La Pianificazione Dei Lavori

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI

ROMA “TOR VERGATA” FACOLTÀ DI INGEGNERIA

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE

Appunti del corso di

TECNICA ED ORGANIZZAZIONE DEL

CANTIERE

Parte IV

La pianificazione dei lavori

Prof. Ing. Vittorio NICOLOSI Ing. Alfonso MONTELLA

Anno accademico 2003-2004

INDICE

INDICE..............................................................................................................3

1 INTRODUZIONE............................................................................................5 1.1 Gli obiettivi della pianificazione.......................................................................... 5 1.2 Le fasi della pianificazione ................................................................................... 5

2 LE TECNICHE RETICOLARI ...........................................................................7 2.1 Le tecniche di pianificazione ............................................................................... 7 2.2 Analisi del progetto e scomposizione in attività .............................................10 2.3 I legami logici .......................................................................................................12

2.3.1 Reticoli con attività sulle frecce................................................................12 2.3.2 Reticoli con attività sui nodi .....................................................................14

2.4 La costruzione del reticolo.................................................................................15 2.5 Esempio di pianificazione..................................................................................20

3 ANALISI TEMPORALE DEL RETICOLO.......................................................... 27 3.1 Scopo dell’analisi temporale...............................................................................27 3.2 Analisi delle attività .............................................................................................28 3.3 I tempi al più presto............................................................................................31 3.4 I tempi al più tardi...............................................................................................34 3.5 Il percorso critico ................................................................................................37 3.6 Analisi temporale con il metodo probabilistico..............................................41

4 ANALISI ED OTTIMIZZAZIONE DELLE RISORSE ........................................... 47 4.1 Il diagramma di carico ........................................................................................47 4.2 Gli obiettivi dell’ottimizzazione delle risorse ..................................................49 4.3 Livellamento ed allocazione...............................................................................50 4.4 Criteri di schedulazione ......................................................................................55

4.4.1 Schedulazione con tempo invariabile......................................................55 4.4.2 Schedulazione con limite di disponibilità di risorse ..............................55

5 ANALISI ED OTTIMIZZAZIONE DEI COSTI.................................................... 57 5.1 Analisi dei costi....................................................................................................57 5.2 Legame costo-durata...........................................................................................58 5.3 Ottimizzazione dei costi.....................................................................................59

6 ESERCIZI .................................................................................................... 63

1 INTRODUZIONE

1.1 GLI OBIETTIVI DELLA PIANIFICAZIONE La fase di pianificazione ha un’importanza fondamentale per l’esecuzione di qualsiasi

processo produttivo, sia che si tratti della realizzazione di componenti ad altissima complessità tecnologica, quali chips elettronici, sia che si tratti della realizzazione di semplici sovrastrutture stradali, quali le pavimentazioni.

Scopo principale della pianificazione é l’ottimizzazione dei processi necessari per il raggiungimento di obiettivi prefissati o, nell’ottica diametralmente opposta, la definizione degli obiettivi raggiungibili mediante un definito processo.

Nel settore dell’ingegneria civile, dove gli obiettivi sono solitamente costituiti dalla realizzazione di un particolare tipo di opera e sono definiti in termini di tempo, costi e standard qualitativi, la pianificazione si prefigge le seguenti finalità:

• previsione del tempo di esecuzione di un lavoro assegnato, da realizzare con l’utilizzo di risorse prestabilite, mediante la definizione della struttura organizzativa e del processo produttivo;

• ottimizzazione del processo produttivo e dell’utilizzo delle risorse, rappresentate da struttura organizzativa, manodopera, materiali ed attrezzature, con conseguente miglioramento degli standard qualitativi e/o riduzione dei costi e/o dei tempi di esecuzione;

• ricerca del minimo costo di esecuzione, con definizione delle modalità esecutive, del tempo e delle risorse ad esso connessi;

• realizzazione di un efficace strumento di controllo dei lavori, costituito dal confronto tra il programma ed il reale andamento dei lavori, con possibilità di intraprendere azioni correttive in fase esecutiva.

Mediante la pianificazione si determinano le operazioni che si devono compiere per

la realizzazione di un progetto, la sequenza delle operazioni stesse, la loro durata e le risorse necessarie. E’ cioè possibile, pur senza dimenticare che qualsiasi tipo di pianificazione é sempre soggetta ad incertezze, rispondere a domande fondamentali, quali:

Cosa fare? Quando farlo? Con che mezzi? In che modo?

1.2 LE FASI DELLA PIANIFICAZIONE Il processo di pianificazione di un progetto, dove il termine progetto é inteso nella sua

accezione più ampia come insieme di attività indirizzate al raggiungimento di un obiettivo mediante l’impiego coordinato di capacità e risorse, si esplica durante tutti i momenti di realizzazione del progetto stesso, ossia iniziando con la concezione dell’idea da parte del committente continua fino al termine dei lavori.

Introduzione

Parte IV – La pianificazione dei lavori

6

Nella fase di concezione dell’idea da parte del committente la pianificazione serve a valutare, in misura ancora generica, gli aspetti connessi con il progetto: durata, costi ed implicazioni economico-sociali. Una conferma dell’utilità della pianificazione in questa fase é costituita dalla Legge Quadro in materia di lavori pubblici, che prevede l’obbligo di una programmazione triennale dei lavori pubblici.

Anche nella fase di preparazione delle offerte da parte delle imprese di costruzione la pianificazione dei lavori presenta indubbi vantaggi, rappresentando un valido strumento per la valutazione economica dell’offerta e per la previsione di un tempo di esecuzione dei lavori compatibile con l’offerta economica o per la valutazione del tempo di esecuzione più conveniente e dei costi ad esso associati. Inoltre, con la pianificazione, è possibile stimare le risorse e le capacità gestionali necessarie ed organizzare l’impresa in modo da farvi fronte.

La fase di esecuzione dei lavori richiede una pianificazione più dettagliata di quella già effettuata durante l’offerta e contenente le informazioni necessarie per l’organizzazione del cantiere, quali l’andamento temporale dei lavori, le modalità esecutive, le risorse necessarie ed il piano di spesa. Questo momento della pianificazione è anche detto programmazione, nella misura in cui definisce l’ordinamento temporale delle operazioni necessarie per la realizzazione del progetto.

Poiché difficilmente l’esecuzione dei lavori rispetta esattamente i programmi, é importante eseguire un’efficace azione di controllo, il cui risultato consente una revisione continua del piano di lavoro con la definizione delle azioni correttive necessarie al raggiungimento degli obiettivi prestabiliti.

2 LE TECNICHE RETICOLARI

2.1 LE TECNICHE DI PIANIFICAZIONE Una tecnica di pianificazione e controllo molto diffusa consiste nella realizzazione del

diagramma di Gantt, detto anche diagramma a barre. Tale tecnica, proposta da Henry L. Gantt agli inizi del secolo, consente di descrivere

il programma di realizzazione di un progetto mediante un grafico che riporta sull’asse verticale, non orientato, le attività che concorrono alla realizzazione degli obiettivi del progetto, e sull’asse orizzontale una scala temporale. Ciascun attività è rappresentata attraverso un segmento posizionato, con riferimento alla scala temporale, con l’origine in corrispondenza della sua data di inizio e di lunghezza pari alla sua durata (cfr. fig.2.1).

Figura 2-1 Diagramma di Gantt.

La caratteristica di semplicità di realizzazione e di lettura rende il diagramma

particolarmente adatto per il controllo in cantiere dell’avanzamento dei lavori. Tuttavia, a fronte di tale semplicità il diagramma di Gantt presenta un grande limite nella misura in cui non evidenzia i legami logici tra le attività e non consente di comprendere la logica del programma.

Questa limitazione è stata superata con l’introduzione, avvenuta negli Stati Uniti alla fine degli anni ‘50, delle tecniche reticolari di pianificazione e controllo. Con tali tecniche la rappresentazione grafica delle operazioni da svolgere per il completamento del progetto é costituita da un reticolo, insieme di nodi e frecce che costituisce un grafo orientato, che evidenzia con molta chiarezza ed immediatezza i legami logici tra le attività.

Le tecniche reticolari si distinguono in due categorie a seconda se le attività sono rappresentate sulle frecce (AsF), o sui nodi (AsN); della prima categoria fanno parte il PERT1 ed il CPM2, nonché altre tecniche da essi derivate, la seconda categoria é popolare nella forma di diagramma di precedenza (cfr. fig.2.2).

1PERT: Program Evalutation and Review Tecnique, tecnica di valutazione e revisione del programma. 2CPM: Critical Path Metod, metodo del percorso critico.

tem po

Attività

1

2

3

Le tecniche reticolari


8

Figura 2-2 Classificazione delle tecniche reticolari.

Il PERT ed il CPM differiscono tra di loro (fig.2.3) per la modalità di determinazione

delle durate, di natura probabilistica per il PERT e di natura deterministica per il CPM, e per il modo di considerare il legame tra i costi e la durata del progetto, implicito per il PERT ed esplicito per il CPM.

Figura 2-3 Differenze tra PERT e CPM.

L’attività di pianificazione, programmazione e controllo dei lavori si esplica, con

l’utilizzo delle tecniche reticolari, attraverso un chiaro e definito processo logico (fig.2.4).

STIMA DURATE

PERT CPM

Metodo probabilistico

Metodo deterministico

LEGAME COSTI-TEMPO

PERT CPM

Implicito Esplicito

TECNICHE RETICOLARI

PERT

Attività sulle frecce Attività sui nodi

CPM Diagramma di precedenza


Tecnica ed Organizzazione del Cantiere

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Figura 2-4 Fasi della pianificazione con le tecniche reticolari.

Analisi del progetto e scomposizione in attività in elementari

Individuazione dei legami logici tra le attività

Stesura del reticolo

Analisi attività Individuazione risorse e stima durate

Analisi temporale del reticolo ed individuazione del percorso critico

Analisi ed ottimizzazione delle risorse

Analisi ed ottimizzazione dei costi

Programma lavori

Controllo



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Il primo passo del processo è costituito da un’analisi del progetto con scomposizione in attività elementari ed individuazione dei legami logici e temporali tra le attività; in tal modo è possibile la stesura del reticolo.

L’analisi delle attività, comprendente la definizione delle modalità esecutive e la stima delle risorse e delle durate, associata all’esame dei legami di dipendenza tra le attività stesse, consente la risoluzione temporale del reticolo fornendo importanti informazioni:

1. tempo minimo di esecuzione del progetto; 2. individuazione del percorso critico, insieme delle attività che condizionano la

durata minima del progetto; 3. scorrimento delle attività non critiche, periodo di tempo di cui possono essere

ritardate le attività senza modificare la durata minima del progetto. Fino a questo momento le attività non sono precisamente collocate nel tempo ed il

piano dei lavori gode di una certa flessibilità legata all’esistenza di attività non critiche. L’ordinamento temporale delle attività (schedulazione) avviene valutando la distribuzione di risorse nel tempo, e tenendo presente da un lato la massima disponibilità di risorse (allocazione) e dall’altro il vantaggio economico derivante dall’eliminazione delle discontinuità nell’uso delle risorse nel tempo (livellamento).

Esplicitando il legame tra i costi ed il tempo di esecuzione delle attività si possono ricercare il costo totale minimo di esecuzione del progetto e la relativa durata, detta durata ottima. L’individuazione del costo totale minimo si basa sull’osservazione che i costi sono somma di due aliquote: i costi diretti ed i costi indiretti. I primi sono inversamente proporzionali al tempo di esecuzione, nel senso che al diminuire del tempo aumentano i costi, mentre i secondi sono direttamente proporzionali al tempo. Esiste pertanto un tempo di esecuzione, tempo ottimo, cui corrisponde il minimo costo totale.

Il programma dei lavori, oltre che strumento di pianificazione, rappresenta anche un valido strumento di controllo. Eventuali scostamenti tra il programma e l’effettivo andamento dei lavori conducono ad una revisione del programma in modo da intraprendere le azioni correttive necessarie per il raggiungimento degli obiettivi prestabiliti.

2.2 ANALISI DEL PROGETTO E SCOMPOSIZIONE IN ATTIVITÀ Il primo momento della pianificazione consiste nell’individuazione degli obiettivi del

progetto e nella definizione delle attività elementari necessarie al loro raggiungimento. Un approccio frequentemente adottato per la scomposizione del progetto in

attività elementari è costituito dalla Work Breakdown Structure (WBS). Tale approccio ricorre ad un diagramma ad albero che consente di descrivere e visualizzare tutte le parti di un progetto ai diversi livelli di dettaglio, secondo un ordine gerarchico (fig.2.5). Al livello più alto vi è il progetto globale, mentre al livello più basso, come risultato di una successiva scomposizione secondo un grado di dettaglio crescente, vi sono le attività elementari. In tal modo ciascun livello rappresenta il risultato delle attività al livello inferiore.



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Figura 2-5 Scomposizione in attività elementari di un progetto stradale.

La scomposizione può raggiungere diversi livelli di dettaglio a seconda delle finalità

della programmazione e del reticolo che si vuole costruire. Difatti i diversi livelli manageriali possono richiedere informazioni con differenti gradi di dettaglio; si distinguono pertanto reticoli con diversi gradi di approfondimento:

• reticolo sommario, summary network; • reticolo principale, master netwok; • reticolo operativo, detail network. Il reticolo sommario presenta il livello di dettaglio inferiore, essendo rivolto all’alto

livello direzionale, ed ha l’obiettivo principale di controllare i momenti più importanti dell’esecuzione del progetto.

Il reticolo principale fornisce una panoramica d’insieme dei lavori da eseguire per realizzare il progetto, e deve essere abbastanza dettagliato da illustrare chiaramente i legami logici e temporali tra le attività, senza compromettere la facilità di lettura spingendosi in un grado di dettaglio troppo spinto.

Il reticolo operativo, rivolto ai responsabili esecutivi dei lavori, presenta un livello di dettaglio tale da consentire l’organizzazione del cantiere.

Infrastruttura stradale

Piattaforma stradale

Gallerie Ponti e viadotti

Opere d’arte minori

Spalle Pile Travi Soletta Opere complementari

Fondazioni Fusto pila Pulvino

Preparazione casseri

Posa in opera casseri

Fissaggio armature

Getto calcestruzzo

Maturazione calcestruzzo

Disarmo



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2.3 I LEGAMI LOGICI 2.3.1 Reticoli con attività sulle frecce

Il reticolo, grafo orientato, è costituito da un insieme di nodi e di frecce orientate che li congiungono.

Le attività, fasi che concorrono al raggiungimento degli obiettivi del progetto e che possono comportare il consumo di tempo e di risorse, sono rappresentate dalle frecce orientate (fig.2.6). Ogni freccia rappresenta una sola attività e la sua lunghezza non ha alcun legame con la durata dell’attività, né con il fabbisogno di risorse.

Figura 2-6 Attività ed eventi.

Gli eventi, rappresentati dai nodi e disegnati convenzionalmente come cerchi,

costituiscono l’istante temporale in cui una o più attività possono iniziare o terminare. Con riferimento alla figura 2.6, il cerchio al piede della freccia rappresenta l’istante temporale in cui l’attività scavo fondazioni può cominciare, evento inizio, ed il cerchio alla testa della freccia rappresenta il momento in cui può concludersi, evento fine.

