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Università degli Studi di Palermo

Facoltà di Scienze della Formazione

Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria

La simmetria come closure semiotica

Concezioni spontanee nella scuola

elementare

Tesi di laurea di:

Annalisa Salemi

Relatori:

Prof.ssa Alessandra La Marca

Prof.re Filippo Spagnolo

Anno Accademico 2002/2003

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Indice

Indice 1

Introduzione 3

Capitolo 1. Un quadro generale sulla simmetria

- 1. Simmetria e matematica 5

- 2. Simmetria nella natura e nell’arte 17

- 3. Simmetria e percezione 20

- 3.1 I principi della Gestalt sull’organizzazione percettiva 20

- 4. Simmetria: closure semiotica o ordine innato? 23

Capitolo 2. Prima fase sperimentale

- 1. Presentazione del lavoro sperimentale 29

- 2. Obiettivo generale 30

- 3. La sperimentazione 31

- 3.1 Il campione 32

- 3.2 Il metodo 33

- 4. Analisi a priori dei comportamenti attesi 34

- 5. Analisi dei dati sperimentali 37

- 5.1 Analisi descrittiva 37

- 5.2 Analisi delle similarità 41

- 6. Analisi qualitativa 45

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Capitolo 3. Seconda fase sperimentale

- 1. Presentazione del lavoro sperimentale 54

- 2. Ipotesi di ricerca 55

- 3. La sperimentazione 55

- 3.1 Il campione 57

- 3.2 Il metodo 58

- 4. Analisi qualitativa 59

Conclusioni 67

Appendice 69

Bibliografia consultata 96

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Introduzione

Questo lavoro nasce dall’esigenza di mettere in gioco le

conoscenze e l’esperienza di questi anni accademici, per tentare di

proporre un modo “alternativo” di fare matematica a scuola; un nuovo

modo che, rifiutando il carattere a-critico dell’insegnamento, vuole

invece proporre un “fare” matematico che si proponga come

“apprendimento per scoperta” e che dia al bambino la possibilità di

operare praticamente e concretamente con i concetti matematici.

Indossando le vesti del ricercatore, ho potuto cogliere cosa c’è

dietro al procedimento matematico dei bambini, quali processi e

ragionamenti li portano a dare delle risposte errate e in che modo le

conoscenze pregresse li aiutano ad affrontare e risolvere le situazioni -

problema poste in essere dalla matematica.

L’indagine sperimentale da me condotta si poneva come primo

fine quello di scoprire le concezioni spontanee dei bambini di quinta

elementare in merito al concetto di simmetria, come secondo fine

quello di verificare se e in che modo la simmetria può consentire di

operare una “closure semiotica”, ossia un riconoscimento e

completamento di un intero dalla percezione di una parte di esso.

Alla ricerca si è voluto introdurre un primo capitolo che offre un

quadro generale sulla simmetria, affrontando il discorso da diversi

punti di vista: matematica, natura, arte, percezione.

Il secondo ed il terzo capitolo costituiscono, invece, la

descrizione dell’esperienza di ricerca nelle sue due fasi sperimentali.

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Capitolo 1

Un quadro generale sulla simmetria

Il concetto di simmetria è per l’uomo istintivo e connaturato al

fatto che il suo stesso corpo si sviluppa nello spazio simmetricamente,

secondo un asse principale (asse di simmetria). È un concetto

familiare, intuitivo, insito anche nei più piccoli particolari della

natura; lo cogliamo quando guardiamo un paesaggio riflesso sulle

acque di un lago, i disegni sulle ali delle farfalle, un fiore, ecc.,

quando cioè percepiamo a livello inconscio la presenza di schemi

ripetitivi.

Ciò che i nostri occhi percepiscono non sono modelli geometrici,

ma formali: noi non vediamo la simmetria di un fiore, ma la intuiamo

cogliendone la sua regolarità. Ma che cos’è allora la simmetria?

Il termine deriva dal greco symmetros, che significa ben

commisurato, ben proporzionato e che anticamente veniva usato sia in

senso morale che in senso geometrico e spaziale. Euclide, infatti, lo

usava in relazione ai segmenti commensurabili; Aristotele, invece, con

questo termine si riferisce al giusto mezzo a cui dovrebbero tendere

gli uomini virtuosi nelle loro azioni; questo significato venne ripreso

anche da Galeno nel suo “De temperamentis”, dove definì la

simmetria lo stato d’animo che ugualmente dista dai due estremi.

Nel linguaggio moderno il termine ha perso i suoi connotati

morali, ma ne ha mantenuto quelli estetici, con significato

corrispondente all’eleganza delle proporzioni, all’armonia e alla

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gradevolezza, e quelli puramente scientifici della geometria e della

matematica, per le quali il discorso sulla simmetria si fa più rigido e

rigoroso.

1.1 Simmetria e matematica

Spesso non ci rendiamo conto che la simmetria esterna delle

decorazioni, dell’architettura, dei motivi ornamentali prodotti

dall’uomo, è indizio di una simmetria strutturale ben più profonda, che

è possibile cogliere soltanto dal punto di vista della matematica, che

ne è la radice. Quest’ultima, infatti, può offrirci una larghezza di

sguardo sufficiente a trovare il ritmo nascosto in forme all’apparenza

tanto diverse e aiutarci a scoprire una chiave di lettura significativa.

L’idea di simmetria e il tentativo di penetrare il suo significato

più profondo hanno stimolato da sempre la ricerca e lo studio dei

matematici. Nell’ultima parte del XVIII secolo la scoperta di una

nuova “aritmetica delle trasformazioni” aprì la porta a nuovi risultati,

che continuano ad influenzare non solo la matematica stessa, ma

anche le altre scienze (fisica, chimica, cristallografia, medicina,

ingegneria, ecc.).

Ma come si pone la matematica di fronte al problema della

simmetria?

Allo scopo di definire esattamente l’essenza della simmetria, i

matematici si interessano non tanto alla forma degli oggetti

simmetrici, quanto alle trasformazioni che si possono far loro subire.

Nel linguaggio matematico, infatti, la parola simmetria si riferisce alla

proprietà di un oggetto di rimanere invariato e indistinguibile nello

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spazio e nel tempo qualora sia sottoposto ad una serie di operazioni,

dette appunto di simmetria, che consistono in movimenti rigidi che

spostano e ripetono la figura senza alterare le sue dimensioni. La

simmetria di una figura, pertanto, è una trasformazione che la lascia

sostanzialmente invariata e che ha anche a che vedere con il ritmo,

con le strutture, con qualcosa che si ripete e che può ripetersi in modi

molto diversi. Il compito della matematica è, pertanto, quello di capire

come sono fatti questi diversi possibili modi: ossia analizzare con

attenzione le modalità con cui è possibile combinare le trasformazioni

generandone di nuove, determinare le strutture fondamentali, contarle,

confrontarle e classificarle.

Un importante contributo allo studio delle fondamentali strutture

simmetriche delle figure e della loro classificazione lo troviamo ne Il

ritmo delle forme di P. Bellingeri, M. Dedò, S. Di Sieno, C. Turrini,

edizione Mimesi 2001, al quale ho fatto riferimento per ciò che

riguarda lo studio della matematica sulla simmetria.

Tutte le figure che al nostro occhio appaiono simmetriche hanno

una caratteristica in comune: sono costituite dalla ripetizione di un

“modulo” (una piccola parte della figura) secondo certe regole, che in

generale sono diverse da figura a figura. Queste regole sono, appunto,

le operazioni di simmetria.

Per quanto riguarda il piano, le possibili operazioni di simmetria,

che consentono di modificare la posizione di un oggetto rispetto ad un

sistema di riferimento sono: la rotazione, la riflessione e la traslazione.

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Se consideriamo la rotazione, ad esempio, la figura 1 può aiutarci

a capire meglio quanto detto. In essa troviamo due immagini

simmetriche, i cui moduli sono rappresentati in alto, per le quali la

regola di costruzione dell’intera

figura è la stessa: ruotare il modulo

di 60° intorno al punto O per ben

sei volte. In tal modo, infatti, si

ottengono due figure simmetriche

composte da sei copie del modulo

di partenza, ognuna delle quali

differisce dalla precedente per una

rotazione di 60°. Figura 1

Le due immagini sono diverse perché il modulo di partenza è

diverso, ma risultano uguali nella struttura.

Per quanto riguarda la seconda operazione di simmetria, la

riflessione, considereremo la figura 2, per costruire la quale questa

volta occorre riflettere il modulo (figura 3) rispetto alle rette r ed s,

quindi riflettere i moduli così ottenuti rispetto alle rette k e h, e così

via fino ad ottenere la figura completa.

Figura 2 Figura 3

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Questi primi due casi ci mostrano esempi di figure con strutture

limitate, in cui le regole prevedono un numero finito di operazioni.

L’esperienza, però, ci porta a dire che ci sono anche figure per le quali

quello che vediamo sulla carta è soltanto un pezzo, che ci suggerisce,

peraltro, la maniera stessa in cui la figura potrebbe continuare.

Immagini di questo tipo sono quelle le cui regole di costruzione

coinvolgono l’operazione di traslazione (figura 4).

Per ottenere queste immagini, infatti, è stato necessario spostare il

modulo (costituito da un poligono blu ed uno rosso, per quanto

riguarda la prima immagine, e da un poligono verde, per la seconda) a

destra e a sinistra, per quante volte lo si desidera, o fin quando non si

arriva al bordo del foglio.

Figura 4

Anche in questo caso, come nei precedenti, l’operazione di

simmetria rappresenta per la figura completa la trasformazione che,

pur spostando i vari punti, fissa la figura nel suo complesso.

Naturalmente, oltre alle operazioni di rotazione, riflessione e

traslazione, è possibile costruire un’immagine simmetrica anche

utilizzando contemporaneamente due di queste operazioni. Ad

esempio la figura 5 è ottenuta dalla combinazione di riflessione e

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traslazione. Le regole per costruire la figura sono infatti: riflettere il

modulo rispetto alla retta che in figura è indicata con s, poi prendere i

due moduli così ottenuti e spostarli a destra e a sinistra per quante

volte si vuole.

Figura 5

Anche questi ultimi disegni, però, sono diversi da alcune

immagini simmetriche che spesso abbiamo visto in qualche

decorazione, nella fantasia di un tessuto o in alcune pavimentazioni.

Nelle immagini delle figure 4 e 5, infatti, c’è una sola direzione

(quella orizzontale) lungo la quale il disegno si sviluppa, mentre più

volte ci è capitato di cogliere strutture simmetriche anche in disegni

che ripetono il modulo in più direzioni e per un numero infinito di

volte.

È il caso delle figure 6 e 7, dove non

solo il modulo si sviluppa in più

direzioni, ma ci da anche l’idea di una

struttura illimitata, una struttura, cioè,

che può svilupparsi all’infinito in tutte le

direzioni.

Figura 6

11

Se consideriamo, ad esempio, la figura 7 notiamo che il modulo è il

quadrilatero verde rappresentato a sinistra e le regole per costruire

l’immagine possono essere: riflettere il modulo rispetto alle quattro

rette r, s, t, u; poi ancora rispetto alle rette h, k, p, q; e così via.

Figura 7

Ma anche per studiare la simmetria di un disegno che si ripete in

più direzioni e per un numero indefinito di volte è necessario

individuare il modulo e le specifiche regole che ci consentono di

ricostruire l’intero disegno.

L’insieme di tutte le regole, o modalità con cui è possibile

ricostruire una figura simmetrica a partire dal modulo, costituiscono

una struttura matematica ben precisa chiamata gruppo di simmetria, in

base alla quale si possono classificare le figure rispetto alla loro

simmetria. Il gruppo di simmetria di una figura è, cioè, l’insieme di

tutte le trasformazioni che la lasciano invariata.

Queste trasformazioni devono soddisfare tre regole fondamentali:

- l’esistenza dell’elemento neutro, che lascia invariata qualsiasi

figura;

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- l’esistenza e l’unicità dell’inverso (se un gruppo comprende una

trasformazione, comprende anche la sua unica inversa, che è

quella che riporta la figura alla posizione di partenza);

- la proprietà associativa (se un gruppo comprende due

trasformazioni, allora comprende anche la trasformazione che si

ottiene dalle due eseguendo prima l’una e poi l’altra).

