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Dipartimento di Fisica Galileo Galilei

Università di Padova

Corso di Laurea Triennale in Fisica

Laboratorio di Fisica

Anno Accademico 2010-2011

3 ottobre 2011

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Indice

1 OTTICA Geometrica 111.1 Lo strumento base: Il banco ottico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 La lanterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Cavalieri portalenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.3 Cavaliere portaschermo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.4 Lenti e diaframmi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.5 Micrometro da interni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.6 Precauzioni necessarie per non danneggiare l'apparato. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Richiami di ottica geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.1 Lenti sottili e lenti spesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2 Aberrazione di sfericità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.3 Aberrazione cromatica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.4 Il doppietto di Dollond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 Esercitazione n.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.1 Produzione di un fascio di luce parallela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.2 Misura della distanza focale per autocollimazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4 Esercitazione n.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.1 Misura della distanza focale col metodo dei punti coniugati. . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.2 Misura della distanza focale col metodo di Bessel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5 Esercitazione n. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5.1 Misura dell'aberrazione di sfericità di una lente convergente. . . . . . . . . . . . . . . 361.5.2 Misura dell'aberrazione cromatica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2 Richiami di ottica ondulatoria 412.1 Propagazione dell'energia sotto forma di onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.1 Interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.2 Dirazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.3 Il reticolo di dirazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2 Esperienze di interferenza e dirazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.1 L'esperienza dei sistemi a poche fenditure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.2 L'esperienza con il reticolo di dirazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 La dispersione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.1 Il fenomeno della dispersione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.2 Il prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4 Esperienze con il prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5 Potere rotatorio ottico di un mezzo birifrangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Indice Analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Indice variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3

4 INDICE

Elenco delle gure

1.1 Schema di banco ottico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Lanterna e posizionamento cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Maschere oggetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Geometria dei cavalieri portalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Cavaliere portaschermo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Diaframmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Il micrometro da interni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8 Rifrazione a una supercie sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9 Schema per una lente sottile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.10 Costruzione delle immagini attraverso i punti principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.11 Posizionamento dei piani principali in una lente spessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.12 Aberrazione sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.13 Schema dell'aberrazione cromatica longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.14 Doppietto di Dollond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.15 Schema della verica di parallelismo di un fascio di luce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.16 Diametri del fascio in funzione di mL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.17 Graco dati del metodo dei punti coniugati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.18 Schema del metodo di Bessel per la misura della distanza focale. . . . . . . . . . . . . . . . . 331.19 aberrazione sferica in funzione del fuoco parassiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1 Rappresentazione di due sorgenti coerenti in fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2 Sfasamento e dierenza di cammino ottico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3 il caso di molte sorgenti coerenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4 Schema di apparato sperimentale per lo studio di fenomeni di dirazione e interferenza prodotti

da sistemi di fenditure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5 gure di interferenza e dirazione da singola fenditura e da 4 fenditure. Si consideri che in

ordinata è rappresentato il ln(I) dell'intensità trasmessa dalle fenditure. . . . . . . . . . . . . 462.6 Schema dell'apparato sperimentale per l'uso di un reticolo di dirazione . . . . . . . . . . . . 472.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.8 dipendenza dell'indice di rifrazione dalla lunghezza d'onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.9 La dirazione in un prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.11 schema dell'apparato sperimentale per la misura del potere rotatorio di una soluzione . . . . 522.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.13 Il reticolo non è ortogonale rispetto all'asse ottico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

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6 ELENCO DELLE FIGURE

Elenco delle tabelle

1.1 Tipi di lenti disponibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 Diametro del fascio in P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3 Diametro del fascio in P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4 Dati ottenuti con il metodo dei punti coniugati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5 Misure col metodo di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.6 Misure per l'aberrazione di sfericità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.7 Misure per l'aberrazione sferica trasversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.8 Dati aberrazione cromatica ltro giallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.9 Dati aberrazione cromatica ltri rosso e blu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1 Valori dell'indice di rifrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7

8 ELENCO DELLE TABELLE

Introduzione

Nelle pagine seguenti verranno utilizzate le seguenti convenzioniLe premesse di teoria e le indicazioni sullo svolgimento dell'esperimento sono scritte in questi caratteri.Con questi caratteri sono invece segnalati punti cui fare particolare attenzione durante

l'esperimento.

Per gli esempi di svolgimento dell’esperimento e di analisi dei dati sono invece stati usati questi caratteri.

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10 ELENCO DELLE TABELLE

Capitolo 1

OTTICA Geometrica

1.1 Lo strumento base: Il banco ottico.

Per studiare le proprietà basilari di elementi ottici, come per esempio le lenti, si usa il banco ottico che èschematicamente riportato in g.1.1.

Figura 1.1: Schema del banco ottico. A: prolato guida con riga millimetrata; B: lampada; C: ltri interferenziali; D: porta-mascherine oggetto; E: mascherina oggetto; F: cavaliere portalenti sso; G: cavaliere portalenti con movimento micrometricolungo l'asse x; H: cavaliere portaschermo con movimenti micrometrici lungo gli assi x e y; I: cavaliere con squadra per posiziona-mento mascherina oggetto; L: ghiere portalenti; M: schermo in vetro smerigliato; N: alimentatore della lampada con regolazionedi intensità e interruttore.

LANTERNA

riga graduata17 18 19 0 21 22

lettura corretta dell'indice

cavaliere di posizionamento

MASCHERINA OGGETTO

portamascherine

vite di fermo

FIL

TR

O H

-

48

6.1

nm

FIL

TR

O D

-

59

3.3

nm

FIL

TR

O H

-

65

6.3

nm

Figura 1.2: Schema della lanterna e del metodo diposizionamento della maschera oggetto.

Esso consiste essenzialmente di una guida rigi-da, realizzata con un prolato di alluminio, lungacirca 1.5 m e lungo la quale possono essere posizio-nati, facendoli scorrere, vari elementi mantenendolisullo stesso asse (ottico) indipendentemente dallaloro posizione (x) lungo la guida. Sul anco dellaguida una riga millimetrata permetterà di misurarele posizioni relative dei vari elementi. Gli elementiprincipali del banco sono la sorgente di luce (lanter-na), i cavalieri portalenti, il cavaliere portaschermoe un cavaliere posizionatore. Sui cavalieri portalen-ti possono essere montate le lenti e vari diaframmio altri elementi ottici. Sulla lanterna possono esse-re montate diverse mascherine oggetto e si possonoinserire dei ltri per selezionare il colore della luce.

1.1.1 La lanterna

Lo schema della lanterna è riportato in g.1.2. Lasorgente luminosa è costituita da una lampada alo-gena collocata tra uno specchio concavo e un con-

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12 CAPITOLO 1. OTTICA GEOMETRICA

densatore asferico, utilizzati per concentrare la maggior quantità possibile di luce sulla mascherina oggetto.La lampada è alimentata in corrente alternata con un alimentatore a tensione variabile da 6 a 10 V olt cosída ottenere una regolazione continua dell'intensità luminosa. La luce, a spettro bianco, prima di intercet-tare il diaframma oggetto, può essere ltrata mediante l'inserzione di ltri. I tre ltri predisposti, di tipointerferenziale e con banda passante Full Width at Half Maximum (FWHM) di circa 10 nm, sono centratiattorno a lunghezze d'onda molto prossime alle righe F,D e C dello spettro di Fraunhofer:

- ltro A, (Blu), λ = 486.1 nm, ⇒ alla riga F dell'idrogeno (Hβ), FWHM = 6.5 nm;

- ltro B, (Giallo), λ = 589.3 nm, ⇒ al doppietto D del sodio, FWHM = 6.5 nm;

- ltro C, (Rosso), λ = 656.3 nm, ⇒ alla riga C dell'idrogeno (Hα), FWHM = 11.3 nm.

Figura 1.3: Schema delle mascherine oggetto conle dimensioni rilevanti.

Dopo i ltri (C) trovate un porta-mascherine (D) su cuipotete inserire la mascherina oggetto (E) che è di due tipi(g.1.3 ): 1) mascherina con un unico foro centrale di 0.5 mmdi diametro, utilizzata per ottenere una sorgente puntiforme;

2) mascherina con due fori, dello stesso diametro del pri-mo e alla distanza relativa di 4 mm, utilizzata per ottenerel'immagine di un oggetto di dimensioni nite e note.

In fig.1.2 viene illustrato anche il problema

della misura della posizione dello oggetto e la fun-

zione del cavaliere posizionatore (I). Senza inseri-

re la mascherina oggetto, avvicinate il cavaliere

posizionatore alla lanterna, infilando i due perni

della lanterna negli appositi fori del cavaliere,

fino a portarlo a combaciare con il porta-maschere

sul filo destro dell'indice del cavaliere; potrete

leggere sulla riga graduata la posizione a cui si

verrà a trovare la mascherina-oggetto una volta inserita nel suo alloggiamento.

Per comodità di misura vi consigliamo di posizionare il punto oggetto su una divisione

di comodo, tenendo presente che questa posizione fungerà poi da zero di riferimen-

to per tutte le posizioni degli altri elementi. Tenuto conto delle dimensioni della lan-

terna e del fatto che lo zero della scala graduata corrisponde al bordo sinistro del banco,

vi conviene porre il cavaliere posizionatore in modo da avere la maschera oggetto posta a

20 cm. Una volta compiuta l'operazione di azzeramento, bloccate con l'apposita vite il

cavaliere portalanterna, sfilate e smontate il cavaliere (I) e rimontate la maschera ogget-

to al suo posto serrandola bene con l'apposita vite di fermo. Durante le misure successi-

ve è bene controllare spesso il serraggio della stessa, perchè a causa delle dilatazioni

termiche può allentarsi e non garantire piú il corretto posizionamento della mascherina og-

getto.

Attenzione: la corrispondenza tra oggetto e posizione si ottiene solo se la mascherina og-

getto è montata con l'anello elastico di fissaggio interno rivolto verso destra.

1.1.2 Cavalieri portalenti.

Ogni banco ha in dotazione due cavalieri portalenti: uno sso (F) e l'altro (G) dotato di movimento micro-metrico di traslazione lungo l'asse x (g.1.4). Per entrambi i cavalieri, all'altezza dell'asse ottico, trovate unforo lettato dove potrete avvitare sia i diaframmi (sul lato sinistro) sia le ghiere portalenti (sul lato destro).

Queste ultime, una volta in sede, si trovano con il loro spigolo sinistro (battuta) in corrispondenza dellafaccia destra del portalente stesso (g. 1.4). In questo modo, nel cavaliere sso, lo spigolo sinistro della lentesi troverà in corrispondenza dell'indice di lettura sulla scala graduata del banco.

1.1. LO STRUMENTO BASE: IL BANCO OTTICO. 13

Figura 1.4: Schema della geometria dei cavalieri portalenti.

Il cavaliere con movimento micrometrico serve perpoter eettuare piccoli spostamenti della lente lungol'asse ottico. Fate attenzione al micrometro: due giricompleti della manopola corrispondono a uno sposta-mento di 1 mm. Inoltre la ghiera della manopola èsuddivisa in 50 divisioni corrispondenti quindi a 1/100di mm (1 giro = 0.5 mm). Per una corretta letturadella posizione dovete quindi controllare anche la sca-la incisa sull'asse del micrometro (divisioni ogni mm)per evitare di scambiare, per esempio, 8.25 con 8.75.Con questo cavaliere lo spigolo sinistro della lente cor-risponde all'indice di lettura del cavaliere solo quandoil micrometro è nella posizione di riferimento riportatasul cavaliere stesso (per esempio 9.50).

1.1.3 Cavaliere portaschermo.

L'immagine dell'oggetto viene raccolta da uno scher-mo in vetro smerigliato, con sovrainciso un reticolo dipasso 10 mm, e montato su di un cavaliere (H) dotatodi movimento micrometrico su due assi orizzontali etra loro ortogonali (g. 1.5).

Il primo (X) lungo l'asse ottico per una messa afuoco ne e per misure di tipo dierenziale, il secondo(Y) per misure di ampiezza dell'immagine lungo l'assey (trasversale all'asse ottico in direzione orizzontale).La lettura della posizione dello schermo rispetto allascala graduata del banco (asse x) viene eettuata sem-pre sul lo destro dell'indice che, a dierenza di quan-to avveniva nel cavaliere portalenti con micrometro, sisposta quando si aziona il micrometro.

Figura 1.5: Schema del cavaliere portaschermo con i micrometri Xe Y.

Ricordatevi che il lato smerigliato

del vetro, dove si forma l'immagine, va

sempre dal lato della lampada (a sinistra)

mentre l'osservazione della immagine va

fatta sul lato opposto utilizzando l'ocu-

lare in dotazione. Questo ha un ingran-

dimento di 8× e va appoggiato allo

schermo. L'immagine sullo schermo si os-

serverà avvicinando l'occhio all'oculare

finchè l'immagine risulta a fuoco.

1.1.4 Lenti e diaframmi.

A corredo dei banchi ottici vi è una dotazione dilenti e diaframmi. Le lenti, montate su appositaghiera lettata, sono di quattro tipi:

1. piano convesse

2. biconvesse

3. biconcave

4. doppietti acromatici (corretti per l'aberrazione cromatica e di sfericità).

14 CAPITOLO 1. OTTICA GEOMETRICA

Figura 1.6: Schema dei diaframmi con ledimensioni rilevanti.

Le dimensioni e il tipo delle varie lenti in dotazione sonoriportate in Tab.1.1.

I diaframmi, da montarsi sul portalenti, di due tipi, e illustratiin g. 1.6 sono:

1) con un unico foro centrale di 10.00 mm di diametro

2) con 4 fori di 0.50 mm di diametro, di cui due, alla distanzadal centro <1 = 2.50 mm, sono utili per isolare due raggi parassia-li, e due, alla distanza < = 14.00 mm, sono utili invece per isolaredue raggi marginali.

Sia i diaframmi, che le maschere oggetto, sono stati ottenutiper lavorazione con macchine utensili di alta precisione. Gli er-rori sulle dimensioni riportati in g.1.6 sono il risultato di misuresuccessive alla lavorazione (eettuate con comparatori microme-trici) e rappresentano lo scarto quadratico medio delle misure delledimensioni.

Tipo di Lente numero s (mm) ± 0.2 d (mm)Biconvessa 1,2; 5,6; 8>14 10.0 2.1

3,4 8.0 1.97 6.8 1.9

Piano-concava 15,16 11.8 2.6

Bi-concava 17>24 2.0 5.925>30 2.0 3.9

Doppietto acromatico 10.4 14.5

Tabella 1.1: Tipi di lenti disponibili

1.1. LO STRUMENTO BASE: IL BANCO OTTICO. 15

Figura 1.7: Il micrometro da interni (a destra) e gli elementi aggiuntivi (a sinistra).

1.1.5 Micrometro da interni.

Il micrometro da interni (g. 1.7) è in grado di misurare, con sensibilità di 1/100 di mm, luci interne (cioèdistanze in cui non sia possibile una misura dall'esterno come si fa con il calibro, per esempio). Quandoesso è completamente chiuso (lettura 0.00 mm) il micrometro ha una lunghezza di 50.00 mm. La sua corsamassima è di 25 mm. Per luci superiori a 75 mm si devono quindi applicare, avvitandoli, uno o piú elementiaggiuntivi di varie lunghezze sse: 13.00, 25.00, 50.00 e 100.00 mm. Questo strumento è utile per posizionarecon precisione una lente ad una distanza nota, oppure per misurare una luce sconosciuta con grande precisione.

Per esempio, quando utilizzerete il doppietto acromatico, dovrete posizionarlo alla distanza

focale dall'oggetto in modo da ottenere a valle un fascio di luce parallelo. Per questo scopo

sono anche state predisposte delle bacchette di ottone lavorate in modo da avere una lunghezza

pari alla distanza focale dei doppietti.

1.1.6 Precauzioni necessarie per non danneggiare l'apparato.

Non toccate con le dita i filtri e non manteneteli inutilmente davanti alla sorgente accesa,

per ridurre il piú possibile il surriscaldamento che li danneggia. Sempre per questo motivo

non alimentate inutilmente la lampada alla massima tensione.

Agite sempre con delicatezza sulle ghiere portalenti e non forzate mai la filettatura.

Inoltre non forzate mai le viti micrometriche oltre i fine corsa.

Non toccate con le dita la parte smerigliata dello schermo, i filtri interferenziali, le

superfici delle lenti. Pulite le superfici solo con salviette ottiche o comunque con salviette

o panni non abrasivi.

16 CAPITOLO 1. OTTICA GEOMETRICA

1.2 Richiami di ottica geometrica

1.2.1 Lenti sottili e lenti spesse.

La teoria delle lenti può essere trovata in un qualsiasi buon testo di ottica. Qui richiamiamo solo gli elementifondamentali necessari a comprendere ciò che in realtà misurate in laboratorio con gli strumenti a disposizione.Poichè avrete a disposizione solo lenti sferiche, ci limiteremo a considerare diottri delimitati da supercisferiche (al limite piane).

Tali sistemi sono dotati naturalmente di un asse di simmetria cilindrica (l'asse che passa per il centro dicurvatura e per il vertice della calotta sferica) che viene detto asse ottico del sistema.