Sia gli eventi che le attività vengono codificati ed il codice relativo viene riportato dentro il cerchio, per gli eventi, o sopra la freccia, per le attività (fig. 2.7). Poiché ogni attività è sempre compresa tra due eventi, la sua individuazione può avvenire mediante la numerazione degli eventi inizio e fine, ossia dei cerchi al piede e alla testa della freccia. Per questa caratteristica i reticoli con attività sulle frecce sono anche detti reticoli i-j.

Figura 2-7 Codici di attività ed eventi.

Tutti i reticoli sono costruiti logicamente in base al principio della dipendenza.

Nessun evento può essere raggiunto in un progetto finché l’attività che lo precede immediatamente non è stata completata, così come nessuna attività può iniziare se non è stato raggiunto l’evento che immediatamente la precede. Nel caso della figura 2.8 ciò significa che l’evento 2 può essere raggiunto solo se l’attività A é stata completata e l’attività B può iniziare solo quando è stato raggiunto l’evento 2, potendosi ripetere lo

finescavi

inizioscavi

scavo fondazioni

A

fineattività

inizioattività

i j



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stesso ragionamento per il legame tra attività B, evento 3 ed attività C. Gli eventi 1 e 4 rappresentano rispettivamente l’evento inizio e l’evento fine del progetto.

Figura 2-8 Reticolo i-j.

Il principio di dipendenza illustrato può essere ulteriormente esteso: un evento può

dipendere da più attività, da un evento possono dipendere più attività, o si può verificare una combinazione delle due situazioni precedenti (fig. 2.9).

Figura 2-9 Legami logici tra più attività.

Esistono alcune attività, dette attività di attesa, che comportano solo il consumo di tempo, senza rendere necessario l’utilizzo di risorse; attività di questo tipo, peraltro piuttosto frequenti, possono essere ad esempio la maturazione del calcestruzzo o l’attesa di una fornitura.

Un tipo di attività molto particolare è costituito dall’attività fittizia, in inglese dummy, che non richiede consumo di tempo o impiego di risorse nella misura in cui esprime solo un legame logico. Convenzionalmente le dummies sono rappresentate graficamente da frecce tratteggiate.

Si illustra nel seguito un esempio nel quale si rende necessario l’impiego delle dummies. Si supponga che le attività A e B possono iniziare e terminare nello stesso istante; situazione che potrebbe essere rappresentata come in fig.2.10.

A

B B

A

A

B

D

C

B A 1 3 2 4

C



14

B Du

A

Figura 2-10 Errata rappresentazione di un reticolo.

Tale rappresentazione non è corretta nella misura in cui due attività distinte non

possono presentare lo stesso evento inizio e lo stesso evento fine, tale incongruenza può essere superata con l’introduzione di una dummy (fig.2.11).

Figura 2-11 Reticolo con un’attività fittizia.

2.3.2 Reticoli con attività sui nodi Il metodo di rappresentazione del reticolo con attività sui nodi, sviluppato e

diventato popolare nella forma di diagramma di precedenza, presenta come elementi costituenti, così come il reticolo con attività sulle frecce, nodi e frecce.

I nodi, rappresentati graficamente come rettangoli in modo da creare un netto elemento di distinzione rispetto al reticolo AsF, costituiscono le attività, mentre le frecce rappresentano i legami di dipendenza tra le attività (fig.2.12).

Legame Fine-Inizio (FS)

Figura 2-12 Legame FS.

Il principale legame di dipendenza tra le attività è il legame fine-inizio (fig. 2.13),

secondo il quale un’attività non può iniziare se prima non è terminata l’attività che la precede logicamente.

Nel caso del diagramma di precedenza, essendo ciascuna attività univocamente rappresentata dal nodo corrispondente, l’introduzione delle dummies risulta superflua, con notevole semplificazione nella rappresentazione del reticolo, soprattutto nel caso di progetti complessi.

A precede B A B

B

A



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Oltre al legame fine-inizio (FS, finish-start) si possono rappresentare altri tipi di legami di dipendenza tra le attività (fig. 2.13):

• legame inizio-inizio (SS=start-start); • legame fine-fine (FF=finish-finish); • legame inizio-fine (SF=start-finish); • combinazione di più legami.

Legame Inizio-Inizio (SS) B può iniziare d unità temporali dopo l’inizio di A

Legame Fine-Fine (FF) B può terminare d unità temporali dopo la fine di A

Legame Inizio-Fine (SF) B può terminare d unità temporali dopo l’inizio di A

Figura 2-13 Legami temporali FF, SS e SF.

Ciascun legame può essere rappresentato secondo due modalità differenti: nel primo

caso il tipo di legame è espresso dalle posizioni delle frecce rispetto ai nodi, nel secondo caso il legame è espresso da una simbologia letterale. Anche se dal punto di vista logico i due tipi di rappresentazione sono equivalenti è probabilmente preferibile il secondo nella misura in cui è sicuramente più facile disegnare il reticolo senza preoccuparsi di posizionare accuratamente le frecce rispetto ai nodi.

Tra i legami evidenziati il meno utilizzato è senz’altro il legame inizio-fine, mentre piuttosto frequenti sono i legami inizio-inizio e fine-fine, soprattutto nel caso di progetti con molte lavorazioni ripetitive o con molte lavorazioni svolte in parallelo. Questi legami sono talvolta equivalenti alle attività di attesa del reticolo AsF.

2.4 LA COSTRUZIONE DEL RETICOLO Il tipo di reticolo più semplice è quello in cui tutte le attività si svolgono secondo uno

schema seriale.

d

d A B

SS=d A B

d A B

FF=d A B

A B SF=d

A B



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Un esempio di lavoro svolto secondo uno schema seriale può essere rappresentato dall’esecuzione di una galleria in roccia, che prevede, nella generalità dei casi, una ripetizione sistematica di un ciclo di lavoro comprendente le seguenti attività:

1. perforazione, intasamento e brillamento delle cariche; 2. ventilazione del fronte di scavo; 3. marinaggio; 4. applicazione delle centine e/o bullonaggio della roccia; 5. rivestimento di prima fase; 6. rivestimento definitivo.

Per un lavoro di questo tipo il reticolo sarà costituito da una ripetizione sistematica

dello schema riportato in figura 2.14.

Figura 2-14 Rappresentazione reticolare di un lavoro eseguito secondo uno schema seriale.

Si supponga invece di costruire il reticolo che rappresenta la costruzione di un

viadotto in c.a. con travi prefabbricate; il progetto può essere scomposto nelle seguenti attività:

1. realizzazione fondazioni; 2. realizzazione pile e spalle; 3. costruzione travi; 4. trasporto travi; 5. varo travi; 6. getto soletta e traversi.

Il reticolo relativo al progetto in esame potrebbe essere quello rappresentato in figura

2.14. Tale rappresentazione non presenta incongruenze, tuttavia non si è tenuto conto di un fattore importante: le attività di costruzione delle fondazioni e delle pile possono essere realizzate contemporaneamente alle attività di costruzione e trasporto delle travi, con conseguente risparmio di tempo nell’esecuzione dei lavori.

Ipotizzando di eseguire in parallelo le suddette attività, il reticolo assume la forma di figura 2.15.

1 6 5 4 3 2

Reticolo AsF

• 1 2 • 1 • 1 1 5 4 3 6

Diagramma di precedenza



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Si noti che nelle rappresentazione del diagramma di precedenza si è resa necessaria l’introduzione di un’attività I, che rappresenta l’inizio dei lavori e non comporta consumo di tempo o risorse, nella misura in cui tale reticolo deve sempre presentare una sola attività di inizio ed una sola attività di fine.

Figura 2-15 Reticolo con attività in parallelo.

Per costruire correttamente il reticolo è opportuno, per ciascun’attività, porsi le

seguenti tre domande: 1. Che attività deve immediatamente precedere questa operazione? 2. Che attività può immediatamente seguire questa operazione? 3. Che attività possono essere eseguite contemporaneamente con questa

operazione? La risposta alle suddette domande, che evidenziano i vincoli temporali tra le attività,

può essere sintetizzata in una tabella che, per ciascuna operazione, riporti le attività strettamente precedenti. Ad esempio il reticolo di figura 2.14 è stato costruito dopo la stesura della tabella 2.1.

Tabella 2-1 Legami di precedenza tra le attività

Attività Attività strettamente precedenti

1 - 2 1 3 - 4 3 5 2/4 6 5

In questa fase della pianificazione occorre mettere bene in evidenza i legami logici e

temporali tra le attività e valutare le sequenze di lavorazione più idonee. Un’operazione molto utile nella fase di pianificazione, specie nel caso di lavori

ripetitivi, consiste nel suddividere un’operazione in più attività secondarie, ciascuna delle

1 6 5

4 3

2

Reticolo AsF

• 1 2 • 1 • 1 1 5

4 3

6


I



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quali richiede differenti risorse (differenti attrezzature, differenti materiale e manodopera con differente specializzazione), e svolgere in parallelo il maggior numero possibile di attività.

Si supponga, ad esempio, di dover realizzare le fondazioni, di tipo diretto, di un complesso di due edifici. Il progetto si potrebbe scomporre nelle seguenti attività:

A. scavo fondazioni; B. messa in opera casseforme; C. fissaggio armature e getto calcestruzzo.

Le tre attività devono essere eseguite secondo uno schema seriale (fig.2.16) nella

misura in cui il getto del calcestruzzo può essere eseguito solo dopo la messa in opera delle casseformi, le quali, a loro volta, possono essere messe in opera solo dopo l’esecuzione degli scavi.

Figura 2-16 Fondazioni di due edifici eseguite in serie.

Ciascuna delle attività A, B e C può essere scomposta in due attività secondarie

relative ai due distinti corpi di fabbrica (A= A1+A2, B= B1+B2, C= C1+C2). L’ulteriore scomposizione delle attività implica una nuova definizione dei legami di dipendenza (tabella 2.2). Quando sono terminati gli scavi nell’edificio 1 può iniziare la messa in opera delle casseforme nello stesso edificio; allo stesso tempo è possibile iniziare gli scavi nell’edificio 2, difatti le risorse impiegate per gli scavi nel corpo 1 sono ora disponibili ed inoltre non vi sono interferenze con l’attività realizzazione casseforme nell’edificio 1. Tale ragionamento, applicabile anche alle altre attività, ha reso possibile la stesura del reticolo di figura 2.17.

Tabella 2-2 Legami di precedenza tra le attività

Attività Attività strettamente precedenti A1 - B1 A1 C1 B1 A2 A1 B2 A2/B1 C2 B2/C1

A C B

Reticolo AsF

B

A C




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Si può notare come nella rappresentazione grafica del reticolo si sia effettuata una stratificazione, ossia si è fatto in modo che le attività allineate orizzontalmente facessero parte di una stessa categoria di lavoro. Tuttavia la stratificazione, anche se facilita la lettura del reticolo, non è sempre possibile.

Figura 2-17 Reticolo stratificato con attività in parallelo.

Per i reticoli i-j, dopo la costruzione del reticolo è possibile numerare gli eventi. I

metodi di numerazione più comunemente usati sono i seguenti: − metodo della numerazione in avanti; − metodo della numerazione a ritroso; − metodo della numerazione casuale.

Con il metodo della numerazione in avanti il primo evento assume il valore 1 (talvolta

0) e gli eventi successivi presentano una numerazione crescente, secondo un ordine seriale, in modo tale che il numero dell’evento al piede di ogni freccia risulta sempre minore del numero dell’evento alla testa della freccia stessa. Questo metodo implica che l’evento finale del reticolo presenta il numero più elevato, che corrisponde al numero di nodi.

Reticolo AsF


A2

B2

C2

B

C

B1

A1

C1

A

A1 A2

B1 B2

C1 C2

A

B

C



20

Il metodo della numerazione a ritroso è semplicemente l’inverso del metodo precedente, con l’evento finale che assume il valore 1 (talvolta 0) e l’evento iniziale cui corrisponde il numero più alto.

Nel metodo di numerazione casuale l’unica regola di numerazione da rispettare consiste nel non assegnare lo stesso numero a due eventi distinti, per il resto ciascun evento può essere rappresentato da qualsiasi numero e può accadere che l’evento fine di un’attività assuma un valore maggiore dell’evento inizio. Con tale metodo è più semplice togliere o aggiungere attività al reticolo.

Se nel reticolo AsF si numerano gli eventi, nel diagramma di precedenza la numerazione coinvolge le attività.

2.5 ESEMPIO DI PIANIFICAZIONE Si suppone che il progetto da realizzare consiste nella costruzione di un collegamento

stradale tra due centri abitati e si fanno una serie di ipotesi necessarie per la pianificazione del lavoro.

L’opera prevede la costruzione del corpo stradale, parte in rilevato e parte in trincea, e la costruzione delle opere d’arte, costituite da due viadotti ed alcune opere minori, quali tombini per il deflusso delle acque e muri di sostegno per garantire la stabilità dei rilevati. La scomposizione del progetto in attività elementari è possibile solo dopo un’attenta analisi del lavoro e la definizione delle modalità esecutive. Un’analisi del sito consente di affermare che l’accesso ai cantieri può avvenire attraverso la rete stradale esistente, senza rendere necessaria l’apertura di piste.

Le principali operazioni da svolgere sono: costruzione dei viadotti; costruzione delle opere d’arte minori; costruzione dei rilevati; costruzione delle trincee; realizzazione di opere complementari.

La suddivisione di queste operazioni in attività elementari dipende dal grado di

dettaglio del reticolo che si vuole costruire. Si suppone di voler realizzare un reticolo sommario, indirizzato agli alti dirigenti dell’impresa che vogliono conoscere soltanto gli aspetti essenziali del lavoro. In seguito ciascun’attività del reticolo sommario dovrà essere scorporata per consentire la costruzione del reticolo principale e del reticolo operativo.

Alla luce delle considerazioni svolte si scompone il progetto nelle attività riportate, insieme al codice di identificazione, nella tabella 2-3.



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Tabella 2-3 Attività del progetto

Codice attività Descrizione attività IC Installazione cantiere V1 Viadotto 1 V2 Viadotto2 OM1 Opere minori tratto 1 OM2 Opere minori tratto 2 TR Trincea R1 Rilevato tratto 1 R2 Rilevato tratto 2 P1 Fondazione stradale tratto 1 P2 Fondazione stradale tratto 2 P3 Pavimentazione in conglomerato bituminoso F1 Opere di finitura tratto 1 F2 Opere di finitura tratto 2 SC Smobilizzo cantiere

Per quanto riguarda la sequenza delle operazioni, i primi due vincoli da prendere in

considerazione sono costituiti dalla circostanza che nessun’attività può iniziare prima che sia terminata l’installazione del cantiere e tutte le attività devono terminare prima che abbia luogo lo smobilizzo del cantiere.

La realizzazione del tratto in trincea può avvenire subito dopo l’installazione del cantiere; si assume difatti che non ci sono vincoli, come ad esempio la costruzione di opere di stabilizzazione delle scarpate, che ne condizionano l’esecuzione. Inoltre la trincea, di limitata estensione, è interamente localizzata nel tratto di strada convenzionalmente indicato come tratto 1.

