"La pseudo-analogia con le scienze fisiche va diretta-mente contro quel modo di pensare che un economistadeve acquisire. [...J E come se la caduta della mela aterra dipendesse dalle motivazioni della mela, dall'esa-me se vale davvero la pena cadere in terra e se la terravuole che la mela cada e dagli errori di calcolo da partedella mela circa la sua distanza dal centro della terra"

J. M. Keynes

Riccardo Cesari

Introduzione alIafinanza matematica

Derivati, prezzi e coperture

~ Springer

RICCARDO CESARI

Dipartimento di Matematica perIe Scienze Economiche e SocialiUniversita di Bologna

In copertina:Riccardo Cesari, "L'albero dellaconoscenza", (Forll, 2004), collage

ISBN 978-88-470-0819-9 Springer Milan Berlin Heidelberg NewYorke-ISBN 978-88-470-0820-5 Springer Milan Berlin Heidelberg NewYork

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Indice

Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XIII

Abbreviazioni XVII

1 Derivati e mercati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Titoli derivati e titoli elementari (F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Tre punti di vista: pricing, hedging e asset management (F) 31.3 I prezzi di non arbitraggio (F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Hedging e derivati (F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 I mercati dei derivati (F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5.1 Mercati primari e secondari 71.5.2 Mercati regolamentati 71.5.3 Mercati OTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.4 Negoziazione continua e book degli ordini . . . . . . . . . 91.5.5 I mercati "perfetti" della teoria finanziaria 11

1.6 Lo sviluppo recente dei prodotti derivati (F) . . . . . . . . . . . . . . 121.7 Alcuni esempi di prodotti derivati (F) 16

2 La struttura per scadenza dei tassi d'interessee i fondamenti del pricing di non arbitraggio. . . . . . . . . . . . . 192.1 La struttura per scadenza dei tassi privi di rischio (F) 192.2 Titoli derivati e strategie di replica (F) 212.3 L'operatore valore attuale (F) 23

2.3.1 Somma e prodotto intertemporale . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2 Valori attuali deflazionati 25

2.4 La condizione di non arbitraggio: tre esempi (F) 262.4.1 L'operatore valore attuale elineare . . . . . . . . . . . . . . . 272.4.2 La SPS dei prezzi dei titoli ZCB e monotona

decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4.3 Un CB equivale a un portafoglio di ZCB . . . . . . . . . . 30

2.5 I teoremi del pricing di non arbitraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

VI Indice

2.5.1 Teorema fondamentale: la misura risk-neutral. . . . . . 332.5.2 Teorema del cambiamento di numerario . . . . . . . . . . . 372.5.3 L'applicazione del cambiamento di numerario ai tassi

di cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5.4 L'applicazione del cambiamento di numerario aIle

misure forward 402.5.5 II cambiamento di numerario e la SDE . . . . . . . . . . . . 41

2.6 II pricing nel caso di processi diffusivi: il prezzo come PDE . 442.6.1 II pricing nel caso di un'unica variabile di stato .... 442.6.2 II pricing nel caso di N variabili di stato correlate .. 492.6.3 Cinque prezzi facili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.7 Modelli della struttura per scadenza dei tassi d'interesse ... 612.7.1 Modelli unifattoriali del tasso spot istantaneo:

Merton, Vasicek, CIR etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.7.2 Modelli multifattoriali di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . 732.7.3 Modelli unifattoriali con perfetto adattamento:

Ho-Lee e Hull-White. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.7.4 Modelli multifattoriali con perfetto adattamento:

Hull e White (1994) a pili fattori . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.7.5 Modelli del tasso forward istantaneo: Heath, Jarrow

e Morton (1992) 872.7.6 Libor Market Model e le misure forward. . . . . . . . . . 942.7.7 Recenti sviluppi nella modellistica sui tassi

d'interesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.8 II calcolo dei prezzi dei derivati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3 Forward. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.1 Prezzi e tassi forward (F) 101