Di fronte alla grande varietà di esempi di simmetria che ci

circondano, la matematica si è chiesta se fosse possibile classificare i

gruppi discreti di una figura, ossia le trasformazioni che, applicate ad

un qualunque punto P della figura, originano altri punti “abbastanza

lontani” dal punto P.

Non rientrano nei gruppi discreti il gruppo di simmetria di una

circonferenza e il gruppo di simmetria di una retta. Nella

circonferenza, infatti, se prendiamo un qualunque punto P di essa

(diverso dal centro O), i punti che si ottengono applicandogli le

trasformazioni del gruppo sono tutti punti della circonferenza stessa, e

quindi fra di essi ci sono punti vicinissimi a P. Il gruppo di simmetria

di una retta è anch’esso non discreto perché contiene, fra le

traslazioni, tutte quelle parallele alla retta; possiamo quindi trovare in

esso anche traslazioni che spostano P in punti a lui abbastanza vicini.

La classificazione dei gruppi discreti di simmetria, per quanto

riguarda il piano, comprende tre categorie:

1. gruppi dei rosoni, che non contengono traslazioni;

2. gruppi dei fregi, che contengono traslazioni in una sola

direzione;

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3. gruppi dei mosaici, che contengono traslazioni in direzioni

diverse.

La categoria dei rosoni, a sua volta, si divide in due sottoinsiemi:

i gruppi ciclici, che contengono solo rotazioni di centro O e di angoli

sottomultipli dell’angolo giro; i gruppi diedrali, che contengono tante

rotazioni di centro O quante riflessioni in rette passanti per O (vedi

figure 8 e 9).

Figura 8 Figura 9

Leonardo Da Vinci ha dimostrato che i gruppi ciclici e quelli

diedrali costituiscono i soli insiemi di simmetrie possibili per la

categoria dei rosoni, ossia per quelle figure che comprendono solo i

gruppi finiti: quelli che ammettono un numero finito di simmetrie ed

un centro (ossia un punto che non viene mosso da nessuna di queste

simmetrie). Questo risultato dimostra che, se costruiamo una figura

utilizzando le operazioni di rotazione e riflessione, può cambiare il

modulo e il numero delle rotazioni e delle riflessioni (quindi ci sono

infiniti gruppi ciclici e diedrali, uno per ciascun intero positivo), ma

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dal punto di vista della simmetria il gruppo sarà sempre uno di questi

due tipi.

Fra questi due tipi rientra anche il gruppo di simmetria di una

figura completamente asimmetrica, per la quale l’unica trasformazione

possibile è la rotazione di 360°.

Per quanto riguarda la categoria dei fregi, come già detto, questa

comprende i gruppi di simmetria che ammettono come operazioni,

oltre a rotazioni e riflessioni, anche traslazioni in una sola direzione.

Proprio per questo motivo, la categoria dei fregi non può comprendere

gruppi finiti: si tratta, infatti, di figure, come le greche o i fregi usati

per le decorazioni dei muri, costituite da una parte finita che si ripete e

si prolunga all’infinito lungo la stessa direzione.

In teoria dovrebbero essere 16 i tipi di fregi, perché altrettante

sono le possibili combinazioni delle operazioni di simmetria. In

pratica, però, alcuni tipi sono impossibili. Esistono, infatti, solo 7

diversi tipi di fregi, che possiamo esemplificare mediante l’utilizzo di

alcune lettere dell’alfabeto come “modulo”:

1) FFFFFFFFFF

2) ZZZZZZZZZZ

3) bpbpbpbpbpbp

4) TTTTTTTTTT

5) EEEEEEEEE

6) bdpqbdpqbdpq

7) HHHHHHHHH

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La prima riga (F) è lasciata invariata solo da un’infinità di

traslazioni, la seconda riga (Z) da traslazioni e rotazioni, la terza (bp)

da traslazioni e

glissoriflessioni, la quarta

(T) da traslazioni e

riflessioni, la quinta (E) da

traslazioni e riflessioni

orizzontali, la sesta (bd) da

traslazioni, riflessioni

verticali e rotazioni, la

settima (H) da traslazioni e

riflessioni orizzontali e verticali. Figura 10

Nella figura 10 sono schematizzati, nello stesso ordine (ovvero

con le stesse regole), i sette casi possibili di simmetria per la categoria

dei fregi, realizzati con il modulo già utilizzato nella prima immagine

della figura 1.

Infine, la categoria dei mosaici comprende tutte le operazioni di

simmetria: rotazione, riflessione e traslazione in direzioni diverse. I

gruppi appartenenti a questa categoria sono infiniti, come quelli dei

fregi, ma a differenza di questi ultimi qui il modulo si ripete in più

direzioni. Ritroviamo queste configurazioni nelle decorazioni a

mosaico greco-romane, nelle pavimentazioni, nelle tappezzerie, in

certe stoffe, ecc., dove cioè è possibile individuare un “motivo”

(modulo) che si ripete periodicamente.

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Figura 11 Decorazioni dell’Alhambra, Granada

Anche per questa categoria di gruppi di simmetria è stata fatta

una classificazione di tutti i possibili tipi di simmetrie, una

classificazione ancor più complicata della precedente, che è il risultato

di tutte le possibili combinazioni delle operazioni di simmetria. I

possibili gruppi di simmetria sono 17. La dimostrazione di ciò è stata

ottenuta da E. S. Fedorov, un cristallografo russo, alla fine del 1800, e

ritrovata poi da G. Polya e P. Niggli nella prima metà del 1900. La

cosa che più ci colpisce è che fin dall’antichità artisti di diverse

culture (dagli egizi agli arabi) hanno realizzato esempi di opere

artistiche per ognuno di questi diciassette casi diversi; tutto ciò molti

secoli prima del risultato matematico concernente la classificazione di

questi gruppi.

Per questi gruppi diventa ancor più complicato elencare le regole

con cui dal modulo si ricostruisce l’intera figura; tuttavia si può

semplificare questo lavoro se immaginiamo una quadrettatura, o

reticolo, sottostante il disegno. In questo modo, infatti, è sufficiente

che le regole dicano come dal modulo si possa riempire il singolo

quadretto, perché gli altri si ottengono da questo per traslazione. Se la

figura non consente di far riferimento ad una quadrettatura, basta

17

riferirsi ad un reticolo obliquo (ad esempio una griglia di

parallelogrammi).

A tale proposito facciamo

riferimento alla figura 12, per la

quale è necessario individuare

una griglia di parallelogrammi

come reticolo. Le regole con

cui dal modulo si costruisce

l’intera figura dovranno, in questo caso, stabilire come riempire il

parallelogramma con un certo numero di copie del modulo e poi

basterà compiere delle traslazioni del parallelogramma stesso (vedi

figura 13).

Figura 13

Il reticolo sottostante il disegno può essere: quadrato,

rettangolare, obliquo o esagonale. Ecco uno schema riassuntivo dei 17

gruppi di simmetria nel piano1:

1 Per ulteriori approfondimenti consultare le Tavole Internazionali di Cristallografia.

18

2. Simmetria nella natura e nell’arte

La natura presenta molte regolarità profonde, basate sulla

simmetria, e la comprensione di queste regolarità ha rappresentato un

mezzo fondamentale per l’avanzamento della scienza ed il

raggiungimento delle conoscenze attuali. Anche l’uomo sembra

favorire istintivamente la regolarità ed il ripetersi periodico delle

forme, come ha dimostrato nel secolare sviluppo delle sue espressioni

artistiche.

Alcune delle simmetrie più sorprendenti della natura

appartengono al mondo microscopico: basti pensare alla forma

altamente simmetrica dei virus, delle gocce di pioggia, e di quella

infinita moltitudine di esseri che costituiscono il plankton.

Nel secolo scorso l’artista-naturalista Ernst Häckel, con una minuziosa

esplorazione al microscopio di questi mondi invisibili all’occhio

umano, portò alla luce la sorprendente e splendida simmetria di questi

minuscoli esseri. Negli anni ’30 dello scorso

secolo fu invece un americano, Wilson A..

Bentley che con enorme pazienza ed abilità

tecnica riuscì a fotografare al microscopio oltre

2000 fiocchi di neve, ognuno diverso dall’altro,

ma tutti dotati di una splendida simmetria

esagonale. Figura 14

La più comune forma di composizione simmetrica presente in

natura è certamente quella assiale in cui, con effetto di riflessione, gli

elementi sono collocati in forma speculare rispetto ad un immaginario

asse centrale detto asse di simmetria. La simmetria assiale o bilaterale

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la troviamo in molti organismi vegetali, animali e minerali. La

struttura di molte foglie, i petali di alcuni fiori

(le orchidee sono quelle che maggiormente

rispettano la simmetria bilaterale), il corpo di

molti animali (pressoché la totalità degli

insetti e dei vertebrati) sono caratterizzati

dalla simmetria bilaterale. Figura 15

Gli animali, oltre ad avere una forma simmetrica, spesso sono

simmetrici anche nei loro colori: le ali di una farfalla o il mantello di

una zebra hanno le loro macchie disposte simmetricamente.

Altro tipo di simmetria presente in natura è quella centrale o

radiale, in cui gli elementi sono simmetrici rispetto ad un punto, per il

quale passano più assi di simmetria. Un esempio di simmetria

rotazionale nel piano è il nido delle api, nel quale troviamo sei assi di

simmetria in ciascuna celletta (simmetria esagonale). La simmetria

pentagonale è, invece, particolarmente amata

dalle corolle dei fiori, di cui troviamo

innumerevoli esempi, dalle primule alle

pervinche, nonché da alcuni echinodermi che

strisciano sui fondali, quali le stelle marine.

Figura 16

Infine esiste una simmetria traslazionale in moltissimi esseri

viventi in cui un segmento del corpo viene ripetuto in modo periodico

e regolare lungo una retta, come nel corpo dei millepiedi.

La presenza di simmetria e di equilibrio proporzionale nelle più

alte espressioni creative dell’uomo testimonia, fin dall’antichità, lo

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stretto rapporto che tali concetti realizzano tra scienza, estetica e arte.

L’esigenza di individuare nell’arte un linguaggio decifrabile di forme

ha sempre indotto gli artisti ad utilizzare i canoni geometrici, a volte

anche intuitivamente, anticipando in alcune conclusioni i matematici

stessi.

Fin dall’antichità la simmetria ha caratterizzato le immagini e gli

oggetti prodotti dall’uomo. Troviamo composizioni rigidamente

simmetriche in gioielli di epoca precolombiana e micenea, in rilievi di

epoca romana, paleocristiana e

barbarica, nella struttura e nella

decorazione di portali e finestre,

nei dipinti rinascimentali, nelle

cupole di chiese e cattedrali

cristiane, nell’arte giapponese e in

quella indiana.

Figura 17. Arte indiana (Taj-Mahal)

In tutte le civiltà la simmetria è stata usata come visualizzazione

dell’ordine, dell’equilibrio e dell’armonia. Strutture simmetriche ne

ritroviamo anche nelle costruzioni architettoniche, nelle facciate dei

templi greci e romani, nelle piramidi egizie, nelle antiche cattedrali

cristiane e negli edifici rinascimentali, in cui gli ideali di armonia,

ordine, proporzione ed equilibrio erano resi concreti e visibili anche

dalla struttura rigorosamente speculare delle costruzioni.

A volte la simmetria può costituire anche la struttura su cui sono

organizzati alcuni spazi urbani, come piazza San Pietro a Roma.

21

3. Simmetria e percezione

Percepire un’immagine non significa registrare meccanicamente

tutti gli elementi che la compongono, ma coglierne alcune strutture

significative che emergono alla visione come un insieme coerente che

assume così un significato. Una forma si impone alla nostra

attenzione, ci appare un insieme coerente e organizzato, costituisce un

fenomeno visivo in cui le qualità del tutto predominano su quelle delle

singole parti da cui esso è costituito.

La percezione delle immagini e la loro “lettura” costituiscono un

processo complesso in cui intervengono numerosi fattori. Ciò che

“vediamo” è determinato in parte dalle condizioni insite nella struttura

stessa dell’immagine e dal suo rapporto con il contesto in cui è

inserita. A questi elementi si aggiunge l’esperienza personale

dell’osservatore, con la sua situazione affettiva, sociale, culturale,

fattori che influenzano la sua attenzione e la sua percezione,

facendogli operare nel campo visivo, in modo più o meno

consapevole, selezioni e combinazioni di forme che costituiscono la

sua interpretazione del mondo.