Il tratto in rilevato è diviso in due sezioni, da realizzare in serie, e per ciascuno dei due tratti si sceglie un ciclo operativo che prevede l’inizio dei lavori di costruzione del rilevato solo dopo il completamento delle opere minori. Tale sequenza di lavoro è motivata dal fatto che, avendo preliminarmente realizzato le opere necessarie per la sua stabilità (i muri di sostegno) e quelle che interferiscono con la sua costruzione (i tombini), la costruzione del rilevato può avvenire senza interruzioni ed interferenze.

Le opere d’arte minori possono iniziare subito dopo l’installazione del cantiere prevedendo che abbia luogo la realizzazione delle opere nella sezione 1, e solo dopo il loro completamento la realizzazione delle opere nella sezione 2.

La costruzione dei viadotti può avvenire in parallelo con le attività summenzionate. Per quanto riguarda il legame tra i lavori di costruzione dei due viadotti l’ipotesi più semplice, ma che comporta il maggior consumo di tempo, è l’esecuzione in serie. Se vi è necessità di eseguire più velocemente i lavori, si può pensare di eseguire in parallelo le due costruzioni, con notevole aggravio nell’utilizzo delle risorse. Probabilmente l’ipotesi più valida, che tiene conto del duplice obiettivo di contenere l’utilizzo delle risorse e la durata dei lavori, consiste nel suddividere le attività di costruzione dei viadotti in più operazioni che richiedono l’utilizzo di differenti tipi di risorse (fig.2.18).



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Figura 2-18 Scomposizione dell’attività costruzione viadotto.

Analizzando i legami di dipendenza tra le attività individuate si può notare che dopo

la realizzazione delle fondazioni nel primo viadotto possono iniziare sia la costruzione di pile e spalle nel primo viadotto, sia la realizzazione delle fondazioni nel secondo. Lo stesso ragionamento si può ripetere con riferimento alle altre attività consentendo la costruzione del reticolo di figura 2.19 e della tabella 2.4.

Tabella 2-4 Legami logici tra le attività per la costruzione dei viadotti

Attività Attività strettamente precedenti V1-01 - V1-02 V1-01 V1-03 V1-02 V1-04 V1-03 V2-01 V1-01 V2-02 V2-01/V1-02 V2-03 V2-02/V1-03 V2-04 V2-03/V1-04


Figura 2-19 Reticolo per la costruzione dei viadotti.

V1-01 • V1- • V1- V1-04 V1-02 V1-03

V2-02 V2-03 V2-01 V2-04

Reticolo AsF

Costruzione viadotto 1 V1

Fondazioni V1-01

Pile e spalle V1-02

Varo travi V1-03 Getto soletta e traversi

V1-04

V1-01 V1-02 V1-03 V1-04

V2-01 V2-02 V2-03 V2-04



23

Al fine di semplificare il reticolo, la dipendenza tra le attività costruzione del viadotto

1 e costruzione del viadotto 2 può essere espressa mediante l’introduzione di attività di attesa, per il reticolo AsF, o di legami inizio-inizio e fine-fine, per il diagramma di precedenza (fig.2.20).

Figura 2-20 Reticolo semplificato per la costruzione dei viadotti. La costruzione delle pavimentazioni si articola in tre fasi: costruzione dello strato di

fondazione in misto granulare della sezione 1, costruzione dello strato di fondazione in misto granulare della sezione 2 e realizzazione degli strati in conglomerato bituminoso.

La costruzione della fondazione della sezione 1 può iniziare quando sono terminate le trincee e la parte di rilevato relativa alla suddetta sezione; la costruzione della fondazione della sezione 2 dipende sia dal completamento della fondazione della sezione 1 che dalla realizzazione del rilevato relativo alla sezione 2, mentre la pavimentazione in conglomerato bituminoso può essere realizzata quando sono terminati i viadotti e lo strato di fondazione.

La pavimentazione in conglomerato bituminoso potrebbe essere realizzata subito dopo il completamento dello strato di fondazione, tuttavia essa deve essere realizzata anche sui viadotti e per evitare di eseguirla in due distinte fasi si preferisce iniziarne la costruzione solo dopo che sono completati sia gli impalcati, sia lo strato di fondazione del corpo stradale.

Le opere di finitura del corpo stradale, tra le quali si segnalano la sagomatura e l’inerbimento delle scarpate e la realizzazione dei fossi di guardia e delle cunette, sono divise in due attività: F1 ed F2. La prima parte delle opere di finitura può iniziare dopo il completamento della trincea e del rilevato della sezione 1, mentre l’inizio della seconda parte è vincolato dal completamento della prima e dal completamento del rilevato della sezione 2.

L’analisi del progetto e le ipotesi di costruzione effettuate hanno consentito la stesura della tabella 2.5 e del reticolo di figura 2.21.

Tabella 2-5 Legami logici tra le attività del progetto



IC - R2 R1/OM2 V1 IC P1 R1/TR V2 V1 P2 P1/R2 OM1 IC P3 P2/V2 OM2 OM1 F1 R1/TR TR IC F2 F1/R2 R1 OM1 SC F2/P3

d2 d1

V2

V1

V1 V2 SS=d1

FF=d2



24

Figura 2-21 Reticolo per la realizzazione del progetto.

V1

P1

D1 D2

SC P3

P2

R2 R1

OM2 OM1 IC 1 2 5 •8 9 14 15 16

6

7 10

11

3

4 13

12

TR F1 F2

V2

Reticolo AsF


SS=D1

OM1 IC OM2

V1 V2

R1

TR F1 F2

R2

P1

P2

P3 SC

FF=D2



25

Dopo la stesura del reticolo e la numerazione degli eventi è possibile la compilazione

di una tabella che riporta, per ciascuna attività, gli eventi inizio e fine (tabella 2.6). La suddetta tabella sarà poi utile nella fase di risoluzione temporale del reticolo.

Tabella 2-6 Attività del progetto

Evento iniziale ed evento finale

Codice attività Descrizione attività

1-2 IC Installazione cantiere 2-3 DU Attività fittizia 2-5 OM1 Opere minori tratto 1 2-7 TR Trincea 3-4 D1 Attività di attesa

3-12 V1 Viadotto 1 4-13 V2 Viadotto2 5-6 R1 Rilevato tratto 1 5-8 OM2 Opere minori tratto 2 6-8 DU Attività fittizia

7-10 F1 Opere di finitura tratto 1 7-11 P1 Fondazione stradale tratto 1 8-9 R2 Rilevato tratto 2

9-10 DU Attività fittizia 9-11 DU Attività fittizia

10-15 F2 Opere di finitura tratto 2 11-14 P2 Fondazione stradale tratto 2 12-13 D2 Attività di attesa 13-14 DU Attività fittizia 14-15 P3 Pavimentazione in conglomerato

bituminoso 15-16 SC Smobilizzo cantiere

3 ANALISI TEMPORALE DEL RETICOLO

3.1 SCOPO DELL’ANALISI TEMPORALE Il primo obiettivo dell’analisi temporale del reticolo consiste nell’individuare la durata

minima del progetto. Ciò consente di valutare se la durata del progetto è compatibile con i vincoli esistenti e nel caso in cui non lo sia permette di stimare gli effetti temporali derivanti da differente organizzazione dei lavori o da differente utilizzo di tecniche costruttive e risorse.

L’analisi temporale del reticolo individua il tempo al più presto ed il tempo al più tardi in cui ciascuna attività può essere eseguita. Il tempo al più presto di esecuzione di un’attività, che può essere espresso come tempo di inizio o come tempo di fine, rappresenta il primo istante temporale in cui un’attività può essere eseguita nell’ipotesi in cui tutte le attività del progetto che la precedono abbiano avuto luogo in corrispondenza del tempo al più presto. Il tempo al più tardi rappresenta invece l’ultimo istante temporale in cui un’attività può essere eseguita senza modificare la durata complessiva del progetto. L’analisi temporale consente pertanto di individuare l’intervallo temporale entro il quale è possibile l’esecuzione di ciascuna attività.

Nel caso in cui il tempo al più presto ed il tempo al più tardi non sono coincidenti l’esecuzione dell’attività gode di una certa flessibilità, definita scorrimento, e la sua collocazione temporale dipende da una serie considerazioni relative all’organizzazione dei lavori, quali la necessità di rendere la richiesta di risorse durante il progetto compatibile con la disponibilità e quanto più uniforme possibile.

Le attività per le quali il tempo al più presto ed il tempo al più tardi sono coincidenti sono definite critiche3 poiché un loro ritardo comporterebbe un ritardo nell’esecuzione dei lavori. Per tale ragione a queste ultime attività si presterà particolare attenzione nell’esecuzione dei lavori.

Tempo di inizio al più presto Tempo di fine al più tardi

Figura 3-1 Collocazione temporale delle attività.

3 Più precisamente le attività critiche sono le attività con il minimo scorrimento. Il minimo scorrimento potrebbe essere una quantità non nulla sia positiva, nel qual caso il progetto è sub-critico, che negativa, nel qual caso il progetto è ipercritico.

Durata dell’attività Scorrimento

Analisi temporale del reticolo


28

quantità di lavoro produttività di un’unità operativa ⋅ numero di unità

3.2 ANALISI DELLE ATTIVITÀ Dopo aver definito la logica del reticolo, e quindi le sequenze di lavorazione, occorre

stimare la durata di ciascun’attività per iniziare la fase di schedulazione4. La stima delle durate presuppone un’analisi delle attività con definizione delle

modalità esecutive e delle risorse necessarie. E’ opportuno, in questa fase preliminare del processo di pianificazione, assumere che il lavoro sia eseguito in condizioni normali, ovvero occorre ipotizzare un numero di ore lavorative normali ed un utilizzo di risorse normale in relazione al tipo di lavoro e non considerare fattori anomali che potrebbero condizionare le lavorazioni.

Le condizioni normali di esecuzione di un’attività sono anche definite come le condizioni di lavoro cui corrisponde un minimo costo diretto dell’attività5.

Definite modalità esecutive e risorse da impiegare, dopo aver studiato approfonditamente il progetto ed i computi metrici, la stima della durata di un’attività, secondo l’approccio di natura deterministica, può essere effettuato applicando la seguente formula:

Durata =

Qualsiasi unità temporale può essere impiegata: ore, giorni di calendario, giorni

lavorativi, settimane, mesi, anni. La scelta dell’unità temporale è effettuata in modo tale che essa risulti significativa in relazione alla durata totale del progetto.

Un elemento, tanto importante quanto imprevedibile, di cui si deve tenere conto nella stima della durata del progetto è costituito dai fattori atmosferici avversi, di cui si può tenere conto secondo due differenti modalità.

Nel primo caso, di più frequente applicazione, si prevede una dilazione della durata complessiva del lavoro, considerando esplicitamente un perditempo6 dovuto alle avverse condizioni atmosferiche. Nel secondo caso si modifica la durata delle attività sensibili alle condizioni atmosferiche.

Nel caso in cui la stima delle durate delle attività appaia piuttosto incerta si può ricorrere ad un approccio di tipo probabilistico, secondo la metodologia propria del PERT7.

Nella rappresentazione reticolare le durate delle attività possono essere raffigurate in diversi modi, ad esempio come in figura 3.2. Nel caso del progetto di esempio, rappresentato dal reticolo di figura 2.21, le durate delle attività, stimate con il metodo deterministico assumendo come unità temporale la giornata lavorativa, sono riportate nella tabella 3.1 e nel reticolo di figura 3.3. 4Schedulazione:ordinamento temporale delle attività. 5I costi diretti sono strettamente correlati all’esecuzione dell’attività, a differenza dei costi indiretti, spese di natura generale sostenute indipendemente dallo svolgimento di una singola attività. 6L’incremento di durata per effetto dei fattori atmosferici avversi, dipendente dalle condizioni climatiche del sito dei lavori e dal tipo di lavoro, è solitamente assunto pari al 5-10% della durata complessiva del progetto. 7Vedi paragrafo 3.5: “Analisi temporale del reticolo secondo il metodo probabilistico”.

(3.1)



29

Figura 3-2 Rappresentazione delle durate.

Tabella 3-1 Durate del progetto

Evento iniziale e finale

Codice attività Durata stimata Evento iniziale e finale

Codice attività Durata stimata

1-2 IC 15 7-11 P1 10 2-3 DU 0 8-9 R2 40 2-5 OM1 40 9-10 DU 0 2-7 TR 25 9-11 DU 0 3-4 D1 ? 10-15 F2 15

3-12 V1 80 11-14 P2 5 4-13 V2 80 12-13 D2 ? 5-6 R1 40 13-14 DU 0 5-8 OM2 30 14-15 P3 20 6-8 DU 0 15-16 SC 10

7-10 F1 15

Figura 3-3 Rappresentazione delle durate del progetto.

V2

5

D1 D2

SC P3

P2

R2

R1

OM2 OM1 IC 1 2 5 1)8 9 14 15 16

6

7 10

11

3

4 13

12

TR F1 F2

P1

V1

15 40 30

40

40

10

25 15 15

20 10

80

80

durata i i j

A d



30

(3.2) produttività di un unità operativa quantità di lavoro nell’unità di tempo 1.000

500

Le durate delle attività di attesa D1 e D2 non sono state riportate nella misura in cui dipendono dalle durate delle attività del sottoreticolo (figura 3.4) relativo alla costruzione dei due viadotti. Le suddette durate saranno esplicitate nella fase di risoluzione temporale del reticolo.

Figura 3-4 Rappresentazione delle durate nel reticolo per la costruzione dei viadotti.

Un semplice esempio può chiarire la metodologia da seguire per stimare la durata

delle attività. Si supponga che l’attività da considerare sia lo scavo di una trincea con il metodo dell’attacco frontale e che lo scavo avvenga contemporaneamente sui due fronti.

La quantità di lavoro è espressa come metri cubi di terreno da scavare: 50.000 m3. Lo scavo è effettuato su ciascun fronte con un escavatore a benna diritta, la cui produttività, funzione delle caratteristiche del terreno e dell’escavatore, è pari a 1.000m3/giornata lavorativa.

Con le ipotesi fatte, applicando la formula 3.1, risulta:

durata = =25

dove si è assunta come unità di tempo la giornata lavorativa.

Si prevede inoltre che il volume di terreno scavato sia trasportato a rifiuto mediante dumpers, in numero tale da consentire che gli escavatori lavorino a pieno regime. Se ciascun dumper ha una produttività, che dipende essenzialmente dalle sue caratteristiche, dalla distanza della cava di rifiuto e dal tipo di piste lungo le quali avviene il trasporto, pari a 500 m3/giornata lavorativa, il numero di dumpers da impiegare può essere ricavato applicando la formula:

N = = = 2

Occorrono pertanto 2 dumpers per ciascun escavatore, ossia 4 dumpers complessivi.

Inoltre ciascun mezzo meccanico ha bisogno di un operatore e si richiede la presenza di un assistente di cantiere, con impiego complessivo di 7 uomini. I risultati dell’analisi, in termini di tempo e risorse, sono riportati nella tabella 3.2.

