La dilatazione deltempo -...

CAPITOLO 4

La dilatazionedel tempo

Ci s mbra il tempo un angelo immerso nel fogliame,d'un tratt poi assume sembianze assai più strane.

dall'arazzo francese IL tempo, 1505 circa

La velocità della luce non si comporta nella manierache ci aspetteremmo sulla base del senso comune.Siccome la velocità è definita come:

l" _ distanza percorsa

ve ocita - ..tempo impiegato

ne deduciamo che a comportarsi in maniera contraria al senso comune dev'essere il tempo, oppure lospazio, oppure entrambi.

Inizieremo occupandoci del tempo, e più specificamente degli orologi.

L'universo è pieno di orologi, di innumerevolitipi diversi. Le oscillazioni di un peso attaccato auna barra fanno funzionare le belle antiche pendole. L'orologio che ho al polso sfrutta le oscillazionidi un cristallo di quarzo, che un circuito elettronicoelabora per produrre un valore digitale. Nei modellipiù vecchi una molla fa oscillare un bilanciere, poiun ingegnoso sistema di ingranaggi converte le oscillazioni nel movimento delle lancette.

48 Capire davvero la relatività

Siamo così abituati a guardare il quadrante, conle lancette a il display digitale, che tendiamo a vederlo come l'elemento-chiave dell'orologio. Errore:l'elemento cruciale è il pendolo, il cristallo di quarzoa il bilanciere, cioè l'oggetto il cui stato cambia alpassare del tempo. Il quadrante serve soltanto percontarne le oscillazioni.

Alcuni orologi addirittura non hanno alcun quadrante, né digitale né a lancette. La posizione delSole n l cielo è un orologio, che segna 24 ore dalmomento in cui si trova all' altezza massima in uncerto giorno a quello in cui raggiunge la stessa altezza il giorno seguente.

Nel primo secolo dopo Cristo gli ateniesi misuravano il tempo alla Torre dei Venti, dove l'acquagocciolava da un contenitore a ritmo quasi costante.

Anche le cascate sono orologi che consumano laroccia in maniera lenta e instancabile: l'entità del 10-godo consente di determinare l'età della cascata.

E anche il nostro corpo è pieno di orologi: il cuore per esempio batte circa una volta al secondo, leunghie e i capelli crescono regolarmente al passaredel tempo (quando sento i baffi che mi pizzicano illabbro superiore, significa che non li spunto da seisettimane) e il cervello percepisce benissimo la differenza tra una lezione breve e una lunga, anche senzacontrollare l'ora.

Tutti questi fenomeni sono orologi. Quelli biologici non sono i più accurati (i battiti del cuore peresempio accelerano quando corriamo), ma registrano comunque il passaggio del tempo.

La dilatazione del tempo 49

La maniera più precisa oggi disponibile per misurare il tempo sono gli orologi atomici a fontana.Ne esistono due, uno a Parigi e uno a Boulder, nelColorado; sono tanto accurati che in 20 milioni dianni accumulerebbero uno scarto reciproco di unsecondo appena.

Tutti questi orologi differiscono per vari aspetti,com il meccanismo utilizzato, la precisione, la comodità, la robustezza e il costo, ma una caratteristica li accomuna: misurano il tempo. Perché proprioquesto è il significate della parola «tempo»: è la caratteristica comune a tutti gli orologi:

Ne presenterò ora un tipo particolare, detto «orologio a luce». Come vedrete, non è pratico da indossare al polso, ma è molto efficace per scoprire ilcomportamento del tempo nella relatività ristretta.

L' orologio a luce

li funzionamento di un orologio a luce (osservatonel proprio sistema di riferimento) è illustrato nellaprossima figura.

