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Analisi di sistemi non lineari ( ) ( ) ( ) q p n R R R t t t = = u y x x h y u x f x , , , & f è un vettore di funzioni che definiscono la dinamica delle variabili di stato x, eventualmente in presenza dell’ingresso u, ed h è il vettore della trasforma- zione in uscita che lega lo stato con l’uscita y Se le funzioni non dipendono dal tempo, e l’ingresso può essere rappresentato da funzioni esplicite del tempo, il sistema si dice autonomo ( ) ( ) () p n R R t = = y x x h y x f x & Se l’ingresso influenza direttamente la trasformazione in uscita il sistema presenta una componente istantanea ( ) ( ) () ( ) q p n R R R t t t t = = u y x u x h y u x f x , , , , &

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Analisi di sistemi non lineari

( )( )( )

qpn RRRt

tt∈∈∈

==

uyxxhy

uxfx,

,,&

f è un vettore di funzioni che definiscono la dinamica delle variabili di stato x, eventualmente in presenza dell’ingresso u, ed h è il vettore della trasforma-zione in uscita che lega lo stato con l’uscita y

Se le funzioni non dipendono dal tempo, e l’ingresso può essere rappresentato da funzioni esplicite del tempo, il sistema si dice autonomo

( ) ( )( )

pn RRt

∈∈=

=yx

xhyxfx&

Se l’ingresso influenza direttamente la trasformazione in uscita il sistema presenta una componente istantanea

( )( )( )( )

qpn RRRtttt

∈∈∈==

uyxuxhyuxfx

,,,,&

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Analisi di sistemi non lineari

Tutti i sistemi reali presentano dei comportamenti non lineari che però in specifiche condizioni e campi di funzionamento possono anche approssimarsi con dinamiche lineari.Es.: molle

Le approssimazioni lineari, essendo valide in un campo limitato, possono comportare limitazioni nelle prestazioni ammissibili dei sistemi.

F

x

kk xkxkFxkF

<<′<⋅′−⋅=⋅=

0

ˆ3

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Esempi di non linearità

Prodotto tra variabili di stato accelerazione centrifuga/Coriolis

Valore assoluto attrito fluidodinamico

Funzione segno attrito secco

Funzioni trigonometriche vincoli geometrici nei robot

Saturazione materiali ferromagnetici

Back-lash ingranaggi meccanici

Isteresi relè elettromeccanici

Radice quadrata efflusso di fluidi da forami

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Analisi di sistemi non lineari

Una caratteristica di un sistema non lineari è costituita dai punti di equilibrio xeq, ovvero le soluzioni ammissibili della equazione non lineare

( ) 0xf =eq

Un sistema non lineare può avere un numero finito o infinto di punti di equilibrio, ciascuno dei quali può essere stabile, instabile o di sella

Un sistema non lineare può presentare comportamenti i più vari, da quelli molto simili a sistemi lineari con un solo punto di equilibrio globalmente stabile, funzionamenti apparentemente non deterministici (es. sistemi caotici), funzionamenti oscillatori permanenti autonomi (cicli limite), convergenza/divergenza in tempo finito o asintotica, etc.

Uno stesso sistema di equazioni differenziali non lineari può presentare comportamenti e proprietà completamente differenti al variare dei parametri: possono comparire/sparire punti di equilibrio (biforcazioni), oppure modificarsi le condizioni di stabilità, etc. Questo comporta la necessità di analisi specifiche caso per caso.

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Esempi

( ) ( )( ) ( )txtx

txtx

22

211 1

−=−=

&

&

ile stabxx

eq

eq

01

2

1

=+=

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x1

x 2 eq. Stabile p.to Sella

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x1

x 2

( ) ( )( ) ( ) ( )212

21

sgn3.0sgn xxtxtxtx

+−==

&

&

instabile xx

eq

eq

00

2

1

==

selladi punto xx

eq

eq

01

2

1

=−=

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Esempi

( )ili stabx

kkx

eq

eq

0,1,02

2

1

==±= Kπ

( ) ( )( ) ( ) 2212

21

sin xmlbx

lgtx

txtx

−−=

=

&

&

( ) ( )instabili x

kkx

eq

eq

0,1,012

2

1

==+±= Kπ

x1

mg

l

m

b

-2 0 2 4 6 8-6

-4

-2

0

2

4

6

x1

x 2 π

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Esempi

( ) ( )( ) ( )22

21

sgn3.0 xtxtxtx

−==

&

&

ile stabxRx

eq

eq

02

1

=∈

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x1

x 2

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Stabilità dell’equilibrio

( ) ( ) nRt ∈= xxfx&Dato un sistema autonomo non lineare

un suo punto di equilibrio xeq si definisce stabile secondo Lyapunov se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 ,,00 tt RBtrBt che tale Rr R eqeq ≥∀∈⇒∈>∃>∀ xxxx