50.000 1.000 ⋅ 2

V1-01 1) V1- 1) V1- V1-04 V1-02 V1-03

V2-02 V2-03 V2-01 V2-04

1 2 6 4 8

3 5 7 9 10

30 25 15 10

30 25 15 10



31

Tabella 3-2 Risultati dell’analisi dell’attività scavo trincea

Durata Risorse 25 giorni lavorativi Escavatori:2 Dumpers:4 Uomini:7

3.3 I TEMPI AL PIÙ PRESTO L’analisi temporale, costruito il reticolo e stimate le durate delle attività, implica

esclusivamente semplici operazioni aritmetiche. Il criterio analitico da seguire non differisce se si usa il reticolo AsF o il diagramma di

precedenza, ad eccezione del fatto che nel reticolo AsF l’analisi riguarda sia le attività che gli eventi, a differenza del diagramma di precedenza in cui, non esistendo gli eventi, l’analisi è limitata alle sole attività. In considerazione della suddetta equivalenza si illustrano le fasi dell’analisi temporale con riferimento ai reticoli AsF, estendendone i principi al caso del diagramma di precedenza.

L’analisi temporale è costituita da due fasi: 1. analisi in avanti; 2. analisi a ritroso.

Per ciascun evento, con l’analisi in avanti si calcola il tempo al più presto8, mentre con

l’analisi a ritroso si calcola il tempo al più tardi9. Un evento rappresenta l’istante temporale in cui le attività che lo precedono possono

terminare e le attività che lo seguono possono avere inizio. Partendo da questa definizione il calcolo del tempo al più presto in cui può aver luogo ciascun evento è eseguito determinando le durate dei cammini, successioni di attività, che conducono dall’evento inizio del progetto all’evento in esame ed assumendo come tempo al più presto la durata del più lungo dei cammini presi in considerazione.

Si consideri il semplice esempio di figura 3.5 in cui il reticolo è rappresentato da tre attività A, B e C di durata, rispettivamente, pari a 5, 3 e 2 unità temporali. In questo caso il tempo al più presto di ciascun evento è pari alla durata dell’unica successione di attività che dall’evento inizio porta fino ad esso, ossia può essere calcolato applicando la seguente formula10:

ETj=ETi + dij dove ETj è il tempo al più presto dell’evento in esame, ETi è il tempo al più presto

dell’evento che lo precede strettamente e dij è la durata dell’attività che congiunge i due eventi.

Applicando la formula 3.3 per il calcolo dei tempi al più presto degli eventi del reticolo di figura 3.4, ed assumendo ET1=0, risulta:

ET2=ET1+d12=0+5=5; ET3=ET2+d23=5+3=8; ET4=ET3+d34=8+2=10.

8Tempo al più presto:earliest time, ET. 9Tempo al più tardi:latest time, LT. 10La formula è valida in tutti i casi in cui l’evento in esame è preceduto strettamente da un’unico evento.

(3.3)



32

Con l’analisi in avanti si è calcolata anche la durata minima del progetto. Difatti è possibile affermare che, se i tempi previsti per le durate delle attività sono rispettati nella fase di esecuzione dei lavori, l’evento 4, evento fine del progetto, può essere raggiunto al più presto dopo 10 unità temporali. Nel caso in cui la durata del progetto sia incompatibile con le necessità dovrà essere modificata la pianificazione, prevedendo una differente organizzazione dei lavori o un aumento delle risorse impiegate per l’esecuzione delle attività.

Figura 3-5 Tempi al più presto.

La figura 3.6 rappresenta un reticolo in cui, a differenza del caso precedente, vi sono

due sequenze di attività che conducono dall’evento inizio all’evento fine.

Figura 3.6 Tempi al più presto di un reticolo con più percorsi.

Assumendo ET1=0 i tempi al più presto degli eventi 2 e 3 possono essere calcolati

con la formula 3.3 e risultano: ET2=ET1+d12=0+5=5; ET3=ET1+d13=0+3=3. L’evento 4 dipende dalle attività C e D, pertanto può essere raggiunto solo quando le

due attività sono terminate. L’attività C può terminare al più presto al tempo ET2+dc=5+2=7, mentre l’attività D può terminare al tempo ET3+db=3+10=13.

In tal caso l’evento fine viene raggiunto, al più presto, al tempo 13, il più elevato tra i due tempi calcolati. Generalizzando il ragionamento svolto si può calcolare il tempo al più presto di un’evento con la formula11:

ETj=maxi (ETi + dij)

11La formula ha validità generale.

4 2

C

5 1 2 3

A B

3

0 5 8 10

(3.4)

2

C

5

3 1 3 4

B D

10

0 3 13

2

5

A



33

dove ETj è il tempo al più presto dell’evento in esame, ETi e dij sono rispettivamente il tempo al più presto e la durata degli eventi e delle attività che lo precedono strettamente.

Con riferimento al progetto di esempio l’analisi in avanti per il calcolo dei tempi al più presto degli eventi (fig.3.8 e tab.3.4) deve essere preceduta dall’analisi del sottoreticolo relativo alla costruzione dei due viadotti per la definizione della durata delle attività di attesa D1 e D2. I risultati dell’analisi del sottoreticolo, sono sintetizzati nella figura 3.7 e nella tabella 3.3.

Tabella 3-3 Calcolo dei tempi al più presto

Codice evento Operazioni Tempo al più presto 1 Si assume convenzionalmente ET1= 0 0 2 ET1 + d1/2=0 + 30=30 30 3 ET2 + d2/3=30 + 0=25 30 4 ET4 + d3/4=30 + 25=55 55 5 max (ET3 + d35=30 +30; ET4 + d45=55 + 0) 60 6 ET5 + d5/6=55 + 15 70 7 max (ET5+ d5/7=55+30; ET6+ d67=70+ 0) 85 8 ET7 + d78=70 + 10=80 80 9 max (ET7 + d79=85 + 15; ET8 + d89=80 + 0) 100

10 ET9 + d9/10= 100 + 10 110 D1=ET3-ET1=30-0=30 D2=ET10-ET8=110-80=30

Figura 3-6 Tempi al più presto del sottoreticolo per la costruzione dei viadotti.

V1-01 1) V1- 1) V1- V1-04 V1-02 V1-03

V2-02 V2-03 V2-01 V2-04

2 6 4 8

3 5 7 9 10

30 25 15 10

30 25 15 10

0 30 55 70 80

30 60 85 100 110

1



34

Tabella 3-4 Tempi al più presto del progetto

Codice evento

Operazioni Tempo al più presto

1 Si assume ET1=0 0 2 ET1 + d1/2=0 + 15 15 3 ET2 + d2/3=15 + 0 15 4 ET3 + d3/4=15 + 30 45 5 ET2 + d2/5=15 + 40 55 6 ET5 + d5/6=55 + 40 95 7 max (ET2 + d2/7=15 + 25; ET6+d67=95+0) 95 8 max (ET6 + d6/8=95 + 0; ET5 + d5/8=55 + 30) 95 9 ET8 + d8/9=95 + 40 135

10 max (ET7 + d7/10=40 + 15; ET9 + d9/10=135 + 0) 135 11 max (ET7 + d7/11=40 + 10; ET9 + d9/11=135 + 0) 135 12 ET3 + d3/12=15 + 80 95 13 max (ET4 + d4/13=40 + 80; ET12 + d12/13=95 + 30) 125 14 max (ET11 + d11/14=135 + 5; ET13 + d13/14=125 + 0) 140 15 max(ET10 + d10/15=135 + 15; ET14 + d14/15=140 + 20) 160 16 ET15 + d15/16=160 + 10 170

Figura 3-7 Tempi al più presto del progetto.

3.4 I TEMPI AL PIÙ TARDI Si definisce tempo al più tardi di un evento il tempo al più tardi in cui l’evento può aver

luogo senza modificare la durata complessiva del progetto. Il calcolo dei tempi al più tardi degli eventi viene eseguito mediante un’analisi a

ritroso del progetto. Con tale analisi si svolgono gli stessi passi necessari per il calcolo dei tempi al più presto con la differenza che stavolta si parte dal tempo al più tardi

V1

30 30

5

D1 D2

SC P3

P2

R2 R1

OM2 OM1 IC 1 2 5 1)8 9 14 15 16

6

7 10

11

3

4 13

12

TR F1 F2

P1

V2

0 15

55 95

95 135

135

135

140

125 45

95 15

95

160 170

15 40 30

40

40

10

25 15 15

20 10

80

80



35

dell’evento fine del progetto, preventivamente stabilito, per giungere al calcolo del tempo al più presto dell’evento inizio del progetto.

Il reticolo della figura 3.9, analogo al reticolo della figura 3.5 per cui sono stati calcolati i tempi al più presto, rappresenta un esempio di calcolo dei tempi al più tardi. In primo luogo occorre definire il tempo al più tardi dell’evento fine (l’evento 4). Si supponga che esso sia coincidente con il tempo al più presto, per cui: ET4=LT4=13.

Figura 3-8 Tempi al più tardi.

Il tempo al più tardi degli eventi 2 e 3 si calcola molto semplicemente, esistendo un

unico cammino che conduce, con l’analisi a ritroso, agli eventi stessi. In questo caso il tempo al più tardi degli eventi si calcola con la formula:

LTi=LTj - dij

dove LTi è il tempo al più tardi dell’evento in esame, LTj è il tempo al più tardi dell’evento che lo segue e dij la durata dell’attività che li congiunge.

Particolarizzando la formula 3.5 con riferimento agli eventi 2 e 3 risulta: LT2=LT4-d24=13-2=11; LT3=LT4-d34=13-10=3. Per il calcolo del tempo al più tardi dell’evento 1 si deve tener presente, ricordando

che il tempo al più tardi di un evento rappresenta l’ultimo istante temporale in cui possono iniziare le attività da esso dipendenti senza modificare la durata totale del progetto, che esistono due cammini che dall’evento fine conducono ad esso: uno passa per l’evento 2 e l’altro per l’evento 3.

In questo caso si applica la formula 3.5 con riferimento ad entrambi gli eventi che seguono quello in esame e si assume come tempo al più tardi dell’evento il più piccolo dei tempi così calcolati; ciò equivale all’applicazione della seguente formula:

LTI=minj (LTJ - dij) dove i rappresenta l’evento in esame e gli eventi j sono quelli che lo seguono

strettamente.

(3.5)

(3.6)

2

C

5

3 1 3 4

B D

10 0 3 13

2

5

A

13 3 0

11



36

Particolarizzando la 3.4 con riferimento all’evento 1 risulta: LT1=min(LT2-d12; LT3-D13)=min (11-5; 3-3)=0. L’analisi a ritroso è stata svolta per il reticolo di esempio ed i risultati sono

rappresentati nella tabella 3.5 e nel reticolo di figura 3.8.

Tabella 3-5 Tempi al più tardi del progetto

Codice evento

Operazioni Tempo al più tardi

16 Si assume LT16=ET16 170 15 LT16 - d15/16=170 - 110 160 14 LT15 - d14/15=160 - 20 140 13 LT14 - d13/14=140 - 0 140 12 LT13 - d12/13=140 - 30 110 11 LT14 - d11/14=140 - 5 135 10 LT15 - d10/15=160 - 15 145 9 min(LT11 - d9/11=135 - 0; LT10 - d9/10=145 - 0) 135 8 LT9 - d8/9=135 - 40 95 7 min(LT10 - d7/10=145 - 15; LT11 - d7/11=145 - 0) 125 6 min(LT7 - d6/7=125 - 0; LT8 - d6/8=95 - 0) 95 5 min(LT6 - d5/6=95 - 40; LT8 - d5/8=95 - 30) 55 4 LT13 - d4/13=140 - 80=60 60 3 min(LT4 - d3/4=60 - 30; LT12-d3/12=110 - 80) 30 2 min(LT3-d2/3=35-0; LT5-d2/5=55-40; LT7-

d27=125-25) 15

1 LT2 - d1/2=15 - 15 0

Figura 3-9 Tempi al più tardi del progetto.

30 30

5

D1 D2

SC P3

P2

R2 R1

OM2 OM1 IC 1 2 5 1)8 9 14 15 16

6

7 10

11

3

4 13

12

TR F1 F2

P1

V1

V2

0 15

55 95

95 135

135

135

140

125 45

95 15

95

160 170

15 40 30

40

40

10

25 15 15

20 10

0 15

55 95 135

30 1)

140 60 80

80

140 160 170

95

125 145

135



37

3.5 IL PERCORSO CRITICO L’analisi temporale del reticolo evidenzia che la durata totale del progetto è

individuata mediante la determinazione del più lungo percorso tra l’evento inizio e l’evento fine. Pertanto la durata di questo percorso, detto percorso critico, definisce la durata complessiva del progetto. Ciò significa che ogni ritardo di un’attività appartenente al percorso critico, detta attività critica, si ripercuote sulla durata del progetto.

Se si esamina il reticolo della figura 3.8 si nota che alcuni eventi presentano il tempo al più presto ed il tempo al più tardi coincidenti. Se, per esempio, si esamina l’evento 5 si vede che il suo tempo al più presto è 55, così come il suo tempo al più tardi. Da un lato questo significa che l’evento non può essere raggiunto prima di 55 unità temporali, dall’altro significa che l’evento non può essere raggiunto più tardi del tempo 55 affinché non si abbia un ritardo nell’esecuzione del progetto. Ossia affinché il programma sia rispettato l’evento 5 non deve subire ritardi.

Il ritardo che un’evento può presentare rispetto al tempo al più presto senza modificare la durata del progetto, cioè la differenza tra il tempo al più tardi ed il tempo al più presto, è detto scorrimento. Dopo l’analisi in avanti ed a ritroso del reticolo sono noti i tempi al più presto ed al più tardi di ciascun evento, ed è possibile calcolare lo scorrimento di ciascun evento con la semplice operazione:

Scorrimento di un’evento= LT - ET

Gli eventi che presentano scorrimento minimo sono detti eventi critici. In particolare gli eventi critici presentano lo stesso scorrimento dell’evento fine e dell’evento inizio; se, come si verifica per la maggior parte dei programmi, l’evento fine e l’evento inizio presentano scorrimento nullo la condizione di criticità degli eventi è la seguente:

LT=ET

Il cammino critico si snoda attraverso gli eventi critici; tuttavia, questa condizione da sola non è sufficiente per l’individuazione delle attività critiche.

Ogni evento del reticolo, ad eccezione dell’evento inizio e dell’evento fine del progetto, è caratterizzato dall’avere un’attività che lo precede ed un’attività che lo segue.

Il tempo al più presto dell’evento al piede di ogni freccia è il tempo al più presto in cui l’attività rappresentata dalla freccia può cominciare (figura 3.10), detto tempo di inizio al più presto (earliest start=ES).

Figura 3-10 Tempo di inizio al più presto.

(3.7)

(3.8)

iAttività

ETi= ES



38

Se l’attività ha inizio in corrispondenza del tempo al più presto, l’istante in cui termina è detto tempo di fine al più presto (earliest finish=EF) e rappresenta il tempo al più presto in cui l’attività può terminare. Il tempo di fine al più presto di un’attività di durata d è legato al tempo di inizio al più presto dalla relazione:

EF=ES+d=ETi+d

Similmente, il tempo al più tardi dell’evento alla testa di ogni freccia costituisce il tempo al più tardi in cui l’attività rappresentata dalla freccia può terminare (figura 3.11), e tale istante temporale è detto tempo di fine al più tardi (latest finish=LF).

