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Agenda
Crisi della fisica classica
Sviluppo della meccanica quantistica
Teorie quantistiche di campo
Modello Standard ed il bosone di Higgs
Relatività Speciale
La crisi della Fisica Classica
La materia descritta in termini di particelle discrete: molecole e atomi
I Campi di Forze descritti da entità continue, funzioni dello spazio-tempo: forza elettromagnetica, gravitazionale, …
Numero finito di gradi di libertàInfiniti gradi di libertàLe equazioni differenziali di
Newton e Maxwell descrivono l’interazione tra campi e materia
Alla fine del XIX secolo: due rappresentazione della realtà
visibileUV infrarosso
Lunghezza d’onda λ (µm)
Dens
ità sp
ettra
le ρ
(λ) (
unità
arbi
trarie
)
Le prime avvisaglie: “la catastrofe ultravioletta”
Radiazione del corpo neroIl modello classico Rayleight-Jeans
prevede la densità spettrale ρ(λ)∝T/λ3
che diverge quando λ ➝ 0
Il corpo nero è un sistema ideale che assorbe tutta la radiazione incidente. All’equilibrio termico rappresenta
il più efficiente emettitore di radiazione.
Catastrofe ultravioletta
Un corpo nero può essere approssimato da una fessura su una cavità risonante. La radiazione uscente ha uno spettro molto simile a quello di corpo nero.
Max Planck introduce la quantizzazione dell’energia, in termini di ħ = h/2π = 10-34 J s e ottiene
ρ(λ)∝exp(—ħ/λkBT)/λ3
che tende a zero quando λ ➝ 0
En = n (2π)ħc/λ
1900
γγ
…L’effetto fotoelettrico
Fenomeni non-classici ✴Numero degli elettroni emessi∝intensità delle luce incidente ✴ Energia degli elettroni∝frequenza (energia) delle luce incidente ✴ Si ha un effetto a soglia, sotto una frequenza tipica non c’è emissione
L’effetto fotoelettrico esterno consiste nell’emissione di elettroni da una superficie irraggiata con onde elettromagnetiche (fotoni).
Albert Einstein, usando l’ipotesi di quantizzazione di Planck, spiega l’effetto fotoelettrico ipotizzando
un’interazione corpuscolare di tipo fotone-elettrone tra
radiazione e materia.
Frequenza (1014 Hz)
Ener
gia c
inet
ica e
- (eV
)
soglia
1905
…La struttura dell’atomoÈ noto che gli atomi contengono elettroni e, essendo
elettricamente neutri, anche un carica positiva. I modelli “nucleari” sono teoricamente improbabili. Gli elettroni in moto non uniforme intorno al nucleo perderebbero rapidamente energia
per irraggiamento, precipitando sul nucleo stesso.
Sir Joseph John Thomson propone il modello a “panettone”, gli elettroni sono disposti regolarmente, ai vertici di poligoni regolari per
annullare l’irraggiamento, all’interno del volume atomico in cui la carica positiva è uniformemente distribuita.
Arnold Sommerfeld generalizza il modello di Bohr con la quantizzazione dell’”azione” secondo multipli della costante di Plack.
Nasce il modello di Ernest Rutherford. Prevede un nucleo con carica positiva ed elettroni, legati dall’interazione Coulombiana, rotanti su orbite circolari. Spiega bene i risultati degli esperimenti di diffusione, anche
se non risolve il problema della stabilità.
1911
Niels Bohr perfeziona il modello planetario introducendo il concetto di orbite stazionarie e quantizzate. Si ha emissione solo quando gli elettroni passano
da un’orbita con energia maggiore ad una con energia minore, si spiegano così le “righe” spettrali di molti (non tutti gli) elementi.
1913
1915
1904
Dualismo onda-particellaArthur Compton osserva “urti” tra
fotoni (raggi X) ed elettroni. I fotoni vengono diffusi come se fossero delle particelle che hanno, non solo energia, ma anche
quantità di moto ben definita.
