LA GEOMETRIA “PROTAGONISTA” NELLA SCUOLA
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LA GEOMETRIA “PROTAGONISTA” NELLA SCUOLA Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi geometrici Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 11 ottobre 2016
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LA GEOMETRIA ldquoPROTAGONISTArdquo NELLA SCUOLA
Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016
11 ottobre 2016
A Clara per le sue grandi dote professionali e umane
Quando non potrai correre cammina veloce
Quando non potrai camminare veloce cammina
Quando non potrai camminare usa il bastone
Perograve non trattenerti mai(Madre Teresa di Calcutta)
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Egrave interessante constatare la concretezza della geometria essa non egrave una materia astratta come erroneamente si pensa ma egrave realmente presente in tutto ciograve che ci circonda Abbiamo continuamente a che fare con figure geometriche nella nostra routine quotidiana solo che spesso non ce ne rendiamo conto
Sigrave come il mangiare senza voglia fia dannoso alla salute cosigrave lo studio senza desiderio guasta la memoria e non ritien cosa che la pigli(Leonardo da Vinci)
Credo che la repulsione di numerosi studenti verso la matematica e in particola modo verso la geometria sia dovuta alla visione atemporale che essi hanno di queste materie i cui problemi sono considerati lontani da seacute e dalla realtagrave che li circonda Bisognerebbe far apprezzare gli elementi di libertagrave immaginazione e creazione che certamente catturerebbero lrsquointeresse dei ragazzi
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Credo che abbiano molto piugrave successo nel far apprendere la geometria agli allievi quei docenti che
utilizzano il metodo insegnare divertendo Lrsquoinsegnante ha quindi il dovere di favorire un incontro
positivo con questa disciplina presentarla nel modo piugrave piacevole ed interessante possibile
Un tempo nel Medioevo Alcuino da York fu chiamato da Carlo Magno per istituire una scuola
per i giovani di corte Lui scrisse per loro un libro di matematica allinterno del quale inserigrave una
cinquantina tra giochi e problemi Lidea di insegnare la matematica tramite il gioco quindi egrave
molto antica ma si egrave andata perdendo La scuola cosigrave egrave diventata seriosa e ha tolto questi
stimoli La scuola dovrebbe essere accattivante coinvolgente suscitare curiositagrave egrave come se non
ci si rendesse conto che il linguaggio naturale delluomo soprattutto dei bambini egrave il
gioco
(Ennio Peres)
Se la scuola riuscisse a spogliarsi della sua tradizionale veste seriosa e fiscale e se di conseguenza le materie venissero insegnate con uno spirito piugrave giocoso la partecipazione degli studenti e il loro conseguente livello di profitto potrebbero risultare sensibilmente piugrave alti con una ricaduta nel tempo di straordinari benefici sullintera societagrave (Ennio Peres)
Definisci il poligono(il poligono egrave una parte di
piano limitata da una spezzata
chiusa)
Un quadrilatero con
una sola coppia di
lati paralleli egrave un
helliphellip(trapezio)
Come si chiamano i
lati di un triangolo
rettangolo(cateti e ipotenusa)
Per calcolare lrsquoarea
del rombo posso
moltiplicare la
lunghezza della
base per quella
dellrsquoaltezza
Percheacute(Sigrave percheacute il rombo egrave anche
un parallelogrammo o
romboide)
3 4 5 rappresenta
una terna
pitagorica hellip
Percheacute(Sigrave percheacute 52= 42 + 32)
Geoquiz (giocando con la geometria)
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Qualche riflessione sullrsquoINVALSI
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Classe seconda Classe quinta
Risp Corrette 31
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Cl II P 2014 Risp Corrette 541 Errate 45
Cl V P 2011 Risp Corrette 70 Errate 245 NV 55
In questo quesito egrave richiesta la produzione guidata di un quadrato per la sua realizzazione risulta essere fondamentale prestare attenzione agli angoli poicheacute egrave facile disegnare figure con i lati congruenti
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Componi un quadrato con i seguenti pezzi
La maggior parte inizia tentando a lungo di
comporre il quadrato attorno al disco ottenuto
con i due semicerchi a disposizione
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Percheacute compiti di questo tipo spesso mettono in crisi gli alunni
Lrsquoostacolo in casi come questi egrave la mancanza di
flessibilitagrave il ricorso a stereotipi a schemi rigidi che in
esperienze passate si sono rivelati utili ma che non sono
adatti a gestire la situazione attuale
La scuola ha le sue colpe
Il quadratohellip
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Nella vita reale Nella scuola
Joseph Albers Homage to the Square 1962
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La congruenza dei
lati e degli angoli
Che cosrsquoegrave che rende un quadrato QUADRATO
Tutto il resto (dimensioni posizione orientamento
colore) puograve variare anzi egrave proprio bene che lo faccia
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- Promuovere la flessibilitagrave di pensiero
- Favorire un approccio dinamico alla geometria che prenda in carico il movimento che non
tema i cambiamenti e le trasformazioni purcheacute siano controllate e controllabili
La scuola dovrebbe
Tutti gli elementi che non sono essenziali alla struttura del concetto devono essere variati per mettere in luce ciograve che egrave costante ovvero il concetto (Dienes 1966 matematico)
Sono tutti rettangoli Percheacute
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Sono tutti rettangoli Percheacute
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Dai campi sulle sponde del Nilo
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Un contadino egiziano Nilus proprietario di un campo di forma quadrata eredita alla morte del padre un
altro campo sempre di forma quadrata con laiuto di uno scriba e di alcuni arpedonapti desidera riunire i due
appezzamenti piuttosto distanti in un unico campo ancora di forma quadrata che potragrave coltivare piugrave
agevolmente
Se tu fossi lo scriba che istruzioni daresti agli arpedonapti
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1)Le relazioni spazialibull Spostamenti e posizioni di oggetti nel piano e nello spaziobull Rappresentazione di spostamenti e di posizioni di oggetti nel
piano e nello spazio
2)Le figure geometriche piane e solidebullLo studio delle linee Gli angolibullDagli oggetti alle figure geometriche solide e pianebullStudio dei poligoni e dei solidi
3)Le trasformazioni geometrichebullLe simmetrie assiali ortogonalibullLe traslazioni e le rotazionibullLe omotetie e le similitudini ingrandimenti e rimpicciolimenti
in scala
4)La misura in geometriabullLunghezze aree volumibullFormule per il calcolo delle aree
PERCORSO DIDATTICO
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Le relazioni spaziali
Posizioni di oggetti nel piano e nello
spazio
Spostamenti di oggetti nel piano e
nello spazio
riferite allosservatore
Percorsi liberi
Percorsi guidati
Concetto di linea
da sequenze di comandi
sul piano non
reticolato
non riferite allosservatore
sul piano reticolato
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Rappresentazione di spostamenti e di posizioni
Organizzazione del piano
Percorsi su foglio
reticolato
Percorsi su foglio bianco
Suddivisione in due - quattro zone tre - nove zone
senza coordinate
con coordinate
Avvio allo studio delle linee generate
dal movimento
Reticolazione con coordinate
incroci su griglia
caselle su mappa
Localizzazione di un punto nel piano mediante
Localizzazione di una casella
nel piano
Studio delle linee come figure piane
coordinate
cartesiane polari geografiche
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Figure geometriche piane (insieme non vuoto di punti )
Studio delle linee
Presentazione della retta e delle sue parti
semiretta e segmento
Dalla semiretta allangolo
Dal segmento alle linee spezzate
Studio dellangolo
rette parallele
Studio dei poligoni
Posizione reciproca di due rette nel
piano
rette incidenti
alle linee poligonali
perpendicolarinon
perpendicolari
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Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
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Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
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Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
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Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
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GEOMETRIA
CENNI STORICI
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La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
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Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
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1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
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Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
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Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
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Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
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Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
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In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
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Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
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ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
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Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
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LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
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ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
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I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
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Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
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La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
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Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
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Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
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bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
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A scuola hellip
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SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
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ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
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ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
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VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
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RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
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ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
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Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
A Clara per le sue grandi dote professionali e umane
Quando non potrai correre cammina veloce
Quando non potrai camminare veloce cammina
Quando non potrai camminare usa il bastone
Perograve non trattenerti mai(Madre Teresa di Calcutta)
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Egrave interessante constatare la concretezza della geometria essa non egrave una materia astratta come erroneamente si pensa ma egrave realmente presente in tutto ciograve che ci circonda Abbiamo continuamente a che fare con figure geometriche nella nostra routine quotidiana solo che spesso non ce ne rendiamo conto
Sigrave come il mangiare senza voglia fia dannoso alla salute cosigrave lo studio senza desiderio guasta la memoria e non ritien cosa che la pigli(Leonardo da Vinci)
Credo che la repulsione di numerosi studenti verso la matematica e in particola modo verso la geometria sia dovuta alla visione atemporale che essi hanno di queste materie i cui problemi sono considerati lontani da seacute e dalla realtagrave che li circonda Bisognerebbe far apprezzare gli elementi di libertagrave immaginazione e creazione che certamente catturerebbero lrsquointeresse dei ragazzi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 4
Credo che abbiano molto piugrave successo nel far apprendere la geometria agli allievi quei docenti che
utilizzano il metodo insegnare divertendo Lrsquoinsegnante ha quindi il dovere di favorire un incontro
positivo con questa disciplina presentarla nel modo piugrave piacevole ed interessante possibile
Un tempo nel Medioevo Alcuino da York fu chiamato da Carlo Magno per istituire una scuola
per i giovani di corte Lui scrisse per loro un libro di matematica allinterno del quale inserigrave una
cinquantina tra giochi e problemi Lidea di insegnare la matematica tramite il gioco quindi egrave
molto antica ma si egrave andata perdendo La scuola cosigrave egrave diventata seriosa e ha tolto questi
stimoli La scuola dovrebbe essere accattivante coinvolgente suscitare curiositagrave egrave come se non
ci si rendesse conto che il linguaggio naturale delluomo soprattutto dei bambini egrave il
gioco
(Ennio Peres)
Se la scuola riuscisse a spogliarsi della sua tradizionale veste seriosa e fiscale e se di conseguenza le materie venissero insegnate con uno spirito piugrave giocoso la partecipazione degli studenti e il loro conseguente livello di profitto potrebbero risultare sensibilmente piugrave alti con una ricaduta nel tempo di straordinari benefici sullintera societagrave (Ennio Peres)
Definisci il poligono(il poligono egrave una parte di
piano limitata da una spezzata
chiusa)
Un quadrilatero con
una sola coppia di
lati paralleli egrave un
helliphellip(trapezio)
Come si chiamano i
lati di un triangolo
rettangolo(cateti e ipotenusa)
Per calcolare lrsquoarea
del rombo posso
moltiplicare la
lunghezza della
base per quella
dellrsquoaltezza
Percheacute(Sigrave percheacute il rombo egrave anche
un parallelogrammo o
romboide)
3 4 5 rappresenta
una terna
pitagorica hellip
Percheacute(Sigrave percheacute 52= 42 + 32)
Geoquiz (giocando con la geometria)
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Qualche riflessione sullrsquoINVALSI
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Classe seconda Classe quinta
Risp Corrette 31
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Cl II P 2014 Risp Corrette 541 Errate 45
Cl V P 2011 Risp Corrette 70 Errate 245 NV 55
In questo quesito egrave richiesta la produzione guidata di un quadrato per la sua realizzazione risulta essere fondamentale prestare attenzione agli angoli poicheacute egrave facile disegnare figure con i lati congruenti
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Componi un quadrato con i seguenti pezzi
La maggior parte inizia tentando a lungo di
comporre il quadrato attorno al disco ottenuto
con i due semicerchi a disposizione
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Percheacute compiti di questo tipo spesso mettono in crisi gli alunni
Lrsquoostacolo in casi come questi egrave la mancanza di
flessibilitagrave il ricorso a stereotipi a schemi rigidi che in
esperienze passate si sono rivelati utili ma che non sono
adatti a gestire la situazione attuale
La scuola ha le sue colpe
Il quadratohellip
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Nella vita reale Nella scuola
Joseph Albers Homage to the Square 1962
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La congruenza dei
lati e degli angoli
Che cosrsquoegrave che rende un quadrato QUADRATO
Tutto il resto (dimensioni posizione orientamento
colore) puograve variare anzi egrave proprio bene che lo faccia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 12
- Promuovere la flessibilitagrave di pensiero
- Favorire un approccio dinamico alla geometria che prenda in carico il movimento che non
tema i cambiamenti e le trasformazioni purcheacute siano controllate e controllabili
La scuola dovrebbe
Tutti gli elementi che non sono essenziali alla struttura del concetto devono essere variati per mettere in luce ciograve che egrave costante ovvero il concetto (Dienes 1966 matematico)
Sono tutti rettangoli Percheacute