Figura 3-11 Tempo di fine al più tardi. Il tempo di inizio al più tardi si ricava sottraendo al tempo di fine al più tardi la

durata dell’attività:

LS=LF-d=LTj-d

Se per ogni attività il tempo di inizio al più presto è sottratto al tempo di fine al più tardi si ha un’indicazione del tempo massimo disponibile per la sua esecuzione. Se a tale tempo si sottrae la durata dell’attività si ricava lo scorrimento totale (total float=TF), ossia l’intervallo di tempo di cui può essere dilazionato l’inizio di un’attività rispetto al suo tempo di inizio al più presto senza modificare la durata totale del progetto.

Il calcolo dello scorrimento totale di un’attività può essere effettuato applicando la seguente formula:

TF=LTj-ETi-d=LF-ES-d=LS-ES

Le attività che presentano il minore scorrimento totale fanno parte del percorso critico e tale scorrimento risulterà pari allo scorrimento dell’evento inizio e dell’evento fine del progetto. Nel caso piuttosto frequente in cui lo scorrimento dell’evento inizio e dell’evento fine è nullo, la condizione di criticità delle attività è la seguente:

TF=0

Dopo aver effettuato l’analisi in avanti ed a ritroso del reticolo, l’individuazione del percorso critico è quasi immediata (tab. 3.6). Difatti tale analisi consente il calcolo dei tempi al più presto ed al più tardi degli eventi, pari rispettivamente al tempo di inizio al più presto (ETi=ES) ed al tempo di fine al più tardi (LTj=LF) delle attività da essi dipendenti.

Per ogni attività, il tempo di fine al più presto si ottiene sommando al tempo di inizio al più presto la sua durata (formula 3.9, EF=ES+d), mentre il tempo di inizio al più tardi si calcola sottraendo la sua durata al tempo di fine al più tardi (formula 3.10, LS=LF-d). La differenza tra il tempo di inizio al più tardi ed il tempo di inizio al più presto (formula

(3.9)

(3.11)

(3.10)

(3.12)

Attività

LTj= LF

j



39

3.11, TF=LS-ES) rappresenta lo scorrimento totale e le attività con il minimo scorrimento costituiscono le attività critiche.

Tabella 3-6 Calcolo dei parametri temporali per l’individuazione del percorso critico

PARAMETRI TEMPORALI FORMULA

Tempo al più presto di un evento ETi Max(ETi+dij)

Tempo al più tardi di un evento LTi Min(LTj-dij)

Eventi

Scorrimento di un evento LT-ET

Tempo di inizio al più presto ES ETi

Tempo di fine al più presto EF ETi+dij

Tempo di inizio al più tardi LS LTj-dij

Tempo di fine al più tardi LF LTj

Attività

Scorrimento totale TF LTj-ETi-dij

La tabella 3.7 riporta i dati temporali relativi alla risoluzione del reticolo di esempio,

mentre il reticolo di figura 3.12 evidenzia il percorso critico.



40

Tabella 3-7 Parametri temporali delle attività del progetto

Attività Codice Durata ES EF LS LF TF 1-2 IC 15 0 15 0 15 0 2-3 DU 0 15 15 30 30 15 2-5 OM1 40 15 55 15 55 0 2-7 TR 25 15 40 100 125 85 3-4 D1 30 15 45 35 60 20

3-12 V1 80 15 95 30 110 15 4-13 V2 80 45 125 60 140 20 5-6 R1 40 55 95 55 95 0 5-8 OM2 3 55 85 65 95 15 6-8 DU 0 95 95 95 95 0

7-10 F1 15 95 110 130 145 35 7-11 P1 10 95 105 125 135 30 8-9 R2 40 95 135 95 135 0

9-10 DU 0 135 135 145 145 10 9-11 DU 0 135 135 135 135 0

10-15 F2 15 135 150 145 160 10 11-14 P2 5 135 140 135 140 0 12-13 D2 30 95 125 110 140 15 13-14 DU 0 125 125 140 140 15 14-15 P3 20 140 160 140 160 0 15-16 SC 10 160 170 160 170 0

Figura 3-12 Reticolo completo.

30 30

5

D1 D2

SC P3

P2

R2 R1

OM2 OM1 IC 1 2 5 1)8 9 14 15 16

1)

7 10

11

3

4 13

12

TR F1 F2

P1

V1

V2

0 15

55 95

95 135

135

135

140

125 45

95 15

95

160 1)

15 40 30

40

40

10

25 15 15

20 10

0 15

55 95 135

30 110

140 60 80

80

140 160 1)

95

125 145

135



41

3.6 ANALISI TEMPORALE CON IL METODO PROBABILISTICO La stima delle durate delle attività del progetto può essere effettuata sia con un

approccio di tipo deterministico che con un approccio di tipo probabilistico. Dei due tipi di approcci il più comunemente è senz’altro il primo. Tale circostanza è

legata principalmente al fatto che i margini di incertezza legati alla stima delle durate delle attività sono limitati dalla vasta esperienza acquisita nell’esecuzione di lavori simili a quello oggetto di pianificazione.

Nei casi in cui la stima delle durate si presenta piuttosto incerta, o per mancanza di esperienza nell’esecuzione di un certo tipo di lavoro o a causa di condizioni di lavoro particolarmente complesse ed imprevedibili, è preferibile ricorrere ad un approccio di probabilistico.

Il metodo di stima delle durate della tecnica PERT utilizza la teoria della probabilità per misurare la probabilità che ogni evento sia raggiunto come previsto, ovvero per misurare la probabilità che la durata complessiva del progetto sia inferiore ad un valore assegnato, consentendo in tal modo una stima del rischio derivante dall’impegno contrattuale all’esecuzione di un lavoro in un tempo assegnato.

Il metodo assume che la durata di un’attività è una variabile aleatoria, con una distribuzione di frequenza Beta12.

Assumendo la distribuzione Beta per la stima delle durate, la durata media attesa per un’attività, te, e la deviazione standard della distribuzione, s, possono essere calcolate con le formule:

dove:

a= durata ottimistica, che rappresenta il più breve periodo di tempo in cui l’attività può essere completata se si verificano circostanze favorevoli e tale che si ha una probabilità che la durata dell’attività sia inferiore ad essa pari all’1%;

m=durata più verosimile, che rappresenta il periodo di tempo necessario allo svolgimento dell’attività in condizioni normali e costituisce il valore di durata più probabile;

b=durata pessimistica, che rappresenta il periodo di tempo che richiede l’esecuzione di un’attività se si verificano circostanze sfavorevoli tale che si ha una probabilità che la durata dell’attività sia superiore ad essa pari all’1%.

La stima delle tre durate può essere effettuata o con l’ausilio di un esperto nel lavoro

in esame, o, se possibile, attraverso l’analisi storica delle durate di lavori simili. Nel reticolo di figura 3.13 sono rappresentate sulle frecce le tre durate (a, b ed m) di

ciascun’attività, espresse ad esempio in mesi. E’ possibile conoscere la probabilità che il progetto sia terminato dopo 38 unità

temporali, ossia dopo 38 mesi:

12Per ulteriori informazioni si rimanda ai trattati di statistica.

a+4m+b 6

(3.13)

b - a 36

s= (3.14)

te=



42

P=Prob(T<Tc)=Prob(T<38)

Il primo passo dell’analisi consiste nel calcolare (tabella 3.8), per ciascun’attività, la durata attesa e la deviazione standard della distribuzione.

Figura 3-13 Reticolo con stima probabilistica delle durate.

Tabella 3-8 Parametri statistici delle durate

Attività Durata stimata Media Deviazione standard

i-j a m b te s 1-2 6 9 15 9.5 1.50 2-3 4 7 9 6.8 0.83 2-4 2 3 6 3.3 0.67 3-5 7 10 13 10 1.00 4-6 6 8 10 8 0.67 5-7 1 4 6 3.8 0.83 6-7 5 9 11 8.7 1.00 7-8 2 3 8 3.7 1.00

La risoluzione temporale del reticolo avviene considerando un’unico valore della

durata di ciascun’attività, ossia assumendo che ciascun’attività abbia durata pari alla durata media attesa te. In tal modo si eseguono l’analisi in avanti e l’analisi a ritroso del reticolo, individuando il percorso critico (figura 3.14).

6-8-10

1 2

3

4 6

5

7 8 6-9-15

7-10-13

2-3-8

4-7-9

2-3-6 5-9-11

1-4-6



43

Figura 3-14 Reticolo completo.

In virtù del Teorema del Limite Centrale la somma di n variabili aleatorie

indipendenti, con n sufficientemente grande13, è una variabile aleatoria con legge di distribuzione di tipo normale, con media pari alla somma delle medie delle variabili indipendenti (formula 3.14) e deviazione standard pari alla radice della somma dei quadrati delle deviazioni standard delle variabili indipendenti (formula 3.15):

µ = =∑ teiin

1

σ σ==∑ ii

n2

1

Alla luce di questa osservazione si può affermare che la somma delle durate di n attività, variabili aleatorie indipendenti con legge di distribuzione Beta, è una variabile aleatoria con distribuzione normale, avente media e deviazione standard calcolabili rispettivamente con le formule 3.14 e 3.15, che rappresenta la durata della successione di attività.

Con il metodo PERT si assume che il percorso critico del reticolo è costituito dalla successione di attività che presenta la durata maggiore, considerando la durata di ciascun attività coincidente con la sua durata media te14 (figura 3.14).

Nell’esempio in esame la durata del percorso critico, che rappresenta la durata del progetto, è una variabile normale caratterizzata dai seguenti parametri:

− µ=33.8 − σ=2.42 Per calcolare la probabilità che il progetto abbia durata inferiore al limite prefissato di

38 unità temporali si calcola la differenza tra la durata media del percorso critico ed il tempo limite: ∆=Tc-µ=38-33.8=4.2.

13Generalmente si suppone n >15, mentre nell’esempio in esame, per ragioni di semplicità, n è più piccolo. 14Nel caso che due cammini presentano la stessa durata, calcolata con le ipotesi summenzionate, si assume come critico il percorso con la minore deviazione standard.

3.3

8

1 2

3

4 6

5

7 8 9.5

10

3.7

6.8

8.7

3.8

0 0 9.5 9.5

16.3 16.3 26.3 26.3

12.8 13.4 20.8 21.4

33.8 33.8 30.1 30.1

(3.14)

(3.15)



44

Se si effettua l’operazione ∆/σ=4.2/2.47=1.7=K si può entrare nelle tavole di probabilità della variabile normale standardizzata (tabella 3.9 e figura 3.15) e ricavare la probabilità che il progetto abbia durata inferiore a 38 unità temporali, ossia:

P= Prob(T<Tc) = Prob(x<µ+Kσ) = Prob(x<µ+1.7σ)=0.95

Tabella 3-9Probabilità della normale standardizzata

K Prob (x<µ+kσ) K Prob (x<µ+kσ) 0.0 0.500 1.6 0.945 0.2 0.579 1.8 0.964 0.4 0.655 2.0 0.977 0.6 0.726 2.2 0.986 0.8 0.788 2.4 0.992 1.0 0.841 2.6 0.995 1.2 0.885 2.8 0.997 1.4 0.919 3.0 0.999

33.8 36.2

µ µ+ σ µ+ 1.7σD urata del progetto

Probabilità

38

Figura 3-15 Distribuzione di probabilità della durata del progetto.

Il procedimento esposto, che rappresenta il procedimento standardizzato del metodo PERT, è suscettibile di un’osservazione nella misura in cui si è assunto che il percorso critico è il percorso con maggiore durata media. In effetti il suddetto percorso non è il percorso critico, ma solamente il più probabile percorso critico. La stima di natura probabilistica delle durate implica che ciascun percorso ha una probabilità di essere critico.

A rigore, pertanto, si dovrebbe calcolare la probabilità che ha ciascun percorso, successione di attività che conduce dall’evento inizio all’evento fine del progetto, di risultare critico (Ici) e di avere durata inferiore alla durata di confronto (P*i). Calcolate le suddette probabilità, la probabilità che il progetto abbia durata inferiore ad una durata prefissata è valutabile con la formula:



45

P ob T Tc I pci ii

n

= < = ⋅=∑Pr ( ) *

1

La probabilità che un cammino risulti critica può essere calcolata ricorrendo a metodi di simulazione numerica, coma il metodo Monte Carlo.

(3.16)

4 ANALISI ED OTTIMIZZAZIONE DELLE RISORSE

4.1 IL DIAGRAMMA DI CARICO Con l’analisi temporale del reticolo si valutano le risorse necessarie per l’esecuzione

dei lavori, correlando la durata di ciascun’attività con le modalità esecutive e le risorse da impiegare.

In tale analisi, tuttavia, si effettua un’assunzione implicita di importanza non trascurabile nella misura in cui si ipotizza che tutte le risorse necessarie per lo svolgimento dei lavori siano disponibili quando e come richiesto. Un’assunzione di questo tipo implica, per esempio, che in cantiere tutte le risorse saranno disponibili non solo nella quantità richiesta, ma anche nell’istante temporale previsto dal programma dei lavori rispettando i requisiti per esse ipotizzati.

In tal modo il programma dei lavori potrebbe richiedere la disponibilità di quattro escavatori universali per un periodo di un mese, prevedendo poi che gli stessi escavatori saranno inattivi nel mese successivo, per essere nuovamente impiegati per un periodo di soli due giorni successivi al mese di inattività. Una situazione di questo genere, che risulterebbe una chiara diseconomia, induce a pensare che nella fase di pianificazione è opportuno analizzare non solo i tempi delle lavorazioni ma anche la distribuzione delle risorse durante l’esecuzione del progetto.

L’analisi e l’ottimizzazione delle risorse presuppongono la definizione della quantità di ciascuna risorsa richiesta nel corso dei lavori. Per ciascuna risorsa, la distribuzione della quantità unitaria15richiesta durante l’esecuzione del progetto è detta diagramma di carico.

La figura 4.1 illustra un reticolo con i risultati dell’analisi temporale. A ciascun’attività del reticolo è associato un consumo di risorse nell’unità di tempo (fig. 4.2).

Figura 4-1 Parametri temporali di un reticolo.

15Quantità unitaria: quantità nell’unità di tempo.

C

2

A 6

0 0

4

6 6

B

5

10 10 15 15

D

2 8

D

2



48

Figura 4-2 Diagramma di carico.

Le tipologie di risorse impiegate nell’esecuzione dei lavori sono numerosissime e

sarebbe quasi impossibile eseguire un’analisi dettagliata di ciascun tipo di risorsa. Per questa ragione, l’analisi è solitamente limitata alle risorse più significative, che possono suddividersi in tre grandi categorie:

• manodopera; • macchine ed attrezzature; • materiali.

Nell’esempio considerato nelle figure 4.1 e 4.2, per semplicità di trattazione, si è

considerato l’impiego di un solo tipo di risorsa. Inoltre si è ipotizzato che tutte le attività abbiano inizio in corrispondenza del tempo al più presto, come evidenziato dal diagramma di Gantt che rappresenta l’andamento dei lavori nel tempo e che riporta, per ciascun’attività, il consumo di risorse nell’unità di tempo.

Definiti questi elementi la realizzazione del diagramma di carico presuppone solo elementari somme aritmetiche, ossia in ogni intervallo temporale si sommano le risorse impiegate per ciascun’attività che ha luogo nel medesimo intervallo. In questo modo è possibile la realizzazione del diagramma di carico riportato in figura 4.2.