Considerate la supercie sferica, che delimita due mezzi di indice di rifrazione n e n′. Essa divide lo spazioin due semispazi (g.1.8) detti rispettivamente spazio oggetti (convenzionalmente quello di sinistra) e spazioimmagini (convenzionalmente quello di destra). In questi due semispazi, sull'asse ottico, potete denire duesistemi di riferimento, entrambi con l'origine nel vertice V della calotta sferica, e orientati verso sinistra edestra rispettivamente. Il raggio di curvatura, r, della calotta sferica è positivo se il centro di curvatura sitrova a destra (spazio immagini) della calotta (supercie convessa) e negativo nel caso opposto (supercieconcava).

Figura 1.8: Schema della rifrazione a una supercie sferica tra due mezzi di diverso indice di rifrazione. Fo e Fi sono i puntifocali oggetto ed immagine, rispettivamente.

Se i raggi formano un angolo piccolo con l'asse ottico (tale che le relative funzioni trigonometriche possonoessere approssimate dal loro sviluppo in serie arrestato al primo ordine) si hanno le cosiddette condizioniparassiali ovvero l'approssimazione di Gauss. In queste condizioni la rifrazione ad una supercie sferica èdescritta dalla semplice equazione

n

p+n′

q=n′ − nr

=n′

fi(1.1)

dove p e q sono le coordinate dell'oggetto e dell'immagine rispettivamente (vedi g.1.2.1). fi è detta distanza(o lunghezza) focale immagine e rappresenta la coordinata del punto focale Fi dove si forma l'immagine di

Figura 1.9: Schema per una lente sottile.

1.2. RICHIAMI DI OTTICA GEOMETRICA 17

un oggetto posto a distanza innita (raggi incidenti paralleli all'asse ottico) ed è univocamente denita daimateriali (indici di rifrazione) e dalla geometria (raggio di curvatura):

fi = rn′

n′ − n(1.2)

Viceversa l'immagine si forma all'innito se l'oggetto si trova nel punto F0 a distanza

f0 = rn

n′ − n= fi

n

n′(1.3)

che è detta distanza (o lunghezza) focale oggetto. Vedete che le due distanze focali non sono uguali e quindiche il diottro non è simmetrico, nel senso che non é indierente la direzione di provenienza della luce.

Un sistema rifrangente delimitato da due superci sferiche è detto una lente. L'equazione della rifrazionedi una lente si ottiene combinando successivamente le equazioni di rifrazione 1.1 alle due superci sferiche.Se il materiale della lente ha indice di rifrazione n mentre a destra e a sinistra vi è il vuoto o l'aria (indice dirifrazione uguale ad 1), nell'approssimazione di raggi parassiali si ottiene la semplice equazione

1

p+

1

q= (n− 1)

[1

r− 1

r′

]=

1

f= D (1.4)

che è detta equazione dei costruttori di lenti, ma che, dal punto di vista sico, è l'equazione delle lenti

sottili. Infatti l'approssimazione insita nell'eq.1.4 è non solo quella delle condizioni parassiali, ma anche chela distanza s = V V ′ (g. 1.11) tra i vertici delle due calotte sferiche sia trascurabile rispetto a tutte le altredistanze in gioco, cosí che sia possibile considerare un'unica origine per il sistema di riferimento dello spaziooggetti e dello spazio immagini. Tale origine è il centro della lente stessa.

In questa approssimazione la lente sottile è simmetrica nel senso che è caratterizzata da un'unica distanzafocale immagine ed oggetto f . L'inverso della distanza focale è detto potere diottrico, D, (o di convergenza)della lente. É abbastanza evidente che in realtà l'approssimazione di lente sottile sarà dicilmente soddisfatta,a meno che i raggi di curvatura non siano molto grandi e quindi anche la distanza focale sia molto grande eil potere diottrico basso.

Nelle approssimazioni descritte sopra, un piano perpendicolare all'asse ottico nello spazio oggetti è trasfor-mato dalla lente in un corrispondente piano (coniugato) nello spazio immagini, con un rapporto di similitudineche è detto ingrandimento trasversale m. Particolare importanza hanno i piani focali che sono i piani coniu-gati di un piano che si trova all'innito nell'altro semispazio. I piani focali godono dell'importante proprietàche tutti i raggi emergenti da un unico punto del piano focale risultano paralleli nell'altro semispazio. Diconseguenza un oggetto posto nel fuoco ha un'immagine all'innito e viceversa un oggetto all'innito haun'immagine nel fuoco.

Per un diottro qualsiasi, cioè non approssimabile ad una lente sottile, è possibile denire i piani principalicome quei piani per i quali il rapporto di ingrandimento trasversale è unitario. (Nel caso di lente sottile ipiani principali coincidono e passano per il centro della lente). Di conseguenza un raggio che entra nel pianoprincipale di sinistra esce dal piano principale di destra alla stessa distanza dall'asse ottico. La conoscenzadei piani focali e principali fornisce un semplice modo per costruire le immagini di un oggetto posto in unaposizione qualsiasi, come mostrato in Fig 1.10 . Le intersezioni dei piani focali e principali con l'asse otticosono dette rispettivamente punti focali , F e F', e punti principali, P e P'.

Semplici considerazioni geometriche sulla gura 1.10 permettono di scrivere le seguenti proporzioni

h : HF =h′ : FP

h′ : F ′H ′ =h : P ′F ′(1.5)

dove h è l'altezza dell'oggetto e h′ è quella della corrispondente immagine. Se ponete

f = FP x =HF

f ′ = P ′F ′ x′ =F ′H ′(1.6)

potete facilmente ricavare la legge di Newton

xx′ = ff ′ (1.7)

18 CAPITOLO 1. OTTICA GEOMETRICA

Figura 1.10: Schema di costruzione delle immagini attraverso i punti principali e focali

Inoltre, misurando le posizioni degli oggetti e delle immagini a partire dai punti principali (p = x + f eq = x′ + f ′) e ricordando la relazione (eq.1.3) tra le distanze focali, potete con facili passaggi matematiciottenere nuovamente l'equazione di rifrazione (eq. 1.1). Ovviamente potete ancora combinare le equazioni dirifrazione di due superci per ottenere l'equazione di rifrazione di una lente che risulta formalmente identicaalla eq.1.4. Vi è ora però una dierenza sostanziale: le distanze sono tutte misurate a partire dai puntiprincipali e non dal centro della lente come sottointeso nella eq.1.4 per le lenti sottili.

Questo consente di ricavare le posizioni delle immagini anche per le lenti spesse. Infatti in questa trat-tazione geometrica i piani principali possono essere deniti anche come quei piani dove si suppone avvengatutta la rifrazione, indipendentemente dal reale percorso del raggio nel mezzo rifrangente (g1.10). Notateche non vi è contraddizione nel fatto che la stessa equazione (ma con origini delle coordinate diverse) descrivasituazioni siche diverse: nell'approssimazione di lente sottile i due piani principali coincidono e quindi aveteuna sola origine per i due sistemi di coordinate.

Figura 1.11: Schema di posizionamento dei piani principali in una lente spessa.

Tutto questo saprebbe di articio matematico (o geometrico) se non fosse che non solo si può dimostrareche i piani principali esistono, ma anche che si sa localizzarli rispetto al sistema sico in esame. Per unalente convessa (g..1.11) i piani principali si trovano all'interno della lente da parti opposte del centro O. Inparticolare si dimostra che i punti principali si trovano alle distanze dai vertici

V P =sr

n(r + r′) + s(n− 1)

P ′V ′ =sr′

n(r + r′) + s(n− 1)

(1.8)

1.2. RICHIAMI DI OTTICA GEOMETRICA 19

dove s è la distanza VV' e i raggi di curvatura (r, r′) sono presi in valore assoluto. La separazione tra i pianiprincipali è

PP ′ = s− V P − P ′V ′ = s(n− 1)(r + r′ + s)

n(r + r′) + s(n− 1)(1.9)

Se lo spessore della lente, rispetto ai raggi di curvatura, è piccolo, e per un'indice di rifrazione di circa1.5 (vetro), la separazione tra i piani principali è circa 1/3 dello spessore della lente. Inoltre, se la lente èsimmetrica (r = r′), dalle eq.1.8 vedete che i due piani principali sono simmetrici rispetto al centro della lente.In questo caso, ricordando l'eq.1.4 della distanza focale, è facile ottenere un'utile espressione completa dellaseparazione dei piani principali in funzione della distanza focale, che è una quantità piú facilmente misurabilerispetto al raggio di curvatura:

PP ′ = s4(n− 1)f + s

4nf + s(1.10)

1.2.2 Aberrazione di sfericità.

Il fatto che una lente sia caratterizzata da una distanza focale implica che l'eq.1.4 sia valida indipendentementedall'inclinazione dei raggi sull'asse ottico (apertura angolare del fascio). In realtà questo non è vero perchètale equazione vale solo in condizioni parassiali. Passando ad approssimazioni di ordine superiore, per unadata posizione p dell'oggetto, l'immagine si forma ad una distanza q che è funzione dell'angolo di apertura eche è tanto minore quanto maggiore è l'angolo. Si dice che la lente è astigmatica.

Figura 1.12: Schema dell'aberrazione sferica longitudinale (l) e trasversale (t)

Per un oggetto posto all'innito, cioè per un fascio di luce parallela all'asse ottico, il punto focale diconvergenza risulta dipendere dalla distanza R dall'asse ottico. Con riferimento alla gura 1.12, i raggiparassiali convergeranno nel fuoco parassiale F p alla distanza focale f , mentre i raggi distanti R dall'asseottico (raggi marginali) convergono nel fuoco marginale Fm. La distanza l tra i due fuochi è detta aberrazionesferica principale longitudinale e risulta pari a

l = cR2

f(1.11)

dove c, il coeciente di aberrazione sferica, nell'approssimazione del terz'ordine è dato dalla complicataespressione (che si può trovare in un testo avanzato di ottica):

c =f3

2

n− 1

n2

[− 1

r′+ (n− 1)(n+ 1)(

1

r− 1

r′)][− 1

r′+ (n− 1)(

1

r− 1

r′)]2

+1

r3(1.12)

20 CAPITOLO 1. OTTICA GEOMETRICA

A causa dell'aberrazione di sfericità, sul piano focale dei raggi parassiali i raggi marginali di un oggettopuntiforme non danno un'immagine puntiforme ma un disco di diametro nito. Tale diametro, t, è dettoaberrazione sferica principale trasversale ed è dato da (g.1.12):

t

l=

2R

f − l(1.13)

e quindi:

t = 2cR3

f(f − l)(1.14)

Queste due aberrazioni sferiche sono dette principali perchè riferite ad un oggetto all'innito. Nel caso diuna lente bicovessa simmetrica (r = −r′) la complicata espressione 1.12 diviene

c =4n3 − 4n2 − n+ 2

8n(n− 1)2(1.15)

che dipende solo dal materiale (indice di rifrazione) e non dal raggio di curvatura r.Per avere un'idea degli ordini di grandezza, calcolate c per la luce gialla (doppietto D del sodio) per

una lente convergente simmetrica, usando l'indice di rifrazione riportato nelle 1.17. Ottenete c ≈ 1.62. ConR = 14 mm e f = 50 mm dalla 1.11 e 1.13 avete allora l ≈ 6.3 mm e t ≈ 3.5 mm.

1.2.3 Aberrazione cromatica.

La distanza focale di una lente dipende dall'indice di rifrazione del mezzo (eq. 1.4), ma l'indice di rifrazionea sua volta dipende dalla lunghezza d'onda (o colore) della luce. Per mezzi rifrangenti normali l'indice dirifrazione aumenta al diminuire della lunghezza d'onda e quindi il potere diottrico aumenta e la lunghezzafocale diminuisce andando dal rosso al violetto. Per questo motivo raggi corrispondenti a lunghezze d'ondadiverse, pur con lo stesso angolo di apertura e quindi nelle stesse condizioni di aberrazione sferica, convergonoin punti diversi e ciò dá luogo all'aberrazione cromatica.

Il potere dispersivo di un mezzo è la sua capacità di disperdere le varie lunghezze d'onda a causa delladipendenza dell'indice di rifrazione da esse. Per poterne dare una misura ci si riferisce convenzionalmentea tre lunghezze d'onda caratteristiche dello spettro di emissione dell'idrogeno e del sodio che si trovanorispettivamente circa agli estremi e al centro dello spettro visibile. Esse sono le righe F (blu) e C (rosso)dell'idrogeno e la riga (in realtà un doppietto) D (giallo) del sodio. I ltri interferenziali della lanterna delbanco ottico ( paragrafo 1.1.1) sono proprio centrati attorno a queste tre lunghezze d'onda.

Se per semplicità di scrittura indichiamo n(λF ) = nF ecc., il potere dispersivo del mezzo è allora denitodalla

ω =nF − nCnD − 1

(1.16)

Per il vetro di cui sono costituite le lenti del banco ottico, gli indici di rifrazione sono

nF = 1.5224

nD = 1.5168 (1.17)

nC = 1.5143

da cui il potere dispersivo risulta ω = 1.57× 10−2.Piú usato del potere dispersivo é il Numero di Abbe1, solitamente indicato con la lettera V o la greca ν.

Il numero di Abbe misura la dispersione cromatica di un mezzo trasparente alla luce visibile ed è denitocome:

V =nD − 1

nF − nC=

1

ω(1.18)

1da Ernst Abbe (1840-1905), sico tedesco che assieme a Otto Schott e Carl Zeiss può essere considerato tra i fondatoridell'ottica moderna.

1.2. RICHIAMI DI OTTICA GEOMETRICA 21

Vetri poco dispersivi come il vetro crown hanno indice di Abbe tra 50 e 85; vetri più dispersivi come ivetri int hanno indice di Abbe inferiori che arrivano no a 20.

Convenzionalmente il materiale di cui una lente è composta viene indicato attraverso una notazione che ne specica

l'indice di rifrazione alla riga d (nd)2 e, appunto, il numero di Abbe. La notazione piú comune è la MIL-G-174 (e

successive) dove un materiale è indicato con una frazione a tre cifre: al numeratore compare nd− 1 e al denominatore

il numero di Abbe moltiplicato 100. Ad esempio, uno dei vetri piú utilizzati per la costruzione di telescopi rifrattori

è un vetro borosilicato di tipo crown indicato dalla Schott come BK7. Il BK7 ha nd = 1.5168 e V = 64.17, ed ha

quindi sigla 517/642. Se le cifre sono tre la barra può essere anche omessa: 517/642 7→ 517642, è necessaria se si vuole

specicare con piú di tre cifre qualche indice: ad esempio, lo stesso vetro di una linea di produzione particolarmente

eciente può anche essere indicato come 5168/6417. Questa notazione permette di potersi riferire immediatamente

al tipo di vetro a prescindere dal produttore. Nell'esempio precedente, infatti, la sigla BK7 è quella che indica il vetro

prodotto dalla Schott, lo stesso tipo di vetro prodotto dalla Hoya si chiama BSC7.

Figura 1.13: Schema dell'aberrazione cromatica longitudinale

Tramite il numero di Abbe si può valutare subito la aberrazione cromatica longitudinale A, denita comela dierenza tra le lunghezze focali corrispondenti alla riga C e alla riga F. Dall'eq. 1.4 per la distanza focalesi trova allora che:

A = fC − fF =(

1r −

1r′

)−1(

1

nC − 1− 1

nF − 1

)≈(

1r −

1r′

)−1 nF − nC

(nD − 1)2=fD

V(1.19)

perciò una lente di lunghezza focale f = 70 mm e numero di Abbe V = 50 focalizza la luce rossa A = 7050 =

1.4 mm oltre la luce blu. L'approssimazione usata, (nC − 1)(nF − 1) ≈ (nD − 1)2, con i valori degli indici dirifrazione 1.17 è contenuta entro lo 0.5%. Equivale ad assumere che nD−1 sia una sorta di media geometricadegli altri due valori.

Nella formula 1.19 compare la distanza focale vera della lente, che sappiamo essere molto prossima alladistanza del fuoco dei raggi parassiali. A rigore quindi l'aberrazione cromatica è diversa per raggi parassialio raggi marginali. Tuttavia si può dimostrare che, in ottima approssimazione, essa è la stessa se vale larelazione

cCcF

= 1 =1

V(1.20)

dove cC e cF sono i coecienti di aberrazione sferica relativi alle righe C e F. Nel caso del vetro delle lenti delbanco ottico tale relazione è vericata entro circa il 10% e quindi si può supporre che l'aberrazione cromaticasia circa la stessa per raggi parassiali e raggi marginali.

2Come già detto la riga D è in eetti un doppietto composto dalle due righe del Sodio D1 = 589.592 e D2 = 588.995. Lamaggior precisione delle misure correnti han fatto scegliere come riga canonica per le misure di ottica la riga d (o D3) dell'Eliomolto vicina al doppietto del Sodio e di lunghezza d'onda d = D3 = 587.5618. Molto spesso, soprattutto se la precisione o lasensibilità della misura non sono cosí elevate, si lascia indicato comunque la riga D e non la d.

