La Matematika in 100 schede

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≠

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ℕ

ℤ

ℚ

∈

∉

∃

∄

∀

𝑥 lim𝑥 0

1 + 𝑥 𝛼 1𝑥 𝛼

lim𝑥

0

𝑎− 1

𝑥

𝑙 𝑛𝑎

lim𝑥 0

𝑠 𝑒 𝑛 𝑥

= 1

∀ 𝑱 ∃ 𝑰𝟎 ∀𝒙 𝑰

𝟎 𝑫 𝒙 ⇒ 𝒇 𝒙 ∈ 𝑱

<

≤

ȁ𝑥

+∞

−∞

ℝ

ℂ

∅

/

:

⊂

⊆

∪

∩

∧

⇒

⟺

∥

⊥

≡

≅

=

≈

∧

⇒

⟺

lim𝑥 0

1 − 𝑐 𝑜 𝑠 𝑥2 = 1

2

lim𝑥 0

1 − 𝑐 𝑜 𝑠 𝑥= 0

lim𝑥 0 𝑡 𝑔 𝑥= 1

lim𝑥 ∞

𝑥𝑎 = 0

lim𝑥 0+ 𝑥 𝑙 𝑛 = 0

∈

∉

∃ ∄

∃!

∀

lim𝑥 0

1 + 𝑥1𝑥 𝑒

lim𝑥 0

𝑎 − 1𝑥

𝑙 𝑛 𝑎

lim𝑥 0

𝑎 𝑟 𝑐 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥= 1

ℕ

ℤ

ℚ

ℚ

lim𝑥 0

log𝑎 1 + 𝑥𝑥

log𝑎

lim𝑥 0

1 + 𝑥1𝑥 𝑒

lim𝑥 0

𝑙 𝑛 1 + 𝑥𝑥

1

1

Indice

• SIMBOLI, INSIEMI, INTERVALLI ………………..….………………………..….…… 3

• ARITMETICA ………………..….……………………..….……………………..….………………………….………..….…… 8

• ALGEBRA ………………..….……………………..….……………………..….…………………..…………………..…………..…… 18

• GEOMETRIA PIANA ………………..….……………………..….………………………………..….……….… 30

• GEOMETRIA SOLIDA ………………..….……………………..….……………………………..….………… 33

• GEOMETRIA ANALITICA ………………..….……………………..………………..………….…… 36

• LOGARITMI ………………..….……………………..….……………………..….……………………………..………………… 47

• GONIOMETRIA ………………..….……………………..….……………………..….………………..….……………..… 48

• TRIGONOMETRIA ………………..….……………………..….…………………………………..….………….… 55

• ANALISI LICEO ………………..….……………………..….……………………..….…………………..….…………..… 59

• ANALISI VERSO L’UNIVERSITA’ ………………..……………………..…..….…… 80

• ELEMENTI DI LOGICA ………………..….……………………..….………………………..………...…… 86

• PROGRESSIONI ………………..….……………………..……………………..….……………………..………….…… 87

• CALCOLO COMBINATORIO ………………..….…………………………..….…………… 88

• PROBABILITA’ ………………..….……………………..….……………………..….…………………..….…………...… 89

• NUMERI COMPLESSI ………………..….……………………..….………………………..….……………… 93

• LE GRANDEZZE FISICHE ………………..….……………………………………..………………… 95

• ELEMENTI DI STATISTICA ………………..….……………………………..…………….…… 97

2

Alfabeto Greco

v 1.5 © 2011 - www.matematika.it .

minuscole maiuscole come si legge

α Α alfa

β Β beta

γ Γ gamma

δ ∆ delta

ε Ε epsilon

ζ Ζ zeta

η Η eta

ϑ Θ teta

ι Ι iota

κ Κ cappa

λ Λ lambda

µ Μ mu

ν Ν ni

ξ Ξ csi

ο Ο omicron

π Π pi

ρ Ρ ro

σ Σ sigma

τ Τ tau

υ Υ ipsilon

ϕ Φ fi

χ Χ chi

ψ Ψ psi

ω Ω omega

3

Simbologia


simbolo significato simbolo significato

uguale minore diverso minore e uguale

circa uguale, approssimato valore assoluto di o modulo di

maggiore più infinito

maggiore e uguale meno infinito

insieme dei numeri naturali insieme dei numeri reali

insieme dei numeri interi insieme dei numeri complessi

insieme dei numeri razionali insieme vuoto

appartiene tale che

non appartiene tale che

esiste (almeno un) incluso strettamente

non esiste incluso

esiste ed è unico unione

per ogni intersezione

intervallo chiuso, cioè contiene gli

estremi intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra

intervallo aperto, cioè esclude gli estremi intervallo aperto a sinistra e

chiuso a destra

parallelo lunghezza del segmento AB

perpendicolare vettore v

identico, coincidente simmetria centrale di centro C

congruente simmetria assiale di asse r

equivalente traslazione di vettore v

simile ( )α;Or rotazione di centro O e angolo α

vero e

falso implica (se … allora)

o se e solo se (doppia implicazione)

media aritmetica prodotto: …

scarto quadratico medio probabilità dell’evento A

somma: probabilità di A condizionata a B

4

Insiemi


definizione

l’insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi, “per insieme si intende un raggruppamento, concepito come un tutto, di oggetti ben distinti della nostra intuizione o pensiero”

esempio

rappresentazione per elencazione per caratteristica grafica (o di Eulero Venn)

gli elementi dell’insieme sono indicati tra parentesi graffe

si descrivono le caratteristiche degli elementi dell’insieme

si usano delle linee chiuse che contengono gli elementi dell’insieme

operazioni tra insiemi unione

l’unione tra due insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo o al secondo insieme presi una sola volta

intersezione l’intersezione tra due insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo e al secondo insieme, cioè dagli elementi comuni. Se non ci sono elementi comuni gli insiemi si dicono disgiunti

differenza la differenza tra due insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo insieme esclusi quelli del secondo insieme

insieme complementare

l’insieme complementare di un insieme rispetto ad un altro che lo contiene è l’insieme differenza dei due

cioè cioè

5 1

3 7 2 4

6 8

1 2 3

4 5

1 2 3

4 5

1 2 3

4 5

5 2 3 4 1

2 3 4

1 2 3 4

5

Insiemi


prodotto cartesiano tra due insiemi

il prodotto cartesiano tra due insiemi è l’insieme delle coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene al primo insieme e il secondo elemento al secondo insieme

il prodotto cartesiano NON è commutativo

insieme delle parti di un insieme

l’insieme delle parti di un insieme è l’insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi dell’insieme dato

se l’insieme è formato da elementi, l’insieme delle parti è formato da elementi. Nell’esempio precedente è formato da 3 elementi e quindi è formato da elementi

partizione di un insieme la partizione di un insieme è un insieme formato dai suoi sottoinsiemi (o parti) che verificano le seguenti proprietà: • nessuna delle parti è vuota • le parti sono a due a due disgiunte, cioè non hanno elementi in comune • l’unione delle parti è uguale all’insieme iniziale

i sottoinsiemi e oppure

rappresentano due diverse partizioni di A

consideriamo l’insieme delle classi della scuola

tale insieme costituisce una partizione dell’insieme S perché soddisfa le tre proprietà della definizione

relazioni di De Morgan I relazione II relazione

il complemento dell’unione degli insiemi è uguale all’intersezione dei complementi degli insiemi

il complemento dell’intersezione degli insiemi è uguale all’unione dei complementi degli insiemi

I complementari sono considerati rispetto ad un terzo insieme (detto Universo) che contiene A e B

1B 2B 3B

1A 2A 3A

2 1 3

1

2 1 3 1 2

2 3 3

6

Intervalli: classificazione e rappresentazione


definizioni Si definisce intervallo l’insieme di tutti i valori compresi tra due estremi e . Gli estremi e possono essere finiti o infiniti. è detto estremo sinistro o inferiore, è detto estremo destro o superiore dell’intervallo

Un intervallo si dice:

• limitato se gli estremi sono finiti • illimitato se almeno uno degli estremi è infinito

• chiuso se gli estremi sono compresi • aperto se gli estremi non sono compresi

intervalli limitati

intervallo rappresentazione grafica

rappresentazione insiemistica

rappresentazione algebrica

intervallo chiuso

intervallo aperto

intervallo chiuso inferiormente e aperto superiormente

intervallo aperto inferiormente e chiuso superiormente

intervalli illimitati

intervallo rappresentazione grafica

rappresentazione insiemistica

rappresentazione algebrica

intervallo chiuso inferiormente e illimitato superiormente

intervallo aperto inferiormente e illimitato superiormente

intervallo illimitato inferiormente e chiuso superiormente

intervallo illimitato inferiormente e aperto superiormente

intervallo illimitato

osservazione

su alcuni testi l’intervallo aperto è indicato con le parentesi tonde per cui si trova equivalentemente:

b

b

a

a

a b

a b

a b

a b

7

Classificazione dei numeri reali


numeri naturali N numeri interi Z

numeri razionali Q numeri irrazionali I un numero si dice razionale se può essere espresso come rapporto di due numeri interi essi sono formati da numeri naturali, interi, decimali, periodici semplici e periodici misti

un numero si dice razionale se NON può essere espresso come rapporto di due numeri interi essi sono formati da una parte intera e da una parte decimale con infinite cifre non periodiche

numeri reali R i numeri reali sono formati dall’unione dell’insieme dei numeri razionali Q e l’insieme dei numeri irrazionali I

numeri algebrici e numeri trascendenti

esiste un’altra classificazione che divide i numeri reali in: numeri algebrici e numeri trascendenti

• un numero si dice algebrico se è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti interi • un numero si dice trascendente se NON è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti interi

Esempi

• 5 è un numero algebrico perché è soluzione dell’equazione

• è un numero algebrico perché è soluzione dell’equazione

• è un numero trascendente. perché non è soluzione di nessuna equazione polinomiale a coefficienti interi pur essendo soluzione dell’equazione polinomiale che non è a coefficienti interi

i numeri razionali Q sono tutti algebrici i numeri irrazionali I possono essere sia algebrici che trascendenti

oltre i numeri reali numeri immaginari

=

numeri complessi

1 5 8

-3

-12

R

Z Q

15,35672129654.…

I

N 0

8

Numeri primi fino a 10.000


un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 divisibile solo per se stesso e per 1 --- 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149

151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063

1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129 2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213 2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287 2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357 2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423 2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617 2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687 2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741 2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903 2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079 3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 3181 3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257 3259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 3331 3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413 3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511 3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571 3581 3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3643 3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 3727 3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797 3803 3821 3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907 3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 3989 4001 4003 4007 4013 4019 4021 4027 4049 4051 4057 4073 4079 4091 4093 4099 4111 4127 4129 4133 4139 4153 4157 4159 4177 4201 4211 4217 4219 4229 4231 4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283 4289 4297 4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409 4421 4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481 4483 4493 4507 4513 4517 4519 4523 4547 4549 4561 4567 4583 4591 4597 4603 4621 4637 4639 4643 4649 4651 4657 4663 4673 4679 4691 4703 4721 4723 4729 4733 4751 4759 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813 4817 4831 4861 4871 4877 4889 4903 4909 4919 4931 4933

9

Numeri primi fino a 10.000


4937 4943 4951 4957 4967 4969 4973 4987 4993 4999 5003 5009 5011 5021 5023 5039 5051 5059 5077 5081 5087 5099 5101 5107 5113 5119 5147 5153 5167 5171 5179 5189 5197 5209 5227 5231 5233 5237 5261 5273 5279 5281 5297 5303 5309 5323 5333 5347 5351 5381 5387 5393 5399 5407 5413 5417 5419 5431 5437 5441 5443 5449 5471 5477 5479 5483 5501 5503 5507 5519 5521 5527 5531 5557 5563 5569 5573 5581 5591 5623 5639 5641 5647 5651 5653 5657 5659 5669 5683 5689 5693 5701 5711 5717 5737 5741 5743 5749 5779 5783 5791 5801 5807 5813 5821 5827 5839 5843 5849 5851 5857 5861 5867 5869 5879 5881 5897 5903 5923 5927 5939 5953 5981 5987 6007 6011 6029 6037 6043 6047 6053 6067 6073 6079 6089 6091 6101 6113 6121 6131 6133 6143 6151 6163 6173 6197 6199 6203 6211 6217 6221 6229 6247 6257 6263 6269 6271 6277 6287 6299 6301 6311 6317 6323 6329 6337 6343 6353 6359 6361 6367 6373 6379 6389 6397 6421 6427 6449 6451 6469 6473 6481 6491 6521 6529 6547 6551 6553 6563 6569 6571 6577 6581 6599 6607 6619 6637 6653 6659 6661 6673 6679 6689 6691 6701 6703 6709 6719 6733 6737 6761 6763 6779 6781 6791 6793 6803 6823 6827 6829 6833 6841 6857 6863 6869 6871 6883 6899 6907 6911 6917 6947 6949 6959 6961 6967 6971 6977 6983 6991 6997 7001 7013 7019 7027 7039 7043 7057 7069 7079 7103 7109 7121 7127 7129 7151 7159 7177 7187 7193 7207 7211 7213 7219 7229 7237 7243 7247 7253 7283 7297 7307 7309 7321 7331 7333 7349 7351 7369 7393 7411 7417 7433 7451 7457 7459 7477 7481 7487 7489 7499 7507 7517 7523 7529 7537 7541 7547 7549 7559 7561 7573 7577 7583 7589 7591 7603 7607 7621 7639 7643 7649 7669 7673 7681 7687 7691 7699 7703 7717 7723 7727 7741 7753 7757 7759 7789 7793 7817 7823 7829 7841 7853 7867 7873 7877 7879 7883 7901 7907 7919 7927 7933 7937 7949 7951 7963 7993 8009 8011 8017 8039 8053 8059 8069 8081 8087 8089 8093 8101 8111 8117 8123 8147 8161 8167 8171 8179 8191 8209 8219 8221 8231 8233 8237 8243 8263 8269 8273 8287 8291 8293 8297 8311 8317 8329 8353 8363 8369 8377 8387 8389 8419 8423 8429 8431 8443 8447 8461 8467 8501 8513 8521 8527 8537 8539 8543 8563 8573 8581 8597 8599 8609 8623 8627 8629 8641 8647 8663 8669 8677 8681 8689 8693 8699 8707 8713 8719 8731 8737 8741 8747 8753 8761 8779 8783 8803 8807 8819 8821 8831 8837 8839 8849 8861 8863 8867 8887 8893 8923 8929 8933 8941 8951 8963 8969 8971 8999 9001 9007 9011 9013 9029 9041 9043 9049 9059 9067 9091 9103 9109 9127 9133 9137 9151 9157 9161 9173 9181 9187 9199 9203 9209 9221 9227 9239 9241 9257 9277 9281 9283 9293 9311 9319 9323 9337 9341 9343 9349 9371 9377 9391 9397 9403 9413 9419 9421 9431 9433 9437 9439 9461 9463 9467 9473 9479 9491 9497 9511 9521 9533 9539 9547 9551 9587 9601 9613 9619 9623 9629 9631 9643 9649 9661 9677 9679 9689 9697 9719 9721 9733 9739 9743 9749 9767 9769 9781 9787 9791 9803 9811 9817 9829 9833 9839 9851 9857 9859 9871 9883 9887 9901 9907 9923 9929 9931 9941 9949 9967 9973 10007 10009 10037 10039 10061 10067