3.1.1 Prezzi forward su zero-coupon bond. . . . . . . . . . . . .. 1033.1.2 Tassi forward su zero-coupon bond. . . . . . . . . . . . . .. 1053.1.3 Forward su tassi d'interesse (FRA) . . . . . . . . . . . . . . . 1063.1.4 FRA in arriers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.1.5 L'aggiustamento per la convessita nel tasso FRA in

arriers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1113.1.6 Forward su titoli senza dividendi. . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.1.7 Forward su coupon bond. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.1.8 Forward su titoli che pagano dividendi. . . . . . . . . . .. 1163.1.9 Inflazione forward. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.1.10 Forward su merci con costi di deposito. . . . . . . . . . . . 1183.1.11 Forward su tassi di cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.2 Prestiti monetari e prestiti di titoli (F) 1233.2.1 Pagamento posticipato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1243.2.2 Pagamento anticipato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.2.3 Prestito di titoli 1253.2.4 Pronti contro termine (PCT) e contratti di riporto. 126

Indice VII

3.3 II prezzo del contratto forward (F) ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1273.4 Hedging e trading con i forward (F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.4.1 Hedging. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1283.4.2 Trading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.5 Prezzi forward, prezzi attesi e investitori neutralial rischio (F) 132

3.6 Esercizi.............................................. 133

4 futures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1354.1 Le caratteristiche dei futures (F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.2 La Clearing House e il sistema dei margini (F) . . . . . . . . . . . . 1374.3 Marking to market dei contratti futures (F) 1384.4 Pricing dei futures 1404.5 Futures su coupon bond (F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 142

4.5.1 Fattore di conversione e calcolo del CTD . . . . . . . . . . 1434.6 Arbitraggio, hedging e trading con bond futures (F) . . . . . . . 145

4.6.1 Arbitraggio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.6.2 Hedging. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.6.3 Trading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.7 Futures su tassi d'interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.8 Futures su azioni e indici azionari (F) 155

4.8.1 Arbitraggio, hedging e trading con index futures. .. 1564.9 Esercizi............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 158

5 Floaters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.1 II prezzo dei floaters: un ragionamento euristico (F) 1625.2 II prezzo dei floaters: approccio di non arbitraggio (F) 1635.3 II prezzo dei floaters in un modello stocastico univariato 1655.4 Reverse Floater (F) 1655.5 La duration dei floaters e dei reverse floaters (F) . . . . . . . . .. 1665.6 Esercizi.............................................. 168

6 Swaps........ . . . . .. . . .. . . .. . 1696.1 Interest rate swap: plain vanilla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 169

6.1.1 II pricing dei contratti swap: derivazioneeuristica (F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.1.2 II pricing dei contratti swap: derivazione analitica . . 1726.1.3 Bootstrapping the yield curve via swap (F) . . . . . . .. 1756.1.4 Le finalita dei contratti swap: asset swap e

arbitraggio (F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.1.5 Le finalita dei contratti swap: ALM e risk

management (F) 1766.1.6 Le finalita dei contratti swap: credit arbitrage (F) . . 1776.1.7 Contratti swap e rischio di controparte (F) . . . . . . . . 1816.1.8 Tassi swap e credit spread (F) 182

VIII Indice

6.2 Interest rate swap: tipologie complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.2.1 Swap in arrears. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1826.2.2 L'aggiustamento per la convessita nello swap

in arrears 1846.2.3 Forward swap 1846.2.4 Constant Maturity Swap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1866.2.5 CMS in arrears . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1886.2.6 Forward CMS 1906.2.7 Altre tipologie complesse di IRS. . . . . . . . . . . . . . . .. 191

6.3 Swap Market Model e Ie misure swap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1926.4 Currency swap (F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 193

6.4.1 Currency swap fixed for fixed. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.4.2 Hedging con currency swaps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1946.4.3 Credit arbitrage e rischio di controparte nei currency

swaps.......... . . .. . .. . . .. . .. 1946.4.4 Differential swap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1966.4.5 Altre tipologie di currency swaps. . . . . . . . . . . . . . . .. 198