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Sono tutti rettangoli Percheacute
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Dai campi sulle sponde del Nilo
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Un contadino egiziano Nilus proprietario di un campo di forma quadrata eredita alla morte del padre un
altro campo sempre di forma quadrata con laiuto di uno scriba e di alcuni arpedonapti desidera riunire i due
appezzamenti piuttosto distanti in un unico campo ancora di forma quadrata che potragrave coltivare piugrave
agevolmente
Se tu fossi lo scriba che istruzioni daresti agli arpedonapti
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 16
1)Le relazioni spazialibull Spostamenti e posizioni di oggetti nel piano e nello spaziobull Rappresentazione di spostamenti e di posizioni di oggetti nel
piano e nello spazio
2)Le figure geometriche piane e solidebullLo studio delle linee Gli angolibullDagli oggetti alle figure geometriche solide e pianebullStudio dei poligoni e dei solidi
3)Le trasformazioni geometrichebullLe simmetrie assiali ortogonalibullLe traslazioni e le rotazionibullLe omotetie e le similitudini ingrandimenti e rimpicciolimenti
in scala
4)La misura in geometriabullLunghezze aree volumibullFormule per il calcolo delle aree
PERCORSO DIDATTICO
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Le relazioni spaziali
Posizioni di oggetti nel piano e nello
spazio
Spostamenti di oggetti nel piano e
nello spazio
riferite allosservatore
Percorsi liberi
Percorsi guidati
Concetto di linea
da sequenze di comandi
sul piano non
reticolato
non riferite allosservatore
sul piano reticolato
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Rappresentazione di spostamenti e di posizioni
Organizzazione del piano
Percorsi su foglio
reticolato
Percorsi su foglio bianco
Suddivisione in due - quattro zone tre - nove zone
senza coordinate
con coordinate
Avvio allo studio delle linee generate
dal movimento
Reticolazione con coordinate
incroci su griglia
caselle su mappa
Localizzazione di un punto nel piano mediante
Localizzazione di una casella
nel piano
Studio delle linee come figure piane
coordinate
cartesiane polari geografiche
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Figure geometriche piane (insieme non vuoto di punti )
Studio delle linee
Presentazione della retta e delle sue parti
semiretta e segmento
Dalla semiretta allangolo
Dal segmento alle linee spezzate
Studio dellangolo
rette parallele
Studio dei poligoni
Posizione reciproca di due rette nel
piano
rette incidenti
alle linee poligonali
perpendicolarinon
perpendicolari
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Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
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Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
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Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
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Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
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GEOMETRIA
CENNI STORICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 25
La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 26
Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
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1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
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Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
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Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
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Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 3
Egrave interessante constatare la concretezza della geometria essa non egrave una materia astratta come erroneamente si pensa ma egrave realmente presente in tutto ciograve che ci circonda Abbiamo continuamente a che fare con figure geometriche nella nostra routine quotidiana solo che spesso non ce ne rendiamo conto
Sigrave come il mangiare senza voglia fia dannoso alla salute cosigrave lo studio senza desiderio guasta la memoria e non ritien cosa che la pigli(Leonardo da Vinci)
Credo che la repulsione di numerosi studenti verso la matematica e in particola modo verso la geometria sia dovuta alla visione atemporale che essi hanno di queste materie i cui problemi sono considerati lontani da seacute e dalla realtagrave che li circonda Bisognerebbe far apprezzare gli elementi di libertagrave immaginazione e creazione che certamente catturerebbero lrsquointeresse dei ragazzi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 4
Credo che abbiano molto piugrave successo nel far apprendere la geometria agli allievi quei docenti che
utilizzano il metodo insegnare divertendo Lrsquoinsegnante ha quindi il dovere di favorire un incontro
positivo con questa disciplina presentarla nel modo piugrave piacevole ed interessante possibile
Un tempo nel Medioevo Alcuino da York fu chiamato da Carlo Magno per istituire una scuola
per i giovani di corte Lui scrisse per loro un libro di matematica allinterno del quale inserigrave una
cinquantina tra giochi e problemi Lidea di insegnare la matematica tramite il gioco quindi egrave
molto antica ma si egrave andata perdendo La scuola cosigrave egrave diventata seriosa e ha tolto questi
stimoli La scuola dovrebbe essere accattivante coinvolgente suscitare curiositagrave egrave come se non
ci si rendesse conto che il linguaggio naturale delluomo soprattutto dei bambini egrave il
gioco
(Ennio Peres)
Se la scuola riuscisse a spogliarsi della sua tradizionale veste seriosa e fiscale e se di conseguenza le materie venissero insegnate con uno spirito piugrave giocoso la partecipazione degli studenti e il loro conseguente livello di profitto potrebbero risultare sensibilmente piugrave alti con una ricaduta nel tempo di straordinari benefici sullintera societagrave (Ennio Peres)
Definisci il poligono(il poligono egrave una parte di
piano limitata da una spezzata
chiusa)
Un quadrilatero con
una sola coppia di
lati paralleli egrave un
helliphellip(trapezio)
Come si chiamano i
lati di un triangolo
rettangolo(cateti e ipotenusa)
Per calcolare lrsquoarea
del rombo posso
moltiplicare la
lunghezza della
base per quella
dellrsquoaltezza
Percheacute(Sigrave percheacute il rombo egrave anche
un parallelogrammo o
romboide)
3 4 5 rappresenta
una terna
pitagorica hellip
Percheacute(Sigrave percheacute 52= 42 + 32)
Geoquiz (giocando con la geometria)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 5
Qualche riflessione sullrsquoINVALSI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 6
Classe seconda Classe quinta
Risp Corrette 31
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 7
Cl II P 2014 Risp Corrette 541 Errate 45
Cl V P 2011 Risp Corrette 70 Errate 245 NV 55
In questo quesito egrave richiesta la produzione guidata di un quadrato per la sua realizzazione risulta essere fondamentale prestare attenzione agli angoli poicheacute egrave facile disegnare figure con i lati congruenti
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 8
Componi un quadrato con i seguenti pezzi
La maggior parte inizia tentando a lungo di
comporre il quadrato attorno al disco ottenuto
con i due semicerchi a disposizione
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Percheacute compiti di questo tipo spesso mettono in crisi gli alunni
Lrsquoostacolo in casi come questi egrave la mancanza di
flessibilitagrave il ricorso a stereotipi a schemi rigidi che in
esperienze passate si sono rivelati utili ma che non sono
adatti a gestire la situazione attuale
La scuola ha le sue colpe
Il quadratohellip
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Nella vita reale Nella scuola
Joseph Albers Homage to the Square 1962
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La congruenza dei
lati e degli angoli
Che cosrsquoegrave che rende un quadrato QUADRATO
Tutto il resto (dimensioni posizione orientamento
colore) puograve variare anzi egrave proprio bene che lo faccia
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- Promuovere la flessibilitagrave di pensiero
- Favorire un approccio dinamico alla geometria che prenda in carico il movimento che non
tema i cambiamenti e le trasformazioni purcheacute siano controllate e controllabili
La scuola dovrebbe
Tutti gli elementi che non sono essenziali alla struttura del concetto devono essere variati per mettere in luce ciograve che egrave costante ovvero il concetto (Dienes 1966 matematico)
Sono tutti rettangoli Percheacute
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Sono tutti rettangoli Percheacute
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Dai campi sulle sponde del Nilo
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Un contadino egiziano Nilus proprietario di un campo di forma quadrata eredita alla morte del padre un
altro campo sempre di forma quadrata con laiuto di uno scriba e di alcuni arpedonapti desidera riunire i due
appezzamenti piuttosto distanti in un unico campo ancora di forma quadrata che potragrave coltivare piugrave
agevolmente
Se tu fossi lo scriba che istruzioni daresti agli arpedonapti
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1)Le relazioni spazialibull Spostamenti e posizioni di oggetti nel piano e nello spaziobull Rappresentazione di spostamenti e di posizioni di oggetti nel
piano e nello spazio
2)Le figure geometriche piane e solidebullLo studio delle linee Gli angolibullDagli oggetti alle figure geometriche solide e pianebullStudio dei poligoni e dei solidi
3)Le trasformazioni geometrichebullLe simmetrie assiali ortogonalibullLe traslazioni e le rotazionibullLe omotetie e le similitudini ingrandimenti e rimpicciolimenti
in scala
4)La misura in geometriabullLunghezze aree volumibullFormule per il calcolo delle aree
PERCORSO DIDATTICO
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Le relazioni spaziali
Posizioni di oggetti nel piano e nello
spazio
Spostamenti di oggetti nel piano e
nello spazio
riferite allosservatore
Percorsi liberi
Percorsi guidati
Concetto di linea
da sequenze di comandi
sul piano non
reticolato
non riferite allosservatore
sul piano reticolato
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Rappresentazione di spostamenti e di posizioni
Organizzazione del piano
Percorsi su foglio
reticolato
Percorsi su foglio bianco
Suddivisione in due - quattro zone tre - nove zone
senza coordinate
con coordinate
Avvio allo studio delle linee generate
dal movimento
Reticolazione con coordinate
incroci su griglia
caselle su mappa
Localizzazione di un punto nel piano mediante
Localizzazione di una casella
nel piano
Studio delle linee come figure piane
coordinate
cartesiane polari geografiche
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Figure geometriche piane (insieme non vuoto di punti )
Studio delle linee
Presentazione della retta e delle sue parti
semiretta e segmento
Dalla semiretta allangolo
Dal segmento alle linee spezzate
Studio dellangolo
rette parallele
Studio dei poligoni
Posizione reciproca di due rette nel
piano
rette incidenti
alle linee poligonali
perpendicolarinon
perpendicolari
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Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
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Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
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Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
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Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
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GEOMETRIA
CENNI STORICI
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La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
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Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
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1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
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Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
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Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 4
Credo che abbiano molto piugrave successo nel far apprendere la geometria agli allievi quei docenti che
utilizzano il metodo insegnare divertendo Lrsquoinsegnante ha quindi il dovere di favorire un incontro
positivo con questa disciplina presentarla nel modo piugrave piacevole ed interessante possibile
Un tempo nel Medioevo Alcuino da York fu chiamato da Carlo Magno per istituire una scuola
per i giovani di corte Lui scrisse per loro un libro di matematica allinterno del quale inserigrave una
cinquantina tra giochi e problemi Lidea di insegnare la matematica tramite il gioco quindi egrave
molto antica ma si egrave andata perdendo La scuola cosigrave egrave diventata seriosa e ha tolto questi
stimoli La scuola dovrebbe essere accattivante coinvolgente suscitare curiositagrave egrave come se non
ci si rendesse conto che il linguaggio naturale delluomo soprattutto dei bambini egrave il
gioco
(Ennio Peres)
Se la scuola riuscisse a spogliarsi della sua tradizionale veste seriosa e fiscale e se di conseguenza le materie venissero insegnate con uno spirito piugrave giocoso la partecipazione degli studenti e il loro conseguente livello di profitto potrebbero risultare sensibilmente piugrave alti con una ricaduta nel tempo di straordinari benefici sullintera societagrave (Ennio Peres)
Definisci il poligono(il poligono egrave una parte di
piano limitata da una spezzata
chiusa)
Un quadrilatero con
una sola coppia di
lati paralleli egrave un
helliphellip(trapezio)
Come si chiamano i
lati di un triangolo
rettangolo(cateti e ipotenusa)
Per calcolare lrsquoarea
del rombo posso
moltiplicare la
lunghezza della
base per quella
dellrsquoaltezza
Percheacute(Sigrave percheacute il rombo egrave anche
un parallelogrammo o
romboide)
3 4 5 rappresenta
una terna
pitagorica hellip
Percheacute(Sigrave percheacute 52= 42 + 32)
Geoquiz (giocando con la geometria)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 5
Qualche riflessione sullrsquoINVALSI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 6
Classe seconda Classe quinta
Risp Corrette 31
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 7
Cl II P 2014 Risp Corrette 541 Errate 45
Cl V P 2011 Risp Corrette 70 Errate 245 NV 55
In questo quesito egrave richiesta la produzione guidata di un quadrato per la sua realizzazione risulta essere fondamentale prestare attenzione agli angoli poicheacute egrave facile disegnare figure con i lati congruenti
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 8
Componi un quadrato con i seguenti pezzi
La maggior parte inizia tentando a lungo di
comporre il quadrato attorno al disco ottenuto
con i due semicerchi a disposizione
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 9
Percheacute compiti di questo tipo spesso mettono in crisi gli alunni
Lrsquoostacolo in casi come questi egrave la mancanza di
flessibilitagrave il ricorso a stereotipi a schemi rigidi che in
esperienze passate si sono rivelati utili ma che non sono
adatti a gestire la situazione attuale
La scuola ha le sue colpe
Il quadratohellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 10
Nella vita reale Nella scuola
Joseph Albers Homage to the Square 1962
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 11
La congruenza dei
lati e degli angoli
Che cosrsquoegrave che rende un quadrato QUADRATO
Tutto il resto (dimensioni posizione orientamento
colore) puograve variare anzi egrave proprio bene che lo faccia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 12
- Promuovere la flessibilitagrave di pensiero
- Favorire un approccio dinamico alla geometria che prenda in carico il movimento che non
tema i cambiamenti e le trasformazioni purcheacute siano controllate e controllabili
La scuola dovrebbe
Tutti gli elementi che non sono essenziali alla struttura del concetto devono essere variati per mettere in luce ciograve che egrave costante ovvero il concetto (Dienes 1966 matematico)
Sono tutti rettangoli Percheacute
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 13
Sono tutti rettangoli Percheacute
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 14
Dai campi sulle sponde del Nilo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 15
Un contadino egiziano Nilus proprietario di un campo di forma quadrata eredita alla morte del padre un
altro campo sempre di forma quadrata con laiuto di uno scriba e di alcuni arpedonapti desidera riunire i due
appezzamenti piuttosto distanti in un unico campo ancora di forma quadrata che potragrave coltivare piugrave