10069 10079 10091 10093 10099 10103 10111 10133 10139 10141 10151 10159 10163 10169 10177 10181 10193 10211 10223 10243 10247 10253 10259 10267 10271 10273 10289 10301 10303 10313 10321 10331 10333 10337 10343 10357 10369 10391 10399 10427 10429 10433 10453 10457 10459 10463 10477 10487 10499 10501 10513 10529 10531 10559 10567 10589 10597 10601 10607 10613 10627 10631 10639 10651 10657 10663 10667 10687 10691 10709 10711 10723 10729 10733 10739 10753 10771 10781 10789 10799 10831 10837 10847 10853 10859 10861 10867 10883 10889 10891 10903 10909 10937 10939 10949 10957

10

Tavola Pitagorica


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90

7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105

8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120

9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165

12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180

13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195

14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210

15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225

LA TAVOLA PITAGORICA “ I pitagorici che si manifestarono sempre pieni di genio inventivo sottile, per evitare di commettere errori nelle moltiplicazioni, divisioni e misure, si servirono di una figura tracciata in modo particolare, la quale, in onore del loro maestro, chiamavano Tavola Pitagorica (mensa pythagorea) perché, riguardo alle cose ivi rappresentate, le prime discipline erano dovute a quel maestro. Chi venne dopo chiamò tale figura Abaco. Essi pensavano che quando era frutto di una meditazione profonda sarebbe stato più facilmente conosciuto da tutti, ove fosse stato presentato dinnanzi agli occhi in un certo modo; in conseguenza diedero a quella figura il seguente aspetto”. Gino Loria, Storia della matematiche (Boezio pag. 801)

11

∏ Pigreco


le prime 2.000 cifre

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 38095 25720 10654 85863 27886 59361 53381 82796 82303 01952 03530 18529 68995 77362 25994 13891 24972 17752 83479 13151 55748 57242 45415 06959 50829 53311 68617 27855 88907 50983 81754 63746 49393 19255 06040 09277 01671 13900 98488 24012 85836 16035 63707 66010 47101 81942 95559 61989 46767 83744 94482 55379 77472 68471 04047 53464 62080 46684 25906 94912 93313 67702 89891 52104 75216 20569 66024 05803 81501 93511 25338 24300 35587 64024 74964 73263 91419 92726 04269 92279 67823 54781 63600 93417 21641 21992 45863 15030 28618 29745 55706 74983 85054 94588 58692 69956 90927 21079 75093 02955 32116 53449 87202 75596 02364 80665 49911 98818 34797 75356 63698 07426 54252 78625 51818 41757 46728 90977 77279 38000 81647 06001 61452 49192 17321 72147 72350 14144 19735 68548 16136 11573 52552 13347 57418 49468 43852 33239 07394 14333 45477 62416 86251 89835 69485 56209 92192 22184 27255 02542 56887 67179 04946 01653 46680 49886 27232 79178 60857 84383 82796 79766 81454 10095 38837 86360 95068 00642 25125 20511 73929 84896 08412 84886 26945 60424 19652 85022 21066 11863 06744 27862 20391 94945 04712 37137 86960 95636 43719 17287 46776 46575 73962 41389 08658 32645 99581 33904 78027 59009 94657 64078 … … …

è il numero trascendente che rappresenta il valore del rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro. Per determinare il suo valore Archimede usò il metodo dei perimetri, cioè considerò i perimetri dei poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza di raggio che approssimano la lunghezza della stessa circonferenza. All’aumentare del numero dei lati dei poligoni, si ottiene una coppia di classi contigue di numeri che ammette come elemento separatore.

12

e numero di Nepero


le prime 2.000 cifre

2,718281 828459 045235 360287 471352 662497 757247 093699 959574 966967 627724 076630 353547 594571 382178 525166 427427 466391 932003 059921 817413 596629 043572 900334 295260 595630 738132 328627 943490 763233 829880 753195 251019 011573 834187 930702 154089 149934 884167 509244 761460 668082 264800 168477 411853 742345 442437 107539 077744 992069 551702 761838 606261 331384 583000 752044 933826 560297 606737 113200 709328 709127 443747 047230 696977 209310 141692 836819 025515 108657 463772 111252 389784 425056 953696 770785 449969 967946 864454 905987 931636 889230 098793 127736 178215 424999 229576 351482 208269 895193 668033 182528 869398 496465 105820 939239 829488 793320 362509 443117 301238 197068 416140 397019 837679 320683 282376 464804 295311 802328 782509 819455 815301 756717 361332 069811 250996 181881 593041 690351 598888 519345 807273 866738 589422 879228 499892 086805 825749 279610 484198 444363 463244 968487 560233 624827 041978 623209 002160 990235 304369 941849 146314 093431 738143 640546 253152 096183 690888 707016 768396 424378 140592 714563 549061 303107 208510 383750 510115 747704 171898 610687 396965 521267 154688 957035 035402 123407 849819 334321 068170 121005 627880 235193 033224 745015 853904 730419 957777 093503 660416 997329 725088 687696 640355 570716 226844 716256 079882 651787 134195 124665 201030 592123 667719 432527 867539 855894 489697 096409 754591 856956 380236 370162 112047 742722 836489 613422 516445 078182 442352 948636 372141 740238 893441 247963 574370 263755 294448 337998 016125 492278 509257 782562 092622 648326 277933 386566 481627 725164 019105 900491 644998 289315 056604 725802 778631 864155 195653 244258 698294 695930 801915 298721 172556 347546 396447 910145 904090 586298 496791 287406 870504 895858 671747 985466 775757 320568 128845 920541 334053 922000 113786 300945 560688 166740 016984 205580 403363 795376 452030 402432 256613 527836 951177 883863 874439 662532 249850 654995 886234 281899 707733 276171 783928 034946 501434 558897 071942 586398 772754 710962 953741 521115 136835 062752 602326 484728 703920 764310 059584 116612 054529 703023 647254 929666 938115 137322 753645 098889 031360 205724 817658 511806 303644 281231 496550 704751 025446 501172 721155 519486 685080 036853 228183 152196 003735 625279 449515 828418 829478 761085 263981 395599 006737 648292 244375 287184 624578 03……...

Il numero e detto numero di Nepero è la base dei logaritmi naturali che generalmente vengono indicati con ln(x). Il numero e come il numero π è un numero trascendente oltre che irrazionale.

13

Criteri di divisibilità - Frazioni generatrici - Frazioni con lo zero


Criteri di divisibilità

divisibilità per 2

un numero è divisibile per 2 quando l’ultima cifra è pari cioè quando termina per: 0, 2, 4, 6, 8

• 316 è divisibile per 2 perché l’ultima cifra (6) è pari • 315 non è divisibile per 2 perché l’ultima cifra (5)

non è pari

divisibilità per 3

un numero è divisibile per 3 quando la somma delle sue cifre è un multiplo di 3

• 342 è divisibile per 3 perché che è multiplo di 3

• 89757 è divisibile per 3 perché 8+9+7+5+7=36 ed ancora 3+6=9 che è un multiplo di 3

divisibilità per 5

un numero è divisibile per 5 quando l’ultima cifra è 0 o 5 • 345 è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 5 • 346 non è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 6

divisibilità per 11

un numero è divisibile per 11 quando la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quelle di posto pari è 0 o un multiplo di 11

• 3465 è divisibile per 11 perché e e

• 2798 non è divisibile per 11 perché e e che è diverso da 0 e da

un multiplo di 11

Frazioni generatrici

frazione generatrice di un numero decimale • al numeratore si scrive il numero dato senza virgola • al denominatore si scrive il numero 1 seguito da tanti 0

quante sono le cifre decimali del numero dato

frazione generatrice di un numero periodico semplice • al numeratore si scrive il numero dato senza virgola e si

sottrae la parte non periodica • al denominatore si scrivono tanti 9 quante sono le cifre

del periodo

frazione generatrice di un numero periodico misto

• al numeratore si scrive il numero dato senza virgola e si sottrae la parte non periodica

• al denominatore si scrivono tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguite da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo

dalla frazione al numero

• per trasformare una frazione in numero basta dividere il numeratore per il denominatore

frazioni con lo zero

è uguale a zero perché il risultato moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore

è impossibile perché non esiste nessun numero che moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore

è indeterminata perché qualunque numero moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore

14

Altri criteri di divisibilità


divisibilità per 4

un numero è divisibile per 4 se lo è il numero formato dalle ultime due cifre

• 316 è divisibile per 2 perché 16 è multiplo di 4 • 310 non è divisibile per 4 perché 10 non è multiplo di 4

divisibilità per 7

un numero è divisibile per 7 quando la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è 0 o un multiplo di 7

• 287 è divisibile per 7 perché

che è multiplo di 7

• 376 non è divisibile per 7 perché

che non è multiplo di 7

divisibilità per 9

un numero è divisibile per 9 quando la somma delle sue cifre è un multiplo di 9

• 873 è divisibile per 9 perché che è multiplo di 9

• 546 non è divisibile per 9 perché che non è multiplo di 9


un numero è divisibile per 13 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il quadruplo di quest’ultima è un multiplo di 13

• 845 è divisibile per 13 perché e

che è multiplo di 13 • 1467 non è divisibile per 13 perché

146 +(7 ∙ 4)=146 + 28 =174 e 17 + (4 ∙ 4) = 14 +16 =33 che non è multiplo di 13


un numero è divisibile per 17 quando la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il quintuplo di quest’ultima è 0 o un multiplo di 17


• 1467 non è divisibile per 17 perché e che è

diverso da 0 o da un multiplo di 17


un numero è divisibile per 19 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è un multiplo di 19


• 1467 non è divisibile per 19 perché e 15+(2∙0)=15 che è diverso da un

multiplo di 19


un numero è divisibile per 23 se la somma fra il numero senza la cifra delle unità e il settuplo del numero delle sue unità è 0, 23 o multiplo di 23

• 345 è divisibile per 23 perché è multiplo di 23

• 102 non è divisibile per 23 perché non è multiplo di 23


un numero è divisibile per 25 se finisce con 0, 25, 50, 75 • 375 è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 75 • 346 non è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono

46

15

Proporzioni


definizione

una proporzione è una uguaglianza tra rapporti

proprietà

fondamentale il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi:

del permutare

scambiando fra loro i medi o gli estremi si ottiene ancora una proporzione

dell’invertire scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione

del comporre sommando all’antecedente il

proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione

dello scomporre sottraendo all’antecedente il

proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione

trovare un medio in una proporzione

• si moltiplicano gli estremi e si divide per l’altro medio

trovare un estremo in una proporzione

• si moltiplicano i medi e si divide per l’altro estremo

proporzione continua

una proporzione si dice continua se i medi sono uguali

x si chiama “medio proporzionale” tra a e b

esempi proprietà dello scomporre

trovare un medio in una proporzione

proporzione continua

una proporzione si può risolvere trasformandola in equazione:

• si applica la proprietà fondamentale:

• si risolve l’equazione ottenuta:

approfondimento: questo metodo è utile quando nella proporzione l’incognita è presente più volte, ad esempio:

medi estremi

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Sezione aurea - Percentuale - Pendenza


Sezione aurea di un segmento

dato un segmento di lunghezza ( ) la sua sezione aurea ( ) è la parte di segmento medio proporzionale tra il segmento stesso e la parte rimanente cioè:

per risolvere la proporzione la si trasforma in equazione:

• si applica la proprietà fondamentale: • si sviluppano i calcoli:

• si risolve l’equazione di II grado in :

il numero è chiamato numero aureo, viene indicato di solito con la lettera e vale circa 0,6180339887…

esempio

Per calcolare la sezione aurea di un segmento di lunghezza basta applicare la formula dimostrata precedentemente

•

Calcolo percentuale

il valore di n può essere positivo o negativo a seconda che si tratti di un aumento o di uno sconto

esempi

• Calcolare il costo di un capo di abbigliamento dal prezzo di 160 euro scontato del 25% , quindi n = − 25%

• Quanto si è ridotto percentualmente un volume se passa da 300 cl a 270 cl?

il segno meno indica che si tratta di una riduzione

Pendenza

10 % indica che in 100 metri orizzontali (∆x) c’e un dislivello di 10 metri in verticale (∆h)

esempio

• Calcolare la pendenza in percentuale di una strada con dislivello verticale di 25 m su una distanza orizzontale di 120 m cioè ∆h=25 m ∆x=120 m

l

l-x x

Δh

Δx

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Prodotti notevoli e Scomposizioni


prodotti notevoli somma per differenza quadrato di un binomio

cubo di un binomio

quarta potenza di un binomio

quinta potenza di un binomio

quadrato di un trinomio

cubo di un trinomio

particolari prodotti notevoli

scomposizioni raccoglimento totale a fattore comune

raccoglimento parziale a fattore comune

differenza di due quadrati

somma di cubi

differenza di cubi

somma di due potenze di esponente 5

differenza di due potenze di esponente 5

somma di due potenze di esponente 7

differenza di due potenze di esponente 7

quadrato di binomio

trinomio notevole con esponente pari

= s e trinomio con somma e prodotto caso

• trovare due numeri m ed n tali che: • e • si sostituisce • si effettua un raccoglimento parziale

trinomio con somma e prodotto caso

cubo di binomio

riduzione a differenza di quadrati

quadrato di un trinomio

cubo di un trinomio

puoi scomporre come

18

Radicali


definizione

si definisce radice n-sima di un numero reale a, con , quel numero reale b tale che: cioè

nomenclatura

si chiama radicale

n = è l’indice della radice

m è l’esponente del radicando

è il radicando

proprietà

non ha significato

radice con indice pari radice con indice dispari

radice algebrica non esiste in radice aritmetica ---

operazioni con i radicali

semplificazione

riduzione allo stesso indice e

prodotto di radicali

rapporto di radicali

trasporto di fattore dentro il segno di radice ∗

trasporto di fattore fuori il segno di radice ∗

potenza di radicali

radice di radice

somma algebrica di radicali simili

osservazioni

* • Si possono portare fattori dentro una radice di indice pari solo se sono positivi, altrimenti se ne modifica il segno • Quando si porta un fattore fuori una radice di indice pari esso può assumere segno positivo o segno negativo