22 CAPITOLO 1. OTTICA GEOMETRICA

1.2.4 Il doppietto di Dollond

Accoppiando opportunamente due vetri di diverso materiale si possono realizzare lenti convergenti con un'a-berrazione cromatica ridotta. Il brevetto dell'inglese John Dollond accoppia vetro crown e vetro int in ununico sistema ottico sfruttando il fatto che i due tipi di vetro hanno indice di rifrazione e numero di Abbediverso. L'idea è quella di costruire una lente convergente che abbia la medesima lunghezza focale sia per ilrosso (riga C) che per il blu (riga F).

Vediamo innanzitutto che cosa succede in un doppietto, un sistema ottico ottenuto accoppiando due lenti.Per entrambe le lenti valgono le leggi dei costruttori di lenti:

1

p1+

1

q1=

1

f1lente 1 (1.21a)

1

p2+

1

q2=

1

f2lente 2 (1.21b)

ma dato che le due lenti sono accoppiate, q1 = −p2 o, sommando le due equazioni:

1

p1+

1

q2=

1

f1+

1

f2=

1

fsistema completo (1.21c)

dove f è la lunghezza focale del sistema.L'aberrazione cromatica del doppietto può essere stimata assumendo che sia una piccola variazione della

distanza focale (ed in eetti lo è: per il int V ≈ 25 quindi l'aberrazione cromatica è circa 125 della distanza

focale). Si può quindi dierenziare la 1.21c ottenendo:

∆f

f2=

∆f1

f21

+∆f2

f22

o, ponendo ∆f = A:A

f2=

1

V1f1+

1

V2f2(1.22)

Si vede quindi che scegliendo opportunamente l'indice di Abbe e le lunghezze focali delle due lenti si puòfare in modo di annullare l'aberrazione cromatica.

L'equazione 1.22 ci dice che per azzerare l'aberrazione cromatica dobbiamo accoppiare una lente con-vergente con una divergente, mentre se vogliamo che il sistema sia complessivamente convergente (f > 0),l'equazione 1.21c ci dice che la lunghezza focale della lente divergente deve essere maggiore di quella dellalente convergente. Supponiamo quindi, senza perdere di generalità, che la prima lente sia quella convergente(f1 > 0). Quanto detto sopra si riassume in:

A = 0 ⇒ f1 > 0, f2 < 0 (1.23a)

f > 0 ⇒ f1 < |f2| (1.23b)

A = 0 ⇒ V1f1 = V2|f2| ⇒ V1 > V2 (1.23c)

Supponiamo quindi di voler realizzare un doppietto convergente (sia cioè f > 0) usando una lente in BK7(vetro crown 517642) e una in vetro int 785258. Per contraddistinguere i due materiali si usi la lettera C o Fda mettere all'apice per non confonderla con la riga spettrale: ad esempio nC

D = 1.517 è l'indice di rifrazionenella riga D del vetro crown e V F = 25.8 è il numero di Abbe del vetro int utilizzato. Le 1.23 ci dicono chela lente convergente deve essere realizzata in vetro crown, poiché V C = 64.2 > 25.8 = V F, e la divergentein vetro int. Abbiamo quindi due equazioni, la 1.23c e la 1.21c, e due incognite, le focali, quindi una voltascelti i materiali e la lunghezza focale del doppietto, sono ssate le focali delle due lenti:

lente 1 in crown: fC = f1 =V1 + V2

V1f =

V C + V F

V Cf (1.24a)

lente 2 in int: fF = f2 =V1 + V2

V2f =

V C + V F

V Ff (1.24b)

In realtà, esiste ancora un grado di libertà nella nostra scelta delle lenti, perché, richiamando la 1.4, lalunghezza focale dipende dal materiale (tramite nD) ma anche dai due raggi di curvatura, quindi scelto ilmateriale e la lunghezza focale abbiamo ancora un grado di libertà.

1.2. RICHIAMI DI OTTICA GEOMETRICA 23

Figura 1.14: Doppietto di Dollond

Facendo riferimento alla gura 1.14 dove il pedice S o D indicail raggio di curvatura della lente a Sinistra o a Destra, e notandoche per accoppiare le due lenti deve valere rC

D = −rFS , rimaniamo

con due equazioni e tre parametri liberi per un totale di un gradodi libertà:

lente 1 in crown:1

fC= (nC

D − 1)(

1rCS

+ 1rCD

)(1.25a)

lente 2 in int:1

fF= (nF

D − 1)(− 1rCD

+ 1rFD

)(1.25b)

Solitamente il restante grado di libertà viene sfruttato perridurre l'aberrazione sferica del doppietto.

24 CAPITOLO 1. OTTICA GEOMETRICA

1.3 Esercitazione n.1

In questa esercitazione vi confrontate col problema di come produrre e certicare un fascio di luce parallelo(onda piana) a partire da una sorgente puntiforme e utilizzando una lente convergente. Dovete impararea produrre rapidamente il fascio parallelo perchè questa è la base di partenza della prossima esercitazionesulle aberrazioni delle lenti. Inne un ulteriore risultato di questa esercitazione sarà una prima stima delladistanza focale della lente con il metodo cosiddetto dell'autocollimazione.

1.3.1 Produzione di un fascio di luce parallela.

Dopo aver posizionato la lanterna, montate la mascherina oggetto a singolo foro sul porta oggetti. Sulcavaliere portalenti con micrometro montate una lente biconvessa (convergente) e il diaframma da 10 mm.Ponete inoltre il cavaliere porta schermo a destra della lente a circa 50-60 cm dalla sorgente.

Dall'equazione dei costruttori di lenti (eq.1.4) ottenete che l'immagine si forma a distanza innita (fascioemergente parallelo) quando p = f . Provate allora a spostare il cavaliere porta lente osservando contempo-raneamente l'evoluzione dell'immagine sullo schermo: la sua evoluzione vi indicherà la posizione approssima-tiva della lente alla distanza focale dall'oggetto quando otterrete un'immagine di circa 10 mm di diametro(il diametro del diaframma). A questo punto spostate lo schermo allontanandolo dalla lente e osservandocontemporaneamente l'evoluzione delle dimensioni dell'immagine. Se il diametro dell'immagine diminuisce,ciò signica che il fascio è convergente, mentre è vero l'opposto se il diametro aumenta. Cioè la distanzaoggetto-lente è maggiore o minore della distanza focale. Fate allora dei piccoli spostamenti della lente ri-cercando la condizione per cui la dimensione dell'immagine rimane circa costante al variare della posizionedello schermo. Questa procedura vi consente un posizionamento, di seconda approssimazione, della lente alladistanza focale dall'oggetto. A questo punto controllate che il micrometro del portalenti sia al suo valore dizero, posizionate il cavaliere porta lenti in corrispondenza esatta alla tacca piú vicina della riga graduata einserite il ltro giallo.

Figura 1.15: Schema della verica di parallelismo di un fascio di luce.

Potete ora iniziare a fare le misure per ottenere la posizione nale di fascio parallelo. Per capire laprocedura osservate la gura 1.15 . Se la lente è a distanza minore di f dall'oggetto, il fascio in uscitasarà leggermente divergente e invece convergente nel caso opposto. Di conseguenza, se misurate il diametrodell'immagine (D1) in una posizione vicina alla lente (P1) e in una posizione (P2 = P1 + L) lontana (D2),otterrete rispettivamente D2 > D1 o D2 < D1. Sempre dalla gura 1.15 osservate che, variando la posizionedella lente e quindi la convergenza/divergenza del fascio, D2 varierà molto piú rapidamente di D1. Questovi suggerisce come operare.

Iniziate col posizionare lo schermo alla minima distanza dalla lente che vi consenta ancora di aziona-re agevolmente il micrometro del portalenti. Misurate ora il diametro D1: azionando il micrometro Y delcavaliere portaschermo portate a coincidere il bordo sinistro (destro) dell'immagine con una delle divisioniverticali del reticolo schermo osservando con l'oculare in dotazione. Annotate il valore del micrometro (ys) eposizionate ora il bordo destro (sinistro) dell'immagine in corrispondenza della piú vicina divisione verticaledel reticolo annotando nuovamente la posizione del micrometro (yd). Il diametro si otterrà per dierenza

1.3. ESERCITAZIONE N.1 25

delle due letture dopo aver aggiunto all'una o all'altra 10 mm.Attenzione:il risultato corretto è solo uno. Potete riconoscerlo controllando se il valo-

re ottenuto è consono alla misura che potere fare a occhio, cioè guardando se il diame-

tro è maggiore o minore di 10 mm. Decidete quindi quale è la soluzione corretta e poi man-

tenete coerentemente questa scelta per le misure successive.

Il valore di D1 cosí ottenuto vi servirà come valore di riferimento per le misure di D2 che farete aduna distanza L di circa 1000 mm dalla precedente posizione. Dopo aver riposizionato lo schermo, misurateD2 come fatto in precedenza. Se risulta D2 > D1, bisognerà allontanare la lente dall'oggetto e viceversa.Spostate allora il micrometro del cavaliere portalenti, annotando in una tabella la sua posizione e il diametroD2 corrispondente, in modo tale da ottenere valori di D2 progressivamente piú vicini a D1 e poi oltrepassandoil punto di uguaglianza.

Una volta fatto questo riportate lo schermo alla posizione P1 e misurate D1 per diversi valori del micro-metro portalenti (per esempio gli stessi valori usati per misurare D2). A questo punto potete riportare in ungraco i valori di D1 e D2 in funzione della posizione del micrometro portalenti, mL, ottenendo due rettedi pendenza diversa (D1 è quasi costante) la cui intersezione fornisce la posizione del micrometro per cuiD1 = D2, cioè il fascio è parallelo.

mL (mm) ys (mm) yd (mm) D2 (mm)8.50 10+14.80 11.35 13.458.30 10+14.42 11.58 12.848.10 10+14.08 11.87 12.217.90 10+13.68 12.03 11.558.00 10+13.91 12.05 11.868.20 10+14.18 11.70 12.488.40 10+14.55 11.45 13.1

Tabella 1.2: Misure del diametro del fascionella posizione P2 dello schermo (lontana).

Nel nostro caso abbiamo utilizzato la lente n.6 (Tab 1.1)e, dopo le procedure descritte nelle prime due fasi, abbiamoottenuto i seguenti dati.

L’oggetto (cioè la lanterna, v. par 1.1.1) è stato posizio-nato a P0 = 200 mm. Dopo la prima ricerca approssimati-va il cavaliere portalenti, con il micrometro allo “zero” di 8.50mm, è stato posto a PL = 253 mm. Le misure di D1 e D2

sono state ottenute con lo schermo a P1 = 320 mm e aP2 = 1320 mm. Le posizioni del micrometro schermo perla coincidenza del bordo sinistro (ys) e destro (yd) dell’imma-gine con una riga verticale del reticolo sono riportate nelle

Tabelle 1.2 e 1.3 in corrispondenza dei valori (mL) del micrometro portalenti e per le posizioni schermo P2 e P1

rispettivamente. Infine i valori di D1 e di D2 sono riportati in fig.1.16 in funzione di mL.

mL(mm) ys(mm) yd(mm) D1(mm)8.50 10+7.23 4.71 12.528.50 10+7.30 4.84 12.468.40 10+7.19 4.69 12.508.30 10+7.19 4.73 12.468.20 10+7.26 4.76 12.508.10 10+7.25 4.69 12.568.00 10+7.20 4.77 12.437.90 10+7.12 4.80 12.32

Tabella 1.3: Misure del diametro del fascio nellaposizione P1 dello schermo (vicina).

Nella prima misura di riferimento, posto lo schermo a P1,abbiamo misurato ys = 7.23 mm e yd = 4.71 mm. Aggiun-gendo 10 mm alla lettura destra si ottiene, per differenza conla lettura sinistra, un diametro del fascio inferiore a 10 mmmentre aggiungendo i 10 mm alla lettura sinistra si ottieneun diametro superiore ai 10 mm. Una semplice occhiata al-lo schermo mostra che effettivamente il diametro è maggioredi 10 mm e quindi che la procedura corretta è aggiungere10 mm alla lettura sinistra, come d’altra parte si poteva rica-vare anche guardando alla meccanica. Ne risulta un diametroD1 = 10 + 7.23− 4.71 = 12.52 mm che sarà il valore di ri-ferimento per le misure di D2. Non deve meravigliarvi che il

diametro del fascio sia superiore al diametro del diaframma, perchè questo è posizionato a monte della lente e quindiil fascio di luce diverge ulteriormente prima di essere collimato dalla lente (fig.1.15).

Osservando la Tab 1.2 potete notare che le misure sono state effettuate prima a salti di 0.2mm, fino a ottenere undiametro inferiore al valore di riferimento, e poi infittite per ottenere un maggior numero di punti. I dati per il diametro,riportati in fig.1.16 , mostrano un andamento lineare e possono essere interpolati dalla retta

D2 = a+ b mL (1.26)

con

a = (−13.30± 0.36) mm

b = (3.146±0.044) mm−1

ρab =− 0.9997

σy =0.023

(1.27)

26 CAPITOLO 1. OTTICA GEOMETRICA

Figura 1.16: Diametri del fascio in funzione di mL

Dalla terza delle 1.27 si nota che la corre-lazione è molto buona mentre la quarta diceche l’errore casuale sulla misura del diametroappare essere dell’ordine di pochi centesimi dimillimetro. In realtà le cose sono un poco piúcomplicate.Osservate infatti i dati in Tabella 1.3. Ledue misure del micrometro schermo, ripetutea mL = 8.50 prima e dopo il riposizionamentodello schermo, mostrano differenze di oltre undecimo di mm. Ciò nonostante i corrispondentivalori del diametro differiscono di solo 6 cente-simi di mm. Questo fatto indica che in questocaso gli scarti tra i valori del micrometro scher-mo sono dovuti principalmente alla meccanicadel cavaliere portaschermo e al suo riposizio-namento (in futuro tenete presente questa os-

servazione: se si vogliono sfruttare fino in fondo le capacità di misura dell’apparato bisogna che il cavaliere porta-schermo sia ben bloccato e non venga poi spostato o riposizionato). Inoltre lo scarto tra i due valori del diametroè paragonabile agli scarti tra le altre determinazioni ottenute per diversi valori del micrometro portalenti. Di fatto ivalori di D1 in funzione della posizione del micrometro portalenti possono essere interpolati con una retta di pen-denza (0.16 ± 0.14) mm−1, cioè una retta orizzontale entro l’errore. In considerazione di questo fatto mediamosemplicemente tutte le determinazioni del diametro ottenendo

D1 = (12.47± 0.07) mm (1.28)

dove l’errore è lo scarto quadratico medio e rappresenta una ragionevole stima dell’errore sulla singola determina-zione del diametro (0.05 mm su ciascuna collimazione bordo destro/bordo sinistro come potete verificare misurandol’intervallo di incertezza nell’allineamento o ripetendo qualche volta la misura).La posizione mL per cui si ottiene il fascio parallelo può ora essere calcolata uguagliando la 1.26 e la 1.28 ottenendomL = 8.19 mm. Per quanto riguarda l’errore, tenendo conto che D1 = y0, è soggetto all’ errore indipendente:

σmL =

√σ2y0 + σ2

D1

b∼=σD1

b= 0.023 mm (1.29)

dove la seconda eguaglianza segue dal fatto che σy0 σD1perchè il punto di interpolazione è praticamente al valor

medio dei punti misurati e σy < σD1(eq. 1.27 e 1.28). Una stima piú realistica dell’errore (anche se per eccesso)

può essere fatta attribuendo a D2 lo stesso errore di D1 e quindi

σmL =

√2 σDb

= 0.03 mm (1.30)

Per piccoli angoli di convergenza/divergenza del fascio, l’angolo ( fig.1.15 ) è dato da

α ∼= tanα =D1 −D2

2L(1.31)

Se i due diametri sono uguali, l’angolo è zero entro l’errore con cui sono misurati i due diametri. Propagando l’erroresi ottiene

σα =

√2 σD2L

(1.32)

e quindi nel nostro caso

σ = (0± 5× 10−5) rad = (0± 0.003) gradi (1.33)

Questo risultato vi dà un’idea del limite di precisione con cui si può ottenere un fascio collimato con questo bancoottico.

1.3. ESERCITAZIONE N.1 27

Se il fascio non è parallelo, la posizione del fuoco non corrisponde alla vera distanza focale . Dall’equazione deicostruttori di lenti (eq. 1.4), essendo R

p = tanα, ottenete q = fRR−f tanα dove R è l’apertura del fascio. Tenendo

conto che ( fig.1.15) tanα = ∆D2L , l’errore nella determinazione di f risulta:

δf = q − f =f2 tanα

R− tanα∼=f2 tanα

R=f2

D

∆D

L

δf

f∼=f

D

∆D

L

(1.34)

Nel nostro caso ∆D può essere considerato l’errore con cui i due diametri del fascio vengono determinati uguali(per quanto visto prima 0.1 mm) e quindi ∆D/L ∼= 10−4. Con f = 50 mm e D = 10 mm si ha δf/f ∼= 5× 10−4 eδf ∼= 0.025 mm, cioè l’errore è trascurabile.

Fate attenzione a due punti che sono collegati al calcolo precedente.Il primo è che tanto piú piccola è l’apertura del fascio e tanto maggiore è l’errore nella determinazione della distanzafocale a parità di divergenza del fascio.Il secondo è che la misura del diametro del fascio porta inevitabilmente a privilegiare i raggi marginali e quindi, acausa dell’aberrazione di sfericità, la distanza focale determinata per autocollimazione è essenzialmente legata airaggi marginali corrispondenti all’apertura del fascio.

