Laboratorio di Fisica I A.A. 2018/2019 13/12/2018 Esperienza N.3 Misura del periodo di oscillazione e della costante elastica della molla di un oscillatore armonico semplice Gruppo n.2 Bozzotta Riccardo Di Paola Guido Greco Federico Marino Francesco Pennino Pietro Sacco Giuseppe

Introduzione

L’esperienza effettuata in laboratorio è finalizzata alla stima del periodo di oscillazione di un

sistema massa-molla e, con i valori ottenuti, si procede alla misura della costante elastica della

molla utilizzata.

Strumentazione

● Molla (con rispettivo supporto fisso);

● Campioni di massa;

● Cronometro digitale (il cui errore strumentale è di r=0.01s).

Premessa teorica

In questa esperienza, per piccoli intervalli di tempo come quelli da noi considerati, è possibile

trascurare l’attrito dell’aria sul sistema massa-molla, di conseguenza l’equazione differenziale (1.0)

descrive il moto del sistema massa-molla soggetto all’accelerazione di gravità.

(1.0)

dove x rappresenta la deformazione della molla dalla posizione di riposo.

Sostituendo a

(1.1), x’ rappresenterà la distanza della massa dalla posizione di

equilibrio ottenuta dopo aver appeso un peso di valore mg.

Poiché il termine

è costante rispetto a t, derivando l’equazione (1.1) si ottiene .

Da quest’ultima relazione si nota come l’accelerazione del sistema non dipenda dalla posizione di

equilibrio; in particolare, sostituendo la relazione 1.1 nell’equazione 1.0 si ha

(1.3)

Se si considerano il primo e l’ultimo membro dell’equazione, la 1.3 rappresenta l’equazione del

moto di un oscillatore armonico di pulsazione:

√

(1.4)

in particolare, dalla stessa relazione è possibile notare come il valore di ω e quindi di T non

dipenda dall accelerazione di gravità.

Procedimento

L’esperienza si articola in due parti.

Prima Parte

Nella prima sono state effettuate le misurazioni del tempo impiegato dal sistema a compiere 10

oscillazioni1, queste sono state ordinate in 6 set (uno per ogni operatore) da 20 misurazioni l’una

per un totale di 120 valori (vedi tabella 1).

È consigliabile acquisire più misure possibili per il periodo di oscillazione, volte a minimizzare

l’impatto dell’errore casuale rappresentato dalla deviazione standard; si nota infatti dall’equazione

(2.1) come il suo valora decresca all’aumentare di N (numero di misurazioni).

√∑

(2.1)

Dove con si intende il valore medio:

∑

(2.2)

Ogni set di misurazioni è stato ordinato in un istogramma, con intervalli = 0.05 s (l’intervallo è

stato scelto in modo da ottenere dei grafici il più significativi possibile e per ottenere almeno

quattro intervalli, i quali devono avere ampiezza di almeno il doppio dell’errore strumentale); si è

proceduto quindi al calcolo dei valori medi e delle rispettive deviazioni standard dei singoli set

(riportate in seguito insieme alla rispettiva rappresentazione grafica).

Ogni istogramma è normalizzato (l’area sottesa è uguale a 1), dunque l’altezza di ogni intervallo è

data dalla densità di frequenza fi, la quale si ricava come segue:

(2.3)

nella quale Fi è la frequenza relativa di occorrenza, mentre ni è la frequenza assoluta di occorrenza.

1 È conveniente misurare il periodo di dieci oscillazioni perché misurando una sola oscillazione l’errore

relativo percentuale strumentale sarebbe stato troppo elevato. L’errore assoluto sul periodo della singola

oscillazione è :

.

asus

Nota

Anche le scale dell'ordinata devono essere uguali!

Successivamente è stato calcolato il valore medio e la deviazione standard di tutte le misurazioni e

riportate in un istogramma complessivo.

Consideriamo come valore migliore del periodo, relativo a dieci oscillazioni, la media di tutte le

misurazioni, per cui dividendo per il numero di oscillazioni otteniamo il valore migliore relativo a

un’oscillazione. L’errore assoluto della misura su dieci oscillazioni è pari alla somma dell’errore

strumentale con l’errore statistico (la deviazione standard della media):

. (2.4)

dove:

√

(2.5)

Dalla (2.3) e dalla (2.4) ricaviamo l’errore assoluto sul periodo di una singola oscillazione come

segue:

(2.6)

e inoltre :

T10 analitico (s) T10 analitico T10 grafico (s) T10 grafico N

Set1 4.97 0.06 4.97 0.05 20

Set2 5.00 0.08 5.00 0.12 20

Set3 4.97 0.04 4.97 0.03 20

Set4 5.00 0.06 4.99 0.07 20

Set5 5.00 0.10 5.03 0.15 20

Set6 4.96 0.07 4.96 0.10 20

complessivo 4.98 0.07 4.98 0.05 120

Tabella 1

Conclusioni

I valori ottenuti analiticamente e graficamente risultano confrontabili.

