La meravigliosa storia della radice quadrata di 2La meravigliosa storia della radice quadrata di 2

Numero che, moltiplicato per se stesso, dà 2

Lunghezza del lato del quadrato di area 2

Radice quadrata di 2Radice quadrata di 2

2d

l

d

l

C

d

Babilonesi Greci Arabi

XIX – XVI a.C. VI a.C. – III d.C. VIII – XIV d.C.

Capitolo I: Appunti di storia

YBC 7289 (Yale Babylonian Collection)

1900 – 1600 a.C.Rapporto tra diagonale e lato del quadrato

Costante fondamentale

Incredibile accuratezza

2 1,41421296

2 1,4142135623730950...

355

113

Tsu Ch’ung-chih

Pitagora di Samo (VI sec a.C.) • esigenza dimostrativa• “tutto è numero”• aritmogeometria• scoperta delle grandezze incommensurabili

Scuola Pitagorica di Crotone VI-V sec. a.C.

“La scoperta dell’incommensurabilità reciproca di certe lunghezze, prima fra tutte la diagonale del quadrato e il suo lato, dovette rappresentare fin dal primo momento un vero scandalo logico, uno scoglio temibile, indipendentemente dal fatto che fosse opera del Maestro o dei suoi discepoli. […] Se la scuola pitagorica ebbe mai dei misteri riservati ai soli iniziati, l’incommensurabilità dovette quindi farne parte”.

Paul Tannery - 1882

Dialoghi platonici

Menone (380 a.C.)

La scuola di Atene - dettaglioRaffaello Sanzio (1508-11)

SOCRATE: Coloro che se ne intendono chiamano questa linea diagonale; sicché, se essa ha nome diagonale, allora dalla diagonale, come tu dici, o ragazzo di Menone, si può ottenere l'area doppia. RAGAZZO: Certamente, o Socrate.

Teeteto (368 – 365 a.C.)

TEETETO: Teodoro disegnava un qualcosa per noi intorno alle potenze, per esempio su quella di tre piedi e su quella di cinque, mostrando che per lunghezza queste potenze non si possono misurare con la lunghezza di un piede. E così scegliendo una per ciascuna le potenze giunse fino alla diciassettesima e in questa si trattenne.

EVCLIDE

MEGARENSE PHILOSOPHO,

SOLO INTRODVTTORE DELLE SCIENTIE MATHEMATICE.

DILIGENTEMENTE RASSETTATO, ET ALLA

integrità ridotto, per il degno professore di tal Scientie Nicolo Tartalea Brisciano.

SECONDO LE DVE TRADOTTIONI.

CON VNA AMPLA ESPOSITIONE

dello istesso tradottore di nuovo aggiunta.

TALMENTE CHIARA, CHE OGNI MEDIOCRE

ingegno, senza la notitia, ouer suffragio di alcun'altra scientia con facilità serà capace a poterlo

intendere.

IN VENETIA. Appresso Curtio Troiano 1565

EVCLIDE

MEGARENSE PHILOSOPHO,

SOLO INTRODVTTORE DELLE SCIENTIE MATHEMATICE.

DILIGENTEMENTE RASSETTATO, ET ALLA

integrità ridotto, per il degno professore di tal Scientie Nicolo Tartalea Brisciano.

SECONDO LE DVE TRADOTTIONI.

CON VNA AMPLA ESPOSITIONE

dello istesso tradottore di nuovo aggiunta.

TALMENTE CHIARA, CHE OGNI MEDIOCRE

ingegno, senza la notitia, ouer suffragio di alcun'altra scientia con facilità serà capace a poterlo

intendere.

IN VENETIA. Appresso Curtio Troiano 1565

La proposizione 9 del libro X stabilisce per via geometrica

l’irrazionalità dei numeri di tipo per ogni intero n che non sia un quadrato perfetto.

n

La scuola di Atene - dettaglioRaffaello Sanzio (1508-11)

Euclide – 300 a.C. ca.

MedioevoMedioevo(476 caduta di Roma, 1453 caduta di Costantinopoli)(476 caduta di Roma, 1453 caduta di Costantinopoli)

Grande fioritura della cultura islamica (750 – 1400)traduzioni e commenti dei classici

(Euclide, Tolomeo, Archimede, Apollonio…)

Mohammed ibn Musa al-Khowârizmî (780 – 850)Astronomo; scrive Al-jabr w’al muqâbala

Omar Al-Khayyam (1048 - 1123)soluzione geometrica delle equazioni di terzo gradocritica alla teoria euclidea delle parallele

al-Khowârizmî

Al-jabr“aggiustare”

Don Chisciotte della Mancia(1605-1615)

algebrista = conciaossa

algoritmosequenza finita e non ambiguadi istruzioni che portanoad un risultato.