19

Radicali


razionalizzazione del denominatore di una frazione

caso: una sola radice quadrata al denominatore formula esempio

ricorda che:

caso: una sola radice non quadrata al denominatore formula esempi

ricorda che:

caso: un polinomio al denominatore con una o più radici quadrate formula esempio

ricorda che il prodotto notevole: si può applicare anche ai seguenti casi

2

caso: un binomio al denominatore con una o due radici cubiche

formula

esempio

ricorda i prodotti notevoli:

radicale doppio

formula

la formula si applica solo se è un quadrato perfetto

esempio

ricorda che se non è un quadrato perfetto non è conveniente applicare la formula del radicale doppio

20

Potenze


definizione

si definisce potenza di base a e di esponente n , il prodotto di tanti fattori uguali alla base quante volte sono le unità dell’esponente: n volte

proprietà

potenze con la stessa base

prodotto di potenze con la stessa base

rapporto di potenze con la stessa base

potenza di potenza potenze con lo stesso esponente

prodotto di potenze con lo stesso esponente

rapporto di potenze con lo stesso esponente

potenza ad esponente negativo

frazione ad esponente negativo

potenza ad esponente frazionario

frazione ad esponente frazionario

potenza ad esponente frazionario negativo

altri esempi

Fai attenzione alle parentesi ed all’esponente che può essere pari o dispari

frazioni con lo zero

è uguale a zero perché il risultato moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore

è impossibile perché non esiste nessun numero che moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore

è indeterminata perché qualunque numero moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore

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Equazioni di secondo grado


formule risolutive

equazione nome procedimento soluzioni o radici

equazione completa si applica la formula

equazione completa con b pari si applica la formula ridotta

equazione pura si isola e si estrae la radice quadrata algebrica

equazione spuria si raccoglie la x e si applica la legge di annullamento del prodotto

equazione monomia ha sempre due soluzioni nulle

le soluzioni di una equazione sono anche dette radici dell’equazione

significato del delta un’equazione di 20 grado ammette sempre due soluzioni che sono distinte, coincidenti o non reali secondo il segno del

soluzioni reali e distinte

soluzioni reali e coincidenti

soluzioni non reali

proprietà

somma delle soluzioni dell’equazione in funzione dei coefficienti (solo se )

prodotto delle soluzioni dell’equazione in funzione dei coefficienti (solo se )

testo dell’equazione di 20 grado conoscendo la somma e il prodotto delle soluzioni

scomposizione del trinomio di secondo grado dove e sono le soluzioni dell’equazioni di secondo grado

regola di Cartesio: segno delle soluzioni

permanenza variazione

data l’equazione di 20 grado con : • si osservano i segni dei coefficienti a, b, c • ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa • ad ogni variazione corrisponde una soluzione positiva

22

Equazioni parametriche: tabella delle condizioni


condizioni cosa fare sotto forma di enunciato sotto forma algebrica soluzione

una soluzione è nulla • nell’equazione data porre una soluzione è uguale ad un numero n • nell’equazione data porre

è assegnata la somma delle soluzioni • porre la somma uguale a n

è assegnato il prodotto delle soluzioni • porre il prodotto uguale a n

le soluzioni sono opposte • porre la somma uguale a 0

le soluzioni sono reciproche • porre il prodotto uguale a 1

le soluzioni snoo antireciproche • porre il prodotto uguale a -1

le soluzioni sono concordi • porre il prodotto > 0

le soluzioni sono discordi • porre il prodotto < 0

le soluzioni sono coincidenti • porre il

le soluzioni sono reali • porre il

le soluzioni sono reali e distinte • porre il

le soluzioni sono non reali • porre il

l’equazione è pura • nell’equazione data porre

l’equazione è spuria • nell’equazione data porre

è assegnata la somma dei reciproci delle soluzioni • porre uguale a n

è assegnata la somma dei quadrati delle soluzioni • porre

è assegnata la somma dei quadrati dei reciproci delle soluzioni

• porre uguale a n

è assegnata la somma dei cubi delle soluzioni • porre

è assegnata la somma dei cubi dei reciproci delle soluzioni

• porre uguale a n

una soluzione è multipla dell’altra • risolvere il sistema

ricorda che

• è l’equazione di secondo grado • è il discriminante associato all’equazione di secondo grado • è la relazione tra la somma delle soluzioni e i coefficienti dell’equazione di II grado

• è la relazione tra il prodotto delle soluzioni e i coefficienti dell’equazione di II grado

23

Equazioni binomie – biquadratiche - trinomie


equazioni binomie

n = pari ha due soluzioni (opposte) solo se il radicando è maggiore o uguale a 0

n = dispari ha una soluzione ed il segno dipende dal segno del radicando

cosa è: un’equazione si dice binomia se è formata da un termine di grado n ed un termine noto come si risolve: si ricava xn e si estrae la radice n-sima distinguendo i casi con n pari ed n dispari

esempi caso n pari

•

• nessuna soluzione

esempi caso n dispari

•

•

equazioni biquadratiche

cosa è: un’equazione si dice biquadratica se è formata da un termine di 4° grado uno di 2° grado ed un termine noto come si risolve: si sostituisce la con la variabile ottenendo una equazione di 20 grado in che risolta da’ origine a due equazioni binomie. Le soluzioni delle equazioni binomie sono le soluzioni della equazione data esempio di 4 soluzioni: caso e positivi

•

esempio di 2 soluzioni: caso negativo e positivo (o viceversa)

•

nessuna soluzione

esempio di 0 soluzioni: caso e negativi

•

nessuna soluzione

nessuna soluzione

equazioni trinomie

cosa è: un’equazione si dice trinomia se è formata da un termine di grado 2n uno di grado n ed un termine noto come si risolve: si sostituisce la con la nuova variabile ottenendo una equazione di 20 grado in che risolta da’ origine a due equazioni binomie. Le soluzioni delle equazioni binomie sono le soluzioni della equazione data

esempio

•

•

nessuna soluzione

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Disequazioni di Secondo Grado


l’equazione associata ha due soluzioni distinte

valori esterni valori interni

l’equazione associata ha due soluzioni coincidenti

tutti i numeri tranne

l’equazione associata non ammette soluzioni reali

l’equazione associata ha due soluzioni distinte

valori esterni con estremi compresi valori interni con estremi compresi

l’equazione associata ha due soluzioni coincidenti

solo

l’equazione associata non ammette soluzioni reali

disequazioni immediate

x x

x x

x2 x1 x2 x1

x x

x x

x2 x1 x2 x1

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Equazioni irrazionali e in valore assoluto


equazioni irrazionali

equazioni irrazionali con una sola radice quadrata

nessuna soluzione

con un polinomio a secondo membro con un numero n a secondo membro con lo zero a secondo membro

equazioni irrazionali con due radici quadrate

si applica lo schema risolutivo per equazioni irrazionali con una sola radice quadrata

equazioni irrazionali con radici cubiche

per risolvere una equazione con radici cubiche basta isolare la (o le) radici ed elevare entrambi i membri al cubo

* * *

equazioni in valore assoluto

definizione di valore assoluto

il valore assoluto di è uguale a se è maggiore o uguale a zero ed uguale a – se è minore di zero

equazione con un solo valore assoluto

con un polinomio a secondo membro un numero n a secondo membro zero a secondo membro

equazioni con due o più valori assoluti

si studia il segno di A e B

• si risolvono le disequazioni A > 0 e B > 0 e dette x > a e x > b le loro soluzioni, si rappresentano su grafico

• dall’osservazione del grafico l’ equazione si scinde nei seguenti sistemi:

I II III

b

B > 0

I II III A > 0

a

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Disequazioni irrazionali


con una sola radice quadrata ed un polinomio a secondo membro

casi particolari

con una sola radice quadrata ed un numero positivo n a secondo membro

con una sola radice quadrata ed un numero negativo -n a secondo membro

nessuna soluzione nessuna

soluzione

con una sola radice quadrata e lo zero a secondo membro

nessuna soluzione

con solo due radici quadrate

con radici cubiche (o in generale con radici ad indice dispari)

con una sola radice cubica con due radici cubiche

per risolvere una disequazione con radici cubiche basta isolare la (o le) radici ed elevare entrambi i membri al cubo

con radici ad indice diverso

nel caso di disequazioni con radici ad indice diverso, si calcola il mcm degli indici, si portano le radici allo stesso indice (il mcm degli indici), si sviluppano i calcoli e si risolve la disequazione ottenuta applicando uno degli schemi precedenti

27

Disequazioni in valore assoluto




con un solo valore assoluto ed un polinomio a secondo membro

casi particolari con un solo valore assoluto ed un numero positivo n a secondo membro

con un solo valore assoluto ed un numero negativo -n a secondo membro

nessuna soluzione nessuna

soluzione

con un solo valore assoluto e lo zero a secondo membro

nessuna soluzione

con due o più valori assoluti


• si risolvono le disequazioni A > 0 e B > 0 e dette x > a e x > b le loro soluzioni, si rappresentano su grafico

• dall’osservazione del grafico la disequazione si scinde nei seguenti sistemi:

I II III

b

B > 0

I II III A > 0

a

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Disequazioni irrazionali e in valore assoluto sintesi


disequazioni irrazionali con una sola radice quadrata ed un polinomio a secondo membro

con due sole radici quadrate

con una sola radice cubica con due radici cubiche

per risolvere una disequazione con una o due radici cubiche basta isolare la (o le) radici ed elevare entrambi i membri al cubo

disequazioni irrazionali immediate con un numero n positivo a secondo membro

disequazioni irrazionali immediate con lo zero a secondo membro

nessuna soluzione

∗ ∗ ∗ disequazioni in valore assoluto



con un solo valore assoluto ed un polinomio a secondo membro

con due o più valori assoluti


• si risolvono le disequazioni A > 0 e B > 0, dette x > a e x > b le loro soluzioni, si rappresentano su grafico • dall’osservazione del grafico la disequazione si scinde nei seguenti sistemi:

I II III

disequazioni in valore assoluto immediate con un numero n positivo a secondo membro

disequazioni in valore assoluto immediate con lo zero a secondo membro

nessuna soluzione A = 0

b

B > 0

I II III A > 0

a

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Aree delle principali figure piane


b

d

D

b

B

O

b

A

O

B

α

A

O

B

α

b

triangolo quadrato rettangolo

parallelogramma rombo trapezio

cerchio settore circolare segmento circolare ad una base

circonferenza

poligoni regolari triangolo equilatero quadrato pentagono esagono ottagono decagono

sia: il semiperimetro, il lato, l’apotema (cioè il segmento che dal centro cade perpendicolarmente ad un lato)

• l’apotema di un poligono regolare è il raggio della circonferenza inscritta al poligono:

• l’apotema si può calcolare moltiplicando la lunghezza del lato per un numero fisso

tabella dei numeri fissi f di alcuni poligoni regolari

poligono numero fisso poligono numero fisso poligono numero fisso

triangolo equilatero 0,289 esagono 0,866 ennagono 1,374

quadrato 0,500 ettagono 1,038 decagono 1,539

pentagono 0,688 ottagono 1,207 dodecagono 1,866

30

Teorema di Pitagora – primo e secondo teorema di Euclide


premessa

AB = i = ipotenusa AC = c1 = primo cateto BC = c2 = secondo cateto CH = h = altezza relativa all’ipotenusa AH = p1 = proiezione di c1 sull’ipotenusa HB = p2 = proiezione di c2 sull’ipotenusa

teorema di Pitagora

enunciato secondo l’equivalenza enunciato in formula

in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati co-struiti sui cateti:

in ogni triangolo rettangolo l’ipotenusa al quadrato è uguale alla somma dei quadrati dei cateti :

primo teorema di Euclide

enunciato secondo l’equivalenza enunciato secondo la similitudine

in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensione la proiezio-ne del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa:

in ogni triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa:

secondo teorema di Euclide

enunciato secondo l’equivalenza enunciato secondo la similitudine

in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equiva-lente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni del cateti sull’ipotenusa:

in ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa:

A B

p2

C

Q

p1

R

h

p2

A B

c2

i

C

Q c1

p1

R

A B

C

Q

Q1 Q2

i

c2 c1

A B p1

c2 c1

p2

h

H

C

i

31

Triangoli rettangoli particolari


triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°

i = ipotenusa cm = cateto minore cM = cateto maggiore

triangolo rettangolo con angoli di 45° (isoscele)

i = ipotenusa c = cateto

triangolo rettangolo con angoli di 18° e 72°

i = ipotenusa cm = cateto minore cM = cateto maggiore

applicazioni TRIANGOLO EQUILATERO:

applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60° TRIANGOLO ISOSCELE:

applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 18° e 72°

l=lato h=altezza

l=lato h=altezza

raggio della circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolo qualsiasi

= raggio circonferenza inscritta =raggio circonferenza circoscritta = area = semiperimetro

A R a

b

c B

C

A r

C

B

l l

72° 72°

h

18° l l

60° 60°

h

30° 30°

A B

C

i

cM cm

72° 18°

A B

C

i

c c

45° 45°

A B

C

i

cM cm

60° 30°

l

32

Volumi e superfici delle principali figure solide


cubo parallelepipedo rettangolo prisma retto

piramide retta a base regolare piramide retta tronco di piramide

cilindro cilindro equilatero (h=2r) cono

cono equilatero (a=2r ) tronco di cono sfera

33

Volumi e superfici delle principali figure solide


α

S r

r l

segmento sferico ad 1 base segmento sferico a 2 basi spicchio sferico

10 teorema di Guldino 20 teorema di Guldino

la superficie generata da una linea (poligono) in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua lunghezza (perimetro)

il volume generato da una superficie in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua superficie

solidi platonici o poliedri regolari I solidi platonici sono quei solidi che hanno le facce formate da poligoni regolari e tutte uguali tra loro. Sono solo cinque:

tetraedro 4 triangoli equilateri

esaedro(cubo) 6 quadrati

ottaedro 8 triangoli equilateri

dodecaedro 12 pentagoni regolari

icosaedro 20 triangoli equilateri

per tutti i poliedri vale la formula di Eulero : poliedro = solido dello spazio la cui frontiera è l’unione delle facce facce = figure piane che compongono il poliedro spigoli = segmenti di incontro delle facce vertici = punti di incontro degli spigoli

= superficie totale del poliedro = superficie di tutte le basi del poliedro = superficie laterale del poliedro

spigolo

vertice

faccia

34

Volumi delle principali figure solide


cubo parallelepipedo rettangolo prisma retto

piramide retta tronco di piramide cilindro

cono tronco di cono sfera

segmento sferico ad 1 base segmento sferico a 2 basi spicchio sferico

solidi platonici o poliedri regolari I solidi platonici sono quei solidi che hanno le facce formate da poligoni regolari e tutte uguali tra loro. Sono solo cinque:

tetraedro 4 triangoli equilateri

esaedro(cubo) 6 quadrati

ottaedro 8 triangoli equilateri

dodecaedro 12 pentagoni regolari

icosaedro 20 triangoli equilateri

per tutti i poliedri vale la formula di Eulero : facce = figure piane che compongono il poliedro spigoli = segmenti di incontro delle facce vertici = punti di incontro degli spigoli

spigolo

vertice

faccia

α

35

Geometria analitica in sintesi


punti

distanza tra due punti

punto medio tra due punti

baricentro di un triangolo di vertici

area di un triangolo di vertici

retta

forma implicita equazione della retta m = coefficiente angolare q = intersezione con l’asse delle y p = intersezione con l’asse delle x

e forma esplicita

forma segmentaria

equazione della retta passante per due punti

coefficiente angolare della retta passante per due punti

equazione della retta passante per un punto di coefficiente angolare m

condizioni di parallelismo tra due rette r ed s // oppure condizioni di perpendicolarità tra due rette r ed s ⊥

punto di intersezione tra due rette r ed s

retta in forma implicita

distanza di un punto da una retta r

retta in forma

esplicita

equazione delle bisettrici degli angoli formati da due rette r, s

tangente dell’angolo formato da due rette r ed s di coefficiente angolare mr ed ms

rette particolari

asse x asse y parallela asse x parallela asse y bisettrice I e III q. bisettrice II e IV q.