1923
1924 λ = hp
Considerando stazionarie solo le orbite la cui lunghezza è multiplo della λ di de Broglie dell’elettrone, si ottengono esattamente i raggi dell’atomo di Bohr!
Louis de Broglie estende il dualismo onda-particella dei fotoni anche a particelle di materia. Ad un elettrone può essere associata una lunghezza d’onda
che dipende dalla sua quantità di moto: p = m v .
1925 Per spiegare il riempimento progressivo dei livelli energetici atomici e quindi la “tavola periodica”, Wolfgang Pauli propone una regola, detta principio di esclusione, secondo cui due elettroni non possono occupare lo stesso stato, ovvero non possono
avere le stesse proprietà: energia, momento angolare, ecc..
łₒE=— ∂B∂t
ł B = 0 .
łₒB=—µ0 J + ự0 ∂B∂t( )
ł E = ρ ε0
.
La Relatività speciale
James Clerk Maxwell1865
c = 1/ ε0 µ0
✴Non sono “invarianti” per trasformazioni di Galileo
✴ Il campo si propaga nel vuoto ad una velocità finita
Esiste un “mezzo” di propagazione per le onde: Etere luminifero
La Terra è in moto rispetto all’etere che pervade tutto l’Universo
Albert Michelson e Edward Morley, seguendo un suggerimento di Maxwell, misurano
la velocità della Terra nell’etere trovando vterra-etere = 0
1887
Trasformazioni di Lorentz
Albert Einstein c = costante in ogni sistema
di riferimento inerziale
1905
Orologio a impulsi luminosi, un click ogni Δ∆t = 2 L / c
L
v
v Δ∆t’
c Δ∆t’/2 c Δ∆t’/2 c Δ∆t/2 Δ∆t’ = Δ∆t
√1-v2/c2
Orologi in moto relativo Δ∆t: intervallo orologio solidale Δ∆t’: intervallo orologio in moto
Δ∆t’>Δ∆t
Nessuna contraddizione Gli intervalli di tempo e spazio si trasformano entrambi in modo tale
che la velocità della luce rimanga invariata in ogni sistema di riferimento inerziale
L’energia nella teoria della RelativitàUn elettronvolt, simbolo eV, è l’energia
cinetica acquisita da una carica di un elettrone accelerata da una differenza di potenziale di un Volt
1 eV = 1.6021 × 10-19 Joule (MeV=106 eV, GeV=109 eV, TeV=1012 eV,...)
Quadrimpulsop = (E/c ,p x,p y, p z)p = (p x,p y, p z)
Quantità di moto p2 = E2/c 2—p x2—p y2—p z2 = (mc ) 2
Massa invariante
pc
mc2 EE2 = (cp x) 2+ ( cp y) 2+ ( cp z) 2 + (mc 2) 2 E = mc 2
Unità naturali: c = ħ = 1 Energia E da GeV ⟶ GeV Momento p da GeV/c ⟶ GeV Massa m da GeV/c2 ⟶ GeV
Melettrone = 0.5 MeV Mprotone = 938 MeV MHiggs = 125 GeV
L’equazione di SchrödingerErwin Schrödinger formalizza la meccanica ondulatoria.
Le proprietà di un sistema fisico, di massa m, in un potenziale U, sono descritte da una funzione ψ(r,t) , detta funzione d’onda, la cui
evoluzione temporale è governata dall’equazione
1926
Il modulo quadro della funzione d’onda P(r,t) = |ψ(r,t) |2
rappresenta la probabilità che la particella si trovi nella posizione r all’istante t.
Problema: l’equazione di Schrödinger non è relativistica. C’è disparità di trattamento tra spazio (derivata seconda) e tempo (derivata prima). Ad esempio, i fotoni che hanno massa nulla, non possono essere descritti. Alla teoria manca ancora un tassello fondamentale: lo spin.