essendo B(X,ρ)={x∈Rn: ||x-X||≤ ρ} la bolla di raggio ρ centrata in X

xeq

R

r

Il valore di R può essere preso arbitrariamente piccolo, ed il punto di equilibrio sarà stabile solo se esiste un intorno, di raggio r, del punto di equilibrio tale che per qualunque perturbazione entro tale intorno la traiettoria nel sistema rimane sempre confinata ne l’intorno di raggio R

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Esempio

ile stabxx

eq

eq

00

2

1

==

( ) ( )( ) ( )12

21

sin xlgtx

txtx

−=

=

&

&

x1

mg

l

m

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Considerata una qualunque circonferenza di raggio R, è sempre possibile definire una circonferenza di raggio r<R, interna al dominio delimitato dalla linea azzurra tale che la traiettoria perturbata periodica sia interna alla circonferenza di raggio R.

1,1 == ml

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Esempio

instabile xx

eq

eq

02

1

== π

( ) ( )( ) ( )12

21

sin xlgtx

txtx

−=

=

&

&

x1

mg

l

m

Qualunque sia la circonferenza di raggio R, è sempre possibile definire un intorno del punto di equilibrio, di raggio r<R, tale che la traiettoria perturbata esca dalla circonferenza di raggio R.

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x1

x 2 (π,0)

1,1 == ml

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Stabilità dell’equilibrio

Il punto di equilibrio xeq si definisce asintoticamente stabile se è stabile ed inoltre risulta

( ) 0lim =−∞→ eqt

t xx

La traiettoria perturbata a partire da un punto interno alla circonferenza di raggio r, oltre a non uscire mai dalla circonferenza di raggio R, tende a convergere verso il punto di equilibrio al passare del tempo

xeq

R

r

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Esempi

ile stabxx

eq

eq

00

2

1

==

( ) ( )( ) ( ) 2212

21

sin xmlbx

lgtx

txtx

−−=

=

&

&

x1

mg

l

m

b

5.0,1,1 === bml

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x1

x 2

La presenza dell’attrito b rende l’origine un punto di equilibrio asintoticamente stabile, anche a partire da alcune condizioni iniziali non interne al dominio individuato dalla linea rossa

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Esempi

instabile xx

eq

eq

00

2

1

==

( )( )( )( )12

222

5212

211

2xxtxxxxxtxx

−=+−=

&

&

Tutte le traiettorie convergono verso l’origine, però qualunque perturbazione con punto iniziale nei quadranti pari, anche piccola, genera una traiettoria che rimane esterna ad un dominio i cui limiti sono prossimi alle traiettorie verdi.L’origine è un punto di equilibrio instabile, ma anche un punto di attrazionedel sistema.

( ) 00lim =−∞→

tt

x

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x1

x 2

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Stabilità dell’equilibrio

Il punto di equilibrio xeq si definisce esponenzialmente stabile se è stabile ed inoltre risulta

( ) ( ) 00 0, tt ett teqeq >∀>−≤− − λαα λxxxx

La traiettoria perturbata a partire da un punto interno alla circonferenza di raggio r, oltre a non uscire mai dalla circonferenza di raggio R, tende a convergere verso il punto di equilibrio, con un tasso di convergenza superiore a quello di un esponenziale decrescente. Un punto di equilibrio esponenzialmente stabile è anche asintoticamente stabile, ma non viceversa.

xe

qR

r

0 2 4 6 8 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

x 1

t0

2*exp(-0.45(t-t0))