6.5 Equity swap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.6 Esercizi..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 200

7 Opzioni plain vanilla 2017.1 Opzioni put e call: concetti e tipologie (F) 2037.2 La redditivita delle operazioni con put e call (F) . . . . . . . . .. 2087.3 Copertura e speculazione con put e call (F) 2107.4 Put-call parity (F) 2137.5 Portafogli di opzioni e strategie di trading (F) 215

7.5.1 Straddle e vol trade (call-l-put}. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2157.5.2 Strangle e kurtosis trade (OTM call+put) . . . . . . . .. 2167.5.3 Range forward e skewness trade (OTM call-put) 2177.5.4 Vertical spread 2187.5.5 Butterfly spread 2197.5.6 Covered call. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2207.5.7 Calendar spread. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2217.5.8 Classificazione delle strategie 221

7.6 Diseguaglianze di non arbitraggio (F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2237.6.1 Diseguaglianze senza dividendi. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2237.6.2 Diseguaglianze con dividendi 225

7.7 II pricing delle opzioni: il modello binomiale (F) . . . . . . . . . .. 2257.7.1 Modello binomiale a uno stadio . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2257.7.2 Modello binomiale a pili stadi 2287.7.3 II prezzo delle opzioni americane nel modello

binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2307.7.4 II prezzo delle call americane: l'approssimazione di

Black (1975). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2317.8 Risk neutral pricing: un esempio suggestivo (F) . . . . . . . . . .. 233

Indice IX

7.9 II pricing delle opzioni: il modello di Black e Scholes. . . . . .. 2367.9.1 Metodo del portafoglio d'arbitraggio 0 della PDE .. 2377.9.2 Metodo del valor medio equivalente 0 della EMM .. 239

7.10 II calcolo del prezzo 2397.10.1 II prezzo come soluzione della PDE: dalla fisica alIa

finanza 2417.10.2 II prezzo calcolato come valor medio . . . . . . . . . . . . .. 2437.10.3 Alcune considerazioni sulla formula di BS 246

7.11 Le lettere greche (F) 2477.11.1 Delta......................................... 2487.11.2 Theta........................................ 2517.11.3 Vega......................................... 2537.11.4 Rho.......................................... 2557.11.5 Kappa........................................ 2557.11.6 Greche doppie: gamma.. . . .. . . . .. . 2567.11.7 Volga, Vanna, Charm, Speed, Color. . . . . . . . . . . . .. 257

7.12 II prezzo delle opzioni americane: l'approssimazione diBarone-Adesi e Whaley (1987) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 257

7.13 Volatilita storica e volatilita implicita (F) 2597.14 II tasso di rendimento di un derivato (F) . . . . . . . . . . . . . . . .. 2617.15 Option pricing e CAPM 261

7.15.1 La derivazione originaria della PDE via CAPM . . .. 2617.15.2 La EMM secondo il CAPM a tempo discreto 262

7.16 Esercizi.............................................. 265

8 Opzioni e modelli non standard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2678.1 Una parametrizzazione del modello di Black e Scholes ..... 2678.2 Opzioni su titoli che staccano dividendi. . . . . . . . . . . . . . . . .. 269

8.2.1 Metodo del portafoglio d'arbitraggio . . . . . . . . . . . . .. 2698.2.2 Metodo del valor medio equivalente 2718.2.3 Le greche in presenza di dividendi continui . . . . . . .. 272

8.3 Opzioni su tassi di cambio 2758.3.1 Metodo del portafoglio d'arbitraggio . . . . . . . . . . . . .. 2758.3.2 Metodo del valor medio equivalente 277

8.4 Opzioni su titoli in valuta e quantos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2788.4.1 Metodo del portafoglio d'arbitraggio . . . . . . . . . . . . .. 2798.4.2 Metodo del valor medio equivalente 281