L’interferenza, che si osserva ad esempio nell’esperimento della doppia fenditura, è conseguenza
della natura complessa (a due componenti) della funzione d’onda.
iħ ∂ψ∂t
= ħ2
2m+ U— ψ∂2
∂x2
Principio di indeterminazioneWerner Heisenberg, dopo aver proposto una realizzazione matriciale della meccanica quantistica
equivalente a quella ondulatoria di Schrödinger, arriva a formulare il principio di indeterminazione.
1927L’osservazione delle proprietà
di un sistema fisico implica una sua interazione con lo strumento di misura, tale interazione, necessariamente,
perturba il sistema, modificandone le proprietà.
Δ∆x Δ∆p ∼ ħfotone incidente
elettrone—
—
λ
λ+Δ∆λ
Δ∆λΔ∆p = h2π Δ∆x
∼ h
L’incertezza sulla posizione è tanto minore quanto maggiore è l’energia (proporzionale a 1/λ) dei fotoni con cui si illumina l’elettrone.
I fotoni urtano l’elettrone determinando una variazione della sua quantità di moto proporzionale alla loro energia.
Quantizzazione del campo elettromagnetico✓ La “teoria quantistica” sviluppata nei primi 25 anni del ‘900 non descrive la radiazione. ✓ Nella descrizione degli atomi, il campo elettromagnetico è trattato in modo semiclassico e
indipendente dall’esistenza dei fotoni che vengono introdotti “a mano” nel modello. ✓ Le linee spettrali di vari elementi sono spiegate in termini di transizioni tra livelli quantizzati,
il cui meccanismo dinamico non è noto.
A(x) = d3k(2π)3 2ωk
1 [akeikx + ak†e-ikx]Potenziale elettromagnetico
1927-28Il campo elettromagnetico in una cavità possiede solo
particolari “modi” o frequenze di oscillazione (decomposizione di Fourier). Le ampiezze di ciascun modo sono trattate come funzioni d’onda quantistiche, le cui energie possono
essere quantizzate. I fotoni sono i quanti del campo.
Quadri-posizione x=(ct,rx,ry,rz) x2=(ct)2-rx2-ry2-rz2 ak†
Operatore di creazione e annichilazione
ak
Quadri-momento k=(ωk,kx,ky,kz) k2=ωk2—k2=m2
Paul Dirac risolve il problema dell’introduzione della Relatività speciale nella meccanica quantistica. La sua equazione è
scritta in termini di quadri-vettori, il tempo e lo spazio sono considerati sullo stesso piano.
Equazioni d’onda relativisticheLa meccanica quantistica, sia nella realizzazione
ondulatoria di Schrödinger che in quella matriciale di Heisenberg, mostra molto presto i suoi limiti nella descrizione di particelle materiali. Tali limiti sono connessi alla natura
non relativistica della sua formulazione originale.1928
γµ è una matrice 4x4 ⇒ 4 soluzioni!
L’elettrone descritto ha un momento angolare intrinseco ⇒ spin
Ci sono elettroni con energia negativa. Dirac parla di “mare” di elettroni che occupano tutti (principio di
esclusione) i livelli con energia negativa. Estraendo un elettrone dal “mare” si crea un “buco” con carica positiva: il positrone!
iħ ∂∂xµ = 0mc— ψγµ
Teoria quantistica dei campi (materiali)✓Quella di Dirac non è una risposta definitiva, funziona molto bene solo per gli elettroni (spin = ħ/2). ✓Il dualismo onda-particella suggerisce, anche per i campi materiali, un approccio simile a quello
attuato con successo al campo elettromagnetico.