x

x

y y

n x

n

x

y y

x

y

x

r b1

b2 s

r

d P(x0,y0)

s r

P(x0,y0)

q

p m

1

A

C

B

y

36



parabola

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta data detta direttrice:

parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x

equazione completa

coordinate del vertice

coordinate del fuoco

equazione dell’asse

equazione della direttrice

equazione della retta tangente alla

parabola nel punto : formula di sdoppiamento

area del segmento parabolico

parabole particolari

b=0

c=0

b=0 c=0

b=0

c=0

b=0 c=0

significato grafico del coefficiente a e del coefficiente c

a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 se a=0 la parabola degenera in una retta

circonferenza

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso C detto centro:

equazione completa

coordinate del centro C

relazione del raggio r

equazione della circonferenza di centro e raggio r

equazione della retta tangente alla circonferenza nel punto

: formula di sdoppiamento

equazione dell’asse radicale di due circonferenze

C(α,β)

r P

c

c c c

F

d

P

F

d

P

37



O(α,β)

X

Y y

x

circonferenze particolari

se la circonferenza si riduce al punto origine degli assi cartesiani posizioni reciproche di due circonferenze

esterne

tangenti esterne

secanti

tangenti interne

interne

concentriche

ellisse

L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante:

ellisse con i fuochi sull’asse x ellisse con i fuochi sull’asse y

2a lunghezza asse maggiore 2b

2b lunghezza asse minore 2a

2c distanza focale 2c

equazione canonica

relazione tra i parametri a, b, c

coordinate dei fuochi

eccentricità

equazione della retta tangente all’ellisse nel punto :

formula di sdoppiamento

ellisse traslata

l’ellisse si dice traslata se gli assi del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani coordinate del centro

dell’ellisse

equazione dell’ellisse riferita al sistema XOY

F1

F2

P

F1 F2

P

r R

C1 C2

.

38



iperbole

L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la differenza in valore assoluto delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante:

iperbole con i fuochi sull’asse x iperbole con i fuochi sull’asse y

2a lunghezza asse trasverso 2b

2b lunghezza asse non trasverso 2a

2c distanza focale 2c

equazione canonica oppure

relazione tra i parametri a, b, c


equazione degli asintoti

eccentricità

equazione della retta tangente

all’iperbole nel punto : formula di sdoppiamento

iperbole equilatera: a = b

equazione

relazione tra a, c


equazioni asintoti

k>0

iperbole equilatera ruotata di

k<0

equazione


iperbole equilatera ruotata e traslata o funzione omografica

equazione

coordinate di O’

equazioni asintoti

O’

x

y

F2

F1

F2

F1

F2

F1

P

F1 F2

P

39



condizione di appartenenza di un punto ad una retta r o ad una conica

per stabilire se un dato punto appartiene ad una retta r oppure ad una conica :

• sostituire le coordinate di in r o in • se si ottiene un’identità, il punto P appartiene alla retta

o alla conica

posizione di una retta rispetto ad una conica

retta secante retta tangente retta esterna

per stabilire se una retta è secante, tangente o esterna ad una conica bisogna:

• ricavare la y dell’equazione della retta e sostituirla nell’equazione della conica • si ottiene un’equazione di II grado e se ne calcola il

se

ricerca dell’equazione di una retta tangente ad una conica

da un punto esterno parallela ad una retta di coefficiente angolare m

• si scrive l’equazione del fascio di rette proprio di centro :

• si ricava la y dall’equazione del fascio di rette

• si scrive l’equazione del fascio di rette improprio con assegnato:

• si ricava la y dall’equazione del fascio di rette

• si sostituisce la y trovata nell’equazione della conica • si sostituisce la y trovata nell’equazione della conica

• si ottiene un’equazione di II grado in x • si ottiene un’equazione di II grado in x

• si ricava il e lo si impone uguale a 0: ottenendo una equazione di II grado nell’incognita

• si ricava il e lo si impone uguale a 0: ottenendo una equazione nell’incognita

• si risolve l’equazione in ottenendo ed • si risolve l’equazione in ottenendo e

• si sostituiscono i valori ed nell’equazione del fascio ottenendo le equazioni delle rette tangenti

• si sostituiscono i valori e nell’equazione del fascio ottenendo le equazioni delle rette tangenti

iperbole traslata

l’iperbole si dice traslata se gli assi del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani

coordinate del centro dell’iperbole

equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse X riferita al sistema XOY

γ

γ

γ

y Y

X

x

O(α,β)

40

Geometria analitica: assi e punti


sistema di assi cartesiani monometrico ortogonale

• origine degli assi cartesiani • asse delle ascisse • : asse delle ordinate

• O(0,0): origine degli assi cartesiani • : punto di ascissa e ordinata • : punto di ascissa e ordinata • : punto di ascissa e ordinata • : punto simmetrico di rispetto all’asse • : punto simmetrico di rispetto ad • : punto simmetrico di rispetto all’asse

distanza tra due punti

la distanza tra due punti A e B è uguale alla lunghezza del segmento AB. La distanza AB considerata nel triangolo rettangolo ABC rappresenta l’ipotenusa, applicando il teorema di Pitagora si ha:

punto medio di due punti

il punto medio è un punto del segmento AB equidistante dagli estremi del segmento stesso cioè AM = MB Le sue coordinate sono:

inversamente: note le coordinate di un estremo e del punto medio, le coordinate del secondo estremo sono:

il punto B si dice il simmetrico di A rispetto ad M e viceversa A si dice il simmetrico di B rispetto ad M

baricentro di un triangolo di vertici

il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle mediane. Le sue coordinate sono:

inversamente: note le coordinate di due vertici del triangolo e del suo baricentro, le coordinate del terzo vertice sono:

41

Geometria analitica: assi e punti


A

B

C

area di un triangolo

determinante l’area del triangolo di vertici è uguale alla metà del valore assoluto del determinante della matrice dei punti A, B, C

metodo geometrico

per calcolare l’area del triangolo ABC • si calcola l’area del rettangolo ADEF circoscritto al

triangolo ABC • si sottraggono dall’area del rettangolo, le aree dei tre

triangoli rettangoli ADB, BEC, CFA formati per costruzione:

formule di geometria piana

formula classica:

triangolo rettangolo:

formula di Erone:

con p il semiperimetro:

allineamento di tre punti

per verificare se tre punti A,B,C sono allineati si può:

1. calcolare l’area del triangolo di vertici A,B,C 2. se l’area è uguale a zero i punti sono allineati

oppure: 1. calcolare le distanze AB, BC, AC 2. se AB + BC = AC i punti sono allineati

per stabilire se un triangolo è rettangolo basta verificare che le lunghezze dei lati soddisfano il teorema di Pitagora, cioè che:

A

B

a

b

c

C

h

A

B

C E F

D yA

yB

yC

xA xB

xC

+ + +

42

Geometria analitica: la retta


equazione della retta

forma implicita

forma esplicita

forma segmentaria assioma: la retta è costituita da infiniti punti del piano

nell’equazione della retta r

in forma esplicita: • m è detto coefficiente angolare • q è il punto di intersezione tra la retta e l’asse y

in forma segmentaria: • p è il punto di intersezione tra la retta e l’asse x • q è il punto di intersezione tra la retta e l’asse y

significato geometrico di m e di q

il coefficiente angolare m è l’ordinata del punto che ha distanza di 1 unità dal punto di intersezione di r con l’asse x

rette particolari

equazione asse x

equazione asse y

equazione retta parallela all’asse x

equazione retta parallela all’asse y

equazione della bisettrice del I e III

quadrante

equazione della bisettrice del II e IV

quadrante

Per disegnare una retta basta trovare due punti e congiungerli. Le coordinate di un punto si trovano assegnando alla un valore a piacere e calcolando la corrispondente .

assegnata la retta x y 0 -1 1 2

-1 1

2

x

y=-x

y

x

y=x y

y

n x

x=n

n

x

y=n y

y

x

y

x

r 1

m

x

y

q

m > 0

p 1

m

r

x

q

y

p

q r

p

y

x

m < 0

y

x

43



ricerca dell’equazione di una retta

equazione della retta passante per due punti

equazione della retta

noto un punto ed il coefficiente angolare m equazione del fascio di rette

coefficiente angolare della retta

passante per due punti

per trovare l’equazione di una retta passante per due punti si può anche: • calcolare il coefficiente angolare con la formula precedente • utilizzare la formula dell’equazione del fascio di rette sostituendo ad m il valore ed a le coordinate di

A o di B

condizione di parallelismo e perpendicolarità tra due rette

oppure

due rette parallele hanno i coefficienti angolari uguali

due rette perpendicolari hanno i coefficienti angolari antireciproci

punto e retta ricerca del punto di intersezione di due rette non parallele

• si mettono a sistema le equazioni delle due rette

• le soluzioni del sistema rappresentano le coordinate del punto di intersezione

condizione di appartenenza di un punto ad una retta

per verificare se un punto appartiene ad una retta r: • si sostituiscono le coordinate del punto alla x

e alla y nell’equazione della retta • si sviluppano i calcoli • se si ottiene una identità, il punto appartiene alla retta

distanza di un punto da una retta r

formula con l’equazione della

retta in forma implicita

formula con l’equazione della

retta in forma esplicita

r P0

P0

r

x0

y0

r s

r s r s

44



distanza tra due rette parallele r ed s

per trovare la distanza di due rette parallele : • si ricavano le coordinate di un punto qualsiasi

appartenente ad una della due rette • si applica la formula della distanza del punto trovato

dall’altra retta

equazione delle bisettrici degli angoli formati da due rette r ed s (non parallele)

note le equazioni delle rette r ed s in forma implicita r : ed s:

qualunque siano gli angoli formati dalle due rette, le bisettrici sono sempre perpendicolari tra loro

ricorda che la bisettrice di un angolo è definita come l’insieme dei punti equidistanti dai lati. Sfruttando la definizione si può trovare l’equazione delle bisettrici ponendo . Calcolando le distanze e sviluppando i calcoli si ottengono le equazioni delle bisettrici.

equazione dell’asse di un segmento AB

noti : • si calcola il punto medio del segmento AB • si calcola il coefficiente angolare del segmento AB • si ricava il coefficiente angolare dell’asse (è perpendicolare

ad AB) • nell’equazione del fascio , si sostituisce

ad m il valore e alle coordinate quelle del punto medio ottenendo l’equazione dell’asse

ricorda che l’asse di un segmento è definito come il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi. Sfruttando la definizione si può trovare l’equazione dell’asse ponendo . Calcolando le distanze e sviluppando i calcoli si ottiene l’equazione dell’asse del segmento

allineamento di tre punti A, B, C

per verificare se tre punti A, B, C sono allineati si può: • ricavare ed , e verificare che • trovare l’equazione della retta passante per A e C e

verificare che B appartiene alla retta • calcolare l’area del triangolo di vertici ABC e verificare che

è uguale a zero • trovare le equazioni delle rette passanti per A e B e per A e

C, e verificare che queste sono uguali • trovare l’equazione della retta passante per A e C e

verificare che la distanza di B da tale retta è zero • verificare che la somma delle distanze AB e BC è uguale

alla distanza AC cioè AB + BC = AC

A

B C

P

A

B

P

M

r

P

r s

b1

r P0

s

s

B

A

b2

b

45



fasci di rette Un fascio di rette è l’insieme delle rette aventi in comune un punto oppure una direzione

tipi di fasci fascio proprio fascio improprio

è l’insieme delle rette del piano passanti per uno stesso punto detto centro del fascio

è l’insieme delle rette del piano aventi una direzione comune, cioè con lo stesso coefficiente angolare

come si presenta l’equazione di un fascio

l’equazione è quella di una retta (generalmente in forma implicita) nella quale compare, oltre alle incognite ed , anche un’altra lettera ( ) detta parametro

Esempio:

classificazione di un fascio di rette data l’equazione per classificare il tipo di fascio:

• si calcola il coefficiente angolare • se contiene il parametro il fascio è proprio • se il parametro si semplifica, il fascio è improprio

esempio per un fascio di rette proprio esempio per un fascio di rette improprio

rette generatrici di un fascio

• le rette generatrici di un fascio sono due e sono quelle che hanno dato origine al fascio • nel caso del fascio proprio le rette generatrici sono incidenti • nel caso del fascio improprio le rette generatrici sono parallele

ricerca delle equazioni delle rette generatrici di un fascio • dato il fascio di rette, si sviluppano i calcoli

• si raccoglie a fattor comune il parametro

• le due parti così ottenute sono le equazioni delle rette generatrici del fascio retta all’infinito retta per k=0

ricerca del centro del fascio proprio di rette

• si mettono a sistema le equazioni delle due rette generatrici o di due generiche rette del fascio

• la soluzione del sistema rappresenta le coordinate del centro del fascio

come scrivere l’equazione di un fascio di rette

equazione del fascio di rette date le due rette generatrici r ed s

equazione del fascio di rette proprio noto il centro

equazione del fascio di rette improprio noto il coefficiente angolare m

C

46

Logaritmi


definizione

base argomento logaritmo in

base di

il logaritmo di un numero è l’esponente da dare alla base per ottenere l’argomento cioè:

esempio: perché

teoremi principali

teorema del prodotto

teorema del rapporto

teorema della potenza

proprietà derivate dai teoremi principali

potenza ad esponente frazionario

invertire la base

invertire l’argomento

invertire la base con l’argomento

scambiare di base ed argomento

cambio di base

trasformare un numero n in logaritmo

trasformare un numero n in potenza

casi particolari

con il simbolo si indica il logaritmo in base e dove è il numero di Nepero

sulle calcolatrici scientifiche sono presenti i tasti log e ln che consentono di calcolare i logaritmi in base 10 e

base “e”. Per calcolare un logaritmo in una base diversa è necessario utilizzare la formula del cambio di base

grafici delle funzioni logaritmo ed esponenziale

logaritmo con a > 1

logaritmo con 0 < a < 1

esponenziale con a > 1

esponenziale con 0 < a < 1

47

Angoli: misura e conversioni


rappresentazione definizione conversioni

Il grado sessagesimale è la 360a parte dell’angolo giro

da gradi sessagesimali a radianti

nelle calcolatrici il sistema di misura è denotato con il simbolo DEG o D Es.: perché