3.1 I principi della Gestalt sull’organizzazione percettiva

La psicologia della percezione, la Gestalt, ci fornisce una serie di

strumenti per “decodificare” e “ridecodificare” le immagini, al di là

dell’esperienza e della cultura che, comunque, condizionano sempre il

nostro modo di leggere la realtà.

22

Secondo tale scuola di pensiero, che sorse in Germania agli inizi

del XX secolo, la percezione consiste nella risposta immediata a

schemi complessi colti nel loro insieme. La concezione della Gestalt si

può sintetizzare nell’asserzione: l’intero è differente dalla somma

delle sue parti, poiché è la risultante del modo in cui le varie parti

sono reciprocamente organizzate.

Nella teoria formulata dalla Gestalt, il sistema nervoso è

predisposto ad accorpare, mediante meccanismi innati, gli elementi

costitutivi degli stimoli sensoriali sulla base di alcune regole

fondamentali, definite principi dell’organizzazione percettiva. Alcuni

di questi principi sono:

- Vicinanza: in uno stimolo visivo tendiamo a vedere gli elementi

tra loro vicini come parti dello stesso oggetto e quelli distanti

come parti di oggetti differenti.

- Somiglianza: tendiamo a vedere gli elementi fisicamente simili

come parti dello stesso oggetto, e gli elementi diversi come parti

di oggetti diversi.

- Chiusura: tendiamo a vedere le forme come delimitate da un

margine continuo e ad ignorare le eventuali interruzioni di tale

continuità. Questo ci aiuta a percepire le forme come complete

anche quando sono parzialmente nascoste da altri oggetti.

- Continuità: quando varie linee si intersecano, noi tendiamo a

riunire i segmenti in modo da formare linee il più possibile

continue.

23

- Movimento comune: quando gli elementi dello stimolo si

muovono nella stessa direzione e alla stessa velocità, tendiamo a

vederli come parti di uno stesso oggetto.

- Armonia di forma: il nostro sistema percettivo tende ad

elaborare produzioni percettive il più possibile eleganti: semplici,

ordinate, simmetriche e regolari. In pratica questo principio, oltre

a racchiudere in sé quelli precedenti, comprende anche regole più

complesse, in base alle quali il nostro sistema percettivo

organizza gli stimoli nella forma più armoniosa possibile.

In sostanza la teoria della percezione visiva sostiene che si

percepisce un’immagine, composta da singoli segni come i punti, le

linee, i colori, le ombreggiature, ecc.., come delle unità compiute

definite solo quando questi segni sono vicini tra loro, organizzati e

raggruppati in modo ordinato. In un testo visivo i singoli segni si

possono leggere anche isolatamente, ma questi passano in secondo

piano a favore della visione d’insieme dell’immagine data dalla

somma dei singoli segni visivi.

Oltre a formulare i sei principi dell’organizzazione percettiva, la

Gestalt richiama l’attenzione sulla tendenza automatica a distinguere

in qualsiasi scena la figura dallo sfondo. Quando osserviamo una foto,

un quadro o una scena mettiamo in risalto da prima un oggetto rispetto

all’ambiente circostante, allo sfondo. Questa operazione che dura

qualche frazione di secondo determina la differenza tra la figura e lo

sfondo, ma dipende da certe peculiarità dello stimolo visivo.

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In merito alla percezione, un altro elemento che va tenuto

presente e particolarmente studiato da Koffka è quello relativo alla

legge della pregnanza. Koffka sostiene che l’organismo tende a

determinare componenti pregnanti e preminenti nella percezione, nei

movimenti e nelle azioni; questi elementi stanno alla base della legge

della pregnanza.

L’organizzazione percettiva, il grado di lettura dei segni, è

determinato da proprietà come la regolarità, la simmetria, la coesione,

l’equilibrio, l’omogeneità e la massima semplicità.

4. Simmetria: closure semiotica o ordine innato?

Come dimostrano gli studi della Gestalt, il fenomeno percettivo

non consiste nel semplice riconoscimento di forme già esistenti,

oggettive, reali, ma vi possono essere delle grosse differenze tra il

mondo della realtà fisica e ciò che un osservatore percepisce. E’

provato che alcuni dati possono essere visti senza che obiettivamente

esistano; altri possono esistere nella realtà e non essere afferrati

visivamente; altri elementi, infine, possono essere percepiti in maniera

alterata o distorta.

Si tratta di illusioni percettive che derivano dal contesto in cui

compaiono gli elementi illusori e possono essere spiegate con

l’intervento di processi dall’alto al basso. Particolarmente interessanti

sono quelle illusioni in cui il contesto non solo influenza le

caratteristiche dell’oggetto che vengono percepite (ad esempio, la sua

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grandezza), ma porta anche a vedere o a sentire qualcosa che nello

stimolo non è affatto presente.

Benché il dibattito intorno agli esatti meccanismi che causano

l’illusione ottica sia ancora del tutto aperto, la maggioranza dei

ricercatori è concorde nel ritenere che l’effetto derivi dallo sforzo,

operato dal sistema percettivo, di interpretare la figura in senso

globale.

Gli esempi che seguono sono una dimostrazione di questi

fenomeni.

Figure 18 e 19

In risposta a questi stimoli2 il sistema percettivo crea due

interpretazioni che ammettono un triangolo, che nella figura 18 è

bianco e nella 19 è nero, posato sopra una cornice triangolare e sopra

tre dischi (neri nella fig. 18 e bianchi nella fig. 19). I triangoli che

vediamo al centro delle due figure si impongono visivamente alla

nostra attenzione anche se non sono mai stati disegnati, essi ci

appaiono addirittura prima ancora dello sfondo: nella figura 18, infatti,

2 Si tratta del “triangolo di Kanizsa”, una famosissima immagine dello psicologo italiano Gaetano Kanizsa, esponente della tradizione gestaltista.

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il triangolo sembra più luminoso dello sfondo, mentre nella 19, il

triangolo nero ci appare più scuro.

Questo fenomeno delle illusioni percettive è stato studiato dallo

psicologo italiano Gaetano Kanisza, il quale con interessanti

esperimenti ha dimostrato come la percezione visiva compia processi

di categorizzazione alla stregua della memoria. Dagli studi di Kanizsa

emerge in particolar modo che la percezione visiva ci porta a vedere

“al di là” di quanto appare, ossia compie automaticamente una

“closure semiotica”, completando le parti mancanti o coperte di figure

e suggerendo in tal modo l’interezza.

Il termine inglese closure, che tradotto letteralmente significa

“chiusura”, ha però in sé un significato più complesso. Tale termine è

utilizzato, infatti, per spiegare una capacità peculiare del nostro

cervello, che consiste nel compiere un completamento per inferenza,

per deduzione che, secondo alcuni si acquisisce nei primi anni di vita,

ed è dunque frutto dell’esperienza e della memoria, secondo altri, si

tratta invece di un qualcosa di innato.

Questa capacità o funzione della percezione è di fondamentale

importanza perché il suo utilizzo influenza notevolmente tutte le

esperienze conoscitive e percettive dell’uomo. Pensiamo, ad esempio,

all’operazione che compiamo durante la lettura: quando leggiamo un

testo non ci soffermiamo sui singoli grafemi, ma li riconosciamo come

un tutt’uno nelle parole e nelle frasi, riuscendo quasi a “prevedere”

quelli che verranno dopo.

Questa operazione di completamento per inferenza la compiamo

anche quando, ad esempio, riconosciamo le cose o le persone solo da

27

una parte di esse. Un esempio che potrebbe risultare banale, ma che è

anch’esso riferito all’operazione di closure, è quello che compiamo a

tavola quando, sebbene si veda solo il tronco e la testa dei nostri

commensali, non li percepiamo senza gambe.

Per quanto riguarda il concetto di simmetria, secondo alcuni

psicologi della percezione, tra cui lo stesso Kanisza, esso consente di

operare questa closure nella percezione e nella ricostruzione di oggetti

o figure incomplete. Durante tali operazioni, che contrariamente a

quanto si può pensare sono numerosissime, facciamo quindi

riferimento alla simmetria come sinonimo di ordine e regolarità.

Per altri studiosi, i fenomeni di ritmo e di simmetria non

appaiono, quindi, limitati alle caratteristiche strutturali degli oggetti

naturali, ma esistono anche nel nostro pensiero, come istanze di

carattere psicologico.

L’uomo non potrebbe “funzionare” se non fosse già predisposto a

certe regolarità, a quel “senso dell’ordine” di cui parla Ernst H.

Gombrich, senza il quale non avremmo mai potuto far tesoro di alcuna

esperienza al mondo; è questo senso dell’ordine, secondo l’autore, che

ci consente di categorizzare ciò che ci circonda secondo i gradi di

regolarità e del suo opposto.

Ma da dove abbiamo tratto quest’ordine? Ernst H. Gombrich

afferma: «Probabilmente dobbiamo aver veduto o sperimentato

l’eguaglianza matematica prima che la nostra anima sia mai entrata

nel corpo, ed è questa memoria a offrirci il metro col quale giudicare

le cose di questo mondo».

28

Sin dall’antichità, gli studi filosofici di Socrate e Platone si sono

interessati a questa questione. Nell’epoca moderna, come abbiamo

visto nel paragrafo precedente, una ricerca a proposito di questa

risposta all’ordine è stato l’impegno principale della Gestalt. Ma una

soluzione alla questione del senso dell’ordine innato prova a darla

Popper, il quale ha sottolineato gli stretti legami tra i metodi scientifici

e le attività della mente percepiente. Sia le ipotesi scientifiche che

quelle percettive possono essere formulate, secondo Popper, come

tentativi di elaborare principi di esclusione, di eliminare certe

possibilità, le più semplici.

Si è infatti d’accordo oggi che senza un qualche principio

selettivo, senza una qualche maniera di classificare gli stimoli in

arrivo secondo una gerarchia di importanza, l’organismo sarebbe

inondato da una massa incontrollabile di informazioni e di percezioni.

Certe configurazioni sono pre-codificate nel sistema nervoso centrale

e scatenano una catena di reazioni quando le si incontra in natura.

Queste disposizioni biologiche vanno inserite nella struttura dei

meccanismi che consentono all’organismo di orientarsi nello spazio e

nel tempo, meccanismi che devono necessariamente avere relazione

con i rapporti geometrici generali.

Alcuni esperimenti sul sistema visivo di certi animali hanno

dimostrato come certe forme geometriche semplici guidano

l’orientamento degli insetti migratori e come i gatti, invece,

rispondano a particolari disposizioni quali linee orizzontali e verticali.

Questi esperimenti dimostrano, quindi, che lo schema

29

geometricamente semplice viene codificato e ricordato più facilmente

della configurazione più complessa o casuale.

Se anche l’uomo sia o meno così predisposto ad una simile

codificazione della realtà è tuttora materia di dibattito. Sappiamo però,

come dimostra la teoria della Gestalt, che per prima si è opposta alla

cosiddetta “teoria del recipiente” (secondo cui gli individui compiono

una registrazione passiva degli stimoli) che esiste una preferenza

osservabile, una selezione automatica nel nostro percepire che

privilegia le configurazioni regolari e semplici, le linee rette, i cerchi e

altri ordini semplici.

Se questa preferenza per la regolarità simmetrica sia innata o sia

conseguenza di una closure semiotica non sta a me deciderlo, certo è

però che le due posizioni non sono così lontane fra loro e che l’ipotesi

di regolarità da sempre guida l’uomo per verificare sia il mondo reale

che le sue rappresentazioni.

Come affermava Popper: «senza un qualche sistema iniziale,

senza una prima ipotesi a cui possiamo riferirci finché non venga

falsificata, non potremmo trarre alcun senso dai miliardi di stimoli

ambigui che ci raggiungono dall’ambiente».

30

Capitolo 2

Prima fase sperimentale

1. Presentazione del lavoro sperimentale

In questo capitolo viene presentata e descritta, momento per

momento, la prima fase del lavoro sperimentale.

L’idea di una tale ricerca è nata dall’esperienza di tirocinio,

durante la quale ho potuto constatare che spesso dietro ad alcune

risposte dei bambini, che rischiano di sembrarci banali o non

pertinenti, ci sono invece delle concezioni spontanee frutto di un

ragionamento, non altrettanto banale, che risulta a volte corretto ed

altre volte errato.