1.3.2 Misura della distanza focale per autocollimazione.

Avendo trovato la posizione della lente per cui si ha un fascio collimato, automaticamente avete fatto unadeterminazione della distanza focale. Infatti in questo caso si ha f = p, la distanza tra l'oggetto e il centrodella lente. Per questa determinazione occorre ricordare la geometria del banco ottico (paragrafo 1.1 ) etener conto dello spostamento del micrometro dalla sua posizione di zero (m0). Diminuendo la letturadel micrometro, la lente si allontana dall'oggetto come potete vericare osservando la meccanica, oppureosservando che il fascio aumenta la sua convergenza. Di conseguenza la distanza del centro della lentedall'oggetto risulta

p = PL +d

2+m0 −mL − P0

f = p = 253 + 1.05 + 8.50− 8.19− 200 = 54.36 mm(1.35)

dove d è lo spessore dello spigolo della lente (Tabella 1.1)L'errore casuale su questa misura è essenzialmente dato dall'errore di posizionamento dei micrometri

(eq. 1.30). Gli errori sistematici sono però molto maggiori. In primo luogo la lanterna con il portaoggetti e ilcavaliere portalenti sono sistemi meccanicamente complessi e le loro posizioni di riferimento sono determinateper costruzione e quindi, a priori, con alta precisione. Tuttavia nel montaggio di pezzi complessi, perchècostituiti di molte parti diverse, si può facilmente arrivare a disallineamenti di alcuni decimi di mm sela progettazione non è stata particolarmente attenta ed accurata. Inoltre le misure di PL e di P0 sonodeterminate con un errore di circa 0.25 mm (un quarto della divisione della scala graduata) e, poichè sonodeterminate una volta per tutte nel corso della misura, hanno un eetto sistematico. Per tener conto anchedegli errori di costruzione aumentiamo l'errore di posizionamento della lanterna e della lente a 0.5 mm. Diconseguenza, essendo indipendenti, danno un contributo all'errore su f di

δf = δp '√

2 (1.36)

Vi sono però altre sorgenti di errore sistematico. L'errore sistematico maggiore sta nella modellizzazione delfenomeno. Infatti l'eq. 1.4 è valida nel limite di lenti sottili e di raggi parassiali. Questo non è il nostrocaso perchè la distanza tra i due vertici della lente (vedi Tab 1.1 ) è di 10 mm, uno spessore tutt'altro chetrascurabile rispetto alla distanza focale di circa 50 mm. Inoltre il diametro del fascio è di circa 12 mm equindi l'aberrazione di sfericità non è a priori trascurabile.

Cominciamo ad analizzare l'approssimazione di lente sottile. Le eq. 1.8-1.9 ci consentono di localizzare ipiani principali e quindi di correggere il valore di f che abbiamo ottenuto come distanza tra il punto focale

28 CAPITOLO 1. OTTICA GEOMETRICA

e il centro della lente. Poichè la nostra lente è simmetrica possiamo usare la piú semplice eq. 1.10 usando ilvalore di n appropriato (abbiamo usato la luce gialla), relazione 1.17, il valore di s ottenuto dalla Tab 1.1 e,in prima approssimazione, la determinazione 1.35 per la distanza focale. Otteniamo il valore PP ′ = 3.61 mme quindi la correzione da apportare ad f è pari a 1.80 mm, la metà di PP ′. Si ottiene cosí f = 52.56 mm.Con questo valore di f ricalcoliamo PP ′ ottenendo ancora 3.61 mm.

Per quanto riguarda l'aberrazione sferica tenete presente che essa comporta che la collimazione sia ottenutaper i raggi di una certa apertura angolare mentre quelli di apertura maggiore o minore saranno lievementeconvergenti o divergenti: questo è il motivo per il quale il bordo dell'immagine sullo schermo non è nitido.E' ragionevole che la nostra operazione di collimazione ci abbia portato a una situazione di compromesso incui la posizione focale è determinata in una posizione intermedia tra quella dei raggi parassiali e quella deiraggi piú marginali. Per questi ultimi lo spostamento dalla posizione di fuoco parassiale può essere calcolatodalla eq.1.11 con R dato da D2 (eq. 1.26 ), il coeciente di aberrazione sferica dalla 1.15 (lente simmetrica)e il valore di f appena determinato. Si ottiene cD = 1.6166 e l = 1.19 mm. Stimiamo ora la correzione daapportare ad f pari alla metà di l con un errore pari anch'esso alla metà di l. Dato che l'errore sistematicodi lente spessa è stato corretto, l'errore nale risulta dalla combinazione quadratica di tutti gli errori e cioèδf = 0.9 mm . La determinazione nale di f è quindi

f = (53.2± 0.9) mm (1.37)

L'errore è essenzialmente sistematico e determinato in buona parte dall'aberrazione sferica e dagli errori diposizionamento dovuti alla costruzione dei pezzi.

1.4. ESERCITAZIONE N.2 29

1.4 Esercitazione n.2

In questa esercitazione misurerete la distanza focale della lente che avete già misurato nell'esercitazioneprecedente con altri due metodi che dieriscono per la diversa inuenza degli errori sistematici. Una parteimportante dell'esercitazione sarà proprio la discussione nale dell'errore sistematico.

1.4.1 Misura della distanza focale col metodo dei punti coniugati.

Questo metodo si basa sull'equazione dei costruttori di lenti (eq.1.4) e sulla misura delle distanze oggetto-lente e lente-immagine

(p e q).

Dopo aver controllato il posizionamento della sorgente (p0), inserite la mascherina a singolo foro nel portaoggetti e il ltro giallo. Montate la lente e il diaframma da 10 mm sul cavaliere porta lenti sso e posizionateload una distanza dall'oggetto a piacere. Ricercate ora la posizione dell'immagine muovendo lo schermo noa trovare le condizioni di messa a fuoco. Annotate allora le posizioni della lente (pL) e dello schermo (L).Tenendo conto della geometria del cavaliere porta lenti e dello spessore d dello spigolo della lente (Tab 1.1 ),la distanza oggetto-centro della lente e centro della lente-immagine risulteranno:

p =(pL − p0) +1

2d

q = (L− p0)− p(1.38)

Spostate ora il cavaliere porta lenti in un'altra posizione, ripetete la misura e cosí via cercando di coprireil massimo intervallo possibile di valori di p. Per l'analisi dei dati osservate che, posto

Figura 1.17: Graco dati Tab. 1.4

x =1

p

y =1

q=

1

L− p

(1.39)

le vostre misure dovrebbero disporsi lungo la retta

x+ y =1

p+

1

L− p=

1

f(1.40)

le cui intercette sugli assi cartesiani forniscono entrambe l'in-verso della distanza focale cercata. Dato che i valori delle in-tercette dovranno essere ottenuti per estrapolazione dei da-ti misurativi conviene cercare di fare misure dai valori piúpiccoli ai valori piú grandi possibili di p(q).

Le misure di pL e L eettuate nel nostro caso sono ripor-tate in Tab 1.4 ai valori di p corretti per lo spessore dello

spigolo della lente, ai valori dedotti di q e ai reciproci di p e q. I dati sono poi rappresentati in Fig. 1.17insieme con il risultato dell'interpolazione lineare che è il seguente:

a = (18.65± 0.03)× 10−3 mm−1 (1.41)

b = (−0.9608± 0.0030)

Le due intercette

y0 = a

x0 = −ab

(1.42)

sono tra loro diverse, contrariamente all'attesa, perchè la pendenza è diversa da quella attesa teoricamente(-1), ben al di fuori dell'errore casuale. Dovete quindi sospettare la presenza di errori sistematici. La primacausa di errore sistematico da indagare è l'applicazione della legge per le lenti sottili a una lente spessa. Se

30 CAPITOLO 1. OTTICA GEOMETRICA

pL(mm) L(mm) p(mm) q(mm) x(m−1) y(m−1)260 619.5 61.05 358.45 16.38 2.79265 512 66.05 245.95 15.14 4.07270 468.5 71.05 197.45 14.07 5.06275 441.5 76.05 165.45 13.15 6.04280 429 81.05 147.95 12.34 6.76285 420 86.05 133.95 11.62 7.47290 415.5 91.05 124.45 10.98 8.04300 411 101.05 109.95 9.90 9.10305 410.5 106.05 104.45 9.43 9.57310 411 111.05 99.95 9.00 10.01330 419.5 131.05 88.45 7.63 11.31350 433.5 151.05 82.45 6.62 12.13370 448 171.05 76.95 5.85 13.00385 460.5 186.05 74.45 5.37 13.43400 473.5 201.05 72.45 4.97 13.80415 486.5 216.05 70.45 4.63 14.19430 500 231.05 68.95 4.33 14.50450 519 251.05 67.95 3.98 14.72

Tabella 1.4: Dati ottenuti con il metodo dei punti coniugati

indichiamo con δp metà della separazione PP' tra i piani principali (eq. 1.10 ), le quantità misurate rispettoal centro della lente, p e q, dovrebbero essere sostituite dalle p− δp e q − δp, ottenendo l'equazione

1

p− δp+

1

q − δp=

1

f(1.43)

Introducendo ora le 1.39 arrivate all'equazione

x

1− xδp+

y

1− yδp=

1

f(1.44)

che non è lineare, ma il cui termine quadratico ha un coeciente proporzionale a 2 δp, cosí che per piccolivalori di δp rispetto alle distanze misurate la non linearità è trascurabile. Potete però apprezzare adessol'utilità di aver coperto circa lo stesso intervallo di valori nella misura di p e q per evitare che si potesseattribuire lo scarto sulla pendenza alla non linearità dell'equazione. Infatti la eq. 1.44 indica che le dueintercette sono diverse dal reciproco della distanza focale, ma tra loro uguali:

x0 = y0 =1

f + δp(1.45)

Potete quindi escludere questa causa di errore sistematico come origine dello scarto della pendenza da -1.Incidentalmente osservate che in questo caso la vera distanza focale risulterebbe

f =1

y0− δp =

1

x0− δp (1.46)

Cioè la correzione per lente spessa si ottiene semplicemente sottraendo alla distanza focale, misurata rispettoal centro della lente, lo spostamento del piano principale rispetto al centro. Naturalmente questo vale ntan-tochè la lente non è troppo spessa (cioè lo spostamento δp del piano principale è piccolo rispetto alle altredistanze in gioco) in modo che il termine quadratico nella 1.44 possa essere trascurato.Considerate allora un possibile errore sistematico sul posizionamento della sorgente (δs). In questo caso, siail valore di p che quello di L sono aetti dallo stesso errore (p⇒ p+ δs ; L⇒ L+ δs) e quindi q è esente daerrore. L'eq. 1.40 diventerebbe allora

x

1 + xδs+ y =

1

f(1.47)

che mostra come l'intercetta sull'asse y darebbe la distanza focale corretta mentre quella sull'asse x sarebbeaetta da errore

1.4. ESERCITAZIONE N.2 31

y0 = a =1

f1=

x0

1 + x0δs

x0 =1

f − δs

(1.48)

Anche in questo caso la relazione 1.47 non è lineare. Trascurando il termine quadratico si trova che lapendenza è data dalla

b = −(1− δs

f) (1.49)

cosí che un accordo con i dati sperimentali potrebbe essere trovato solo ipotizzando un errore δs > 0, cioècon la lanterna spostata a sinistra. D'altra parte dalla prima delle 1.48 potete ricavare l'entità dell'errore(necessario a giusticare i dati) che è dato da :

δs =x0 − y0

x0y0=

1 + b

a(1.50)

dove a e b sono i parametri della retta interpolante. Nel nostro caso risulterebbe δs = 2.11mm, un valoredecisamente grande anche considerando la somma dell'errore di lettura e dell'errore di allineamento nel mon-taggio dei pezzi della lanterna. Potete allora ragionevolmente escludere questa causa come origine principaledella discrepanza.

In modo del tutto simmetrico potete vedere che, se ipotizzate un errore sistematico nel posizionamentodello schermo (L ⇒ L + δs′), allora l'intercetta sull'asse x fornisce la distanza focale corretta mentre quellasull'asse y è aetta da errore. Per la compatibilità con i dati sperimentali il segno dell'errore dovrebbe essereopposto a quello di prima, cioè anche lo schermo dovrebbe essere piú a sinistra. Il valore assoluto dell'erroresarebbe lo stesso di prima e questo porta ad escludere questa sorgente di errore a maggior ragione, perchèin questo caso deve essere esclusa almeno la sistematicità dell'errore di lettura in quanto lo schermo è statoriposizionato molte volte. In ogni caso, per riassumere la situazione,

f2 =1

x0= − b

a

δs′ = −δs = −1 + b

a

(1.51)

Inne bisogna considerare la possibilità di un errore sistematico nel posizionamento della lente. In questocaso p⇒ p+δp e L−p⇒ L−p−δp. Poichè anche la lente è stata posizionata piú volte, tale errore non potrebbeessere altro che un errore di allineamento delle varie parti del cavaliere portalenti e/o di posizionamento delcentro della lente rispetto all'indice di lettura. Con il solito procedimento, l'eq. 1.40 si trasforma nella

x

1 + xδp+

y

1− yδp=

1

f(1.52)

In questo caso, sempre trascurando il termine quadratico, le due intercette risultano tali che

x0

1 + x0δp=

1

fy0

1− y0δp=

1

f

(1.53)

e quindi nessuna fornisce il valore corretto della distanza focale. Tuttavia, uguagliando i primi membri delleeq. 1.53, si ottiene il valore dell'errore necessario a giusticare la discrepanza nella pendenza, e quindi ladistanza focale

δp =x0 − y0

2x0y0=δs

2=δs ′

2=

1 + b

2a

f3 =x0 + y0

2x0y0=

1− b2a

=f1 + f2

2

(1.54)

32 CAPITOLO 1. OTTICA GEOMETRICA

In questo caso l'errore richiesto per rendere compatibili i dati sperimentali è la metà che nei due casiprecedenti, cioè 1.05 mm e quindi piú verosimile.

I valori delle distanze focali che si ottengono a seconda delle ipotesi che si fanno sugli errori sistematicisono

f1 =1

a= 53.75mm

f2 = − ba

= 51.64 mm

f3 =1− b

2a= 52.69 mm

(1.55)

Nella realtà tutte e tre le cause di errore saranno contemporaneamente attive e questo implica che glierrori di posizionamento dei singoli pezzi necessari a giusticare i dati sperimentali siano minori di quantorichiesto se l'errore fosse da attribuire a un singolo pezzo. Questo è soddisfacente perchè ben dicilmentel'errore sul singolo pezzo potrebbe arrivare a quanto determinato sopra.

Per quanto riguarda la distanza focale, essa ovviamente avrà un valore intermedio tra i valori estremi,però non siamo in grado di determinare in modo univoco la correzione da apportare. Per questo motivodecidiamo di assumere il valore medio (f3) e di attribuirgli come errore sistematico dovuto ai posizionamentila metà dello scarto massimo delle tre determinazioni, cioè 1 mm.

A questo punto dobbiamo ricordarci che la nostra lente è in realtà una lente spessa cosí che la distanzafocale dovrebbe essere determinata non rispetto al centro ma rispetto al piano principale. La correzione è giàstata calcolata nella precedente esercitazione e vale 1.80 mm. A questo punto la distanza focale vale quindif = (50.9± 1)mm.

Dobbiamo però tener conto anche dell'aberrazione sferica. Senza entrare in calcoli complicati, appli-chiamo la correzione per l'aberrazione sferica principale già determinata nell'esercitazione precedente in(+0.6± 0.6) mm e arriviamo al valore

f = (51.5± 1.2) mm (1.56)

Rimane da calcolare l'errore casuale che può essere stimato, a partire dalla seconda delle eq.1.54, attraversole formule di propagazione dell'errore

σf =1

2a

√σ2b +

(1− ba

σa

)2

+ 21− ba

ρabσaσb (1.57)

ottenendo il valore di 0.06 mm, un valore cosí piccolo rispetto all'errore sistematico che non vale la penatenerne conto. Anche in questo caso quindi l'errore sistematico è quello dominante. Questa determinazionedella distanza focale è compatibile con la precedente (Sez 1.3.2) entro circa 1.3 σ.

1.4.2 Misura della distanza focale col metodo di Bessel.

In questa misura lo schermo viene posizionato una volta per tutte a una distanza L dalla sorgente e poi sisposta la lente no a trovare la posizione p per la quale l'immagine risulta a fuoco. Apparentemente noncambia molto rispetto al metodo precedente, ma vedrete invece che è possibile ridurre l'errore sistematico.

Considerate l'eq. 1.40 e risolvetela rispetto a p ottenendo l'equazione di secondo grado

p2 − pL+ fL = 0 (1.58)

le cui soluzioni sono

p1,2 =L±

√L2 − 4Lf

2(1.59)

1.4. ESERCITAZIONE N.2 33

Figura 1.18: Schema del metodo di Bessel per la misura della distanza focale.

