LA SEZIONE AUREALA SEZIONE AUREA

Realizzato da

• Liceo “Leopardi - Majorana”, Pordenone– Insegnanti Sergio La Malfa, Andrea

Secomandi, Margherita Messina

PUNTO DI VISTA MATEMATICO

COORDINATE POLARI

P

r

θ

r sin θ

r cos θ

Equazione delle spirali logaritmiche

1con A >

θAr =

1con A >

DA UN PUNTO DI VISTA FISICO

• La traiettoria descritta da un punto che si allontana lungo il raggio vettore mentre questo ruota di moto circolare uniforme è una spirale.

PROVA SPERIMENTALE

Spirali logaritmiche

• Le spirali logaritmiche si ottengono quando il punto si muove con velocità proporzionale ad .

• La Spirale Aurea corrisponde al rapporto

con la Sezione Aurea.

r&r

=lnr

r& =lnr

r&

LA SPIRALE CON QBASIC

PROPRIETA’ caratteristica delle spirali logaritmiche

L’angolo formato dalla retta tangente e dal raggio radiale è costante.

LA SEZIONE AUREA

A BC

: :AB AC AC CB=Posto AB = u

( ): :u x x u x= −

2 2 0x ux u+ − =

x u-x

soluzioni2 2 0x ux u+ − =

5 1

2

5 1

2

x u

x u

−= ⋅

+=− negativa

5 1

2

5 1

2

x u

x u

−= ⋅

+=−

Il numero phiScartando la soluzione negativa si ricava che il rapporto tra il medio proporzionale x ed il numero u vale:

E’ un numero irrazionale

(ma non trascendente).

5 1 = 0,618033988749894848204586....

2

x

uϕ−

= =

è detta anche la parte aurea dell'unità

CIRCA 61,8 %

IL NUMERO PHI

La denominazione di Rapporto Aureo viene talora data alla prima (), talora alla seconda ().

Viceversa il rapporto tra il medio proporzionale x ed il numero u vale:

1 5 1 = 1,618033988749894848204586.....

2

u

x ϕ+

= = =1 5 1 = 1,618033988749894848204586.....

2

u

x ϕ+

= = =

LA SEZIONE AUREAA B

0,618033988.......x

uϕ = =

C

1,618033988...u

x = =

0,618033988.......x

uϕ = =

Torniamo all’equazione che definisce phi:2 2 0x ux u+ − =

Posto u=1:

2 1 0x x+ − = Dividiamo per x:

11 0x

x+ − =

11x

x+ =

φ è soluzione:

11ϕ

ϕ+ = O anche :

11+ =

Togliendo a Φ l’unità si ottiene φ

2 1 0x x+ − =1

1 0xx

+ − =1

1xx

+ =

11ϕ

ϕ+ =

11+ =

• TEOREMA: Il numero Φ è la frazione continua:

K11

1

11

11

11

++

++=

• DIM:

È il peggiore irrazionale nel senso che è più difficile approssimarlo con numeri razionali.

Questa parte è uguale al tutto cioè è Φ

11 = +

cvd

K11

1

11

11

11

++

++=

11 = +

UN ESERCIZIO CON LA CALCOLATRICE

Usando una calcolatrice scientifica si può facilmente calcolare Φ con il

seguente procedimento:

1. inserire 1 per iniziare;

2. prendere il suo reciproco (il bottone 1/x). Aggiungere 1;

3. prendere il suo reciproco. Aggiungere 1;

4. prendere il suo reciproco. Aggiungere 1;

5. ripetere il procedimento fino a quando il display non dà un numero

costante.

NB: è un metodo per determinare la radice di 5

LA SEZIONE AUREAcostruzione

A B

E

M S

D

Costruzione con Cabrì

COSTRUZIONE GRAFICA DELLA SEZIONE AUREA CON CABRI’

1. segmento di estremi A e B2. punto medio del segmento AB: punto M3. circonferenza c di centro B e raggio BM4. retta r per B perpendicolare ad AB5. intersezione tra la circonferenza c e la retta r: punto D6. circonferenza f di centro D e raggio DB8. segmento di estremi A e D9. intersezione tra il segmento AD e la circonferenza f: punto H10. circonferenza g di centro A e raggio AH11. intersezione tra il segmento AB e la circonferenza g: punto C

AC è la sezione AUREA DI AB

DIMOSTRAZIONE

Per il Teorema della tangente il segmento di tangenza AB è medio proporzionale tra la secante AF e la parte rimanente AE. Per le proprietà delle proporzioni:

: :AF AB AB AE=

( ) : ( ) :AF AB AB AB AE AE− = −

: :AE AB CB AE= AE AC=

AB EF=

: :AB AC AC CB=cvd

( ) : ( ) :AF AB AB AB AE AE− = − AB EF=

IL RETTANGOLO AUREO

• Si chiama invece “rettangolo aureo” il rettangolo avente un lato che è la sezione aurea dell'altro.

