La linea elastica

Considerazioni introduttive

•  In un elemento strutturale deformabile in cui una dimensione è prevalente rispetto alle altre due, è possibile determinare la configurazione secondo la quale questo si deforma sotto l’azione dei carichi esterni, utilizzando il metodo della linea elastica

•  Consideriamo anzitutto il caso di una trave semplicemente appoggiata e caricata in mezzeria con una forza P concentrata

•  L’asse longitudinale della struttura, inizialmente rettilineo, si deforma secondo una curva di andamento compatibile con le condizioni di vincolo

•  L’obiettivo è sostanzialmente quello di determinare gli spostamenti di tutti i punti dell’asse della struttura in modo da poter definire matematicamente la sua configurazione deformata e poterla rappresentare graficamente.

Configurazione indeformata Configurazione deformata

Convenzioni adottate

•  Si assume un sistema di riferimento centrato sull’estremo di sinistra della struttura

•  L’asse x è allineato con l’asse della struttura e diretto verso destra

•  L’asse y è diretto verso il basso

•  Si suppone che il piano xy su cui agisce il carico sia piano di simmetria per la sezione

•  In un generico punto distante x dall’origine, la freccia è definita come lo spostamento v(x) subito dal punto in direzione y quando passa dalla configurazione indeformata a quella deformata

•  Nel sistema di riferimento assunto, uno spostamento verso il basso rappresenta una freccia positiva, mentre uno spostamento verso l’alto rappresenta una freccia negativa

Convenzioni adottate

•  L’angolo di rotazione � dell’asse della struttura nel generico punto (1) dell’asse x è l’angolo formato dall’asse x e la tangente alla curva v(x). Si assume che l’angolo sia positivo in senso orario.

•  Consideriamo un secondo punto (2) posto a distanza dx dal precedente: sull’asse deformato i due punti sono a distanza ds (ascissa curvilinea).

•  Nel punto (2) si avrà una freccia pari a v+dv e una rotazione pari a �+d�, avendo indicato con dv e con d� rispettivamente la variazione della freccia e del’angolo di rotazione nel passaggio dal punto (1) a quello (2)

•  Come già visto nella trattazione della flessione, nel generico punto posto a distanza x dall’origine si possono definire: il centro di curvatura (punto O’) quale intersezione delle normali alla deformata della struttura nei punti (1) e (2) e il raggio di curvatura � come distanza dei punti dal centro della curvatura.

Curvatura

Dalla figura osserviamo che:

ϑρϑρ

ddsdds =⇒⋅=

Quindi la curvatura (inverso del raggio di curvatura) si esprime come:

dsdϑ

ρ==Γ 1

Che assume valore positivo quando l’angolo � cresce muovendosi nella direzione positiva dell’asse x

Convenzioni adottate

Possiamo inoltre osservare che la derivata della funzione incognita v(x) è uguale alla tangente dell’angolo di rotazione �

dxdv

dxdv arctantan =⇒= ϑϑ

Piccola curvatura

In molti casi pratici, i carichi applicati generano curvature che sono molto piccole. Dunque, nell’ipotesi che l’angolo � sia piccolo (e quindi cos � � 1) si ha:

dxdxds ≈=ϑcos

Allora l’equazione della curvatura dsdϑ

ρ==Γ 1

Si può scrivere come: dxdϑ

ρ==Γ 1

L’ipotesi di piccola curvatura permette di scrivere: ϑϑ ≈= tan

dxdv

Da cui risulta: 2

2

dxvd

dxd

dxdv =⇒= ϑϑ

2

21dxvd

dxd ===Γ ϑ

ρE quindi in definitiva:

Equazione della linea elastica

Nel caso della flessione pura le deformazioni risultavano espresse dalla relazione:

yyx Γ−=−=

ρε

Quindi similmente potremo scrivere

dxdyy

ll

xϑ

ρε ⋅=⋅=Δ= 1

0

Inoltre, nell’ipotesi che si abbia a che fare con materiali a comportamento lineare ed elastico, vale la legge di Hooke e quindi:

ydxdEE xx ⋅⋅=⋅= ϑεσ

Considerando una sezione rettangolare di base b ed altezza h il momento flettente risultante nella sezione vale:

JdxdEdyyb

dxdEydyby

dxdEydybM

h

h

h

h

h

h ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= ∫∫∫ −−−

ϑϑϑσ 2

2

22

2

2

2

∫ ⋅⋅= dAyM xσ0 ∫ ⋅=Ax dAyJ 2

Equazione della linea elastica

Dalla relazione JdxdEM ⋅⋅= ϑ

Te n e n d o c o n t o d e l l e convenzioni di segno si ha: JE

xMdxd

⋅−= )(ϑ

2

21dxvd

dxd ===Γ ϑ

ρEd essendo:

Si ottiene infine l’equazione differenziale JE

xMdxvd

⋅−= )(

2

2

Che rappresenta l’equazione della linea elastica. La soluzione v(x) di questa equazione differenziale è la curva nella quale si trasforma l’asse della struttura sotto l’azione dei carichi assegnati

Equazione della linea elastica

Convenzioni adottate (Bernasconi)

x positivo da sinistra verso destra y positivo dall’alto verso il basso ϑ positivo quando la rotazione è oraria

misurata dall’asse x M positivo quando le fibre tese sono sotto 1/ρ positiva quando la concavità è verso basso

Equazione della linea elastica

Se si inverte il verso dell’asse y, o quello del momento, possiamo scrivere

•  Il termine al denominatore (EJ) prende il nome di rigidezza flessionale. In generale tratteremo la rigidezza come costante ma…

•  ATTENZIONE: quando si studiano strutture a geometria (sezione) variabile, la rigidezza flessionale deve essere espressa in funzione della distanza dall’origine EJ (x), poichè essa varia con il momento di inerzia.

•  Nel caso di sezioni prismatiche, questo termine resta costante

•  È da tenere presente che l’equazione della linea elastica, per il modo in cui è stata ricavata, è valida solo per piccole curvature e materiali a comportamento lineare elastico.

•  L’equazione è stata ricavata considerando solo la deformazione dovuta al momento flettente e trascurando quella dovuta al taglio, come si può assumere in molti casi pratici

JExM

dxvd

⋅= )(

2

2

Calcolo delle rotazioni

Attraverso una doppia integrazione dell’equazione della linea elastica

è possibile determinare la funzione v(x) che esprime la configurazione deformata della struttura caratterizzata da rigidezza flessionale EJ e sottoposta al momento flettente M(x) Moltiplicando entrambi i membri per EJ e integrando si ha:

JExM

dxvd

⋅−= )(

2

2

10100 2

2

2

2

)()()( CdxxMdxdvJECdxxMdx

dxvdJExM

dxvdJE

xxx+−=⋅⋅⇒+−=⋅⇒−=⋅⋅ ∫∫∫

)(tan xdxdv ϑϑ ≈=Ricordando che

(ipotesi piccola curvatura) 10)()( CdxxMxJE

x+−=⋅⋅ ∫ϑ

Da questa equazione si può ricavare la rotazione �(x) in ogni punto della trave

10)(1)( CdxxM

JEx

x+⋅

⋅−= ∫ϑ

Calcolo degli spostamenti

Integrando una seconda volta l’equazione

20 0 1010)()( CdxCdxxMdx

dxdvJECdxxM

dxdvJE

x x xx+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−=⋅⋅⇒+−=⋅⋅ ∫ ∫ ∫∫

si ottiene:

20 10)()( CCdxxMxvJE

x x+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−=⋅⋅ ∫ ∫

•  Le costanti di integrazione C1 e C2 sono determinate dalle condizioni al contorno, ossia dalle condizioni imposte dai vincoli in termini di spostamenti e rotazioni

•  Determinate le due costanti, il termine a sinistra rappresenta (a meno della rigidezza flessionale) lo spostamento della trave in ogni punto di coordinata x

Esempio 1: mensola

A B

P

L

La trave AB ha sezione uniforme ed è soggetta ad una forza concentrata P applicata all’estremo libero. Si ricavino: a)  L’equazione della linea elastica b)  Lo spostamento nel punto B c)  La rotazione nel punto B

JExM

dxvd

⋅−= )(

2

2 L’equazione del momento (fissata l’origine del sistema di riferimento all’incastro) è:

( )LxPxM −⋅=)(

( )JELxP

dxvd

⋅−⋅−=2

2 le condizioni al contorno sono: (spostamenti e rotazioni nulle all’incastro) ⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=

