Laboratorio di Fisica I: laurea in Ottica e Optometria

Misura del tempo caratteristico di carica e scarica di un condensatore attraverso una resistenza

Descrizione Si vuole costruire un circuito RC in serie collegando generatore di funzioni, cassettina e oscilloscopio come in figura. Sul canale 1 (CH1 ) dell’oscilloscopio si osservi la tensione ai capi del condensatore mediante un collegamento in parallelo mentre sul canale 2 (CH2) si puo` visualizzare l’onda quadra in ingresso al circuito. Si misura con l’oscilloscopio la tensione ai capi del condensatore in funzione del tempo durante il processo di carica e di scarica del condensatore per determinare sperimentalmente la costante di tempo caratteristica del circuito τ = RC .

Generatore di onde: si scelga un’onda quadra per simulare la carica del condensatore applicando al circuito una tensione costante e la successiva scarica nel semiperiodo dell’onda in cui la tensione e` zero. Il periodo dell’onda quadra T deve permettere la “completa” carica o scarica del condensatore, anche se in teoria questo processo richiede un tempo infinito, per un periodo T≈5τ il processo puo` considerarsi concluso. E` quindi opportuno variare inizialmente la frequenza dell’onda quadra affinché la tensione ai capi del condensatore raggiunga il valore di saturazione.

Oscilloscopio: ci permette di visualizzare l’andamento di qualsiasi segnale in uno dei due ingressi in funzione del tempo.

R

C

Cassetta multifunzionale ci permette di realizzare il circuito con una resistenza R e un condensatore C in serie di cui abbiamo già misurato direttamente i valori con il multimetro digitale e valutato l’errore di misura.

Circuito RC: Disegnare il circuito realizzato, indicare il valore di R e di C inseriti nel circuito con i rispettivi errori. Scegliere di studiare la fase di carica o di scarica del condensatore misurando con l’oscilloscopio i valori della tensione VC ai capi del condensatore in funzione del tempo. Visualizzare sull’oscilloscopio simultaneamente sia l’onda quadra che la tensione ai capi del condensatore e isolare una figura di un singolo processo di carica o scarica che sfrutti circa il 90% dello schermo. In ogni istante t valgono le relazioni: tensione ai capi della resistenza: dttRdqtRitVR /)()()( == tensione ai capi del condensatore: Vc(t) = q(t)/C carica del condensatore l’ampiezza dell’onda quadra e` Vo = VR(t) + VC(t), ossia

C

q

dt

dqRV +=

0,

RC

dt

CVq

dq

C

qV

dt

dqR !=

!"!=

0

0

integrando entrambi i termini otteniamo:

!

dq

q "CV0

= "1

RCdt

0

t

#0

q

# $q "CV

0

"CV0

= e"

t

RC

per τ = RC, si ottiene la (1) che rappresenta il valore della tensione ai capi del condensatore in un generico istante t quando per una d.d.p. Vo.

!

VC (t) =q

C=V0(1" e

"t

# )$ lnV0 "Vc

V0

%

& '

(

) * = "

t

RC (1)

tensione ai capi del condensatore in funzione del tempo durante la fase di carica. scarica del condensatore posto Vo =0 il condensatore si scarica attraverso la resistenza, l’equazione differenziale diventa:

0=+C

q

dt

dqR

la cui risoluzione, analogamente alla precedente è:

RC

dt

q

dq

C

q

dt

dqR !="!=

RC

tq

CV

t

eCV

q

RC

t

CV

qIndt

RCq

dq .

0000

1 !

="!=##$

%&&'

("!=) )

Ponendo ancora il termine RC = τ si ottiene la (2) che ci fornisce il valore della tensione ai capi del condensatore in funzione del tempo durante la fase di scarica.

!

VC (t) =q

C=V0e

"t

# $ lnVc

V0

%

& '

(

) * = "

t

RC (2)

Lo scopo della esperienza è proprio quello di verificare l’andamento esponenziale delle funzioni (1) o (2) e la compatibilità fra il valore di τ calcolato con i valori precedentemente misurati di R e C ed il τ ottenuto dallo studio di VC(t). Indicare R ±ΔR , C ±ΔC e calcolare τ ±Δτ , la frequenza ν ±Δν ( Hz) e l’ampiezza V0 ±ΔV0 ( V) dell’onda quadra . Analisi dati: sia che si scelga di studiare la fase di carica che di scarica del condensatore, costruire una tabella con i valori misurati di VC in funzione del tempo. Di ogni valore si calcoli il relativo errore: Dove ogni Δt o ΔVc(t) è l’errore massimo corrispondente alla sensibilità

!

"V =noVolt /div

10

"t =noms(oµs) /div

10

I valori delle tensioni ai capi del condensatore in funzione del tempo vanno riportati, insieme alle relative barre di errore in un grafico

Esempio di grafico

Tensione ai capi del condensatore in funzione del tempo (scarica)

0

1

2

3

4

5

6

-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

t [ms]

V(t

) [V

]

Scala 1V Scala 0,5V Scala 0,2V Espo. (Scala 1V) Espo. (Scala 0,5V) Espo. (Scala 0,2V)

Per determinare τ riportare in grafico ln(VC /Vo) o ln(Vo-VC /Vo) in funzione del tempo e calcolare la retta che interpola i dati sperimentali : esempio

!

t

CeVtV"

= 0)( da cui:

!

t

CeVtV"

= 0ln)(ln , cioè:

!

lnVC(t) = ln(V0) "

t

#

dalla quale otteniamo la funzione:

!

ln[VC(t) /V0] = "

t

# (3)

la (3) è una funzione del tipo y = ax+b (lineare) di cui:

• La variabile indipendente x è il tempo t • L’intercetta b è 0 ( la retta passa per l’origine ) • La pendenza a è -1/τ

Dobbiamo attribuire a ln (VC/Vo) l’errore applicando applichiamo il teorema della varianza alla (3): chiamiamo Δξ l’errore che commettiamo nel calcolo ξ = ln [VC(t)/V0]

VoVo

tVctVc

!"

"+!

"

"=!

### )(

)(

che diventa:

0)(

)(

V

Vo

tVc

tVc !+

!=!"

l’errore sulla scala dei tempi è sempre il Δt.

Linearizzazione tramite logaritmo della tensione ai capi del condensatore in

funzione del tempo (scarica)

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

t [ms]

Ln

V

(t)/

Vo

Scala 1V Scala 0,5V Scala 0,2V Fit lineare Lineare (Fit lineare)

La retta interpolante e` stata calcolata usando il metodo grafico dopo aver verificato che il metodo dei minimi quadrati non e` applicabile (l’errore commesso sulle ascisse non è trascurabile rispetto a quello commesso sulle ordinate). Si calcoli la pendenza max:

-1/τmin = )1(

)()11(

ttn

nn

!

"!!"+ #### = - 1,52 ms-1

e la pendenza minima:

-1/τmax = )1(

)()11(

ttn

nn

!

"+!"! #### = - 1,37 ms-1

il valore di τ sperimentale sarà dato da :

!

" sp ="min

+ "max

2=….. ms

mentre il valore di Δτ sperimentale :

!

"# sp =#max

$ #min

2= …. ms

Si confronti il risultato ottenuto con il valore di τ ricavato all’inizio τ= R*C = … ms con il teorema della varianza si calcola Δτ

Δτ = τ (C

C

R

R !+

! ) = … ms ( usando i valori di R e C con i rispettivi errori dell’esperienza

precedente) Si verifichi la compatibilità fra i due valori di τ:

!

C =" # " sp

$" + $" sp=