La prima cosa da osservare è che le soluzioni saranno reali solo se L ≥ 4f . Per valori di L maggiori diquattro volte la distanza focale, le posizioni di messa a fuoco della lente saranno due secondo lo schema diFig. 1.18 . Dall'eq. 1.59 e dalla Fig 1.18 risulta che

p1 + p2 = L

p2 − p1 =√L2 − 4fL = q1 − q2 = S

p1 + q1 = p2 + q2 = L

(1.60)

da cui risulta anche che deve essere q2 = p1; q1 = p2 e quindi

q1 − p1 = q2 − p2 = S (1.61)

Sommando tra loro la 1.61 e la terza delle 1.60 ottenete

q1 = p2 =1

2(L+ S)

q2 = p1 =1

2(L− S)

(1.62)

e, sostituendo nell'equazione dei costruttori di lenti e risolvendo per f , ottenete inne

f =L2 − S2

4L(1.63)

Il vantaggio di questa impostazione è che qualsiasi errore sistematico su p dovuto al riferimento dell'oggettoo della lente viene eliminato considerando la dierenza S tra le due determinazioni di p. Notate che nelladierenza viene eliminato anche l'errore di metodo dovuto alla lente spessa (lo spostamento dal centro delpiano principale). Naturalmente tutti questi errori rimangono attivi invece per quanto riguarda la loroeventuale inuenza su L. Per valutare il valore degli errori, e per avere dei suggerimenti sull'operatività nellemisure, cominciate a calcolare le derivate parziali:

∂f

∂L=L2 + S2

4L2=L− 2f

2L' 1

4

∂f

∂S= − S

2L

(1.64)

34 CAPITOLO 1. OTTICA GEOMETRICA

dove l'ultimo passaggio nella prima equazione segue dall'ipotesi di L ' 4f .Vedete subito che gli errori saranno minimi se la separazione tra le due posizioni di messa a fuoco è

nulla, cioè se L è esattamente uguale a quattro volte la distanza focale. D'altra parte questa condizionepotrebbe essere raggiunta solo per tentativi e inoltre, a causa della profondità di campo, sarebbe dicilestabilire quando le due posizioni di messa a fuoco coincidono veramente. Questo vi suggerisce comunque dilavorare con valori di L di poco superiori a 4f . Operativamente vi conviene calcolare 4f a partire dalle misureprecedenti, aumentarlo di qualche mm e vericare che le due posizioni di messa a fuoco siano chiaramentedistinguibili ma non separate piú di 20-30 mm. A questo punto eettuate alternativamente la misura delledue posizioni di messa a fuoco almeno una decina di volte in modo da poterne eettuare la media e calcolarelo sqm che userete poi per calcolare l'errore su S.

p1 (mm) p2 (mm)91.5 124.592.0 123.095.0 119.590.0 122.093.5 121.090.0 122.095.0 123.591.0 120.092.5 121.091.0 124.0

Tabella 1.5: Misure col meto-do di Bessel

Nel nostro caso le misure sono state effettuate ponendo lo schermo a L = 215mm dall’oggetto e cercando di determinare la posizione “centrale” di messa a fuo-co, cioè la posizione intermedia tra “inizio” e “fine” fuoco. Le misure sono riportatein Tab.1.5 dopo aver sottratto la posizione di “zero” dell’oggetto (200 mm). Notateche non è necessario effettuare le correzioni per lo spessore della lente perchè taleapprossimazione, come tutti gli errori sistematici, è ininfluente sulla misura di S.

In definitiva otteniamo

p1 =(92.15± 1.84) mm

p2 =(122.05± 1.69) mm

S = p2 − p1 = (29.9± 2.5) mm

f =52.71 mm

(1.65)

Per quanto riguarda l’errore, quello casuale entra solo nella determinazione di S, che invece è esente da erroresistematico. Usando la seconda delle eq.1.64 e il valore dell’errore determinato dallo sqm delle misure, si ottieneδf(S) = 0.17 mm. Osservate che le determinazioni delle posizioni di fuoco sono affette da errori relativamentegrandi a causa della profondità di campo. Tuttavia l’effetto sulla distanza focale è piuttosto limitato in virtú dellaeq.1.64.

Per quanto riguarda l’errore sulla misura di L, essendo misurato una volta per tutte, L è esente da errore casualee affetto invece dall’errore sistematico di posizionamento dell’oggetto e dello schermo. Questo ammonta almenoall’errore di lettura sulla scala per ciascun pezzo e deve essere aumentato dell’errore di allineamento dei pezzi deicavalieri. Stimiamo l’errore complessivo dell’ordine di 0.5 mm per ogni cavaliere e quindi in totale δL ' 0.7 mm eδf(L) ' 0.18 mm

Rimangono da calcolare o stimare gli errori sistematici di metodo, legati al modello di lente. I principali sonosempre quelli legati all’aberrazione sferica e alla lente spessa. Per l’aberrazione sferica la stima è già stata fatta perle altre esercitazioni e porta ad aumentare la distanza focale di 0.6 mm con un pari errore. Per quanto riguarda ilfatto che la lente è spessa, ricordatevi che tutte le distanze andrebbero riferite ai punti principali. Se chiamate 2δp laseparazione tra i piani principali le distanze corrette da usare sono

p′1 = p1 − δpq′1 = q1 − δp

(1.66)

e analogamente per la seconda posizione di messa a fuoco. Potete quindi vedere che ciò non ha influenza sullaseparazione S. Viceversa si ha

p′1 + q′1 = p′2 + q′2 = L− 2δp (1.67)

cioè è come se avessimo compiuto un errore sistematico su L. Questo però può essere corretto usando la primadelle 1.66 e il calcolo della separazione tra i piani principali che abbiamo già fatto nell’esercitazione precedente. Siottiene una correzione alla misura di f pari a −0.97 mm. In definitiva la nostra miglior stima della distanza focale inquesta esercitazione è

f4 = (52.34± 0.66) mm (1.68)

1.4. ESERCITAZIONE N.2 35

dove l’errore è ancora una volta essenzialmente determinato dall’aberrazione sferica. Confrontando questo dato conquelli ottenuti dalle esercitazioni precedenti vedete che esso è circa il valor medio delle altre due misure e che ilmetodo di Bessel è certamente migliore degli altri due. Infatti non solo S non è influenzato da errori sistematici,ma anche gli errori sul posizionamento dell’oggetto o dello schermo hanno un’influenza molto minore che negli altrimetodi (vedete la prima delle eq.1.64).

Potete cercare di capire a questo punto quale ipotesi sugli errori sistematici nella misura dai punti coniugatisarebbe corretta. Per fare questo confronto, poichè l’aberrazione sferica gioca allo stesso modo in tutte le misure,consideriamo i valori corretti solo per l’effetto di lente spessa:

f1 = 51.95 mm

f2 = 49.84 mm

f3 = 50.89 mm

f4 = 51.74 mm

(1.69)

La prima ipotesi (errore sistematico nel posizionamento della sorgente di circa 2 mm) comporterebbe nel metododi Bessel un pari aumento della distanza L con un aumento della distanza focale f4 di circa 0.54 mm e una discre-panza di f4 in eccesso a f1 di circa 0.3 mm. La seconda (errore sistematico nel posizionamento dello schermo dicirca 2 mm) comporterebbe nel metodo di Bessel una pari diminuzione della distanza L con una diminuzione delladistanza focale f4 di circa 0.54 mm e una discrepanza di f4 circa 1.4 mm in eccesso a f2 . Questo fatto, comeera ragionevole supporre, porta ad escludere la possibilità di un errore sistematico cosí rilevante sul posizionamentodello schermo.

Per l’ultima ipotesi (errore sistematico nel posizionamento della lente) osservate che, non avendo influenza nelmetodo di Bessel, comporta una diversa discrepanza di +0.85mm nella misura di Bessel.

Osservate inoltre che le ipotesi di errore sistematico sul posizionamento della sorgente o della lente portanoad aumentare la distanza focale misurata per autocollimazione di 2 o 1 mm e quindi rispettivamente ad aumentareulteriormente la sua discrepanza. Di conseguenza decidiamo di non considerare piú la misura per autocollimazione.

Riassumendo ci troviamo con 4 valori di f ottenuti con due metodi e due diverse ipotesi per l’errore sistematico.A seconda dell’ipotesi di errore si ottengono i valori medi:

f1 = (52.11± 0.34) mm

f2 = (51.31± 0.43) mm(1.70)

che sono tra loro compatibili entro 1.5 σ. Possiamo concludere che il metodo di misura migliore è quello di Bessel,ma che non possiamo raggiungere una conclusione definitiva sull’errore sistematico. Decidiamo allora di mediaretutti i 4 valori e di aumentare lo scarto quadratico medio come rappresentativo di tutti gli errori sin qui considerati,ottenendo:

f = (51.72± 0.59) mm (1.71)

Osservate che questo valore è molto vicino a quello ottenuto col metodo di Bessel. Correggendo ora perl’aberrazione sferica si arriva a

f = (51.32± 0.84) mm (1.72)

Per completare la discussione osserviamo che la lente é stata certificata dal costruttore con una back focallength (distanza del fuoco dal vertice della lente) di 50 mm. Possiamo confrontare questo valore con la nostradeterminazione tenendo conto della distanza tra il vertice e il piano principale

V P =1

2(V V ′ − PP ′) = 3.09 mm (1.73)

con i dati di Tab 1.5 e il calcolo della 1.10. La differenza della nostra determinazione è di circa 0.77 mm, cioè di pocoinferiore all’errore stimato. Questo fornisce confidenza sia nell’analisi dell’ errore che nella sua stima.

36 CAPITOLO 1. OTTICA GEOMETRICA

1.5 Esercitazione n. 3

In questa esercitazione vi confronterete con il problema di qualicare una lente rispetto ad alcune aberrazioni edi darne una misura. Comincerete con l'aberrazione di sfericità, che è piú facilmente misurabile, e continueretepoi con l'aberrazione cromatica.

1.5.1 Misura dell'aberrazione di sfericità di una lente convergente.

L'equazione dei costruttori di lenti 1.4 è stata ricavata nell'approssimazione (di Gauss) di lente sottile e raggi parassiali.3 Nei

casi reali queste condizioni generalmente non sono soddisfatte. In particolare l'eetto dell'inclinazione dei raggi sull'asse ottico

porta ad una focalizzazione dei raggi tanto piú prossima alla lente quanto maggiore è l'angolo di inclinazione. Per un fascio

di apertura angolare nita, i vari raggi, provenienti da una sorgente puntiforme, non convergono in un unico punto ma in un

intervallo, dando origine alla cosiddetta aberrazione di sfericità (cioè la distanza focale non è univocamente denita, ma dipende

dall'apertura dei raggi). Tutto questo è stato riassunto e quanticato nella Sez 1.2.2, eq. 1.11 -1.14 e Figura 1.12.

Per la misura delle aberrazioni sferiche principali (longitudinale e trasversale) dovete disporre prima ditutto di un fascio di luce parallela. A questo scopo montate un doppietto acromatico sul cavaliere porta-lenti con micrometro e posizionatelo alla sua distanza focale dall'oggetto (mascherina oggetto ad un foro)utilizzando l'apposita asta distanziatrice. Inserite il ltro giallo e procedete al posizionamento ne del porta-lenti, per ottenere il fascio di luce parallelo, come fatto nell'esercitazione n. 1 ( Sez 1.3), ma questa voltasenza inserire alcun diaframma perchè avrete bisogno di un fascio di almeno 29 mm di diametro.

Montate ora la lente sul cavaliere portalenti sso insieme con il diaframma a 4 fori (per poter selezionareraggi marginali e parassiali), posizionatelo dopo il doppietto in corrispondenza precisa di una tacca di comododella scala graduata (zero di riferimento).Un utile accorgimento è quello di posizionare la lente il piú vicino possibile al doppietto

acromatico. Infatti piccoli disassamenti dall'asse ottico dei vari componenti, potrebbero portare

a non illuminare entrambi i fori marginali del diaframma. Inoltre abbiate cura di disporre i fori

marginali nel piano orizzontale per poter misurare anche l'aberrazione sferica trasversale.

Ricercate ora le posizioni di fuoco per i raggi marginali o parassiali spostando il cavaliere portaschermo.Fissate il cavaliere portaschermo e determinate piú volte le posizioni di inizio-fuoco e ne-fuoco per i raggiparassiali (attenzione che la profondità di campo è notevole!) e la posizione di fuoco per i raggimarginali alternativamente, agendo sul micrometro X del cavaliere portaschermo. Per questa operazioneosservate con l'oculare quando i due dischetti corrispondenti ai raggi parassiali/marginali iniziano a coincideree niscono di coincidere. Questa procedura (cioè usare il micrometro X del portaschermo) vi consente di fareuna misura dierenziale delle distanze focali (cioè dell'aberrazione sferica longitudinale) con una precisionesuperiore a quella consentita dalla riga graduata del banco ottico.

Per ogni posizione di fuoco parassiale (media delle posizioni di inizio-fuoco e ne-fuoco) misurate anchela separazione tra i due dischetti corrispondenti ai raggi marginali usando il micrometro Y del cavaliere por-taschermo. In tal modo avrete anche i dati necessari (Ys e Yd) per calcolare l'aberrazione sferica trasversale.Naturalmente questa misura richiede che il diaframma a 4 fori sia stato posizionato con i

fori marginali orizzontali.

mL Ys Yd D2

8.5 10.74+30 8.51 32.23

7.5 8.87+30 10.29 28.58

8.0 9.72+30 9.42 30.30

8.1 9.99+30 9.09 30.90

8.2 10.27+30 9.07 31.20

8.15 10.04+30 9.14 30.90

Tabella 1.6: Misure per l'aberrazione di sfericità

Nel nostro caso, dopo aver posizionato il doppietto acromatico al-la sua distanza focale con l’uso dell’apposita astina (micrometroal valore di “zero” uguale a 8.50 mm), con lo schermo in posi-zione 340 mm, abbiamo misurato un diametro D1 = 31.00 mm.Con lo schermo in posizione 1340 mm abbiamo poi misurato ildiametroD2 in funzione della posizione del micrometro del porta-lenti ottenendo i dati riportati in Tab 1.6. Dai dati concludiamoche la posizione mL = 8.15 mm corrisponde al corretto posizio-namento. Per verifica, con questo valore del micrometro, con loschermo in posizione 340 mm abbiamo misurato di nuovoD1 per

due volte ottenendo rispettivamente 31.09 e 30.93 mm.

3 Nell'ipotesi cioè che la separazione VV' tra i vertici della lente sia trascurabile rispetto alle altre distanze in gioco (cosí chei sistemi di riferimento dello spazio oggetti e dello spazio immagini abbiano la stessa origine) e che i raggi formino con l'asseottico un angolo tanto piccolo da poterlo confondere con il suo seno (approssimazione del prim'ordine nello sviluppo in seriedelle funzioni trigonometriche).

1.5. ESERCITAZIONE N. 3 37

Da queste misure troviamo che l’errore nella misura del diametro è dell’ordine di quanto stimato nella prima esercita-zione (0.07 mm) e che entro questo errore il fascio è parallelo.

A questo punto posizioniamo il cavaliere portalenti alla posizione di comodo di 370 mm, montiamo la lenten. 6 e il diaframma a 4 fori. Avviciniamo lo schermo no ad osservare l'immagine dei 4 fori e posizioniamoil diaframma in modo che i fori marginali risultino orizzontali. Una volta bloccato il cavaliere portaschermosiamo pronti ad iniziare le misure che vengono eseguite in questa sequenza:1- determinazione della posizione di inizio-fuoco per i raggi parassiali (Xi);2- determinazione della posizione di ne-fuoco per i raggi parassiali (Xf );3- calcolo del valor medio (Xp) e posizionamento dello schermo a questo valore;4- misura delle posizioni dei raggi marginali (Ys e Yd);5- misura della posizione di fuoco dei raggi marginali (Xm)6- ripetizione delle misure precedenti per una decina di volte.

Xi Xf Xp = (Xi +Xf )/2 Ys Yd t = Ys − Yd Xm

17.24 14.64 15.94 12.68 9.06 3.62 9.90

18.35 13.93 16.14 12.86 9.02 3.79 9.93

17.60 14.51 16.06 12.73 9.07 3.66 9.91

18.24 14.31 16.28 12.82 8.99 3.83 9.93

18.29 14.35 16.32 12.88 9.00 3.88 9.92

18.20 14.93 16.56 12.95 8.89 4.06 9.92

17.96 14.50 16.23 12.84 8.99 3.85 9.91

16.00 12.78 9.07 3.71

15.50 12.65 9.2 3.45

15.00 12.47 9.39 3.08

16.50 12.95 8.94 4.01

17.00 13.1 8.79 4.31

17.50 13.18 8.53 4.55

Tabella 1.7: Misure per l'aberrazione sferica trasversale

Le nostre misure sono riportate inTabella 1.7 insieme con il valore dell’a-berrazione sferica principale trasversalet = Ys − Yd. Nella stessa tabella abbia-mo riportato anche le misure dell’aberra-zione sferica trasversale per varie posi-zioni dello schermo a cavallo della posi-zione di fuoco parassiale per poter me-glio stimare l’errore su t dovuto all’erroredi posizionamento per il fuoco parassiale.