,.,Le definizioni spesso illustrano il significato di alcune parole e idee in termini di altre parole e idee. Se si prova ad applicare questa tattica al termine «tempo», è inevitabile ottenere unadefinizione circolare (il dizionario ZingarelLi, per esempio, nellaprima definizione di «tempo» dà «durata», e alla voce «durata»dà «periodo di tempo»). Per evitare questo problema definiamoil tempo non a parole, ma in termini di operazioni da svolgere;in concreto, qui si tratta della maniera di costruire gli orologi.Le definizioni di questo tipo sono dette «operative».


un orologio a luce osservato nel proprio riferimento

All'inizio una sorgente luminosa stroboscopicaemette un breve lampo di luce in (a). La luce emessasi propaga verso l' alto con velocità c e viene riflessadallo specchio posto in (b). Dopodiché si propagaverso il basso a velocità c e viene assorbita da un rivelatore posto in (c). In quel momento il rivelatorefa due cose: aumenta di un'unità il conteggio delloschermo digitale, da 000 a 001, e aziona la sorgentestroboscopica che emette un altro lampo luminoso.

Questo secondo lampo si propaga verso l'alto,poi torna verso il basso: quando viene assorbito, ilconteggio aumenta da 001 a 002 e la sorgente luminosa emette un terzo lampo. Il processo poi si ripeteall'infinito.È questa ripetizione regolare - analoga alle oscil

lazioni di un pendolo, un cristallo di quarzo o unbilanciere, o ai battiti del cuore - che fa funzionarel' orologio a luce.

L'intervallo di tempo che separa due oscillazionidi un pendolo dipende dalla lunghezza dell'apparato; allo stesso modo, la durata di un ciclo dell' orolo-


gio a luce dipende dalla sua altezza. Se vogliamo cheun ciclo duri un nan, l' orologio dovrà essere alto tdi metro, circa 17 centimetri (così che la salita e ladiscesa, insieme, facciano t di metro). Se volessimoche un ciclo durasse un secondo, l'altezza dovrebbeessere di 150 000 kilometri. In generale, se l' altezzadell' orologio a luce (misurata dalla sorgente stroboscopica allo specchio) è h, ogni ciclo di funzionamento dura 2h/c.

Potreste obiettare che illampo luminoso si spostanon soltanto in verticale, ma anche un pochino inorizzontale per andare dalla sorgente stroboscopicaal rivelatore; la durata di un ciclo è dunque leggermente più grande di 2h/c. Avreste senz'altro ragione. Per non complicare l'analisi, supponiamo che lasorgente stroboscopica e il rivelatore di luce sianomolto piccoli e inseriamoli nella scatola del display,così da rendere trascurabile lo spostamento orizzontale. La figura 4.1 mostra la versione perfezionatadel nostro orologio a luce.

(b)

Figura 4.1 L'orologio a luce perfezionato, osservato nelproprio sistema di riferimento.


L' orologio a luce in movimento

Finora abbiamo descritto l'orologio a luce osservandolo nel suo stesso riferimento. Che cosa succede selo analizziamo da un riferimento diverso, in cui I'orologio si muove? Possiamo dire che «l'orologio simuove verso destra» o «l'osservatore passa accantoall'orologio muovendosi verso sinistra»; per il principio di relatività, le due situazioni sono identiche.

(o)

Figura 4.2 L'orologio a luce osservato nel riferimento incui si sposta orizzontalmente verso destra.

Che cosa sta succedendo? Questa immagine non èuna fotografia: mostra l'orologio in tre istanti diversi etraccia il cammino della luce fra l'uno e l'altro.

Nell'istante (a) la sorgente emette un lampo luminoso. Dopo un po', all'istante (b), illampo è riflessodallo specchio. L' orologio si sposta un po' a destramentre la luce viaggia verso l'alto, perciò nella figura(b) si trova a destra di (a):*

,',,',Siete perplessi perché nel riferimento dell'orologio il tragitto della luçe è verticale, mentre qui è obliquo? Nel problema2.1 trovate lo stesso fenomeno in un contesto più familiare.


Dopo un altro po', all'istante (c), illampo è rilevato, il contatore aumenta di un'unità e la sorgentestroboscopica emette un nuovo lampo per ricominciare il ciclo. Di nuovo l' orologio si è spostato più adestra mentre la luce viaggiava verso il basso.

Le figure 4.1 e 4.2 mostrano esattamente lo stessofenomeno: l'unica differenza è il sistema di riferimento dal quale lo si osserva.

