La Matematica per prevedere

Modelli Matematici

La competenza matematica è la capacità di un individuo di identificare e comprendere il ruolo che la matematica gioca nel mondo reale, di operare valutazioni fondate e di utilizzare la matematica e confrontarsi con essa in modi che rispondono alle esigenze della vita di quell’individuo in quanto cittadino che esercita un ruolo costruttivo, impegnato e basato sulla riflessione.

(OCSE-PISA)

Modelli matematici : Perchè?

Modelli matematici : Perchè?Al termine del percorso dei licei classico, linguistico, musicale

coreutico e della scienze umane lo studente conoscera i concetti e i metodi elementari della matematica, sia interni alla disciplina in se considerata, sia rilevanti per la descrizione e la previsione di semplici fenomeni, in particolare del mondo fisico.

[…] obbiettivi dello studio […]

5) il concetto di modello matematico […]; 6) costruzione e analisi di semplici modelli matematici di

classi di fenomeni, anche utilizzando strumenti informatici per la descrizione e il calcolo;

(Ind. Naz. Licei p. 269)

La Matematica per prevedereModelli Matematici

Da sempre la matematica si è posta il problema (nel tentativo di ‘gestire’ la complessità del reale) di costruire rappresentazioni efficaci dei fenomeni della realtà: si sono così costruiti dei modelli matematici, che usano strumenti della matematica per rispondere a domande sul fenomeno prevedendone l’evoluzione.

Cosa è un Modello Matematico ?

Un modello matematico è una descrizione in termini matematici, cioè mediante funzioni, equazioni,…, di un fenomeno reale ed è in grado di descrivere i legami esistenti tra le grandezze caratteristiche del fenomeno.Ad esempio, i modelli matematici sono utilizzati per la descrizione della numerosità di una popolazione di individui, della velocità di un oggetto in caduta libera, della concentrazione di un reagente in una reazione chimica, dell’aspettativa di vita di una persona alla nascita, etc.

Compito del matematico “puro”?

Primo compito della matematica è

FORNIRE uno STRUMENTO per meglio CONOSCERE il MONDO FISICO

l’importanza della matematica nei confronti della scienza

PROVAREPROVARE TEOREMITEOREMI

i greci furono i primi a sostenere che l’universo

è disegnato secondo rigide proprietà matematiche

Galileo Galilei (1564-1642): la scienza deve cercare di fornire leggi quantitative

dobbiamo osservare i fenomeni della naturaproporre un modello matematico astratto che li descrivaverificarne la validitàdedurre proprietà del modello

Matematizzare la realtà

1) Si parte da un problema situato nella realtà.

2) Si organizza il problema in base a concetti matematici e si identificano gli strumenti matematici pertinenti.

3) Si ritaglia ritaglia progressivamente la realtà attraverso processi quali il fare supposizioni, il generalizzare e il formalizzare il problema, che mettono in evidenza le caratteristiche matematiche della situazione e trasformano il problema reale in uno matematico che rappresenti fedelmente la situazione di partenza.

4) Si risolve il problema matematico.

5) Si interpreta la soluzione matematica nei termini della situazione reale, individuando anche i limiti della soluzione proposta.

Tradurre il problema dalla realtà alla matematica

• identificare gli aspetti matematici pertinenti a un problema collocato nella realtà;

• rappresentare il problema in modo diverso, cioè organizzarlo secondo concetti matematici ed effettuare supposizioni adeguate;

• capire le relazioni tra il linguaggio del problema e il linguaggio simbolico e formale richiesto per capire il problema dal punto di vista matematico,

• trovare regolarità, relazioni e pattern;• riconoscere aspetti isomorfi ad altri problemi già

noti;• tradurre il problema in termini matematici, cioè

in un modello matematico

Lavorare sul modello matematico

• l’uso di diverse rappresentazioni e il passaggio da una all’altra;

• l’uso di un linguaggio simbolico, formale e tecnico e delle operazioni;

• la rifinitura e l’adattamento dei modelli matematici, l’associazione e l’integrazione dei modelli;

• l’argomentazione;• la generalizzazione.

Interpretare e convalidare i risultati

• la comprensione delle potenzialità e dei limiti dei concetti matematici;

• la riflessione sulle argomentazioni matematiche e la spiegazione e la giustificazione dei risultati;

• la comunicazione del procedimento seguito e della soluzione trovata;

• la critica del modello e dei suoi limiti.