A B

CD

E

Sia :

AB=u

AE=uφ

: :AB AE AE EB=

uϕ

u

uϕ

PROPRIETA’

• Se sul lato maggiore AB si costruisce, esternamente al rettangolo, il quadrato AEFB, si ottiene un altro rettangolo aureo EFCD.

A

C

D

B uϕ

E

F

u

u

DIM: Tesi: EFCD è aureoDC è sezione aurea di FC

FC=u+uφDC=u

11

FC u u

EF u

ϕ ϕϕ

+= = + = 1

1FC u u

EF u

ϕ ϕϕ

+= = + =

STORIA DELLA SEZIONE AUREA

“Il tutto sta ad una parte, come la parte sta al restante"

(Euclide)

ARCHIMEDE• 287 - 212 a.C. fu matematico, astronomo, filosofo, fisico e ingegnere della Magna Grecia.

• Una delle sue opere matematiche è un trattato sulle spirali in cui definisce ciò che oggi è chiamata spirale di Archimede. È la prima curva meccanica considerata dai matematici greci.

SPIRALE DI ARCHIMEDEGenerata quando un punto P si muove a velocità uniforme v su un’asta, che a sua volta ruota uniformemente attorno ad un suo punto O, con velocità angolare ω. Supponiamo che P coincida inizialmente con O; se indichiamo con r la distanza di P dal centro di rotazione O e con θ l’angolo che OP forma con la posizione iniziale dell’asse avremo:

€

r = νt

θ = ωt

⎧ ⎨ ⎩

"De Divina proportione“di Luca Pacioli, 1509

All'inizio del suo libro dichiara apertamente di voler rivelare agli artisti, attraverso il rapporto aureo, il "segreto" dell'armonia delle forme.

Il libro contiene al suo interno delle splendide illustrazioni dei cinque solidi platonici disegnate niente po’ po’ di meno che da Leonardo da Vinci.

I solidi platoniciTali figure geometriche, oltre a essere gli unici solidi esistenti formati da angoli diedri uguali e facce regolari uguali tra loro, sono state considerate per secoli dotate di eccezionali proprietà naturali ed estetiche. Nel Timeo di Platone il dodecaedro era associato alla quinta essenza e gli altri quattro solidi ai quattro elementi primordiali origine di

tutto il cosmo: l'aria (l'ottaedro dall'apparenza mobile), l'acqua (l'icosaedro sfaccettato), la terra (il cubo, solido e semplice) e il fuoco (il tetraedro, appuntito e sfuggente).

La costruzione del dodecaedro e dell’icosaedro si basa sulla sezione aurea.

Il numero PhiLa sezione aurea (nota anche come rapporto aureo, numero aureo, costante di Fidia e proporzione divina), indicata abitualmente con la lettera greca Φ (Phi), corrisponde al numero:

In Grecia: aveva già svolto una parte importante nella civiltà occidentale. Era noto come il numero aureo che nell’antichità chiamavano proporzione divina.

Nel Rinascimento: la tradizione europea delle belle arti ha fatto frequente e deliberato uso della proporzione divina nella forma delle tele, nelle dimensioni delle figure e in altri particolari.

K4989484826180339887,12

51≈

+= K4989484826180339887,1

2

51≈

+=

LEONARDOIn una pergamena ingiallita si scorgeva il famoso nudo maschile di Leonardo da Vinci, l'Uomo vitruviano.

"Nessuno capiva meglio di Leonardo da Vinci la divina struttura del corpo umano. Leonardo disseppelliva i corpi per misurare le proporzioni esatte della struttura ossea umana. Fu il primo a mostrare che il corpo umano è letteralmente costituito di elementi che stanno tra loro in rapporto di phi."

Giovanni Keplero (1571 Weil – 1630 Ratisbona). Oltre ai cinque solidi platonici, si possono costruire altri quattro solidi regolari. Due (i cosiddetti poliedri di Keplero) hanno come facce poligoni regolari stellati, altri due (i cosiddetti poliedri di Poinsot, dal nome del matematico francese Louis Poinsot) sono costruiti in modo che le facce possano interpenetrarsi.