Ho voluto, pertanto, grazie all’utilizzo di un questionario, far

emergere le concezioni spontanee dei bambini in merito al concetto

geometrico di simmetria e capire il perché di tali risposte.

Nella prima fase della ricerca ho costruito un questionario con 4

domande a risposta aperta che richiedevano, inoltre, la motivazione

della risposta. Facendo riferimento a tali domande ho poi elaborato

l’analisi a priori dei comportamenti attesi dai bambini per ciascuna di

esse, ossia le possibili risposte (corrette ed errate) per ciascuna

domanda del questionario.

Successivamente ho svolto la sperimentazione somministrando il

questionario ai bambini di quattro classi quinte di scuola elementare

31

ed infine ho inserito i risultati di tale sperimentazione in una tabella

Excel, registrando la presenza o l’assenza dei comportamenti attesi.

Fase certamente centrale della ricerca sperimentale è stata quella

relativa all’analisi quantitativa e qualitativa dei dati. I risultati ottenuti

sul campione scelto, infatti, sono stati sottoposti: dapprima ad

un’analisi statistica con l’utilizzo del programma Chic, che permette

di fare l’analisi delle similarità e quella delle implicazioni;

successivamente ad un’analisi personale e qualitativa delle risposte,

che ha tenuto conto delle motivazioni più significative date dai

bambini alle domande del questionario e delle rappresentazioni

grafiche apportate sul foglio.

2. Obiettivo generale della ricerca

La prima sperimentazione ha come obiettivo quello di

classificare le concezioni spontanee sulla simmetria dei bambini di

quinta elementare.

L’interesse è, innanzitutto, quello di sapere e capire cosa pensano

i bambini della simmetria, di individuare quali sono le loro visioni

ricorrenti e gli stereotipi riguardanti la simmetria; in secondo luogo,

determinare quali sono gli schemi di ragionamento messi in atto dai

bambini.

32

3. La sperimentazione

La mia ricerca sperimentale ha avuto inizio con la costruzione

dello strumento: il questionario. La scelta del questionario come

strumento di sperimentazione è stata guidata dall’idea che esso ci

consente realmente di raccogliere informazioni, poiché interroga i

soggetti su specifici nodi dell’argomento che ci interessa verificare e

ci fornisce le loro risposte in forma scritta.

Il questionario, però, è funzionale alla ricerca sperimentale se

risponde agli obiettivi che ci siamo prefissati o, comunque, ci fornisce

informazioni tali da confermare o smentire l’ipotesi di partenza.

L’affidabilità di tali informazioni, però dipende unicamente dalla

chiarezza delle domande del questionario. Se esso è ben costruito,

pertanto, ci consente di raccogliere una quantità considerevole di dati

con garanzia di validità e fedeltà.

Il questionario da me costruito è coerente con il livello scolastico

dei bambini delle classi quinte di scuola elementare e si compone di

quattro item a risposta aperta, con richiesta di motivazione. Ogni item

è costituito dalla domanda scritta e da una figura di riferimento, sulla

quale i bambini hanno potuto “operare” con la matita per tracciare assi

di simmetria eventualmente richiesti o, comunque, per fare delle prove

o tracciare dei segni che vanno ad integrare la risposta scritta. Inoltre,

quasi tutte le figure sulle quali i bambini sono stati invitati a riflettere

non sono le “classiche” figure geometriche che si studiano a scuola,

ma figure “nuove”, non propriamente geometriche, con le quali non

hanno mai lavorato prima, figure costruite appositamente per

stimolare il ragionamento del bambino.

33

Tale impostazione degli item mi ha permesso di registrare le

risposte dei bambini e, grazie all’esplicitazione della motivazione

della risposta, di individuare le procedure ed i ragionamenti che vi

stanno dietro.

Nella prima domanda, date due figure irregolari uguali ma

disposte sul foglio in posizioni diverse, i bambini sono invitati a

stabilire se le due figure in questione sono simmetriche. In tal modo,

quindi, i bambini sono portati inconsapevolmente a ricercare una

possibile definizione di simmetria.

Nella seconda e nella terza domanda, date due figure non

geometriche, viene chiesto ai bambini di individuare e disegnare nelle

figure tutti i possibili assi di simmetria e di spiegare il perché della

scelta fatta.

Nella quarta domanda, infine, viene chiesto ai bambini di

riflettere su una figura che loro conoscono già: il parallelogramma.

Anche questa volta bisogna individuare i possibili assi di simmetria.

Quest’ultima domanda, che potrebbe sembrare la più facile, in realtà si

pone come la più impegnativa perché si scontra con la convinzione di

molti bambini di considerare assi di simmetria i segmenti verticali e

orizzontali, o comunque quelli che dividono la figura in due parti (nel

caso del parallelogramma anche le diagonali).

3.1 Il campione

L’indagine è stata rivolta a 97 alunni di 4 classi quinte, di cui due

appartenenti all’Istituto Comprensivo “Vincenzo Guarnaccia” di

34

Pietraperzia (Enna) e le altre due appartenenti al Circolo Didattico

“Emilio Salgari” di Palermo.

Il lavoro si è svolto alla fine dell’anno scolastico, nei mesi

maggio – giugno 2003. Le classi interessate alla sperimentazione non

sono state “preparate” alla somministrazione del questionario con dei

momenti di ripasso teorico sull’argomento simmetria, né da parte delle

insegnanti, né da parte mia. Questo accorgimento è stato volutamente

preso soprattutto per evitare che gli alunni, durante la formulazione

delle risposte, si lasciassero condizionare da definizioni o concetti

teorici appresi, anziché fare emergere le proprie concezioni spontanee.

3.2 Il metodo

Prima della somministrazione del questionario nelle varie classi,

mi sono presentata ai bambini come studentessa universitaria ed ho

spiegato il perché della mia presenza in classe, facendo riferimento al

lavoro di tesi. Successivamente ho chiesto loro se erano disponibili ad

offrirmi la loro collaborazione per la mia ricerca, spiegando che il fine

della somministrazione non era quello di dare una valutazione ai loro

elaborati, che tra le altre cose sarebbero rimasti anonimi, ma quello di

raccogliere informazioni che poi si sarebbero sommate a quelle di

altre classi quinte.

Ottenuta la disponibilità a collaborare ho distribuito a ciascun

bambino una copia del questionario, quindi ho chiesto di lavorare

individualmente, senza lasciarsi condizionare dai compagni.

35

4. Analisi a priori dei comportamenti attesi da parte degli allievi

L’analisi a priori comprende l’insieme di tutti quei

comportamenti ipotizzabili dagli allievi nei confronti della

“situazione-problema”, ossia tutte le possibili strategie risolutive

corrette e non.

La costruzione dell’analisi a priori è avvenuta in due fasi:

- durante la costruzione del questionario;

- dopo la somministrazione del questionario al campione.

Questa modalità è stata utilizzata al fine di integrare le risposte

ipotizzate con tutte quelle date dagli allievi e non previste.

L’analisi a-priori è, inoltre, uno strumento necessario per la

didattica disciplinare dell’insegnante, poiché gli permette di

considerare gli schemi risolutivi ai fini di poter gestire la negoziazione

delle risoluzioni degli allievi in funzione dell’attività didattica. Essa,

infatti, mettendo in luce lo spazio degli eventi, ossia l’insieme delle

possibili risposte ipotizzate per il contesto di azione, permette di

individuare il buon problema, ossia quello che permette la migliore

formulazione, e le variabili didattiche, che permettono di favorire un

cambiamento del comportamento degli alunni.

Di seguito viene presentato, per ciascun quesito, l’elenco delle

strategie e/o risposte effettivamente adoperate dagli alunni che hanno

partecipato alla sperimentazione e che sono state considerate nella

tabulazione dei dati.

36

Domanda A: Le due figure sono simmetriche? Perché?

A1. Le due figure sono simmetriche perché sono uguali.

A2. Le due figure sono simmetriche perché non sono uguali.

A3. Le due figure non sono simmetriche perché non sono uguali.

A4. Le due figure sono simmetriche perché ruotandone una esse

coincidono.

A5. Le due figure non sono simmetriche perché non c’è l’asse di

simmetria.

A6. Le due figure non sono simmetriche perché non sono divisibili in

parti uguali.

A7. Le due figure sono simmetriche perché si possono dividere in

parti uguali.

A8. Le due figure non sono simmetriche perché se le dividiamo a

metà non otteniamo due parti uguali.

A9. Le due figure non sono simmetriche perché non hanno una forma

esatta.

Domanda B: Quanti assi di simmetria può avere la seguente

figura? Dopo averli individuati, tracciali e spiega il perché.

B1. Individua e traccia correttamente i 4 assi di simmetria: verticale,

orizzontale e i 2 obliqui.

B2. Individua e traccia solo l’asse verticale.

B3. Individua e traccia solo l’asse verticale e quello orizzontale.

B4. Individua e traccia solo gli assi obliqui.

B5. Individua e traccia 5 segmenti verticali, uno dentro ogni quadrato

che compone la figura.

37

B6. Individua e traccia 3 assi: 1 verticale e 2 obliqui.

B7. Individua e traccia 3 assi: 1 orizzontale e 2 obliqui.

B8. Individua e traccia 4 assi dentro ciascun quadrato della figura.

B9. Non individua nessun asse di simmetria.

Domanda C: Quanti assi di simmetria si possono tracciare

nella figura seguente? Motiva la tua risposta.

C1. Traccia solo i 3 assi interni alla figura.

C2. Traccia 4 assi: 1 verticale e i 3 interni.

C3. Traccia 6 assi: 3 interni e 3 esterni alla figura.

C4. Traccia solo i 3 assi esterni alla figura.

C5. Traccia solo l’asse verticale.

C6. Non traccia nessun asse.

C7. Disegna 2 assi, perpendicolari tra loro, dentro ad ogni “petalo”

che compone la figura.

Domanda D: Quanti assi di simmetria ha questo

parallelogramma? Perché?

D1. Indica e taccia come assi di simmetria le 2 diagonali.

D2. Indica e traccia le diagonali ed un segmento verticale.

D3. Indica e taccia le due diagonali, un segmento verticale ed uno

orizzontale.

D4. Non traccia nessun asse di simmetria.

D5. Indica e traccia dentro la figura un segmento parallelo ai lati

minori.

38

D6. Indica e traccia come asse di simmetria un segmento verticale ed

uno orizzontale.

D7. Indica e traccia due altezze del parallelogramma.

D8. Indica come assi di simmetria i lati della figura.

5. Analisi dei dati sperimentali

Per l’analisi dei dati sperimentali si è fatto riferimento alla

statistica descrittiva che, utilizzando la tabulazione dei dati con il

programma Excel, ci consente di stabilire come gli alunni hanno

adottato le diverse strategie per rispondere al questionario. Mi sono,

inoltre, servita del programma Chic per costruire il grafico delle

similarità di Lerman, che permette di mettere in luce quali tra le

risposte e/o strategie utilizzate per rispondere al questionario si

somigliano maggiormente.

5.1 Analisi descrittiva

I dati emersi dalla somministrazione del questionario sono stati

tabulati, sulla base dell’analisi a-priori, in 4 tabelle a doppia entrata

“alunni/strategie” 3, una per ogni domanda del questionario, dove per

ogni alunno si indica con il valore 1 la strategia che esso ha utilizzato,

con il valore 0 le strategie che non ha utilizzato.

All’interno delle tabelle sono stati indicati i seguenti elementi:

3 Le tabelle con la tabulazione dei dati della prima sperimentazione si trovano nell’Appendice, Allegato 3.

39

- A , B, C, D, accanto a V, indicano la classe di appartenenza

(quinta A, quinta B, ecc.);

- Pa e Pi, indicano rispettivamente Palermo e Pietraperzia, ossia

la realtà socio-culturale di appartenenza delle classi coinvolte

nella sperimentazione;

- il numero che segue Pa e Pi indica il singolo bambino;

- A1, A2, A3… indicano le possibili strategie risolutive;

- il numero 1 indica la presenza della strategia, ossia quella di

cui l’alunno si è servito;

- il numero 0 indica l’assenza della strategia, ossia quella di cui

l’alunno non si è servito.

Le frequenze delle risposte ottenute per ogni domanda del

questionario sono state rappresentate attraverso dei grafici “a torta”,

che rendono più evidenti le caratteristiche distribuzionali delle

modalità di risposta del campione preso in esame.