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Esempi

le stabi0x =+∈−=R

2

xxx&

Il sistema è asintoticamente stabile ma non esponenzialmente stabile

( ) 00lim =−∞→

tt

x

Le soluzioni dell’equazione differenziale nel dominio di validità sono del tipo

( ) ( ) 00

11 ttx

ata

tx −=+

=

Tali soluzioni non sono sommabili, e quindi non maggiorabili da una funzione esponenziale decrescente, in quanto risulta

( ) ( )

∞→+

≥+−+=+

∞→

t

tt

t

t

dtta

atatadtta

0

0

1lim

0lnln10

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Esempi

( ) ( )tt Axx =&

Un sistema lineare autonomo stabile è anche esponenzialmente stabile

( ){ } { } 0,,1, <=ℜ=ℜ nieig i KλA

Dalla relazione su riportata risulta anche che un sistema lineare autonomo al limite di stabilità è stabile secondo Lyapunov. Infatti, la relazione tra i raggi R ed r risulta

( ) ( ) ∑∑= =

−==s

i j

tjji

ti

ietRet1 1

1,0

νλxx A

( ) ( )

{ }isj

ts

i j

tjji

t eetReti

i

λλα

α λν

λ

ℜ≤<>

≤==

=

= =

−∑∑

,,1

01 1

10,0

min00K

xxxx A

( )R

t

RRr t

xx

max0 =≤=

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Stabilità della traiettoria

( ) ( ) nRt ∈= xxfx&Dato un sistema autonomo non lineare

una sua traiettoria x*(t), a partire dal punto x*(t0), si definisce stabile secondo Lyapunov se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0*

0*

000 tt Rttrtt che tale Rr R ≥∀≤−⇒≤−>∃>∀ xxxx

Ad ogni istante di tempo la distanza tra i punti della traiettoria di riferimento e di quella perturbata devono distare non più di R, se i gli stati iniziali non distavano più di r.R può essere arbitrariamente piccolo.

Rr

t0

R

t1 t2

R

t3

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Stabilità della traiettoria

La “sovrapposizione spaziale” della traiettoria perturbata con quella di riferimento non ne garantisce la stabilità

Pur partendo da condizioni iniziali praticamente coincidenti la traiet-toria perturbata (rossa) viene percorsa con velocità differente da quella di riferimento (azzurra), che quindi non è stabile.

Rr

t0

R

t1 t2

R

t3

t2

t3

Un sistema caratterizzato da traiettorie stabili garantisce che piccole perturbazioni non generino comportamenti estremamente differenti (approssimabilità).

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EsempioI sistemi caotici sono tipicamente caratterizzati da traiettorie instabili

(circuito di Chua con non linearità cubica)

Pur in presenza di una minima variazione dello stato iniziale si nota una divergenza temporale ma con simile occupazione spaziale.

143.0,16,10

23

3212

31211

−===−=

+−=−+−=

cba bxx

xxxxaxaxacxx

&

&

&

0 20 40 60 80 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

tempo

Erro

re d

i sta

to

x1 -x1*x2-x2*x3-x3*

[ ][ ]T

T

00001 1.01.01.01.01.01.0

0

*0

==

xx

-0.4-0.2

00.2

0.40.6

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2-0.5

0

0.5

x1x2

x 3

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Stabilità dell’equilibriosistemi non autonomi

( ) ( ) nRtt ∈= xxfx ,&Dato un sistema non lineare i suoi punti di equilibrio xeq sono definiti dall’equazione Il punto di equilibrio xeq si definisce stabile secondo Lyapunov se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000 ,,0,0 tt RBtrBt che tale tRr R eqeq ≥∀∈⇒∈>∃>∀ xxxx

essendo B(X,ρ)={x∈Rn: ||x-X||≤ ρ} la bolla di raggio ρ centrata in X

xeq

R

r(t0) Il valore di r dipende non solo dal valore di R, ma anche dall’istante iniziale t0.

( ) 0eq tt t ≥∀= 0,xf

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-15 -10 -5 0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

15

x1

x 2

t0=10 t0=0

Esempio

Affinché due traiettorie restino interne ad un dominio partendo in istanti differenti, le condizioni iniziali devono essere diverse

( )( )

212

1

11 1

sin5.0

xxxx

xtx

−=+

+−=

&

&

ile stabxx

eq

eq

00

2

1

==

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Si estendono ai sistemi non autonomi anche le definizioni di stabilità asintotica ed esponenziale.