6

6

2

4

4

Attività

A

B

C

D

E

Tempo 2 • • 4 6 8 10 12 14 15

Tempo 2 • • 4 6 8 10 12 14 15

10 8 6 4 2

Quantità di risorsa



49

Tale diagramma riporta interessanti informazioni sulla distribuzione delle risorse durante lo svolgimento del progetto. Tra queste si segnalano:

• la massima richiesta unitaria di risorse nel corso dello svolgimento del progetto;

• la quantità totale (integrale del diagramma di carico) di risorsa richiesta per l’esecuzione del progetto;

• l’entità delle discontinuità nell’utilizzo delle risorse nel tempo.

4.2 GLI OBIETTIVI DELL’OTTIMIZZAZIONE DELLE RISORSE Ad ogni reticolo corrispondono più diagrammi di carico, che dipendono dal

posizionamento nel tempo delle attività. Solo dopo aver schedulato le attività, ossia dopo aver definito la data di inizio di tutte le attività costituenti il progetto, si ha un’unico diagramma di carico delle risorse.

I criteri di schedulazione sono molteplici nella misura in cui sono molteplici gli obiettivi da raggiungere. L’obiettivo ottimale, non sempre raggiungibile, consiste nel realizzare il miglior allineamento possibile tra la disponibilità e la richiesta di risorse (allocazione) livellando le discontinuità nell’utilizzo delle risorse nel tempo (livellamento) senza modificare la durata minima del progetto.

Gli obiettivi della schedulazione possono essere condizionati dall’esistenza di vincoli, come un limite nella disponibilità di risorse o l’impossibilità di dilazionare la durata dei lavori, definita da patti contrattuali.

In particolare occorre sottolineare che la quantità complessiva di risorse, ossia l’integrale del diagramma di carico, costituisce un’invariante rispetto a tutte le possibili schedulazioni del progetto. E’ invece possibile ricercare, in funzione degli obiettivi prefissati, una razionale distribuzione di risorse nel tempo.

Nella generalità dei casi le discontinuità nell’utilizzo delle risorse nel tempo costituiscono una diseconomia per cui è opportuno realizzare il migliore livellamento possibile. Allo stesso tempo è opportuno limitare la massima richiesta di risorse nell’unità di tempo, che potrebbe essere non compatibile con la disponibilità da parte dell’impresa rendendo necessario l’approvvigionamento di ulteriori risorse, che nella maggioranza dei casi verrebbero utilizzate solo per brevi periodi di tempo con notevoli incrementi di costo. E’ allora opportuno limare i picchi del diagramma di carico scegliendo opportunamente la data di esecuzione delle attività.

I principali problemi di schedulazione possono ricondursi alle seguenti situazioni:

• fissata la data di ultimazione dei lavori, si ricercano il miglior livellamento ed il minor aumento possibile dell’utilizzo di risorse nell’unità di tempo, compatibilmente con la durata prefissata;

• fissato un limite di disponibilità di risorse, che non è possibile o non conveniente modificare, si ricerca la durata minima del progetto, compatibile con tale limite, tenendo sempre presente l’obiettivo di ottenere il miglior livellamento possibile delle risorse.

Una difficoltà nella ricerca della migliore distribuzione è costituita dalla molteplicità

delle tipologie di risorse impiegate; ciò significa che un’ordinamento temporale delle attività cui corrisponde un diagramma di carico compatibile con gli obiettivi prefissati,



50

relativamente ad una risorsa A, può comportare un diagramma di carico non soddisfacente, relativamente ad un’altra risorsa B.

Per ognuna delle risorse impiegate nell’esecuzione dei lavori si dovrebbe ricercare l’ottimo relativo, ma non sempre è possibile ottimizzare contemporaneamente la distribuzione di un elevato numero di risorse. Per tale ragione si preferisce prendere in considerazione solo alcune risorse, ritenute più importanti.

Il processo di ottimizzazione può essere di tipo iterativo, nel senso di ottimizzare una risorsa alla volta, secondo una prefissata scala di priorità, e controllare poi il diagramma di carico delle altre risorse per verificare, e successivamente correggere, eventuali effetti negativi apportati dall’ottimizzazione della risorsa presa in esame.

4.3 LIVELLAMENTO ED ALLOCAZIONE Livellamento ed allocazione, come già osservato, sono due obiettivi da raggiungere

mediante l’analisi e l’ottimizzazione delle risorse. Con il livellamento si cerca di eliminare le discontinuità nell’utilizzo delle risorse nel

tempo. Si considerino, ad esempio, il reticolo di figura 4.1 ed il relativo diagramma di carico

(figura 4.2). Si può osservare che, tra l’istante 0 e l’istante 4, la richiesta di risorse nell’unità di tempo (richiesta unitaria) è pari a 10 unità, mentre tra il tempo 4 ed il tempo 6 tale richiesta scende a 6 unità, per scendere addirittura a 2 unità tra l’istante 6 e l’istante 10, e poi risalire a 6 unità fino alla fine del progetto. Ci si propone di migliorare il livellamento della suddetta distribuzione di risorse, senza modificare la durata del progetto.

Il reticolo in questione è costituito da cinque attività, di cui tre critiche (A,B ed E) e due dotate di scorrimento (C e D). In tal caso, non volendo dilazionare la durata del progetto, le attività critiche sono automaticamente schedulate, mentre è possibile variare la data di inizio delle attività B e C, compatibilmente con lo scorrimento a loro disposizione. In tal caso conviene redigere un primo diagramma di carico che tiene conto solo delle attività critiche (figura 4.3).

Dall’analisi di questo primo diagramma si nota che, nell’intervallo compreso tra il tempo 6 ed il tempo 10, la richiesta di risorse è minima. Ciò induce a pensare che risulta conveniente eseguire, compatibilmente con i vincoli di precedenza, le attività non critiche in tale intervallo

Nel caso particolare del reticolo di esempio, se l’attività B inizia in corrispondenza del suo tempo al più tardi, il tempo 6, condizionando l’inizio dell’attività C che non può iniziare in un’istante differente dal tempo 8 senza modificare la durata del progetto, si ottiene un perfetto livellamento delle risorse (figura 4.4).



51

Figura 4-3 Diagramma di carico corrispondente alle sole attività critiche.

Figura 4-4 Diagramma di carico ottimizzato.

6

6

2

Attività

A

B

E

Tempo 2 ••4 6 8 10 12 14 15

Tempo 2 ••4 6 8 10 12 14 15

10 8 6 4 2


6

6

2

4

4

Attività

A

B

C

D

E

Tempo 2 ••4 6 8 10 12 14 15

Tempo 2 ••4 6 8 10 12 14 15

10 8 6 4 2




52

Difficilmente, nella pratica, è possibile ottenere un livellamento pari a quello

dell’esempio, tuttavia è importante eliminare forti discontinuità temporali nell’utilizzo di risorse, indipendentemente da altri obiettivi.

Con l’allocazione si ricerca il miglior allineamento possibile tra la disponibilità e la richiesta di risorse.

Si consideri il reticolo di figura 4.5, in cui è indicata tra parentesi la richiesta unitaria di risorse, con il diagramma di carico relativo ad una schedulazione effettuata con le attività aventi inizio al tempo al più presto.

B (3) 5

1 3 5

2

4

0 0 5 5

5 10

5 10

10 10

D (4) 5

A

(1)

5

C

(1) 5

4

3

Attività

A

B

C

D

Tempo 2 4 8 10 6

1

1

Tempo

5 4 3 2 1


6

2 4 8 10 6

Limite di disponibilità

Richiesta



53

Figura 4-5Diagramma di carico con le attività aventi inizio al tempo al più presto

Si ipotizza, come nel caso precedente, l’utilizzo di un solo tipo di risorsa. Inoltre, tenendo conto che la disponibilità di risorse potrebbe non essere costante nel tempo, si suppone una disponibiltà di risorse pari a 3 unità dall’inizio del progetto fino al tempo 5, e pari a 6 unità dal tempo 5 fino al termine del progetto.

La distribuzione di risorse relativa alla schedulazione con le attività aventi inizio al tempo al più presto non è compatibile con la disponibiltà.

In tal caso si ricerca un’ordinamento temporale delle attività che non modifichi la durata del progetto e che determini una distribuzione di risorse compatibile con il limite di disponibilità. Ciò significa schedulare le attività, senza variare la data di esecuzione delle attività critiche, modificando l’inizio delle attività dotate di scorrimento ed avendo cura di fare in modo che la data schedulata di inizio delle attività sia non successiva al tempo di inizio al più tardi.

Nel caso in cui non è possibile ottenere una distribuzione di risorse compatibile con i limiti di disponibilità senza prolungare la durata del progetto, occorre scegliere, valutando accuratamente vincoli e convenienze economiche, se rispettare il limite di disponibilità delle risorse aumentando i termini di consegna dei lavori, oppure se modificare i limiti di disponibilità delle risorse, lasciando immutata la durata complessiva del progetto.

Con riferimento al reticolo di figura 4.5 si costruisce un diagramma di carico relativo alle sole attività critiche (figura 4.6).

Figura 4-6 Diagramma di carico relativo alle attività critiche.

3

4

Attività

B

D

Tempo 2 4 8 10 6

Tempo

5 4 3 2 1


6

2 4 8 10 6


Richiesta



54

Dall’esame del diagramma di figura 4.6 si nota che, nell’intervallo compreso tra il tempo 0 ed il tempo 5, la richiesta di risorsa coincide con il limite di disponibiltà, mentre, nell’intervallo compreso tra il tempo 5 ed il tempo 10, la disponibilità è in esubero rispetto alla richiesta. Pertanto converrebbe svolgere le due attività dotate di scorrimento A e C nell’intervallo tra il tempo 5 ed il tempo 10. Schedulando le suddette attività con inizio al tempo 5, pari al loro tempo di inizio al più tardi e quindi tale da non dilazionare il termine dei lavori, risulta il diagramma di carico rappresentato nella figura 4.7.

In questo caso si verificano due circostanze favorevoli: • si ottiene un perfetto allineamento tra disponibilità e richiesta di risorse; • la durata complessiva del progetto non viene modificata dall’esigenza di

contenere la richiesta di risorse al di sotto del limite di disponibilità.

Figura 4-7 Diagramma delle risorse ottimizzato.

1

3

4

Attività

A

B

C

D

Tempo 2 4 8 10 6

1

Tempo

5 4 3 2 1


6

2 4 8 10 6


Richiesta



55

4.4 CRITERI DI SCHEDULAZIONE

4.4.1 Schedulazione con tempo invariabile Schedulare le attività senza modificare la durata complessiva del progetto, nel caso in

cui le attività critiche presentano scorrimento nullo, implica che la schedulazione delle attività critiche è automaticamente effettuata, nella misura in cui queste ultime devono iniziare al tempo al più presto, coincidente con il tempo al più tardi. E’ allora conveniente realizzare un primo diagramma di carico che tiene conto solo delle attività critiche.

Il diagramma di carico relativo alle attività critiche è pertanto, nell’ipotesi di durata del progetto invariabile, un’invariante rispetto alle possibili schedulazioni. Poiché tutte le possibili date di inizio delle attività non critiche sono comprese tra il tempo al più presto ed il tempo al più tardi, si possono effettuare una schedulazione con le attività aventi inizio al tempo al più presto ed una schedulazione con tutte le attività aventi inizio al tempo al più tardi. A partire da queste due schedulazioni si ricerca la distribuzione di risorse migliore rispetto agli obiettivi prefissati

Il confronto tra i risultati delle due precedenti schedulazioni dipende dagli obiettivi prefissati, anche se si può affermare che in genere è preferibile la schedulazione cui corrisponde la massima richiesta di risorse nell’unità di tempo meno elevata, e cui compete il miglior livellamento, potendosi adottare più criteri per la valutazione del grado di livellamento delle risorse. Un criterio di valutazione del grado di livellamento delle risorse potrebbe essere costituito dal calcolo della somma delle discontinuità nella richiesta unitaria di risorse.

Occorre anche tener presente che è di solito preferibile tendere verso una schedulazione con i tempi al più presto nella misura in cui in questo modo il programma gode di maggiore flessibilità, potendosi registrare ritardi nell’esecuzione di alcune attività, le attività non critiche, senza prolungare nel tempo la data di consegna dei lavori.

4.4.2 Schedulazione con limite di disponibilità di risorse Se esiste un limite nella disponibilità unitaria di risorse la schedulazione effettuata

senza modificare la durata del progetto potrebbe non essere compatibile con le risorse disponibili.

L’allineamento tra disponibilità e richiesta di risorse può essere realizzato mediante differenti metodi di schedulazione, tra i quali si segnala il metodo seriale.

Con il metodo seriale le attività sono classificate in una lista in modo tale che ogni attività viene schedulata dopo le attività che la precedono e prima delle attività che la seguono nella lista stessa. Ciò significa che, secondo uno schema seriale, le attività vengono schedulate nell’ordine in cui si trovano nella lista. Quando la sua esecuzione non è compatibile con la disponibilità di risorse, un’attività viene dilazionata nel tempo condizionando le attività da essa dipendenti. Se la lista, ordinata dall’alto verso il basso, riflette la logica del reticolo rispettando i legami di precedenza tra le attività, non si corre il rischio di effettuare una schedulazione incongruente con la logica dei lavori.

L’ordinamento delle attività avviene secondo due criteri: un criterio primario ed un criterio secondario che si rende necessario quando due o più attività sono equivalenti rispetto al criterio primario.



56

Alcuni criteri primari potrebbero essere i seguenti: • numero crescente dell’evento inizio; • numero crescente dell’evento fine; • tempo di inizio al più presto crescente; • tempo di fine al più presto crescente; • tempo di inizio al più tardi crescente; • tempo di fine al più tardi crescente;

Tra i criteri secondari si segnalano:

• scorrimento totale crescente; • durata crescente; • richiesta unitaria di risorsa crescente.

Al variare del criterio di ordinamento delle attività varia in misura anche notevole il

diagramma di carico delle risorse, per cui un processo sistematico di schedulazione non necessariamente soddisfa nel migliore dei modi gli obiettivi prefissati, che devono piuttosto essere ricercati mediante un’uso intelligente ed esperto delle procedure sistematiche di schedulazione associato con la capacità di giudizio del pianificatore.

5 ANALISI ED OTTIMIZZAZIONE DEI COSTI

5.1 ANALISI DEI COSTI La pianificazione dei lavori comporta un’analisi dettagliata delle attività del progetto

con definizione delle modalità esecutive, delle risorse e dei tempi necessari. Una siffatta analisi consente anche una stima disaggregata dei costi dei lavori.

La stima dei costi presuppone la definizione delle singole voci del costo totale, che può essere disaggregato come somma di costi diretti e costi indiretti (fig. 5.1).

I costi diretti sono i costi strettamente legati all’esecuzione delle attività e possono a loro volta suddividersi nelle seguenti componenti principali: costo della manodopera, costo dei materiali e costo delle attrezzature.

I costi indiretti sono costituiti dai costi sostenuti dall’impresa non direttamente legati all’esecuzione delle attività. Essi sono costituiti da spese generali di sede, che l’impresa sostiene indipendentemente dal singolo lavoro in esame, spese generali di cantiere, che occorre sostenere anche nel caso in cui i lavori siano interrotti, oneri fiscali, dipendenti dal versamento di imposte allo stato, ed oneri economici, che sono le spese sostenute a causa del ritardo dei pagamenti da parte del Committente rispetto all’anticipazione dei capitali da parte dell’impresa. I costi indiretti sono generalmente valutati come aliquota dei costi diretti, variabile tra il 10 ed il 20%.

