Ottonello Andrea, Minola Davide e Zunino Gabriele Classe 3^C

LA SPIRALE LOGARITMICA

Spaccato di una conchiglia di un Nautilus con le cavità disposte approssimativamente secondo una spirale logaritmica. Una spirale logaritmica, spirale equiangolare o spirale di crescita è un tipo particolare di spirale che si ritrova spesso in natura. La spirale logaritmica è stata descritta la prima volta da Descartes e successivamente indagata estesamente da Jakob Bernoulli, che la definì Spira mirabilis, "la spirale meravigliosa".

DEFINIZIONE

Una spirale è una curva che si avvolge attorno a un determinato punto centrale o asse, avvicinandosi o allontanandosi progressivamente, a seconda di come un punto si muove; pertanto, non ha un punto di inizio, ma prosegue infinitamente sia verso l’interno che verso l’esterno, mantenendo la sua forma al variare della scala di osservazione. In particolare, la spirale logaritmica, o equiangolare, fu studiata da Renato Cartesio nel 1638 e può essere distinta da un'altra ben nota spirale, quella di Archimede, per il fatto che le distanze fra i bracci di una spirale logaritmica aumentano secondo una progressione geometrica, mentre in quella archimedea le distanze sono uguali.  Verso la fine del 1600, il matematico Jackob Bernoulli scoprí molte proprietà della spirale logaritmica. Una spirale logaritmica si può ottenere considerando una semiretta che ruota uniformemente intorno ad un suo estremo e un punto che si muove lungo questa semiretta con una velocità che aumenta man mano che il punto si allontana dall’estremo fissato. La curva tracciata dal

punto in movimento è, appunto, una spirale logaritmica.

L'equazione della curva, in coordinate polari (r, θ), può essere scritta come:

r = ρkθ

in cui  k è una costante reale e  ρ una costante reale e positiva. Poiché θ può essere ricavato dalla relazione precedente tramite

l'applicazione dei logaritmi, è nato il termine "spirale logaritmica".

Abbazia benedettina di Melk: scala a chiocciola a forma di spirale

logaritmica

Se k>0 la spirale si avvolge intorno al punto centrale in senso antiorario:

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6

x

y

Se k=0 la spirale degenera in una circonferenza:y

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-3,6 -2,6 -1,6 -0,6 0,4 1,4 2,4 3,4

x

y

Se k<0 la spirale si avvolge intorno al punto centrale in senso orario:y

-12

-7

-2

3

8

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

x

y

LA SPIRALE E FIBONACCI

La spirale logaritmica può essere realizzata anche utilizzando i numeri di Fibonacci:

Ogni numero della sequenza è la somma dei due numeri precedenti. Esempio: 3+5=8; 13+21=34; 55+89=144; ecc...

 

Consideriamo ora un rettangolo ABCD con i lati in rapporto aureo AD/AB = 1,618... Se al suo interno tracciamo il quadrato di lato CD, il rettangolo restante avrà i lati in rapporto aureo AB/AE = 1,618...

Se ripetiamo questa operazione infinite volte, otterremo sempre dei rettangoli con i lati in rapporto aureo tra loro. Dopo le precedenti osservazioni, mostriamo che si può disegnare una spirale logaritmica, utilizzando i numeri di Fibonacci:

Consideriamo un quadrato ABCD di lato AB=1.                                 Costruiamo sul lato AB=1 il quadrato ABEF e, centrando in A, tracciamo l’arco di circonferenza BF.         

Sul lato FD=DA+AF=1+1=2 costruiamo il quadrato FGHD e, centrando in D, tracciamo l’arco di circonferenza FH.

Sul lato CH=CD+DH=1+2=3 costruiamo il quadrato CHIL e, centrando in C, tracciamo l’arco di circonferenza HL.

Sul lato EL=EC+CL=2+3=5 costruiamo il quadrato ELMN, centrando in E, tracciamo l’arco di circonferenza LN.

Sul lato GN=GE+EN=3+5=8 costruiamo il quadrato GNOP e, centrando in G, tracciamo l’arco di circonferenza PN.

Sul lato PI=PG+GI=5+8=13 costruiamo il quadrato PQRI e, centrando in H, tracciamo l’arco di circonferenza RP.

Il procedimento precedente può essere iterato e la spirale prosegue all'infinito.

RETTANGOLO AUREO

Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla sezione aurea. Il suo nome è rettangolo aureo. Per costruire il rettangolo aureo si disegni un quadrato di lato a, i cui vertici chiameremo, a partire dal vertice in alto a sinistra e procedendo in

A EA’

D F

B

senso orario, AEFD. Quindi dividere il segmento AE in due chiamando il punto medio A'. Utilizzando il compasso e puntando in A' disegnare un arco che da F intersechi il prolungamento del segmento AE in B. Con una squadra disegnare il segmento BC perpendicolare ad AB. Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel quale AB è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea:

AE:AB=EB:AE

TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 72°, 72°, 36°.

Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 72° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 36°, la bisettrice di un angolo alla base divide il lato obliquo opposto nel punto d’intersezione in due segmenti in modo tale da creare una sezione aurea. Infatti, il triangolo ABC è simile al triangolo BCD. E da questo risulta che:

AC:BC=BD:DC

e dunque:

AC:AD=AD:DC

 TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 36°, 36°, 108°.

Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 36° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 108°, il lato obliquo e la differenza tra la base e il lato obliquo danno vita a una sezione aurea. Infatti, il triangolo CDE è simile al triangolo ABD della figura precedente.

SPIRALE AUREA

Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch’esso un rettangolo aureo. Si ripeta l’operazione per almeno cinque volte al fine di avere un effetto visivo adeguato. Si punti la punta del compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato lungo del rettangolo e si tracci l’arco che unisce gli estremi dei due lati che formano l'angolo scelto. Si ripete l'operazione per ogni quadrato disegnato in modo da creare una linea continua.

 

PENTAGONO E TRIANGOLI IN ESSO CONTENUTI

La sezione aurea fu studiata dai Pitagorici i quali scoprirono che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza di

raggio r è la sezione aurea del raggio e costruirono anche il pentagono regolare intrecciato o stellato, o stella a 5 punte che i Pitagorici chiamarono pentagramma o pentalfa o pentacolo. Essi lo considerarono simbolo dell’armonia ed assunsero come loro segno di riconoscimento, ottenuto dal decagono regolare congiungendo un vertice si e uno no. A questa figura è stata attribuita per millenni à un’importanza misteriosa probabilmente per la sua proprietà di generare la sezione aurea, da cui è nata. Infatti, i suoi lati si intersecano sempre secondo la sezione aurea.

All’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il segmento che unisce due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°, con le proprietà spiegate in precedenza. Ogni lato forma, con il punto d’incontro di due diagonali consecutive, un triangolo dagli angoli 36°, 36°, 108°, con le proprietà descritte in precedenza. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua diagonale e il punto d'intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in due segmenti che stanno nel rapporto aureo.

COME SI REALIZZA IL PENTAGONO STELLATO 

 

Si disegna tracciando tutte le diagonali possibili di un pentagono regolare fino ad ottenere una stella a 5 punte.  Questa figura, come vedremo, possiede numerose proprietà, la più interessante delle quali è costituita dal fatto che la figura che si ottiene all'interno della stella è un secondo pentagono che a sua volta può contenere un'altra stella e così via, tracciando stelle e pentagoni sempre più piccoli. Dopo il punto, che può essere infinitamente piccolo (adimensionale) e la retta, monodimensionale, che può continuare ad essere tracciata all'infinito, il pentagramma può essere ritenuto come figura bidimensionale che può essere rappresentata con una progressione infinita. Misurando i segmenti che si ottengono dall'intersezione reciproca delle diagonali, si determina che l'intera diagonale sta alla parte maggiore come la stessa parte maggiore sta alla parte minore.  La parte maggiore è quindi la "sezione aurea" del segmento che costituisce la diagonale intera, in un rapporto che è f= 1,618.. (numero d'oro).

 

 

Come si può notare dalla figura a lato:

-- Il triangolo isoscele, formato dalle diagonali coincidenti, è un triangolo aureo, dove la bisettrice dell'angolo di base divide il lato opposto in parti auree.  -- La base del triangolo BED corrisponde al lato del pentagono ed è uguale alla lunghezza della parte maggiore della diagonale sezionata (AR). -- E' aureo anche il rapporto tra i segmenti F = LH/ BL = 1,618.

 S, possiamo individuare ben 20 triangoli aurei, di 4 dimensioni diverse:- 5 triangoli EBD- 5 triangoli TBR- 5 triangoli FBG- 5 triangoli ABFIn ognuno di questi triangoli possiamo tracciare la bisettrice di un angolo di base. Bisecando l'angolo in R del triangolo TBR e per tutti e 5 i triangoli, si ottiene la girandola della figura 4.