Condizioni aggiuntive a quella di stabilità:

Le definizioni e le condizioni di stabilità sono simili a quelle per i sistemi autonomi, ma è presente il parametro t0, ovvero non è possibile prescindere dalla variabile tempo.

a) Stabilità asintotica: ( ) 0lim =−∞→ eqt

t xx

b) Stabilità esponenziale: ( ) ( ) ( )00 0,0 tt ett tt

eqeq >∀>−≤− −− λαα λxxxx

Stabilità dell’equilibriosistemi non autonomi

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Una proprietà che rende i sistemi tempo varianti simili ai sistemi autonomi è quella di stabilità asintotica uniforme.Un punto di equilibrio del sistema tempo variante è asintoti-camente uniformemente stabile se:

Un sistema caratterizzato da un punto di equilibrio uniformemente stabile mantiene un tasso di convergenza minimo verso il punto di equilibrio, a prescindere dall’istante iniziale t0.

Stabilità dell’equilibriosistemi non autonomi

( ) ( ) nRtt ∈= xxfx ,&

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 ,,00 tt RBtrBt che tale Rr R eqeq ≥∀∈⇒∈>∃>∀ xxxx

( ) ( )( ) ( ) ( )210210

211221

,

0,0,

RRTtt RtxRtx

che tale RRT RRR RR

eqeq +≥∀<−⇒<−

>∃<<<∀

xx

( ) 0lim =−∞→ eqt

t xx

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Il dominio di convergenza, D, di un punto di equilibrio asintoticamente stabile è costituito dall’insieme dei punti da cui il sistema tende verso il punto di equilibrio

Se D coincide con tutto la spazio di stato, il punto di equilibrio è globalmente asintoticamente stabile, ed il sistema ha un solo punto di equilibrio.

In questo caso si può parlare di stabilità del sistema e non solo del punto di equilibrio.

Stabilità dell’equilibrioDominio di convergenza

( ) ( ) eqt

n tDt xxx∞→

→⇒⊆∈ R0

Es.: il punto di equilibrio inferiore di un pendolo con attrito è un punto di equilibrio asintoticamente stabile ma il suo dominio di convergenza è limitato.

l’origine è un punto di equilibrio globalmente asintoticamente stabile per un sistema lineare con autovalori tutti a parte reale negativa.

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Una approssimazione lineare di un sistema non lineare, nelle vicinanze di un punto di funzionamento, può essere ottenuta mediante sviluppo in serie di Taylor fermata al primo ordine.

La dinamica delle variazioni δx,δu,δy è approssimata da una dinamica lineare caratterizzata dalle matrici A(nxn), B(nxq), C(pxn), e D(pxq) definite tramite gli Jacobiani delle funzioni vettoriali f ed h rispettivamente, valutati in (x*, u*).

Linearizzazione di un sistema non lineare

( )( )

qpn RRR ∈∈∈==

uyxuxhyuxfx,,&

Si consideri una condizione di funzionamento stazionario x*, u* tale che ( ) 0uxf =**,

** uuuxxx −=−= δδ

( ) ( )

( ) ( ) uu

uxhxx

uxhy

uu

uxfxx

uxfx

uxux

uxux

δδδ

δδδ

**,**,

**,**,

,,

,,

∂∂

+∂

∂≅

∂∂

+∂

∂≅&

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Permette la verifica della stabilità/instabilità di un punto di equilibrio di un sistema autonomo non lineare utilizzando un sistema lineare approssimante

Il metodo indiretto non fornisce alcuna informazione sul dominio di stabilità, è un criterio locale.

Metodo indiretto di Lyapunov

( ) nR∈= xxfx&

Linearizzazione attorno al punto di equilibrio

eqxxx −=δ

( ) 0=eqxfPunto di equilibrio xeq

( ) ( ) xxJxxxfx

x

δδδ ⋅=∂

∂≅ eq

eq

&

• Se la matrice J(xeq) ha tutti gli autovalori a parte reale negativa, allora xeq è un punto di equilibrio stabile.

• Se la matrice J(xeq) ha un autovalore a parte reale positiva, allora xeq è un punto di equilibrio instabile.