In merito alla domanda A i dati relativi alle risposte degli allievi

sono i seguenti:

domanda A

33%

5%

4%23%

7%

12%5% 5% 5%

A1A2A3A4A5A6A7A8A9

40

Significativo è il fatto che ben il 33% del campione ha dato la

risposta A1, ritenendo che è l’uguaglianza a rendere simmetriche le

due figure relative alla domanda A. Interessante è inoltre anche il dato

23% relativo alla risposta A4 (le due figure coincidono se ne ruotiamo

una).Questi dati sono comunque confortanti, poiché individuano le

risposte corrette, pari al 56% del campione.

Dal grafico, infine, emerge che ben il 12% dei bambini associa la

simmetria di una figura alla possibilità di dividerla in parti uguali

(A6).

In merito alla domanda B, i dati relativi alle risposte degli allievi

sono:

domanda B

29%

6%12%12%

15%

8%

3%

6%7%

B1B2B3B4B5B6B7B8B9

Da quanto rilevato, emerge che solo il 29% del campione ha

risposto correttamente (B1). Curioso è però il risultato della risposta

B5 (individua 5 assi verticali) che ha registrato una frequenza del

15%. Tale risultato ci dimostra come spesso le conoscenze di bambini

siano legate e quasi “vincolate”ai concetti teorici appresi. La maggior

parte dei bambini, infatti, si è trovata in difficoltà di fronte ad una

figura simmetrica ma non “geometrica”.

41

In merito alla domanda C, i dati relativi alle risposte degli allievi

sono:

domanda C

49%

9%6%8%

6%

12%8%

C1C2C3C4C5C6C7

Si riscontra che quasi la metà dei bambini individua come assi di

simmetria quelli che attraversano tutta la figura (C1), mentre solo il

6% di essi individua correttamente tutti gli assi (C3). Interessante è

inoltre che per il 12% del campione la figura in esame non ha assi di

simmetria (C6), perché ancora una volta non la riconosce come figura

“geometrica”.

In merito alla domanda D, i dati relativi alle risposte degli allievi

sono:

domanda D

16%5%

38%9%

11%

2%

6% 11%D1D2D3D4D5D6D7D8

42

Particolarmente interessante è il dato di frequenza 38% relativo

alla risposta D3 (individua 4 assi). In questo caso, infatti, trattandosi di

una figura geometrica, i bambini hanno erroneamente individuato

quanti più assi possibili. Solo il 9% del campione ha risposto

correttamente, ritenendo che nella figura non è possibile tracciare assi

(D4).

5.2 Analisi delle similarità

L’analisi delle similarità è stata svolta mediante l’utilizzo del

programma Chic, che consente di costruire il grafico delle similarità di

Lerman, configurando in tal modo le variabili simili ed il loro grado di

similarità. Tale analisi è stata applicata alle strategie risolutive

utilizzate dal campione per rispondere alle domande del questionario.

Albero delle similarità delle strategie risolutive della domanda A

A1

A5

A6

A2

A3

A4

A7

A8

A9

Arbre de similarité : C:\chic\tesi_salemi\TESI simmetria\starteg_A_2.csv

43

Notiamo che si delineano sostanzialmente tre gruppi ed

emergono le seguenti informazioni:

- Il primo gruppo (A1, A5, A6) mostra una scarsa similarità tra

le strategie A5 e A6, che presentano poi similarità ancora

inferiore con A1;

- Il secondo gruppo (A2, A3, A4) presenta, invece, una un buon

grado di similarità tra A2 e A3, queste presentano una

similarità minore con A4;

- Il terzo gruppo (A7, A9) mostra un elevata similarità tra le due

strategie.

Albero delle similarità delle strategie risolutive della domanda B

Il grafico delinea quattro gruppi di similarità e ci fornisce le

seguenti informazioni:

- nel primo gruppo (B1, B2, B7) notiamo un’alta similarità tra

le strategie B2 e B7, che si correlano in modo trascurabile con

la strategia B1;

B1

B2

B7

B4

B5

B3

B6

B8

B9

Arbre de similarité : C:\chic\tesi_salemi\TESI simmetria\starteg_B_2.csv

44

- nel secondo gruppo (B4, B5) troviamo invece una scarsa

similarità tra le due strategie;

- nel terzo gruppo (B3, B6) la similarità fra le strategie è

discreta;

- nel quarto gruppo (B8, B9) si riscontra una buona similarità

delle strategie.

Albero delle similarità delle strategie risolutive della domanda C

Il grafico presenta tre gruppi così composti:

- il primo gruppo (C1, C2, C6) mostra una scarsa similarità tra

le strategie C2 e C6 ed una ancora inferiore tra queste due e la

C1;

- il secondo gruppo (C3, C5) delinea invece una similarità

molto alta tra le strategie in questione;

- il terzo gruppo (C4, C7) mostra infine una buona similarità.

C1

C2

C6

C3

C5

C4

C7

Arbre de similarité : C:\chic\tesi_salemi\TESI simmetria\starteg_C_2.csv

45

Albero delle similarità delle strategie risolutive della domanda D

Infine, l’ultimo grafico delinea sostanzialmente tre gruppi:

- il primo gruppo (D1, D2, D6) presenta un’elevata similarità

tra le strategie D2 e D6, che si correlano poi con la strategia

D1;

- il secondo gruppo (D4, D7) mostra invece una buona

similarità;

- il terzo gruppo (D5, D8) riscontra una scarsa similarità tra le

due strategie;

- la strategia D3, infine, si correla solo in modo trascurabile al

primo gruppo.

D1

D2

D6

D3

D4

D7

D5

D8

Arbre de similarité : C:\chic\tesi_salemi\TESI simmetria\strateg_D_2.csv

46

6. Analisi qualitativa

L’analisi qualitativa fa riferimento alla “qualità” delle risposte

date dagli alunni agli item del questionario, con particolare riferimento

alle motivazioni delle risposte ed alle rappresentazioni grafiche che

nella maggior parte dei protocolli integrano le risposte. Tale analisi

comprende, cioè, tutte le considerazioni personali che sono emerse

durante la lettura e la tabulazione delle risposte degli allievi.

Alcune risposte e produzioni dei bambini testimoniano una

buona concettualizzazione della simmetria; altre, invece, documentano

difficoltà di vario genere, che erano state previste e volutamente

provocate dalla scelta di costruire le figure in un determinato modo.

Verranno presentati di seguito, per ciascun item, le risposte e i

protocolli più significativi e rappresentativi del campione di indagine,

con le relative considerazioni.

A) Le due figure sono simmetriche? Perché?

Per quanto riguarda questa prima domanda, da molte risposte dei

bambini ho potuto constatare come l’idea simmetria è spesso

influenzata, e quasi vincolata, dai concetti teorici appresi.

In particolar modo ho notato come il concetto di simmetria sia

particolarmente legato a quello di asse di simmetria , come se parlare

del primo comportasse un necessario riferimento al secondo concetto:

47

(VA.Pa.18) “le due figure non sono simmetriche perché l’asse di simmetria non corrisponde con l’altra figura”.

(VC.Pi.66) “le due figure non sono simmetriche perché non c’è nessuna linea che li divide”.

(VD.Pi.93) “ …perché l’asse di simmetria è dritta, mentre queste figure sono state divise con una linea storta”.

Questo tipo di ragionamento, che ho riscontrato nella maggior

parte dei bambini, è probabilmente dovuto al fatto che spesso a scuola,

quando si studia la simmetria, si fa riferimento esclusivamente a

quella assiale.

Interessante è, inoltre, l’intuizione quasi inconsapevole di alcuni

bambini, i quali riconoscono che non si tratta di una simmetria assiale

ma di una simmetria di rotazione. Infatti, anche se la parola

“rotazione” non è presente nelle risposte formulate dai bambini, la si

evince dai loro ragionamenti:

(VB.Pa.37) “le due dimenenzioni sono simmetriche perche hanno i lati uguali, però la prima è giusto e il seconto e sottosopra”.

(VC.Pi.75) “le due figure messe al contrario risultano uguali…”.

(VC.Pi.60) “…si, perché se li mettiamo insieme e li attacchiamo coincidono”.

(VD.Pi.87) “ruotando una delle due figure diventano simmetriche”.

48

Significativo è anche l’emergere, nella maggior parte dei

protocolli, di affermazioni che evidenziano un legame tra simmetria e

forma della figura. Opinione comune dei bambini sembra essere l’idea

che due figure, per essere simmetriche, devono essere perfettamente

uguali. Idea che viene spesso indicata quasi come condizione

indispensabile. Il punto, però, è stabilire cosa si intende per “uguali”:

(VB.Pa.43) “… sono uguali perché hanno tutte e due una linea curva e sei linee rette”.

Considerazioni interessanti sono, poi, quelle che “contestano” il

fatto che non si tratti di una figura con una forma “esatta”, ossia di una

figura geometrica:

(VC.Pi.74) “…perché non ha una forma esatta e secondo me non si può dividere facilmente”.

(VA.Pa.16) “… non è una figura perché non si può dividere in parti uguali… se la dividiamo a metà non sono uguali”.

Opinione comune dei bambini, infatti, è che la geometria riguardi

esclusivamente le figure geometriche regolari, quali quadrati,

rettangoli, triangoli, ecc., che rispondono a certi criteri

Alla base di tale opinione vi è secondo me l’abitudine dei

bambini a lavorare con queste figure e la poca esperienza dei fatti

geometrici su figure e forme della realtà che li circonda. Per tale

motivo essi si convincono che certe “regole” geometriche, o i concetti

teorici appresi, valgono solo ed esclusivamente per le figure

“propriamente” geometriche.

49

B) Quanti assi di simmetria può avere la seguente figura? Dopo

averli individuati, tracciali e spiega il perché.

Dalle risposte dei bambini a questo item, ho constatato come

spesso la più comune accezione di asse di simmetria di una figura sia

quella di una retta verticale, rispetto alla quale la figura viene divisa in

due parti. Tale accezione, però, se applicata indifferentemente a tutte

le figure e a tutti i casi di simmetria, ci porta a commettere degli

errori, come è successo ad una buona parte del nostro campione. I

protocolli riportati di seguito ci mostrano come tale concetto venga

espresso graficamente dai bambini, per i quali, dunque, è asse di

simmetria quel segmento che divide verticalmente a metà una figura.

Di

Protocollo 26

50

Protocollo 13

particolare interesse è il protocollo 13, nel quale tale segmento

verticale viene rappresentato più volte nella figura, precisamente 5

volte, tante quanti sono i quadrati che la compongono.

Questo tipo di

rappresentazione ci

permette di leggere

una difficoltà

incontrata dai

bambini: quella di

considerare la figura

nel suo aspetto globale, anziché vederla come insieme di più parti (in

questo caso come insieme di più quadrati). La figura presente nella

domanda, infatti, può mettere in difficoltà il bambino che, dovendo

“operare” con essa, non sa se considerare solo i quadrati esterni della

figura, solo quello interno oppure considerarli tutti (separatamente o

non).

Un altro

protocollo ci mostra

nuovamente questa

difficoltà: questa

volta il bambino,

pur avendo individuato tutti gli assi di simmetria della figura, e non

solo quello verticale come è avvenuto nei primi due esempi, ha

considerato la figura non nella sua globalità. In tutti i cinque quadrati

che compongono la figura sono stati tracciati gli assi e nella risposta

scritta viene dichiarato che la figura ha ben 20 assi di simmetria.

Protocollo 4

51

Protocollo 15

C) Quanti assi di simmetria si possono tracciare nella figura?

Motiva la tua risposta.

Alcune delle difficoltà esaminate per i primi due item si sono

verificate anche per la soluzione del terzo.

Si è riproposta, per esempio, la difficoltà di svincolarsi dall’idea

che i fatti geometrici possono essere osservati solo su figure

geometriche:

(VC.Pi.63) “Non si possono tracciare assi di simmetria perché non è una figura”.

(VD.Pi.80) “Questa figura è una forma di fiore e non ha assi simmetrici”.

(VC.Pi.64) “…forse gli assi sono i petali del fiore perché ogni vertice è collegato ad un altro vertice”.

Ho potuto constatare

che la maggior parte dei

bambini (ben 48 su un

totale di 97), ha risposto a

questa domanda con la

strategia C1, ossia ha

52

individuato come assi di simmetria della figura solo quelli “interni”,

quelli cioè che la dividono attraversandola (vedi protocollo qui a

fianco).

