ITALSKA ALGEBRAICKA SKOLA

SCIPIONE DEL FERRO (1465 – 1526)

NICCOLO TARTAGLIA (1500 – 1557)

GIROLAMO CARDANO (1501 – 1576)

LODOVICO FERRARI (1502 – 1565)

RAFAEL BOMBELLI (1526 – 1572)

1

PRINOS:

• Resenı rovnic 3. a 4. stupne

• Rozsırenı cıselneho oboru

VYSLEDKY:

1545 ARS MAGNA (CARDANO)

1570 ARS MAGNA – 2. vyd.

1572 ALGEBRA (BOMBELLI)

RESENI ALGEBRAICKYCH ROVNIC

Typy:A. x3 + ax = b

B. x3 = ax+ b

C. x3 + b = ax

2

SCIPIONE DEL FERRO (1465 – 1526)

Italsky matematik, profesor aritmetiky a geometrie na univerzitev Bologni

Na pocatku 16. stol. ovladl metodu resenı kubicke rovnice typux3 + ax = b, kde a, b > 0. (Nenı jasne, jak k nı dospel - sam ciji nalezl ve starsım rukopise)

Metodu nezverejnil, na smrtelnem lozi s nı seznamil sveho zakaAntona Maria Fiore.

3

NICCOLO TARTAGLIA (FONTANA)(1500 – 1557)

Italsky matematik, mechanik a topo-graf

Narozen v Brescii

1512 tezky uraz hrtanu od uderu me-cem (”koktal”)

sam se naucil cıst, latinu, rectinu, ma-tematiku (ve 14 letech soukromy ucitelctenı, penıze dosly u K)

Od roku 1539 na univerzite ve Verone

Autor prvnıho prekladu EukleidovychZakladu do italstiny (1543)

4

12. brezna 1535 matematicky souboj s A. M. Fiore – predstretnutım se dozvedel, ze Fiore zna metodu resenı rovnice x3+ax = b; podle svych slov se pred soubojem tak soustredil, az nani prisel tez, navıc i na metodu resenı rovnice typu x3 = ax+ b,

kde a, b > 0.

1546 Quesiti et Inventioni Diverse

5

GIROLAMO CARDANO (1501 – 1576)

Italsky matematik, lekar, astrologa filozof

Narozen v Pavii, zde vystudoval uni-verzitu, zıskal doktorat medicıny

Prakticky lekar, prednasel na univer-zite v Milane medicınu a matematiku

1539 profesor medicıny na univerzitev Pavii, od r. 1650 v Bologni

1570 2 mesıce ve vezenı (hereze),dalsı 3 v domacım vezenı

V poslednıch letech v Rıme – penzeod papeze

6

1536 Cardano se dozvedel, ze Tartaglia a Fiore znajı metoduresenı kubickych rovnic

1539 Tartaglia ji Cardanovi na nalehanı sdelil – ve versıch a podprısahou na Evangelium, ze ji neprozradı (napoprve nesrozumi-telne, pod dalsı prısahou vysvetlenı)

1543 Cardano se svym zakem Ferrarim navstıvili Bolognu –setkanı s Fiore, ktery jim ukazal rukopis Scipiona del Ferro obsa-hujıcı popis metody; Cardano videl, ze v Bologni ji neskryvajı anecıtil se dale vazan prısahou

Ars Magna, 1545 (spolu s Ferrarim) mj. zde podrobne popsal adale rozvinul metodu resenı kubickych rovnic, casus irreducibilis

. . . Scipione dal Ferro z Bologni vyresil prıpad, kdy se tretı a prvnımocnina rovna konstante [x3+px = q], skutecne elegantnı a ob-divuhodny vykon. Tento objev svou hodnotou prevysuje vsechnuvynalezavost smrtelnıku a vsechen lidsky duvtip, je to dar nebesa zkouska lidskeho rozumu; kdokoliv jej sam vyuzije, uverı, zenenı nic, co by nemohlo byt pochopeno. Ve snaze jej nasledovat,muj prıtel Niccolo Tartaglia, aby neprohral, vyresil stejny prıpad v

7

utkanı s jeho [Ferrovym] zakem Antonio Maria Fiorim a po mychmnohych nalehanıch mi je sdelil, dukaz zatajil. . . . Vyuzıvaje toho,hledal jsem dukaz a nalezl ho, ale s namahou, zpusobem, kteryvylozım dale.

Tartaglia dotcen, 1546 vydava Quesiti et inventioni diverse(Problemy a ruzna resenı), kde popisuje styky s Cardanem –nevzdelanec, prazdny ubozak

Cardana branı Ferrari, 1547–48 vydava Cartelli di matematicadisfida (Vyzvy k matematicke disputaci), s Tartagliem si vyme-nili 12 dopisu (urazky)

duben – kveten 1547 navzajem si zadali 31 problemu k resenı,Tartaglia 5 vynechava (kubicke rovnice)

srpen 1548 disputace v kostele v Milane: Tartaglia x Ferrari,Ferrari vıtezı, zvan k verejnym prednaskam do Rıma a Benatek;resenı algebraicke rovnice 4. stupne (publikovano v Ars Magna)

Risposto an Lodovico Ferrari (Odpoved’ L. Ferrarimu), 1547– 1548

8

1570 Ars Magna – 2. vydanı (casus irreducibilis, pocıtanı simaginarnımi cısly)

ODVOZENI CARDANOVA VZORCE

x3 + ax2 + bx+ c = 0 (1)

Prevod na rovnici bez kvadratickeho clenu: x = y −a

3

y3−3y2a

3+3y

a2

9−

a3

27+ay2−2a2

y

3+

a3

9+by −

ba

3+c = 0

y3 −(

b −1

3a2

)y +

(2

27a3 −

1

3ab+ c

)= 0 ,

tj.

y3 + py + q = 0 , kde p = b −1

3a2 , q =

2

27a3 −

1

3ab+ c .