Figura 5-1 Costi diretti ed indiretti.

COSTO TOTALE

Costi diretti Costi indiretti

Manodopera Macchine Materiali Spese generali di sede

Spese generali di cantiere

Oneri fiscali

Oneri economici



58

5.2 LEGAME COSTO-DURATA Il CPM, Metodo del Percorso Critico, considera esplicitamente il legame tra costo e

durata delle singole attività (fig. 5.2), al fine di minimizzare il costo totale del progetto. Nella fase iniziale della pianificazione si assume che ciascuna attività è realizzata in

condizioni normali, ossia nelle condizioni cui corrisponde il minimo costo diretto dell’attività stessa.

Se si aumenta la durata dell’attività al di là del tempo normale non si ottiene una riduzione di costo. Al contrario se si diminuisce la durata dell’attività si ottiene un aumento di costo. Questa circostanza è legata a più fattori. La durata di un’attività, difatti, può essere ridotta in modi differenti, ad esempio utilizzando un maggior numero di attrezzature e/o di manodopera ed effettuando del lavoro straordinario. Tutto ciò comporta un aumento dei costi nella misura in cui da un lato aumenta il costo orario del lavoro (straordinari) e dall’altro diminuisce la produttività a causa delle interferenze tra le attrezzature e/o tra le maestranze. La riduzione della durata di un’attività presenta un limite, nel senso che esiste un tempo al di sotto del quale l’attività non può essere eseguita, detto durata accelerata, cui corrisponde il costo accelerato.

Figura 5-2 Legame costo diretto – durata di un attività.

Se da un lato i costi diretti sono inversamente proporzionali alla durata, dall’altro i

costi indiretti sono direttamente proporzionali alla durata per cui esiste una durata, durata ottima, cui corrisponde il costo totale minimo del progetto (fig. 5.3).

Tempo

Costo

Durata normale Durata accelerata

Costo accelerato

Costo normale



59

Figura 5-3 Costo ottimo del progetto.

5.3 OTTIMIZZAZIONE DEI COSTI Alla durata normale di un progetto non corrisponde il costo totale minimo. Nel caso

in cui si voglia individuare il costo totale minimo del progetto, costo ottimo, occorre definire la curva dei costi diretti e quella dei costi indiretti e ricercare il minimo (fig. 5.4), rispetto alla durata, dei costi totali, che sono somma dei costi diretti e di quelli indiretti.

La curva dei costi indiretti, crescenti con la durata del progetto, è generalmente assimilata ad una retta, la cui pendenza dipende dalle condizioni particolari del lavoro in esame. Tale curva potrebbe presentare delle discontinuità corrispondenti a penali, in caso di eccessiva durata, o a premi, in caso di durata inferiore a limiti fissati con il Committente.

La curva dei costi diretti si ottiene mediante un preciso algoritmo matematico, il cui obiettivo è la definizione del costo diretto minimo corrispondente a ciascuna durata del progetto. A partire dalla durata normale l’accelerazione di un progetto si può ottenere difatti in più modi che danno luogo a differenti risultati. Se ad esempio si accelerano tutte le attività non critiche i costi del progetto aumentano, ma la durata complessiva rimane invariata. Affinché l’accelerazione delle attività comporti una riduzione della durata del progetto occorre agire sulle attività critiche. D’altra parte occorre anche definire un criterio di ordinamento delle attività critiche finalizzato a ridurre la durata con il minimo aumento di costo diretto.

Per ogni attività, assimilando la curva costo diretto-durata ad una retta, si definisce un Indice di Costo:

Ic=(Ca-Cn)/(Dn-Da) (5.1)

dove:

Tempo

Costo

Costi diretti

Costi indiretti

Costo totale



60

Ic: Indice di Costo; Ca: Costo accelerato; Cn: Costo Normale; Dn: Durata Normale; Da: Durata Accelerata.

SI

NO

Figura 5-4 Procedura per l’individuazione del costo totale minimo.

Le attività critiche sono ordinate secondo l’Indice di Costo decrescente ed il

procedimento di accelerazione consiste nell’accelerare di una unità temporale l’attività critica con il minimo Indice di Costo.

Definizione della curva dei costi indiretti

Definizione della curva costo diretto - durata di ciascun attività

Individuazione del costo del progetto in condizioni normali

Ordinamento delle attività critiche secondo l’Indice di Costo decrescente

Accelerazione di una unità temporale dell’attività con il minimo Indice di Costo

Calcolo costo totale Il nuovo costo è maggiore

del precedente? FINE PROCEDURA

Individuazione del nuovo percorso critico



61

Dopo ogni accelerazione si calcola il nuovo costo totale del progetto. Se il nuovo costo totale è inferiore al precedente si continua la procedura, in caso contrario il costo precedente rappresentava il costo ottimo del progetto.

Quando la procedura viene reiterata occorre controllare lo scorrimento di tutte le attività poiché potrebbero essere diventate critiche attività che in precedenza appartenevano ai cammini sub-critici. Se si sono aggiunte altre attività critiche occorre ordinare di nuovo le attività.

La suddetta procedura, sebbene apprezzabile dal punto di vista teorico, trova tuttavia poca applicazione pratica poiché è piuttosto complessa e molto spesso la durata ottima è superiore rispetto ai tempi contrattuali.

6 ESERCIZI

Esercizio 1 Disegnare un reticolo, nella forma AsF, che esprime i seguenti legami logici tra le

attività: • B e C seguono A; • D segue C; • E segue B e D.


attività: • E segue B e C; • B e C seguono A; • D segue B; • F segue D ed E.

E A B

C D

E A

C E

B D

Esercizi


64


attività: • B, C e D precedono A; • A segue B; • L segue G ed H; • H segue D; • G ed F seguono C; • I segue G ed F; • H segue E, I ed L.


attività: • B e C seguono A; • D ed E seguono B; • I ed H seguono C; • F segue D; • G, H ed I seguono E; • L segue F e G; • M segue I; • N segue H, L ed M.

M A

L

E

C

B

D

F

G

H

I

M A

L

E

C

B

D

F

G

H

I

Esercizi


65

Esercizio 5 Rappresentare il reticolo dell’esercizio 1 nella forma di diagramma di

precedenza.


precedenza.

A

C

B

D

E

A

C

B

D

E

Esercizi


66


precedenza.

A

D

C

B E

F

G

H L

I M

Esercizi


67


precedenza.

A

C

B

D

E

I M

H

F

N

G

L

Esercizi


68

Esercizio 9 Numerare gli eventi del reticolo dell’esercizio 2 con i seguenti metodi: • numerazione in avanti; • numerazione a ritroso; • numerazione casuale.

E A

C E

B D

E A

C E

B D

1 2

4

3

5 6

6

1

3

2 5 4

metodo della numerazione in avanti

metodo della numerazione a ritroso

metodo della numerazione casuale

1 E A

C E

B D

2

3

4

5 6

Esercizi


69

Esercizio 10

Numerare le attività del diagramma di precedenza dell’esercizio 6 con i seguenti metodi:

• numerazione in avanti; • numerazione a ritroso; • numerazione casuale.

1

3

2

5

6

4

2

3

4

6

5

1

6

4

5

2

1

3

metodo della numerazione casuale

metodo della numerazione a ritroso

metodo della numerazione in avanti

Esercizi


70

Esercizio 11 Numerare gli eventi del reticolo degli esercizi 3 e 4 con il metodo della

numerazione in avanti.

M A

L

E

C

B

D

F

G

H

I 1 2

3

4

5

6

7

8 9 10

N A

L

D B

C

E

L

F

G

H

M

1 2

3

6

4

5

7

8

9 10

Esercizi


71

Esercizio 12 Calcolare i tempi al più presto degli eventi del reticolo dell’esercizio 1, con le

attività aventi le seguenti durate: Attività Durata

A 7 B 6 C 4 D 3 E 6

Esercizio 13

Calcolare i tempi al più tardi del reticolo dell’esercizio precedente.

14 E A B

C D

0

7

7

6

20

4 3

6

11

14 E A B

C D

0

7

7

6

20

4 3

6

11

0 7 14 20

11

1 5 4

3

2

Esercizi


72

Esercizio 14

Individuare il percorso critico del reticolo dell’esercizio precedente e riportare in apposita tabella i dati temporali (ES, EF, LS, LF e TF) relativi alle attività.

Attività Eventi i-j Durata ES EF LS LF TF

A 1-2 7 0 0 7 7 0 B 2-4 6 7 8 13 14 1 C 2-3 4 7 11 7 11 0 D 3-4 3 11 14 11 14 0 E 4-5 6 14 20 14 20 0

14 E A B

C D

0

7

7

6

20

4 3

6

11

0 7 14 20

11

1 5 4

3

2

Esercizi


73

Esercizio 15 Effettuare l’analisi temporale del diagramma di precedenza dell’esercizio 6, con

le attività aventi le seguenti durate: Attività Durata

A 5 B 8 C 6 D 10 E 15 F 2

Si presentino i risultati sia in forma grafica, sia in forma tabulare.

Attività Durata ES EF LS LF TF

A 5 0 5 0 5 0 B 8 5 13 5 13 0 C 6 5 11 7 13 2 D 10 13 23 18 28 5 E 15 13 28 13 28 0 F 2 28 30 28 30 0

F

6 28 30 28 30

0 2

B

2 5 13 5 13

0 8

C

3 5 11 7 13

2 6

D

4 13 23 18 28

5 10

A

1 0 5 0 5

0 5

E

5 13 28 13 28

0 15

Esercizi


74

Esercizio 16

Calcolare i tempi al più presto degli eventi del reticolo dell’esercizio 3, con le attività aventi le seguenti durate:

Attività Durata

A 4 B 6 C 8 D 9 E 6 F 6 G 5 H 3 I 5 L 7 M 3

G

M A

L

E

C

B

D

F

H

I 1 2

3

4

5

6

7

8 9 10 4 8 6

5

5

7 3

3

9

6 6

0 4 12

13 17

17

24 27

10

Esercizi


75

Esercizio 17

Calcolare i tempi al più tardi degli eventi del reticolo dell’esercizio precedente.

Esercizio 18

Individuare il percorso critico del reticolo dell’esercizio precedente e riportare in apposita tabella i dati temporali (ES, EF, LS, LF e TF) relativi alle attività.


A 1-2 4 0 4 0 4 0 B 2-3 6 4 10 12 18 8 C 2-4 8 4 12 4 12 0 D 2-5 9 4 13 5 14 1 E 3-9 6 10 16 18 24 8 F 4-7 6 12 18 13 19 1 G 4-6 5 12 17 12 17 0 H 5-8 3 13 16 14 17 1 I 7-9 5 18 23 19 24 1 L 8-9 7 17 24 17 24 0 M 9-10 3 24 27 24 27 0

G

M A

L

E

C

B

D

F

H

I 1 2

3

4

5

6

7

8 9 10 4 8 6

5

5

7 3

3

9

6 6

0 4 12

13 17

17

24 27

10

0 4 12

17

18 19 24 27

17 14

18

G

M A

L

E

C

B

D

F

H

I 1 2

3

4

5

6

7

8 9 10 4 8 6

5

5

7 3

3

9

6 6

0 4 12

13 17

17

24 27

10

0 4 12

17

18 19 24 27

17 14

18

Esercizi


76

Esercizio 19

Calcolare i tempi al più presto degli eventi del reticolo dell’esercizio 4, con le attività aventi le seguenti durate:

Attività Durata

A 5 B 4 C 6 D 4 E 6 F 6 G 4 H 8 I 6 L 12 M 8 N 3

G

M A

L

E

C

B

D

F

H

I 1 2

3

4

5

6

7

8 9 10 4 8 6

5

5

7 3

3

9

6 6

0 4 12

13 17

17

24 27

10

0 4 12

17

18 19 24 27

17 14

18

Esercizi


77

Esercizio 20 Calcolare i tempi al più tardi degli eventi del reticolo dell’esercizio precedente.

N A

I

D

B

C

E

L

F

G

H

M

1 2

3

6

4

5

7

8

9 10

0 5

5

6

6

4 6

12

4

8 6

3 8

4

9

13

15

19

15 21

31 34 0 5

17 23

9

15

13

19

31 34

Esercizi


78

Esercizio 21 Individuare il percorso critico del reticolo dell’esercizio precedente e riportare in

apposita tabella i dati temporali (ES, EF, LS, LF e TF) relativi alle attività.


A 1-2 5 0 5 0 5 0 B 2-3 4 5 9 5 9 0 C 2-6 6 5 11 11 17 6 D 3-4 4 9 13 9 13 0 E 3-5 6 9 15 9 15 0 F 4-7 6 13 19 13 19 0 G 5-7 4 15 19 15 19 0 H 6-9 8 15 23 23 31 8 I 6-8 6 15 21 17 23 2 L 7-9 12 19 31 19 31 0 M 8-9 8 21 29 23 31 2 N 9-10 3 31 34 31 34 0

N A

I

D

B

C

E

L

F

G

H

M

1 2

3

6

4

5

7

8

9 10

0 5

5

6

6

4 6

12

4

8 6

3 8

4

9

13

15

19

15 21

31 34 0 5

17 23

9

15

13

19

31 34

Esercizi


79

Esercizio 22 Si consideri il reticolo dell’esercizio 1, in cui le durate sono stimate secondo il

metodo probabilistico. Si calcoli la probabilità, in accordo con il metodo PERT che prevede l’individuazione di un’unico percorso critico pari al cammino con durata media maggiore, che il progetto sia terminato dopo 20 unità temporali.

Le durate delle attività sono le seguenti:

Attività Durata ottimistica a

Durata più verosimile m

Durata pessimistica b

A 4 7 8 B 5 6 7 C 3 4 7 D 2 3 6 E 4 6 7

Si calcolano, per ciascun’attività, la durata media attesa te, e la deviazione

standard della distribuzione di durata. Attività Durata

ottimistica a

Durata più verosimile

m

Durata pessimistica

b

Durata media

te

Deviazione standard

σ A 4 7 8 6.7 0.67 B 5 6 7 6.0 0.33 C 3 4 7 3.8 0.50 D 2 3 6 3.3 0.67 E 4 6 7 5.8 0.33

Si effettua l’analisi temporale del reticolo assumendo come durata di ciascun’attività la sua durata media.

Attività te σ ES EF LS LF TF

A 6.7 0.67 0 6.7 0 6.7 0 B 6.0 0.33 6.7 12.7 7.8 13.8 1.1 C 3.8 0.50 6.7 10.5 6.7 10.5 0 D 3.3 0.67 10.5 13.8 10.5 13.8 0 E 5.8 0.33 13.8 19.6 13.8 19.6 0

Esercizi


80

Il percorso critico, costituito dalle attività A, C, D ed E, è una variabile normale

caratterizzata dai seguenti parametri:

Noti T e σ si ricava:

P=Prob (T<Tc)= Prob (x<µ+kσ)= Prob (x<19.6+0.36σ)=0.64

13.8 E A B

C D

0

6.7

6.7

6

19.6

3.8 3.3

5.8

10.5

0 6.7 13.8 19.6

10.5

1 5 4

3

2

Esercizi


81

Esercizio 23 Si consideri il reticolo dell’esercizio 2, in cui le durate sono stimate secondo il

metodo probabilistico. Si calcoli la probabilità, in accordo con il metodo PERT che prevede l’individuazione di un’unico percorso critico pari al cammino con durata media maggiore, che il progetto non sia terminato dopo 20 unità temporali.