agevolmente
Se tu fossi lo scriba che istruzioni daresti agli arpedonapti
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 16
1)Le relazioni spazialibull Spostamenti e posizioni di oggetti nel piano e nello spaziobull Rappresentazione di spostamenti e di posizioni di oggetti nel
piano e nello spazio
2)Le figure geometriche piane e solidebullLo studio delle linee Gli angolibullDagli oggetti alle figure geometriche solide e pianebullStudio dei poligoni e dei solidi
3)Le trasformazioni geometrichebullLe simmetrie assiali ortogonalibullLe traslazioni e le rotazionibullLe omotetie e le similitudini ingrandimenti e rimpicciolimenti
in scala
4)La misura in geometriabullLunghezze aree volumibullFormule per il calcolo delle aree
PERCORSO DIDATTICO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 17
Le relazioni spaziali
Posizioni di oggetti nel piano e nello
spazio
Spostamenti di oggetti nel piano e
nello spazio
riferite allosservatore
Percorsi liberi
Percorsi guidati
Concetto di linea
da sequenze di comandi
sul piano non
reticolato
non riferite allosservatore
sul piano reticolato
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 18
Rappresentazione di spostamenti e di posizioni
Organizzazione del piano
Percorsi su foglio
reticolato
Percorsi su foglio bianco
Suddivisione in due - quattro zone tre - nove zone
senza coordinate
con coordinate
Avvio allo studio delle linee generate
dal movimento
Reticolazione con coordinate
incroci su griglia
caselle su mappa
Localizzazione di un punto nel piano mediante
Localizzazione di una casella
nel piano
Studio delle linee come figure piane
coordinate
cartesiane polari geografiche
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Figure geometriche piane (insieme non vuoto di punti )
Studio delle linee
Presentazione della retta e delle sue parti
semiretta e segmento
Dalla semiretta allangolo
Dal segmento alle linee spezzate
Studio dellangolo
rette parallele
Studio dei poligoni
Posizione reciproca di due rette nel
piano
rette incidenti
alle linee poligonali
perpendicolarinon
perpendicolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 20
Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
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Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
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Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
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Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
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GEOMETRIA
CENNI STORICI
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La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 26
Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 27
1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
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Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 29
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
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Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
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Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
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Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
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Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
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ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
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Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
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LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
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I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
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Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
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La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
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Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
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Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
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A scuola hellip
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SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
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ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
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ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
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VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
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RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
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Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Definisci il poligono(il poligono egrave una parte di
piano limitata da una spezzata
chiusa)
Un quadrilatero con
una sola coppia di
lati paralleli egrave un
helliphellip(trapezio)
Come si chiamano i
lati di un triangolo
rettangolo(cateti e ipotenusa)
Per calcolare lrsquoarea
del rombo posso
moltiplicare la
lunghezza della
base per quella
dellrsquoaltezza
Percheacute(Sigrave percheacute il rombo egrave anche
un parallelogrammo o
romboide)
3 4 5 rappresenta
una terna
pitagorica hellip
Percheacute(Sigrave percheacute 52= 42 + 32)
Geoquiz (giocando con la geometria)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 5
Qualche riflessione sullrsquoINVALSI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 6
Classe seconda Classe quinta
Risp Corrette 31
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 7
Cl II P 2014 Risp Corrette 541 Errate 45
Cl V P 2011 Risp Corrette 70 Errate 245 NV 55
In questo quesito egrave richiesta la produzione guidata di un quadrato per la sua realizzazione risulta essere fondamentale prestare attenzione agli angoli poicheacute egrave facile disegnare figure con i lati congruenti
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 8
Componi un quadrato con i seguenti pezzi
La maggior parte inizia tentando a lungo di
comporre il quadrato attorno al disco ottenuto
con i due semicerchi a disposizione
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Percheacute compiti di questo tipo spesso mettono in crisi gli alunni
Lrsquoostacolo in casi come questi egrave la mancanza di
flessibilitagrave il ricorso a stereotipi a schemi rigidi che in
esperienze passate si sono rivelati utili ma che non sono
adatti a gestire la situazione attuale
La scuola ha le sue colpe
Il quadratohellip
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Nella vita reale Nella scuola
Joseph Albers Homage to the Square 1962
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La congruenza dei
lati e degli angoli
Che cosrsquoegrave che rende un quadrato QUADRATO
Tutto il resto (dimensioni posizione orientamento
colore) puograve variare anzi egrave proprio bene che lo faccia
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- Promuovere la flessibilitagrave di pensiero
- Favorire un approccio dinamico alla geometria che prenda in carico il movimento che non
tema i cambiamenti e le trasformazioni purcheacute siano controllate e controllabili
La scuola dovrebbe
Tutti gli elementi che non sono essenziali alla struttura del concetto devono essere variati per mettere in luce ciograve che egrave costante ovvero il concetto (Dienes 1966 matematico)
Sono tutti rettangoli Percheacute
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Sono tutti rettangoli Percheacute
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Dai campi sulle sponde del Nilo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 15
Un contadino egiziano Nilus proprietario di un campo di forma quadrata eredita alla morte del padre un
altro campo sempre di forma quadrata con laiuto di uno scriba e di alcuni arpedonapti desidera riunire i due
appezzamenti piuttosto distanti in un unico campo ancora di forma quadrata che potragrave coltivare piugrave
agevolmente
Se tu fossi lo scriba che istruzioni daresti agli arpedonapti
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 16
1)Le relazioni spazialibull Spostamenti e posizioni di oggetti nel piano e nello spaziobull Rappresentazione di spostamenti e di posizioni di oggetti nel
piano e nello spazio
2)Le figure geometriche piane e solidebullLo studio delle linee Gli angolibullDagli oggetti alle figure geometriche solide e pianebullStudio dei poligoni e dei solidi
3)Le trasformazioni geometrichebullLe simmetrie assiali ortogonalibullLe traslazioni e le rotazionibullLe omotetie e le similitudini ingrandimenti e rimpicciolimenti
in scala
4)La misura in geometriabullLunghezze aree volumibullFormule per il calcolo delle aree
PERCORSO DIDATTICO
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Le relazioni spaziali
Posizioni di oggetti nel piano e nello
spazio
Spostamenti di oggetti nel piano e
nello spazio
riferite allosservatore
Percorsi liberi
Percorsi guidati
Concetto di linea
da sequenze di comandi
sul piano non
reticolato
non riferite allosservatore
sul piano reticolato
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Rappresentazione di spostamenti e di posizioni
Organizzazione del piano
Percorsi su foglio
reticolato
Percorsi su foglio bianco
Suddivisione in due - quattro zone tre - nove zone
senza coordinate
con coordinate
Avvio allo studio delle linee generate
dal movimento
Reticolazione con coordinate
incroci su griglia
caselle su mappa
Localizzazione di un punto nel piano mediante
Localizzazione di una casella
nel piano
Studio delle linee come figure piane
coordinate
cartesiane polari geografiche
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Figure geometriche piane (insieme non vuoto di punti )
Studio delle linee
Presentazione della retta e delle sue parti
semiretta e segmento
Dalla semiretta allangolo
Dal segmento alle linee spezzate
Studio dellangolo
rette parallele
Studio dei poligoni
Posizione reciproca di due rette nel
piano
rette incidenti
alle linee poligonali
perpendicolarinon
perpendicolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 20
Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
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Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
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Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
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Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
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GEOMETRIA
CENNI STORICI
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La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
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Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
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1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
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Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
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Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
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Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
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In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
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LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
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I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
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Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Qualche riflessione sullrsquoINVALSI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 6
Classe seconda Classe quinta
Risp Corrette 31
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 7
Cl II P 2014 Risp Corrette 541 Errate 45
Cl V P 2011 Risp Corrette 70 Errate 245 NV 55
In questo quesito egrave richiesta la produzione guidata di un quadrato per la sua realizzazione risulta essere fondamentale prestare attenzione agli angoli poicheacute egrave facile disegnare figure con i lati congruenti
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 8
Componi un quadrato con i seguenti pezzi
La maggior parte inizia tentando a lungo di
comporre il quadrato attorno al disco ottenuto
con i due semicerchi a disposizione
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 9
Percheacute compiti di questo tipo spesso mettono in crisi gli alunni
Lrsquoostacolo in casi come questi egrave la mancanza di
flessibilitagrave il ricorso a stereotipi a schemi rigidi che in
esperienze passate si sono rivelati utili ma che non sono
adatti a gestire la situazione attuale
La scuola ha le sue colpe
Il quadratohellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 10
Nella vita reale Nella scuola
Joseph Albers Homage to the Square 1962
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 11
La congruenza dei
lati e degli angoli
Che cosrsquoegrave che rende un quadrato QUADRATO
Tutto il resto (dimensioni posizione orientamento
colore) puograve variare anzi egrave proprio bene che lo faccia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 12
- Promuovere la flessibilitagrave di pensiero
- Favorire un approccio dinamico alla geometria che prenda in carico il movimento che non
tema i cambiamenti e le trasformazioni purcheacute siano controllate e controllabili
La scuola dovrebbe
Tutti gli elementi che non sono essenziali alla struttura del concetto devono essere variati per mettere in luce ciograve che egrave costante ovvero il concetto (Dienes 1966 matematico)
Sono tutti rettangoli Percheacute
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 13
Sono tutti rettangoli Percheacute
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 14
Dai campi sulle sponde del Nilo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 15
Un contadino egiziano Nilus proprietario di un campo di forma quadrata eredita alla morte del padre un
altro campo sempre di forma quadrata con laiuto di uno scriba e di alcuni arpedonapti desidera riunire i due
appezzamenti piuttosto distanti in un unico campo ancora di forma quadrata che potragrave coltivare piugrave
agevolmente
Se tu fossi lo scriba che istruzioni daresti agli arpedonapti
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 16
1)Le relazioni spazialibull Spostamenti e posizioni di oggetti nel piano e nello spaziobull Rappresentazione di spostamenti e di posizioni di oggetti nel
piano e nello spazio
2)Le figure geometriche piane e solidebullLo studio delle linee Gli angolibullDagli oggetti alle figure geometriche solide e pianebullStudio dei poligoni e dei solidi
3)Le trasformazioni geometrichebullLe simmetrie assiali ortogonalibullLe traslazioni e le rotazionibullLe omotetie e le similitudini ingrandimenti e rimpicciolimenti
in scala
4)La misura in geometriabullLunghezze aree volumibullFormule per il calcolo delle aree
PERCORSO DIDATTICO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 17
Le relazioni spaziali
Posizioni di oggetti nel piano e nello
spazio
Spostamenti di oggetti nel piano e
nello spazio
riferite allosservatore
Percorsi liberi
Percorsi guidati
Concetto di linea
da sequenze di comandi
sul piano non
reticolato
non riferite allosservatore
sul piano reticolato
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 18
Rappresentazione di spostamenti e di posizioni
Organizzazione del piano
Percorsi su foglio
reticolato
Percorsi su foglio bianco
Suddivisione in due - quattro zone tre - nove zone
senza coordinate
con coordinate
Avvio allo studio delle linee generate
dal movimento
Reticolazione con coordinate
incroci su griglia
caselle su mappa
Localizzazione di un punto nel piano mediante
Localizzazione di una casella
nel piano
Studio delle linee come figure piane
coordinate
cartesiane polari geografiche
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 19
Figure geometriche piane (insieme non vuoto di punti )
Studio delle linee
Presentazione della retta e delle sue parti
semiretta e segmento
Dalla semiretta allangolo
Dal segmento alle linee spezzate
Studio dellangolo
rette parallele
Studio dei poligoni
Posizione reciproca di due rette nel
piano
rette incidenti
alle linee poligonali
perpendicolarinon
perpendicolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 20
Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 21
Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 22
Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 23
Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 24
GEOMETRIA
CENNI STORICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 25
La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 26
Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 27
1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 28
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 29
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
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Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
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A scuola hellip
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SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
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Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 7
Cl II P 2014 Risp Corrette 541 Errate 45
Cl V P 2011 Risp Corrette 70 Errate 245 NV 55
In questo quesito egrave richiesta la produzione guidata di un quadrato per la sua realizzazione risulta essere fondamentale prestare attenzione agli angoli poicheacute egrave facile disegnare figure con i lati congruenti
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 8
Componi un quadrato con i seguenti pezzi
La maggior parte inizia tentando a lungo di
comporre il quadrato attorno al disco ottenuto
con i due semicerchi a disposizione
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 9
Percheacute compiti di questo tipo spesso mettono in crisi gli alunni
Lrsquoostacolo in casi come questi egrave la mancanza di
flessibilitagrave il ricorso a stereotipi a schemi rigidi che in
esperienze passate si sono rivelati utili ma che non sono
adatti a gestire la situazione attuale
La scuola ha le sue colpe
Il quadratohellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 10
Nella vita reale Nella scuola
Joseph Albers Homage to the Square 1962
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 11
La congruenza dei
lati e degli angoli
Che cosrsquoegrave che rende un quadrato QUADRATO
Tutto il resto (dimensioni posizione orientamento
colore) puograve variare anzi egrave proprio bene che lo faccia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 12
- Promuovere la flessibilitagrave di pensiero
- Favorire un approccio dinamico alla geometria che prenda in carico il movimento che non
tema i cambiamenti e le trasformazioni purcheacute siano controllate e controllabili
La scuola dovrebbe
Tutti gli elementi che non sono essenziali alla struttura del concetto devono essere variati per mettere in luce ciograve che egrave costante ovvero il concetto (Dienes 1966 matematico)
Sono tutti rettangoli Percheacute
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 13
Sono tutti rettangoli Percheacute
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 14
Dai campi sulle sponde del Nilo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 15
Un contadino egiziano Nilus proprietario di un campo di forma quadrata eredita alla morte del padre un
altro campo sempre di forma quadrata con laiuto di uno scriba e di alcuni arpedonapti desidera riunire i due
appezzamenti piuttosto distanti in un unico campo ancora di forma quadrata che potragrave coltivare piugrave
agevolmente
Se tu fossi lo scriba che istruzioni daresti agli arpedonapti
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 16
1)Le relazioni spazialibull Spostamenti e posizioni di oggetti nel piano e nello spaziobull Rappresentazione di spostamenti e di posizioni di oggetti nel
piano e nello spazio
2)Le figure geometriche piane e solidebullLo studio delle linee Gli angolibullDagli oggetti alle figure geometriche solide e pianebullStudio dei poligoni e dei solidi
3)Le trasformazioni geometrichebullLe simmetrie assiali ortogonalibullLe traslazioni e le rotazionibullLe omotetie e le similitudini ingrandimenti e rimpicciolimenti
in scala
4)La misura in geometriabullLunghezze aree volumibullFormule per il calcolo delle aree
PERCORSO DIDATTICO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 17
Le relazioni spaziali
Posizioni di oggetti nel piano e nello
spazio
Spostamenti di oggetti nel piano e
nello spazio
riferite allosservatore
Percorsi liberi
Percorsi guidati
Concetto di linea
da sequenze di comandi
sul piano non
reticolato
non riferite allosservatore
sul piano reticolato
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 18
Rappresentazione di spostamenti e di posizioni
Organizzazione del piano
Percorsi su foglio
reticolato
Percorsi su foglio bianco
Suddivisione in due - quattro zone tre - nove zone
senza coordinate
con coordinate
Avvio allo studio delle linee generate
dal movimento
Reticolazione con coordinate
incroci su griglia
caselle su mappa
Localizzazione di un punto nel piano mediante
Localizzazione di una casella
nel piano
Studio delle linee come figure piane
coordinate
cartesiane polari geografiche
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 19
Figure geometriche piane (insieme non vuoto di punti )
Studio delle linee
Presentazione della retta e delle sue parti
semiretta e segmento
Dalla semiretta allangolo
Dal segmento alle linee spezzate
Studio dellangolo
rette parallele
Studio dei poligoni
Posizione reciproca di due rette nel
piano
rette incidenti
alle linee poligonali
perpendicolarinon
perpendicolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 20
Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 21
Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 22
Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 23
Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 24
GEOMETRIA
CENNI STORICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 25
La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 26
Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 27
1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 28
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 29
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 8
Componi un quadrato con i seguenti pezzi
La maggior parte inizia tentando a lungo di
comporre il quadrato attorno al disco ottenuto
con i due semicerchi a disposizione
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 9
Percheacute compiti di questo tipo spesso mettono in crisi gli alunni
Lrsquoostacolo in casi come questi egrave la mancanza di
flessibilitagrave il ricorso a stereotipi a schemi rigidi che in
esperienze passate si sono rivelati utili ma che non sono
adatti a gestire la situazione attuale
La scuola ha le sue colpe
Il quadratohellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 10
Nella vita reale Nella scuola
Joseph Albers Homage to the Square 1962
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 11
La congruenza dei
lati e degli angoli
Che cosrsquoegrave che rende un quadrato QUADRATO
Tutto il resto (dimensioni posizione orientamento
colore) puograve variare anzi egrave proprio bene che lo faccia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 12
- Promuovere la flessibilitagrave di pensiero
- Favorire un approccio dinamico alla geometria che prenda in carico il movimento che non
tema i cambiamenti e le trasformazioni purcheacute siano controllate e controllabili
La scuola dovrebbe
Tutti gli elementi che non sono essenziali alla struttura del concetto devono essere variati per mettere in luce ciograve che egrave costante ovvero il concetto (Dienes 1966 matematico)
Sono tutti rettangoli Percheacute
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 13
Sono tutti rettangoli Percheacute
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 14
Dai campi sulle sponde del Nilo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 15
Un contadino egiziano Nilus proprietario di un campo di forma quadrata eredita alla morte del padre un
altro campo sempre di forma quadrata con laiuto di uno scriba e di alcuni arpedonapti desidera riunire i due
appezzamenti piuttosto distanti in un unico campo ancora di forma quadrata che potragrave coltivare piugrave
agevolmente
Se tu fossi lo scriba che istruzioni daresti agli arpedonapti
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 16
1)Le relazioni spazialibull Spostamenti e posizioni di oggetti nel piano e nello spaziobull Rappresentazione di spostamenti e di posizioni di oggetti nel
piano e nello spazio
2)Le figure geometriche piane e solidebullLo studio delle linee Gli angolibullDagli oggetti alle figure geometriche solide e pianebullStudio dei poligoni e dei solidi
3)Le trasformazioni geometrichebullLe simmetrie assiali ortogonalibullLe traslazioni e le rotazionibullLe omotetie e le similitudini ingrandimenti e rimpicciolimenti
in scala
4)La misura in geometriabullLunghezze aree volumibullFormule per il calcolo delle aree
PERCORSO DIDATTICO
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Le relazioni spaziali
Posizioni di oggetti nel piano e nello
spazio
Spostamenti di oggetti nel piano e
nello spazio
riferite allosservatore
Percorsi liberi
Percorsi guidati
Concetto di linea
da sequenze di comandi
sul piano non
reticolato
non riferite allosservatore
sul piano reticolato
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Rappresentazione di spostamenti e di posizioni
Organizzazione del piano
Percorsi su foglio
reticolato
Percorsi su foglio bianco
Suddivisione in due - quattro zone tre - nove zone
senza coordinate
con coordinate
Avvio allo studio delle linee generate
dal movimento
Reticolazione con coordinate
incroci su griglia
caselle su mappa
Localizzazione di un punto nel piano mediante
Localizzazione di una casella
nel piano
Studio delle linee come figure piane
coordinate
cartesiane polari geografiche
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Figure geometriche piane (insieme non vuoto di punti )
Studio delle linee
Presentazione della retta e delle sue parti
semiretta e segmento
Dalla semiretta allangolo
Dal segmento alle linee spezzate
Studio dellangolo
rette parallele
Studio dei poligoni
Posizione reciproca di due rette nel
piano
rette incidenti
alle linee poligonali
perpendicolarinon
perpendicolari
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Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 21
Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
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Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
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Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
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GEOMETRIA
CENNI STORICI
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La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
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Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
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1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
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Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 29
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
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LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
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ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
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I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
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Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
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Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
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Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
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bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
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A scuola hellip
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SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
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ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
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VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
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RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
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Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 9
Percheacute compiti di questo tipo spesso mettono in crisi gli alunni
Lrsquoostacolo in casi come questi egrave la mancanza di
flessibilitagrave il ricorso a stereotipi a schemi rigidi che in
esperienze passate si sono rivelati utili ma che non sono
adatti a gestire la situazione attuale
La scuola ha le sue colpe
Il quadratohellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 10
Nella vita reale Nella scuola
Joseph Albers Homage to the Square 1962
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 11
La congruenza dei
lati e degli angoli
Che cosrsquoegrave che rende un quadrato QUADRATO
Tutto il resto (dimensioni posizione orientamento
colore) puograve variare anzi egrave proprio bene che lo faccia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 12
- Promuovere la flessibilitagrave di pensiero
- Favorire un approccio dinamico alla geometria che prenda in carico il movimento che non
tema i cambiamenti e le trasformazioni purcheacute siano controllate e controllabili
La scuola dovrebbe
Tutti gli elementi che non sono essenziali alla struttura del concetto devono essere variati per mettere in luce ciograve che egrave costante ovvero il concetto (Dienes 1966 matematico)
Sono tutti rettangoli Percheacute
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 13
Sono tutti rettangoli Percheacute
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Dai campi sulle sponde del Nilo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 15
Un contadino egiziano Nilus proprietario di un campo di forma quadrata eredita alla morte del padre un
altro campo sempre di forma quadrata con laiuto di uno scriba e di alcuni arpedonapti desidera riunire i due
appezzamenti piuttosto distanti in un unico campo ancora di forma quadrata che potragrave coltivare piugrave
agevolmente
Se tu fossi lo scriba che istruzioni daresti agli arpedonapti
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 16
1)Le relazioni spazialibull Spostamenti e posizioni di oggetti nel piano e nello spaziobull Rappresentazione di spostamenti e di posizioni di oggetti nel
piano e nello spazio
2)Le figure geometriche piane e solidebullLo studio delle linee Gli angolibullDagli oggetti alle figure geometriche solide e pianebullStudio dei poligoni e dei solidi
3)Le trasformazioni geometrichebullLe simmetrie assiali ortogonalibullLe traslazioni e le rotazionibullLe omotetie e le similitudini ingrandimenti e rimpicciolimenti
in scala
4)La misura in geometriabullLunghezze aree volumibullFormule per il calcolo delle aree
PERCORSO DIDATTICO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 17
Le relazioni spaziali
Posizioni di oggetti nel piano e nello
spazio
Spostamenti di oggetti nel piano e
nello spazio
riferite allosservatore
Percorsi liberi
Percorsi guidati
Concetto di linea
da sequenze di comandi
sul piano non
reticolato
non riferite allosservatore
sul piano reticolato
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 18
Rappresentazione di spostamenti e di posizioni
Organizzazione del piano
Percorsi su foglio
reticolato
Percorsi su foglio bianco
Suddivisione in due - quattro zone tre - nove zone
senza coordinate
con coordinate
Avvio allo studio delle linee generate
dal movimento
Reticolazione con coordinate
incroci su griglia
caselle su mappa
Localizzazione di un punto nel piano mediante
Localizzazione di una casella
nel piano
Studio delle linee come figure piane
coordinate
cartesiane polari geografiche
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 19
Figure geometriche piane (insieme non vuoto di punti )
Studio delle linee
Presentazione della retta e delle sue parti
semiretta e segmento
Dalla semiretta allangolo
Dal segmento alle linee spezzate
Studio dellangolo
rette parallele
Studio dei poligoni
Posizione reciproca di due rette nel
piano
rette incidenti
alle linee poligonali
perpendicolarinon
perpendicolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 20
Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 21
Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 22
Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 23
Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 24
GEOMETRIA
CENNI STORICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 25
La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 26
Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
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1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