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Esempio

( ) ( )( ) ( ) 2212

21

sin xmlbx

lgtx

txtx

−−=

=

&

&

x1

mg

l

m

b

I punti di equilibrio corrispondenti a valori pari o nulli di k sono stabili in quanto gli autovalori dello jacobiano calcolato in tali punto sono tutti a parte reale negativa, mentre quelli corrispondenti a valori dispari di k sono instabili in quanto hanno almeno un autovalore a parte reale positiva.

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡=

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

22

2

2

1

2

2

1

1

1

1cos10

mlb

lg

xf

xf

xf

xf

xxfxJ

( )0

,1,0

2

1

==±=

eq

eq

xkkx Kπ

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=±2

2

100,2

mlb

lghπJ ( )( ) ⎥

⎤⎢⎣

⎡−+

=+±2

2

100,12

mlb

lgh πJ

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Una traslazione rigida dell’origine dello spazio di stato non modifica le proprietà dinamiche del sistema

La stabilità di un punto di equilibrio può essere studiata come la stabilità dell’origine, a seguito di una traslazione rigida.

Traslazione rigida dello stato

( ) nRt ∈= xxfx ,&

Traslazione dell’origine tale che essa coincida con un punto di equilibrio

eqxxx −=δ

( ) 0, =teqxfPunto di equilibrio xeq

( ) ( ) ( )ttRt eqn ,,, xxfxfxxfx +=′∈′= δδδδδ&

( ) ( ) 0xxxfxf =⇔=+=′ eqeqeqeq tt δδδ 0,,

Punto di equilibrio δxeq

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Una funzione scalare di una variabile (vettoriale) x è detta definita positiva se assume valori positivi per qualunque valore di x, tranne che per x = 0 in cui si annulla.

Convenzionalmente una funzione definita positiva (negativa) si indica con la notazione V(x)>0 (V(x)<0 ), mentre per una semi-definita positiva (negativa) si utilizza la notazione V(x)≥0 (V(x)≤0 ),

Funzioni definite positive

( ) ( )( )

VV

: se positiva definita V n

⎩⎨⎧

==∈>

⊆∈∀0xx

0xxxx

0\X0

RX

Analoghe definizioni si possono dare per funzioni definite e semi-definite negative

( ) ( )( )

VV

: se positiva definita- semiV n

⎩⎨⎧

==∈≥

⊆∈∀0xx

0xxxx

0\X0

RX

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Una forma quadratica di un vettore x può essere definita mediante una matrice Q.

Una forma quadratica dello stato x viene solitamente definita attraverso una matrice simmetrica.

Funzioni definite positive

( ) Qxxx TV =

La matrice Q si dice definita positiva se lo è la forma quadratica da essa definita.

( ) ( ) sssTTTT QQQQQQQQQQ +=−++=−+= 2

121

21

21

Una qualunque matrice Q può essere decomposta nella sua parte simmetrica Qs e nella sua parte skew-simmetrica Qss.

xQxQxxxQxQQ sTTT

ssT

ssTss ==⇒−= ,0

Una matrice simmetrica Q è una matrice definita positiva se e solo se ha tutti i minori principali positivi, ovvero, se ha tutti gli autovalori positivi.

Una matrice Q definita positiva deve avere tutti gli elementi della diagonale positivi.

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B0 appartiene al dominio di convergenza dell’origine

Metodo diretto di Lyapunov

Se sono invece verificate le seguenti condizioni (più restrittive):

• V(x)>0 ∀ x ∈ B0

allora l’origine è un punto di equilibrio asintoticamente stabile.

( ) 0B V ∈∀< xx 0&

Dato il sistema autonomo , se esiste una funzione scalare V(x), con derivate parziali continue, e sono verificate le seguenti condizioni:

• V(x) è definita positiva in un intorno B0 dell’origine dello spazio di stato

• è semi-definita negativa in B0

allora l’origine è un punto di equilibrio stabile.

( )xV&

( ) nR∈= xxfx&

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L’intorno dell’origine in cui si verifica ciò definisce il dominio di attrazione del punto di equilibrio.