Questo dato, che non avevo assolutamente previsto, mi ha colpito

e mi ha fatto riflettere fino a giungere alla considerazione che l’aver

risposto in questo modo può voler significare che forse i bambini

hanno la concezione che l’asse di simmetria deve dividere la figura

attraversandola. Infatti, i potenziali assi di simmetria “esterni”, che

non sono stati individuati dalla maggior parte dei bambini, dividono la

figura attraversando solo il cento di quest’ultima.

Particolarmente interessante mi è sembrata inoltre la soluzione

riscontrata in alcuni protocolli, nei quali gli assi di simmetria sono

stati tracciati perpendicolari fra loro. Per maggiore chiarezza rispetto a

quanto detto occorre fare riferimento al protocollo 83.

Notiamo che per

assi di simmetria della

figura qui si intendono i

segmenti perpendicolari

disegnati dentro a

quelle parti che qualche

bambino ha chiamato

“petali del fiore”.

Anche in questo caso, dunque, notiamo come l’aver generalizzato

definizioni e concetti teorici, validi per determinati contesti,

precedentemente appresi, ha portano gli allievi a sviluppare

concezioni errate.

Protocollo 83

53

D) Quanti assi di simmetria ha questo parallelogramma? Perché?

Quest’ultimo item, che a prima vista potrebbe sembrare il più

semplice, è stato quello in cui il numero di risposte corrette (solo 9) si

è rivelato il più basso fra tutti gli item del questionario.

Molti errori sono stati commessi poiché nel rispondere si è fatto

riferimento alle domande precedenti (in particolare alla seconda). Gli

allievi hanno, infatti, risposto quasi intuitivamente, senza riflettere

sulle caratteristiche della figura.

L’errore più comune è stato quello di ritenere che il

parallelogramma ha

quattro assi di

simmetria, gli stessi che

erano stati individuati

nella seconda domanda

per il quadrato.

Questa risposta viene per lo più motivata con le seguenti

affermazioni: “può essere diviso in parti uguali”, o ancora, “…perché

4 sono i lati della figura” (vedi protocollo 7).

Torna nuovamente la comune accezione di asse di simmetria

come retta verticale: buona parte del campione traccia infatti

esclusivamente un segmento verticale (protocollo 26).

In relazione a ciò, si potrebbe ipotizzare che tali difficoltà siano

legate alla concezione che gli alunni hanno in merito all’asse di

Protocollo 7

54

Protocollo 26

simmetria come di un

segmento verticale. La

figura, infatti, avrebbe

potuto suggerire di

tracciare un segmento

parallelo ai due lati

obliqui del

parallelogramma (che sarebbe stato comunque sbagliato).

L’errore commesso dai bambini in questo item, dunque, mostra

anche la loro poca attenzione per le caratteristiche della figura.

Sembra quasi che la risposta sia frutto di una veloce deduzione

piuttosto che di un’attenta riflessione.

Dai risultati complessivi della sperimentazione ho constatato

come classi diverse hanno dato risultati diversi: bambini appartenenti

alla stessa classe hanno spesso utilizzato le stesse strategie risolutive

dei compagni, giungendo alla medesima risposta. Sembrerebbe che i

processi che li portano alla soluzione siano gli stessi.

55

Capitolo 3

Seconda fase sperimentale

1. Presentazione del lavoro sperimentale

La seconda fase sperimentale è nata con l’intento di verificare se

il principio di simmetria guida le nostre percezioni, ma soprattutto se e

in che modo tale principio, o predisposizione innata (come qualcuno

l’ha definita) ci consente di ricostruire immagini e oggetti incompleti

o danneggiati.

Molti studi sulla percezione, come si è già affermato nel primo

capitolo di questo lavoro, dimostrano che l’uomo reagisce

positivamente alla sensazione/percezione di simmetria, che coglie nei

numerosissimi stimoli dell’ambiente, poiché essa risponde ai criteri di

semplicità, ordine, regolarità e armonia che permettono una più

semplice ed immediata percezione di oggetti e figure.

È inoltre dimostrato che il principio di simmetria, proprio perché

sinonimo di ordine e semplicità, è da sempre utilizzato dall’uomo,

anche se inconsapevolmente, nella selezione e nella scelta degli

elementi della sua percezione tra i milioni di stimoli ambientali.

Questa ricerca sperimentale, pertanto, è stata pensata con

l’intento di verificare in piccolo, ossia nel contesto scolastico, se il

concetto di simmetria viene utilizzato per fare previsioni sulla

ricostruzione di immagini incomplete.

56

A tale scopo, la sperimentazione è consistita nella

somministrazione a tre coppie di bambini di una scheda-lavoro che

presentava una situazione problema; quest’ultima richiedeva la

ricostruzione di una figura incompleta, raffigurante un antico mosaico.

Un primo momento della ricerca sperimentale è consistito nella

costruzione dello strumento: una scheda di lavoro che presentava una

situazione-problema relativa ad una figura da completare.

Successivamente ho svolto la somministrazione delle schede a tre

coppie di bambini di quinta elementare. Di fondamentale importanza

in questa fase è stato l’utilizzo del registratore che mi ha permesso di

registrare le argomentazioni fatte dai bambini durante la prova.

Infine, ho svolto l’analisi qualitativa dei risultati che ha tenuto

conto: della ricostruzione grafica effettuata dai bambini, della risposta

scritta sulla scheda e delle argomentazioni registrate.

2. Ipotesi di ricerca

Se gli allievi possiedono gli strumenti conoscitivi della

simmetria possono fare previsioni sulla ricostruzione degli oggetti.

3. La sperimentazione

In questa seconda fase sperimentale, svoltasi nel mese di

novembre del 2003, ho utilizzato come strumenti di indagine la scheda

strutturata ed il registratore.

57

Il primo momento della ricerca è stato quello relativo alla

costruzione della scheda strutturata, che è stata organizzata nel

seguente modo:

- il testo di un problema, che richiedeva la ricostruzione di un

antico pavimento in mosaico, ritrovato solo in parte da un

archeologo;

- il disegno del mosaico, riportato su un foglio a quadretti, che i

bambini dovevano completare disegnando le parti mancanti;

- una domanda relativa alle strategie utilizzate per risolvere il

problema, alla quale i bambini dovevano rispondere per iscritto.

Per quanto riguarda il disegno del mosaico, esso è stato riportato

sul foglio a quadretti per consentire ai bambini di ricostruirla con più

facilità. In questo modo, infatti, tenendo conto del numero dei

quadretti, che quantificano le dimensioni dei vari elementi presenti

nella figura rettangolare, e delle distanze (quantificate sempre in

quadretti) tra gli elementi stessi, i bambini potevano prevedere gli

elementi da inserire e tentare, così, di completare la figura.

Di seguito riporto la figura che i bambini dovevano ricostruire.

58

Di fondamentale importanza è stato l’utilizzo del registratore, che

mi ha permesso di “documentare” per intero la sperimentazione,

fissando le argomentazioni ed i ragionamenti che portavano i bambini

alla soluzione e quelli che, invece, li deviavano da questa.

Per quanto riguarda i tempi della somministrazione, inizialmente

mi ero proposta di fissare un tempo limite di 15-20 minuti per la

soluzione del problema da parte dei bambini; durante la

somministrazione, però, mi sono accorta che essi non riuscivano a

completare il lavoro e, dal momento che la finalità non era quella di

verificare se i bambini riuscivano o meno a risolvere il problema, ma

quella di capire quali processi e ragionamenti li guidavano in tale

lavoro, ho deciso di non fissare un limite di tempo ma di lasciare

lavorare i bambini liberamente.

3.1 Il campione

La seconda sperimentazione non ha interessato classi intere, ma

solo tre coppie di bambini di quinta elementare, appartenenti a tre

diverse classi del Circolo Didattico “Emilio Salgari” di Palermo.

Le coppie sono state formate non a caso, ma scegliendo due

bambini con capacità diverse. Per quanto riguarda le capacità, si è

fatto riferimento in particolar modo alla predisposizione per la

matematica e/o la geometria e a quella per il disegno.

59

3.2 Il metodo

La metodologia utilizzata in questa seconda fase sperimentale

non ha seguito lo stessa schema della prima fase, questo perché la

prova era sostanzialmente diversa dalla prima, così pure le finalità.

A differenza della prima sperimentazione, questa, coinvolgendo

soltanto una coppia di bambini per volta, non è stata svolta in classe

ma in un’altra aula della scuola, che al momento risultava disponibile.

I bambini, inoltre, non hanno lavorato individualmente, ma in

coppia, per tale motivo è stata distribuita loro una sola scheda

strutturata con la seguente consegna:

«Risolvete il problema insieme, disegnando le parti mancanti e

mettendo per iscritto la risposta solo dopo esservi messi d’accordo».

Il lavoro individuale, contrariamente a quello di coppia, non fa

emergere le riflessioni ed i ragionamenti fatti dal bambino per

giungere alla soluzione del problema. Un compito da svolgere insieme

ad un compagno, invece, con unico foglio su cui lavorare ed un’ unica

risposta da dare, spinge i bambini a comunicarsi a vicenda le

riflessioni e a ragionare ad alta voce per concordare insieme la

risposta.

Inoltre, con la consegna di mettere per iscritto la risposta solo

dopo essersi messi d’accordo, i bambini sono spinti maggiormente ad

esprimere e sostenere la propria tesi risolutiva e a convincere il

compagno con più argomentazioni, nel caso in cui questo non la

pensasse allo stesso modo.

60

4. Analisi qualitativa

L’analisi qualitativa dei dati è stata svolta tenendo conto:

- delle produzioni grafiche dei bambini;

- delle risposte scritte sulla scheda;

- delle registrazioni effettuate.

Per quanto riguarda le produzioni grafiche, tutte le coppie, pur

utilizzando tempi e modalità diverse, sono riuscite a risolvere il

problema e dunque a ricostruire l’intero mosaico, completando la

figura riportata sulla scheda strutturata.

Riporto di seguito il protocollo 1, che mostra la ricostruzione

grafica ad opera della coppia 1.

Protocollo 1

È utile, a questo punto, vedere in che modo le tre coppie hanno

risposto alla domanda presente sulla scheda, dopo aver ricostruito la

figura. La domanda è la seguente:

61

«Siete riusciti a ricostruire l’antico mosaico? Spiegate quali

strategie avete utilizzato per la soluzione del problema e, se non ci

siete riusciti, spiegate il perché.»

Così risponde la coppia 1:

“Abbiamo ricostruito l’antico mosaico, aiutandoci con le forme che erano presenti nel foglio, seguendo l’ordine.”

La risposta fa chiaramente capire che i bambini della coppia 1

hanno intuito una certa regolarità della figura, un certo “ordine” al suo

interno, determinato dalla posizione di quelle che loro chiamano

“forme”, ossia degli elementi grafici che erano presenti sul foglio.

Coppia 2:

“Siamo riusciti a ricostruire l’antico mosaico. La strategia che abbiamo utilizzato è quella di ridisegnare

le figure che erano già sul foglio.”

I bambini hanno dunque pensato che l’intera figura era il

risultato dell’assemblaggio di elementi che si ripetono più volte. Essi

infatti sostengono di aver ridisegnato le figure che erano già sul foglio

e non di averne create di nuove.

Infine, la risposta della coppia 3 ci fornisce un altro nuovo

elemento:

“E’ stato l’alternarsi delle figure che ci ha permesso di ricostruire il mosaico.”

62

Si fa infatti riferimento all’alternarsi delle figure, al modo cioè

in cui esse si ripetono nel foglio. Ma la parola alternanza ci fa pensare

non ad una ripetizione casuale, bensì ad una regolarità, ad un ritmo

ben preciso.

Regolarità, ritmo, ordine, alternanza sono concetti emersi dalle

risposte dei bambini, ma sono anche caratteristiche e sinonimi del

concetto di simmetria, che è appunto argomento della ricerca.

Qualche informazione in più la troviamo certamente nelle

registrazioni effettuate durante la sperimentazione. Queste, infatti,

evidenziano che la fase iniziale della risoluzione del problema è stata

caratterizzata, in tutte e tre le coppie, da una sorta di blocco iniziale

dei bambini, i quali di fronte alla figura da ricostruire non sapevano da

dove iniziare:

(Coppia 1)

V: “…quindi: si tratta di un pavimento … ma da dove dobbiamo

partire?”