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Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
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Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
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In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
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Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
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I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
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Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
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La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
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Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
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bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
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A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Il quadratohellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 10
Nella vita reale Nella scuola
Joseph Albers Homage to the Square 1962
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 11
La congruenza dei
lati e degli angoli
Che cosrsquoegrave che rende un quadrato QUADRATO
Tutto il resto (dimensioni posizione orientamento
colore) puograve variare anzi egrave proprio bene che lo faccia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 12
- Promuovere la flessibilitagrave di pensiero
- Favorire un approccio dinamico alla geometria che prenda in carico il movimento che non
tema i cambiamenti e le trasformazioni purcheacute siano controllate e controllabili
La scuola dovrebbe
Tutti gli elementi che non sono essenziali alla struttura del concetto devono essere variati per mettere in luce ciograve che egrave costante ovvero il concetto (Dienes 1966 matematico)
Sono tutti rettangoli Percheacute
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 13
Sono tutti rettangoli Percheacute
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 14
Dai campi sulle sponde del Nilo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 15
Un contadino egiziano Nilus proprietario di un campo di forma quadrata eredita alla morte del padre un
altro campo sempre di forma quadrata con laiuto di uno scriba e di alcuni arpedonapti desidera riunire i due
appezzamenti piuttosto distanti in un unico campo ancora di forma quadrata che potragrave coltivare piugrave
agevolmente
Se tu fossi lo scriba che istruzioni daresti agli arpedonapti
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 16
1)Le relazioni spazialibull Spostamenti e posizioni di oggetti nel piano e nello spaziobull Rappresentazione di spostamenti e di posizioni di oggetti nel
piano e nello spazio
2)Le figure geometriche piane e solidebullLo studio delle linee Gli angolibullDagli oggetti alle figure geometriche solide e pianebullStudio dei poligoni e dei solidi
3)Le trasformazioni geometrichebullLe simmetrie assiali ortogonalibullLe traslazioni e le rotazionibullLe omotetie e le similitudini ingrandimenti e rimpicciolimenti
in scala
4)La misura in geometriabullLunghezze aree volumibullFormule per il calcolo delle aree
PERCORSO DIDATTICO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 17
Le relazioni spaziali
Posizioni di oggetti nel piano e nello
spazio
Spostamenti di oggetti nel piano e
nello spazio
riferite allosservatore
Percorsi liberi
Percorsi guidati
Concetto di linea
da sequenze di comandi
sul piano non
reticolato
non riferite allosservatore
sul piano reticolato
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 18
Rappresentazione di spostamenti e di posizioni
Organizzazione del piano
Percorsi su foglio
reticolato
Percorsi su foglio bianco
Suddivisione in due - quattro zone tre - nove zone
senza coordinate
con coordinate
Avvio allo studio delle linee generate
dal movimento
Reticolazione con coordinate
incroci su griglia
caselle su mappa
Localizzazione di un punto nel piano mediante
Localizzazione di una casella
nel piano
Studio delle linee come figure piane
coordinate
cartesiane polari geografiche
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 19
Figure geometriche piane (insieme non vuoto di punti )
Studio delle linee
Presentazione della retta e delle sue parti
semiretta e segmento
Dalla semiretta allangolo
Dal segmento alle linee spezzate
Studio dellangolo
rette parallele
Studio dei poligoni
Posizione reciproca di due rette nel
piano
rette incidenti
alle linee poligonali
perpendicolarinon
perpendicolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 20
Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 21
Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 22
Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 23
Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 24
GEOMETRIA
CENNI STORICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 25
La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 26
Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 27
1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 28
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 29
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 11
La congruenza dei
lati e degli angoli
Che cosrsquoegrave che rende un quadrato QUADRATO
Tutto il resto (dimensioni posizione orientamento
colore) puograve variare anzi egrave proprio bene che lo faccia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 12
- Promuovere la flessibilitagrave di pensiero
- Favorire un approccio dinamico alla geometria che prenda in carico il movimento che non
tema i cambiamenti e le trasformazioni purcheacute siano controllate e controllabili
La scuola dovrebbe
Tutti gli elementi che non sono essenziali alla struttura del concetto devono essere variati per mettere in luce ciograve che egrave costante ovvero il concetto (Dienes 1966 matematico)
Sono tutti rettangoli Percheacute
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 13
Sono tutti rettangoli Percheacute
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 14
Dai campi sulle sponde del Nilo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 15
Un contadino egiziano Nilus proprietario di un campo di forma quadrata eredita alla morte del padre un
altro campo sempre di forma quadrata con laiuto di uno scriba e di alcuni arpedonapti desidera riunire i due
appezzamenti piuttosto distanti in un unico campo ancora di forma quadrata che potragrave coltivare piugrave
agevolmente
Se tu fossi lo scriba che istruzioni daresti agli arpedonapti
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 16
1)Le relazioni spazialibull Spostamenti e posizioni di oggetti nel piano e nello spaziobull Rappresentazione di spostamenti e di posizioni di oggetti nel
piano e nello spazio
2)Le figure geometriche piane e solidebullLo studio delle linee Gli angolibullDagli oggetti alle figure geometriche solide e pianebullStudio dei poligoni e dei solidi
3)Le trasformazioni geometrichebullLe simmetrie assiali ortogonalibullLe traslazioni e le rotazionibullLe omotetie e le similitudini ingrandimenti e rimpicciolimenti
in scala
4)La misura in geometriabullLunghezze aree volumibullFormule per il calcolo delle aree
PERCORSO DIDATTICO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 17
Le relazioni spaziali
Posizioni di oggetti nel piano e nello
spazio
Spostamenti di oggetti nel piano e
nello spazio
riferite allosservatore
Percorsi liberi
Percorsi guidati
Concetto di linea
da sequenze di comandi
sul piano non
reticolato
non riferite allosservatore
sul piano reticolato
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 18
Rappresentazione di spostamenti e di posizioni
Organizzazione del piano
Percorsi su foglio
reticolato
Percorsi su foglio bianco
Suddivisione in due - quattro zone tre - nove zone
senza coordinate
con coordinate
Avvio allo studio delle linee generate
dal movimento
Reticolazione con coordinate
incroci su griglia
caselle su mappa
Localizzazione di un punto nel piano mediante
Localizzazione di una casella
nel piano
Studio delle linee come figure piane
coordinate
cartesiane polari geografiche
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 19
Figure geometriche piane (insieme non vuoto di punti )
Studio delle linee
Presentazione della retta e delle sue parti
semiretta e segmento
Dalla semiretta allangolo
Dal segmento alle linee spezzate
Studio dellangolo
rette parallele
Studio dei poligoni
Posizione reciproca di due rette nel
piano
rette incidenti
alle linee poligonali
perpendicolarinon
perpendicolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 20
Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 21
Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 22
Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 23
Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 24
GEOMETRIA
CENNI STORICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 25
La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 26
Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 27
1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 28
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 29
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 12
- Promuovere la flessibilitagrave di pensiero
- Favorire un approccio dinamico alla geometria che prenda in carico il movimento che non
tema i cambiamenti e le trasformazioni purcheacute siano controllate e controllabili
La scuola dovrebbe
Tutti gli elementi che non sono essenziali alla struttura del concetto devono essere variati per mettere in luce ciograve che egrave costante ovvero il concetto (Dienes 1966 matematico)
Sono tutti rettangoli Percheacute
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 13
Sono tutti rettangoli Percheacute
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 14
Dai campi sulle sponde del Nilo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 15
Un contadino egiziano Nilus proprietario di un campo di forma quadrata eredita alla morte del padre un
altro campo sempre di forma quadrata con laiuto di uno scriba e di alcuni arpedonapti desidera riunire i due
appezzamenti piuttosto distanti in un unico campo ancora di forma quadrata che potragrave coltivare piugrave
agevolmente
Se tu fossi lo scriba che istruzioni daresti agli arpedonapti
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 16
1)Le relazioni spazialibull Spostamenti e posizioni di oggetti nel piano e nello spaziobull Rappresentazione di spostamenti e di posizioni di oggetti nel
piano e nello spazio
2)Le figure geometriche piane e solidebullLo studio delle linee Gli angolibullDagli oggetti alle figure geometriche solide e pianebullStudio dei poligoni e dei solidi
3)Le trasformazioni geometrichebullLe simmetrie assiali ortogonalibullLe traslazioni e le rotazionibullLe omotetie e le similitudini ingrandimenti e rimpicciolimenti
in scala
4)La misura in geometriabullLunghezze aree volumibullFormule per il calcolo delle aree
PERCORSO DIDATTICO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 17
Le relazioni spaziali
Posizioni di oggetti nel piano e nello
spazio
Spostamenti di oggetti nel piano e
nello spazio
riferite allosservatore
Percorsi liberi
Percorsi guidati
Concetto di linea
da sequenze di comandi
sul piano non
reticolato
non riferite allosservatore
sul piano reticolato
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 18
Rappresentazione di spostamenti e di posizioni
Organizzazione del piano
Percorsi su foglio
reticolato
Percorsi su foglio bianco
Suddivisione in due - quattro zone tre - nove zone
senza coordinate
con coordinate
Avvio allo studio delle linee generate
dal movimento
Reticolazione con coordinate
incroci su griglia
caselle su mappa
Localizzazione di un punto nel piano mediante
Localizzazione di una casella
nel piano
Studio delle linee come figure piane
coordinate
cartesiane polari geografiche
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 19
Figure geometriche piane (insieme non vuoto di punti )
Studio delle linee
Presentazione della retta e delle sue parti
semiretta e segmento
Dalla semiretta allangolo
Dal segmento alle linee spezzate
Studio dellangolo
rette parallele
Studio dei poligoni
Posizione reciproca di due rette nel
piano
rette incidenti
alle linee poligonali
perpendicolarinon
perpendicolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 20
Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 21
Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 22
Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 23
Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 24
GEOMETRIA
CENNI STORICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 25
La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 26
Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 27
1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
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Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
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Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
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In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
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Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
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ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
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I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
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bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
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A scuola hellip
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SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Sono tutti rettangoli Percheacute
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 13
Sono tutti rettangoli Percheacute
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 14
Dai campi sulle sponde del Nilo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 15
Un contadino egiziano Nilus proprietario di un campo di forma quadrata eredita alla morte del padre un
altro campo sempre di forma quadrata con laiuto di uno scriba e di alcuni arpedonapti desidera riunire i due
appezzamenti piuttosto distanti in un unico campo ancora di forma quadrata che potragrave coltivare piugrave
agevolmente
Se tu fossi lo scriba che istruzioni daresti agli arpedonapti
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 16
1)Le relazioni spazialibull Spostamenti e posizioni di oggetti nel piano e nello spaziobull Rappresentazione di spostamenti e di posizioni di oggetti nel
piano e nello spazio
2)Le figure geometriche piane e solidebullLo studio delle linee Gli angolibullDagli oggetti alle figure geometriche solide e pianebullStudio dei poligoni e dei solidi
3)Le trasformazioni geometrichebullLe simmetrie assiali ortogonalibullLe traslazioni e le rotazionibullLe omotetie e le similitudini ingrandimenti e rimpicciolimenti
in scala
4)La misura in geometriabullLunghezze aree volumibullFormule per il calcolo delle aree
PERCORSO DIDATTICO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 17
Le relazioni spaziali
Posizioni di oggetti nel piano e nello
spazio
Spostamenti di oggetti nel piano e
nello spazio
riferite allosservatore
Percorsi liberi
Percorsi guidati
Concetto di linea
da sequenze di comandi
sul piano non
reticolato
non riferite allosservatore
sul piano reticolato
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 18
Rappresentazione di spostamenti e di posizioni
Organizzazione del piano
Percorsi su foglio
reticolato
Percorsi su foglio bianco
Suddivisione in due - quattro zone tre - nove zone
senza coordinate
con coordinate
Avvio allo studio delle linee generate
dal movimento
Reticolazione con coordinate
incroci su griglia
caselle su mappa
Localizzazione di un punto nel piano mediante
Localizzazione di una casella
nel piano
Studio delle linee come figure piane
coordinate
cartesiane polari geografiche
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 19
Figure geometriche piane (insieme non vuoto di punti )
Studio delle linee
Presentazione della retta e delle sue parti
semiretta e segmento
Dalla semiretta allangolo
Dal segmento alle linee spezzate
Studio dellangolo
rette parallele
Studio dei poligoni
Posizione reciproca di due rette nel
piano
rette incidenti
alle linee poligonali
perpendicolarinon
perpendicolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 20
Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 21
Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 22
Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 23
Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 24
GEOMETRIA
CENNI STORICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 25
La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 26
Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
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1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
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Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 29
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
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Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
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Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
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A scuola hellip
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SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
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ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
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ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
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VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
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RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
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ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Sono tutti rettangoli Percheacute
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Dai campi sulle sponde del Nilo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 15
Un contadino egiziano Nilus proprietario di un campo di forma quadrata eredita alla morte del padre un
altro campo sempre di forma quadrata con laiuto di uno scriba e di alcuni arpedonapti desidera riunire i due
appezzamenti piuttosto distanti in un unico campo ancora di forma quadrata che potragrave coltivare piugrave
agevolmente
Se tu fossi lo scriba che istruzioni daresti agli arpedonapti
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1)Le relazioni spazialibull Spostamenti e posizioni di oggetti nel piano e nello spaziobull Rappresentazione di spostamenti e di posizioni di oggetti nel
piano e nello spazio
2)Le figure geometriche piane e solidebullLo studio delle linee Gli angolibullDagli oggetti alle figure geometriche solide e pianebullStudio dei poligoni e dei solidi
3)Le trasformazioni geometrichebullLe simmetrie assiali ortogonalibullLe traslazioni e le rotazionibullLe omotetie e le similitudini ingrandimenti e rimpicciolimenti
in scala
4)La misura in geometriabullLunghezze aree volumibullFormule per il calcolo delle aree
PERCORSO DIDATTICO
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Le relazioni spaziali
Posizioni di oggetti nel piano e nello
spazio
Spostamenti di oggetti nel piano e
nello spazio
riferite allosservatore
Percorsi liberi
Percorsi guidati
Concetto di linea
da sequenze di comandi
sul piano non
reticolato
non riferite allosservatore
sul piano reticolato
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Rappresentazione di spostamenti e di posizioni
Organizzazione del piano
Percorsi su foglio
reticolato
Percorsi su foglio bianco
Suddivisione in due - quattro zone tre - nove zone
senza coordinate
con coordinate
Avvio allo studio delle linee generate
dal movimento
Reticolazione con coordinate
incroci su griglia
caselle su mappa
Localizzazione di un punto nel piano mediante
Localizzazione di una casella
nel piano
Studio delle linee come figure piane
coordinate
cartesiane polari geografiche
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Figure geometriche piane (insieme non vuoto di punti )
Studio delle linee
Presentazione della retta e delle sue parti
semiretta e segmento
Dalla semiretta allangolo
Dal segmento alle linee spezzate
Studio dellangolo
rette parallele
Studio dei poligoni
Posizione reciproca di due rette nel
piano
rette incidenti
alle linee poligonali
perpendicolarinon
perpendicolari
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Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
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Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
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Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
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Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
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GEOMETRIA
CENNI STORICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 25
La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 26
Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
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1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
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Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
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Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
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Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
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La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
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Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
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Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
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bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
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A scuola hellip
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SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
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VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
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RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
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Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dai campi sulle sponde del Nilo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 15
Un contadino egiziano Nilus proprietario di un campo di forma quadrata eredita alla morte del padre un
altro campo sempre di forma quadrata con laiuto di uno scriba e di alcuni arpedonapti desidera riunire i due
appezzamenti piuttosto distanti in un unico campo ancora di forma quadrata che potragrave coltivare piugrave
agevolmente
Se tu fossi lo scriba che istruzioni daresti agli arpedonapti
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 16
1)Le relazioni spazialibull Spostamenti e posizioni di oggetti nel piano e nello spaziobull Rappresentazione di spostamenti e di posizioni di oggetti nel
piano e nello spazio
2)Le figure geometriche piane e solidebullLo studio delle linee Gli angolibullDagli oggetti alle figure geometriche solide e pianebullStudio dei poligoni e dei solidi
3)Le trasformazioni geometrichebullLe simmetrie assiali ortogonalibullLe traslazioni e le rotazionibullLe omotetie e le similitudini ingrandimenti e rimpicciolimenti
in scala
4)La misura in geometriabullLunghezze aree volumibullFormule per il calcolo delle aree
PERCORSO DIDATTICO
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Le relazioni spaziali
Posizioni di oggetti nel piano e nello
spazio
Spostamenti di oggetti nel piano e
nello spazio
riferite allosservatore
Percorsi liberi
Percorsi guidati
Concetto di linea
da sequenze di comandi
sul piano non
reticolato
non riferite allosservatore
sul piano reticolato
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 18
Rappresentazione di spostamenti e di posizioni
Organizzazione del piano
Percorsi su foglio
reticolato
Percorsi su foglio bianco
Suddivisione in due - quattro zone tre - nove zone
senza coordinate
con coordinate
Avvio allo studio delle linee generate
dal movimento
Reticolazione con coordinate
incroci su griglia
caselle su mappa
Localizzazione di un punto nel piano mediante
Localizzazione di una casella
nel piano
Studio delle linee come figure piane
coordinate
cartesiane polari geografiche
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 19
Figure geometriche piane (insieme non vuoto di punti )
Studio delle linee
Presentazione della retta e delle sue parti
semiretta e segmento
Dalla semiretta allangolo
Dal segmento alle linee spezzate
Studio dellangolo
rette parallele
Studio dei poligoni
Posizione reciproca di due rette nel
piano
rette incidenti
alle linee poligonali
perpendicolarinon
perpendicolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 20
Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 21
Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 22
Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 23
Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
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GEOMETRIA
CENNI STORICI
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La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
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Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
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1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
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Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
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Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
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In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
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Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
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ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
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Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
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LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
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ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
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I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
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Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
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La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
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Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 16
1)Le relazioni spazialibull Spostamenti e posizioni di oggetti nel piano e nello spaziobull Rappresentazione di spostamenti e di posizioni di oggetti nel
piano e nello spazio
2)Le figure geometriche piane e solidebullLo studio delle linee Gli angolibullDagli oggetti alle figure geometriche solide e pianebullStudio dei poligoni e dei solidi
3)Le trasformazioni geometrichebullLe simmetrie assiali ortogonalibullLe traslazioni e le rotazionibullLe omotetie e le similitudini ingrandimenti e rimpicciolimenti
in scala
4)La misura in geometriabullLunghezze aree volumibullFormule per il calcolo delle aree
PERCORSO DIDATTICO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 17
Le relazioni spaziali
Posizioni di oggetti nel piano e nello
spazio
Spostamenti di oggetti nel piano e
nello spazio
riferite allosservatore
Percorsi liberi
Percorsi guidati
Concetto di linea
da sequenze di comandi
sul piano non
reticolato
non riferite allosservatore
sul piano reticolato
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 18
Rappresentazione di spostamenti e di posizioni
Organizzazione del piano
Percorsi su foglio
reticolato
Percorsi su foglio bianco
Suddivisione in due - quattro zone tre - nove zone
senza coordinate
con coordinate
Avvio allo studio delle linee generate
dal movimento
Reticolazione con coordinate
incroci su griglia
caselle su mappa
Localizzazione di un punto nel piano mediante
Localizzazione di una casella
nel piano
Studio delle linee come figure piane
coordinate
cartesiane polari geografiche
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 19
Figure geometriche piane (insieme non vuoto di punti )
Studio delle linee
Presentazione della retta e delle sue parti
semiretta e segmento
Dalla semiretta allangolo
Dal segmento alle linee spezzate
Studio dellangolo
rette parallele
Studio dei poligoni
Posizione reciproca di due rette nel
piano
rette incidenti
alle linee poligonali
perpendicolarinon
perpendicolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 20
Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 21
Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 22
Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 23
Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 24
GEOMETRIA
CENNI STORICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 25
La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 26
Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 27
1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
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Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 29
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
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Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
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Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
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bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
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A scuola hellip
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SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
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ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
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ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
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VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
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RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
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ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
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Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
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Le relazioni spaziali
Posizioni di oggetti nel piano e nello
spazio
Spostamenti di oggetti nel piano e
nello spazio
riferite allosservatore
Percorsi liberi
Percorsi guidati
Concetto di linea
da sequenze di comandi
sul piano non
reticolato
non riferite allosservatore
sul piano reticolato
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Rappresentazione di spostamenti e di posizioni
Organizzazione del piano
Percorsi su foglio
reticolato
Percorsi su foglio bianco
Suddivisione in due - quattro zone tre - nove zone
senza coordinate
con coordinate
Avvio allo studio delle linee generate
dal movimento
Reticolazione con coordinate
incroci su griglia
caselle su mappa
Localizzazione di un punto nel piano mediante
Localizzazione di una casella
nel piano
Studio delle linee come figure piane
coordinate
cartesiane polari geografiche
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Figure geometriche piane (insieme non vuoto di punti )
Studio delle linee
Presentazione della retta e delle sue parti
semiretta e segmento
Dalla semiretta allangolo
Dal segmento alle linee spezzate
Studio dellangolo
rette parallele
Studio dei poligoni
Posizione reciproca di due rette nel
piano
rette incidenti
alle linee poligonali
perpendicolarinon
perpendicolari
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Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
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Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
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Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
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Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
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GEOMETRIA
CENNI STORICI
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La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
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Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 27
1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 28
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 29
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
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Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
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I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