8.5 Warrant ed Executive stock option. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2828.5.1 Warrant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2828.5.2 Executive stock option. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 284

8.6 Opzioni su forward. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2858.6.1 Opzioni sul prezzo forward: caso senza dividendi

(Black, 1976) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2858.6.2 Opzioni sul prezzo forward: caso con dividendi. . . .. 2878.6.3 Opzioni sul prezzo del forward. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 288

X Indice

8.7 Un modello generalizzato a parametri affini time-varying. .. 2898.7.1 Una semplificazione: modello lognormale . . . . . . . . .. 2918.7.2 Una semplificazione: modello normale. . . . . . . . . . . .. 292

8.8 II pricing dei derivati con tassi d'interesse stocastici 2938.8.1 Opzioni su prezzi spot: il pricing risk-neutral di

Merton (1973) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2938.8.2 Opzioni su prezzi spot: il pricing forward-neutral di

Black (1976) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2948.8.3 Opzioni su prezzi forward e su prezzi futures 295

8.9 II pricing dei derivati con volatilita stocastica . . . . . . . . . . . .. 2958.9.1 La probabilita implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2988.9.2 Modelli a volatilita locale 2998.9.3 Modelli a volatilita stocastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 300

9 Opzioni su tassi d'interesse .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3059.1 Peculiarita dei tassi stocastici: la struttura delle volatilita .. 3069.2 Opzioni su obbligazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 308

9.2.1 Opzioni su zero-coupon bond. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3089.2.2 Opzioni su coupon bond. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 311

9.3 Opzioni su tassi Libor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3129.3.1 Caplet e floorlet 3129.3.2 Caplet e floorlet in arrears 3149.3.3 Cap e floor spot 3159.3.4 Cap e floor forward. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3169.3.5 La coerenza delle dinamiche di volatilrta . . . . . . . . .. 3169.3.6 La calibrazione del LMM via cap e floor 317

9.4 Opzioni su tassi swap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3189.4.1 Swaption. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3189.4.2 Spread option 321

9.5 Opzioni su futures e futures su opzioni: le opzionifutures-style . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3229.5.1 Opzioni nei bond futures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3229.5.2 Opzioni su bond futures 3229.5.3 Opzioni su tassi futures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3249.5.4 Scalping gamma con straddle su Bund futures ..... 325

10 Opzioni esotiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32910.1 Una classificazione delle opzioni esotiche (F) . . . . . . . . . . . . .. 330

10.1.1 Opzioni discontinue 33010.1.2 Opzioni path-dependent 33110.1.3 Opzioni multi-asset. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33510.1.4 Opzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33810.1.5 Opzioni geografiche. .. . 33910.1.6 Opzioni su sottostanti esotici . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 339

Indice XI

10.2 I prezzi delle opzioni esotiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33910.2.1 Opzioni forward start. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33910.2.2 Opzioni di scambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34110.2.3 Opzioni digitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34410.2.4 Opzioni con barriera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34710.2.5 Opzioni lookback 35110.2.6 Opzioni asiatiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35210.2.7 Opzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 353

10.3 Hedging delle opzioni esotiche (F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 354

11 Opzioni nascoste e titoli strutturati: garanzie, clausole,opport.unita , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35511.1 Corporate bonds (F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 355

11.1.1 La struttura di rischio dei corporate bond . . . . . . . .. 35711.1.2 La probabilita di default. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35811.1.3 L'Economic Capital come opzione ITM 36011.1.4 Convertible bonds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36111.1.5 Callable, puttable, exchangeable bonds. . . . . . . . . .. 36311.1.6 Subordinated debt 36411.1.7 Indebitamento con garanzia reale e leasing. . . . . . .. 365

11.2 Garanzie, polizze e portfolio insurance (F) 36511.2.1 Polizza assicurativa rivalutabile . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36611.2.2 Portfolio insurance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 367