AlgebraAlgebra

Diagonale e lato del quadratosono incommensurabili

Diagonale e lato del quadratosono incommensurabili

Radice quadrata di 2è irrazionale

Geometria

Aritmetica

Algebra

AlgebraRadice quadrata di 2 è la soluzione (positiva)

dell’equazione2 2x

The square root of two = 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212644121497099935831413222665927505592755799950501152782060571470109559971605970274534596862014728517418640889198609552329230484308714321450839762603627995251407989687253396546331808829640620615258352395054745750287759961729835575220337531857011354374603408498847160386899970699004815030544027790316454247823068492936918621580578463111596668713013015618568987237235288509264861249497715421833420428568606014682472077143585487415565706967765372022648544701585880162075847492265722600208558446652145839889394437092659180031138824646815708263010059485870400318648034219489727829064104507263688131373985525611732204024509122770022694112757362728049573810896750401836986836845072579936472906076299694138047565482372899718032680247442062926912485905218100445984215059112024944134172853147810580360337107730918286931471017111168391658172688941975871658215212822951848847208969463386289156288276595263514054226765323969461751129160240871551013515045538128756005263146801712740265396947024030051749531886292563138518816347800156936917688185237868405228783762938921430065586956868596459515550164472450983689603688732311438941557665104088391429233811320605243362948531704991577175622854974143899918802176243096520656421182731672625753959471725593463723863226148274262220867115583959992652117625269891754098815934864008345708518147223181420407042650905653233339843645786579679651926729239987536661721598257886026336361782749599421940377775368142621773879919455139723127406689832998989538672882285637869774966251996658352577619893932284534473569479496295216889148549253890475582883452609652409654288939453864662574492755638196441031697983306185201937938494005715633372054806854057586799967012137223947582142630658513221740883238294728761739364746783743196000159218880734785761725221186749042497736692920731109636972160893370866115673458533483329525467585164471075784860246360083444911481858765555428645512331421992631133251797060843655970435285641008791850076036100915946567067688360557174007675690509613671940132493560524018599910506210816359772643138060546701029356997104242510578174953105725593498445112692278034491350663756874776028316282960553242242695753452902883876844642917328277088831808702533985233812274999081237189254072647536785030482159180188616710897286922920119759988070381854333253646021108229927929307287178079988809917674177410898306080032631181642798823117154363869661702999934161614878686018045505553986913115186010386375325004558186044804075024119518430567453368361367459737442398855328517930896037389891517319587413442881784212502191695187559344438739618931454999990610758704909026088351763622474975785885836803745793115733980209998662218694992259591327642361941059210032802614987456659968887406795616739185957288864247346358588686449682238600698335264279905628316561391394255764906206518602164726303336297507569787060660685649816009271870929215313236828135698893709741650447459096053747279652447709409924123871061447054398674364733847745481910087288622214958952959118789214917983398108378827815306556231581036064867587303601450227320882935134138722768417667843690529428698490838455744579409598626074249954916802853077398938296036213353987532050919989360751390644449576845699347127636450716327915470159773354863893942325727754003826027478567417258095141630715959784981800944356037939098559016827215403458158152100493666295344882710729239660232163823826661262683050257278116945103537937156882336593229782319298606467978986409208560955814261436363100461559433255047449397593399912541953230093217530447653396470662761166175351875464620967634558738616488019884849747926404506544489691004079421181692579685756378488149898641685499491635761448404702103398921534237703723335311564594438970365316672194904935188290580630740134686264167247011065346349391640714628556798017793381442404526913706660977763878486623800339232437047411533187253190601916599645538115788841380843323210533767461812178014296092832411362752540887…

1 2 2

1 2 3

2 2AM

1

2 41 1 31 2

AM

1 2 2GM

1 2 2 23 4

2 3

2 1G AA

M M M

2

Capitolo II: Esperienze sensoriali

Cheese!

Duplicazione del quadrato

Duplicazione di qualsiasi poligono

Moltiplicare ogni latoper equivale a raddoppiare l’area

del poligono.

2

Ogni passaggio equivale a dividere per il raggio del diaframma,quindi a dimezzare l’area del diaframma.

2

“Quando due cerchi toccano un medesimo quadrato in quattro punti,uno è il doppio dell’altro.”

“Quando due quadrati toccano lo stesso cerchio in quattro punti,uno è il doppio dell’altro.”

“Le simmetrie migliori per definire le dimensioni di un atrio,elemento essenziale dell’abitazione romana, sono tre,

e corrispondono ai rapporti 5/3 per la prima e 3/2 per la seconda;nel terzo si descriva la larghezza in un quadrato di lati eguali,

e in questo quadrato si tiri la diagonale;e questo sarà lo spazio della detta linea, tanta sia la lunghezza dell’atrio.”