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Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
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Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
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Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
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bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
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A scuola hellip
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SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
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ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
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ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
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VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
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RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
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ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
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Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
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Rappresentazione di spostamenti e di posizioni
Organizzazione del piano
Percorsi su foglio
reticolato
Percorsi su foglio bianco
Suddivisione in due - quattro zone tre - nove zone
senza coordinate
con coordinate
Avvio allo studio delle linee generate
dal movimento
Reticolazione con coordinate
incroci su griglia
caselle su mappa
Localizzazione di un punto nel piano mediante
Localizzazione di una casella
nel piano
Studio delle linee come figure piane
coordinate
cartesiane polari geografiche
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Figure geometriche piane (insieme non vuoto di punti )
Studio delle linee
Presentazione della retta e delle sue parti
semiretta e segmento
Dalla semiretta allangolo
Dal segmento alle linee spezzate
Studio dellangolo
rette parallele
Studio dei poligoni
Posizione reciproca di due rette nel
piano
rette incidenti
alle linee poligonali
perpendicolarinon
perpendicolari
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Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
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Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
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Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
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Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
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GEOMETRIA
CENNI STORICI
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La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
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Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
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1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
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Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
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Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
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Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
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Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
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In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
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Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
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ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
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Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
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LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
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ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
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I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
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Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
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La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
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Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
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bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
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A scuola hellip
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SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
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ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
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ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 19
Figure geometriche piane (insieme non vuoto di punti )
Studio delle linee
Presentazione della retta e delle sue parti
semiretta e segmento
Dalla semiretta allangolo
Dal segmento alle linee spezzate
Studio dellangolo
rette parallele
Studio dei poligoni
Posizione reciproca di due rette nel
piano
rette incidenti
alle linee poligonali
perpendicolarinon
perpendicolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 20
Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 21
Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 22
Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 23
Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 24
GEOMETRIA
CENNI STORICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 25
La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 26
Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 27
1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 28
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 29
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 20
Figure geometriche piane
Osservazione di oggetti nellambiente per rilevarne la forma
Dagli oggetti alle figure solide e piane loro osservazione e denominazione
Scomposizione della superficie di figure solide per ricavare modelli piani della
superficie dei solidi osservati
Messa in evidenza in tali
modelli di alcune proprietagrave
intuitivamente evidenti
Costruzione di modelli di figure
geometriche piane con materiale
appropriato
Uso di figure geometriche piane
per realizzare composizioni piane o solide
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 21
Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 22
Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 23
Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
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GEOMETRIA
CENNI STORICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 25
La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 26
Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 27
1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
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Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
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ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 21
Studio delle figure geometriche piane
Poligoni Non poligoni
CerchioTriangoliquadrilateri pentagoni esagoni
Messa in evidenza di proprietagrave relative a
lati e angolialtri elementi
(altezze diagonali assi di simmetria)
Classificazione in base alle proprietagrave evidenziate
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 22
Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 23
Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 24
GEOMETRIA
CENNI STORICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 25
La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 26
Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 27
1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 28
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 29
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
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La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
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Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
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A scuola hellip
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SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
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ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
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VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
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RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
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ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
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Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
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Studio delle figure geometriche solide
Prima conoscenza denominazione e costruzione di alcuni semplici solidi con materiale appropriato
Messa in evidenza nei poliedri di alcuni elementi facce spigoli vertici
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Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
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GEOMETRIA
CENNI STORICI
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La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
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Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 27
1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
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Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
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Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
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In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
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Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 23
Studio delle proprietagrave metriche dei poligoni
Lunghezza dei latiAmpiezza degli angoli
interniArea della superficie
Perimetro come lunghezza del contorno
Calcolo della misura del
perimetro di ogni poligono studiato senza
uso di formule
Formula relativa alla somma di tali ampiezze
Formule per il calcolo della misura dellarea relative ad ogni
famiglia di poligoni studiati
triangoli
quadrilateri con le diagonali perpendicolari
parallelogrammi
trapezi
poligoni regolari
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 24
GEOMETRIA
CENNI STORICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 25
La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 26
Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 27
1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 28
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 29
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
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GEOMETRIA
CENNI STORICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 25
La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 26
Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 27
1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 28
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 29
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 25
La geometria come dice il nome nacque dallesigenza pratica di misurare porzioni di terreno
In genere si crede che la geometria applicata sia nata in Egitto in realtagrave il piugrave antico documento oggi conosciuto dellattivitagrave matematica delluomo risale alla civiltagrave sumerica che fiorigrave nella Mesopotamia attorno al terzo millennio a CA tale civiltagrave attinsero i Babilonesi (1800 aC) i quali si dedicarono ad uno studio approfondito della geometria applicata sia per creare meravigliose architetture sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene
Da Babilonia questa scienza trasmigrograve in Egitto e nel VI secolo aC Talete avrebbe portato in Grecia dallEgitto il gusto della ricerca geometrica Tale ricerca venne progressivamente affinata ampliata ed eretta a sistema nel corso di tre secoli
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 26
Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 27
1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 28
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 29
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
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Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
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Gli stadi di sviluppo della geometria possono essere cosigrave schematizzati
600 -500 aC Talete Basi intuitive per i primi Pitagora teoremi
400 aC Zenone Scoperta di paradossi300 aC Eudosso Basi assiomatiche per la
Euclide ldquogeometria euclideardquo
1596-1650 dC Cartesio Nascita della ldquogeometria analiticardquo 1593-1662 Desargues Fondatore con altri della
ldquogeometria proiettivardquo1707-1783 Eulero Iniziatore con altri della ldquotopologiardquo1777-1855 Gauss Scoperta delle ldquogeometrie non euclideerdquo1826-1866 Riemann Da Riemann nel 1851 con i
contributi di MoumlbiusJordan Betti KronecherCantor Poincareacute egrave iniziato lo sviluppo della topologia
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 27
1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
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Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 27
1862-1934 Hilbert Sistemazione della ldquogeometria euclideardquo
1849-1925 Klein Impiego del concetto di gruppo per ldquounificare e caratterizzarerdquo le varie geometrie
1864-1909 Minkowski Applicazioni delle geometrie non euclidee al
1879-1955 Einstein mondo fisico1924 Mandelbrot Teorico della geometria dei
ldquofrattalirdquo (1975)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 28
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 29
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 28
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 29
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 29
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
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VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
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ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31
Lrsquoapprendimento e lrsquoinsegnamento della geometria
La geometria primo capitolo della fisica
Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo ldquoIl
saggiatorerdquo scrive ldquoLa filosofia [o scienza della
natura] egrave scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto inanzi a gli
occhi (io dico lrsquouniverso) ma non si puograve
intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri nersquo quali egrave scritto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
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Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32
Egli egrave scritto in lingua matematica e i caratteri
son triangoli cerchi ed altre figure geometriche
senza i quali mezzi non egrave possibile intenderne
umanamente parola senza questi egrave un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberintordquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33
Per Galileo dunque la matematica egrave la chiave per interpretare la realtagrave e la geometria in particolare egrave il primo strumento per la sua lettura
Tale preminenza egrave confermata dalla Storia della Scienza dato che la geometria egrave stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34
Cosrsquoegrave lo spazio
Il termine nella nostra lingua egrave usato con diversi significati
nel senso comune (per esempio per indicare una superficie
non occupata da corpi il ldquoluogordquo immenso dei corpi celesti
una ldquoestensionerdquo che contiene i corpi)
in ambiti disciplinari (per esempio in matematica si parla
di spazio topologico affine metrico euclideo vettoriale
bidimensionale tridimensionale degli eventi hellip)
si puograve affermare quanto SantrsquoAgostino sostiene a proposito
del tempo ldquocosrsquoegrave dunque il tempo [lo spazio] Se nessuno mi
interroga lo so se volessi spiegarlo a chi mrsquointerroga non lo
sordquo
LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA Egrave LO SPAZIO FISICO REALE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