0)0(

0)0(

dxdv

v

ϑ

Moltiplicando per EJ si ha: ( )LxPdxvdJE −⋅−=⋅ 2

2

e integrando una prima volta si ottiene:

1

2

00 2CxLPxP

dxdvJEdxPLxdxP

dxdvJE

xx+⋅⋅+⋅−=⋅⇒+−=⋅ ∫∫

1

2

2CxLPxP

dxdvJE

dxdvJE +⋅⋅+⋅−=⋅=⋅

Sostituendo questi valori e risolvendo per C1, si ha: 01 =C

xLPxPdxdvJE ⋅⋅+⋅−=⋅

2

2

che, integrata una seconda volta fornisce:

2

23

2

23

26232CxLPxPvJECxLPxPvJE +⋅⋅+⋅−=⋅⋅⇒+⋅⋅+⋅−=⋅⋅

Per x=0, v=0, quindi: 22

23

026

CCxLPxPvJE =⇒+⋅⋅+⋅−=⋅⋅

Osserviamo che nell’estremità incastrata (x=0), si ha:

Esempio 1: mensola

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=

0

0

dxdv

x

ϑ

e quindi:

Quindi l’equazione della linea elastica risulta essere:

Lo spostamento e la rotazione nell’estremo libero B si ottengono ponendo x=L, quindi:

JELPL

EJPLL

EJPLL

EJPBv

⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−=

362

63

26)(

333333

Esempio 1: mensola

26

23 xLPxPvJE ⋅⋅+⋅−=⋅⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−⋅−=26

)(23 xLx

EJPxv

JELPLLPLP

EJdxdvB

⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+⋅−⋅==

221)(

22

ϑ

Esempio 2: carico distribuito

L

La trave prismatica semplicemente appoggiata in figura, sopporta un carico uniformemente ripartito q per tutta la sua lunghezza. Determinare: a)  L’equazione della linea elastica b)  Il massimo spostamento della trave

A B q

JExM

dxvd

⋅−= )(

2

2 Il momento flettente varia con legge parabolica

2

21

21)( xqxLqxM ⋅−⋅⋅=

22

2

21

21 xqxLq

dxvdJE ⋅−⋅⋅=⋅⋅Sostituendo nell’equazione generale si ha:

Integrando una prima volta si ha:

132

32

61

41

321

221 CxqxLq

dxdvJExqxLq

dxdvJE +⋅−⋅⋅=⋅⋅⇒⋅−⋅⋅=⋅⋅

Esempio 2: carico distribuito

si ottiene: 2143

241

121 CxCxqxLqvJE +⋅+⋅−⋅⋅=⋅⋅

Integrando per la seconda volta la relazione 32

122

1 32 xqxLqdxdvJE ⋅−⋅⋅=⋅⋅

Le costanti si determinano applicando le condizioni al contorno ⎩

⎨⎧

==0)(0)0(

Lvv

00241

121

22143 =⇒=+⋅+⋅−⋅⋅=⋅⋅ CCxCxqxLqvJE

3121

43

2410

241

121 LqCCLCLqLLqvJE ⋅−=⇒=+⋅+⋅−⋅⋅=⋅⋅

Quindi l’equazione della linea elastica è:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅

⋅= xLqxqxLq

JEv 343

241

241

1211 [ ]xLxxL

JEqv ⋅−−⋅⋅⋅⋅

= 343224

Esempio carico distribuito

Il massimo spostamento si verifica nel punto in cui è massimo il momento flettente, quindi per x=L/2

[ ]xLxxLJE

qv ⋅−−⋅⋅⋅⋅

= 343224

Sostituendo ad x il valore di L/2 si ottiene JELqv⋅⋅

⋅⋅−=3845 4

Quindi l’equazione della linea elastica è:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅

⋅= xLqxqxLq

JEv 343

241

241

1211 [ ]xLxxL

JEqv ⋅−−⋅⋅⋅⋅

= 343224

Esempio 13.3 da svolgere

Trave appoggiata agli estremi caricata con forza concentrata nel punto D posto a L/4 dall’estremo sinistro. Si ricavino: a)  Lo spostamento nel punto D b)  La rotazione nel punto D

L

A B

L41 L

43

D