La sezione Aurea Sara, Viola, Ilaria

Leonardo Fibonacci

Leonardo Fibonacci, detto “Fibonacci” perché figlio di Bonacci, nacque  Pisa nel 1175 circa e morì a Pisa, nel 1235 circa.  Il padre lavorava per i mercanti pisani, come impiegato di dogana, e volle che il figlio apprendesse nuove forme di numerazione, oltre quelle conosciute in Italia. Così lo portò a vivere con sé a Bugia, presso Algeri, dove imparò ad usare la numerazione araba nella quale era inserito il numero zero e che solo in seguito venne inserito anche nella matematica europea.

Serie di Fibonacci Nel 1223 a Pisa, partecipò ad una gara fra matematici indetta dall’imperatore Federico II che propose un banale quesito: si rinchiude una coppia di conigli in un recinto: quante coppie di conigli si ottengono in un anno supponendo che ogni coppia dia alla luce un'altra coppia ogni mese, che le coppie più giovani siano in grado di riprodursi dal secondo mese di vita e che la coppia non muore mai? Con sorpresa di tutti Fibonacci, mentre gli altri si arrovellavano il cervello, risolse il quesito scrivendo la sua famosa “serie” che scaturì facilmente dalla pratica di manipolare i numeri: in poco tempo scoprì che i conigli sarebbero stati 377!1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377… (Il gioco è semplice: all’inizio c’è solo una coppia di conigli, il primo mese ce ne sono 2 di cui una fertile, quindi il secondo ce ne sono 3 di cui 2 fertili, quindi il terzo mese ce ne sono 5 di cui 3 fertili, quindi il quarto mese ce ne sono 8 di cui 5 fertili e così via. Fibonacci nota che ogni termine della sequenza è la somma dei due precedenti. Nasce così la celebre successione di Fibonacci)

a) La coppia inizia a procreare dopo il secondo mese;

b) Genera una nuova coppia ogni mese;

c) Non muore mai; d) In totale ci sono 377 conigli

in un anno.

La sezione Aurea La sezione Aurea (o proporzione divina) nell’ambito della matematica, delle arti figurative e della natura, è il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due.

Tale rapporto vale approssimativamente 1,6180 ed è esprimibile per mezzo della formula:

Un altro modo per calcolare il valore del numero aureo può essere ricavato dalla costruzione del rettangolo aureo; si può dedurre che equivale a:

Il valore così definito, che esprime la sezione Aurea, è un numero irrazionale e algebrico. La sezione Aurea ricorre frequentemente in geometria. Esistono inoltre dei poligoni detti Aurei, poiché presentano il rapporto aureo: il rettangolo aureo e il triangolo aureo.

Il rettangolo Aureo e spirale

Tracciando un arco di circonferenza all’interno di ciascun quadrato si ottiene la spirale aurea.

Un rettangolo è detto Aureo se i suoi lati sono in

rapporto aureo. I rettangoli aurei sono caratterizzati

da una particolare proprietà: se si scompongono in un

quadrato e un rettangolo, quest’ultimo sarà a sua

volta necessariamente un rettangolo aureo,

simile al rettangolo di partenza.

Tale procedimento può quindi essere ripetuto, arrivando a costruire una successione di rettangoli aurei e una di quadrati aventi i lati in rapporto aureo.

La sezione aurea in natura - Nautilus

In natura diversi tipi di conchiglie, ad esempio quella del Nautilus, hanno una forma a spirale fatta secondo i numeri di Fibonacci.

Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch’esso un rettangolo aureo. Puntando la punta del compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato lungo del rettangolo, e tracciando l’arco che unisce gli estremi dei due lati che formano l’angolo scelto. Ripetendo l’operazione per ogni quadrato disegnato si crea una linea continua detta spirale aurea appartenente al Nautilus.

La sequenza di Fibonacci in botanica

La sequenza di Fibonacci si trova in molte piante e fiori. Ne è un esempio l’Achillea ptarmica:

La crescita di questa pianta segue questo schema: ogni ramo impiega un mese prima di potersi biforcare. Al primo mese quindi, abbiamo 1 ramo, al secondo ne abbiamo 2, al terza 3, al quarto 5 e così via (seguendo lo schema 1+1=2+1=3+2=5+3=8 addizionando sempre il risultato ottenuto dalla somma dei precedenti, più il numero precedente)

I pistilli dei girasoli spesso sono messi secondo uno schema preciso

formato da spirali. I pistilli sono disposti secondo questi schemi in

modo da essere uniformemente sparsi e non troppo ammassati al

centro. È possibile notare due serie di spirali che si avvitano l’una in

senso orario l’altra in senso antiorario.

La sezione Aurea in arte

La sezione aurea, riconosciuta come un rapporto esteticamente piacevole ed armonioso, è stata usata come base per la composizioni di quadri o di elementi architettonici. Gli artisti e i matematici del Rinascimento, tra cui Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, Bernardino Luini, e Botticelli rimasero molto affascinati dalla sezione aurea, allora riconosciuta come divina proporzione e veniva considerata la “chiave” mistica dell’armonia nelle arti e nella scienza.

Leonardo da Vinci Utilizzando la sezione aurea nei suoi dipinti Leonardo in oltre scoprì che si poteva creare un sentimento di ordine. In particolare Leonardo applicò il rapporto a tre dei suoi capolavori: La Gioconda, L’ultima cena e L’Uomo di Vitruvio.

Nella Gioconda il rapporto aureo è stato individuato: Nella disposizione del quadro, nelle dimensioni del viso, nell’area che va dal collo alle mani, in quella che va dalla scollatura dell’abito fino a sotto le mani

Il centro del corpo umano è in oltre per natura l’ombelico; infatti se si sdraia un uomo sul dorso, mani e piedi allargati, e si punta un compasso sul suo ombelico, tracciando un cerchio si toccherà l’estremità delle dita delle dita delle sue mani, e dei sui piedi (come rappresentato da Leonardo attraverso l’Uomo di Vitruvio).

Nell’Uomo di Vitruvio, Leonardo studia le proporzioni della sezione aurea che obbediscono ai rapporti del numero aureo. Leonardo stabilì che le proporzioni umane sono perfette quando l’ombelico divide l’uomo in modo aureo.

Pierre Mondrian Importanti anche i dipinti del pittore

ottocentesco Pierre Mondrian, autore di numerosi quadri astratti in cui

domina l’uso di figure geometriche. In questo dipinto è ben visibile

l’impostazione artistica dell’autore che basa l’intero dipinto

sull’accostamento di quadri e rettangoli aurei.