai 180°.

INDICE

• Abstract







conclusioni parte I



•Conclusioni



Stima dell’attrito

E’ evidente che il pendolo reale si comporta ben diversamente da quello ideale che non dissipa energia nel moto. L’effetto dell’attrito è sempre più evidente al crescere dell’angolo. Emblematico è il caso delle oscillazioni per 180° di cui riportiamo qui il grafico dell’angolo in funzione del tempo e il grafico dello spazio delle fasi, entrambi in confronto coi corrispondenti per 90°.


L’equazione che utilizzeremo è la seguente:

0 0(1 cos )CME mgh

ΔE indica la differenza di energia del sistema nell’arco di un periodo; ovviamente coinciderà con il lavoro della forza di attrito. Avevamo poi provato a stimare la F di attrito come funzione lineare della velocità, e ricavare il coefficiente di attrito dinamico, ma ci siamo accorti di un errore nei conti e non è stato possibile sistemarli in tempo. Proponiamo quindi una trattazione ridotta in questa parte.

0 1(cos cos )CME mgh


Proponiamo qui un grafico dell’andamento della perdita di energia in funzione dell’angolo iniziale. Si nota subito il differente comportamento per angoli piccoli ed elevati. Se nei primi l’attrito è con buona approssimazione trascurabile, negli ultimi assume un ruolo decisamente rilevante.


Angolo iniziale (gradi)

Energia iniziale (J)

Angolo dopo 1 osc (gradi)

Energia dopo 1 osc. (J) ΔE err. %

2 0,000 2 0,000 0,000

4 0,001 4 0,001 0,000

6 0,002 6 0,002 0,000

8 0,003 7,75 0,003 0,000

10 0,005 10 0,005 0,000

15 0,010 14,75 0,010 0,000

30 0,040 29,75 0,039 -0,001 284%

45 0,087 44,25 0,084 -0,003 67%

60 0,149 59,25 0,145 -0,003 55%

75 0,221 74 0,216 -0,005 37%

90 0,298 88,5 0,290 -0,008 24%

105 0,375 103,25 0,366 -0,009 21%

120 0,446 117,2 0,434 -0,013 14%

135 0,508 131 0,493 -0,015 12%

150 0,555 143,5 0,537 -0,019 10%

165 0,585 154 0,565 -0,020 9%

180 0,595 155,25 0,568 -0,027 7%

L’errore nella misurazione degli angoli è di 0.25°. Considerando quest’ultimo come unico errore rilevante, otteniamo un errore sull’energia di 0.0013 J che su ΔE diventa 0.002 J.

Come si vede in tabella questo si traduce in errori percentuali enormi per angoli piccoli, dove la perdita di energia in un periodo è infinitesima.

Inoltre, per angoli piccoli, la differenza di energia tra due oscillazioni consecutive è così ridotta che non è stimabile con la precisione del nostro setup.

INDICE

• Abstract







conclusioni parte I



•Conclusioni



Fit spazio delle fasi

In questa ultima parte abbiamo utilizzato il software Igor Pro per fare il fit di un ramo dei dati sperimentali nello spazio delle fasi tramite l’equazione riportata sotto. Abbiamo scelto la serie di dati da 90° e quella da 180°. La seconda sarà ovviamente un caso estremo, pesantemente influenzato dall’attrito.

Abbiamo deciso di utilizzare il momento d’inerzia come unico parametro libero visto che la compresenza di troppi gradi di libertà aumenta l’errore sulla stima che Igor dà a ciascun parametro.

.2 2 1/2

02 (sin ( / 2) sin ( / 2))CM

z

mgh

I


I (kgm2) err. l err % Diff. relativa t

Sperimentale 0.01003 0.00006 0.6% 1.9% 1.75

Fit 0.01022 0.00009 0.9% 1.9%

90°

Il valore del momento d’inerzia che otteniamo dal fit è confidente con quello sperimentale anche se non precisissimo.

Crediamo che ciò sia dovuto al fatto che la curva interpolante ideale dovrebbe considerare i dati sperimentali tutti sistematicamente sottostimati a causa dell’attrito. Invece, nel nostro fit, la curva interpolante li ritiene casualmente sovrastimati o sottostimati.

In ogni caso, siccome l’intervento dell’attrito nel caso di 90° non è rilevantissimo questo effetto non si ripercuote pesantemente sull’imprecisione del momento d’inerzia.

# punti parametri gradi di libertà Χ2 Χ2 ridotto

73 1 72 2.2 0.03


I (kgm2) err. l err % Diff. relativa t

Sperimentale 0.01003 0.00006 0.6% 5.5% 3.8

Fit 0.01058 0.00013 1.2% 5.2%

180°

In questo caso i valori del momento d’inerzia non possono dirsi confidenti.

Le cause sono da ricercarsi nell’effetto citato nel caso da 90° e qui decisamente più influente e soprattutto nella distribuzione profondamente asimmetrica dei punti sperimentali a causa dell’attrito. Questo si nota molto osservando la coda a destra del grafico, dove la curva interpolante proseguirebbe in modo simmetrico mentre i dati sperimentali deviano verso il basso in modo più marcato.

# punti parametri gradi di libertà Χ2 Χ2 ridotto

212 1 211 32.3 0.15

INDICE

• Abstract







conclusioni parte I



•Conclusioni



Conclusioni

Possiamo affermare, nei limiti della precisione del nostro apparato, che l’esperimento ha dato buoni risultati.

Bibliografia

•S. T. Thornton e J. B. Marion, “Classical dynamics of particles and systems” Fifth Edition, Thomson

• C.G. Carvalhes e P. Suppes, “Approximations for the period of the simple pendulum based on the arithmetic-geometric mean”, Am. J. Ph. Vol. 76, No. 12

LABORATORIO di FISICA III A cura di Boschetti Fabio & Rizzi Valerio Pendolo anarmonico.

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