Marco Vitruvio De architectura cap 4, libro IV

Rettangolo diagonaleLeonardo da Vinci: Uomo vitruviano – 1490 ca.

Andrea di Pietro (1508-1580)

“Le più belle e proporzionate maniere di stanze, e che riescono meglio sono sette:

percioche ò si faranno ritonde, e queste di rado: ò quadrate; ò la lunghezza loro sarà per la linea diagonale

del quadrato della larghezza; ò d’un quadro & un terzo; ò d’un quadro e mezo;

ò d’un quadro, e due terzi; ò di due quadri” I quattro libri dell’architettura libro I,

cap. XXI Delle loggie, delle entrate, delle stanze: & della forma loro.

2

4

3

3

25

32

Risoluzione 259 – 16/10/10:Andrea Palladio è il "Padre" dell'architettura americana

1

Michel Ventrone (1936 – 2001) Porta di Armonia – 1997

Il rettangolo diagonale è lungo 9,20 metri e largo 6,50 m.Si trova ad Annemasse, in Alta Savoia.

1: : 2x x

2

1

x

x

12xx

Qual è quel numero che è uguale al doppio del suo reciproco?

Ogni rettangolo diagonale contiene due rettangoli diagonali con i lati scambiati di posizione.

Massa di un foglio A0 = 80 g

Massa di un foglio A4 = 5 g

141% 2

171%

2

1An A n

1An A n

1975: formato a norma internazionale ISO126

“Fa diesis non è musica ma matematica, e cioè la somma di cinques più cinques!”

Alessandro Bergonzoni

" … mentre passava dinanzi all'officina di un fabbro, per sorte divina udì dei martelli che,

battendo il ferro sopra l'incudine, producevano echi in perfetto accordo armonico tra loro,

eccettuata una sola coppia. Egli riconobbe in quei suoni gli accordi di ottava, di quinta e di quarta

e notò che l'intervallo tra quarta e quinta era in se stesso dissonante ma tuttavia atto a colmare la differenza di grandezza tra i due.

Rallegrato che con l'aiuto di un dio il suo proposito fosse giunto a compimento,

entrò nell'officina e dopo molto prove scoperse

che la differenza nell'altezza dei suoni dipendeva dalla massa dei martelli “

Giamblico - Vita di Pitagora

"Il vero miracolo non è che i numeri hanno effetto sulle cose, quanto piuttosto che essi possono esprimere la natura delle cose.“

Johannes Kepler (1571-1630)

1619 - Harmonices mundi

1597 - Mysterium cosmographicum

1609 – Astronomia nova

Scala a temperamento equabile

All’interno di ogni ottava si inseriscono undici note intermedietali che sia costante il rapporto tra le frequenze associate a due note consecutive

12 2r

212 2 412 2 512 2 712 2 912 2 1112 21 2

12 2 312 2 612 2 812 2 1012 2

2Clavicembalo ben temperato

1722-1744

Capitolo III: NemiciamiciCapitolo III: Nemiciamici

rettangolo aureorettangolo aureorettangolo diagonalerettangolo diagonale

2L

l

1 5

2

L

l

1: : 2x x 1: : 1x x x

2 è medio proporzionale tra 1

e il successivo di

12xx

11xx

è il successivo del suo reciproco

è il doppio del suo reciproco2

Spirale degli irrazionali

Spirale logaritmica

Jacob Bernoulli (1654 – 1705)

Teodoro di Cirene (465 a.C. - ?)

11

11

11

11

111 ...

12 1

12

12

12

122 ...

Sviluppo in frazioni continue

1 1 1 1 1 ...

2 2 2 2 2 2 ...

11 xx

21 x x

1593: Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII

2 2 2 22 2 2 2 2 2 2...

2 2 2 2

François Viète (1540-1603)

1655: Arithmetica infinitorum

John Wallis (1616-1703)

2 2 4 4 6 6 8 ...

2 1 3 3 5 5 7 7 9 ...

2 2 6 6 10 102 ...

1 3 5 7 9 11

1682: serie di Gregory-Leibniz

James Gregory (1639-1675)

1 1 1 1 1 1 11 ...3 5 7 9 11 13 152 2

1 1 1 1 1 1 11 ...

4 3 5 7 9 11 13 15

1748: Introductio in analysin infinitorum

1 1 1 3 1 3 52 1 ...

2 2 4 2 4 6 2 4 6 8

2 4 6

2 4 4 41 ...

2 1 2 1 2 4 1 2 4 6

Leonard Euler(1707-1783)

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FINEFINE