Il radiante è l’angolo il cui arco è uguale al raggio un radiante vale circa 57° 17′ 44′′

da radianti a gradi sessagesimali

• sostituire a • semplificare

nelle calcolatrici il sistema di misura è denotato con il simbolo RAD o R Es.: perché

Il grado centesimale è la 400a parte dell’angolo giro

da gradi centesimali a sessagesimali

nelle calcolatrici il sistema di misura è denotato con il simbolo GRAD o G Es.: perché

conversione da gradi sessagesimali decimali a gradi (°) primi (‘) e secondi (‘’)

data la misura sotto forma di gradi decimali, si separa la parte intera dalla parte decimale

si moltiplica la parte decimale per 60

la misura così ottenuta si separa ancora in parte intera e parte decimale, la parte intera rappresenta i primi

la parte decimale si moltiplica ancora per 60, il risultato rappresenta i secondi

si ottiene così la conversione richiesta

conversione da gradi (°) primi (‘) e secondi (‘’) di grado a gradi sessagesimali decimali

data la misura sotto forma di gradi, primi e secondi, si isolano i secondi e si dividono per 60

il valore ottenuto si somma ai primi

il valore ottenuto si divide ancora per 60

la misura ottenuta si somma ai gradi

si ottiene così la conversione richiesta

0c 400c

200c

300c

100c

0

0o 360o

180o

270o

90o

48

Funzioni goniometriche: definizioni e proprietà


seno

valori

segno e crescenza nei quadranti

quadrante segno crescenza

0° 0 1° + 90° 2° +

180° 0 3° 270° 4°

coseno

valori


quadrante segno crescenza 0° 1° +

90° 0 2° 180° 3° 270° 0 4° +

tangente

valori



0° 0 1° + 90° 2°

180° 0 3° + 270° 4°

cotangente

valori



0° 1° + 90° 0 2°

180° 3° + 270° 0 4°

secante cosecante

O

P

α

E

O

P

α

S

O

P α

B C

O

P

α

T

A

O

K P

α

O H

P 1

α 0°

90°

270°

360° 180°

49

Funzioni goniometriche e relazioni fondamentali


grafici di funzioni goniometriche

seno coseno tangente cotangente

definizione delle funzioni goniometriche sulla circonferenza goniometrica di centro O e raggio 1

seno α

tangente α

secante α

coseno α

cotangente α

cosecante α

le cinque relazioni fondamentali

relazioni che esprimono una funzione goniometrica rispetto alle altre

in funzione di … in funzione di … in funzione di … in funzione di …

il segno o – va preso a seconda del segno della funzione e nel quadrante in cui si trova l’angolo

O

P

α

E

O

P α

B C

O

P

α K

O

P

α S

O

P

α

T

A

O

P

α H

50

Le cinque relazioni fondamentali


dimostrazioni

• si considera il triangolo rettangolo POH • si applica il teorema di Pitagora: • dove:

• si considerano i triangoli rettangoli TOA e POH • essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( α e

l’angolo retto) dunque hanno i lati in proporzione:

• dove: • si ottiene:

• si considerano i triangoli rettangoli CBO e PKO • essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( 90°− α

e l’angolo retto) dunque hanno i lati in proporzione:


• si considerano i triangoli rettangoli POS e POH • essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( α e

l’angolo retto) dunque hanno i lati in proporzione:


• si considerano i triangoli rettangoli PEO e PKO • essi sono simili perché hanno due angoli uguali (90°− α

e l’angolo retto) dunque hanno i lati in proporzione:


51

Tabella dei valori di funzioni goniometriche di angoli ricorrenti


gradi radianti seno coseno tangente cotangente

0° 0 0 1 0 ∞

9° 20π

3 5 5 5

4+ − −

45553 −++

4 10 2 5

5 1− +

−

5 1

4 10 2 5

−

− +

15° π12

6 24−

6 2

4+

2 3− 2 3+

18° π10

5 14−

10 2 5

4+

25 10 5

5−

5 2 5+

22°30 π8

2 22−

2 2

2+

2 1− 2 1+

30° 6π

21

23

33

3

36° π5

10 2 54−

5 14+

5 2 5− 25 10 5

5+

45° 4π

22

22

1 1

54° 103π

5 14+

10 2 5

4−

25 10 5

5+

5 2 5−

60° 3π

23

21

3 33

67°30 38π

2 2

2+

2 2

2−

2 1+ 2 1−

72° 25π

10 2 5

4+

5 14−

5 2 5+ 25 10 5

5−

75° 512π

6 2

4+

6 2

4−

2 3+ 2 3−

81° 920π

3 5 5 5

4+ + −

3 5 5 5

4+ − −

5 1

4 10 2 5

−

− +

4 10 2 55 1

− +−

90° 2π 1 0 ∞ 0

180° π 0 1− 0 ∞

270° 23π 1− 0 ∞ 0

360° 2π

0 1 0 ∞

52

Angoli associati


angoli supplementari angoli complementari secondo quadrante primo quadrante

angoli che differiscono di un angolo piatto angoli che differiscono di un angolo retto

terzo quadrante secondo quadrante

angoli esplementari angoli la cui somma è 270°

quarto quadrante terzo quadrante

angoli opposti angoli che differiscono di 270°

quarto quadrante quarto quadrante

O α 0°

90°

270°

360° 180°

270°+ α

α α

α

90°- α 90°+ α

α

270°- α

α

O α 0°

90°

270°

360° 180°

- α

α α α

180°- α

180°+ α

α

360°- α

53

Formule goniometriche


addizione e sottrazione

duplicazione

triplicazione

bisezione

parametriche o razionali ( )

prostaferesi

Werner

54

Teoremi sui triangoli rettangoli


relazione tra angolo , cateti e ipotenusa

dalla definizione di seno si ha:

dalla similitudine dei triangoli rettangoli OHP e OCB si ha:

In generale in ogni triangolo rettangolo si ha:

Analogamente in ogni triangolo rettangolo si ha per il coseno:

esempio

riepilogo relazioni

altri esempi

e

e

e

e

e

e

e

C

A

γ

B

β

a

b

c

B

O α

C

a

b

c

P

H O C α

B

55

Teoremi sui triangoli qualsiasi


A B

C

α β

γ b a

c

A B

C

α β

γ b a

c

A B

C

α β

γ b a

c

teorema della corda la misura di una corda è uguale al prodotto del diametro 2r

per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda:

oppure

corollario

per il teorema della corda, detto r il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo, il rapporto tra un lato (inteso come corda) e il seno dell’angolo opposto è uguale a 2r:

teorema dei seni o di Eulero in ogni triangolo ogni lato è proporzionale al seno

dell’angolo opposto:

teorema delle proiezioni

in ogni triangolo la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti di quelle degli altri due per il coseno dell’angolo che ogni lato forma con il primo:

teorema del coseno o di Carnot

in ogni triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati, meno il doppio prodotto delle misure di questi due lati per il coseno dell’angolo tra essi compreso.

area di un triangolo

L’area di un triangolo è uguale al prodotto di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso diviso due

B

A α

β

A B

C

α β

γ b a

c

B A

α

C

β

γ

56

Formule di Trigonometria


A B

C

α β γ

b a

c

A B

C

b a

c

α

y = mx+q

A B

C

b a

c α β

formule di Briggs

dato un triangolo qualsiasi di cui siano note le misure dei lati e il semiperimetro p, i seni delle semiampiezze degli angoli sono espresse dalle seguenti relazioni:

formula di Erone

l’area di un triangolo qualsiasi si esprime in funzione delle lunghezze dei lati a,b,c e del semiperimetro p come:

teorema delle tangenti o di Nepero

applicazioni della trigonometria alla geometria analitica

significato trigonometrico del coefficiente angolare m di una retta di equazione y=mx+q

tangente dell’angolo formato da due rette r ed s di coefficiente angolare mr ed ms

α s r

57

Formule di Trigonometria


applicazioni della trigonometria alla geometria

raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo

oppure = area

raggio della circonferenza inscritta in un triangolo

oppure = area p = semiperimetro

raggio delle circonferenze ex-inscritte (cioè tangente a un suo lato e ai prolungamenti degli altri due)

oppure

oppure

oppure = area p = semiperimetro

mediane di un triangolo

bisettrici di un triangolo

area di un parallelogramma area di un quadrilatero

B A

C

b

c

a

α β

ra

γ

A R

O

a

b

c

α

β

γ

C

A B

C

b a

c

r

α β

γ

B

A B α β

γ b a

c

M

ma

C

C

A B α/2 β

a

c

b D

ba

γ

A B

C

α d1

d2

D

A B

C

α

b

a

D

58

Elementi di topologia della retta


insieme

l’insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi, “per insieme si intende un raggruppamento, concepito come un tutto, di oggetti ben distinti della nostra intuizione o pensiero”

intervallo un intervallo è l’insieme di tutti i valori compresi tra due estremi (finiti o infiniti)

oppure oppure

per approfondimenti sugli intervalli vai alla scheda Intervalli: classificazione e rappresentazione

intorno completo di un punto l’intorno completo di un punto è un intervallo che contiene il punto e può essere aperto o chiuso

intorno circolare di un punto l’intorno circolare di un punto è un intervallo di centro il punto e può essere aperto o chiuso

minimo di un insieme il minimo m di un insieme è l’elemento appartenente all’insieme tale che sia minore o uguale a tutti gli altri elementi dell’insieme

dato l’insieme

dato l’insieme

massimo di un insieme il massimo M di un insieme è l’elemento appartenente all’insieme tale che sia maggiore o uguale a tutti gli altri elementi dell’insieme

dato l’insieme

dato l’insieme

minorante di un insieme il minorante di un insieme è un elemento minore o uguale a tutti gli elementi dell’insieme

dato l’insieme , 1 è un minorante mentre l’intervallo è l’insieme di tutti i minoranti

maggiorante di un insieme il maggiorante di un insieme è un elemento maggiore o uguale a tutti gli elementi dell’insieme

dato l’insieme , 5 è un maggiorante mentre l’intervallo è l’insieme di tutti i maggioranti

2 5

2 5

2 5

2 5

3 7 5

4 10 5

59

Elementi di topologia della retta


estremo inferiore di un insieme l’estremo inferiore inf I di un insieme I è il massimo dell’insieme dei minoranti di

dato l’insieme infatti l’insieme dei minoranti di è ed il massimo è proprio 2

estremo superiore di un insieme l’estremo superiore sup I di un insieme I è il minimo dell’insieme dei maggioranti di

dato l’insieme infatti l’insieme dei maggioranti di è ed il minimo è proprio 5

esempio

dato l’insieme che si può anche scrivere

• 2 è il minimo • è l’insieme

dei minoranti

• 2 è l’estremo inferiore

• 5 NON è il massimo • è l’insieme

dei maggioranti • 5 è l’estremo superiore

punto di accumulazione per un insieme

un punto si dice di accumulazione per un insieme se in ogni intorno del punto cade almeno un elemento dell’insieme distinto dal punto stesso

fai attenzione che l’appartenenza o meno del punto all’insieme non è legata all’essere o meno di accumulazione per l’insieme stesso come vedremo meglio nei successivi quattro esempi

esempi

ed è di accumulazione sia ed

4 appartiene ad I ed è di accumulazione

ed è di accumulazione sia ed

2 non appartiene ad I ed è di accumulazione

e non è di accumulazione sia ed

1 non appartiene ad I e non è di accumulazione

e non è di accumulazione sia ed

1 appartiene ad I e non è di accumulazione

un punto che appartiene ad un insieme ma non è di accumulazione per l’insieme stesso si dice punto isolato

6 1 2

2 6 1

2 6

2 6 4

2 5

insieme dei minoranti

insieme dei maggioranti

60

Funzione: definizione e tipi


definizione Siano dati due insiemi, il primo detto Dominio ed il secondo Codominio.

Una funzione è una legge che associa ad ogni elemento del dominio uno ed un solo elemento del codominio. Una funzione si indica con dove è un generico elemento del dominio ed (o ) appartiene al codominio e si chiama immagine di .

tipi di funzione

esistono quattro tipi di funzione: semplice, iniettiva, suriettiva e biunivoca (o biettiva)

è una funzione semplice

né iniettiva né suriettiva fig.1 è una funzione iniettiva

non suriettiva fig.2 è una funzione suriettiva

non iniettiva fig.3

è una funzione biunivoca fig.4 non è una funzione è una corrispondenza

fig.5 non è una funzione è una corrispondenza

fig.6

• una funzione si dice semplice quando soddisfa solo definizione di funzione (fig.1)

• una funzione si dice iniettiva quando ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio (fig.2)

• una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio (fig.3)

• una funzione si dice biunivoca ( o biettiva) quando è sia iniettiva che suriettiva, cioè quando ad ogni elemento del dominio corrisponde un solo elemento del codominio e viceversa (fig.4)

• in tutti gli altri casi la legge non è una funzione e viene detta corrispondenza (fig.5 e fig.6)

restrizione e funzione inversa Si dice restrizione di un insieme un suo qualunque sottoinsieme proprio. Ad esempio in fig.1 è una restrizione di

Si chiama funzione inversa della funzione la funzione che fa corrispondere ad ogni elemento del codominio uno ed un solo elemento del dominio, in altre parole va dal codominio al dominio

Una funzione è invertibile se è biunivoca (fig.4). Una funzione iniettiva si può invertire se si effettua una opportuna restrizione del codominio, ad esempio la funzione in fig. 2 si può invertire se si effettua una restrizione sul codominio all’intervallo .