Inoltre, per quanto riguarda il periodo di una singola oscillazione:

. .

Seconda Parte

La seconda parte dell’esperienza è mirata alla misurazione della costante elastica della molla. Per

fare ciò sono state effettuate più misurazioni del periodo in funzione dei campioni di massa, le

misurazioni sono state prese 20 volte per campione, per i medesimi motivi esposti nella prima

parte.

Una volta terminate le misurazioni dei periodi, usiamo come valore best del periodo T da associare

ad ogni campione di massa, la media delle 20 misure divisa per 10, e come corrispondente errore

assoluto:

(3.1)

30g 40g 50g 60g 70g 80g

T10

(s) 4.98 5.71 6.37 7.01 7.56 8.08

T10 0.07 0.03 0.02 0.04 0.07 0.04

T (S)

0.4980 0.5710 0.6370 0.7010 0.756 0.808

δT

(s) 0.0016 0.0017 0.0014 0.0019 0.003 0.0019

0.0032 0.0030 0.0022 0.0027 0.004 0.0023

(rad/s)

12.62 11.00 9.86 8.96 8.31 7.776

rad/s

0.04 0.03 0.02 0.02 0.03 0.018

Z

0.00628 0.00826

0.01030

0.01240

0.01450

0.01650

0.00642 0.00596 0.0044 0.00542 0.00794 0.0047

z

0.00004

0.00005

0.00004

0.00007

0.00011

0.00008

Tabella 2

Dopo la raccolta dei dati si è proceduto ad organizzarli in un grafico che rappresenta la frequenza

d’oscillazione in funzione della massa. Notando che la dipendenza funzionale fra le due grandezze

non fosse lineare, si è proceduto alla linearizzazione del grafico; in particolare, ricordando

l’equazione 1.4, ci si aspetta una relazione di potenza.

A tal proposito è quindi opportuno utilizzare una scala logaritmica (log-log), ci si aspetta che la

retta così ottenuta soddisfi la relazione:

(3.2)

Dove

, , √

In quanto, in virtù della 1.4, calcolando il logaritmo di entrambi i membri, otteniamo la 3.2 nella

forma

√

(3.3)

Dalla quale si nota che il coefficiente angolare della retta rappresenta l’esponente della massa m

nella relazione funzionale 1.4.

Sono state quindi rappresentate le rette di massima e minima pendenza e calcolati i coefficienti

angolari2 per stimarne il valore best (che d’ora in poi indicheremo con a).

2 I coefficienti angolari delle rette di massima e minima pendenza sono stati calcolati in riferimento ai punti riportati in

grafico attraverso la relazione

.

Facendo la semisomma dei coefficienti angolari delle rette di massima e minima pendenza,

otteniamo la miglior stima della pendenza della funzione .

Come errore assoluto assumiamo la semidispersione fra i coefficienti delle rette considerate.

In definitiva, si ottiene . . , valore in perfetto accordo con i risultati attesi dalla

relazione 1.4.

Inoltre rappresentiamo le rette di massima e minima intercetta nel grafico , poiché ponendo

m=100g si ha √

, e calcolando le ordinate delle rette di massima e minima intercetta per

m=100g e facendone la semisomma otteniamo il valore migliore di √

dal quale si ricava k; facendo

invece la semidispersione si ottiene l’errore assoluto di √

e in virtù delle regole di propagazione

degli errori si ha l’errore di k: √ (3.4).

3 [questa è una nota]

Invece, elevando al quadrato l’equazione 1.4, si può esplicitare la massa in funzione del periodo,

ottenendo:

(3.5)

Ponendo

, si ottiene l’equazione della retta ; rappresentando quindi il grafico della

funzione m(z), si ricava k come il suo coefficiente angolare. Si tracciano quindi le rette di massima

e minima pendenza e con la semisomma dei relativi coefficienti angolari si ricava il valore migliore

di k, a cui si associa come errore assoluto la loro semidispersione.

Inoltre, nella realizzazione di quest’ultimo grafico, non si impone il passaggio per l’origine poiché,

sebbene, in questo particolare caso, questa sia trascurabile (la molla utilizzata per l’esperienza

aveva una massa minore dei 3 grammi), la massa della molla influenza la pulsazione e dunque la

relazione che lega ω a k. Infatti, sebbene questo non influenzi i fini dell’esperienza, si ha:

3- Per la realizzazione di questo grafico sono state utilizzate meno di due decadi poiché altrimenti una buona parte del

grafico sarebbe stata vuota.

√

(3.6)

nella quale m0 indica la massa della molla.

Dal quale grafico . . .

Conclusioni

Per facilitare il confronto tra i due procedimenti per la stima di k, vengono riportate di seguito in

una tabella i risultati ottenuti con entrambi i metodi.

Kbest (N/m) Deltak (N/m) log-log 4.84 0.06

linearizzazione 4.88 0.14

Tabella 3

Si nota che la discrepanza tra i due valori risulti non significativa e che i due metodi siano

equivalenti.