La Torre di Hanoi fine. Il gioco della Torre di Hanoi fu inventato dal matematico francese Eduard...

La Torre di

Hanoi

fine

Il gioco della Torre di Hanoi fu inventato dal

matematico francese Eduard Lucas nel

1883, inizialmente con una torre di otto

dischi

fine

Il problema della Torre di Hanoi deriva da

una antica leggenda indiana che recita così:

«nel grande tempio di Brahma a Benares, su

di un piatto di ottone, sotto la cupola che

segna il centro del mondo, si trovano 64

dischi d'oro puro che i monaci spostano uno

alla volta infilandoli in un ago di diamanti,

seguendo l'immutabile legge di Brahma:

nessun disco può essere posato su un altro

più piccolo.

fine

All'inizio del mondo tutti i 64 dischi erano

infilati in un ago e formavano la Torre di

Brahma. Il processo di spostamento dei

dischi da un ago all'altro è tuttora in corso.

Quando l'ultimo disco sarà finalmente

piazzato a formare di nuovo la Torre di

Brahma in un ago diverso, allora arriverà la

fine del mondo e tutto si trasformerà in

polvere».

fine

fine

Costruiamo il gioco

Preparazione: infilare i dischi in un piolo, in ordine decrescente di diametro

Obiettivo: Spostare l’intera torre da un piolo ad un altro nel minor numero di mosse

Materiale: 3 pioli, una tavoletta di legno in cui inserire i pioli, dischi forati al centro di diametro diverso.

fine

Regole:• Spostare un disco alla volta, da un piolo ad un altro

• Non sovrapporre mai un disco ad uno di diametro minore

Giochiamo

fine

Qual é il numero minimo di mosse per spostare la Torre?

Facendo una mossa al secondo, quanto

tempo almeno sarebbe necessario

per ricostruire la Torre di Brahma, con 64 dischi?

fine

Contatore mosse

Contatore mosse

Con 1 disco

Iniziamo con qualche disco

numero minimo di mosse?

fine

OK

Contatore mosse

Contatore mosse 1

numero mosse:

M1=1


Con 1 disco

fine

Contatore mosse

Contatore mosse

numero mosse:

M2=?


Con 2 dischi


fine

Contatore mosse

Contatore mosse 1


Con 2 dischi


fine

Contatore mosse

Contatore mosse 2


Con 2 dischi


fine

OK

Contatore mosse

Contatore mosse 3


Con 2 dischi

fine

OK

Contatore mosse

Contatore mosse 3

numero mosse:

M2=3


Con 2 dischi

fine

Contatore mosse

Contatore mosse

numero mosse:

M3=?


Con 3 dischi


fine

Contatore mosse

Contatore mosse 1


Con 3 dischi


fine


Contatore mosse

Contatore mosse 2


Con 3 dischi

fine


Contatore mosse

Contatore mosse 3

Con 3 dischi

abbiamo effettuato 3

mosse

fine


Contatore mosse

Contatore mosse 4

Con 3 dischi

abbiamo effettuato 4

mosse

fine


Contatore mosse

Contatore mosse 4

Con 3 dischi

Ah, a destra abbiamo una torre di 2 dischi, quindi

M3 = M2 +1+ le mosse per spostare la torre di 2 dischi

numero mosse:3+1+3?

7 mosse?

fine


Contatore mosse

Contatore mosse 5

Con 3 dischi

continuiamo

fine


Contatore mosse

Contatore mosse 6

Con 3 dischi

continuiamo

fine


Contatore mosse

Contatore mosse 7

Con 3 dischi

OK

fine


Contatore mosse

Contatore mosse 7

numero mosse:

M3=7

Con 3 dischi

OK

fine

Continuiamo con 4 dischi

Contatore mosse

Contatore mosse

numero mosse:

M4=?

Con 4 dischi


fine


Contatore mosse

Contatore mosse 1

Con 4 dischi


fine


Contatore mosse

Contatore mosse 2

Con 4 dischi


fine


Contatore mosse

Contatore mosse 3

Con 4 dischi


fine


Contatore mosse

Contatore mosse 4

Con 4 dischi


fine


Contatore mosse

Contatore mosse 5

Con 4 dischi


fine


Contatore mosse

Contatore mosse 6

Con 4 dischi


fine


Contatore mosse

Contatore mosse 7

Con 4 dischi

Ah, al centro abbiamo una torre di 3 dischi, quindi

M4 = M3 +?