 

 

 

- Il rapporto tra l'area del Cerchio più grande, circoscritto al pentagono grande, ed il cerchio più piccolo, circoscritto al pentagono piccolo, è:1.05146/0.40162=2.618 che corrisponde al quadrato del Numero d'0ro f2 = (1.618)2

- Il rapporto tra il Pentagono grande ed il pentagono piccolo è: 0.6571/0.0958 = 6.854, che corrisponde a: f4 = (1.618)4. Lo stesso rapporto si individua anche tra l'area del pentagono piccolo ed quello ancora più piccolo, all'interno della figura.- Il rapporto tra la superficie della Stella grande e la stella piccola è: 0.31/0.045= 6.88, molto vicino al valore di 6.85

- Anche il rapporto tra i Triangoli EBD e TBR è 6.854, tra ABR e TBR è 2.618, così come tra TBR e TAR e così via... Rapporti aurei si possono individuare anche nei rapporti tra i rispettivi perimetri delle quattro figure: il risultato sarà sempre 1.618 o 2.618 o 6.854 che corrispondono sempre al numero d'oro elevato al quadrato (f2 = (1,618)2), con l'eccezione del rapporto tra i perimetri delle due stelle che è uguale a 2,4825

 

SPIRALE LOGARITMICA E ARCHIMEDEA

La spirale logaritmica può essere distinta dalla spirale archimedea dal fatto che le distanze fra i bracci di una spirale logaritmica aumentano secondo una progressione geometrica, mentre in una spirale archimedea queste distanze sono costanti. Ogni linea retta passante per l'origine interseca la spirale logaritmica con lo stesso angolo α, che può essere calcolato (in radianti) come arctan (1/ln(b)). L'angolo di inclinazione della spirale è l'angolo (costante) che la spirale forma con i cerchi centrati all'origine. Può essere calcolato come arctan(ln(b)). Una spirale logaritmica con inclinazione 0° (b = 1) è un cerchio; il caso limite di una spirale logaritmica con inclinazione 90° b = 0 o b = ∞) è una semiretta che parte dall'origine. Le spirali logaritmiche sono autosimili nel senso che sono congruenti a sé stesse sotto trasformazioni di similitudine (scalandole si ottiene lo stesso risultato che ruotandole). Una trasformazione di scala con un fattore di b2π porta a ottenere la spirale originale, senza rotazione. La spirale logaritmica è inoltre congruente alla sua involuta, evoluta e alla curva pedale basata sul suo centro. Partendo da un punto P e muovendosi all'interno della spirale, si deve girare attorno al centro infinite volte prima di raggiungerlo; tuttavia, la distanza

totale coperta da questo percorso è finita. Il primo ad accorgersi di questo fatto è stato Evangelista Torricelli ancora prima che l'analisi fosse inventata. La distanza totale coperta è r/cos(α), dove r è la lunghezza del segmento che congiunge P all'origine. È possibile costruire una spirale logaritmica approssimata con inclinazione di circa 17.03239 gradi usando i numeri di Fibonacci o il rapporto aureo. Inoltre, la funzione esponenziale mappa tutte le rette non parallele all'asse reale o immaginario nel piano complesso, su tutte le spirali logaritmiche nel piano complesso con centro in 0. A meno di multipli di 2πi per le rette, la mappatura di tutte le rette su tutte le spirali logaritmiche è una suriezione. L'angolo di inclinazione della spirale logaritmica è l'angolo fra la retta e l'asse immaginario

SPIRALI LOGARITMICHE IN NATURA

I falchi si avvicinano alla loro preda secondo una spirale logaritmica: il loro angolo di vista migliore forma un certo angolo con la loro direzione di volo, e questo angolo è l'inclinazione della spirale. Si possono osservare spirali logaritmiche nella disposizione delle foglie di alcune piante, definita come fillotassi. Un esempio sono alcune piante grasse. Gli insetti si avvicinano a una sorgente di luce seguendo una spirale logaritmica perché sono abituati ad avere la sorgente di luce a un angolo costante rispetto al loro percorso di volo. In genere il sole è l'unica sorgente di luce e volando in questo modo si ottiene un percorso praticamente rettilineo. I bracci delle galassie sono approssimativamente spirali logaritmiche. Si pensa che la nostra stessa galassia, la Via Lattea, abbia quattro bracci spirali principali, ciascuno dei quali è una spirale logaritmica con inclinazione di circa 12 gradi. I bracci dei cicloni tropicali, come gli uragani, formano spirali logaritmiche. In biologia, strutture approssimativamente simili alla spirale logaritmica si trovano facilmente, ad esempio nelle ragnatele e nelle conchiglie dei molluschi. La ragione è questa: si parte da una figura geometrica bidimensionale e di forma irregolare F0. Si espande F0 di un certo fattore per ottenere F1, e si pone F1 vicino a F0, in modo che due lati coincidano. Ora si espande F1 dello stesso fattore per ottenere F2, e si pone accanto a F1 come prima. Ripetendo questi passi si ottiene un'approssimazione della spirale logaritmica la cui inclinazione è determinata dal fattore di espansione e dall'angolo che formano la figura una accanto all'altra.