KEPLERO

KEPLERO

Keplero, nel 1600, la battezzò "gioiello della geometria" e solo dall'800 la sezione aureaebbe questo nome.

LA FAMIGLIA BERNOULLISEI GENERAZIONI DI MATEMATICI: 200 ANNI DI GLORIA

Le sfide matematiche accentuarono le rivalità in famiglia. I Bernoulli erano caratterizzati da invidia, faziosità, facile

irritabilità, competitività.

La famiglia Bernoulli, perseguitata dalla reazione spagnola, abbandonò le Fiandre cattoliche,

per trovare rifugio nel 1583 a Basilea.

Fra i membri di questa famiglia circa una dozzina si affermarono nel campo della matematica e della fisica

e quattro furono eletti membri stranieri dell’ Académie des Sciences.

Nicolaus(1623-1708)

Jacques I(1654-1705)

Nicolaus I(1662-1716)

Jean I(1667-1748)

Nicolaus II(1687-1759)

Nicolaus III(1695-1726)

Jean III(1746-1807)

Daniel II(1751-1834)

Jacques II(1759-1789)

Christoph(1782-1863)

Jean Gustave(1811-1863)

Daniel I(1700-1782)

Jean II(1710-1790)

JACOB BERNOULLIJacob si occupò della spirale logaritmica, intitolata anche “spira mirabilis”. Jacob fu colpito dalle proprietà di questa curva che si avvolge su se stessa.Jacob diede disposizioni affinchè tale figura, insieme al motto “Eadem mutato resurgo” (trasformato, risorgo ugualmente”) fosse incisa sulla sua lapide.

In seguito ad un errore che avrebbe sicuramente rattristato Jacob Bernoulli, lo scalpellino che preparò la pietra tombale vi incise non una spirale logaritmica, ma una comune spirale di Archimede.

LA TOMBA DI JACOB BERNOULLI

COSTRUZIONI

Pentagono regolareIn un pentagono regolare il rapporto tra la diagonale e il lato è pari al numero Φ

A B

C

D

E

ABD è detto triangolo aureo

Il triangolo Aureo

•Si parte da un Rettangolo Aureo.

•Si originano nuovi R.A. inscritti

•Si inscrivono archi di circonferenza nei quadrati

•La curva non è la spirale logaritmica ma l’approssima molto bene.

COSTRUZIONE CON CABRì

Rettangolo Aureo Nella

Realtà

Il Rettangolo Aureo

E’ esteticamente armonioso, infatti è usato molto nell’architettura e nelle altre forme d’arte.

La bellezza questione di matematica? L’idea non è nuova. Furono i Greci, infatti, i primi a pensare che la bellezza ideale fosse semplificabile da una formula

matematica. Essi applicarono la “divina proporzione” all’arte. A cominciare dalle linee del Partenone:

Persino Leonardo – secondo alcuni – si sarebbe ispirato al rapporto aureo sia nella forma del viso della Gioconda che nella posizione del collo e delle mani. Proprio i suoi studi avrebbero

indicato in quella “proporzione divina il rapporto esteticamente più piacevole tra parti del corpo umano”, per esempio tra il tronco e le gambe. Il che spiegherebbe le coincidenze, e cioè

perché l’ombelico della Venere del Botticelli si trovi esattamente al 61,8 per cento dell’altezza.

E non solo: sarebbero le proporzioni della Gioconda a guidare la mano del chirurgo durante i ritocchi estetici. «La maggior parte delle persone, inclusi i bambini», spiega lo studioso inglese

Stephen Marquardt, «sono naturalmente e istintivamente attratte dai visi che rispettano le proporzioni del rapporto aureo». Tanto da arrivare a creare al computer una “maschera di

bellezza universale”, ricostruita prendendo a modello le proporzioni matematiche del rapporto aureo, su cui calzano perfettamente – secondo Marquardt – gli ideali di bellezza di tutte le

razze.

La spiegazione sarebbe dovuta a meccanismi neurologici: il nostro cervello mostrerebbe una naturale preferenza verso linee e forme disegnate che richiamano quel rapporto matematico. Gli esempi? Sotto i nostri occhi. Non solo i canoni estetici dominanti obbediscono religiosamente a

quelle proporzioni, ma anche i paesaggi naturali, i petali dei fiori, i colori delle piume degli uccelli. Un crescendo talmente affascinante da spingere un ricercatore inglese, Eddy Levin, a brevettare uno strumento di misura – a forma di tenaglia – per dare la caccia agli oggetti che rispondono alle

“proporzioni auree”.