Quanto tempo richiede il passaggio da (a) a (c)?Per fissare le idee, immaginiamo che il nostro orologio a luce sia alt i di metro. In tal caso nel riferimento dell'orologio (figura 4.1) la luce percorre i mverso l'alto tra (a) e (b), poi t m verso il basso tra (b)e (c); in totale, t di metro. In questo sistema di riferimento la velocità della luce è c = t m/nan, quindiè passato 1nan e il contatore aumenta di un'unità.

Ma se si osserva la situazione dal riferimento in cuil'orologio si muove, quello della figura 4.2, tra (a) e(b) la luce si sposta verso l' alto ma anche verso destra, e poi verso il basso ma anche verso destra tra(b) e (c). L'intero percorso dunque è lungo più di-/;di metro. E poiché anche in questo riferimento laluce si propaga a velocitàr = t metro/nan, la distanza maggiore deve richiedere un tempo maggiore.Dunque è passato più di 1 nan, eppure il contatoredell'orologio indica soltanto 1nan!

Nel riferimento dell'orologio è passato 1 nan, e ilsuo contatore indica 1 nan. Nel riferimento in cui l'orologio si muove è passato più di 1 nan, eppure il contatore indica comunque 1 nan. Ne concludiamo chegli orologi a luce in movimento ticchettano lentamente.


Si tratta di un malfunzionamento dell'orologio?Niente affatto. Immaginate di accostare due orologi, uno a pendolo e uno a luce, e metterli in moto(rispetto alla Terra, per esempio); l'orologio a luceticchetterà lentamente. Se il pendolo non facessealtrettanto, avremmo un esperimento interno chepermette di stabilire se i due orologi sono in motoa stazionari: se rimanessero sincronizzati, infatti,sapremmo che sono tazionari; se invece l'orologioa luce accumulasse un ritardo rispetto al pendolo,sapremmo che i due orologi sono in movimento. Mail principio di relatività (il «principio del caffè») stabilisce che ciò è impossibile.

Dunque devono ticchettare lentamente entrambigli orologi. li rallentamento non dipende dal modoin cui l'orologio è costruito; riflette piuttosto la natura del tempo. Abbiamo così scoperto che:

Gli orologi in moto battono il tempo lentamente.

Questo è il principio della dilatazione del tempo.

Di quanto rallenta il ticchettio degli orologi in moto?

Per fissare le idee, immaginate un orologio a lucetrasportato su un'automobile. È stazionario nel riferimento dell'automobile, ma si muove con velocitàV nel riferimento della Terra.Nel riferimento dell'automobile i ticchettii sono

separati da un intervallo di tempo che chiameremoTo. Nel riferimento della Terra l'orologio indica


sempre un intervallo To, ma fra un ticchettio e l' altro passa un tempo più lungo, che chiameremo T. Inquesto paragrafo troveremo la formula che esprimeT in termini di To e V.

Nel problema 1.2 abbiamo visto che la distanzapercorsa da un'automobile dipende dal sistema diriferimento adottato. Allo stesso modo, la distanza percorsa dal lampo luminoso tra due ticchettiidell'orologio a luce dipende dal riferimento. Se troviamo i due diversi valori della distanza, avremo anche la relazion ra i due diversi valori dell'intervallodi tempo.

onsiderate un orologio a luce alto h. Nel riferimento dell'auto, dove l'orologio è stazionario, la lucepercorre una distanza 2h fra un ticchettio e l'altro.

Nel riferimento della Terra la luce percorre unadistanza maggiore. La figura 4.3 è identica alla 4.2,tranne per il fatto che ho evidenziato con un trattopiù spesso un triangolo.

(b)

Figura 4.3 L'orologio a luce osservato dal riferimento incui lo si vede spostarsi. li triangolo evidenziato ha altezza h,mentre la ba e è lunga VT/2.


La diagonale spessa è metà della distanza che laluce percorre tra un ticchettio e l' altro, cioè metàdella grandezza che ci interessa. L'altezza del triangolo è ovviamente h. La base del triangolo è la distanza di cui si è spostato l' orologio nella metàdell'intervallo temporale fra due ticchettii, cioè:

base = velocità x tempo = V x ~.