Dai dati della tabella otteniamo

Xp = (16.22± 0.20) mm

Xm = (9.92± 0.01) mm

l = Xp −Xm = (6.30± 0.20) mm

(1.74)

e

Ys = (12.82± 0.09) mm

Yd = (9.00± 0.06) mm

t = Ys − Yd = (3.81± 0.15) mm

(1.75)

Posizionando il micrometro X dello schermo alla posizione di fuoco media dei raggi parassiali, leggiamo sulla riga graduata delbanco la posizione 425.5mm. Possiamo quindi effettuare un’altra determinazione della distanza focale di Gauss (parassiale) cherisulta

f = (425.5− 370.0− 1.05− 1.80) mm = (52.65± 0.35) mm (1.76)

dove i termini sottrattivi corrispondono nell’ordine alla posizione del cavaliere portalenti, alla correzione per il posizionamento delcentro della lente e alla correzione per la posizione del piano principale posteriore rispetto al centro della lente. Inoltre l’errore èstato valutato come la combinazione di un errore di 0.25 mm sulla lettura della posizione dei cavalieri portalente e portaschermo.Per quanto riguarda l’errore sul posizionamento del portaschermo, si potrebbe obiettare che l’intervallo di messa a fuoco dei raggiparassiali è di circa ±1.5 − 2.0 mm e quindi quasi un ordine di grandezza superiore a quanto stimato, ma lo scarto quadraticomedio della posizione centrale di questo intervallo (eq.1.74) è proprio 0.2 mm e quindi, nonostante la profondità di campo, con laprocedura di mediare le posizioni di inizio-fuoco e fine-fuoco si riesce a fornire una buona stima della posizione del fuoco.

Osservate inoltre che questa determinazione della distanza focale è perfettamente compatibile con quella determinata nellaprecedente esercitazione (eq. 1.72).Questa determinazione della distanza focale era necessaria anche per vedere se con questometodo si hanno differenze significative nella distanza focale che deve essere inserita nell’eq. 1.11 per ricavare il coefficiente diaberrazione sferica sulla base dell’aberrazione sferica longitudinale misurata. Si ha infatti

cl =lf

R2= (1.692± 0.055) (1.77)

dove l’errore è stato calcolato propagando quadraticamente gli errori sulle singole grandezze. Esso è essenzialmente determinatodall’errore sulla misura della aberrazione sferica longitudinale.

38 CAPITOLO 1. OTTICA GEOMETRICA

Una seconda determinazione del coeciente di aberrazione sferica può essere ottenuta dalla misura del-l'aberrazione sferica trasversale sulla base dell'eq. 1.14. Prima di procedere a questo calcolo osservate che,a priori, anche la misura di t è fortemente inuenzata dalla profondità di campo dei raggi parassiali perchèessa dipende dal posizionamento del fuoco parassiale, come potete vedere dalla Figura 1.12. Riportate allorai dati di t in funzione del posizionamento dello schermo (ultime misure della Tabella 1.7 ) in un graco comein Figura 1.19 .Potete osservare che i dati si dispongono lungo una retta di equazione

t = −5.65 + 0.585Xp (1.78)

e dunque che l'aberrazione sferica trasversale varia di circa 0.6 mm per ogni mm di variazione nel posiziona-mento del fuoco parassiale. Confrontando gli errori nelle determinazioni del fuoco parassiale e dell'aberrazionesferica trasversale (eq. 1.74 - 1.75) potete concludere che quest'ultimo è principalmente dovuto all'errore sullaposizione di fuoco.

Figura 1.19: aberrazione sferica trasversale in funzione del fuoco parassiale

Il valore del coeciente di aberrazionesferica, a partire da queste misure, risultaessere

ct =tf(f − l)

2R3= (1.694± 0.071) (1.79)

dove l'errore è stato calcolato di nuo-vo per propagazione quadratica dei varicontributi.

Confrontando i due valori ottenuti(eq. 1.77 e 1.79), vedete che essi sonoperfettamente compatibili anche se il se-condo è ovviamente aetto da un erroremaggiore. La conferma del perfetto ac-cordo tra le due misure viene anche dalrapporto t/l che sperimentalmente risul-ta di (0.605±0.030) a fronte di un valore

atteso, sulla base dell'eq. 1.13, di 0.604. Il confronto con il valore teorico (eq. [12.5.15]) mostra che ledeterminazioni sperimentali sono in eccesso di circa il 4.7%. Poichè l'errore della determinazione sperimen-tale è dell'ordine del 3-4%, possiamo considerare soddisfacente la misura eettuata, ma non va trascurata lapossibilità di un errore sistematico.

La prima ipotesi per un errore sistematico potrebbe essere un errore nell'indice di rifrazione assunto percalcolare c. Questo potrebbe essere dovuto al costruttore (qualicazione del materiale della lente) o piúfacilmente ad una non perfetta corrispondenza della lunghezza d'onda del nostro ltro a quella di riferimentodella certicazione. Tuttavia la derivazione dell'eq.1.15 vi fornisce δc/δn ∼= 2 e quindi vedete che sarebbenecessario un errore δn ∼= 0.003−0.004 per giusticare la discrepanza. Tale errore è assolutamente impossibilecome potete rendervi conto guardando la eq. 1.17. L'ipotesi piú probabile è un errore sistematico dovuto allamodellizzazione dell'aberrazione sferica. Infatti la eq.1.12 è stata ottenuta sulla base della approssimazionedel terz'ordine per il seno (lo sviluppo in serie del seno contiene solo le potenze dispari; l'approssimazionedel prim'ordine è quella di Gauss). E' probabile che la corta distanza focale in gioco in questo esperimento(50 mm), unita alla grande apertura del fascio (R = 14 mm), richieda l'approssimazione del quinto ordine perdescrivere piú realisticamente la nostra aberrazione sferica. Infatti i risultati riassunti dall'eq.1.78 indicanoche l'inclinazione dei raggi marginali sull'asse ottico è di circa 30 gradi.

1.5.2 Misura dell'aberrazione cromatica.

Lo stesso set-up sperimentale usato per misurare l'aberrazione sferica può servire per misurare l'aberrazionecromatica semplicemente cambiando il colore della luce attraverso l'inserzione dei diversi ltri interferenzialidella lanterna (Capitolo 12.1.1). Prima di passare alla fase sperimentale conviene fare una stima dell'aber-razione attesa. Dalla certicazione del costruttore sul materiale (eq. 1.17), risulta che il potere dispersivo(eq. 1.16) del vetro della lente è ω = 1.57· 10−2. Usando il valore della distanza focale già misurata, dalla?? si calcola un'aberrazione cromatica di circa 0.83 mm. Di conseguenza appare che una misura con i raggi

1.5. ESERCITAZIONE N. 3 39

parassiali sarebbe scarsamente signicativa visto che la profondità di campo è molto superiore. Infatti leequazioni 1.74 ci dicono che l'errore sarebbe circa il 25% della grandezza da misurare! Siamo quindi costrettiad usare i raggi marginali accontentandoci della relazione approssimata secondo la condizione eq. ??.

Prima di procedere alla misura conviene vericare il grado di compensazione dell'aberrazione cromaticadel doppietto misurando l'eventuale convergenza / divergenza del fascio prodotto in luce blu e rossa.

L=340 mm L=1340 mmys yd D1 ys yd D2

Rosso 4.97+30 4.12 30.85 9.97+30 9.07 30.90

Blu 4.88+30 4.19 30.69 9.66+30 9.52 30.14

Giallo 5.23+30 4.14 31.09 10.01+30 8.95 31.06

5.00+30 4.07 30.93 10.04+30 9.14 30.90

Tabella 1.8: Dati aberrazione cromatica ltro giallo

Le nostre misure sono raccolte in Tab.1.8 insieme a quelle per la luce gialla ef-fettuate nel corso dell'esercitazione pre-cedente. Le misure ripetute in luce gial-la indicano che, come già precedentemen-te stimato (Capitolo 12.3.1), la precisio-ne nella determinazione del parallelismoè dell'ordine di 5 · 10−5rad. Entro questolimite, il fascio di luce rossa è parallelo

nelle stesse condizioni in cui è parallelo il fascio di luce gialla. Il fascio di luce blu appare invece leggermenteconvergente con un angolo di circa 2.75 · 10−4rad (1.6 · 10−2gradi). In base all'eq. 1.34 la distanza focale perla luce blu sarebbe quindi determinata per difetto di circa 0.05mm.

Ora inserite alternativamente il ltro rosso e quello blu e determinate piú volte le posizioni del micrometroper le posizioni di fuoco dei raggi marginali per arrivare poi alla misura dell'aberrazione cromatica comedierenza tra i valori medi delle posizioni di fuoco rosso e fuoco blu.

XF (mm) XC (mm)9.23 10.289.18 10.209.27 10.139.17 10.129.45 10.159.26 10.059.35 10.15

Tabella 1.9: Dati aberrazionecromatica filtri rosso e blu

Nel nostro caso le misure sono quelle riportate in Tab. 1.9 da cui risulta

XF = (9.27± 0.10) mm

XC = (10.15± 0.07) mm(1.80)

In realtà bisogna tener conto che il fascio di luce blu (F) è leggermente conver-gente per cui la posizione del fuoco deve essere aumentata di 0.05 mm. L’errorenella misura del parallelismo del fascio corrisponde ad un errore nella misura del-la distanza focale di 0.01 mm, cioè trascurabile rispetto all’errore di misura delledistanze focali. Di conseguenza il valore corretto di XF risulta

XF = (XF + δXF ) = (9.32± 0.10) mm (1.81)

e l’aberrazione cromatica misurata è

A = XC −XF = (0.83± 0.12) mm (1.82)

Da questa misura possiamo ora ricavare il potere dispersivo del vetro della lente (eq. ??) che risulta

ωexp =A

fD= (1.58± 0.23)× 10−2 (1.83)

L’accordo con il valore previsto è entro l’1%. Tuttavia questo deve essere considerato un caso fortuito in consi-derazione dell’errore sperimentale (∼= 15%) e dell’approssimazione insita nell’uso dei raggi marginali (∼= 10%), (eq.??).

40 CAPITOLO 1. OTTICA GEOMETRICA

Capitolo 2

Richiami di ottica ondulatoria

2.1 Propagazione dell'energia sotto forma di onde

Energia ed impulso possono essere trasferiti tra punti ed/o oggetti nello spazio-tempo mediante lo spostamentodi oggetti materiali, detti corpuscoli (come nel caso degli urti), oppure mediante l'utilizzo di campi, cioè digrandezze denibili e misurabili in ogni punto dello spazio-tempo con determinate leggi di trasformazione tradiversi sistemi di riferimento. Esempi di campi sono temperatura, pressione, densità, nel qual caso essendoindividuati da numeri prendono il nome di campi scalari, mentre deformazioni, velocità, forze, ecc, quello dicampi vettoriali.

L'onda è la propagazione, a velocità nita, della perturbazione di un campo. Per campi scalari l'ondaè denita dalla direzione di propagazione che coincide punto per punto con il vettore velocità di propa-gazione, mentre nel caso di campi vettoriali occorre anche specicare la direzione lungo la quale giace laperturbazione.

Nel caso più semplice di campo scalare unidimensionale, o per ciascuna delle componenti di un campovettoriale ψ (x,t), l'onda soddisfa ad una equazione lineare alle derivate parziali nel tempo e nello spazio:

∂2ψ(x, t)

∂t2= v2 ∂

2ψ(x, t)

∂x2(2.1)

che ha per soluzione una qualunque combinazione lineare delle due funzioni generiche f(x− vt) e g(x+ vt).Un caso di particolare importanza è dato dalle funzioni trigonometriche del tipo:

f(x− vt) = ψosin(ωt− 2πx

λ+ ϕ) (2.2)

ove si è introdotta la pulsazione o frequenza angolare ω, la lunghezza d'onda λ e la fase φ, le prime essendolegate dalle relazioni:

λ = v T =v

ν= 2π

v

ω(2.3)

dove T è il periodo.Le onde descritte dalle funzioni trigonometriche come la (2.2) presentano particolare interesse in quanto

è possibile scomporre qualsiasi altra forma d'onda periodica in una serie di funzioni trigonometriche (analisidi Fourier).

Dalle equazioni di Maxwell si deduce che anche in assenza (o a grande distanza) da sorgenti di campielettrici e magnetici è possibile avere soluzioni non nulle purché queste siano sotto forma della propagazionedi una perturbazione dei campi elettrici e magnetici variabili nel tempo e tra loro strettamente connessi.

Questo dá luogo al concetto di onda elettromagnetica. La linearità delle equazioni di Maxwell assicurainoltre che tali onde soddisfano al principio di sovrapposizione, per cui il campo sarà espresso dalla somma(vettoriale) dei campi elettromagnetici dovuti a ciascuna sorgente come se le loro azioni fossero separate.

41

42 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI OTTICA ONDULATORIA

2.1.1 Interferenza

In genere piccole perturbazioni ad una situazione di equilibrio di un campo sico possono essere tratta-te in regime lineare, vale a dire che la risposta del campo alla perturbazione, in ogni punto, sarà di-rettamente proporzionale all'ampiezza della perturbazione stessa, purché quest'ultima si mantenga picco-la. In questo caso il campo di perturbazioni è analogo, in ogni punto, ad un oscillatore armonico, peril quale vale una relazione quadratica tra l'ampiezza della perturbazione e l'energia da essa trasportata.

Figura 2.1: Rappresentazione di due sorgenti coerenti in fase

Ciò vale anche per le onde elettro-magnetiche e quindi una sorgente di on-de elettromagnetiche creerà una distribu-zione di energia I ∝ E2 in ogni pun-to nel quale è presente il campo elet-tromagnetico con ampiezza E del campoelettrico.

Il principio di sovrapposizione del-le onde, attribuibile alla linearità delleequazioni di Maxwell nel caso elettroma-gnetico, consente di valutare come l'in-tensità delle onde si distribuisce nellospazio qualora siano presenti due o piùsorgenti.

Se consideriamo due sorgenti S1 edS2, come mostrato in Fig. 2.1, e suppo-niamo che esse emettano onde elettroma-gnetiche isofrequenziali con ampiezze deicampi elettrici E1 = E0

1cos(ωt+ φ1),E2 = E0

2cos(ωt+ φ2), avremo, nel punto P situato a distanza l1 da P1 e l2 da P2 ,

E1 = E01cos(ωt+

πl1λ

+ φ1), E2 = E02cos(ωt+

2πl2λ

+ φ2).

Supponendo che i campi elettrici vibrino nella stessa direzione potremo scrivere l'intensità totale nel puntoP come:

I = αE(P )2 = α[E1(P ) + E2(P )]2 =

= α[E01(P )cos(t+

2πl1λ

+ φ1) + E02(P )cos(ωt+

2πl2λ

+ φ2)]2

dove α è una costante di proporzionalità. Sviluppando il quadrato e introducendo le intensità I1(P ) e (I2(P ))misurate in P con la presenza della sola sorgente S1(S2) si ottiene, considerando un tempo di integrazioneτ ω−1 del rivelatore nel punto P,

I(P ) = I1(P ) + I2(P ) + 2I1(P )I2(P )1/2cos[ 2π(l1 − l2)

λ+ φ1 − φ2] (2.4)

dal che si osserva che l'intensità nel punto P è composta dalla somma delle intensità delle singole sorgentiprese separatamente, che in generale rende l'intensità minore o maggiore: in altri termini il principio disovrapposizione per le ampiezze dei campi elettromagnetici si traduce in una somma interferenziale per lerelative intensità, proporzionali ai quadrati delle ampiezze.

Se si realizza I1(P ) = I2(P ) = I0(P ) avremo

I(P ) = 2I0(P )(1 + cos[2π(l1 − l2)

λ+ φ1 − φ2]). (2.5)

Se ci limitiamo a considerare i punti P ′ per i quali l1 = l2 (lungo l'asse del segmento congiungente le duesorgenti) avremo I(P ′) = 2I0[1 + cos(φ1 − φ2)], quindi se le due sorgenti vibrano in fase (φ1 = φ2 + 2kπ conk intero) avremo I(P ′) = 4I0 , se invece vibrano in opposizione di fase φ1 − φ2 = (2k + 1)π e I(P ′) = 0.