11.3 Titoli strutturati (F) 37511.3.1 La classificazione dei titoli strutturati . . . . . . . . . . . .. 37611.3.2 II funzionamento del mercato dei titoli strutturati .. 37711.3.3 II pricing dei titoli strutturati . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37911.3.4 La regolamentazione Consob e i prospetti

informativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38211.4 Opzioni reali (F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38411.5 Tassi d'interesse come opzioni 385

12 Procedure numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38712.1 La stima della volatilita (F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 387

12.1.1 Volatilita come parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38712.1.2 Volatilita come processo stocastico 389

12.2 La discretizzazione di una SDE (F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39012.2.1 II modello discreto esatto per il BM aritmetico . . . .. 39112.2.2 II modello discreto esatto e approssimato per il

processo di Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39112.2.3 II modello discreto esatto e approssimato per il BM

geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 394

XII Indice

12.3 La stima dei parametri di una SDE (F) . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39512.3.1 La stima time-series dei parametri. . . . . . . . . . . . . . .. 39512.3.2 La stima cross-section: un'applicazione del modello

di CIR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39512.4 Lo smile e la stima della probabilita risk-neutral (F) 39712.5 II pricing col metoda degli alberi (F) 399

12.5.1 Alberi binomiali 39912.5.2 Alberi trinomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 401

12.6 II pricing col metoda Monte Carlo (F) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40112.6.1 La variabile antitetica 404

12.7 II pricing con la discretizzazione della PDE . . . . . . . . . . . . . .. 40412.8 II pricing migliorato con una variabile di controllo (F) ..... 406

Appendice - Processi stocastici, moto browniano e calcolostocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 407A.1 Set-up standard 408A.2 Martingale e processi di Markov 410A.3 Moto browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 412A.4 Integrale stocastico e processi diffusivi . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 416A.5 SDE e probabilita di transizione 419A.6 Calcolo stocastico di Ito 422A.7 La soluzione di una PDE come valor medio. . . . . . . . . . . . . .. 429A.8 Probabilita equivalenti e teorema di Girsanov. . . . . . . . . . . .. 430A.9 Processi stocastici multidimensionali 434

A.9.1 Processi diffusivi con BM indipendenti . . . . . . . . . . .. 434A.9.2 Processi diffusivi con BM correlati 435

A.10 La formula stocastica di Taylor e la discretizzazionedi una SDE 439

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 443

Indice analitico .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 459

Prefazione

Come tutte le prefazioni, anche questa e una post-fazione e, finita la fatica,l'autore e solo davanti al dubbio fondamentale: perche un nuovo libro sullaFinanza Matematica dei derivati?

Finanza Matematica eun termine relativamente nuovo, almeno in Italia, erichiede, forse, qualche spiegazione. Infatti, la classica Matematica Finanziariaha visto, negli ultimi anni, una cost formidabile evoluzione che non eesageratodire che enata una nuova disciplina. Fatto salvo il dovuto omaggio al passato,in ossequio al detto di Bernard de Chartres circa i nani sulle spalle dei giganti,il nuovo approccio alla Finanza ha letteralmente ribaltato quello precedente.

Se in passato la qualifica "finanziaria" veniva applicata alla Matemati-ca non senza mostrare, in alcuni casi, l'assoluta pretestuosita dell'aggetti-vo rispetto all'interesse primario nel metodo analitico-quantitativo, ora talequalifica e passata prepotentemente in primo piano, a sottolineare l'ambi-to economico, teorico e pratico, all'interno del quale l'analisi delle relazionimatematico-finanziarie nasce, viene formulata, cerca e spesso trova principirisolutivi, si confronta e scontra con gli sviluppi applicativi e la realta deimercati.

Si pensi, ad esempio, al modello di Black e Scholes, sintesi notevole difondamenti teorici, conoscenze empiriche, metodo analitico-quantitativo e ca-pacita di calcolo, applicata a un importante e annoso problema di valutazione,tuttora al centro della Finanza Matematica.