Ricordate il teorema di Pitagora? È la legge geometrica che mette in relazione le lunghezze dei trelati di un triangolo rettangolo - base, altezza e diagonale - affermando che:

diagonale/ = altezza 2 + base".

Applicando il teorema di Pitagora al triangolodella figura 4.3, troviamo che:

diagonale/ = h2 +(VT/2)2quindi la diagonale è lunga ~ h2 + (VT /2) 2, e ciò

significa che fra un ticchettio e l' altro la luce percorre la distanza 2~ h2 + (VT/2)2.

Ora che abbiamo le due distanze, possiamo determinare la relazione fra i due intervalli di tempo.

Nel riferimento dell'automobile fra un ticchettioe l' altro passa il ternpo To e la luce percorre la distanza 2h. Queste due grandezze sono legate dallarelazione:

distanza percorsa = velocità x tempo trascorso2h = eTa. (4.1)


Nel riferimento della Terra, fra un ticchettio el'altro passa il tempo T e la luce percorre una distanza 2.J h2 + (VT/2)2. Poiché vale sempre la relazionedistanza percorsa = velocità x tempo trascorso, si ha:

(4.1)

Per mettere in relazione T e To combiniamo leequazioni (4.1) e (4.2) ed eliminiamo h. Basterà un po'eli semplice algebra. Partiamo dall'equazione (4.2):

sostituiamo h con la suaespressione data dalla (4.1)

2~(cT/2? + (VT /2)2 = eT dividiamo ambo i membriper 2

~(eT/2)2+ (VT/2)2 = eT/2 eleviamo al quadratoambo i membri

(eYa/2)2 + (VT/2)2 = (eT/2)2 moltiplichiamo ambo imembri per 22

(eTo)2+ (VT)2 = (eT)2

To2+(V/e)2 T2=T2

Ta2= [1- (V/e)2] T2

To = .J1-(V/e)2T

dividiamo ambo i membriper Clrisolviamo rispetto a To2

estraiamo la radice quadrata di entrambi i membri

infine risolviamo rispettoaT

Ecco qua: abbiamo trovato la relazione quantitativa tra To (l'intervallo di tempo fra due ticchettiidell'orologio nel suo riferimento) e T (l'intervallo

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fra due ticchettii nel riferimento in cui l' orologio simuove con velocità V).

» Ohi ohi, mi gira la testa! Non vedevo tanti simboli daquando ho visitato il Vaticano!Se è la scoperta di proprietà del tempo nuove e sorprendenti a farti girare la te ta, non c'è da preoccuparsi, anzi!Chiunque non trovi bizzarra e scioccante la dilatazione deltempo non ci ha pensato abbastanza; la tua perplessità èsegno che stai riflettendo.Se invece ti gira la testa perché è da tanto tempo che nonusavi l' algebra, concentrati sulla scoperta qualitativa che Tè maggiore di To, cioè che gli orologi in movimento battono Iil tempo lentamente. L'orologio a luce, i simboli e l'algebranon sono che stampelle per sostenere la dimostrazione.Il risultato è che il tempo si comporta in maniera diversa aseconda del riferimento; e il tempo esisteva già (e si dilatava!) molto prima che arrivassero gli esseri umani a costruireorologi a luce e a scrivere simboli.

» Devo imparare a memoria questa dimostrazione?

on è necessario. In questo libro le dimostrazioni sonoimporranti perché mostrano il coUegamento logico fra l'esperimento e la conclusione, ma non sono l'unica stradaper giungere dal primo alla seconda. Per esempio, nel1905Einstein scoprì la relatività seguendo un metodo assai diverso dal nostro.TTnvece di memorizzare le dimostrazioni,impara a usare questi concetti facendo alcuni esercizi.

» Se gli orologi in movimento ticchettano lentamente,perché non me ne sono mai accorto?