Le durate delle attività sono le seguenti:

Attività Durata ottimistica a

Durata più verosimile m

Durata pessimistica b

A 3 5 6 B 6 8 10 C 5 6 8 D 7 10 12 E 10 15 16 F 1 2 3

Si calcolano, per ciascun’attività, la durata media attesa te, e la deviazione

standard della distribuzione di durata. Attività Durata

ottimistica a

Durata più verosimile

m

Durata pessimistica

b

Durata media

te

Deviazione standard

σ A 4 7 8 6.7 0.67 B 5 6 7 6.0 0.33 C 3 4 7 3.8 0.50 D 2 3 6 3.3 0.67 E 4 6 7 5.8 0.33

Si effettua l’analisi temporale del reticolo assumendo come durata di ciascun’attività la sua durata media.

Attività te σ ES EF LS LF TF

A 6.7 0.67 0 6.7 0 6.7 0 B 6.0 0.33 6.7 12.7 7.8 13.8 1.1 C 3.8 0.50 6.7 10.5 6.7 10.5 0 D 3.3 0.67 10.5 13.8 10.5 13.8 0 E 5.8 0.33 13.8 19.6 13.8 19.6 0

Esercizi


82

Il percorso critico, costituito dalle attività A, C, D ed E, è una variabile normale

caratterizzata dai seguenti parametri:

Noti T e σ si ricava:

P=Prob (T<Tc)= Prob (x<µ+kσ)= Prob (x<19.6+0.36σ)=0.64

13.8 E A B

C D

0

6.7

6.7

6

19.6

3.8 3.3

5.8

10.5

0 6.7 13.8 19.6

10.5

1 5 4

3

2

Esercizi


83

Esercizio 24

Si calcoli, con riferimento al reticolo dell’esercizio precedente, il tempo contrattuale cui è associato il rischio del 5%, ossia la probabilità del 5% di non terminare i lavori.

Dalle tavole di probabilità della variabile normale standardizzata si ricava il valore

cui corrisponde R=1-P=0.05. In particolare risulta K=1.65, da cui:

Tc=T+Κσ=29.1+1.65⋅1.34=31.3 Esercizio 25

Si consideri il seguente reticolo, con la richiesta unitaria di risorse indicata tra parentesi:

Si effettui l’analisi temporale del reticolo e si costruisca il diagramma di carico delle risorse corrispondente ad una schedulazione con le attività aventi inizio al tempo al più presto, individuando la massima richiesta unitaria di risorse (Rmax) e la somma delle discontinuità di richiesta di risorsa (∆).

H (7) 2

1 2 4

3

5

6

7 8 A (8) 4

C (2) 8

B (3) 4

D (5) 6

F (2) 8

E (7) 2

I (8) 3

G (5) 12

Esercizi


84


A 1-2 4 0 4 0 4 0

B 2-3 4 4 8 14 18 10

C 2-4 8 4 12 6 14 2

D 2-5 6 4 10 4 10 0

E 3-6 2 8 10 18 20 10

F 4-7 8 12 20 14 22 2

G 5-7 12 10 22 10 22 0

H 6-7 2 10 12 20 22 10

I 7-8 3 22 25 22 25 0

H (7) 2

1 2 4

3

5

6

7 8 A (8) 4

C (2) 8

B (3) 4

D (5) 6

F (2) 8

E (7) 2

I (8) 3

G (5) 12

0 0 4 4

8 18

12 14

10 10

25 25 22 22

10 20

Esercizi


85

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 25

I

H

G

F

E

D

C

B

A 8

3

2

7

2

7

5

5

8

Legenda

Attivività critiche Attività con inizio al più presto

Scorrimento attività

Attività

Tempo

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 25

2

4

6

8

10

12

14


Tempo

∆=18 Rmax=14

Esercizi


86

Esercizio 26

Con riferimento al reticolo dell’esercizio 25 si costruisca il diagramma di carico corrispondente ad una schedulazione con le attività aventi inizio al tempo al più tardi.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 25

I

H

G

F

E

D

C

B

A 8

3

2

7

2

7

5

5

8

Legenda

Attività critiche Attività con inizio al più tardi


Attività

Tempo

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 25

2

4

6

8

10

12

14


Tempo

∆=18 Rmax=14

Esercizi


87

Esercizio 27 Si livelli il diagramma di carico dei due esercizi precedenti, senza dilazionare la

durata del progetto, assumendo come misura del livellamento la somma delle discontinuità di richiesta di risorsa (∆).

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 25

I

H

G

F

E

D

C

B

A 8

3

2

7

2

7

5

5

8

Legenda

Attività critiche Attività schedulate


Attività

Tempo

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 25

2

4

6

8

10

12

14


Tempo

∆=14 Rmax=14

Esercizi


88

Esercizio 28 Si costruisca il diagramma di carico delle risorse con riferimento al reticolo

dell’esercizio 22, ipotizzando un limite di disponibilità di risorsa pari a 12 unità. Si assumano i seguenti criteri di schedulazione delle attività: 1. criterio primario: numero crescente dell’evento fine; 2. criterio secondario: scorrimento totale crescente.

Attività Eventi i-j TF A 1-2 0 B 2-3 10 C 2-4 2 D 2-5 0 E 3-6 10 G 5-7 0 F 4-7 2 H 6-7 10 I 7-8 0

Criteri di schedulazione

1. evento j crescente 2. TF crescente

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 27

I

H

F

G

E

D

C

B

A 8

3

2

7

2

7

5

5

8

Attività

Tempo

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 27

2

4

6

8

10

12


Tempo

∆=24 Rmax=12

26

26

Limite di

Esercizi


89

Esercizio 29 Si livelli il diagramma di carico dell’esercizio precedente, senza modificare la

durata del progetto ed il limite di disponibilità di risorse.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 27

I

H

F

G

E

D

C

B

A 8

3

2

7

2

7

5

5

8

Attività

Tempo

26

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 27

2

4

6

8

10

12


Tempo

∆=20 Rmax=12

26


Esercizi


90

Esercizio 30 Si consideri il seguente reticolo:

Nella tabella seguente si riportano i costi ed i tempi in condizioni normali ed in

condizioni accelerate.

Attività Condizioni normali Condizioni accelerate

Incremento di costo

Durata Costo Durata Costo nell’unità di tempo

A 5 100 4 110 10 B 8 250 5 340 30 C 4 120 3 160 40 D 7 150 5 190 20 E 7 200 4 230 10 F 4 130 3 160 30 G 7 150 5 200 25 H 4 140 3 160 20 I 5 100 4 120 20

Effettuare l’analisi temporale del reticolo in condizioni normali ed in condizioni accelerate. Individuare, con riferimento alle condizioni normali, il percorso critico, il primo percorso sub-critico ed il secondo percorso sub-critico.

A H F 4 6 7 8

5

1 2 C F

3 E B

E D

Esercizi


91


A 1-2 5 0 5 0 5 0 B 2-3 8 5 13 5 13 0 C 2-4 4 5 9 8 12 3 D 2-5 7 5 12 6 13 1 E 3-7 7 13 20 13 20 0 F 4-6 4 9 13 12 16 3 G 5-7 7 12 19 13 20 1 H 6-7 4 13 17 16 20 3 I 7-8 5 20 25 20 25 0

• Il percorso critico è costituito dalle attività A, B, E ed I. • Il primo percorso sub-critico è costituito dalle attività A, D, G ed I. • Il secondo percorso sub-critico è costituito dalle attività A, C, F, H ed I.

0 0 A 5

13 16 H 4

F 5

4 6 7 8

5

1 2

5 5 C 4

9 12 F 4

20 20 25 25

3

13 13 E 7

B 8

12 13 E 7

D 7

Esercizi


92

10 11 H 3

F 4

0 0 A 4

4 6 7 8

5

1 2

4 4 C 3

7 8 F 3

14 14 18 18

3

9 10 E 4

B 5

9 9 E 5

D 5


A 1-2 4 0 4 0 4 0 B 2-3 5 4 9 5 10 1 C 2-4 3 4 7 5 8 1 D 2-5 5 4 9 4 9 0 E 3-7 4 9 13 10 14 1 F 4-6 3 7 10 8 11 1 G 5-7 5 9 14 9 14 0 H 6-7 3 10 13 11 14 1 I 7-8 4 14 18 14 18 0

Esercizi


93

Esercizio 31 Calcolare i costi diretti del progetto dell’esercizio 30, eseguito in condizioni

normali.

Attività Durata Costo

A 5 100

B 8 250

C 4 120

D 7 150

E 7 200

F 4 130

G 7 150

H 4 140

I 5 100

Costo totale: 1.340

Esercizio 32

Calcolare i costi diretti del progetto dell’esercizio 30, eseguito con tutte le attività in condizioni accelerate.


A 4 110

B 5 340

C 3 160

D 5 190

E 4 230

F 3 160

G 5 200

H 3 160

I 4 120

Costo totale: 1.670

Esercizi


94

Esercizio 33 Calcolare il minimo costo diretto dell’esercizio 30, compatibile con la durata

accelerata. Il cammino critico A-D-G-I deve essere eseguito in condizioni accelerate. I due

cammini B-E e C-F-H possono essere rallentati, rispetto alle condizioni accelerate, di un’unità temporale ciascuno.

Per ognuno dei suddetti cammini si definisce un’ordine di priorità di accelerazione, con l’obiettivo di rallentare le attività cui compete il maggior indice di costo.

Attività IC

B 30

E 10

Attività IC

C 40

F 30

H 20 Sulla base di queste considerazioni si eseguono tutte le attività in condizioni

accelerate, ad eccezione delle attività B e C, rallentate di un’unità temporale. Risulta così:


A 4 110

B 6 310

C 4 120

D 5 190

E 4 230

F 3 160

G 5 200

H 3 160

I 4 120

Costo totale: 1.600

Esercizi


95

Esercizio 34 Assumendo che i costi indiretti sono pari a 12 unità di costo/unità di tempo del

tempo del progetto, ricercare il costo totale minimo e la durata ottima. Calcolo dei costi diretti Sono noti i costi in condizioni normali, C=1.340 e T=25, ed in condizioni accelerate,

C=1.600 e T=18. A partire dalle condizioni normali si riduce la durata del progetto, e per ogni durata si ricerca il minimo costo diretto, ottenuto accelerando nel modo più conveniente le attività.

La prima accelerazione, per essere efficace, deve interessare un’attività appartenente al percorso critico. Si definisce, a tale scopo, una lista di priorità di accelerazione delle attività appartenenti al percorso critico, adottando come criterio principale di ordinamento l’indice di costo crescente, e come criterio secondario l’ordine di esecuzione delle attività previsto dal programma.

Attività IC Dn-Da

A 10 1

E 10 3

I 20 1

B 30 3

Rispettando i criteri della lista si accelera l’attività A con un’incremento di costo pari a :

∆C= Ic⋅(D1-D2) = 10⋅(5-4) = 10

dove D1 e D2 rappresentano rispettivamente la durata dell’attività prima e dopo l’accelerazione.

In tal modo è possibile eseguire il progetto in 24 unità temporali con un costo diretto pari a 1.350 unità di costo. Si noti che l’incremento di costo diretto, derivante dalla riduzione della durata del progetto da 25 a 24 unità temporali, è minore della riduzione di costo indiretto, pari a 12 unità di costo.

Per accelerare ulteriormente il progetto si accelera di un’unità temporale l’attività E con un’incremento di costo pari a:

∆C= Ic⋅(D1-D2) = 10⋅(7-6) = 10

In tal modo è possibile eseguire il progetto in 23 unità temporali con un costo diretto pari a 1.360 unità di costo.

Il programma dei lavori è rappresentato dal reticolo seguente:

Esercizi


96

Si può notare che il reticolo così ottenuto presenta due percorsi critici:

il percorso A-D-G-I; il percorso A-B-E-I.

La presenza di due percorsi critici implica che un’ulteriore accelerazione del progetto deve interessare entrambi i percorsi, ricordando poi che dopo ogni accelerazione occorre controllare se altri percorsi sono divenuti critici.

Si cotruisce pertanto una nuova lista di priorità di accelerazione tenendo conto del fatto che un’accelerazione delle attività D o G comporta un’analoga accelerazione delle attività B o E, così come un’accelerazione delle attività B o E comporta un’analoga accelerazione delle attività D o G. Se invece si accelera l’attività I16, comune ad entrambi i percorsi critici, non si devono accelerare altre attività.

Attività IC Attività da accelerare in parallelo

I 20 -

E 30 D

D 30 E

G 35 E

B 50 D

Rispettando i criteri della lista si accelera di un’unità temporale l’attività I con un’incremento di costo pari a :

∆C= Ic⋅(D1-D2) = 20⋅(5-4) = 20

In tal modo è possibile eseguire il progetto in 22 unità temporali con un costo diretto pari a 1.380 unità di costo. In questo caso l’incremento di costo diretto, associato alla riduzione della durata del progetto da 23 a 22 unità temporali, è maggiore della riduzione di costo

16L’attività A non viene presa in considerazione poiché è già previsto che sia eseguita in condizioni accelerate.

0 0 A 4

12 15 H 4

F 5

4 6 7 8

5

1 2

4 4 C 4

8 11 F 4

18 18 23 23

3

12 12 E 6

B 8

11 11 E 7

D 7

Esercizi


97

indiretto, pari a 12 unità di costo. Ciò significa che la suddetta accelerazione del progetto non è economicamente conveniente e la durata ottima è pari a 23 unità temporali.

Al fine di analizzare la variazione dei costi diretti al variare della durata del progetto si ricerca il costo associato alla durata di 20 unità temporali.

A tale scopo si accelerano di due unità temporali, rispettando l’ordine di priorità della tabella precedente, le attività E e D con un’incremento di costo pari a:

∆C= Ic⋅(D1-D2) = 30⋅2 = 60

In tal modo è possibile eseguire il progetto in 20 unità temporali con un costo diretto pari a 1.440 unità di costo.

In sintesi risulta:

Durata del progetto Costi diretti

18 1.670

20 1.440

22 1.380

23 1.360

24 1.350

25 1.340

Costi indiretti I costi indiretti crescono linearmente con la durata del progetto e sono pari a 12 unità di

costo/unità di tempo.

Durata del progetto Costi indiretti

18 216

20 240

22 264

23 276

24 288

25 300

Esercizi


98

Costi totali Sommando i costi diretti ed i costi indiretti si ottengono i costi totali.

Durata del progetto Costi diretti Costi indiretti Costi totali

18 1.670 216 1.886

20 1.440 240 1.680

22 1.380 264 1.644

23 1.360 276 1.636

24 1.350 288 1.638

25 1.340 300 1.640

Risulta cosi: • Durata ottima: 23 unità temporali; • Costo totale minimo: 1.636 unità di costo.

La Pianificazione Dei Lavori

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