O: “Allora… iniziamo da qualcosa di semplice …”

V: “Secondo me non si può fare! …ma siamo sicuri che questa cosa si

può fare?”

O: “Mi sembra un po’ difficiletto questo pavimento!”

Dopo questo primo momento di confusione i bambini,

osservando la figura, hanno provato a fare delle considerazioni in

merito alle sue caratteristiche:

63

(Coppia 3)

“Allora …vediamo un po’… questa figura ha più angoli…

…cioè ha più linee”.

(Coppia 2)

“In pratica noi dobbiamo collegare tutte cose, tutte le cose che ci sono…

… alla fine deve venire tutto pieno!”

Si tratta di considerazioni e ragionamenti relativi alle operazioni

da fare e agli elementi da utilizzare per giungere alla soluzione del

problema. I bambini, in questo modo, sembrano quasi rielaborare il

problema con parole loro, per chiarire a se stessi e al compagno come

procedere.

Il procedimento utilizzato da qualcuno è stato quello di cercare

di riempire gli spazi vuoti con degli elementi già presenti nella figura:

“Guarda questo spazio … vediamo cosa ci può andare!”

“Sto cercando un pezzo da incastrare qua…”

Curioso è stato inoltre il fatto che alcuni elementi della figura

incompleta (vedi figure 20 e 21), dal momento che per le loro

caratteristiche richiamano forme familiari ai bambini, quali la casa e la

barca, sono stati individuati e denominati dai bambini proprio con tali

nomi:

64

“Questa sembra una barchetta!… e qua ce n’è un’altra…

… però è girata”.

“Dobbiamo cercare di formare altre casette come questa… …dobbiamo cominciare cercando i tetti!”

Fig.20 Fig.21

Le parti evidenziate in giallo indicano proprio i due elementi

indicati dai bambini con il nome di “barchetta” e “casetta”.

Man mano, però, i ragionamenti si sono fatti più interessanti ed

articolati: i bambini, infatti, hanno notato certe caratteristiche degli

elementi e della loro posizione all’interno della figura:

“Ci sono forme che si ripetono …guarda queste due: sono più o meno uguali!”

“Guarda questo triangolino! …dov’è che l’abbiamo già visto?”

“Se questo pezzo lo mettiamo qua, in questa maniera… … tipo facendo così: ce lo disegniamo vicino,

ma girato da questa parte …sembrano uguali vero?

65

Emerge, quindi, che gli allievi riconoscendo uguaglianze tra gli

elementi appartenenti alla figura, hanno cominciato a ricostruirla

procedendo “per tentativi ed errori”, compiendo cioè una sorta di

“apprendimento per scoperta” che li ha portati ad avanzare ipotesi

risolutive e a verificare da sé l’esattezza di queste:

“Può essere che questo pezzo continuava così: con un trapezio?”

“…ma qui ci manca un’altra parte! …hai ragione: forse è sbagliato. Abbiamo bisogno di altri pezzi”

Particolarmente interessante è, inoltre, la scoperta da parte dei

bambini di una certa struttura ritmica all’interno della figura, che

prevede una combinazione regolare degli elementi. Alcune

argomentazioni che ci fanno pensare a questa deduzione dei bambini

sono le seguenti:

“Allora: c’è un trapezio e uno spazio, poi un trapezio e un rombo, poi di nuovo un trapezio e poi un quadrato…

Ho capito! …nello spazio c’è pure la stessa cosa: il quadrato!”

Questo ragionamento fa riferimento alla sequenza ritmica delle

forme geometriche evidenziate in giallo nella figura 22.

Fig.22

66

Un’altra argomentazione che fa riferimento alla sequenza

ritmica delle forme è la seguente:

“Guarda cosa ho scoperto: accanto al trapezio ci va sempre il rombo piccolo, poi di nuovo il trapezio e poi il rombo piccolo…

…gira e rigira è sempre la stessa cosa!!”

Nella figura 23 viene riportata la sequenza ritmica individuata:

le parti evidenziate in giallo sono proprio quelle prese in

considerazione dal bambino.

Fig.23

Infine, significativo al fine della ricerca è il dato che ci fornisce

questa affermazione:

“…sembrano dei palloni che si ripetono più volte…”

Per capire l’affermazione

facciamo riferimento alla figura

24, che ci mostra l’insieme di

elementi percepiti dal bambino

come forma circolare, simile a

quella di un pallone.

Figura 24

67

Ciò che di interessante emerge da questa riflessione è l’aver

individuato una specie di “modulo” all’interno della figura, un modulo

che ripetendosi più volte (per traslazione) dovrebbe originare la figura

stessa. Si tratta di un’intuizione spontanea del bambino che però trova

senso nel discorso sulla simmetria.

Dalle argomentazioni emerge, infatti, che i bambini, pur non

facendo esplicito riferimento al concetto di simmetria, sono comunque

risaliti alle caratteristiche e alle peculiarità strutturali di questa.

68

Conclusioni

L’aspetto più importante della ricerca, al di là delle

informazioni ricavate dalla sperimentazione, è senz’altro quello di

aver avuto l’opportunità di lavorare con l’atteggiamento critico che è

proprio della ricerca e che permette di avvicinarsi al sapere,

problematizzando la realtà al fine di comprenderla.

Con questa esperienza di ricerca ho potuto riflettere sulla

metodologia dell’insegnamento, maturando la convinzione che un

insegnante può assumere la consapevolezza dell’educazione e della

formazione dei suoi allievi solo se si pone all’interno della realtà

scolastica con l’atteggiamento del ricercatore. In tal modo, infatti, egli

ha la possibilità di conoscere meglio le conoscenze e abilità possedute

dai suoi allievi, ma soprattutto ha la possibilità di approcciarsi ai

problemi dell’apprendimento con un’ottica diversa, che gli permette di

trovare soluzioni pedagogiche e didattiche alle problematiche

emergenti.

Questa ricerca sperimentale in ambito matematico, e più

specificatamente geometrico, mi ha permesso inoltre di prendere

consapevolezza di una verità che spesso gli insegnanti perdono di

vista: i concetti non si insegnano, tutto quello che si può fare è creare

e presentare le situazioni e le esperienze che aiuteranno gli allievi a

formarli.

Dai risultati della prima sperimentazione emerge, infatti, che

molti errori, commessi dai bambini nell’individuazione degli assi di

simmetria nelle figure date, dipendono unicamente dal continuo

69

ricorso ai concetti ed alle definizioni teoriche apprese, ed in

particolare all’assolutizzazione di tali concetti per tutte le situazioni.

Occorre perciò, a mio avviso, fornire al bambino una maggiore

varietà di esperienze visive, altri modelli complementari, che

mitighino l’attivazione automatica dei precedenti in ogni situazione.

In particolare, questa esperienza mi ha fatto guardare la

matematica e la geometria come uno spazio da esplorare, uno spazio

che però deve comprendere, oltre alla realtà “esterna”, fisica, anche

quel sistema di organizzazione dell’esperienza che è lo spazio

rappresentativo. In esso vi sono le immagini mentali prive di “materia

sensibile”, ma dotate di materia intellegibile: si tratta di quelle

immagini che si formano osservando lo spazio esterno, gli oggetti

concreti, e che ci permettono poi di “operare” una closure semiotica in

termini di previsione e anticipazione. L’operazione di closure, oltre ad

intervenire nella percezione consentendoci di ricostruire mentalmente

figure ed oggetti incompleti, come ha dimostrato la seconda fase

sperimentale di questa ricerca, caratterizza tutte le esperienze

conoscitive dell’uomo. Essa, infatti, gli consente di fare delle

anticipazioni a lungo termine che sono indispensabili ai fini del suo

adattamento all’ambiente.

A conclusione della mia ricerca, ritengo indispensabile mettere

in luce una questione aperta che può fungere da punto di partenza per

successive indagini sperimentali e che può fornire in tal senso ulteriori

contributi alla ricerca in campo didattico: in che modo la closure è

legata ai meccanismi di apprendimento e di transfert?

70

Appendice

71

Allegato n. 1

Questionario utilizzato per la prima sperimentazione

A) Le due figure sono simmetriche? Perché?

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

B) Quanti assi di simmetria può avere la seguente figura? Dopo

averli individuati, tracciali e spiega il perché.

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

72

C) Quanti assi di simmetria si possono tracciare nella figura

seguente? Motiva la tua risposta.

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

D) Quanti assi di simmetria ha questo parallelogramma? Perché?

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

73

Allegato n. 2

Scheda utilizzata per la seconda sperimentazione

PROBLEMA

Un archeologo, durante alcuni scavi, ha rinvenuto frammenti di un

antico pavimento in mosaico bizantino e li ha riprodotti su un foglio a

quadretti. Vorrebbe ricostruire l’intero mosaico. Potete dargli una

mano?

Provate, insieme, a completare il mosaico disegnando le parti

mancanti.

Siete riusciti a ricostruire l’antico mosaico? Spiegate quali strategie

avete utilizzato per la soluzione del problema e, se non ci siete

riusciti, spiegate il perché.

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

74

Allegato n. 3

Dati statistici della prima sperimentazione

STRATEGIE BAMBINI A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9

VA.Pa.1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VA.Pa.4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 VA.Pa.8 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.9 0 0 0 0 0 1 0 0 0

VA.Pa.10 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.11 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.12 0 0 0 0 0 0 1 0 0 VA.Pa.13 0 0 0 0 0 0 1 0 0 VA.Pa.14 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.15 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.16 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.17 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.18 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.19 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VA.Pa.20 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.21 0 0 0 0 0 0 1 0 0 VA.Pa.22 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.23 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.24 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.25 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.26 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.27 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.28 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.29 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VB.Pa.30 0 0 0 0 0 1 0 0 0

75

VB.Pa.31 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.32 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.33 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.34 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.35 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.36 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VB.Pa.37 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.38 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.39 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.40 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.41 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.42 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VB.Pa.43 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.44 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.45 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.46 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.47 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.48 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.49 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VB.Pa.50 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.51 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VB.Pa.52 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.53 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.54 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.55 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.56 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.57 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VC.Pi.58 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.59 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.60 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.61 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.62 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.63 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.64 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.65 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.66 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VC.Pi.67 1 0 0 0 0 0 0 0 0

76

VC.Pi.68 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.69 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.70 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.71 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.72 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.73 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.74 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VC.Pi.75 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.76 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.77 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.78 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.79 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.80 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.81 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.82 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.83 0 0 0 0 0 0 1 0 0 VD.Pi.84 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.85 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VD.Pi.86 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.87 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VD.Pi.88 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.89 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VD.Pi.90 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.91 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.92 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.93 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VD.Pi.94 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VD.Pi.95 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.96 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VD.Pi.97 1 0 0 0 0 0 0 0 0

STRATEGIE BAMBINI B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9

VA.Pa.1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.2 0 0 0 1 0 0 0 0 0

77

VA.Pa.3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 VA.Pa.8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.9 0 0 0 0 0 1 0 0 0

VA.Pa.10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.11 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.12 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VA.Pa.13 0 0 0 0 0 0 1 0 0 VA.Pa.14 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.15 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.16 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.17 0 0 0 0 0 0 1 0 0 VA.Pa.18 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.19 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.20 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.21 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.22 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.23 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.24 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.25 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.26 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.27 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.28 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.29 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.30 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.31 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.32 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.33 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.34 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.35 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.36 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.37 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.38 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.39 0 1 0 0 0 0 0 0 0

78

VB.Pa.40 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.41 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.42 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.43 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.44 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.45 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.46 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.47 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.48 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.49 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.50 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.51 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.52 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.53 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.54 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.55 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.56 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.57 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.58 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.59 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.60 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.61 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.62 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.63 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.64 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.65 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.66 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.67 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VC.Pi.68 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.69 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.70 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.71 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.72 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.73 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.74 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.75 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.76 0 0 0 0 0 0 0 0 1

79

VC.Pi.77 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.78 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.79 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.80 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.81 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.82 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.83 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.84 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.85 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.86 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.87 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VD.Pi.88 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VD.Pi.89 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.90 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VD.Pi.91 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.92 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.93 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.94 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VD.Pi.95 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.96 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.97 0 0 0 1 0 0 0 0 0