L'effetto è minuscolo alle velocità quotidiane. Per esempio,la Stazione spaziale orbita attorno alla Terra alla velocità di

*«* Perché non ho seguito le orme di Einstein? Perché civorrebbero ancora più simboli e calcoli algebrici!


circa 8 kilometri al secondo. Un orologio che sfrecciasse accantò a noi a quella velocità ritarderebbe rispetto ai nostri.Ma di quanto? La formula della dilatazione del tempo diceche se per i nostri orologi passa I ora (D, per l'orologio abordo della Stazione spaziale passerà un'ora meno 1,3 milionesimi di secondo (To). Sono pochi gli orologi in grado di. misurare il tempo con una precisione simile!All'aumentare della velocità con cui si muove l'orologio,l'effetto diventa più evidente. Se per i nostri orologi passaun'ora, p r un orologio che si muove:

a metà della velocità della luce, passano 52 minuti;a 3/5 della velocità della luce, passano 48 minuti;a 4/5 della velocità della luce, passano 36 minuti;al 99% della velocità della luce, passano 8,5 minuti.

>- Perché fermarsi qui? E se l'orologio si muovesse allavelocità della luce? O a una velocità doppia?

La formula della dilatazione del tempo è T = Ici .J 1-(VIc) 2.

Se V = c abbiamo che .Jl- (VI c) 2 =° e la formula dunquecomporta una divisione per zero; è difficile stabilire comeinterpretarla. S V = 2c abbiamo che .Jl- (Vic) 2 =H;laformula richiede di estrarre la radice quadrata di un numero negativo, una cosa ancora più difficile da interpretare!Per fortuna non avremo mai bisogno di affrontare assurditàdel genere. Come scopriremo nel capitolo lO, nessun orologio può muoversi a velocità che uguagliano o superanoquella della luce.

>- Vedo che usi quella formula che mette in relazione traloro To e T,ma io ancora non riesco a trovarla sensata.

E perché dovresti? Le necessità evolutive che hanno plasmato il cervello umano sono la sopravvivenza e la ricercadi cibo, non la comprensione della relatività! Per esplorareque to mondo nuovo dovremo spingere la nostra mente interritori sconosciuti, dove si troverà a disagio.Albert Einstein lo ha sottolineato dicendo che «li senso comune è soltanto una erie di pregiudizi che accumuliamo

60 Capir davvero la relatività

nella nostra mente prima dei diciotto anni». D'altra parte,Henry David Thoreau ha suggerito che «non è mai troppotardi per abbandonare i propri pregiudizi».

~ Finora non hai fatto altro che parlare. Ma questa dilatazione del tempo è stata mai osservata? Non mi fido.

E fai bene! Le affermazioni straordinarie richiedono conferme altrettanto straordinarie; proprio per questo motivosono state fatte molte verifiche sperimentali della dilatazione del tempo.Poiché l'effetto è minuscolo persino per gli orologi che raggiungono la velocità delle navicelle spaziali, gli esperimentiricadono in due categorie: quelli svolti con orologi artificialiaccuratissimi, che viaggiano a velocità molto minori di quella della luce, e quelli svolti con orologi naturali che invece siavvicinano alla velocità della luce.Nella prima categoria rientrano gli esperimenti con orologi atomici trasportati da aerei di linea (Hafele e Keating,1972), da un razzo (Vessot e collaboratori, 1980) o da unaereo militare P-3C Orion (Alley, 1983). Tutti questi esperimenti hanno confermato la dilatazione del tempo, dal punto di vista sia qualitativo sia quantitativo.Le conferm del secondo tipo sono ancora più numerose.Eccone una: la particella chiamata «muone» è una sorta diorologio, nello stesso senso in cui lo è un'unghia, perchéogni muone una volta creato sopravvive per 2,198 ± 0,002microsecondi, poi decade in un elettrone.?"Per essere più precisi, questa è la vita media del muonequando è fermo rispetto allaboratorio.In un esperimento svolto al RN, i muoni erano in movimento con velocità V= 0,999418c rispetto allaboratorio;

,'d,1,1, La notazione ± sottolinea il fatto che ogni misura richiede un apparato sperimentale di qualche tipo, ma poichénon esistono apparati perferti, nessuna misura è esatta. Perquanto si può stabilire con gli esperimenti attuali, la vita media del muone è pari a 2,198 microsecondi, ma potrebbe esseremaggiore (2,200 microsecondi) o minore (2,196microsecondi).