Le corrispondenze delle figure 5 e 6 pur non essendo funzioni si possono invertire e le loro inverse sono funzioni

a

b

c

d

1

2

3

D C

a

c

d

1 2 3 4 5

D C

b

a

b

c

d

1

2

3

4

D C

a

b

c

d

2

3

D C

1 a

b

c

d

1 2 3 4 5

D C

a

b

c

d

1

3 4 5

D C

2

61

Funzione: definizione e tipi


funzioni numeriche • una generica funzione si indica con

è detta variabile indipendente ed appartiene al Dominio è detta variabile dipendente ed appartiene al Codominio

• se ed sono numeri reali allora la funzione si chiama funzione reale di una variabile reale

• in tutte le funzioni reali ad ogni coppia di numeri associati corrisponde un punto nel piano cartesiano, l’insieme dei punti genera una curva che prende il nome di grafico della funzione

grafico di una funzione reale consideriamo la funzione radice cubica

x 0 0

-1 -1

1 1

-8 -2

8 2

rappresentazione insiemistica coppie di numeri associati grafico della funzione

tipi di funzione

è una funzione semplice

né iniettiva né suriettiva fig.1 è una funzione iniettiva

non suriettiva fig.2 è una funzione suriettiva

non iniettiva fig.3

è una funzione biunivoca fig.4 non è una funzione è una corrispondenza

fig.5 non è una funzione è una corrispondenza

fig.6

• fig.1: è una funzione semplice, non iniettiva perché ad elementi distinti del dominio corrisponde lo stesso

valore, non suriettiva perché la parte negativa del codominio (segnata in nero) non corrisponde ad alcun valore

• fig.2: è una funzione iniettiva ma non suriettiva perché la parte negativa del codominio (segnata in nero) non corrisponde ad alcun valore

• fig.3: è una funzione suriettiva ma non iniettiva perché ad elementi distinti del dominio corrisponde lo stesso valore

• fig.4: è una funzione biunivoca perché è sia iniettiva sia suriettiva • fig. 5 e fig.6: non sono funzioni perché ad ogni elemento del dominio corrispondono due valori del codominio

Codominio

Dominio

Codominio

Dominio

Codominio

Dominio

Codominio

Dominio

Codominio

Dominio

Codominio

Dominio

Dominio

Codominio

0

1

0 1

D C

62

Grafici di funzioni elementari


potenza con n pari radice con n pari seno arcoseno

potenza con n dispari radice con n dispari coseno arcocoseno

logaritmo con a>1 esponenziale con a>1 tangente arcotangente

logaritmo con 0<a<1 esponenziale con 0<a<1 cotangente arcocotangente

63

Grafici di funzioni: trasformazioni


Noto il grafico di una funzione in alcuni casi è possibile

disegnare il grafico di una nuova funzione che dipende da quella nota secondo una semplice relazione assegnata.

Di seguito si riportano i casi più comuni funzione iniziale traslazione verso l’alto di unità dilatazione sull’asse y di un fattore

ribaltamento rispetto all’asse x ribaltamento della parte negativa rispetto all’asse delle x traslazione verso sinistra di unità contrazione sull’asse x di un fattore

ribaltamento rispetto all’asse y riflessione rispetto all’asse delle y traslazione verso il basso di unità contrazione sull’asse y di un fattore

ribaltamento rispetto all’asse x e all’asse y ribaltamento della parte negativa rispetto all’asse

x e successiva riflessione rispetto all’asse delle y traslazione verso destra di unità dilatazione sull’asse x di un fattore

64

Dominio di funzioni


funzione condizione

n pari

α frazione positiva o irrazionale positivo

α frazione negativa o irrazionale negativo

• le funzioni che non compaiono in questa tabella (ad esclusione di quelle iperboliche) sono definite

• se sono necessarie più condizioni esse vanno messe a sistema

65

Definizione di limite di una funzione


altri casi: definizioni MISTE

premesse

considerata una funzione

• sia D il suo dominio

• sia un punto di accumulazione per D

si dice che è il limite per che tende a di e si scrive se:

definizione insiemistica

definizione algebrica

definizione mista

l

l

x0

xo x

f(x) l

xo+δ xo―δ

l+ε

l―ε

xo x

f(x) l

Jl

Ix0

x0

66

Tutte le definizioni di limite di una funzione: insiemistica, algebrica, mista


Data una funzione : sia D il suo dominio e sia un punto di accumulazione per D

l

l

x0

x0

xo

l

67

Algebra e calcolo di limiti


algebra dei limiti

il segno davanti a nei risultati va stabilito in base alla regola dei segni

forme indeterminate

calcolo di limiti di funzioni algebriche che si presentano in forma indeterminata

• mettere in evidenza il monomio di grado massimo • ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

• dividere numeratore e denominatore per il termine di grado

massimo • semplificare dove è possibile • ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

• scomporre numeratore e denominatore • semplificare • ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

ricordando che: • moltiplicare e dividere per • sviluppare i calcoli • ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

ricordando che:

• moltiplicare e dividere per • sviluppare i calcoli • ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

regola pratica per risolvere

• sostituire solo nel monomio di grado massimo

• tenere conto dei segni

regola pratica per risolvere

:

• sia è il grado del polinomio al numeratore

• sia il grado del polinomio a denominatore

• se tenendo conto dei segni

• se

• se

68

Limiti notevoli


funzioni goniometriche

funzioni esponenziali e logaritmiche

ad ogni limite notevole si possono applicare le seguenti proprietà. a titolo di esempio si riportano applicate al primo limite notevole delle funzioni goniometriche

limite iniziale se si inverte il testo il risultato si inverte

se ad x si sostituisce n·x il risultato resta lo stesso se si inverte il testo il

risultato si inverte

frazioni equivalenti per il calcolo dei limiti notevoli può essere utile ricordare alcune operazioni possibili con le frazioni

69

Continuità – Monotonia, massimi e minimi– Concavità, flessi


definizione di funzione continua in un punto

• data una funzione ed un punto appartenente al dominio D della funzione

• la funzione si dice continua nel punto se: • cioè se:

• diversamente il punto si dice punto di discontinuità per • si osservi che in un punto isolato la funzione è continua

classificazione dei punti di discontinuità per classificare un punto di discontinuità si calcolano separatamente il limite da sinistra ed il limite da destra

a seconda dei valori di ed i punti si classificano in tre specie:

si dice di prima specie se: si dice di seconda specie se: si dice di terza specie o eliminabile se

con oppure con si dice salto della funzione se almeno uno dei due limiti è uguale a si elimina imponendo quando x =

monotonia: crescenza e decrescenza di una funzione

si dice crescente in se:

si dice decrescente in se:

massimi e minimi relativi di una funzione

è massimo relativo per la funzione y = f(x) se:

è minimo relativo per la funzione y = f(x) se:

concavità e flessi di una funzione

sia una funzione definita in e derivabile in , sia , sia t è la tangente ad in P0

è concava verso l’alto in se:

esiste un intorno di x0 tale che la funzione si trova al di sopra della retta tangente in tutto l’intorno

è concava verso il basso in se: esiste un intorno di x0 tale che la funzione si trova al di sotto della retta tangente in tutto

l’intorno

ha un punto di flesso in se la retta tangente attraversa la curva in P0 stesso

x0

t F

f(x)

x0 x

P0 f(xt)

xt Ix0

t f(x)

x0

f(xt)

Ix0 x

P0 t

xt

x0

f(x0)

f(x)

Ix0 x

m

x0

f(x0)

f(x)

Ix0 x

M

x1 x2

f(x1)

b a

f(x2)

f(x)

x1 x2

f(x1)

f(x2) f(x)

b a

xo

l1= l2

xo

xo

l1 l2

xo

f(x0) = l

f(x)

70

Rapporto incrementale – Derivata


definizione di rapporto incrementale di una funzione in un punto

• data una funzione ed un punto appartenente al dominio D della funzione

• si chiama rapporto incrementale della funzione nel punto il rapporto:

• si chiama incremento della variabile x

• si chiama incremento della funzione

il rapporto incrementale ha senso per ogni tale che appartiene al dominio D della funzione

definizione di derivata prima di una funzione in un punto

• data una funzione ed un punto del dominio D della funzione

• si definisce derivata prima di nel punto il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale di in :

se una funzione è derivabile in tutti i punti di un intervallo o del dominio si dice che è derivabile nell’intervallo o nel dominio e per indicare la derivata prima si usano equivalentemente i simboli: , ,

definizione di derivata prima sinistra e destra di una funzione in un punto

si definisce derivata prima sinistra di nel punto il limite sinistro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale di in :

si definisce derivata prima destra di nel punto il limite destro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale di in :

significato geometrico di derivata

la derivata prima di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto

. Cioè:

per trovare l’equazione della retta tangente ad una funzione nel punto :

• si calcola la derivata prima della funzione nel punto ottenendo

• nell’equazione del fascio di rette si sostituisce con ed con

• si ottiene così l’equazione della retta tangente:

x0

P0

t

f(x0)

xo

f(x0)

xo+h

f(x0+h) f(x)

Δx

Δy

71

Derivate


derivate delle funzioni elementari

dove k è una costante

regole di derivazione

Prodotto di una costante k per una funzione

somma di due o più funzioni

prodotto di due funzioni

prodotto di tre funzioni

rapporto di due funzioni

funzione composta

funzione elevata ad una funzione

72

Punti di massimo e minimo relativi ed assoluti - Punti angolosi e Punti cuspidali


x

f(x)

f(b)

b a

f(a)

massimo assoluto

minimo assoluto

ricerca diretta dei punti di massimo e minimo relativo di una funzione

• si calcola la derivata prima di

• si pone

• si risolve l’equazione ottenendo le soluzioni

• si analizzano singolarmente i punti trovati

• se:

minimo relativo

massimo relativo

si calcola

• se:

è un punto di flesso ascendente

è un punto di flesso discendente

si calcola

• se:

minimo relativo

massimo relativo

si calcola ………. e così via

massimi e minimi assoluti di una funzione

sia una funzione continua in e sia un punto di :

è un massimo assoluto se è il punto di ordinata maggiore in cioè se:

è un minimo assoluto se è il punto di ordinata minore in cioè se:

punti angolosi e punti cuspidali

si dice punto angoloso se: si dice punto cuspidale se:

con almeno uno dei due limiti finito o viceversa

I punti angolosi e i punti cuspidali possono essere punti di massimo o di minimo per la funzione ma non possono essere individuati con i metodi tradizionali per la ricerca dei massimi e dei minimi poiché in essi la funzione è continua ma non derivabile. Per essi va fatta una specifica indagine basata sulla studio della crescenza e decrescenza della funzione a sinistra e a destra del punto angoloso o cuspidale.

x0

x0

x2

f(x2)

massimo assoluto

b minimo assoluto

f(b)

f(a)

massimo relativo

x1 a

f(x1)

73

Integrali indefiniti


immediati immediati generalizzati

dove k è una costante ---

in generale

dove F è la primitiva di f

regole di integrazione

prodotto di una costante k per una funzione

somma di due o più funzioni

metodo di integrazione per parti

74

Studio del grafico di una funzione


1 ricerca del dominio (o campo di esistenza) della funzione

n pari

Le funzioni che non compaiono in questa tabella (ad esclusione di quelle iperboliche) sono definite

2 studio del segno della funzione

• si pone la funzione maggiore di zero • si risolve la disequazione • si individuano le regioni di piano dove la funzione è

positiva (+) o negativa ( ) all’interno del dominio • si cancellano le regioni di piano dove la funzione non

esiste

3 studio delle intersezioni della funzione con gli assi cartesiani

intersezioni con l’asse x o zeri della funzione:

• si pone la funzione uguale a zero, si risolve l’equazione • le soluzioni dell’equazione sono gli zeri della funzione

intersezione con l’asse y (solo se il dominio lo consente) :

• si sostituisce 0 alla x nella funzione • si svolgono i calcoli e si ottiene l’ordinata del punto di

intersezione con l’asse delle y

gli eventuali punti di intersezione con l’asse x (o zeri della funzione) si possono anche dedurre dall’osservazione del grafico del segno

4 studio delle eventuali simmetrie e periodicità di una funzione

funzione pari funzione dispari funzione periodica

• si sostituisce x con − x • se • la funzione è pari

• si sostituisce x con − x • se • la funzione è dispari

• si sostituisce x con • se • la funzione è periodica

lo studio delle simmetrie si effettua solo se il dominio e il segno sono a loro volta entrambi simmetrici

―

―

+ +

―

+ + +

75

Studio del grafico di una funzione


cresce decresce cresce

max min

+ + -

verso l’alto verso il basso

verso l’alto

flesso flesso

+ + -

xo

f(x)

n

f(x)

concavità

monotonia

5 asintoti di una funzione

asintoto verticale

dove si cerca: • nei punti di discontinuità della funzione • nei punti agli estremi del dominio di se sono finiti

e non appartenenti al dominio stesso

come si cerca:

asintoto orizzontale dove si cerca:

• a se il dominio lo consente

come si cerca:

• solo se l’asintoto orizzontale non esiste, si cerca l’asintoto obliquo

asintoto obliquo

dove si cerca: • a se il dominio lo consente e se non esiste già l’asintoto

orizzontale come si cerca:

6 studio della monotonia di e ricerca dei massimi e minimi relativi

• si calcola la derivata prima di • si risolve la disequazione • si individuano le regioni di piano dove: è crescente

è decrescente • osservando il grafico della crescenza e decrescenza si

individuano i punti di massimo e di minimo. Essi vanno considerati solo se appartengono al dominio

7 studio della concavità e ricerca dei flessi di una funzione

• si calcola la derivata seconda di • si risolve la disequazione • si individuano le regioni di piano dove: è concava verso l’alto

è concava verso il basso • osservando il grafico della concavità si possono individuare

i punti di flesso, essi vanno considerati solo se appartengono al dominio della funzione

Per ottenere una maggiore precisione nel disegno del grafico si possono calcolare le coordinate di alcuni suoi punti attribuendo valori arbitrari (appartenenti al dominio) alla x nel testo della funzione e calcolando le rispettive y

f(x)

76

Principali teoremi di Analisi


teoremi sui limiti

teorema di unicità del limite

Se una funzione in un punto è dotata di limite finito allora esso è unico

Dalla definizione di funzione, basta ricordare che ad ogni valore della x deve corrispondere uno ed un solo valore della y. Quindi, se per assurdo la funzione f(x) avesse nello stesso punto x0 più di un limite, essa non sarebbe più una funzione e ciò contraddice l’ipotesi del teorema

teorema della permanenza del segno

Se una funzione in un punto x0 è dotata di limite ≠ 0 allora esiste almeno un intorno I di x0 tale che per tutti i punti di I (escluso al più x0 ) i valori della funzione hanno lo stesso segno del limite

teorema del confronto detto anche dei “carabinieri”

Date tre funzioni f(x) , g(x), h(x): 1. se esiste un intorno I del punto x0 in cui g(x) è compresa tra f(x) e

h(x) in tutti i punti dell’intorno I escluso al più x0 stesso 2. se f(x) e h(x) tendono in un punto x0 allo stesso limite finito

allora anche g(x) avrà in x0 limite uguale ad

teoremi sulle funzioni continue

teorema di Weierstrass

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora è dotata di massimo e minimo (assoluti)

Osserva che un massimo (minimo) assoluto non deve necessariamente essere un massimo (minimo) relativo, vedi, ad esempio, il punto m sul grafico

teorema dei valori intermedi

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] allora assume tutti i valori compresi tra il suo minimo “m” ed il suo massimo “M”

In altre parole, il teorema afferma che ogni punto (k) dell’intervallo [m, M] è immagine di al-meno un punto (x1,…) dell’intervallo [a, b]

teorema degli zeri

Se una funzione f(x): 1. è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. assume valori di segno opposto in a e b cioè f(a) • f(b) < 0 allora esiste almeno un punto z interno all’intervallo ]a, b[ in cui la funzione si annulla cioè f(z)=0

f(a)

f(x)

b

z1 z2 a

m

M

b

k

f(x)

x1

m

M

a

f(x)

g(x)

x0

f(x)

h(x)

f(x)

x0 x1 x2

> 0

f(x1)>0

1

f(x) 2

f(b)

f(x2)>0

x0

b

a

77



teoremi sul calcolo differenziale

la derivabilità implica la continuità

Se una funzione è derivabile in un punto x0 allora la funzione è ivi anche continua