LA SPIRALE IN NATURALA SPIRALE IN NATURA

Gli esempi in natura sono innumerevoli. Dal guscio di conchiglia al numero dei petali in senso orario e

antiorario del girasole: 55 e 34. E il rapporto è circa 1,618 ovviamente.

I GIRASOLI

• Ammirando un girasole è facile notare, al centro dell’infiorescenza, l’insieme di spirali orarie e antiorarie che si intersecano con regolarità.

• È chiaro che gli elementi dell’infiorescenza crescono in modo da occupare nel modo più efficiente lo spazio circolare al centro del fiore. Il numero di spirale dipende dalla grandezza del fiore ma è sempre un numero di Fibonacci.

• L’idea è che i semi si formano via via nel centro del girasole e spingono verso l’esterno i semi precedenti.

• Ogni seme si colloca in una determinata posizione, che forma un certo angolo di rotazione costante rispetto al seme precedente: ciò produce lo schema a spirale che osserviamo nel fiore.

Configurazione se l’angolo è intero

• I ricercatori hanno dimostrato che germogli posti lungo la spirale risultano più fitti e usano lo spazio con più efficienza se separati da angoli aurei.

• Se l’angolo di divergenza fosse razionale i semi si allineerebbero in modo radiale lasciando inutilizzata una grande quantità di spazio.

Configurazione se l’angolo è razionale

• L’angolo aureo è preferibile ad altri angoli irrazionali perché è “il più irrazionale “ degli irrazionali.

Configurazione se l’angolo è irrazionale, come ad esempio phi.

VERIFICA CON QBASICAbbiamo simulato la formazione delle spirali in un girasole partendo da diversi angoli razionali e irrazionali. L’angolo che fornisce la migliore distribuzione è φ.

αααα

2

3

4

5

1

Si pensa che ad ogni passo k-esimo il raggio vettore ruoti dello stesso angolo α e il seme si disponga ad una distanza pari a dal centro.

k

k

LA SEZIONE AUREA E LA LA SEZIONE AUREA E LA SEQUENZA DI FIBONACCI IN SEQUENZA DI FIBONACCI IN

MUSICAMUSICA

LA SEZIONE AUREA E LA SEQUENZA DI FIBONACCI

IN MUSICA

Il rapporto aureo e la sequenza di Fibonacci sono stati spesso utilizzati nel corso della storia da vari compositori per determinare

le proporzioni strutturali delle loro composizioni. Musicisti quali Béla Bartòk, Claude Debussy, Stockhausen, Barbaud, Xenakis. Anche nella musica più recente

alcune formazioni musicali l’hanno utilizzato nei loro pezzi, basti pensare al

rock progressivo e soprattutto al più recente avvento della tecnologia informatica applicata alla musica.

La serie di numeri individuata da Fibonacci ed il rapporto aureo possono

essere rapportati a qualsiasi unità di misura riguardante la musica, valori come la durata, il numero di note all’interno di

una o più battute e il numero di quest’ultime.

NELLO SPECIFICO…

Prendendo come esempio il preludio per pianoforte di Claude Debussy

“Cathédrale Engloutie”…

Proviamo a paragonare il brano, che è composto da

89 battute, a questo segmento, tale che

a+b=89. Debussy divise il brano in due parti: la prima comprendente 68

battute (a) da eseguire a velocità doppia rispetto alla seconda, di 21 (b). In altre parole, alla battuta 68 il brano

rallenta il tempo a metà. Otterremo di conseguenza che la prima sezione (a)

verrà percepita dall’ascoltatore come fosse di 34 battute, perché eseguita a

velocità doppia; così il brano sembrerà essere formato da 55 battute,

anziché 89. E 55,0051... è la sezione aurea di 89.

Inoltre…

Vari esperimenti hanno dimostrato che la percezione umana mostra una naturale preferenza per le proporzioni in accordo con la sezione aurea. Gli artisti, quindi, tenderebbero quasi inconsciamente a

disporre gli elementi di una composizione in base a tali rapporti.

Esempi pratici…

Alcuni strumenti musicali sono costruiti

seguendo le proporzioni della successione di Fibonacci. Nell'immagine è evidenziata la struttura di un violino.

Inoltre…

Lo stesso Xenakis ha fondato a Parigi nel 1972 un gruppo

universitario chiamato CEMAMU, che ha come obiettivo

l’applicazione di regole scientifiche e matematiche alla

composizione musicale.