II termine Finanza Matematica vuole quindi mettere in primo piano lasostanza finanziaria senza nascondere la storia da cui la disciplina provienee soprattutto la validita di un metodo, quello matematico, che ha permessoil raggiungimento di risultati altrimenti impossibili, in qualche caso insignitidell'alloro del Nobel: William Sharpe, Myron Scholes (e, si dovrebbe aggiun-gere, Fischer Black, prematuramente scomparso), Harry Markowitz, RobertMerton.

Questo volume e il terzo di una trilogia (Cesari e Susini, 2005a,b) cheaffronta in sequenz a i temi dei tassi d'interesse, dei portafogli finanziari e deititoli derivati. II fatto che venga per terzo non e senza significato in quanto

XIV Prefazione

sfrutta alcuni concetti di base esposti in precedenza, in particolare nel volu-me dedicato ai tassi d'interesse. Rinvii puntuali saranno fatti nel corso dellatrattazione; tuttavia, una lettura del primo volume puo essere fin da subitoraccomandata. II legame tra i volumi si puo comprendere guardando ai tregrandi pilastri che compongono la Finanza Matematica.

Infatti, come la Gallia di Giulio Cesare, anche la Finanza Matematicarisulta divisa, a grandi linee, in tre parti: pricing, hedging e asset management.

II pricing 0 valutazione, affronta il tema della valorizzazione dei titoli edelle attivita finanziarie secondo il moderno principio dell'arbitraggio: i prezzidei titoli sono vincolati da reciproche relazioni in modo che non ne possa sea-turire la possibilita di arbitraggi, vale a dire la possibilita di realizzare profittiillimitati senza rischio. In tal modo, il vincolo di non arbitraggio, affiancatoda opportune ipotesi aggiuntive, diventa la condizione per determinare, anchequantitativamente, i prezzi delle attivita finanziarie e in particolare dell'im-mensa categoria delle attivita finanziarie derivate (contingent claims). I mo-delli di Black, Scholes e Merton dei primi anni '70 hanno aperto alla ricercaquantitativa la vasta prateria del pricing di non arbitraggio dei titoli derivati.

La seconda area di ricerca della Finanza Matematica e l'hedging 0 ri-sk management, che affronta il tema dei rischi cui sono esposte le attivitafinanziarie, l'identificazione dei numerosi fattori di rischio, la loro misurazio-ne, l'individuazione di criteri di monitoraggio, controllo e gestione dei rischi.Stante il legarne teorico e pratico tra rischio e prezzo, in un mondo di opera-tori tipicamente avversi al rischio (modello di Sharpe), si comprende come idue temi del pricing e dell'hedging siano strettamente connessi e richiedanoapprocci e modelli tra loro pienamente coerenti.

Infine il tema dell'asset management fa riferimento ai principi di gestio-ne ottimale dei portafogli finanziari e quindi, semplificando, ai metodi di in-dividuazione e controllo dinamico della migliore combinazione tra rendimentoatteso e rischio assunto. L'aspetto qualificante, qui, e quello delle aspettati-ve, vale a dire delle capacita previsive (forecasting) circa gli andamenti futuridei prezzi e dei mercati, legato indissolubilmente, come hanno mostrato unavolta per tutte Markowitz e Sharpe, al tema della misurazione e gestione delrischio. II secondo volume della trilogia e in gran parte dedicato alle gestionidi portafoglio.

In questo quadro generale, il presente volume e focalizzato sui due temidel pricing e dell'hedging dei titoli derivati.