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ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35
In questo contesto il termine SPAZIO denota
lrsquoambiente reale concreto in cui si svolge la nostra esistenza
ciograve che percepiamo attraverso i nostri sensi la variazione dei
toni muscolari e il movimento che egrave al di fuori del nostro
corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti
finalizzati alla nutrizione
Questo spazio qualificato come spazio fisico egrave
tridimensionale limitato anisotropo avendo la verticale
come direzione privilegiata non omogeneo
Esso egrave il punto su cui innestare il processo di costruzione del
concetto astratto e formale di spazio geometrico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
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Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36
Lo spazio fisico non egrave lo spazio della geometria
La geometria non egrave una scienza sperimentale
La geometria si caratterizza come primo capitolo della fisica nel senso che
permette di organizzare in modo
razionale rigoroso preciso obiettivo comunicabile senza ambiguitagrave
le esperienze e le conoscenze del mondo fisico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37
ldquoNon esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai
concetti astratti di retta e di triangolo non si possono
quindi ldquomisurarerdquo gli angoli di un triangolo (astratto) neacute
affermare che nello spazio fisico sia verificata una
determinata geometria (astratta) Le proprietagrave [hellip] dei
corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta
soltanto in modo piugrave o meno approssimato La geometria
euclidea ci dagrave questa rappresentazione con una
approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le
esigenze della praticardquo (Fano)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
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Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38
Quale rapporto tra figure e disegni
figuraente ideale sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico non presente nella realtagrave ma che la realtagrave puograve richiamare
disegno
rappresentazione ldquomaterialerdquo di una figura
imperfetto e particolare
figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica
solo questa egrave base sicura per la deduzione corretta di tutte le
proprietagrave della figura stessa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 39
LA GEOMETRIA NELLrsquoAPPRENDIMENTO ELEMENTARE
Il processo di costruzione della conoscenza
geometrica
prende le mosse dallrsquoesperienza del soggetto
e a tale conoscenza torna per guidare un
comportamento critico e razionale sulla realtagrave
Dallrsquoesperienza alla geometria attraverso
astrazione dalle sensazioni
specializzazione e formalizzazione del
linguaggio
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 40
ESPERIENZA mediante lrsquo ASTRAZIONE
- prescinde da alcune proprietagrave (colore peso temperature hellip)
- concentra lrsquoattenzione solo su alcune proprietagrave (forma dimensione posizione nellrsquoambiente hellip)
- spinge al laquolimiteraquo altre proprietagrave (punto privo di estensione retta illimitata hellip)
IMMAGINI MENTALI
ulteriore ASTRAZIONE
- relazionare immagini mentali
- costruire strutture di informazioni
CONCETTI GEOMETRICI
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
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Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 41
I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni si
fa spesso ricorso ai MODELLI
Il MODELLO non egrave lrsquooggetto ma egrave la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche
il COLORE
il MATERIALE
le DIMENSIONI
la FORMA
il FUNZIONAMENTO ecc
Noi lavoreremo con i
modelli degli enti geometrici
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42
Modello di scienza ipotetico - deduttivo
S
C
I
E
N
Z
A
Enti
Oggetti di cui si parla
Proposizioni
Proprietagrave degli enti
Enti fondamentali
indefinibili
Enti derivati
definibili
Proposizioni primitive
Postulati o assiomi indimostrabili
Teoremi
dimostrabili
Eleganza
Sufficienza indipendenza
Rigore
compatibilitagrave
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43
La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa aC) egrave il padre della geometria che
ancora oggi studiamo Si narra che un discepolo dopo aver imparato le
prime regole chiese ad Euclide ldquoMaestro cosa guadagnerograve imparando
queste coserdquo Euclide chiamograve un servo e gli diede ordine di dare
qualche moneta al malcapitato visto che voleva trarre guadagno da ciograve
che studiava dopodichegrave lo cacciograve dalla sua scuola
Gli enti fondamentali (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono
ente simbolo modello
punto P maiuscola P
retta rs minuscola
piano αβ lettere greche
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
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A scuola hellip
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SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
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VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
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RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
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ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
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Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Noi onoriamo lantica Grecia come la culla dellaciviltagrave occidentale Lagrave per la prima volta egrave statocreato un sistema logico meraviglia del pensiero icui enunciati si deducono cosigrave chiaramente daglialtri che ciascuna delle proposizioni dimostrate nonsolleva il minimo dubbio si tratta della geometriadi Euclide Questopera ammirevole della ragioneha dato al cervello umano la piugrave grande fiducia neisuoi sforzi ulteriori Colui che nella sua primagiovinezza non ha provato entusiasmo davanti aquestopera non egrave nato per fare lo scienziatoteorico
Albert Einstein Come io vedo il mondo 1954
ldquoLa questione del metodordquo p 46
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Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
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Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
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A scuola hellip
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SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
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ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
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VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
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RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
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ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
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Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Euclide
Il suo libro piugrave famoso Elementi egrave uno dei testi piugrave importanti e influenti dellaStoria delle Matematiche e ha costituito la base per linsegnamento dellageometria nel mondo occidentale per piugrave di 2000 anni Gli Elementi hannocontribuito fortemente a porre uno standard di rigore e di struttura logica
Poco egrave noto sulla vita di Euclide Secondo Proclo (410-485 dC) lautore di unprezioso ldquoCommento sul Ideg Libro degli Elementi di Eucliderdquo egli fu uno degliultimi allievi della scuola platonica e visse (durante il regno di Tolomeo I Sotere306-283 aC) in Alessandria dEgitto sede di una celebre scuola scientifica raccoltaattorno alla Biblioteca dove si raggiunse il culmine dello sviluppo teorico greco-ellenistico
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
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A scuola hellip
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SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
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ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
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ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
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VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
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ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
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Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Euclide Gli Elementi
Fin dallantichitagrave lrsquoopera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altritesti di geometria precedenti
Lrsquoelemento che maggiormente ha influenzato sempre i matematici egravelorganizzazione generale degli Elementi ovvero la scelta felice di un numeromolto limitato di assiomi che permettono la dimostrazione di centinaia di teoremialcuni dei quali molto profondi e la concatenazione logica dei teoremi dimostratiSe noi oggi dovessimo indicare in una ipotetica graduatoria lopera che piugrave di ognialtra ha fatto conoscere allumanitagrave il concetto di matematica quello didimostrazione e il significato di concatenazione logica dei teoremi dovremmoriferirci allopera di Euclide
I libri (oggi si chiamerebbero capitoli) che formano gli Elementi sono tredici econtengono in tutto 467 teoremi
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47
A scuola hellip
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SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
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ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
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VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
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ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
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Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
bull Far capire che il nome di laquoelementi fondamentaliraquo non egrave a caso ma egrave dato dal fatti che stanno a fondamento come negli edifici le strutture portanti
bull La loro individuazione egrave opera di un importante processo di astrazione
bull Egrave opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare lsquodefinizionirsquo
bull A partire da situazioni concrete
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A scuola hellip
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SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55
CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56
Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57
Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48
SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO
bull Esecuzione di spostamenti nello spazio
bull Rappresentazione di spostamenti nel piano avvio allo studio delle linee
livello 6 ndash 8 anni
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49
ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50
ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53
RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54
ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
INTRECCIATA
LINEE
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Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
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ITINERARIO DIDATTICO
1 Esecuzione di spostamenti nello spazio
11Esecuzione di percorsi legati
- allrsquoesplorazione dellrsquoambiente
- al gioco
- alla fiaba
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ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
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ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
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VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
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RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
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ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
APERTA
CHIUSA
SEMPLICE
INTRECCIATA
SEMPLICE
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LINEE
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Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
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LINEE
semplice chiusa
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ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED
ESTERNO ALLrsquoEDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a
bullFar conoscere ai bambini il nuovo ambiente
bullMettere in rilievo la necessitagrave dei punti di riferimento
bullSperimentare la nozione di verso
ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO
bullI giochi come il girotondo contribuiscono allrsquointuizione di
linea chiusa
bullI percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare
allrsquointuizione di linea aperta
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ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
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VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
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RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
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ITINERARIO DIDATTICO
2 Rappresentazione di spostamenti nel piano
21 Rappresentazione di percorsi su
foglio bianco
- esplicitazione dei concetti di linea
e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
confini
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
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LINEE
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Diagramma di Carroll
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CHIUSO
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LINEE
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ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO
FANTASTICO
bullRacconti come Pollicino Cappuccetto Rosso presentano
uno svolgimento anche spaziale
IN GENERALE Lrsquo ESECUZIONE DI PERCORSI
FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITAgrave DI
ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO
Lrsquoesecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla
verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che
favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e
la padronanza del linguaggio (verbale e grafico)
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52
VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
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RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
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foglio bianco
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e verso
- distinzione di linee apertechiuse
sempliciintrecciate regioni
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Diagramma di Carroll
SEMPLICE INTRECCIATA
CHIUSO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
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VARI TIPI DI PERCORSI
bull Percorsi liberi
bull Percorsi guidati
ATTENZIONE
I percorsi che si considerano devono essere accompagnati
dalla condizione secondo la quale non egrave possibile ldquoritornare
sui propri passirdquo
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RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
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foglio bianco
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- distinzione di linee apertechiuse
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CHIUSO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
semplice chiusa
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RIFLESSIONE E ANALISI
caratteristiche dei percorsi effettuati
bull il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono
bull il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti
bull non si passa mai da uno stesso punto
bull si passa piugrave di una volta per uno stesso punto
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- distinzione di linee apertechiuse
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LINEE
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Diagramma di Carroll
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APERTO
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Diagramma di Eulero - Venn
LINEE
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21 Rappresentazione di percorsi su
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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONIDiagramma ad albero
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