STRATEGIE BAMBINI C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7

VA.Pa.1 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.2 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.3 0 0 0 0 1 0 0 VA.Pa.4 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.5 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.6 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.7 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.8 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.9 1 0 0 0 0 0 0

VA.Pa.10 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.11 1 0 0 0 0 0 0

80

VA.Pa.12 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.13 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.14 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.15 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.16 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.17 0 0 0 0 0 0 1 VA.Pa.18 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.19 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.20 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.21 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.22 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.23 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.24 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.25 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.26 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.27 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.28 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.29 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.30 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.31 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.32 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.33 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.34 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.35 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.36 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.37 0 0 0 0 0 0 1 VB.Pa.38 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.39 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.40 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.41 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.42 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.43 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.44 0 0 0 0 1 0 0 VB.Pa.45 0 0 0 0 1 0 0 VB.Pa.46 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.47 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.48 0 0 0 0 1 0 0

81

VB.Pa.49 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.50 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.51 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.52 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.53 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.54 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.55 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.56 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.57 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.58 0 0 0 0 0 0 1 VC.Pi.59 0 0 0 0 0 0 1 VC.Pi.60 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.61 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.62 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.63 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.64 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.65 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.66 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.67 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.68 0 0 0 0 0 0 1 VC.Pi.69 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.70 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.71 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.72 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.73 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.74 0 0 0 0 1 0 0 VC.Pi.75 0 0 0 0 0 0 1 VC.Pi.76 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.77 0 0 0 0 0 1 0 VD.Pi.78 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.79 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.80 0 0 0 0 1 0 0 VD.Pi.81 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.82 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.83 0 0 0 1 0 0 0 VD.Pi.84 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.85 1 0 0 0 0 0 0

82

VD.Pi.86 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.87 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.88 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.89 0 0 0 0 0 1 0 VD.Pi.90 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.91 0 0 0 0 0 1 0 VD.Pi.92 0 0 0 1 0 0 0 VD.Pi.93 0 0 0 0 0 1 0 VD.Pi.94 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.95 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.96 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.97 1 0 0 0 0 0 0

STRATEGIE BAMBINI D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8

VA.Pa.1 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.2 0 0 0 0 0 0 0 1 VA.Pa.3 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.4 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.5 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.6 0 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.7 0 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.8 0 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.9 0 0 0 0 0 0 1 0

VA.Pa.10 0 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.11 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.12 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.13 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.14 0 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.15 0 0 0 0 0 0 1 0 VA.Pa.16 0 0 0 0 0 0 1 0 VA.Pa.17 0 0 0 0 0 1 0 0 VA.Pa.18 0 0 0 1 0 0 0 0

83

VA.Pa.19 0 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.20 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.21 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.22 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.23 1 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.24 1 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.25 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.26 0 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.27 1 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.28 0 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.29 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.30 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.31 0 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.32 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.33 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.34 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.35 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.36 0 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.37 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.38 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.39 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.40 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.41 0 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.42 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.43 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.44 0 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.45 0 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.46 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.47 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.48 0 0 0 0 0 0 1 0 VB.Pa.49 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.50 0 0 0 0 0 0 1 0 VB.Pa.51 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.52 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.53 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.54 0 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.55 0 0 1 0 0 0 0 0

84

VC.Pi.56 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.57 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.58 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.59 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.60 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.61 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.62 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.63 1 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.64 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.65 0 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.66 0 0 0 1 0 0 0 0 VC.Pi.67 1 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.68 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.69 1 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.70 1 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.71 0 0 0 0 0 1 0 0 VC.Pi.72 1 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.73 0 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.74 0 0 0 0 0 0 0 1 VC.Pi.75 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.76 0 0 0 0 1 0 0 0 VC.Pi.77 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.78 1 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.79 0 0 1 0 0 0 0 0 VD.Pi.80 1 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.81 1 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.82 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.83 1 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.84 1 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.85 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.86 1 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.87 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.88 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.89 0 0 0 1 0 0 0 0 VD.Pi.90 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.91 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.92 1 0 0 0 0 0 0 0

85

VD.Pi.93 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.94 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.95 0 0 1 0 0 0 0 0 VD.Pi.96 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.97 1 0 0 0 0 0 0 0

86

Allegato n. 4

SITUAZIONE a-DIDATTICA: LA SIMMETRIA

Premessa

Il gioco è il mezzo più naturale e proficuo per l’apprendimento ed è

ormai abbastanza diffuso, soprattutto per quanto riguarda i concetti

fondamentali della matematica e della geometria. E’ necessario, a

questo scopo, scegliere i giochi o le attività che permettano di

sviluppare capacità e acquisire competenze.

Le attività che proponiamo di seguito, sono finalizzate

all’acquisizione del concetto di simmetria .

CLASSE: III elementare

PREREQUISITI:

- Conoscere i concetti di uguaglianza, equivalenza;

- Padroneggiare i concetti topologici di destra, sinistra, sopra, sotto,

davanti, dietro;

- Classificare gli oggetti in base ad una determinata proprietà.

OBIETTIVO GENERALE:

Padroneggiare il concetto geometrico della simmetria.

87

OBIETTIVI SPECIFICI:

- Cogliere la simmetria in oggetti, figure, ritmi, piante, fiori, disegni

presenti nell’ambiente circostante;

- Cogliere la simmetria in parole, lettere e numeri;mediante

piegature,ritagli, disegni ecc.;

- Rappresentare graficamente simmetrie

- Scoprire la simmetria nel corpo umano;

- Scoprire la simmetria nei diversi poligoni;

- Individuare gli assi di simmetria.

METODOLOGIE E STRATEGIE:

- Apprendimento per scoperta;

- Sperimentazione corporea.

STRUMENTI:

Oggetti dell’ambiente circostante;

Materiale didattico di vario genere.

LUOGHI:

Aula;

Palestra.

TEMPI: 2h

88

SPERIMENTIAMO LA SIMMETRIA!!!

PRE –ATTIVITA’

Prima di sperimentare l’attività corporea, abbiamo ipotizzato un

momento preliminare, in palestra, durante il quale ogni bambino potrà

sperimentare la “posizione a specchio” .

Chiederemo ad ogni bambino di mettersi davanti allo specchio e

alzare il braccio destro. Successivamente, faremo disporre i bambini a

coppia, uno di fronte all’altro, e diremo loro di alzare nuovamente il

braccio destro. A questo punto saranno fatte osservare le differenze

rispetto alla situazione precedente.

89

1ª ATTIVITA’

L’attività consiste nel far sperimentare con il proprio corpo la

simmetria, assumendo posizioni diverse rispetto ad un asse di

simmetria dato, in modo speculare al compagno di coppia.

Consegna:

Assumere la posizione del compagno, di coppia, a specchio.

Ruolo dell’insegnante

Preparazione dello spazio fisico destinato allo svolgimento

dell’attività; spiegazione di questa agli alunni, prestando attenzione

che i bambini rispettino le indicazioni date e i ruoli assegnati.

Fase di azione (Durata 30’)

In palestra dopo aver

incollato una striscia di nastro

adesivo, che rappresenti l’asse di

simmetria, inviteremo gli alunni a

disporsi a coppie, uno di fronte

all’altro, ad uguale distanza dalla

striscia. Il bambino posto a destra

della striscia assumerà una

posizione a piacere e il suo

compagno, posto a sinistra della

striscia, prenderà la stessa

posizione a “specchio”.

90

Fase di formulazione (Durata 30’)

Dopo essere rientrati in classe, proponiamo ai bambini

un’esperienza simile a quella fatta in palestra. Questa volta i bambini

dovranno colorare “a specchio” , ossia simmetricamente, delle figure

nelle quali la linea rossa (asse di simmetria) verrà paragonata alla

striscia di nastro adesivo che, durante il precedente esercizio, avevamo

incollato sul pavimento della palestra.

ESERCIZIO: colora in modo simmetrico

91

Successivamente diremo ai bambini di prendere un foglio di carta

quadrettata, piegarla a metà e di disegnare sulla prima facciata una

barchetta con la vela. Ogni bambino andrà alla finestra e, appoggiando

il foglio sul vetro, ricalcherà il disegno sull’altra facciata. Otterranno

in tal modo due figure simmetriche. La piegatura del foglio

rappresenta l’asse di simmetria, faremo osservare ai bambini che i due

disegni si distanziano dall’asse di simmetria di un uguale numero di

quadretti.

Faremo notare ai bambini che le figure simmetriche sono figure che

non cambiano nella forma e nell’estensione ma solo nella posizione

(destra-sinistra, sopra-sotto).

92

Fase di validazione (Durata 1h)

Scopriremo insieme ai bambini che molte figure geometriche,

tutti i poligoni regolari, sono dotate di uno o più assi di simmetria ,

che dividono la figura in parti uguali o simmetriche.

Il triangolo isoscele e il trapezio isoscele hanno un solo asse di

simmetria; il rettangolo e il rombo ne hanno due; il triangolo

equilatero ne ha tre; il quadrato ne ha quattro; il pentagono, cinque;

l’esagono, sei; ecc.

93

Gradualmente guideremo gli alunni a scoprire la simmetria in

figure non geometriche, nelle lettere, nei numeri e nelle parole.

Presenteremo ai bambini dei cartoncini che riproducono delle figure

non geometriche, in modo da favorire la manipolazione e individuare,

piegando di volta in volta il cartoncino in modo diverso, gli assi di

simmetria presenti nella figura.

Le possibili figure da proporre in classe sono:

94

Un’altra attività può essere quella di fare costruire ai bambini

delle figure simmetriche utilizzando diverse strategie:

- piegare il foglio a metà, disegnare metà figura e ritagliarla

ottenendo così la figura simmetrica;

- realizzare delle “catene” di figure simmetriche piegando più volte

il foglio o cartoncino ( origami).

Successivamente faremo osservare che è possibile individuare gli assi

di simmetria anche in alcune lettere dell’alfabeto e in alcuni numeri.

Utilizzando dei cartoncini raffiguranti le lettere dell’alfabeto e alcuni

numeri, precedentemente preparati, faremo scoprire ai bambini,

sempre mediante la manipolazione e la piegatura di essi, che lettere e

numeri possono avere uno o più assi di simmetria, o non averne

nessuno.

ESERCIZIO:

A B H

O 8 3

95

A questo punto faremo notare ai bambini che è possibile

individuare la simmetria anche nelle parole. Proporremo i seguenti

esempi:

96

Infine, per quanto possa sembrare un allontanamento

dall’argomento, che è specificamente geometrico, poiché l’idea di

simmetria va anche oltre l’esperienza visiva, è possibile allargarla ad

esperienze sonore.

Un’attività alternativa può essere dunque quella di far realizzare ai

bambini dei suoni simmetrici con il battito delle mani e dei piedi,

battendo sul banco le penne, imitando il suono di un tamburo o

riproducendo il suono di un fischietto.

97

Bibliografia di riferimento

v Filippo Spagnolo, Insegnare le Matematiche nella scuola

secondaria, La Nuova Italia, 1998.

v Maria Cutrera – Daniela Lo Verde, Aritmrntica. Manuale di

didattica , Sigma Edizioni, Palermo.

v F. Speranza – D. Medici Caffarra – P. Quattrocchi, Insegnare

la matematica nella scuola elementare, Zanichelli, Bologna,

1986.

v Peter Gray, Psicologia, Zanichelli, Bologna, 1990.

v Z. P. Dienes – M. A. Jeeves, Pensiero in strutture, Edizioni OS

Firenze, 1970.

v Z. P. Dienes – E. W. Golding, Esplorazione dello spazio e

pratica della misura vol III, Edizioni OS Firenze, 1970.

v Z. P. Dienes, Uno studio sperimentale sull’apprendimento della

matematica, Feltrinelli, Milano, 1968.

v Lucia Grugnetti, Dallo spazio del bambino agli spazi della

geometria, Centro Grafico dell’Università di Parma, 1997.

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v P. Bellingeri – M. Dedò, Il ritmo delle forme. Itinerario

matematico (e non) nel modno della simmetria, Mimesis,

Milano, 2001.

v W. Moro, Didattica della comunicazione visiva, La Nuova

Italia, Firenze, 1992.

v Lucia Lazzotti, Perazione e visiva e linguaggio, Editore

Bulgarini, Firenze, 1984.

v Ernst H. Gombrich, Il senso dell’ordine, Leonardo Arte,

Milano, 2000.