Finora abbiamo

effettuato 7 mosse

fine


Contatore mosse

Contatore mosse 8

Con 4 dischi


M4 = M3 +1+?

fine


Contatore mosse

Contatore mosse 8

Con 4 dischi


M4 = M3 +1+ le mosse per spostare

la torre centrale

Il numero di mosse è

7+1+7? 15 mosse?

fine


Contatore mosse

Contatore mosse 9

Con 4 dischi

continuiamo

fine


Contatore mosse

Contatore mosse 10

Con 4 dischi

continuiamo

fine


Contatore mosse

Contatore mosse 11

Con 4 dischi

continuiamo

fine


Contatore mosse

Contatore mosse 12

Con 4 dischi

continuiamo

fine


Contatore mosse

Contatore mosse 13

Con 4 dischi

continuiamo

fine


Contatore mosse

Contatore mosse 14

Con 4 dischi

continuiamo

fine


Contatore mosse

Contatore mosse 15

Con 4 dischi

OK

numero mosse:

M4=?

fine


Contatore mosse

Contatore mosse 15

Con 4 dischi

OK

numero mosse:

M4=15

fine

Riassumiamo …

15

4

7

3

3

2

1

1

?

5

?

n

fine

… confrontiamo il numero di mosse con le

potenze di 2 …

15731 ?

4321 5dischi

mosse

Potenze di 2

2 4 8 16 32

2 22 23 24 25

fine

… confrontiamo il numero di mosse con le

potenze di 2 …

15731 ?

4321 5

2 4 8 16 32

2 22 23 24 25

Ah! Il numero di mosse è

una potenza di 2 meno

uno

Eh, sì. E l’esponente della potenza é il numero

di dischi della torre

fine

Congettura:Per spostare una torre di D dischi, sono

necessarie almeno M = 2D - 1 mosse

15731 ?

4321 5

2-1 22 -1 23 -1 24 -1 25 -1

D

2D - 1

fine

Peano ci aiuta con ilPrincipio (o Metodo) di Induzione

Matematica(Assioma dell’Induzione)

Il metodo si compone di due passi:1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di solito, si prova per D = 0 o D = 1)2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1

L’assioma afferma che:Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ).

fine

Applico nel nostro caso ilPrincipio (o Metodo) di Induzione

Matematica1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 1 (la prima torre che abbiamo costruito): il numero di mosse dato dalla formula é

21 - 1 = 1 OK

fine

2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1.

fine

2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1.Cioé, dimostro chese una torre di d dischi si sposta in 2d-1 mosse,allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2d+1-1 mosse

fine2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1.Cioé, dimostro chese una torre di d dischi si sposta in 2d-1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2d+1-1 mosse

2d - 1 mosse


Aggiungiamo un disco. Quante mosse?


Aggiungiamo un disco. Quante mosse?Quelle per spostare la torre di d dischi, cioé 2d-1


Aggiungiamo un disco. Quante mosse?Quelle per spostare la torre di d dischi, cioé 2d-1 + 1 per l’ultimo disco


Aggiungiamo un disco. Quante mosse?Quelle per spostare la torre di d dischi, cioé 2d-1 + 1 + le mosse per spostare di nuovo la torre di d dischi


Aggiungiamo un disco. Quante mosse?Quelle per spostare la torre di d dischi, cioé 2d-1 + 1 + le mosse per spostare di nuovo la torre di d dischi, cioè2d-1 + 1 + 2d-1.

fineAggiungiamo un disco. Quante mosse?Quelle per spostare la torre di d dischi, cioé 2d-1 + 1 + le mosse per spostare di nuovo la torre di d dischi, cioè2d-1 + 1 + 2d-1 = 2* 2d -1 =

2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1.Cioé, dimostro chese una torre di d dischi si sposta in 2d-1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2d+1-1 mosse

fineAggiungiamo un disco. Quante mosse?Quelle per spostare la torre di d dischi, cioé 2d-1 + 1 + le mosse per spostare di nuovo la torre di d dischi, cioè2d-1 + 1 + 2d-1 = 2* 2d -1 =2d+1 -1

Fatto!La proprietà vale per ogni

D !!!

2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1.Cioé, dimostro chese una torre di d dischi si sposta in 2d-1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2d+1-1 mosse

fine

E cioè ….(clicca qui)

Il numero di mosse é pari a

264-1, cioé ci vogliono 264-1 secondi per

spostare tutta la Torre

Facendo una mossa al secondo, quanto tempo

almeno sarebbe necessario per

ricostruire la Torre di Brahma, con 64 dischi?

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