Si osservi che il teorema non si può invertire, infatti: nel punto angoloso x0 della figura la fun-zione è continua ma non derivabile in quanto la derivata sinistra è diversa dalla derivata destra

il teorema può essere utilizzato per calcolare la derivata di funzioni inverse. Si voglia ad esempio calcolare la derivata di in-versa della funzione

teorema sulla derivata della funzione inversa

Se una funzione è derivabile in x0 e la sua derivata è diversa da zero, allora anche la funzione inversa x = f-1(x0) è derivabile nel punto corrispondente y0 = f(x0) e si ha:

teorema di Rolle

Se una funzione f(x) è: 1. continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ 3. assume valori uguali agli estremi dell’intervallo cioè f(a)=f(b) allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo in cui la derivata prima si annulla cioè f ′(c)=0

teorema di Lagrange

Se una funzione f(x) è: 1. continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo tale che:

il teorema è detto degli incrementi finiti e si può enunciare anche dicendo: se le due funzioni verificano le ipotesi indica-te, in un opportuno punto x0 dell’intervallo ]a, b[ il rapporto tra le rispettive derivate in x0 è uguale al rapporto tra gli incrementi delle funzioni

teorema di Cauchy Se f(x) e g(x) sono funzioni: 1. continue nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. derivabili nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ 3. e inoltre g ‘(x) in ogni punto interno dell’intervallo ]a, b[ allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo tale che:

si osservi che: 1. il teorema si estende anche al caso in cui

e il imite si presenta nella forma indeterminata

2. il teorema, quando opportuno, può esse-re applicato più volte consecutivamente

teorema di de L’Hopital

Se f(x) e g(x) sono funzioni: 1. derivabili in un intorno I di x0 2. con derivate continue e g′(x)≠0 in detto intorno 3. il limite del loro rapporto si presenta nella forma

allora

f(x)

f(a)

a

A

B

b

f(b)

c

P

c1 a b

f(x)

x0

f(x)

c2

f(a)=f(b)

78



teorema sulla monotonia di una funzione in un intervallo

Se una funzione f(x) è continua in un intervallo I e derivabile nei pun-ti interni di I e se la derivata prima in I è positiva (negativa) allora la funzione f(x) è crescente (decrescente) nell’intervallo I

vale anche il teorema inverso cioè Se la funzione è crescente (decrescente) in un intervallo I allora la derivata prima in tale intervallo sarà positiva (negativa)

teorema sui massimi e minimi di una funzione (di Fermat)

Se una funzione f(x) ammette un massimo (minimo) in x0 allora la derivata prima in x0 è nulla cioè f ′(x0) = 0

Il teorema non si può invertire infatti i punti in cui la derivata prima è nulla, cioè f ′(x0)=0, detti punti stazionari , possono essere punti di massimo di minimo o di flesso orizzontale

teorema sulla concavità di una funzione in un intervallo

Se una funzione f(x) è derivabile due volte nei punti interni di un in-tervallo I e se la derivata seconda è positiva (negativa) allora la funzione è concava verso l’alto (il basso) nell’intervallo I

vale anche il teorema inverso cioè Se la funzione è concava verso l’alto (il basso) in un intervallo I allora la derivata seconda sarà positiva (negativa)

teorema sui flessi di una funzione Se una funzione f(x) è dotata di derivata prima e di derivata seconda continua in x0 e se tale punto è un flesso allora la derivata seconda è nulla in x0, cioè f ′′(x0)=0

Il teorema non si può invertire, basti pensare alla funzione y=x4 che nell’origine degli assi cartesiani ha derivata seconda uguale a 0: f ′′(x4)=12x2 che calcolata in 0 risulta nulla. In tale punto però non vi è un flesso, bensì un punto di mini-mo

teoremi sul calcolo integrale

teorema della media

Se una funzione f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b], allora esiste almeno un punto c appartenente all’intervallo [a, b] tale che:

dal teorema deriva la formula che permette di calcolare il valore dell’integrale definito di una funzione f(x) conoscendo una sua primi-tiva F(x):

teorema fondamentale del calcolo integrale

Se una funzione f(x) è continua in [a, b] allora esiste la derivata prima della funzione integrale in ogni punto x dell’intervallo [a, b] e si ha:

F ′(x) = f(x)

In altre parole il teorema, nell’ ipotesi indicata, afferma che la funzione integrale è una primitiva di f(x)

b c a

O x0

F

f ’’(x)>0 f ’’(x)<0

F

M

m

f ’(x) < 0

f(c)

f ’(x) > 0

79

Sviluppo in serie di funzioni elementari


sviluppo in serie di Taylor

• f(x) è una funzione derivabile almeno n volte in

• è detto resto di Peano e si legge: o piccolo di

• o piccolo è un infinitesimo di ordine superiore a , cioè:

algebra degli o piccoli: per si ha:

se si ha lo sviluppo in serie di Mac Laurin

sviluppo in serie di Mac Laurin di funzioni elementari

funzione potenza con

funzione radice quadrata

funzione esponenziale con base

funzione esponenziale con base

funzione logaritmo in base

funzione seno

funzione coseno

funzione tangente

funzione cotangente

funzione secante

funzione cosecante

funzione arcoseno

funzione arcocoseno

funzione arcotangente

funzione arcocotangente

80

Serie numeriche


definizioni

Data la successione si considerino le somme parziali :

si dice serie di termine generale e si indica con oppure con

carattere della serie

se S è finito • la serie si dice convergente

se • la serie si dice divergente (positivamente o negativamente)

altrimenti • la serie è indeterminata

prime proprietà

Se converge condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza di una serie è che il termine generico sia infinitesimo

assegnate e e

se converge converge convergenza del prodotto di una costante per una serie

se e

convergono converge convergenza della somma di due serie

serie notevoli

simbologia carattere nome

divergente serie armonica

divergente serie armonica

generalizzata convergente

irregolare serie geometrica

di ragione convergente

divergente

...

irregolare serie geometrica di punto iniziale e

ragione convergente

divergente

convergente serie di Mengoli

81

Serie numeriche


Criteri di convergenza

criterio del confronto per serie a termini non negativi

Date le successioni e sia: •

se converge converge

se diverge diverge

criterio del confronto mediante i limiti per serie a termini non negativi

Date le successioni e sia:

• ,

•

se le serie e sono entrambe convergenti oppure divergenti

se e converge converge

se e diverge diverge

criterio degli infinitesimi per serie a termini non negativi

Data la successione sia:

•

• con

se converge

diverge

se e converge

se e diverge

criterio della radice o di Cauchy per serie a termini positivi


•

• con ,

se converge

se diverge

se non si può dire nulla

può essere utile in caso di serie con esponenziali

criterio del rapporto o di D’Alembert per serie a termini positivi


•

• con ,

se converge

se diverge

se non si può dire nulla

può essere utile in caso di serie con fattoriali

criterio di Leibnitz per serie con termini a segno alterno decrescente


Data la serie alternante

• se • se converge

criterio di convergenza assoluta

Data la serie e la serie se converge converge

82

Grafici - Domini - Derivate di funzioni iperboliche


seno iperbolico settore seno iperbolico

dominio: dominio:

coseno iperbolico settore coseno iperbolico

dominio: dominio:

tangente iperbolica settore tangente iperbolica

dominio: dominio:

cotangente iperbolica settore cotangente iperbolica

dominio: dominio:

1 1

1

-1

1 -1

1

-1 1 -1

83

Definizioni e Sviluppo in serie di funzioni iperboliche


definizione delle funzioni iperboliche seno iperbolico coseno iperbolico tangente iperbolica

cotangente iperbolica secante iperbolica cosecante iperbolica

definizione funzioni iperboliche inverse settore seno iperbolico settore coseno iperbolico settore tangente iperbolica

settore cotangente iperbolica settore secante iperbolica settore cosecante iperbolica

sviluppo in serie di Mac Laurin per alcune funzioni iperboliche

funzione seno iperbolico

funzione coseno iperbolico

funzione tangente iperbolica

funzione cotangente iperbolica

funzione secante iperbolica

funzione cosecante iperbolica

settore seno iperbolico

settore tangente iperbolica

84

Coordinate polari ed Equazioni di curve notevoli


coordinate polari

coordinate cartesiane del punto P

coordinate polari del punto P

distanza di P dall’origine

misura dell’angolo orientato in senso antiorario formato da con il semiasse positivo delle x

passaggio di coordinate da cartesiane a polari da polari a cartesiane

equazione cartesiana parametrica e polare di curve notevoli

grafico equazione cartesiana equazione parametrica equazione polare

retta

con

segmento di estremi

con

con

e

con

parabola con asse parallelo all’asse y

con

circonferenza di centro e raggio r

con

circonferenza di centro l’origine e raggio r

con

ellisse

con

ellisse traslata di centro

con

P

Q

x1 x2

θ

ρ

P

x

y

85

Elementi di logica delle proposizioni


definizioni Una proposizione (o enunciato) è una affermazione che può essere Vera o Falsa Es.: 1) “Parigi è la capitale della Francia” ; “Roma è la capitale della Francia” sono proposizioni la prima è vera, la seconda è falsa

2) “Il colore giallo non mi piace” ; “ Londra è la città più bella del mondo” non sono proposizioni

Una tautologia è una proposizione sempre Vera per qualsiasi valore di verità degli elementi che la compongono Es.: “Ora sono le nove o non sono le nove”

Una contraddizione è una proposizione sempre Falsa per qualsiasi valore di verità degli elementi che la compongono Es.: “Ora sono le nove e non sono le nove”

Un paradosso è una proposizione formulata in evidente contraddizione con l'esperienza comune o con i propri principi elementari della logica tale che, se si suppone vera risulta falsa e viceversa Es.: “Questa frase è falsa” infatti se supponiamo che la frase sia Vera allora risulta Falsa. Viceversa se supponiamo che la frase sia Falsa allora risulta Vera

principi

Principio di non contraddizione : una proposizione non può essere contemporaneamente vera e falsa

Principio del terzo escluso : se una proposizione è vera allora la sua negazione è falsa e non esiste una terza possibilità

operatori logici e tavole di verità proposizioni non e o xor implicazione doppia implicazione

V V F V V F V V V F F F V V F F F V V F V V V F F F V F F F V V

proprietà e leggi p q q p∧ = ∧ p q q p∨ = ∨ proprietà commutativa

( ) ( )p q r p q r∧ ∧ = ∧ ∧

( ) ( )p q r p q r∨ ∨ = ∨ ∨ proprietà associativa

( ) ( ) ( )p q r p q p r∧ ∨ = ∧ ∨ ∧

( ) ( ) ( )p q r p q p r∨ ∧ = ∨ ∧ ∨ proprietà distributiva

p p p∧ = p p p∨ = proprietà di idempotenza

( )p p q q∧ ∨ =

( )p p q p∨ ∧ = proprietà di assorbimento

p q p q∧ = ∨ 1a legge leggi di De Morgan

p q p q∨ = ∧ 2a legge

86

http://it.wikipedia.org/wiki/Valore_di_verit%C3%A0

http://it.wikipedia.org/wiki/Valore_di_verit%C3%A0

Progressioni


Progressioni Aritmetiche una progressione aritmetica è una successione di numeri reali tali che la differenza tra un elemento ed il precedente è costante:

La differenza tra un elemento ed il suo precedente è detta ragione e si indica con

Esempio: è una progressione aritmetica di primo elemento e ragione

formule

assegnata la progressione aritmetica con e ragione

calcolo dell’elemento di posto n conoscendo il primo elemento e la ragione

Calcola noto

calcolo dell’elemento di posto n conoscendo l’elemento di posto m e la ragione

calcolo della somma dei primi n elementi

Calcola la somma dei primi 5 termini

Progressioni geometriche una progressione geometrica è una successione di numeri reali tali che il rapporto tra un elemento ed il precedente è costante:

Il rapporto tra un elemento ed il suo precedente è detto ragione e si indica con Esempio: è una progressione geometrica di primo elemento e ragione

formule

assegnata la progressione geometrica con e ragione

calcolo dell’elemento di posto n conoscendo il primo elemento e la ragione

Calcola noto

calcolo dell’elemento di posto n conoscendo l’elemento di posto m e la ragione

calcolo della somma dei primi n elementi

Calcola la somma dei primi 5 termini :

calcolo del prodotto dei primi n elementi

Calcola il prodotto dei primi tre termini:

87

Calcolo combinatorio


calcolo combinatorio

senza ripetizione di oggetti con ripetizione di oggetti

Permutazioni • •

Disposizioni • • c

Combinazioni • •

esempi

senza ripetizione di oggetti con ripetizione di oggetti

Permutazioni • •

quanti anagrammi anche senza senso si possono formare con la parola LIBRO? n=5

quanti anagrammi anche senza senso si possono formare con la parola MAMMA? n=5 r1=3 r2=2

Disposizioni • • c

in quanti modi diversi 5 alunni si possono sedere su 3 sedie numerate? n=5 k=3

utilizzando le cifre 1, 2, 3 quanti numeri di 4 cifre si possono formare? n=3 k=4

Combinazioni • •

un negoziante vuole esporre 4 paia di scarpe scelte tra 10 modelli diversi. In quanti modi si può effettuare la scelta? n=10 k=4

si vogliono distribuire 7 matite identiche a 4 bambini, in quanti modi diversi si possono distribuire? fai attenzione n=4 e k=7

fattoriale di un numero n

Si chiama fattoriale di un numero naturale e si indica con (si legge n fattoriale) il prodotto:

si può anche scrivere come oppure come

esempi per convenzione

coefficiente binomiale

Il simbolo si chiama coefficiente binomiale di n su k. Il suo valore è dato da:

proprietà

88

Probabilità


definizione classica di probabilità

E rappresenta un evento; è la probabilità che si verifichi l’evento alcune proprietà

evento impossibile evento certo

Due eventi ed si dicono complementari se uno è la negazione dell’altro. Vale la relazione:

esempi

Consideriamo il lancio di un dado. Ai seguenti eventi sono associate le seguenti probabilità:

esce il numero 2 esce il numero 7

esce un numero maggiore di 4 esce un numero compreso tra 1 e 6

tipi di eventi

eventi incompatibili Due o più eventi si dicono incompatibili quando il verificarsi di uno esclude gli altri

esempio: consideriamo il lancio di un dado con i seguenti eventi esce il numero 2 esce il numero 3

Nel lancio di un solo dado se si verifica non si può verificare quindi i due eventi sono incompatibili

eventi compatibili Due o più eventi si dicono compatibili quando il verificarsi di uno non esclude il verificarsi degli altri

esempio: consideriamo il lancio di due dadi contemporaneamente ed i seguenti eventi esce il numero 2 su uno dei due dadi esce il numero 3 sull’altro dado