Nuclei di ProcessoNuclei di Processo

Modellizzare la realtà Argomentare, generalizzare, comunicare

Usare linguaggio matematico e rappresentazioni Porsi e Risolvere Problemi

UMI-CIIM 2001-2003

Modellizzare la realtà• strutturazione del campo o della

situazione che deve essere modellizzata; • tradurre “la realtà” in strutture

matematiche;• lavorare con un modello matematico e

validarlo, • interpretare i modelli matematici in

termini di “realtà”; • riflettere, analizzare e valutare un

modello e i suoi risultati; • comunicare ad altri il modello e i suoi

risultati (compresi i limiti di tali risultati)

Naturalmente costruire un modello significa ‘narrare’ un evento, al fine di coglierne i dati significativi; pertanto la narratività non è certo estranea alla formalizzazione di un modello.

Facciamo un esempio Poniamo questo problema: come si evolverà

la popolazione della terra? (STORIA- EDUCAZIONE CIVICA)

OPPURE Abbiamo letto su un racconto che in una

città si sta sviluppando un’epidemia. La città viene isolata e ci chiediamo: tra quanto tempo tutti gli abitanti saranno contagiati? E ancora come si diffonderà l’epidemia?

T.R. Malthus (1766-1834)

Consideriamo la funzione P(t) che descrive la quantità di individui esistenti in un dato momento t.

La crescita della popolazione P è tale che la differenza di popolazione dP=nati-morti è proporzionale alla quantità P e all’intervallo di tempo dt considerato, secondo una certa costante k (1798).

In formula dP = k P dt

Si dimostra che una funzione che verifica l’equazione data è certamente del tipo P(t)= a ekt

(dove a e k sono costanti e e è un numero che vale circa 2.71…)

Queste funzioni hanno tutte un grafico

come il seguente:

Ma….Questo modello NON PUO’

funzionare !

Non riesce a descrivere lo sviluppo del tempo della popolazione terrestre, o la crescita di una

colonia di batteri o la diffusione di una epidemia fra una data popolazione…..

PERCHE’ ?

P.F. Verhulst (1804-1849)

Consideriamo la funzione P(t) che descrive la quantità di individui esistenti in un dato momento t.

La crescita della popolazione P è tale che la differenza di popolazione dP=nati-morti è proporzionale alla quantità P , all’intervallo di tempo dt considerato e alla “distanza” (A-P) dal numero massimo A di individui che l’ambiente può sostenere, ancora secondo una certa costante k (1838) .

In formula dP = k P (A-P) dt

Una funzione qualsiasi che verifica questa equazione ha una formula più complicata di quella prima ma ha un grafico come il seguente:

Vediamo alcuni esempi semplici e interessanti presi da internet

• Visti da un analista (Landucci – unifi.it)

• http://www.federica.unina.it/smfn/metodi-e-modelli-matematici/introduzione-modelli-matematici/1/

(Addolorata Marasco. Introduzione ai modelli matematici)

Problemi di minimo(per via “elementare”)

Fogli di trasferibili

Quale è la forma ideale di un foglio di trasferibili ?

Ovvero, a parità di superficie dedicata, quali sono le dimensioni che permettono di risparmiare cartoncino ?

Fogli di trasferibiliDimensioni foglio interno x e yBLOCCATE : Area interna xy=A

Bordi interni: orizzontale u verticale v

x

AuvxuvAS

uvuyvxxyvyuxS

22]2[

222)2)(2(

Fogli di trasferibili

Ovviamente si può risolvere (in 5^) con le derivate…

Ma si può risolvere (in 2^ !) con un determinante

x

bax

x

Auvxz 22

Si tratta di minimizzare una funzione del tipo

a

b

a

zxabz

abzz

abz

bzxax

x

baxz

202

20

04

02

2

Fogli di trasferibili

Ma si può anche risolvere (in 3^) cercando dove la somma di due funzioni diventa minima…..

x

bax

x

Auvxz 22

Si tratta di minimizzare una funzione del tipo

a

bx

x

bax

file di lavoro

Lattine

Quale è la forma ideale di una lattina?

Ovvero, a parità di volume, quali sono le dimensioni che permettono di risparmiare materiale?