Punto di partenza e l'analisi dei mercati, regolamentati 0 OTC, in cuiconcretamente si scambiano i derivati (capitolo 1). Segue il capitolo 2 sul si-gnificato di (non) arbitraggio, i fondamenti del pricing e l'applicazione al casodella struttura per scadenza dei tassi d'interesse, il primo mattone di ognicostruzione in finanza. Nei capitoli 3-6 si esaminano in sequenz a altrettantiprodotti a complessita crescente rna con payoff lineari: forward (cap. 3), fu-tures (cap. 4), floaters (cap. 5) e swap (cap. 6), con particolare attenzione siaalle definizioni contrattuali, sia al pricing e all'uso prevalente (hedging e tra-ding) degli strumenti analizzati. Nel capitolo 7, si apre la porta del variegato

Prefazione XV

mondo delle nonlinear-ita attraverso il caso semplice del contratto d'opzio-ne plain vanilla, analizzato, composto in strutture pili articolate e prezzatosia nell'approccio binomiale sia in quello classico a tempo continuo. I fonda-menti dell'hedging delle opzioni e dei derivati in genere sono illustrati anchegraficamente. Nel capitolo 8, il modello standard viene ampliato in diversedirezioni: rispetto ai sottostanti (con dividendi, tassi di cambio, forward etc.),rispetto ai tassi di attualizzazione, rispetto alla volatilita, II capitolo 9 analiz-za le complicazioni derivanti da sottostanti legati ai tassi d'interesse mentreil capitolo 10 ededicato aIle opzioni c.d. esotiche, in quanto definite da payoffdi varia complessita e articolazione. II capitolo 11 individua la presenza delleopzioni in numerosi contesti contrattuali apparentemente estranei ai derivati(obbligazioni corporate, garanzie, titoli strutturati etc.) mostrando i metodidi individuazione e scomposizione/ricomposizione (un-packaging) finalizzataal pricing e all'hedging dei contratti. Infine il capitolo 12 raccoglie alcuneimportati problematiche legate alla implementazione pratica (numerica) deimodelli analizzati.

La trattazione epensata per una doppio livello di lettura: un livello sem-plice e introduttivo, che richiede solo nozioni matematiche di base e puntaalla comprensione pratica dei concetti e degli strumenti finanziari derivati eun livello pili avanzato che utilizza il calcolo stocastico e alcuni risultati fonda-mentali della probabilita, della matematica e della statistica per la derivazionedelle relazioni quantitative, delle formule, dei modelli formalizzati.

II primo livello, le cui parti sono contrassegnate da una (F), si rivolge aicorsi universitari della laurea triennale mentre il secondo livello si rivolge aicorsi di laurea specialistica 0 magistrale, di master e dottorato. Un' Appendicesui risultati pili avanzati, sui processi stocastici, probabilita e calcolo stocasti-co, posta in fondo allibro, rende il testo relativamente autosufficiente. Altromateriale, fogli di calcolo e programmi software sui capitoli del libro sonodisponibili sul sito www.ecofo.unibo.it - studenti - materiale didattico.

Questo libro deve molto, per i contenuti e l'approccio, agli studenti di undecennio di corsi, sulle cui esigenze (che si spera di aver bene interpretato) estato pensato, realizzato e cordialmente dedicato. Due borse di studio hannoconsentito all'autore due soggiorni presso il Research Department di BnpPa-ribas, London, diretto da Marek Musiela, che qui si ringrazia assieme a FabioFilippi dell'Italian Desk per la generosa ospitalita, Un sentito ringraziamen-to anche a Wolfgang Runggaldier e Franco Molinari per l'apprezzamento eincoraggiamento e a Anna Grazia Quaranta per il prezioso aiuto editoriale.Naturalmente, il debito verso l'ampia letteratura disponibile eenorme: la bi-bliografia e Ie numerose citazioni ne sono la prova. Va sottolineato che in talevasta letteratura, quattro aspetti sono stati in gran parte trascurati, salvobrevi trattazioni nel testo:

1. l'approccio di equilibrio generale ai prezzi dei titoli con conseguente enfasisulla massimizzazione dell'utilita (attesa) e sui metodi di ottimizzazionedinamica (CIR, 1985a, Ingersoll, 1987, Duffie, 1992, Karatzas e Shreve,

XVI Prefazione

1998, James e Webber, 2000). Per farsi un'idea, si veda Cesari e Susini,2005b, cap. 9. Tali approcci si rivelano utili per la trattazione del pricing ehedging in mercati incompleti, con costi di transazione, illiquidita e assetnon commerciabili;