2.1. PROPAGAZIONE DELL'ENERGIA SOTTO FORMA DI ONDE 43

Figura 2.2: Sfasamento e dierenza di cammino ottico

Se invece consideriamo sorgenti condierenza di fase nulla l'intensità in unpunto generico P sarà determinata uni-camente della dierenza di percorso ot-tico l1 − l2 In generale saranno presentisia dierenze di percorso sia sfasamentitra le sorgenti. Ci limiteremo però nelseguito a considerare interferenza da sor-genti situate a grande distanza dal pun-to P, oppure a distanza nita se osser-vate con un cannocchiale, in modo cheanziché considerare distanze avrà sensointrodurre l'angolo sotteso dal punto Pad esempio rispetto all'asse del segmentocongiungente le due sorgenti. In questacondizione, detta di Fraunhofer, la die-renza di percorso ottico ha una sempliceespressione in termini dell'angolo θ :

l1 − l2 = d sin(θ) (2.6)

come mostrato in Fig.2.2La condizione di interferenza costrut-

tiva si ottiene qui per dierenze di percorso multiple intere della lunghezza d'onda λ e si traduce in unacondizione per la deviazioni angolari θm tali che:

sin(θm) =mλ

d(2.7)

Sarà utile, per le considerazioni che seguono, introdurre la notazione complessa denendo i campi elettriciin termini di ampiezza E0 e fase φk, Ek = E0e

iφk . Ciò è particolarmente utile in quanto l'intensità risultain tal caso proporzionale al modulo quadrato del vettore campo elettrico. Ad esempio, nel caso già trattatoavremo:

E = E01(P )ei(ωt+

2πl1λ +φ1) + E0

2(P )ei(ωt+2πl2λ +φ2) (2.8)

ed è facile vedere che da I ∝ | E |2 si ottiene la 2.4 . Il metodo complesso è particolarmente utile nel caso dimolte sorgenti. Se supponiamo ad esempio di avere N sorgenti equidistanti a due a due e giacenti sulla stessaretta avremo un campo elettrico:

E = E0∑k

Ekeiφk (2.9)

ove, se il contributo allo sfasamento è solo dovuto al percorso ottico φk = kφ e se supponiamo la stessaampiezza, avremo:

E = E0∑k

Ek(eiφ)k = E0 1− eiNφ

1− eiφ(2.10)

Dalla 2.10 si ottiene, considerando il modulo quadrato di E:

I(φ) = I0

[sin(Nφ/2)

sin(φ/2)

]2

(2.11)

dove abbiamo indicato con I0 l'intensità di una singola sorgente.Da uno studio della I(φ) si nota che:a) l'intensità in avanti (φ→ 0) è pari a N2I0, cioè è N2 volte l'intensità di una singola sorgente;b) esistono massimi assoluti (principali) per φ/2 = kπ, mentre tra due massimi principali esistono N − 1

zeri ed N − 2 massimi secondari, corrispondenti all'annullamento del solo numeratore.

44 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI OTTICA ONDULATORIA

Naturalmente, nel caso di condizioni di Fraunhofer, per sorgenti che vibrano con la stessa fase avremo∆φ = π d sin(θ)/λ.

2.1.2 Dirazione

Si osservano fenomeni di dirazione ogni qualvolta la luce incontra degli ostacoli o si propaga attraverso fen-diture con dimensione comparabile alla lunghezza d'onda della luce. Mentre l'ottica geometrica prevede zonedistinte di ombra e di luce al di là di un ostacolo, la teoria ondulatoria prevede deviazioni da questa situazionetanto più rilevanti quanto più elevato è il rapporto λ/d, con d dimensione caratteristica dell'ostacolo.

I fenomeni di dirazione sono riconducibili all'interferenza qualora si introduca il principio di Huygens.Quest'ultimo aerma che ogni punto di un'onda può essere immaginato come sorgente elementare di ondesferiche, il cui inviluppo consente di costruire i successivi fronti d'onda. Si può quindi considerare la dif-frazione come l'interferenza di un numero elevato, al limite innito, di sorgenti innitesime di onde sferichesoddisfacenti al principio di Huygens. Sia dx la distanza tra due sorgenti innitesime, e x la distanza diuna di esse da un estremo della fenditura piana di apertura a. Allora il campo elettrico, in condizioni diFraunhofer, è scritto come:

E = α

∫ a

0

ei2πxsin(θ)

λ dx = − iαλ

2πsin(θ)(e

i2πdsin(θ)λ −1) (2.12)

da cui

I(θ) = I0

[sin(π a sin(θ)/λ)

π a sin(θ)/λ

]2

(2.13)

ove I0 è l'intensità in avanti dell'onda diratta.

2.1.3 Il reticolo di dirazione

Analizziamo ora il caso più generale di N fenditure di larghezza a e passo (distanza tra due fenditure) d,mostrato in Fig.2.3

Figura 2.3: il caso di molte sorgenti coerenti.

In tal caso l'intensità I(θ) in condizioni di Fraunhofer è ancora data dalla eq. 2.11 , ma con ampiezzamodulata dal fattore di forma di dirazione espresso nell'eq. 2.13 .

Qualitativamente il massimo in avanti (a θ = 0) diventa il massimo assoluto mentre gli altri massimiprincipali hanno intensità inversamente proporzionale alla distanza dal massimo in avanti, o al numero m(detto numero d'ordine del massimo principale). Inoltre, se passo e larghezza delle fenditure sono tra lorocommensurabili, alcuni massimi principali sono soppressi dal fattore di forma di dirazione. Il reticolodi dirazione trova utilizzo per l'analisi spettrale delle onde elettromagnetiche, utilizzando la dipendenzadell'intensità della luce dalla lunghezza d'onda. Ad esempio per i massimi principali si hanno angoli dideessione dati dalla:

sin(θm) = mλ

d(2.7)

2.2. ESPERIENZE DI INTERFERENZA E DIFFRAZIONE 45

e quindi i massimi saranno situati ad angoli diversi per le diverse lunghezze d'onda. Deniamo la dispersioneangolare di un reticolo di dirazione all'ordine m come:

Dm =dθmdλ

e quindi Dm =1

d

m

cos(θm)(2.14)

dove l'ultima relazione è stata ottenuta dalla (2.7) . La dispersione angolare risulta quindi direttamenteproporzionale all'ordine del reticolo e inversamente proporzionale al passo del reticolo. Una elevata dispersioneangolare non implica automaticamente un'elevata capacità di risolvere diverse lunghezze d'onda, dato chequest'ultima è anche determinata dalla larghezza dei massimi principali.

Il potere risolutivo R = λ/∆λ rappresenta il rapporto tra un valore di lunghezza d'onda ed la minima dif-ferenza di lunghezze d'onda apprezzabile rispetto a λ. Adottando il criterio di Rayleigh per la risoluzione tradue massimi principali due lunghezze d'onda λ e λ′ = λ+ ∆λ saranno distinguibili se potranno generare mas-simi principali distinguibili, cioè soddisfacenti al criterio di Rayleigh. Essendo il primo minimo dell'intensitàadiacente ad un massimo principale separato di una quantità corrispondente a sin θmin = λ/Nd ed essendola separazione tra due massimi principali corrispondente ad una variazione ∆λ ∆θm = Dm∆λ ≈ (m/d)∆λe quindi si ha (m/d)∆λ ≥ λ/Nd da cui ∆λ ≥ λ/mN . Deniamo il potere risolutivo come:

R =λ

∆λe quindi R = mN (2.15)

Il potere risolutivo è quindi indipendente dal passo del reticolo e risulta proporzionale al numero difenditure e al numero d'ordine. Il primo risulta limitato da problemi tecnologici, mentre al crescere delnumero d'ordine diminuisce l'intensità della luce raccolta a causa del fattore di forma dovuto alla dirazione,legato all'apertura di ciascuna fenditura.

2.2 Esperienze di interferenza e dirazione

2.2.1 L'esperienza dei sistemi a poche fenditure

È possibile studiare i fenomeni di diffrazione ed interferenza con luce visibile utilizzando sistemi di fenditure. Questipossono essere ottenuti mediante tecniche di foto-impressione usualmente utilizzate per la produzione di circuitielettrici stampati. Si possono usare per il substrato fogli di acetato sui quali si può ottenere una risoluzione diriproduzione nell’ordine di qualche µm. Sul vostro banco troverete un foglio di acetato sul quale sono state impresse1, 2, 3 e 4 fenditure, montato su un telaietto per diapositive. Quest’ultimo è poi traslabile sul riferimento generale deldispositivo mediante una vite micrometrica, al fine di consentire l’illuminazione del numero di fenditure desiderato.Uno schema dell’apparato sperimentale a disposizione è riportato in Fig.2.4 .

Figura 2.4: Schema di apparato sperimentale per lo studiodi fenomeni di diffrazione e interferenza prodotti da sistemidi fenditure

La sorgente di luce è costituita da un laser a statosolido emettente una potenza di ∼= 0.3 mW ad unalunghezza d’onda λ = 670 nm. Le caratteristiche del-la luce laser, in particolare la bassa dispersione ango-lare, permettono di disporre di un fascio di luce paral-lela senza impiegare complicati sistemi di collimazionedel fascio luminoso. Inoltre è possibile disporre, co-me conseguenza della bassa dispersione, di elevateintensità, consentendo l’utilizzo di rivelatori di intensitàluminosa con bassa accettanza angolare.

Un inconveniente del laser a stato solido è costitui-to dalla scarsa stabilità in frequenza dovuta a fenomeniinterni di dissipazione, e la deriva termica può esserequantificata in 5 nm. Lunghezza d’onda e intensitàdella luce, larghezza e passo delle fenditure fissano lecaratteristiche del sistema di rivelazione.

Considerando la singola fenditura, si nota che laseparazione angolare tra il massimo principale e il mi-

nimo adiacente è, per λ = 670 nm e a = 100 µm, ∆θ∼=λ/a = 6.7 mrad, il che implica, per ragionevoli valori

46 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI OTTICA ONDULATORIA

dell’apertura del rivelatore (dell’ordine del mm o una sua frazione) un braccio dell’ordine del metro. Nel caso spe-cifico si dispone di un braccio di 700 mm imperniato ad un’estremità sull’asse della fenditura. All’altra estremità èmontato il rivelatore costituito da un fototransistor. Quest’ultimo fornisce un segnale elettrico che poi viene amplifi-cato. Per garantire la dinamica necessaria alla rivelazione dei massimi secondari, nel caso di 3 o 4 fenditure, e deiminimi si utilizza un amplificatore logaritmico. Il diaframma del fototransistor ha un diametro di 0.6 mm. L’angolosolido intercettato dal fototransistor è perciò pari a Ω = π 0.32/7002 = 5.7 · 10−7 steradianti.1

Il movimento del braccio viene effettuato mediante una vite senza fine e chiocciola fissata alla distanza dal pernoD = (65.5± 0.5) mm. L’errore rappresenta l’incertezza su D dovuta al montaggio meccanico dei vari componenti.

La vite ha passo p = 0.5 mm ed è azionata da un motore passo-passo con 400 passi/giro, quindi l’avanzamentodella chiocciola per unità di passo è di (0.5mm/giro)/(400passi/giro) = 1.25µm corrispondente ad una rotazionedel braccio di δφ = (1.25·10−6m/passo)/(65.5·10−3m) = 1.9·10−5rad/passo, ovvero sono necessari circa 45passi per avere un’escursione angolare pari alla divergenza angolare del rivelatore. Lo strumento disponibile èdotato di una centralina che consente sia l’acquisizione dei dati dall’amplificatore logaritmico, sia lo spostamento delbraccio di un numero programmabile di passi. È inoltre disponibile una procedura automatizzata di centraggio intornoal massimo assoluto dell’intensità luminosa.

Particolare cura va posta nel determinare il numero di passi tra due misure consecutive che deve risultare uncompromesso tra la risoluzione richiesta e il tempo complessivo di misura. L’ampiezza angolare massima investi-gabile è inoltre limitata dal rumore di fondo del fototransistor dato che a causa del fattore di forma di diffrazione ilsegnale diminuisce progressivamente all’aumentare dell’apertura angolare.

Figura 2.5: gure di interferenza e dirazione da singola fenditura e da 4 fenditure. Si consideri che inordinata è rappresentato il ln(I) dell'intensità trasmessa dalle fenditure.

Si suggerisce pertanto di determinare il rumore di fondo del fototransistor e di fermare la misura ad un’ampiezzaper la quale i massimi principali hanno un basso contrasto rispetto ai minimi o presentano un’intensità comparabileal rumore di fondo (ovvero in condizioni tali che il rapporto segnale-rumore è ancora dell’ordine di qualche unità). InFig.2.5 compare l’andamento dell’intensità della luce registrata dal fototransistor in funzione del numero di passi peril caso di una fenditura singola (a) e di 4 fenditure (b).

1La divergenza massima del fascio di luce rivelato è invece pari a δθ = 8.57 · 10−4 radianti ∼= ∆θ/8. Diametri minori deldiaframma consentirebbero di ottenere minori divergenze e, in linea di principio, una migliore risoluzione angolare. Tuttaviaquesto è ottenuto al prezzo di diminuire l'angolo solido intercettato e quindi la quantità di luce intercettata dal fototransistor,che al limite potrebbe risultare comparabile col rumore di fondo intrinseco (misurabile ostruendo completamente la ricezionedella luce da parte del diaframma). D'altra parte se invece il diametro del diaframma fosse maggiore si avrebbe un segnale piùintenso ma si perderebbe in risoluzione angolare, compromettendo la possibilità di osservare strutture dettagliate nelle gure diinterferenza e dirazione.

2.2. ESPERIENZE DI INTERFERENZA E DIFFRAZIONE 47

Si noti che in quest’ultimo caso l’intensità in avanti (θ = 0) è maggiore rispetto al caso di una singola fenditura.Tenendo presente infatti il comportamento logaritmico dell’amplificatore, si ottiene un’intensità che è 42 volte quellatrasmessa dalla fenditura singola, a parità di intensità incidente per ciascuna fenditura.

2.2.2 L'esperienza con il reticolo di dirazione

In questa esperienza si studiano fenomeni di interferenza e diffrazione da sistemi a molte fenditure, comunementedenominati reticoli di diffrazione. L’apparato sperimentale è schematizzato in Fig.2.6 .

Figura 2.6: Schema dell'apparato sperimentale per l'uso di un reticolo di dirazione

Lo scopo dell’esperienza consiste nella misura delle lunghezze d’onda della luce emessa da una sorgente diCadmio (uno spettro a righe, con le righe più intense nel blu, azzurro, verde e rosso) noto il passo del reticolo.Quest’ultimo viene assunto essere pari a: d = (12.650 ± 0.05)µm corrispondente a ≈ 800 fenditure/cm e, dallarelazione (2.7) si ottiene la lunghezza d’onda noti gli angoli di deviazione ed il numero d’ordine. Il calcolo dell’erroresu λ fornisce:

δλ

λ=

√(δd

d)2 + (cotg(θm)δθm)2 (2.16)

con un errore decrescente al crescere dell’ordine di diffrazione.Tuttavia per numeri d’ordine crescenti l’intensità della luce diminuisce a causa del fattore di forma della diffrazione.

Per non ricorrere ad una media pesata si può però osservare che si può riscrivere la relazione fondamentale come

sin(θm) = mλ

d(2.7)

per la quale si ha una relazione lineare tra il seno dell’angolo e l’ordine di diffrazione, con pendenza pari alla lun-ghezza d’onda in unità del passo del reticolo. Questa procedura ha il vantaggio di pesare di più i punti più lontanidall’origine e di fornire contemporaneamente una stima corretta dell’errore casuale. Inoltre l’ipotesi di errore nullosull’ascissa, alla base della regressione lineare, in questo caso è rigorosamente verificata. Come in altre occasioni,essendo interessati alla pendenza, in linea di principio la regressione a due parametri è più corretta perché è esen-te dall’influenza di un eventuale errore sistematico di zero. Tuttavia la procedura sperimentale dovrebbe annullarel’errore di zero e quindi è utile confrontare anche i dati della regressione per l’origine.

Tra le sorgenti di errore sistematico menzioniamo:a) quello commesso sul passo del reticolo;b) l’errore di eccentricità. Il nonio è uno strumento che misura lunghezze; la conversione in angolo deriva dalla

presunta conoscenza del raggio. Se il nonio non è posto alla giusta distanza dall’asse di rotazione o se l’asse

48 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI OTTICA ONDULATORIA

n(λF ) n(λD) n(λC)Vetro int 1.632 1.620 1.613Quarzo 1.550 1.544 1.541Vetro crown 1.510 1.506 1.504

Tabella 2.1: Valori dell'indice di rifrazione

è eccentrico, la misura è influenzata da un errore sistematico dipendente dall’angolo tra la direzione di misura equella definita dall’ipotetico centro di rotazione e dal centro di rotazione reale. Con due nonii diametralmente oppostil’errore viene totalmente eliminato se si prende l’angolo pari alla media degli angoli misurati dai due nonii. Infatti, conriferimento alla figura 2.7, dove questo effetto è stato accentuato per maggiore chiarezza, si ha:

Figura 2.7:

θA =A

rθB =

B

r

θA =A

rA=

B

rB

θA + θB2

= θrA + rB

2= r

Questo motiva la presenza dei due noni e la necessità di mediare tra le due misure. Naturalmente l’erroredi eccentricità è tanto più evidente quanto maggiore è l’angolo di rotazione. Di conseguenza questo fatto deveessere tenuto presente in particolare quando si ruota il cannocchiale di 90 ed il reticolo di 45 per la procedura diortogonalizzazione del reticolo: la rotazione deve essere tale che l’angolo medio sia pari a quello voluto (90 o 45);

c) errore di ortogonalità del reticolo. Le formule di interferenza di N sorgenti (reticolo) e di diffrazione da unafenditura valgono nel caso di osservazione e incidenza in luce parallela (diffrazione di Fraunhofer) e per raggi incidentiperpendicolari al reticolo o alla fenditura. Una trattazione dettagliata si trova in Appendice

2.3 La dispersione

2.3.1 Il fenomeno della dispersione

La propagazione di onde elettromagnetiche in un mezzo materiale può essere descritta dalle equazioni diMaxwell considerando i fenomeni di polarizzabilità e magnetizzazione del mezzo. Un campo elettrico oscillantein un mezzo produce un momento di dipolo per unità di volume dovuto allo spostamento degli elettronirispetto ai centri di carica atomici. Tale eetto di polarizzazione modica le caratteristiche della radiazione,in particolare la velocità di fase. Se inoltre immaginiamo gli elettroni legati in sistemi armonici smorzaticaratterizzati da opportune pulsazioni caratteristiche ed eetti viscosi, la reazione alla sollecitazione delcampo elettrico oscillante risulterà dipendente dalla pulsazione della radiazione incidente. Il risultato è chela velocità di fase v(ω) viene modicata anche in funzione della pulsazione della radiazione.