Metodo diretto di Lyapunov

Se il prodotto scalare tra il gradiente di V ed il vettore della dinamica dello stato f è negativo, lo stato evolve verso valori di Vdecrescenti, ovvero verso l’origine

( ) ( ) ( ){ } ( )xfxxxxx ⋅=⋅

∂∂

= VgraddtdVV&

x1

x2

grad{V}f(x)

V1<V2<V3

V(x)

V1

V2

V3

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Il metodo fornisce anche indicazioni sul dominio di convergenza del punto di equilibrio, nonché sulla convergenza asintotica o meno.

Metodo diretto di Lyapunov

Se non si riesce a definire una funzione di Lyapunov, non è detto che l’origine non sia un punto di equilibrio stabile.

Se lo stato rappresenta l’energia interna del sistema, ed un stato stabile implica che l’energia interna tenda a non aumentare, una via per trovare una funzione di Lyapunov è quello di definire V(x) come l’energia interna totale.

Nel caso l’annullarsi di definisca una curva chiusa, questa è un ciclo limite del sistema

( )xV&

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Esempio

( ) ( )( ) ( ) 2212

21

sin xmlbx

lgtx

txtx

−−=

=

&

&

x1

mg

l

m

b

Se b>0 l’origine è un punto di equilibrio asintoticamente stabile.Nei punti in cui x2=0 e x1≠0 risulta anche dx2/dt ≠0.Se b=0, l’origine è un punto di equilibrio stabile ma non asinto-ticamente stabile.

00

2

1

==

eq

eq

xx

( ) ( )( ) 2

2

122

221 cos1bxV

EEExmglxmlV totpotcin

−==+=−+=

xx

&

x1

x2

V(x)

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Il dominio di convergenza è tutto lo spazio di stato e l’origine è l’unico punto di equilibrio.Si può dire che il sistema è asintoticamente stabile nell’origine.

Metodo diretto di Lyapunov

Se esiste una funzione scalare V(x), con derivate parziali continue, e sono verificate le seguenti condizioni:

allora l’origine è un punto di equilibrio globalmente asintoticamente stabile.

( ) 0B V ∈∀< xx 0&

( ) 0B V ∈∀> xx 0

( ) 0 V ∞→∞→x

x

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Esempio

( ) ( )( ) 22

31

21

12

21

xxmbx

mkx

mktx

txtx

−−−=

=

&

&

Se b>0 l’origine è un punto di equilibrio globalmente asintoti-camente stabile.Nei punti in cui x2=0 e x1≠0 risulta anche dx2/dt ≠0.Se b=0, l’origine è un punto di equilibrio stabile ma non asinto-ticamente stabile.

00

2

1

==

eq

eq

xx

( ) ( )( ) 2

22

2122

11

212

1222

1

xbxVEEExkkxmxV totpotcin

−==+=++=

xx

&

x1

k1, k2

b

m

x1

V(x)

x2

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Se la derivata totale della funzione V(x) non è né definita/semi-definita negativa né definita positiva non si può dire niente sulla stabilità o meno dell’origine.

Metodo diretto di LyapunovCriterio di instabilità

Dato il sistema autonomo , se esiste una funzione scalare V(x), con derivate parziali continue, e sono verificate le seguenti condizioni:

• V(x) è definita positiva in un intorno B0 dell’origine dello spazio di stato

• è definita positiva in B0

allora l’origine è un punto di equilibrio instabile.

( )xV&

( ) nR∈= xxfx&

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EsempioOscillatore di Van der Pool

( ) ( )( ) ( ) 2

2112

21

1 xxxtxtxtx

−+−==

&

&

L’origine è un punto di equilibrio, l’unico, instabile.Le traiettorie del sistema convergono verso un ciclo limite stabile individuato dalla curva verde.La ricerca dei cicli limite, e l’analisi della loro stabilità, richiede procedure più com-plesse che non la ricerca e l’analisi di stabilità dei punti di equilibrio.

00

2

1

==

eq

eq

xx ( ) ( )

( ) ( ) ( ) { }1:R1R

122

122

2222

1212

1

<∈∈∀>−=∈∀>+=

x 0VxxV 0VxxV

xxxxxxx

&

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x1

x 2

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Se la matrice A ha autovalori tutti a parte reale negativa e la matrice Q è definita positiva, allora l’unica soluzione P dell’equazione di Lyapunov è definita positiva.