secondo la formula della dilatazione del tempo avrebberodovuto sopravvivere più a lungo, cioè per un tempo pari a:

2,198 ± 0,002 microsecondi _ 64 43 + 006· eli- , _, mlCrosecon.Jl- (0,99941W

E in effetti la vita media misurata dei muoni in movimentoè stata di 64,37 ± 0,03 microsecondi. Anche l'orologio rappresentato dai muoni, quando si muove, batte lentamente.L'esperimento più preciso svolto finora sulla dilatazionedel tempo ha riguardato orologi costituiti da ioni di lirio,in movimento con velocità pari a 0,03c e a 0,064c. I risultatisono stati in accordo con la previsione della formula perla dilatazion del tempo entro 2 parti su un miliardo, unmargine più basso dell'errore sperimentale.Tutti questi perimenti hanno utilizzato orologi diversi daquello a luce; i loro risultati dunque dimostrano che la dilatazione del tempo è una proprietà del tempo, non di un tipoparticolare di orologio.Il libro di Yuan Zhong Zhang riporta 24 esperimenti sulJadilatazione del tempo fatti con gli orologi più disparati - daquelli atomici creati dall'uomo al decadimento dei muoni,agli atomi di neon eccitati, a certe oscillazioni nucleari - inmoto a velocità che vanno da poche centinaia di kilometriall'ora fino a 0,9994c.Tutti gli esperimenti svolti finora hanno confermato la dilatazione del tempo entro la precisione d ll'apparato sperimentale. Altre verifiche sono allo studio: per esempio,un nuovo sat llite chiamato OPTIS dovrebbe verificare ladilatazione del tempo con precision mille volte maggiorerispetto agli studi attuali.

)o- Ma forse l'orologio in movimento batte lentamente perché è stato danneggiato dagli scossoni dovuti all'accelerazione che l'ha portato ad alta velocità?

o. Ricorda che nel proprio riferimento l'orologio non èaffatto più lento. Possiamo rendere l' accelerazione gradualee delicata quanto basta per evitare danni ai m ccanismi.

62 Capir davvero la relatività

)o Immaginiamo che Gaia passi accanto a Ivan in un'autolanciata ad alta velocità. Tu mi dici che il suo orologio batte più lento; be', non dovrebbe accorgersene lei stessa?

Dal punto di vista di Ivan l'orologio di Gaia ticchetta lentamente, ma anche il cuor deUa ragazza batte lentamente. Ipolmoni di Gaia funzionano al rallentatore, ma non c'è dapreoccuparsi per la sua salute, perché anche la respirazionecellulare nel suo corpo è rallentata. Lo stesso vale per i suoipensieri. Come dicevo, il rallentamento è comune a tutti gliorologi in movimento, ed è sempre della tessa entità; inaltre parole, è il tempo che scorre più lentamente.

)o Immaginiamo che Gaia passi accanto a Ivan in un'automobile lanciata ad alta velocità. Lui sostiene che gli orologidi lei, trovandosi in movimento, ticchettano lentamente.Ma il principio di relatività ci dice che il riferimento di Gaiaè valido quanto quello di Ivan. Secondo lei sono gli orologidi lui a ticchettare lentamente, perché li vede in movimento.In conclusione, lui sostiene che gli orologi di lei ticchettanolentamente, e lei sostiene altrettanto riguardo agli orologidi lui. Non possono avere ragione entrambi!

Se la dilatazione del tempo fosse l'unico effetto della relatività, si tratterebbe in effetti di una contraddizione logica.È segno che non abbiamo ancora tracciato il quadro completo. Ricordi che all'inizio del capitolo ipotizzavamo uncomportamento anomalo per il tempo, per la distanza o perentrambi? Lo abbiamo già scoperto nel caso del tempo, equesta apparente contraddizione significa che dovremo andare oltre e scoprire che la distanza è altrettanto bizzarra!

)o Gli eroi di Guerre stellari viaggiano spesso a velocitàprossime a quella della luce. Perché non osservano mai ladilatazione del tempo?

L'universo di Guerre stellari è una finzione, ed è assai menosbalorditivo e interessante del nostro universo, che in piùha il pregio di esistere davvero.

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