Sviluppo di Fourier
Campo classicoAmpiezze “promosse”
ad operatori di creazione e annichilazione
Ampiezze come soluzioni di equazioni caratteristiche
I diversi comportamenti delle particelle a spin intero, bosoni, e a spin semi-intero, fermioni, si ottengono imponendo speciali regole di “moltiplicazione” tra operatori di creazione e di
annichilazione. Assumendo, per i fermioni: ak1† ak2† =— ak2† ak1†, si ha il principio di esclusione !|k1,k2⟩=—|k2,k1⟩ ⇒ |k1,k1⟩=|0⟩
Uno stato del campo elettromagnetico con n fotoni di numero d’onda k=2π/λ, si ottiene applicando n volte l’operatore di creazione del modo k sullo stato di vuoto, ovvero quello che non contiene nessun fotone !
ak† ak† …ak† |0⟩ = (ak†)n|0⟩ = |n(k)⟩
Campi interagentiLa teoria di campo quantistica ottenuta fin qui non ha ancora assolto al compito più importante:
descrivere l’interazione tra particelle.
Assenza di interazione Un sistema di due particelle è descritto da una funzione d’onda
somma (algebrica) delle funzioni d’onde di ciascuna singola particella (libera).
Equazioni d’onda lineari
iħγµ ∂∂xµ —mc ψ1,2= 0
iħγµ ∂∂xµ —mc (ψ1+ψ2)= 0
Interazione ⇐ termini non lineari La teoria di campo quantistica e interagente conterrà: ✦ le parti “libere”, sia per i campi materiali (es. elettroni), che
per quelli ondulatori (es. campo elettromagnetico) ✦ termini misti, non lineari nei campi, che descrivo
l’accoppiamento tra materia e “onde”, ovvero le interazioni
Richard Feynman inventa un metodo “grafico” per calcolare la probabilità di interazione nell’ambito
delle teorie di campo quantistiche.
1948
Grafici di Feynman
Particella entranteParticella uscenteParticella mediatriceAntiparticella entranteAntiparticella uscente
e Intensità d’interazione
Le interazioni fondamentali possono essere descritte usando i diagrammi di Feynman che schematizzano la procedura matematica che permette di calcolare la probabilità di interazione
tempo
Scattering elettrone-muone e— µ— → e— µ—
e— e—
µ— µ—
γ
e
e
✴Contribuiscono tutti i grafici con le stesse linee esterne
✴Ciascun contributo è “pesato” da un’ampiezza inversamente proporzionale al numero di vertici (teoria perturbativa)
✴ La struttura dei vertici assicura la conservazione dei numeri quantici, quella del quadrimomento è invece imposta
✴ Le tre interazioni del Modello Standard sono descritte da tre vertici fondamentali
Il Modello StandardGenerazioniI IIIII
lept
oni
quar
k
porta
tori
dell’
inte
razio
ne
Nel Modello Standard le particelle sono
classificate in base al loro spin
Meteria (fermioni) Campi con spin = 1/2 Tre generazioni di coppie di quark Tre generazioni di coppie di leptoni
Interazioni (bosoni) Campi con spin = 1 Interazioni elettromagnetica: fotone, massa nulla ⇒ raggio d’azione infinito
Interazione debole: bosoni W± e Z0, masse grandi ⇒ corto raggio d’azione
Interazione forte: gluone g
I quarkGenerazioniI IIIII
quar
k
porta
tori
dell’
inte
razio
ne
Quarks Sei particelle in tre generazioni: “up” e “down” Spin = 1/2, sono fermioni Hanno cariche 2/3 gli “up” e -1/3 i “down” Ciascun quark ha un’antiparticella con la stessa massa e cariche opposte
I quark hanno carica elettrica, di colore e debole sono quindi soggetti a tutte le
interazioni del Modello Standard
L'intensità e le proprietà di simmetria dell’interazione forte sono responsabili del
!!confinamento
dei quarknon esistono quark liberi⇒
I leptoni
GenerazioniI IIIII
lept
oni
porta
tori
dell’
inte
razio
ne
Leptoni Sei particelle in tre generazioni: “neutrino” e “leptone carico” Spin = 1/2, sono fermioni Carica del neutrino = 0, carica del leptone = -1 Ogni leptone ha un’antiparticella con la stessa massa e cariche opposte
I leptoni carichi non hanno carica di colore, interagiscono attraverso le
interazioni elettromagnetica e debole
I neutrini non hanno né carica di colore né carica elettrica, interagiscono solo
attraverso l’interazione debole
I grafici di Feynman del Modello Standardquark
quark
gluonegforte
Inte
razio
ne
forte
gforte(1 GeV) ~ 3.0
gforte(100 GeV) ~ 1.2
Inte
razio
ne
debo
le
l,(v,l),qdown
v,(v,l),qup
gdebole
W± (Z0) gdebole(1 GeV) ~ 0.01
gdebole(100 GeV) ~ 0.4
Inte
razio
ne
elettr
omag
netic
a l,q
l,q
ge.m.
