La divisione di Ruffini

Paolo Ruffini (1765 – 1822)

Supponiamo di voler scomporre il polinomio:

x3 + 4 x2 – 7 x – 10

Nel prodotto di più binomi del tipo ( x – a ).Anzitutto occorre trovare gli zeri del polinomio, cioè i valori di x che lo annullano. Tali valori vanno cercati tra i divisori del termine noto.

In questo caso il termine noto è 10 ed i suoi divisori sono quindi:

+ 1, - 1, + 2, - 2, + 5, - 5, + 10, - 10.

Sostituiamo 1 al posto di x:

P(1) = 13 + 4 12 – 7 1 - 10 = 1 + 4 – 7 – 10 = - 12

Il risultato non è nullo, quindi 1 non è uno zero del polinomio.Sostituiamo allora – 1 :

P(– 1) = (- 1)3 + 4 (- 1)2 – 7 (- 1) – 10 = - 1 + 4 + 7 – 10 = 0

Il risultato è nullo, quindi – 1 è uno zero del mio polinomio. Allora esso risulta divisibile per ( x + 1 )Possiamo procedere con la divisione di Ruffini.

1 +4

- 7

- 10

1 + 3

-10

0

- 1 - 1 - 3 +10

Scriviamo anzitutto i coefficienti del polinomio che va diviso.

Tracciamo le righe escludendo l’ultimo coefficiente.

Scriviamo lo zero.

Riportiamo il primo coefficiente in basso e moltiplichiamolo per lo zero: nel nostro caso, - 1 per 1 fa – 1.

Sommiamo al risultato il secondo coefficiente e trascriviamolo sotto.

Ripetiamo il procedimento: - 1 per 3 fa – 3, - 7 più – 3 fa – 10, e così via...

...finché non arriviamo al resto, in questo caso 0.

Ora leggiamo i coefficienti nella riga inferiore:

+1 ; + 3 ; - 10Il primo da destra è il termine noto; il secondo è il coefficiente della x; il terzo è il coefficiente della x2. Si comincia sempre da destra per potenze crescenti di x. Il polinomio quoziente è dunque x2 + 3 x – 10.Ed ecco come si scompone il polinomio iniziale:

x3 + 4 x2 – 7 x – 10 = ( x + 1 ) ( x2 + 3 x – 10 )

Il trinomio ottenuto:

( x2 + 3 x – 10 )

può essere ulteriormente scomposto tramite la divisione di Ruffini. Infatti si verifica subito che:

P(+2) = 22 + 3 2 – 10 = 4 + 6 – 10 = 0

Provate da soli ad eseguire la scomposizione. Poi passate alla diapositiva seguente e verificate se avete operato in maniera corretta.

1 3 -10

2

1 5 0

2 10

Dunque il polinomio quoziente è ( x + 5 ).Perciò x2 + 3 x – 10 = ( x – 2 )( x + 5 ).

Conclusione

Il polinomio da noi assegnato all’inizio può scomporsi così:

x3 + 4 x2 – 7 x – 10 = ( x + 1 ) ( x – 2 ) ( x + 5 ).

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