La legge della dipendenza dell'indice di rifrazione dalla pulsazione ω ( o dalla lunghezza d'onda λ ) édi tipo fenomenologico e puó assumere forme diverse. Una di queste é la formula di Cauchy n(ω) =A+Bω2/(2πc) = A+B/λ2 dove λ rappresenta la lunghezza d'onda caratteristica della radiazione nel vuoto.

Un esempio della dipendenza dell'indice di rifrazione dalla lunghezza d'onda della radiazione è riportatoin Fig.2.8 ed in Tab.2.1 per le tre lunghezze d'onda caratteristiche corrispondenti alla riga F di emissionedell'idrogeno (Blu, λF = 486.1 nm), alla riga D del sodio (Giallo, λD = 589.3 nm) e alla riga C dell'idrogeno(Rosso, λC = 656.3 nm). Questi valori di lunghezze d'onda caratteristiche erano già stati presentati nelladiscussione dei fenomeni di aberrazione cromatica e del coeciente di dispersione per le lenti.

2.3. LA DISPERSIONE 49

Figura 2.8: dipendenza dell'indice di rifrazione dalla lunghezza d'onda

2.3.2 Il prisma

Uno dei dispositivi più semplici per osservare il fenomeno della dispersione della luce è il prisma. Una lastradi materiale trasparente è lavorata in modo che due facce piane formino tra loro un angolo α.

Figura 2.9: La dirazione in un prisma

La gura 2.9 illustra il comportamento di un raggio luminosotrasmesso da un prisma e soggetto alla legge della rifrazione:

sin(θi) = n sin(θ1) e sin(θe) = nsin(θ2)

dove θi e θe indicano gli angoli di incidenza del raggio en-trante ed uscente rispetto alle direzioni verticali alle faccedel prisma. Detto δ l'angolo di deviazione tra il raggio en-trante ed uscente, cerchiamo una relazione tra δ, l'indice dirifrazione n e gli altri angoli in gioco.

Valgono le relazioni seguenti:

θi + θe = α+ δ e α = θ1 + θ2

sin(α+ β

2) =

nsin(α2 )cos( θ1−θ22 )

cos( θi−θe2 )

L'espressione trovata risulta piuttosto complessa e la misura indiretta dell'indice di rifrazione n dallequantità angolari non è agevole. Tuttavia si possono individuare condizioni particolari in cui l'espressionerisulta semplicata. Si consideri ad esempio la condizione di emergenza normale, cioè di perpendicolarità trail raggio emergente e la faccia corrispondente del prisma. In tal caso θe = θ2 = 0 e quindi

n sin(α) = sin(δ + α)

La misura di n richiede in tal caso la misura dell'angolo di apertura α del prisma e dell'angolo di deviazioneδ, oltre ad un metodo che assicuri l'emergenza normale dei raggi e che verrà esposto in seguito.(v 2.4)

Un'altra condizione particolare è quella di minima deviazione dei raggi luminosi. In questo caso θi = θee θ1 = θ2 e quindi

n sin(α

2

)= sin

(α+ δmin

2

)(2.17)

50 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI OTTICA ONDULATORIA

In questa congurazione, la misura di n richiede dunque α e δmin oltre alla procedura per assicurare laminima deviazione dei raggi luminosi.a. Dispersione angolare

La dispersione angolare è denita come la variazione dell'angolo di emergenza al variare della lunghezzad'onda dδ

dλ ( eq. 2.14); dierenziando l'eq. 2.17 si ha:

dn

dδ=

√1− n2 sin2 α

2

2 sin α2

(2.18)

da cui

dn=

2 sin α2√

1− n2 sin2 α2

;

la dispersione angolare si può scrivere

dλ=dδ

dn

dn

dλ.

Per fare una valutazione di dn/dλ si può ricordare che ogni materiale possiede una propria dispersioneintrinseca n(λ) che può essere convenientemente approssimata con la formula 2

n = n0 +c

λ− λ0.

Pertanto

dn

dλ= − c

(λ− λ0)2

In conclusione

dλ= −

2 sin α2√

1− n2 sin2 α2

c

(λ− λ0)2; (2.19)

α è costante (normalmente α = 60) ed il primo termine dipende debolmente da n, e quindi si può considerarecostante. Ricordando che

dx

dλ= f

dλ,

dove f é la distanza focale della lente di camera. Per la dispersione lineare, dalla eq. 2.19, si ha

dx

dλ= − c1

(λ− λ0)2

da cui

x = x0 +c1

λ− λ0

e quindi, invertendo

λ = λ0 +c1

x− x0.

Tale formula connette la posizione della riga sul piano focale del sistema alla sua lunghezza d'onda (formuladi interpolazione di Hartmann); è corretta nel visibile all'ordine di qualche angstrom .

Per ssare dei valori numerici, consideriamo un prisma di vetro int normale le cui costanti nella formuladella dispersione intrinseca sono n0 = 1.62, c = 146.2 e λ0 = 2034 Å, un angolo del prisma α di 60 e luceincidente di lunghezza d'onda λ ' 5000 Å; in tali condizioni la dispersione angolare vale dδ

dλ ' 5 ·10−5 rad/ Å.

2Questa legge fenomenologica è usata in alternativa alla formula di Cauchy, perchè è applicabile ad un intervallo di lunghezzed'onda più ampio.

2.4. ESPERIENZE CON IL PRISMA 51

Figura 2.10:

b. Il potere risolutivo Il potere risolutivo è denito dall'eq2.15. Se la minima separazione angolare è dell'ordine di λ/dallora

dλ=

2sin(α2 )dndλcos(α+δ

2 )=L

d

dn

e quindi

R = L | dndλ|

2.4 Esperienze con il prisma

L’apparato per l’osservazione di fenomeni dispersivi con un prisma è lo stesso di quello usato per la misura dellelunghezze d’onda della luce con un reticolo di diffrazione. Esso è costituito da una base che sostiene la sorgenteluminosa ed un collimatore formato da una fenditura ad apertura variabile e da una lente acromatica ad un’estremità,tali da costruire un fascio di luce parallela. Un cannocchiale posto su di una piattaforma girevole rispetto alla basefissa è dotato di un oculare con un reticolo e fornisce un’immagine della fenditura con un ingrandimento dell’ordinedell’unità. La distanza focale del cannocchiale è di circa 20 cm.

Il prisma è posto su di una piattaforma girevole attorno allo stesso asse della piattaforma di sostegno delcannocchiale.

La misura dell’angolo α di apertura del prisma sfrutta la riflessione della luce sulle sue facce. Posto il cannoc-chiale a formare un angolo acuto rispetto alla direzione del fascio di luce prodotto dalla sorgente e collimato, si ruotala piattaforma di sostegno del prisma sino ad osservare l’immagine riflessa della fenditura del collimatore.

Misurata questa configurazione angolare della piattaforma girevole, la si ruota fino ad osservare nuovamentel’immagine della fenditura, questa volta prodotta dalla riflessione su un’altra faccia del prisma. La deviazione angolare∆θ tra le due configurazioni della piattaforma di sostegno è una misura dell’angolo di apertura tra le due facceutilizzate per osservare la riflessione dell’immagine della fenditura: ∆θ = π − α.

La misura dell’angolo di deviazione minima avviene cercando inizialmente attraverso l’oculare del cannocchiale ilraggio rifratto dal prisma. A questo punto si insegue il raggio sempre verso la direzione del fascio di luce incidentecon il cannocchiale ruotando nello stesso verso la piattaforma di sostegno del prisma. La configurazione in cuil’immagine inverte il senso del suo spostamento, corrisponde alla configurazione di minima deviazione. L’angolo δmindi deviazione minima corrisponde all’apertura angolare della posizione del cannocchiale in questa configurazionerispetto alla direzione osservabile del fascio indeflesso.

La condizione di emergenza normale dei raggi luminosi rispetto alla faccia del prisma si può determinare os-servando attraverso il cannocchiale oltre all’immagine rifratta della fenditura anche l’immagine del reticolo postosull’oculare, riflessa dalla faccia di uscita del prisma.

2.5 Potere rotatorio ottico di un mezzo birifrangente

In questa esperienza si utilizza il banco ottico già utilizzato per le esperienze di ottica geometrica per misurare ilpotere rotatorio ottico di un mezzo birifrangente, immerso in un campo magnetico (effetto Faraday). Uno schemadell’apparato sperimentale è riportato in Fig. 2.11

A valle della lampada si pone un doppietto acromatico per generare un fascio parallelo di luce, seguito da unpolaroid che trasmette luce polarizzata linearmente. Il fascio di luce viene poi fatto passare attraverso il mezzobirifrangente, costituito da un cilindro di vetro all’Itterbio lungo 11 cm. Tale mezzo si trova all’interno di un solenoidecon il quale è possibile generare un campo magnetico. Il solenoide è composto da 3660 spire ed è lungo 18 cm.

A ridosso del tubo si trova l’analizzatore, un altro polaroid situato su un supporto che può ruotare di 360. Infine èpresente il fotorivelatore già utilizzato per le esperienze sulla diffrazione e l’interferenza, ma in questo caso si utilizzaun amplificatore lineare. Lo scopo dell’esperienza è di studiare la dipendenza del potere rotatorio ottico da variparametri come il campo megnetico B e la lunghezza d’onda della luce. La legge di Malus esprime la dipendenzadell’intensità della luce trasmessa in funzione dell’angolo tra gli assi di due polaroid:

52 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI OTTICA ONDULATORIA

Figura 2.11: schema dell'apparato sperimentale per la misura del potere rotatorio di una soluzione

I =I02cos2(θ) (2.20)

Figura 2.12:

Attraversando una sostanza otticamen-te attiva la curva di Malus viene modificatasia attraverso l’inevitabile attenuazione del-l’intensità luminosa, sia attraverso uno sfa-samento ∆φ da aggiungere all’argomentodella eq. 2.20. Se analizziamo la rispostadel fotorivelatore senza e con campo ma-gnetico si registrerà pertanto una traslazio-ne delle curve proporzionali alla rotazionedel piano ottico.

Si può verificare che lo sfasamento in-dotto dal campo magnetico B è diretta-mente proporzionale al campo stesso e allalunghezza L del mezzo. .

Si può pertanto ottenere la costante diproporzionalità, detta potere rotatorio otticospecifico, attraverso lo studio della legge:

∆φ = CV B Lcon CV potere rotatorio specifico,3 di-

pendente dalla sostanza e, a parità di es-sa, dalla lunghezza d’onda della luce. Lapresenza di tre filtri consente di studiare ladipendenza di ∆φ dalla lunghezza d’ondadella luce incidente.

3 CV è anche nota come costante di Verdet

2.5. POTERE ROTATORIO OTTICO DI UN MEZZO BIRIFRANGENTE 53

Appendice

Se l'incidenza non è perpendicolare, gli angoli di dirazione, rispetto alla normale, a destra e a sinistra nonsono simmetrici (vedi gura 2.13 ).

Figura 2.13: Il reticolo non è ortogonale rispetto all'asse ottico

Qui gli angoli sono considerati positivi a destra (ordini di dirazione positivi) negativi a sinistra. Se la luceincidente forma l'angolo i con la normale, la condizione di interferenza costruttiva (dirazione distruttiva)si ottiene:

d sin(i) + d sin(θn) = n λ

sin(θn) = nλ

d− sin(i)

che rompe la simmetria destra-sinistra. Difatti:

sin(θ+) = n+ λ

d− sin(i)

sin(θ−) = n−λ

d− sin(i) = −n+ λ

d− sin(i)

Applicando le formule di prostaferesi e definendo

(θ+ + θ−)

2=

(θ+ − |θ−|)2

= ∆θ

(θ+ + θ−)

2=

(θ+ − |θ−|)2

=< θ >

per angoli di incidenza i piccoli l’angolo medio è relativamente piccolo per cui:

−2sin(i) = 2sin((θ+ + θ−)

2) cos(

(θ+ + θ−)

2) = 2sin(∆θ)cos(< θ >)≈2sin(∆θ)

∆θ ≈ −i

L'asimmetria rispetto alla normale è quindi circa pari a −i. Però è ovvio che essa sia molto minore rispettoalla direzione dei raggi non deviati. Questo è un punto rilevante perché sperimentalmente si può facilmentemisurare la direzione dei raggi non deviati (massimo centrale) e non la direzione della normale. Il massimocentrale (n = 0) si ha infatti per

d sin(i) + d sin(θ0) = 0, θ0 = −i

54 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI OTTICA ONDULATORIA

che corrisponde alla direzione del fascio di luce incidente. Misurando gli angoli dei vari ordini di diffrazione rispettoa questa direzione, si ha

θ±m = θ± − θ0 = θ± + i

Sostituendo nella relativa espressione per i seni e sommando si ha:

2sin(i) + sin(θ+m − i) + sin(θ−m − i) = 0

e nell'approssimazione sin(x) ≈ x si ha anche θ+m ≈ −θ−m . Questo dimostra che l'asimmetria è fortemente

ridotta, ma non eliminata se non nell'approssimazione di piccoli angoli.Viceversa, utilizzando le formule precedenti, si ottiene:

sin(θ+m − i)− sin(θ−m − i) = 2n+ λ

d= 2cos(∆θm − i)sin(< θm >)

d= sin(< θm >)[cos∆θmcos(i) + sin(∆θm)sin(i)] = Csin(< θm >)

Si vede quindi che:a) è importante una procedura di ortogonalizzazione del reticolo per rendere l'angolo i il più piccolo

possibile, e tutte le approssimazioni precedenti più accurate;b) considerare l'angolo medio destro o sinistro fornisce la grandezza desiderata nλd a meno del fattore

correttivo C.

Per chiarire l'importanza di questo punto facciamo un esempio numerico. Consideriamo λ = 0.5 µm,d = 10 µm, n = 4, nλ/d = 0.2. Sia inoltre i = 5.74 in modo tale che sin(i) = 0.1. In queste condizioni si ha

sin(θ+) = 0.1; θ+ = 5.74, sinθ− = −0.3; θ− = −17.46

< θ >= 11.60; ∆θ = −5.86

Si vede che l’asimmetria rispetto al massimo centrale è di soli 12 centesimi di grado. Infatti si ha anche

θ+m = 11.48; θ−m = −11.72; < θm >= 11.60; ∆θm = −0.12

Tutto ciò potrebbe sembrare soddisfacente se non fosse che il calcolo del coeciente correttivo C fornisce

sin(< θm >) = 1.0048 nλ

d

e quindi un errore relativo nella determinazione della quantità di interesse di quasi il 5 per mille, inac-cettabile per una misura ad alta precisione come quella che si vuole eseguire. Fortunatamente l'errore diortogonalità scelto come esempio è enorme, ad occhio si può posizionare il reticolo ortogonale entro 1 o 2gradi. Nonostante ciò, ad esempio per un angolo i = 1.15, sin(i) = 0.02, si ottiene un'asimmetria di soli2 centesimi di grado, ma un coeciente C che dierisce dall'unità di 1.9 · 10−4, cioè si commette ancora unerrore relativo della stessa entità. È ovvio che l'incertezza nell'ortogonalità del reticolo o della fenditura deveessere attentamente valutata nell'assegnare il valore nale dell'errore sulla lunghezza d'onda.

INDICE ANALITICO 55

Indice Analitico

aberrazionecromatica, 22sferica, 21

coefficiente, 21asse ottico, 17

banco ottico, 11

cavaliereportalenterna, 13portalenti, 13portaschermo, 14posizionatore, 12

condizioni parassiali, 17, 20

distanza focaleimmagine, 17oggetto, 18

equazionelenti sottili, 18

ingrandimentotrasversale, 18

lente, 18astigmatica, 21centro di una, 18

mascherine, 12

pianifocali, 18principali, 18, 19

potere diottrico, 18potere dispersivo, 22

raggimarginali, 14parassiali, 14

spazioimmagini, 17oggetti, 17

56 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI OTTICA ONDULATORIA

Indice variabili

Fm

fuoco raggi marginali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21F p

fuoco raggi parassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21F0

punto immagine infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18f0

distanza focale lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Fi

punto focale immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17fi

distanza focale immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17c

coefficiente di aberrazione sferica . . . . . . . . . . . .21D

potere diottrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18f

distanza focale lente sottile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18l

aberrazione sferica longitudinale . . . . . . . . . . . . . 21m

ingrandimento trasversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18n

indice rifrazione lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18p

distanza oggetto lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 20q

distanza immagine lente . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 21R

distanza raggi matginali dall’asse ottico . . . . . . 21r

raggio diottro lato oggetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20r’

raggio diottro lato immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . 20s

distanza vertici lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18t

diametro aberrazione di sfericitá . . . . . . . . . . . . . 21V

vertice calotta sferiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17