2. i modelli a tempo discreto, ai quali si epreferito, con alcune eccezioni, 10sviluppo a tempo continuo per la maggiore semplicita analitica e formale.Su tali modelli, si veda Shreve (2004a), Duffie (1988, 1992);

3. i modelli con processi discontinui (jump processes e Levy processes) per iquali si rinvia a Shreve (2004b, cap. 11) e Cont e Tankov (2004);

4. i modelli per il rischio di credito, generalmente sviluppati con modellidiscontinui per rappresentare la dinamica tra livelli di rating e tra questie il default (v. Cesari e Susini, 2005a, par. 3.2.1). Su tali modelli si rinviaa Hull (2006, capp, 26-27), Cairns (2004, cap. 11), Bielecki e Rutkowski(2002), Duffie e Singleton (2003), Brigo e Mercurio (2006, Part VII).

La speranza dell'autore eche quello che c'e possa servire allettore anche comeuna buona introduzione per affrontare , su solide basi, tutto il resto.

E quanto sembrano suggerire anche i mercati. Mentre questo libro va instampa (settembre 2008), la finanza internazionale sta attraversando la piligrave crisi del credito dal 1929. Non sono stati i derivati a innescarla (v.Capitolo 1) rna questi hanno rappresentato la benzina che ha trasformato unincendio in un rogo di dimensioni epocali. L' assenza di regole stringenti, ditrasparenza e di un'adeguata conoscenza di questi strumenti ha trasformatole banche d'investimento in altrettenti "apprendisti stregoni", incapaci, allaprima difficolta, a contenere gli effetti negativi e a reggere 1'urto di mercatiche invertono i flussi degli ordini. Passata l'ondata di fallimenti e i numerosisalvataggi di societa finanziarie fino a ieri ritenute inaffondabili, bisognerastudiare pili attentamente i derivati e le leve dirompenti che contengono.

Con questo obiettivo auguriamo allettore un buon proseguimento.

Abbreviazioni

ABSALMa.s.BGMBISBMBSBOTb.p.BTPCAPMCBCCTCDOc.d.CDSCEVCHCIRCMECMSCPPICTDCTZECEDSPEMHEMMFIFOFRA

Asset backed securityAsset and liability managementAlmost surely (quasi sicuramente)Brace, Garatek e MusielaBank of International SettlementsBrownian motionBlack e ScholesBuoni ordinari del Tesorobasis pointBuoni del Tesoro poliennaliCapital asset pricing modelCoupon bondCertificato di Credito del TesoroCollateralized debt obligationcost detto/iCredit default swapConstant elasticity of varianceClearing HouseCox, Ingersoll e RossChicago Mercantile ExchangeConstant maturity swapConstant proportion portfolio insuranceCheapest to deliverCertificato del Tesoro Zero couponEconomic capitalExchange delivery settlement priceEfficient market hypothesisEquivalent martingale measureFirst in, first outForward rate agreement

XVIII Abbreviazioni

FWHJMi.e.iidIRSISDALDILIFFELTCMLVMBSMTNNASDAQOASOTCOUPCTPDEPIp.s.RNSABRSDESDFSIESPSSVTIRTSv.a.VaRZCB

ForwardHeath, Jarrow e Mortonid est (==cioe)Indipendenti e indenticamente distribuitiInterest rate swapInternational Swaps and Derivatives AssociationLiability driven investmentLondon International Financial Futures ExchangeLong Term Capital ManagementLocal volatilityMortgage backed securityMedium term noteNational Association of Securities Dealers Automated QuotationsOption adjusted spreadOver the counterOrnstein-UhlenbeckPronti contro terminePartial differential equationPortfolio insuranceProcesso stocasticoRisk neutralSigma alpha beta rhoStochastic differential equationStochastic discount factorStochastic integral equationStruttura per scadenzaStochastic volatilityTasso interno di rendimentoTerm structureVariabile aleatoriaValue at riskZero-coupon bond