9

Uvazujme tedy rovnici

x3 + px+ q = 0 . (2)

Zaved’me pomocne promenne u, v vztahem

x = u+ v , (3)

po dosazenı do (2) zıskame

u3 + v3 + 3u2v + 3uv2 + p(u+ v) + q = 0,

tj.

u3 + v3 + (3uv + p)(u+ v) + q = 0 .

Pridejme podmınku:

3uv + p = 0, tj. uv = −p

3

Dostaneme rovnici10

u3 + v3 + (3uv + p)(u+ v) + q = 0 .

a tedy

u3v3 = −p3

27, u3 + v3 = −q .

Prıslusna u, v jsou koreny kvadraticke rovnice

z2 + qz −p3

27= 0 ,

tj.

u3 = −q

2+

√q2

4+

p3

27; v3 = −

q

2−

√q2

4+

p3

27

Vratıme-li se zpet k x = u+ v , zıskame Cardanuv vzorec:

x =3

√√√√−q

2+

√q2

4+

p3

27+

3

√√√√−q

2−

√q2

4+

p3

27, (4)

11

Casus irreducibilis:

x3 = 20x+ 25 ,

tj.x3 − 20x − 25 = 0

Koreny:

x1 = 5, x2,3 =1

2(−5±

√5) ,

ale625

4−8000

27< 0 .

Nebo:

(x − 1)(x − 2)(x+ 3) = 0 , tj. x3 − 7x+ 6 = 0 .

Od sameho pocatku zname koreny: 1, 2, −3 , ale D = −100

27<

0My:

x = 3

√−3 +

10

9i√3 + 3

√−3−

10

9i√3

12

FRANCOIS VIETE(1540 – 1603)

Narozen v Fontenay-le-Comte

1560 bakalar prav

pravnık, vyznamnı klienti(napr. anglicka kralovna Marie)

Matematika ve volnem case

1584 poradce a vyjednavackrale Jindricha III.

Vyhnan (rivalove), 1589 zpet

Nejslavnejsı uspech: rozlustenı zakodovane depese pro JindrichaIV behem valky se Spanelskem (spanelsky kral Filip II. nemohluverit, ze by toho clovek mohl byt schopen a protestoval u papeze,ze Francouzi pouzili cernou magii)

13

Matematicke vysledkyPomohl osamostatnit algebru od geometrickeho stylu dokazovanı

Pısmena pro nezname

Znaky +, −

Souvislost algebry a trigonometrie

De aequationum recognitione et emendatione, 1591

Resenı kubicke rovnice je ekvivalentnı s trisekcı libovolneho uhlu:Uvazujme rovnici tvaru

x3 + px+ q = 0

a polozme x = ky , kde k je voleno tak, aby

k3

ak= −

4

3, neboli k =

√−4a

3.

Zıskame rovnici4y3 − 3y = c .

14

S vyuzitım vztahu

4 cos3 θ − 3 cos θ = cos 3θ

a polozenım y = cos θ obdrzıme

cos 3θ = c .

Je-li dano c, muzeme sestrojit trojuhelnık s uhlem 3θ ; trisekcetohoto uhlu nam pak da resenı rovnice y = cos θ .

Problem s interpretacı pro |c| > 1 – potreba komplexnıch cısel

Vietova metoda vyzaduje komplexnı cısla prave tehdy, kdyz Car-danova nikoli

Kubicke rovnice = kolebka komplexnıch cısel

15

LODOVICO FERRARI (1502 – 1565)

Resenı polynomialnı rovnice 4. stupne: (otisteno v Ars Magna)

x4 + ax3 + bx2 + cx+ d = 0

Linearnı transformacı lze rovnici prevest do tvaru bez kubickehoclenu:

x4 + px2 + qx+ r = 0 ,

tj.(x2 + p)2 = px2 − qx+ p2 − r .

Pro libovolne y je

(x2 + p+ y)2 = (px2 − qx+ p2 − r) + 2y(x2 + p) + y2

= (p+ 2y)x2 − qx+ (p2 − r + 2py + y2)= Ax2 +Bx+ C

Kvadraticky clen na prave strane je druhou mocninou, je-li

B2 − 4AC = 016

coz je kubicka rovnice pro y .

Po odmocnenı pak vznikne kvadraticka rovnice pro x .

Nasledujıcıch 250 let: resenı polynomialnıch rovnic v radika-lech (koreny vyjadrene pomocı racionalnıch funkcı a odmoc-nin koeficientu)

17