Metodo diretto di LyapunovApplicazione ai sistemi lineari

L’equazione matriciale ATP+PA=-Q è detta equazione di Lyapunov ed ammette una sola soluzione nell’incognita P, una volta fissato Q.Solitamente si sceglie Q=I e quindi si verifica che la soluzione P sia una matrice definita positiva.

Axx =& ( ) 0>= PPxxx TV

( ) ( )0>−=+

+=+=+=QQPAPA

xPAPAxPAxxPxAxxPxPxxxT

TTTTTTTV &&&

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Forma normale di un sistema non lineare

Si calcolino le derivate totali dell’uscita finché la variabile di ingresso non compaia esplicitamente.

( )( )( ) RRR

tyttu n ∈∈∈

==

uyxxhxfx

,,,&

( ) ( )( )

1,,2,10;,, −==∂

∂= ri

uytuy

ir Kxϕ

Se r = n, allora il sistema non lineare può essere ricondotto alla forma canonica di Brunowsky, che è analoga ad una forma compagna controllabile di un sistema lineare senza zeri, in cui le variabili di stato sono le variabili di fase.

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )tutuyyyytu TnGG ,,,,,,,,,,;,, 1 yyyxyyByAy Ψ=′Ψ==′+= − ϕϕϕ K&&&&

Sotto opportune ipotesi, la funzione Ψ è una funzione bi-univoca, e tale che Ψ(0) = 0. Stabilizzare y è completamente equivalente a stabilizzare x.

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Forma normale di un sistema non lineare

Se r < n, allora il sistema non lineare può essere ricondotto ad una forma canonica comprendente la dinamica dell’uscita y e la dinamica interna w.

( )[ ]( ) [ ]

( ) ( )( )( )tu

twwwtuyyyy

TrnGG

Tr

,,,,,,,

,,,;,,,,,,,,

21

1

wywyxwyw

wwyByAyy

Θ=′Θ==

=′+==

ϕϕψ

ϕ&

K&

K&&&

Sotto opportune ipotesi, la funzione Θ è una funzione bi-univoca, e tale che Θ(0,0) = 0. Stabilizzare y ed w è completamente equivalente a stabilizzare x.

Se la dinamica interna non ha un comportamento esplosivo ed è stabile quando l’uscita y=0 (zero-dinamica), allora stabilizzare y è completamente equivalente a stabilizzare x.Molti problemi di controllo non lineare vengono ricondotti a problemi di stabilizzazione di una uscita disponibile, od opportunamente costruita.

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Forma normale di un sistema non lineare

La legge di controllo può essere basata solo sulle variabili di uscita, eventualmente in forma dinamica mediante osservatori di stato - output feedback, oppure mediante retroazione dello stato – state feedback

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )tut

tGG

,,,,,,

,,;,,

ywyywyw

wyxwyByAy

κϕϕκψ

ϕ

Θ=′′==

Θ=′′+=&

&

La variabile di controllo u non compare più in forma esplicita nella dinamica dello stato, che quindi non è autonoma solo per la eventuale presenza del tempo.

Output feedback

( ) ( )( ) ( )( )tt

ut

,,,;,

xxfxfx

xfxκ

κ=′′=

′′=& State feedback

I sistemi stazionari con controllo in retroazione vengono solitamente ricondotti a sistemi autonomi per cui è possibile applicare le tecniche di analisi precedentemente descritte.

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Forma normale di un sistema non lineare

La forma canonica con esplicitazione delle dinamiche ingresso-uscita ed interna, è solitamente utilizzata in quanto permette una più semplice definizione della legge di controllo

( ) ( ) ( )∑−

=

−=′=1

0,,

r

i

ii yatu,che tale,u wywy ϕκ Feedback linearization

In presenza di sistemi perfettamente noti la legge di controllo tende a “cancellare” parte della dinamica del sistema.In presenza di incertezze: tecniche di controllo robusto (high-gain, slidingmodes, etc)

( )[ ]( ) [ ]

( ) ( )( )( )tu

twwwtuyyyy

TrnGG

Tr

,,,,,,,

,,,;,,,,,,,,

21

1

wywyxwyw

wwyByAyy

Θ=′Θ==

=′+==

ϕϕψ

ϕ&

K&

K&&&

( ) ( ) ( )ywywy φϕκ =′= tu,che tale,u ,, Lyapunov approach