LattineSi indichi con x il raggio di base del

cilindro, di volume noto V, e sia h la sua altezza. L'area della superficie totale sarà pari a :

S x xh x xV

xx

V

x 2 2 2 2 2 22 2

22

Funzione da minimizzare:

x

baxz 2

LattineFunzione da minimizzare:

x

baxz 2

Qui l’approccio grafico non funziona !

(non fidarsi del grafico, ma usarlo per farsi un’idea: una semplice verifica con valori “vicinii” mostra che il minimo non corrisponde all’intersezione… Il modello grafico non è adeguato).

file di lavoro

LattinePerò c’è un valore minimo z !

Supponiamo z minimo per x = t

Applichiamo il Teorema di Ruffini ! txperbzxax

bzxax

x

baxz

0

03

3

2

))(( 223 atzatxaxtxbzxax

Per la seconda disequazione in

alto bisogna che anche il

secondo pezzo sia divisibile per (x-t) e sostituendo

ottengo: !!!22

2)(

24

2

2

2

3

32

333

3

22

tV

t

Vth

VV

a

bt

bat

t

batzat

Giochi

INDOVINARE UN NUMERO– Pensate un numero 6– Moltiplicate per 5 30– Sommate 3 33– Moltiplicate per 4 132– Aggiungete 12 144– Moltiplicate per 5 720

Ora ditemi il risultato ed io indovinerò il numero che avete pensato

720 6

INDOVINARE LA DATAPensa alla data del compleanno: G/M 12/09

Somma 4 al mese M 13

Moltiplica questo numero per 50 650

Ora somma a questo il giorno G

e più ancora 5 667

Raddoppia il totale 1334

Ora ditemi il risultato ed io indovinerò la vostra data del compleanno

1334 12 settembre

INDOVINARE UN NUMERO– Pensate un numero 6– Moltiplicate per 5 30– Sommate 3 33– Moltiplicate per 4 132– Aggiungete 12 144– Moltiplicate per 5 720

Ora ditemi il risultato ed io indovinerò il numero che avete pensato 720 6

x 5x 5x + 3 4(5x+3) = 20x+12 20x + 12 + 12 = 20x + 24

5(20x+24)=100x+120 720 –120 = 6*100 6

INDOVINARE LA DATAPensa alla data del compleanno: G/M 12/09Somma 4 al mese M 13Moltiplica questo numero per 50 650Ora somma a questo il giorno G e più ancora 5 667Raddoppia il totale 1334

Ora ditemi il risultato ed io indovinerò la vostra data del compleanno 1334 12 settembre

M M+4 50(M+4)=50M+200 50M+G+205 100M+2G+410 1334 – 410 = 924= 9*100 + 2*12 12/09

Giochi di carte

Vedi:http://www.treccani.it/scuola/lezioni/in_aula/fisica/

insegnare_fisica_e_matematica/corridoni.html

1

21

12

8

14

10

Gioco delle 21 carteInizio

Fine 3 smazzataFine 2 smazzata

Fine 1 smazzata

11

Gioco delle 20 (+20) carte

Generalizziamo il modello…Variamo il numero q di carte

Che cosa cambia se varia il numero di carte per mazzetto?  Ad esempio: se si conta fino a 11 

Ad esempio: se si conta fino a q ? 

Progetto Ma.Co.Sa. Il Dipartimento di Matematica dell’Università di Genova

ha dato vita a un progetto chiamatoMaCoSa (Matematica per Conoscere e per Sapere),

realizzando anche un testo gratuito in 2 volumi ; link: http://macosa.dima.unige.it/ 

(i ricercatori hanno rinunciato ai Diritti d’Autore)ma utilizzabile anche direttamente dal Web,

stampando eventualmente solo le pagine che si desiderano.

MaCoSa è ricco di spunti che legano la matematica al mondo reale e all’esperienza concreta,

Progetto PolyMath Il progetto PolyMath

http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/ ha una raccolta di quesiti

http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Archivio/Mappa/Problemiegiochi/ProbeSol.htm

ma anche una serie di lezioni che collegano la matematica alla Storia, dell’Arte, ad aspetti della

Realtàhttp://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/

Archivio/Mappa/Argomenti/Matematicae.htm

Piano M@t.abel All’indirizzo web:

http://risorsedocentipon.indire.it/ si possono trovare tutte le proposte di formazione

finanziate coi fondi europei.

In particolare segnalo le attività del Piano M@ta.bel (per la scuola secondaria di II grado ma anche di I)

e quelle del Piano PQM (possono essere utilizzate epr il recupero…)