fotone, Ɣ ge.m.(1 GeV) ~ 0.2
ge.m.(100 GeV) ~ 0.3
Decadimento beta del pione: π+ → µ+ + νµ
Come si usano...
Sia il muone che l’antineutrino muonico sono particelle elementari
Il pione è un mesone, uno stato legato di un quark ad un antiquark: π+ = |ud〉 (infatti sommando le cariche...)
Il neutrino interagisce solo debolmente, i “mediatori” sono i bosoni W± o Z0
{u
dπ+
µ+
νµ
Un antiquark d, carica +1/3, si annichila con un quark u, carica +2/3, producendo un bosone con carica +1, ovvero W+ che si
accoppia con lo stato finale µ+ + νµ
W+
(pµ + pν)2 = Mπ2
Il mistero delle masseLe particelle del Modello Standard “nascono” con massa nulla
up quark 0.003 GeV
down quark 0.005 GeV
charm quark 1.25 GeV
strange quark 0.095 GeV bottom quark
0.095 GeV
top quark 175 GeV
elettrone 0.0005 GeV
neutrino e ~0 GeV
muone (µ) 0.105 GeV
neutrino µ ~0 GeV
tauone (τ) 1.78 GeV
neutrino τ ~0 GeV
protone 0.938 GeV
Sperimentalmente si osservano masse non nulle con differenze
crescenti tra le generazione
È necessario un meccanismo che dia origine alle masse senza “rompere”
le simmetrie fondamentali
Il campo di Higgs
✓ Il campo di Higgs è scalare, ha spin = 0, è l’unico scalare del Modello Standard ✓ È un campo diffuso ed ha un valore costante in tutto lo spazio ✓ Le particelle che si muovono “attraverso” tale campo interagiscono con esso
come se fosse un fluido resistente ✓ L’inerzia dovuta a tale interazione si traduce in massa
Higgs
2012
Al di là del Modello StandardOscillazione e quindi masse dei neutrini Il Modello standard non prevede masse per i neutrini, l'osservazione di oscillazioni è la prima evidenza di “fisica oltre il Modello Standard” Materia ed energia oscura Il Modello Standard spiega solo il 4% della massa-energia dell'Universo. Il rimanente 96% si pensa costituito da materia oscura (24%) ed energia oscura (72%) Asimmetria materia - antimateria Il Modello Standard prevede la creazione di uguali quantità di materia e antimateria, ma l'Universo sembra costituito da un solo tipo... ...
Supersimmetria È un'estensione del Modello Standard che introduce nuove particelle partner di quelle note, che hanno differenti valori dello spin Teoria delle Stringhe La teoria del “Tutto” per unificare le teorie di campo e la Relatività Generale? ...
”...qui sono stati rivelati, riguardo a questa nuova ed eccellente scienza di cui il mio lavoro è solo l’inizio, strade e strumenti dei quali altre menti, più acute della mia, esploreranno gli angoli più remoti.” !