I due eventi ed sono compatibili perché l’uno non esclude l’altro

Nell’ambito degli eventi compatibili si distinguono eventi indipendenti ed eventi dipendenti

eventi indipendenti Due o più eventi si dicono indipendenti quando il verificarsi di uno non modifica la probabilità di verificarsi degli altri

eventi dipendenti Due o più eventi si dicono dipendenti quando il verificarsi di uno modifica la probabilità di verificarsi degli altri

esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52 carte ed i seguenti eventi esce una carta di cuori esce una figura

Se la prima carta estratta è rimessa nel mazzo e si procede all’estrazione della seconda carta, i due eventi ed sono indipendenti Se invece la prima carta estratta è lasciata fuori, la seconda estrazione dipenderà dalla prima ed i due eventi ed

sono dipendenti

89

Probabilità


calcolo della probabilità di due o più eventi

probabilità totale Si parla di probabilità totale di due o più eventi quando si vuole calcolare la probabilità che si verifichi uno solo degli eventi

Per il calcolo bisogna distinguere tra eventi incompatibili ed eventi compatibili probabilità totale di due o più eventi incompatibili

generalizzando

La probabilità totale di due o più eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi

esempio: consideriamo il lancio di un dado. Si vuole calcolare la Probabilità che si verifichi uno dei seguenti eventi incompatibili: esce il numero 2 esce un numero dispari

probabilità totale di due o più eventi compatibili

dove è la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi La probabilità totale di due eventi compatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi Più complessa è la probabilità totale di tre eventi compatibili:

esempio: consideriamo il lancio di un dado. Si vuole calcolare la Probabilità che si verifichi uno dei seguenti eventi compatibili: esce il numero 2 esce un numero pari

probabilità composta Si parla di probabilità composta di due o più eventi quando si vuole calcolare la probabilità che si verifichino tutti gli eventi contemporaneamente. Nel caso di eventi incompatibili la probabilità composta è nulla. Nel caso di eventi compatibili bisogna distinguere tra eventi indipendenti ed eventi dipendenti.

probabilità composta di due o più eventi compatibili indipendenti

generalizzando

La probabilità composta di due o più eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52. Si estrae la prima carta e la si rimette nel mazzo quindi si estrae la seconda carta. Calcoliamo la Probabilità che si verifichino contemporaneamente i seguenti eventi indipendenti

esce una carta di cuori esce una figura

90

Probabilità


probabilità composta di due o più eventi compatibili dipendenti

dove è la probabilità che si verifichi l’evento una volta verificatosi l’evento

Tale probabilità è detta probabilità condizionata di al verificarsi di

La probabilità di due eventi dipendenti è uguale al prodotto della probabilità che si verifichi per la probabilità condizionata di al verificarsi di Più complessa è la probabilità composta di tre eventi dipendenti:

esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52. Si estrae la prima carta e non la si rimette nel mazzo quindi si estrae la seconda carta. Calcoliamo la Probabilità che si verifichino contemporaneamente i seguenti eventi dipendenti:

esce una carta di cuori esce una figura

approfondimento: probabilità subordinata

Consideriamo una situazione più complessa: supponiamo di avere tre scatole contenenti palline blù e gialle come indicato in figura e, scelta una scatola a caso, calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina gialla dalla scatola scelta

1a scatola

2a scatola

3a scatola

Consideriamo i seguenti eventi scelta della prima scatola scelta della seconda scatola scelta della terza scatola

estrazione della pallina gialla nel caso in cui si è scelta la prima scatola estrazione della pallina gialla nel caso in cui si è scelta la seconda scatola estrazione della pallina gialla nel caso in cui si è scelta la terza scatola

Calcoliamo la Probabilità di estrarre una pallina gialla da una scatola scelta a caso

teorema di Bayes

Consideriamo l’esempio del riquadro precedente gli stessi eventi con in più i seguenti eventi estrazione della pallina gialla dalla prima scatola estrazione della pallina gialla dalla seconda scatola estrazione della pallina gialla dalla terza scatola

Calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina gialla da una precisa scatola

ognuna delle tre formule precedenti rappresenta una applicazione del teorema di Bayes

91

Probabilità


tutte le definizioni di probabilità: classica, frequentista, soggettivista

definizione classica di probabilità (da Fermat a Laplace)

La probabilità classica di un evento casuale è uguale al rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili:

La definizione classica, detta anche a priori, si utilizza quando: • gli eventi hanno tutti la stessa probabilità di verificarsi • è possibile calcolare il numero dei casi favorevoli e dei casi possibili esempio: vedi gli esempi delle pagine precedenti

definizione frequentista di probabilità (di Venn e Von Mises)

La probabilità frequentista di un evento è uguale al rapporto tra il numero di prove riuscite ed il numero di prove effettuate (tutte nelle stesse condizioni):

è detta anche frequenza dell’evento E

La definizione frequentista, detta anche a posteriori, si utilizza quando: • gli eventi non hanno tutti la stessa probabilità di verificarsi • è possibile effettuare un certo numero di prove sperimentali tutte nelle medesime condizioni

esempio: consideriamo una puntina da disegno e lanciamola verso l’alto. Essa può cadere in due posizioni diverse:

con la punta rivolta verso l’Alto oppure con la punta rivolta verso il Basso. Si vuole calcolare, ad esempio, la probabilità che cada con la punta verso il Basso. In casi come questo non si può applicare la probabilità classica ma la probabilità frequentista.

Si effettuano lanci, si conta il numero di volte in cui la puntina si ferma con la punta verso il Basso e si ha: maggiore è il numero di lanci e più attendibile sarà il valore trovato

alcune proprietà

come per la probabilità classica anche la frequenza è un numero compreso tra 0 e 1

non vuol dire che l’evento è impossibile ma solo che non si è mai verificato nelle prove

non vuol dire che l’evento è certo ma solo che si è sempre verificato durante le prove

legge dei grandi numeri

Al crescere delle prove effettuate la probabilità frequentista di un evento si avvicina sempre più alla probabilità classica dello stesso evento

Tale legge, detta anche legge empirica del caso, stabilisce una relazione tra la definizione classica di probabilità e quella frequenti sta. Un enunciato equivalente della legge dei grandi numeri è il seguente:

Su un numero molto alto di prove effettuate la frequenza di un evento assume un valore molto vicino alla sua probabilità classica

definizione soggettivista di probabilità (di Bruno De Finetti) La probabilità soggettivista di un evento è la misura del grado di fiducia che una persona, in base alle informazioni in suo possesso e alla sua opinione, assegna al verificarsi dell’evento La definizione soggettivista si utilizza quando non ci sono le condizioni per utilizzare le definizioni precedenti.

vediamo alcuni esempi nei quali si può applicare solo la probabilità soggettivista. Si vuole calcolare la probabilità • che una nuova trasmissione televisiva incontri il favore del pubblico • che una squadra di calcio con una formazione rinnovata vinca una partita • che un nuovo prodotto commerciale incontri il favore dei consumatori

92

Numeri Complessi


numeri immaginari

• si chiama unità immaginaria e si indica con la radice quadrata di :

• un numero immaginario si ottiene dalla radice quadrata di un numero negativo.

ad esempio:

• le potenze di si ripetono di 4 in 4 infatti:

in generale con r resto della divisione di n per 4. Ad esempio: perchè con r = 3

numeri complessi (forma algebrica)

• un numero complesso z è la somma di un numero reale e di un numero immaginario:

Esempio:

• due numeri complessi si dicono coniugati se hanno la stessa parte reale e la parte immaginaria opposta.

Esempio: e sono numeri complessi coniugati

operazioni tra numeri complessi

Dati due numeri complessi e

Somma: si sommano le parti reali e le parti

immaginarie

Prodotto: si effettuano i prodotti tra i due binomi

ricordando che

Rapporto: si moltiplica e si divide il rapporto dei

due numeri per il complesso

coniugato del denominatore

Potenza: si effettua la potenza del binomio

Per la potenza : se l’esponente è maggiore di 3 conviene usare la formula di De Moivre (vedi oltre)

esempio

risolvi la seguente equazione di secondo grado a coefficienti reali nel campo complesso:

93

Numeri complessi: approfondimento


rappresentazione nel piano complesso (piano di Gauss) di un numero complesso z forma algebrica forma trigonometrica

= parte reale

= parte immaginaria

= modulo

= anomalia

passaggio dalla forma algebrica a quella trigonometrica

• per il teorema di Pitagora si ottiene:

• per le relazioni di trigonometria dei triangoli rettangoli si ha:

per determinare l’angolo è necessario tenere conto dei segni di a e b per individuare il quadrante in cui si trova il punto e di conseguenza l’angolo , vedi esempi seguenti

potenza n-sima di un numero complesso in forma trigonometrica (formula di De Moivre)

Esempio:

radice n-sima di un numero complesso in forma trigonometrica

con k=0,1,2,…,n-1

Esempio: con k =0 e k =1 cioè:

k =0

k =1

nel campo complesso la radice n-sima di un numero ha sempre n soluzioni, ciò implica che non si può effettuare la semplificazione tra l’indice della radice e l’esponente del radicando, cioè: altrimenti si perdono soluzioni

forma esponenziale di un numero complesso

La forma esponenziale di un numero complesso z è: si ottiene applicando alla forma trigonometrica di la formula di Eulero

i

ρ

z

a

b

θ

R

i

R

z

a

b

94

Le grandezze fisiche


grandezze derivate

nome unità di misura e simbolo unità SI area metro quadrato m2

volume metro cubo m3

densità chilogrammo al metro cubo kg/m3

velocità metro al secondo m/s

accelerazione metro al secondo quadrato m/s2

frequenza Hertz Hz = 1/s

velocità angolare radiante al secondo rad/s

forza Newton N = kg⋅m/s2

pressione Pascal Pa = N/m2

quantità di moto chilogrammo per metro al secondo kg⋅m/s

momento angolare chilogrammo per metro al quadrato al secondo kg⋅m2/s

energia Joule J = N⋅m

lavoro Joule J = N⋅m

potenza Watt W = J/s

calore Joule J = N⋅m

capacità termica Joule al Kelvin J/K

calore specifico Joule al Kelvin per chilogrammo J/(K⋅kg)

calore latente Joule al chilogrammo J/kg

intensità di campo elettrico Newton al Coulomb N/C

differenza di potenziale elettrico Volt V = J/C

forza elettromotrice Volt V = J/C

capacità elettrica Farad F = C/V

resistenza Ohm Ω = V/A

resistività Ohm per metro Ω⋅m

intensità di campo magnetico Tesla T = N/A⋅m

flusso magnetico Weber Wb = T⋅m2

induttanza elettrica Henry H = V⋅S/A

grandezze fondamentali del Sistema Internazionale (SI) nome unità di misura simbolo

lunghezza Metro m

massa Chilogrammo kg

intervallo di tempo Secondo s

carica elettrica Coulomb C

temperatura Kelvin K

intensità di corrente elettrica Ampere A

intensità luminosa Candela cd

quantità di sostanza Mole mol

angolo piano Radiante rad

angolo solido Steradiante sr

95

Le grandezze fisiche


Altre unità di misura lunghezza intervallo di tempo

Ångstrom (Å) 10-10 m minuto (min) 60 s micron (μm) 10-6 m ora (h) 3600 s unità astronomica (UA) 1,50∙1011 m giorno (d) 86.400 s anno luce (a.l.) 9,461∙1015 m mese 2.600.000 s parsec (pc) 3,09 1016 m anno (a) 31.600.000 s energia temperatura caloria (cal) 4,186 J gradi Celsius (°C)

elettronVolt (eV) 1,602 ∙10-19 J gradi Fahrenheit (°F)

pressione pesi atmosfera (atm) 1,013 Pa carato (car) 0,0002 kg mm di mercurio (mmHg) 133 Pa quintale (qt) 100 kg bar (bar) 105 Pa tonnellata (ton) 1000 kg

Tabelle di conversione lunghezze pesi volumi

1 pollice (in) = 0,0254 m 1 grano (grain) = 0,065 g 1 litro (l) = 1 dm3

1 piede (ft) = 0,3048 m 1 oncia (oz) = 0,032 g 1 litro(l) = 1000 cm3

1 miglio (mi) = 1609,3 m 1 carato = 0,2 g 1 dm3 = 0,001 m3 1 lega marina = 5556 m 1 tonnellata (ton) = 1000 kg 1 cm3 = 0,000001 m3

Nota: l’ettaro (simbolo ha) è l’unità di superficie usata in agrimensura 1 ha = 10.000 m2 il nodo è l’unità di misura di velocità usata in marina 1 nodo = 1,852 km/h

multipli e sottomultipli delle unità di misura simbolo nome fattore simbolo nome fattore

Y Yotta 1024 d deci 10-1

Z Zetta 1021 c centi 10-2

E Exa 1018 m milli 10-3

P Peta 1015 μ micro 10-6

T Tera 1012 n nano 10-9

G Giga 109 p pico 10-12

M Mega 106 f femto 10-15

k Chilo 103 a atto 10-18

h Etto 102 z zepto 10-21

da Deca 101 y yocto 10-24

scale di misura per le grandezze più utilizzate

lunghezze pesi tempo volumi km chilometro kg chilogrammo --- secolo --- --- hm ettometro hg ettogrammo a. anno hl ettolitro

dam decametro dag decagrammo --- mese dal decalitro m metro g grammo d giorno l litro

dm decimetro dg decigrammo h ora dl decilitro cm centimetro cg centigrammo min minuto cl centilitro mm millimetro mg milligrammo s secondo ml millilitro

96

Elementi di statistica


nome definizione formula

frequenza assoluta numero di volte in cui il dato si presenta

frequenza relativa frequenza assoluta diviso il numero di dati

frequenza percentuale frequenza relativa

media aritmetica somma di tutti i dati diviso il numero di dati

media geometrica radice n-sima del prodotto degli n dati

moda valore che compare più frequentemente nei dati sperimentali

mediana valore del dato a metà nell’insieme numericamente ordinato dei dati

se il numero di dati è pari si calcola la media aritmetica dei due dati centrali

semidispersione valore massimo meno valore minimo diviso due

scarto differenza tra il valore del dato e il valore medio:

scarto quadratico medio somma dei quadrati degli scarti diviso il numero di dati

deviazione standard radice quadrata dello scarto quadratico medio

errore relativo massimo semidispersione diviso media aritmetica

errore percentuale

esempio

assegnati i seguenti =10 valori sperimentali ordinati in senso crescente, calcoliamo per essi le principali definizioni di statistica

n misure media aritmetica

1 34 frequenza media geometrica

2 34 assoluta relativa percentuale moda 36 3 35 mediana 36

4 36 34 2 0,2 20% semidispersione

5 36 35 1 0,1 10% scarto del dato n. 1

6 36 36 3 0,3 30% scarto del dato n. 8

7 37 37 2 0,2 20% scarto del dato n. 10

8 37 39 1 0,1 10% scarto quadratico medio

9 39

40 1 0,1 10%

deviazione standard

10 40 errore relativo massimo errore percentuale %

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Note • .

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La Matematika in 100 schede

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