La natura della matematica

Progetto Lauree ScientificheLiceo scientifico statale Leon Battista Alberti

La Natura della Matematica

Leonardo Pisano “Fibonacci”

• Leonardo Pisano, detto Fibonacci, matematico italiano (Pisa 1175 circa - 1240 circa). Dopo avere assimilato, durante numerosi viaggi, le conoscenze matematiche del mondo arabo, pubblicò intorno al 1202 la sua opera fondamentale, il Liber abaci, con cui si propose di diffondere nel mondo scientifico occidentale le regole di calcolo note agli Arabi, ovvero il sistema decimale ad oggi in uso in Europa. Nato in Italia e vissuto in Nord Africa, con i suoi numerosi viaggi a fianco del padre ha avuto occasione di riconoscere i vantaggi offerti dai sistemi matematici localmente in uso.

• Nel Liber Abaci ("Il Libro dell’Abaco"), in cui Fibonacci espone i fondamenti di algebra e matematica usati nei paesi Arabi, un problema fornisce l’occasione per l’introduzione della serie numerica che oggi porta il nome del matematico pisano e che si riscontra in numerosi esempi in natura. Tra questi, l’approssimazione del Rapporto Aureo.

Il Problema di Fibonacci, ovvero: la riproduzione dei conigliIn condizioni ideali una coppia di conigli è in grado di riprodursi già da un mese dopo la nascita.La femmina è in grado di generare una seconda coppia di conigli già un mese dopo l’accoppiamento con il maschio. Prendiamo una coppia di conigli e mettiamola in un recinto.Supponiamo che i nostri conigli non muoiano mai.

1° mese

2° mese

3° mese

4° mese

5°mese

6°mese

L’intento!L'intento di Fibonacci era quello di trovare una legge che descrivesse la crescita di una popolazione di conigli.

IL PROBLEMA DI FIBONACCI IN…FORMULE

Mese Numero di coppie giovani

Numero di coppie adulte

Totale Fn

1 1 1

2 1 1

3 1 1 2

4 1 2 3

5 2 3 5

Il modello matematico

F2= F0+ F1

F3= F1+ F2

F4= F2+ F3

Fn= Fn-2+ Fn-1

……………..

F0=0, F1=1

Dalla tabella si può ricavare il modello matematico che lega il numero n-simo di Fibonacci con i due numeri di Fibonacci precedenti e che fornisce la legge che descrive la crescita dei conigli

Successioni ricorsive

La successione Fibonacci è una successione ricorsiva!

Nella logica matematica e nell'informatica, le successioni ricorsive formano una classe di funzioni dai numeri naturali ai numeri reali che sono "calcolabili" in un qualche senso.

Infatti, in teoria della calcolabilità si mostra che le successioni ricorsive sono le funzioni che possono essere calcolate tramite una macchina di Turing.

La sezione aurea

Assegnato il segmento AB dicesi parte aurea di AB il segmento AM medio proporzionale tra l’intero segmento e la parte rimanente.

Se AB è di lunghezza 1 e chiamiamo x la lunghezza del segmento AM, allora la definizione sopra fornita dà luogo alla seguente equazione

011

1)1(::1 2

xx

x

x

xxxx

A BM·

x x1

Descriviamo, ora, alcune proprietà della successione di Fibonacci:

Il numero aureo

ammette come soluzioni

La prima è negativa, per cui non è accettabile. La seconda rappresenta

la misura della sezione aurea. Il rapporto tra le lunghezze del segmento

e della sua sezione aurea è detto numero aureo, è il reciproco di x2 ed

è:

...618.02

51...618.1

2

5121

xx

L’equazione012 xx

...618.12

51

I numeri di Fibonacci e la sezione aurea

1/1 = 1,  

2/1 = 2, 

3/2 = 1.5, 

5/3 = 1.666..., 

8/5 = 1.6, 

13/8 = 1.625,

21/13 = 1.61538...

1

1 n

n

F

Flim

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…

Alcune caratteristiche della successione di Fibonacci

• Quadrati

32+52=34  (3x8)+1=25 (52)

• Ultime Cifre 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 7, ...

Inoltre…si può dimostrare che:

Data la sequenza dei numeri di Fibonacci di posto dispari, se si costruisce la sequenza ottenuta sottraendo a due a due i numeri adiacenti della prima sequenza, si ottiene la sequenza dei numeri di Fibonacci di posto pari.

Il massimo comun divisore di due numeri di Fibonacci è ancora un numero di Fibonacci che occupa il posto corrispondente al massimo comun divisore dei due indici

Fibonacci in natura

La successione di Fibonacci è onnipresente in natura. Quasi tutti i fiori hanno tre o cinque o otto o tredici o ventuno o trentaquattro o cinquantacinque o ottantanove petali. L'obiettivo è la legge di 'ottimizzazione'.

• Fiori di girasole

• L'Achillea Ptarmica

• Pigne

Sezione Aurea

Spirale Logaritmica

Anche la sezione aurea è presente in molti elementi naturali:

• Conchiglie

• Corna di ariete

• Falangi umane

• Galassie

L’angolo aureo

• In natura si trovano i più disparati esempi di curve e spirali logaritmiche, ma raramente si tratta di spirali auree… Ma a volte si ha una connessione con la sezione aurea attraverso l’angolo aureo. Di circa 137.5 gradi esso si ottiene dividendo un angolo giro in “maniera aurea”. Come scoprirono Auguste e Louise Bravais nel 1837, l’angolo aureo e quello della fillotassi, cioè della disposizione a spirale delle foglie sui virgulti.

• Per quanto riguarda la connessione dell’angolo con la successione Fibonacci, ad ogni giro completo di foglie si aggiungono 2,3,5,8… foglie.

Il meccanismo della fillotassi è estremamente ottimale.

Infatti, poiché l’angolo aureo è porzione irrazionale dell’angolo giro le foglie precedenti non sono mai totalmente coperte da quelle successive, in modo tale da ricevere luce e acqua.

Facilmente comprensibile è la regola aurea che possiamo trarre dalla fillotassi:

Nella vita un po’ di irrazionalità è necessaria, ma un minimo è sufficiente.

Alunni partecipanti

• IV B : Barone, Mauriello, Minopoli

• IV C : Izzo

• IV D: Petrazzuolo, Amodeo, Micillo, Mesco

• IV E Di Palma, Rao

• IV F Campiche

• IV G De Gregorio, Falco, Laporta, Loffredo, Tozzi